Tartalom. Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák

Átírás

1 Tartalom Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák 215 1

2 Tervezési célok Szabályozó tervezés célja Stabilitás biztosítása Minőségi kritériumok biztosítása 215 2

3 Tervezési célok A szabályozási hatásvázlat: R(s) E(s) C(s) U(s) G(s) Y (s) 215 3

4 Tervezési célok Stabilitás biztosítása a zárt rendszer pólusai alapján: A zárt rendszer átviteli függvénye: G z (s) = C(s)G(s) 1 +C(s)G(s) = G H(s) 1 + G H (s), ahol G H (s) a hurokátviteli függvény

5 Tervezési célok A zárt rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, tehát az 1 + G H (s) = egyenlet p 1,..., p n gyökeire teljesül a Re p i <, i = 1,...,n feltétel, ahol n a G H (s) pólusainak száma

6 Tervezési célok A stabilitás biztosítása a felnyitott hurok G H (iω) frekvenciafüggvényének Bode diagramja alapján: A fázistartalék kapcsolata a stabilitással: ϕ t = 18 + ϕ(ω c ) Ha ϕ t > akkor a zárt rendszer stabil Ha ϕ t = akkor a zárt rendszer a stabilitás határhelyzetében van Ha ϕ t < a zárt rendszer instabil 215 6

7 Tervezési célok Minőségi kritériumok időtartományban: A rendszer átmeneti függvénye alapján: 1. beállási érték: a kimenet állandósult állapotbeli értéke (stabil rendszer esetén): y( ) = lim t y(t) 2. szabályozási idő: az a T s időpillanat, ami után már a rendszer kimenete a beállási értéktől ±5%-nál jobban nem tér el:,95 y( ) y(τ) 1,5 y( ) τ T s 215 7

8 Tervezési célok 3. szabályozási eltérés: a megkívánt érték (referencia jel) és az állandósult állapotbeli érték különbsége: e( ) = y( ) r( ) 4. túllendülési idő: az a t m időpillanat, amikor a kimenet a maximális túllendülést eléri: max y(t) y( ) = y m y( ) ahol y m = y(t m ) t 5. túllendülés mértéke: a túllendülés %-ban kifejezett értéke: p = σ 1% = max t y(t) y( ) 1% y( ) 215 8

9 Tervezési célok.6 Idõtartományi minõségi jellemzõk y m.5.4 1,5*y( ) y(t).3,95*y( ) y( ).2.1 t T m sz t [sec] 215 9

10 Tervezési célok Minőségi kritériumok frekvenciatartományban: A zárt rendszer G z (iω) frekvenciafüggvényének Bode amplitúdó diagramja alapján: 1. rezonanciacsúcs: M p az amplitúdó diagram maximális értéke 2. rezonanica frekvencia: ω p a rezonanciacsúcs körfrekvenciája 3. sávszélesség: ω b az a körfrekvencia, ahol az amplitúdó diagram eléri a 3dB-es értéket 215 1

11 Tervezési célok 2 1 Frekvenciatartományi minõségi jellemzõk M p a(ω) [db] db 3 4 ω p ω (lg) [rad/sec] ω b

12 Tervezés felnyitott hurokban Soros kompenzátor tervezése a felnyitott hurok G H (iω) = C(iω)G(iω) frekvenciafüggvényének Bode diagramja alapján adott fázistartalék biztosítására történik. A leggyakrabban használt előírt fázistartalék értékek: 3, 45, vagy 6. A cél a C(s) szabályozó blokk megtervezése tárolós alaptagok párhuzamos kapcsolásaként:

13 Tervezés felnyitott hurokban

14 Tervezés felnyitott hurokban Az alaptagok hatása a szabályozás minőségi jellemzőire: TP arányos (A) tag: gyorsítja a rendszert, de nem biztosít zérus követési hibát (kivéve, ha a rendszer eleve integráló tulajdonságú). TD (A d s) differenciáló tag: jelentősen gyorsítja a rendszert, de a zajokat erősíti, ezért önmagában nem használják TI ( A I s ) integráló tag: zérus követési hibát biztosít, de lassítja a rendszert A leggyakrabban használt kombinációk: PD, PI, PID

15 Tervezés felnyitott hurokban 1. Példa Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye: 5 G(s) = s 3 + 3s 2 + 2s Tervezzünk soros, arányos kompenzátort ϕ t = 3 fázistartalék biztosítására! Válasszuk a kompenzátort először A = 1 értékűre: 5 G H (s) = A G(s) = 1 s 3 + 3s 2 + 2s

16 Tervezés felnyitott hurokban Az így kapott G H (iω) frekvenciafüggvény Bode diagramja: 1 Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 6 ω c = 1,27rad/sec κ t = 1,61dB ω k = 1,42rad/sec

17 Tervezés felnyitott hurokban Változtassuk meg A értékét úgy, hogy ϕ t = 3 ϕ(ω c ) = 15 legyen, kihasználva, hogy G H (iω) = A G(iω) Bode diagramja az A és G(iω) tagok külön külön ábrázolt Bode diagramjának összege, és A esetében a(ω) = 2 log(a) és ϕ(ω) =! Így: Egy egységtől eltérő arányos tag az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan eltolja, mégpedig A > 1 esetben felfelé, A < 1 esetben pedig lefelé, miközben a fázisdiagramot változatlanul hagyja

18 Tervezés felnyitott hurokban Például A=1 esetben: 1 Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 44 ω c = 3,48rad/sec κ t = 18,3dB ω k = 1,42rad/sec

19 Tervezés felnyitott hurokban A=,1 esetben pedig: 1 Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 69 ω c =,242rad/sec κ t = 21,7dB ω k = 1,42rad/sec

20 Tervezés felnyitott hurokban A soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy ϕ t = 3 ϕ(ω c ) = 15 adódjon. Ehhez le kell olvasni előjelhelyesen a ϕ(ω) = 15 - hoz tartozó x amplitúdó értéket (a db-es tengelytől mérve db-ben)

21 Tervezés felnyitott hurokban Az A erősítést úgy kell megválasztani, hogy pontosan ezzel az értékkel ellentétesen tolja el az amplitúdó diagramot: 2 log(a) = x Így a keresett erősítés értéke: A = 1 x

22 Tervezés felnyitott hurokban Esetünkben A =,438 érték oldja meg a feladatot: 1 Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 3 ω c =,791rad/sec κ t = 8,65dB ω k = 1,42rad/sec

23 Tervezés felnyitott hurokban Összefoglalva, a soros kompenzátor tervezés lépései a következők: 1. Eldöntjük, hogy milyen kompenzátort és milyen fázistartalékkal kívánunk tervezni. 2. A tervezendő konstans (A, A d, A I ) egység értékére felrajzoljuk a felnyitott hurok Bode diagramját

24 Tervezés felnyitott hurokban 3. Leolvassuk a kitűzött ϕ t fázistartalékhoz tartozó x amplitúdó értéket és x használatával meghatározzuk az A v. A d v. A I konstans értékét. 4. Megvizsgáljuk a zárt (szabályozott) rendszer minőségi tulajdonságait

25 Tervezés felnyitott hurokban 2. Példa Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye: G(s) = 5 s 2 + 3s + 2 Tervezzünk jelkövetést garantáló soros kompenzátort ϕ t = 3 fázistartalék biztosítására!

26 Tervezés felnyitott hurokban Mivel G(s) nem integráló tulajdonságú, ezért C = A I s integráló kompenzátor alkalmazása szükséges. Így G H (s) = A I 5 (s 2 + 3s + 2)s = A I 5 s 3 + 3s 2 + 2s Innentől a tervezés menete és eredménye is megegyezik az előző példával, csak éppen A I -t számoljuk A helyett

27 Elemzés zárt hurokban A zárt rendszer átviteli függvénye: Elemzés: G z (s) = C(s)G(s) 1 +C(s)G(s) 1. Időtartományban (pólusok, súly- és átmeneti függvény) 2. Frekvenciatartományban (Bode és Nyquist diagramok)

28 Elemzés zárt hurokban Az 1. példában a zárt (szabályozott) rendszer átviteli függvénye: G z (s) = 2,19 s 3 + 3s 2 + 2s + 2,

29 Elemzés zárt hurokban A zárt rendszer pólusai: p 1 = 2,5526 p 2,3 =,2237±,8988i 1 A zárt rendszer súlyfüggvénye.8.6 g(t) t [sec]

30 Elemzés zárt hurokban 1.5 A zárt rendszer átmeneti függvénye 1 v(t) t [sec] Pólusai, és súlyfüggvénye alapján a zárt rendszer stabil

31 Elemzés zárt hurokban A zárt rendszer Bode diagramja: 1 Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] M p = 6,1dB ω p =,87rad/sec ω b = 1,326rad/sec

32 Demonstrációs példák 3. Példa: Repülőgép dőlésszögének (φ) szabályozása Válassza meg A 1 A I értékét, hogy a szabályzó biztosítsa a ϕ t = 45 fázistartalékot!

33 Demonstrációs példák φ a (t): alapjel (referenciajel), a repülő dőlésszöge φ e (t): hibajel, ami a referenciajel (φ a (t)) és a szabályozott rendszer kimenetének (φ c (t)) különbsége φ c (t): a szabályozott rendszer kimeneti jele

34 Demonstrációs példák Megoldás Válasszuk meg a következő módon az A 1 és A I értékeit: A 1 A I = 1 G H (s) = s( s)( s) = 1 s s 2 +15s

35 Demonstrációs példák 1 Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 64 ω c =,617rad/sec κ t = 24,5dB ω k = 3,83rad/sec

36 Demonstrációs példák Látható módon a megoldás a fázistartalék csökkentése. ϕ(ω) = 135 értéken x = 7dB. Így 2 log(a) = 7dB A = 2,2387 G H (s) = 22, 387 s s s

37 Demonstrációs példák 1 Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 45 ω c = 1,17rad/sec κ t = 17dB ω k = 3,83rad/sec

38 Demonstrációs példák Aszimptotikus jelkövetés φ a (t) = 1(t), d(t) = lim φ e = lim t s s 1 (1 + G H (s))s = =lim s s(s + 1)(s + 1.5) s(s + 1)(s + 1.5) + 1A =

39 Demonstrációs példák Aszimptotikus zavarelhárítás, ha d(t) a kimenetre hat: φ a (t) = (t), d(t) = 1(t) lim t φkimeneti d = lim s s 1 (1 + G H (s))s = =lim s s(s + 1)(s + 1.5) s(s + 1)(s + 1.5) + 1A =

40 Demonstrációs példák Aszimptotikus zavarelhárítás, ha d(t) a bemenetre hat: φ a (t) = (t), d(t) = 1(t) lim t φbemeneti d = lim s s G(s) (1 + G H (s))s = =lim s 1s(s + 1) s(s + 1)(s + 1.5) + 1A = 215 4

41 Demonstrációs példák 4. Példa: Villamos targonca irányításának tervezése Egy villamos targonca megfelelő pályán való automatikus vezetését 8 fototranzisztorral biztosítják:

42 Demonstrációs példák A motor és kocsi dinamikát a következő átviteli függvény írja le: 3 G(s) = ( 1 + s 2) (s2 + s + 4) Tervezzünk olyan 3 -os fázistartalékot biztosító stabilizáló soros kompenzátort, amelyik jelkövetést és minimális beállási időt biztosít túllendülés nélkül

43 Demonstrációs példák Stabilitás A=1 soros, arányos kompenzátorral: 1 Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 4 ω c = 5,67rad/sec κ t = 2,91dB ω k = 4,93rad/sec

44 Demonstrációs példák Stabilitás A=,155 soros, arányos (P) kompenzátorral: 1 Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 3 ω c = 2,78rad/sec κ t = 13,3dB ω k = 4,93rad/sec

45 Elemzés időtartományban: Demonstrációs példák 1.5 A zárt rendszer súlyfüggvénye 1.5 g(t) t [sec]

46 Demonstrációs példák.9 A zárt rendszer átmeneti függvénye v(t) t [sec] y( ) =,54 T sz = 6,9sec p = 64% t m = 1,1sec

47 Demonstrációs példák Stabilitás C(s) =,1 s 2 soros, integráló (I) kompenzátorral: Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 71 ω c =,911rad/sec κ t = 2,27dB ω k = 1,95rad/sec

48 Elemzés időtartományban: Demonstrációs példák 1 A zárt rendszer súlyfüggvénye g(t) t [sec]

49 Demonstrációs példák 1.4 A zárt rendszer átmeneti függvénye v(t) t [sec] y( ) = 1 T sz = 2,4sec p = 22% t m = 5,6sec

50 Demonstrációs példák Stabilitás C(s) =,1s+,5 s 1 soros, PI kompenzátorral: Bode diagram a(ω) [db] fi(ω) [fok] ω (lg) [rad/sec] ϕ t = 36 ω c = 2,41rad/sec κ t = 12,5dB ω k = 3,98rad/sec 215 5

51 Elemzés időtartományban: Demonstrációs példák 1.2 A zárt rendszer súlyfüggvénye g(t) t [sec]

52 Demonstrációs példák 1 A zárt rendszer átmeneti függvénye v(t) t [sec] y( ) = 1 T sz = 1,6sec p = % t m = 2,5sec