Irányítástechnika II. előadásvázlat

Átírás

1 Irányítástechnika II. előadásvázlat Dr. Bokor József egyetemi tanár, az MTA rendes tagja BME Közlekedés- és Járműirányítási Tanszék

2 Tartalom Irányítástechnika II. féléves tárgytematika Az irányításelmélet alapfogalmai Rendszerek idő- és frekvenciatartománybeli vizsgálata Stabilitáselmélet (stabilitás feltételei, zárt és visszacsatolt rendszerek stabilitása) Zárt szabályozási körök minőségi jellemzői Soros kompenzálás Robusztus stabilitás Bevezetés az állapottér-elméletbe (állapottér reprezentációk, transzformációk) Állapottér reprezentációk tulajdonságai, állapotegyenletek megoldása Állapot visszacsatolás Állapotmegfigyelő tervezése

3 Tartalom 1. Irányításelmélet alapfogalmai linearitás, időinvariancia, kauzalitás, stabilitás, visszacsatolás szabályozási feladat hatásvázlata 2. Lineáris időinvariáns rendszerek modelljei időtartományi leírás: súlyfüggvény differenciálegyenlet és átviteli függvény frekvenciafüggvények

4 Az irányításelmélet alapfogalmai Az irányítástechnika célja, hogy adott rendszerek viselkedését általunk kívánt tulajdonságúvá, ill. adott szempontok és célok szerint optimálissá tegye

5 Az irányításelmélet alapfogalmai Rendszereknek általánosan az olyan absztrakt objektumokat nevezhetjük, amelyek az őket érő külső, környezetükből jövő hatásokra valamilyen válaszreakciót generálnak. Másképpen: ha egy rendszert külső, ún. bemenő jelekkel gerjesztünk, az válaszjeleket generál, amiket az irányításelméletben kimenő jeleknek nevezünk

6 Az irányításelmélet alapfogalmai A rendszert egy blokkal szemléltetjük, a bemenőjel u(t), a rendszer által generált válasz y(t). u(t) g(t) y(t) A bemenet-kimenet kapcsolatot jellemző fontos rendszertulajdonságok: linearitás, időinvariancia, kauzalitás

7 Az irányításelmélet alapfogalmai Linearitás: A rendszer működésére érvényes a szuperpozíció elve. A rendszert lineárisnak nevezzük, ha a rendszer u 1 bemenetre y 1 választ, u 2 bemenetre y 2 választ és bemenetre választ generál. u = α u 1 + β u 2 y = α y 1 + β y

8 Az irányításelmélet alapfogalmai Időinvariancia: Egy bemenőjelre adott válasz nem függ a bemenőjel alkalmazásának az időpontjától. Ha a rendszer időinvariáns, akkor egy τ időponttal késleltetett impulzusra ugyanazt a válaszfüggvényt adja τ időbeli eltolással

9 Az irányításelmélet alapfogalmai Kauzalitás: A generált kimenőjel egy adott időpontban nem függ a bemenőjel jövőjétől. Ha a kimenőjel csak a bemenőjel múltjától függ, akkor a rendszert szigorúan kauzálisnak nevezzük. Stabilitás: Stabilis rendszerek korlátos bemenőjelekre korlátos kimenőjellel válaszolnak. Az ilyen tulajdonsággal bíró rendszereket bemenet - kimenet stabilisnak nevezzük (angolul Bounded Input - Bounded Output: BIBO stabilisnak)

10 Az irányításelmélet alapfogalmai Visszacsatolás: Alkalmazásával meg tudjuk változtatni egy rendszer tulajdonságait, ill. ennek alapján speciális feladatok megoldására tehetjük azt alkalmassá. A visszacsatolás segítségével meg tudjuk változtatni bizonyos rendszerek alapvető tulajdonságait:

11 Az irányításelmélet feladatai stabilizálhatunk instabil rendszereket, linearizálhatunk nemlineáris rendszereket, robusztussá tehetünk bizonytalansággal terhelt rendszereket: bizonyos irányítási rendszerek érzéketlenné tehetők a rendszer pontatlan ismeretéből vagy a szükségszerű elhanyagolásokból adódó bizonytalanságokkal szemben

12 Az irányításelmélet feladatai A megoldandó speciális feladatok az alábbiak lehetnek: értéktartó szabályozás: Adott jellemző, jel adott értéken tartása (pl. hőmérséklet, vízszint, autó sebessége), miközben a környezeti hatások változnak. követő szabályozás: Adott jellemző, jel előírt módon való időbeli változtatása (pl. gépkocsi útkövetése, robotkar adott pályán való mozgatása)

13 Az irányításelmélet feladatai zavarkompenzáció vagy zavarelhárítás: A rendszer viselkedését kedvezőtlenül befolyásoló zavarás hatásának csökkentése. Ilyen pl. az útgerjesztés által okozott rezgések csökkentése az utastérben

14 Szabályozási feladat hatásvázlata Irányítási hatásvázlat készítése: 1. szabályozni kívánt jellemző és szabályozási cél meghatározása 2. mérhető jelek meghatározása a visszacsatoláshoz 3. alapjel beállítása, majd különbségképzés 4. rendelkező jel átalakítása, beavatkozó jel generálása

15 Szabályozási feladat hatásvázlata R(s) E(s) C(s) U(s) G(s) D(s) Y (s) C(s) G(s) R(s) E(s) U(s) D(s) Y (s) a szabályozó a szabályozott rendszer a referenciajel (vagy alapjel) a hibajel (vagy rendelkezőjel) a beavatkozó jel (control input) a zavaró jel a szabályozott jellemző (kimenet)

16 Szabályozási feladat hatásvázlata Számítógépes irányítórendszer felépítése: Analóg/digitális (A/D) jelátalakítót, az irányítási algoritmust megvalósító számítógépet, digitális/analóg (D/A) átalakítót, és ún. tartószervet tartalmaz

17 Szabályozási feladat hatásvázlata Analízis: Modell alapján a rendszer tulajdonságok vizsgálata. Szintézis: Modell alapján a megadott kritériumok figyelembevételével a zárt hurkú irányítás megtervezése

18 Tartalom 1. Irányításelmélet alapfogalmai linearitás, időinvariancia, kauzalitás, stabilitás, visszacsatolás szabályozási feladat hatásvázlata 2. Lineáris időinvariáns rendszerek modelljei időtartományi leírás: súlyfüggvény differenciálegyenlet és átviteli függvény frekvencia függvények

19 Időtartománybeli leírás Lineáris, állandó együtthatós, közönséges differenciálegyenletek: a n d n y(t) dt n = b m d m u(t) dt m d n 1 y(t) dy(t) + a n a dt n a 0 y(t) = dt +b d m 1 u(t) du(t) m b dt m 1 1 +b 0 u(t) dt

20 Időtartománybeli leírás d i y(t) dt i t=0 = y i (0), i = 1,...,n, d j u(t) d j (t) t=0= u j (0), j = 1,...,m. a i, i = 1,...,n,,b j, j = 1,...,m együtthatók konstansok, nem függnek az időtől

21 Időtartománybeli leírás A bemenőjel-kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk egy tipikus, ún. Dirac-delta függvényre adott válaszfüggvénnyel is. A Dirac-delta függvény pontos matematikai definíciója:, ha t = 0, δ(t) = 0, ha t 0. A Dirac-delta függvény definíciója a mérnöki gyakorlatban: 1, ha t = 0, vagy δ(t) = 0, ha t

22 Időtartománybeli leírás A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvényt a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A súlyfüggvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény az alábbi konvolúciós integrállal számítható: y(t) = t 0 g(τ)u(t τ)dτ = t 0 g(t τ)u(τ)dτ

23 Átviteli függvény Az átviteli függvényt a differenciálegyenletből kiindulva a Laplace-transzformáció alkalmazásával vezethetjük be. Jelölje egy f (t) függvény L-transzformáltját F(s), azaz F(s) = L { f (t)}

24 Átviteli függvény Vegyük a differenciálegyenlet L - transzformáltját zérus kezdeti feltételekkel. Ekkor a következő egyenlethez jutunk: (a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 )Y (s) = (b m s m +...b 1 s + b 0 )U(s) amiből átrendezéssel kapjuk, hogy G(s) = Y (s) U(s) = b(s) a(s) = b m s m b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n a 1 s + a

25 Átviteli függvény A G(s) racionális törtfüggvényt (m n) a rendszer átviteli függvényének nevezzük. Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L - transzformáltjainak hányadosa

26 Átviteli függvény Az átviteli függvény alapján definiáljuk a lineáris időinvariáns dinamikus rendszerek zérusait és pólusait. A b(s) = 0 egyenlet z j ( j = 1,...,m) gyökeit a rendszer zérusainak, a(s) = 0 egyenlet p i (i = 1,...,n) gyökeit pedig a rendszer pólusainak nevezzük

27 Átviteli függvény Az átviteli függvényt felírhatjuk ún. zérus - pólus alakban: G(s) = k m j=1(s z j ) n i=1(s p i ), k = b m a n A L - transzformáció azon tulajdonságát felhasználva hogy az időfüggvények konvolúciójának L - transzformáltja a L - transzformáltak szorzata, a súlyfüggvény és az átviteli függvény kapcsolata: G(s) = L {g(t)}

28 Frekvenciafüggvény Egy rendszer frekvenciafüggvényének a rendszernek egységamplitúdójú szinuszos bemenőjelre, állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük

29 Frekvenciafüggvény Itt a bemenőjel egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel, amelynek körfrekvenciája ω. Legyen egy rendszer G(s) átviteli függvénye: G(s) = b s + a. A szinuszos jel L-transzformáltját alkalmazva vizsgáljuk meg, hogy mi lesz a rendszer kimenőjele

30 Frekvenciafüggvény A reziduum tétel felhasználásával írhatjuk: y(t) = L 1 b ( s + a ω s 2 + ω2) = lim s a bω (s + a) (s + a)(s 2 + ω 2 ) est bω + lim (s + iω) s iω (s + a)(s + iω)(s iω) est bω + lim (s iω) s iω (s + a)(s + iω)(s iω) est

31 Frekvenciafüggvény Elvégezve a megfelelő határérték képzéseket: y(t) = bω ( e at + a + iω a 2 + ω 2 2iω e iω t + a iω 2iω eiω t) Írjuk át a a+iω a 2 +ω 2 komplex számot exponenciális alakba: a + iω a 2 + ω 2 = 1 a2 + ω 2e i ϕ(ω), ahol ϕ(ω) = arctan ω a,

32 Frekvenciafüggvény majd felhasználva az Euler - összefüggést az állandósult állapotra azt kapjuk, hogy lim y(t) = A(ω)sin(ω t + ϕ(ω)), ahol A(ω) = b t a2 + ω 2. Az A(ω) függvényt amplitúdó függvénynek, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást jelentő ϕ(ω) függvényt pedig fázisfüggvénynek nevezzük, mindkettő a bemenőjel ω körfrekvenciájától függ

33 Frekvenciafüggvény Látható továbbá, hogy az amplitúdó függvény a G(s) átviteli függvényből az s = iω helyettesítés után mint a G(iω) függvény abszolút értéke, A(ω) = G(iω) = ReG(iω) + iimg(iω) = = Re 2 G(iω) + Im 2 G(iω) a fázisfüggvény pedig mint a G(iω) fázisfüggvénye kapható: ϕ(ω) = arctan ( ) ImG(iω). ReG(iω)

34 Frekvenciafüggvény Vezessük be a következő jelöléseket: ũ(t) = e iω t, ỹ(t) = A(ω)e i(ω t+ϕ(ω)). Látható, hogy a tényleges bemenő és kimenő jelek az ũ(t) és ỹ(t) jelek imaginárius részei, így ezeket az ũ(t) és ỹ(t) jelek lineáris transzformációjával kaphatjuk vissza. Felhasználva, hogy d l ũ(t) dt l = (iω) l ũ(t), l = 1,...,m, d k ỹ(t) dt k = (iω) k ỹ(t), k = 1,...,n

35 Frekvenciafüggvény Ezeket a differenciálegyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy a(iω)ỹ(t) = b(iω)ũ(t) ( an (iω) n + a n 1 (iω) n a 1 (iω) + a 0 )ỹ(t) = ( bm (iω) m b 1 (iω) + b 0 )ũ(t)

36 Frekvenciafüggvény Mindkét oldalon vehetjük a képzetes részeket, és felhasználva a frekvenciafüggvény definícióját kapjuk, hogy A(ω) = G(iω) = b(iω) a(iω), ϕ(ω) = argg(iω). A G(iω) függvényeket a rendszer frekvenciafüggvényének nevezzük és az ω körfrekvencia szerint ábrázoljuk

37 Nyquist diagram A frekvenciafüggvény ábrázolásának egyik módja az, amikor az amplitúdó függvényt mint vektort egy polár koordináta rendszerben ábrázoljuk a hozzátartozó ϕ(ω) függvény segítségével, ahol az A(ω) hosszúságú vektornak a pozitív valós tengellyel bezárt szöge éppen a ϕ(ω) szög. A frekvenciafüggvénynek ezt az ábrázolásmódját Nyquist-diagramnak nevezzük

38 Bode diagram A frekvenciafüggvények egy másik ábrázolásmódja az, amikor az A(ω) amplitúdó függvényt az ω(lg) függvényében ábrázoljuk, decibelben. Ennek alapján a függőleges tengelyen G(iω) db = 20logA(ω) szerepel. Ebben az esetben a ϕ(ω) fázisfüggvényt külön diagramban, a ω(lg) függvényében ábrázoljuk fokban. Ezt az ábrázolást a rendszer Bode-diagramjának nevezzük