IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II.
|
|
- Irén Fehérné
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II.
2 A projekt címe: Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés A megvalósítás érdekében létrehozott konzorcium résztvevői: KECSKEMÉTI FŐISKOLA BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM AIPA ALFÖLDI IPARFEJLESZTÉSI NONPROFIT KÖZHASZNÚ KFT. Fővállalkozó: TELVICE KFT.
3 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar Írta: BOKOR JÓZSEF GÁSPÁR PÉTER SOUMELIDIS ALEXANDROS Lektorálta: SZABÓ ZOLTÁN IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II. Egyetemi tananyag 2
4 COPYRIGHT: 2-26, Dr. Bokor József, Dr. Gáspár Péter, Dr. Soumelidis Alexandros, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar LEKTORÁLTA: Dr. Szabó Zoltán Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3. (CC BY-NC-ND 3.) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. ISBN KÉSZÜLT: a Typotex Kiadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-4..2/A/2-/-2-8 számú, Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés című projekt keretében. KULCSSZAVAK: Newton Lagrange-modellezés; átviteli függvény; pólusok és zérusok; Laplace-transzformáció; jelkövető irányítás; zavarkompenzáció; bizonytalanság modellezése; stabilitás; érzékenység függvény; P-K struktúra; M-Delta struktúra; frekvencia függvény; robusztus stabilitás; robusztusság; PID szabályozás; pólusallokáció; állapottér-elmélet; irányíthatóság; megfigyelhetőség; modellidentifikáció; LQ irányítás, állapot-visszacsatolás; megfigyelő tervezés. ÖSSZEFOGLALÁS: A jelen jegyzet a BME Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Karán oktatott Irányítástechnika II. c. tantárgyhoz készült. A jegyzet célja, hogy segítse a hallgatókat az előadási anyag elsajátításában és a gyakorlati feladatok megoldásában. A könyv szerkezeti felépítésében az egyetemi előadásokat és gyakorlatokat követi. A második fejezet részletesen bemutatja a lineáris időinvariáns (LTI)-rendszerek analízisét. A fejezet különféle modellezési elveket ismeret, így a fizikai elvek alapján történő modellezésen kívül bevezet a mért jeleken alapuló modellezésbe is. Tárgyalja az idő- és frekvenciatartománybeli rendszerleírásokat tipikus bemenőjelekre. Részletesen foglalkozik a dinamikus rendszerek különböző állapottér-reprezentációival, ezek kapcsolatával, valamint az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalmával. A harmadik fejezetben tárgyaljuk a rendszerstabilitási kritériumokat, a minőségi tulajdonságokat, valamint a bizonytalansági modellezési elveket. A negyedik fejezet az LTI-rendszerek szintézisével foglalkozik. A klasszikus soros kompenzátor tervezés elvein túlmenően részletesen ismerteti az állapot visszacsatolásra épülő tervezési módszereket, valamint részletesen kitér a megfigyelő tervezésre is. Az elméleti módszerekhez számos példa és gyakorlati tervezési feladat kapcsolódik, melyek segítik a hallgatókat az Irányítástechnika tárgykörébe tartozó mérnöki ismeretek megszerzésében.
5 Tartalomjegyzék. Bevezetés 7 2. Mechatronikai rendszerek modellezése és elemzése Alapfogalmak Modellezés fizikai elvek alapján Newton-Lagrange modellezés Egy lineáris invariáns rendszer átviteli függvénye Példák a modellezésre Modellezés állapottérben Bevezetés az állapottér elméletbe Állapottér és átviteli függvény kapcsolata Irányíthatósági és diagonális állapottér reprezentációk Állapottér transzformációk Modellezés mért jelek alapján: modell identifikáció alapjai Rendszerdinamika elemzése időtartományban Példák a rendszerdinamika időtartományi elemzésére Rendszerdinamika elemzése frekvencia tartományban Alaptagok frekvenciafüggvényei Irányíthatóság és megfigyelhetőség Stabilitás, minőségi tulajdonságok és bizonytalanságok Stabilitásvizsgálat Rendszer stabilitása Zárt rendszer stabilitása Rendszerek minőségi jellemzőinek vizsgálata Érzékenységi függvény Aszimptotikus jelkövetés Zavarkompenzálás Bizonytalanságok modellezése P-K struktúra Modell bizonytalanság vizsgálata Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
6 6 TARTALOMJEGYZÉK Nem modellezett dinamika Parametrikus bizonytalanság M- struktúra Irányítástervezés frekvencia tartományban és állapottérben Soros kompenzátor tervezése Soros kompenzátor tervezési elve Robusztusság ellenőrzése PID szabályozás tervezése Zajszűrés Referenciajel súlyozás Beavatkozó telítődése Tuningolás, hangolás Pólusallokációs módszer A módszer elve és algoritmusa Példák a pólusallokációs módszerre Lineáris kvadratikus szabályozótervezés Az LQ módszer elve és algoritmusa Példák az LQ módszerre Pólusok és zérusok Jelkövető irányítástervezés Állapot szeparálás módszere Struktúra módosítás módszere Példák a jelkövető irányításra Megfigyelőtervezés Tervezési feladat Állapotmegfigyelő tervezése Illusztrációs példák Dinamikus állapotvisszacsatolás Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
7 . fejezet Bevezetés A jelen jegyzet a BME Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Karán oktatott Irányítástechnika II. c. tantárgyhoz készült. A jegyzet célja, hogy segítse a hallgatókat az előadási anyag elsajátításában és a gyakorlati feladatok megoldásában. A könyv szerkezeti felépítésében az egyetemi előadásokat és gyakorlatokat követi. A második fejezet részletesen bemutatja a lineáris időinvariáns (LTI) rendszerek analizísét. A fejezet különféle modellezési elveket ismeret, így a fizikai elvek alapján történő modellezésen kívül bevezet a mért jeleken alapuló modellezésbe is. Tárgyalja az idő- és frekvenciatartománybeli rendszerleirásokat tipikus bemenőjelekre. Részletesen foglalkozik a dinamikus rendszerek különböző állapottér-reprezentációival, ezek kapcsolatával, valamint az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalmával. A harmadik fejezetben tárgyaljuk a rendszerstabilitási kritériumokat, a minőségi tulajdonságokat, valamint a bizonytalansági modellezési elveket. A negyedik fejezet az LTI rendszerek szintézisével foglalkozik. A klasszikus soros kompenzátor tervezés elvein túlmenően részletesen ismerteti az állapot-visszacsatolásra épülő tervezési módszereket, valamint részletesen kitér a megfigyelőtervezésre is. Az elméleti módszerekhez számos példa és gyakorlati tervezési feladat kapcsolódik, melyek segítik a hallgatókat az Irányítástechnika tárgykörébe tartozó mérnöki ismeretek megszerzésében. Az érdeklődő hallgatóknak a következő könyvet ajánljuk még. Irodalom Bokor József és Gáspár Péter. Irányítástechnika jármudinamikai alkalmazásokkal. TypoTex Kiadó, 28. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
8 2. fejezet Mechatronikai rendszerek modellezése és elemzése 2.. Alapfogalmak Az irányítástechnika célja, hogy egy rendszer tulajdonságait elemezze és a rendszer viselkedését megadott szempontok szerint módosítsa. Rendszereknek általánosan az olyan absztrakt objektumokat nevezhetjük, amelyek az őt érő külső, környezetükből jövő hatásokra valamilyen válaszreakciót generálnak. Egy rendszer külső, ún. bemenő jelek, mint gerjesztések hatására válaszjeleket, ún. kimenő jeleket generál. A rendszert az 2. ábrán látható módon egy blokkal szemléltetjük, a bemenőjel u, a rendszer által generált válasz y. u(t) G y(t) 2.. ábra. Egy rendszer illusztrációja A rendszerek modellezése során különféle információkból indulunk ki, melyek forrásai elméleti és gyakorlati ismeretek, valamint feltevések lehetnek. Az egyes jelenségekről alkotott elméletek által szolgáltatott leírások, általában közönséges differenciálegyenletekkel formalizált modellek. A rendszerről megfigyelések és mérések által gyűjtött adatok összessége, az elméleti modellekben szereplő paraméterek értékének meghatározását jelenti. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
9 2.. ALAPFOGALMAK 9 A modellezésnek különféle céljai lehetnek, melyeknek a modellezés megoldásával összhangban kell állnia: a rendszerek tulajdonságainak, viselkedésének megértése (analízis), a rendszerek jövőbeli állapotának megjóslása (predikció), rendszertervezési feladatok megoldása (szintézis), rendszerek minősítése. Az elemzés célú modellezés során a fentiek szerint a rendszer viselkedésének minél pontosabb reprodukálása az irányadó. Ugyanakkor, ha a szintézis célú modellezést végzünk, akkor általában csak azok a rendszertulajdonságok érdekesek, amik az irányítási célt befolyásolják. Az alábbiakban felsoroljuk azokat a rendszerrel kapcsolatos jellemzőket amelyek teljesülését a továbbiakban feltételezzük:. Linearitás Egy lineáris rendszer működésére érvényes a szuperpozíció elve. A rendszert lineárisnak nevezzük, ha a rendszerre bemenőjelet adva a válaszfüggvény u = α u + β u 2 (2.) y = α y + β y 2. (2.2) A szuperpozíció elvéből következik, hogy lineáris matematikai modellek alakja csak a homogén, lineáris egyenlet, illetve egyenletrendszer lehet. 2. Időinvariancia Az időinvariancia fogalma azt jelenti, hogy a bemenőjelre adott válasz nem függ a bemenőjel alkalmazásának az időpontjától. Ha a rendszer időinvariáns, akkor egy τ időponttal késleltetett impulzusra ugyanazt a válasz függvényt adja τ időbeli eltolással. 3. Kauzalitás A rendszer kauzalitása azt jelenti, hogy a generált kimenőjel egy adott időpontban nem függ a bemenőjel jövőjétől. Továbbá, ha a a kimenőjel csak a bemenőjel múltjától függ, akkor a rendszert szigorúan kauzálisnak nevezzük. Az irányítási, szabályozási feladat megfogalmazásához egy praktikus megközelítés a hatásvázlat elkészítése. Ez a következő lépésekre bontható. Az irányítási hatásvázlat általános felépítése az 2.2 ábrán látható. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
10 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Megállapítjuk, hogy mi a szabályozni kívánt jellemző, továbbá mi a szabályozási cél. Megállapítjuk, hogy milyen jelet mérhetünk a visszacsatoláshoz, amely jelnek reprezentálnia kell a szabályozni kívánt jellemzőt. Beállítunk egy alapjelet, amellyel a visszacsatolt jelet összehasonlítjuk, majd különbséget képzünk. Ezt a jelet rendelkező jelnek nevezzük. A rendelkező jelet szükség szerint átalakítjuk, erősítjük, a rendszer bemenetére mint beavatkozó jelet visszük. szabályozó szabályozott rendszer zavaró jel alapjel rendel- kező jel C(s) bemenő jel G(s) kimenő jel szabályozott jellemző 2.2. ábra. Egy rendszer illusztrációja Az elemzés és tervezés során folytonos idejű modellekkel foglalkozunk, míg a realizációs részben eredményeinket kiterjesztjük diszkrét idejű modellekre. Egy folytonos idejű modell a rendszert vagy folyamatot leíró jellemzők, független és függő változók a vizsgált idő alatt bármelyik pillanatban vehetnek fel értéket: a bemeneti és kimeneti jelei egyaránt folytonos idejű jelek. A folytonos paraméterű modellekben a változók egy adott tartományon, értékhatáron belül bármilyen értéket felvehetnek. Egy diszkrét idejű modell a jellemzők csak adott, konkrét időpillanatokban vehetnek fel értékeket. Diszkrét paraméterű modellek esetén a változók csak meghatározott diszkrét értékeket vehetnek fel. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
11 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 2.2. Modellezés fizikai elvek alapján Newton-Lagrange modellezés A Lagrange módszer a rendszer modelljét általánosított elmozdulás és sebesség komponensekkel fogalmazza meg: d T (q, q) T (q, q) D( q) + + U(q) dt q q q q = f, (2.3) ahol T (q, q) kinetikai (mozgási) energia, U(q) potenciális (helyzeti) energia, D( q) disszipációs (csillapítás által elnyelt) energia, f külső erő. A kinetikus energia a sebességvektoron kívül a helyzetvektortól is függhet, míg a potenciális energia egyedül a helyzetvektortól függ. A kinetikus energia és a potenciális energia különbsége az úgynevezett Lagrange állapotfüggvényt adja meg: L(q, q) = T (q, q) U(q) (2.4) A Lagrange egyenlet felírható az egyes komponensekre bontott alakban is, azaz q i komponensre felírva: d T (q, q) T (q, q) D( q) + + U(q) = f i. (2.5) dt q i q i q i q i Példaként az 2.3 ábrán látható két tömegű lengőrendszer modelljét írjuk fel. A lengőrendszer komponensei: m s és m u tömegek, k t és k s rugók, valamint b s csillapítás. A rendszert w elmozdulás gerjeszti, ennek hatására a két tömeg elmozdulása q és q 2.. w. q 2. q k t m u b s m s k s 2.3. ábra. Kéttömegű lengőrendszer A megoldás első lépésében írjuk fel a Lagrange egyenlet komponenseit: Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
12 2 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Kinetikus energia egy tömegre: T = 2 F q = 2 m q q = 2 m q t qt alapján ezért a rendszer két tömegére: T = 2 m s q m u q 2 2, (2.6) Potenciális energia egy tömegre: U = F = k, ezért a rendszerre: 2 2 U = k s (q q 2 ) 2 2 Disszipációs energia a rendszerre: (q 2 w) 2 + k t, (2.7) 2 ( q q 2 ) 2 D = b s. (2.8) 2 A számítási műveletek az egyes komponensekre (q és q 2 ) bontott alakban a következők: d T d T = m s q, = m u q 2, dt q dt q 2 (2.9) T T =, =, q q 2 (2.) D = b s ( q q 2 ), D = b s ( q q 2 ), q q 2 (2.) U U = k s (q q 2 ), = k s (q q 2 ) + k t (q 2 w) q q 2 (2.2) A két tömegű lengőrendszer modellje a Lagrange egyenlet alapján : m s q = b s ( q q 2 ) k s (q q 2 ), (2.3) m u q 2 = b s ( q 2 q ) k s (q 2 q ) k t (q 2 w). (2.4) Megjegyezzük, hogy a Newtoni mechanikában a rendszer modelljét erő és nyomaték egyensúlyi egyenletekkel fogalmazzuk Newton törvényeinek felhasználásával Egy lineáris invariáns rendszer átviteli függvénye Egy rendszer modelljének leírása lineáris állandó együtthatós közönséges differenciál egyenlettel történik: d n y(t) dt n dy(t) a dt du(t) b u(t) + b dt + a y(t) = d m u(t) b m, (2.5) d m t Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
13 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 3 ahol a i, i =,..., n és b j, j =,..., m együtthatók konstansok, nem függnek az időtől. Vegyük a differenciálegyenlet L - transzformáltját zérus kezdeti feltételekkel. Ekkor a következő egyenlethez jutunk: (s n + a n s n a s + a )Y (s) = (b m s m +... b s + b )U(s), (2.6) ahol m n. A G(s) racionális törtfüggvényt a rendszer átviteli függvényének nevezzük. Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L - transzformáltjainak hányadosa. G(s) = Y (s) U(s) = b m s m b s + b s n + a n s n a s + a. (2.7) Az alábbiakban néhány alaptag átviteli függvényét írjuk fel. Arányos tagok: Az egyenletből hiányoznak a bemenőjel és kimenőjel differenciálhányadosai. y = Au Y = AU G = A. (2.8) Integráló tagok. Az egyenletben bemenőjel nulladik és a kimenőjel első differenciálhányadosa szerepel. T dy dt = u T sy = U G = T s (2.9) Differenciáló tagok: Az egyenletben kimenőjel nulladik és a bemenőjel első differenciálhányadosa szerepel. y = T du dt Y = T su G = T s (2.2) Tárolós tagok: Az egyenletben a kimenőjelnek annyiad rendű differenciálhányadosa szerepel, ahány energiatárolót tartalmaz a tag. Ez a tag biztosítja a rendszerben lévő további dinamikák formalizálását. Példák: dy y + T dt + T d 2 y 2 dt = Au G = A (2.2) 2 + T s + T 2 s 2 y + T dy dt = T 2 du dt G = T 2s + T s (2.22) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
14 4 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Holtidős tagok: Az egyenletben megjelenik egy tiszta T H időkésleltés. Az ún. nullatárolós holtidős (TH) tag egyenlete ahol T H a holtidő. Az eltolási tétel alapján azaz az átviteli függvény: y(t) = A H u(t T H ) (2.23) Y (s) = A H U(s)e st H, (2.24) G = A H e st H. (2.25) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
15 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN Példák a modellezésre 2.. Példa. Írjuk fel az 2.4 ábrán látható két rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer modelljét. A fizikai jellemzők adatai a következők: k = Ns/m, c = 3N/m, c 2 = 2N/m.. z. y k c 2 c. u 2.4. ábra. Két rugóból és csillapítóból álló rendszer Megoldás: A c 2 rugó hatása miatt a rugó előtti z elmozdulás nem azonos a rugó mögötti y elmozdulással. Emiatt a mechanikai rendszer erőegyensúlyi egyenletének felírásához egy z elmozdulást leíró segédváltozót vezetünk be a következőképpen: Alakítsuk át az egyenleteket Laplace transzformációval: c 2 (y z) = kż (2.26) c (u y) = c 2 (y z) (2.27) c 2 (Y Z) = ksz (2.28) c (U Y ) = c 2 (Y Z) (2.29) A kétismeretlenes egyenletrendszer mindegyikéből Z-t kifejezzük, majd felírjuk az U és Y közötti összefüggést: Az átviteli függvény: [ks(c + c 2 ) + c c 2 ] Y = (kc s + c c 2 )U (2.3) G = Y U = kc s + c c 2 = 3s + 6 ks(c + c 2 ) + c c 2 5s + 6 (2.3) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
16 6 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.2. Példa. Tekintsük a 2.5 ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modellt, melynek adatai a következők: m = 2kg, b = N s/m, k=9n/m. m y k b u 2.5. ábra. Gépjármű felfüggesztés modellje Megoldás: A rendszer differenciálegyenlete: Alakítsuk át az egyenleteket Laplace transzformációval: Az átviteli függvény: mÿ = b( u ẏ) + k(u y) (2.32) ms 2 Y = bsu bsy + ku ky (2.33) G = bs + k ms 2 + bs + k =.5s + 45 s 2 +.5s + 45 (2.34) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
17 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN Példa. Határozzuk meg az 2.6 ábrán látható áramkör u b bemenő feszültsége és u k kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt. R u b i C u k 2.6. ábra. Egyszerű villamos áramkör Megoldás: Az RC kör differenciálegyenletei: u b = Ri + C u k = C t t Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait: ( U b = R + sc idt (2.35) idt (2.36) ) I, (2.37) U k = I. (2.38) sc Az átviteli függvény (T = RC időállandó bevezetésével): G = U k U b = sc R + sc = + src = + st (2.39) 2.4. Példa. Határozzuk meg a 2.7 ábrán látható áramkör bemenő feszültsége és kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt. Megoldás: Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. Az RL kör differenciálegyenletei: u b = Ri + L di dt u k = L di dt (2.4) (2.4) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
18 8 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE R u b i L u k 2.7. ábra. Egyszerű villamos áramkör Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait: Az átviteli függvény: U b = (R + Ls) I, U k = LsI. (2.42) G = U k U b = ahol T = L/R az időállandó. Ls R + Ls = s L R + s L R = st + st (2.43) 2.5. Példa. Határozzuk meg a 2.8 ábrán látható áramkör bemenő feszültsége és kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt. R i C u b R 2 u k 2.8. ábra. Villamos áramkör Megoldás: Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
19 2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 9 Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. G = U k U b = R 2 R 2 + R k (2.44) ahol R k = R /( + sr C). Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét: G = R 2 R 2 + R /( + sr C) = R 2 + sr R 2 C R + R 2 + sr R 2 C = A + st + st 2 (2.45) ahol A = R 2 /(R + R 2 ), T = R C, T 2 = R R 2 C/(R + R 2 ) Példa. Határozzuk meg az 2.9 ábrán látható áramkör átviteli függvényét. R i C C 2 u b R 2 u k 2.9. ábra. Villamos áramkör Megoldás: G = U k U b = R 2 + sc 2 R 2 + sc 2 + R k (2.46) ahol R k = R /( + sr C ). Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét: G = R 2 + /(sc 2 ) R 2 + /(sc 2 ) + R )/( + sr C ) = + s(t + T 2 ) + s 2 T T 2 + s(t + T 2 + T 2 ) + s 2 T T 2 (2.47) ahol T = R C, T 2 = R 2 C 2, T 2 = R C 2 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
20 2 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.3. Modellezés állapottérben Bevezetés az állapottér elméletbe A rendszer állapota egy t időpontbeli információ (olyan jelek ismerete), amelyből az u(t), t t bemenőjel ismeretében a rendszer válasza minden t t időpontra meghatározható. A rendszer válasza a jövőbeli, t t időpontra vonatkozó állapotokat és a kimenőjeleket jelenti. A rendszer állapotait leíró jeleket, illetve ezek függvényeit, a rendszer állapotváltozóinak nevezzük. A rendszer- és irányításelméletbe a magyar származású híres tudós, Rudolf E. Kalman vezette be az általa kidolgozott LQR optimális irányítások elméletének kidolgozása kapcsán, ld. még [3, 2] Példa. Tekintsük az alábbi felfüggesztési rendszert. u erő hatására az m tömeg függőleges irányban (y) elmozdul. Írjuk fel az erő és az elmozdulás közötti kapcsolatot. Adatok: m = kg, k = 4 Ns m, c = 3 N m. u m y c k 2.. ábra. Lengőrendszer modellje Megoldás: A rendszer differenciálegyenlete: mÿ = kẏ cy + u, (2.48) ÿ = 4ẏ 3y + u. (2.49) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
21 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 2 Állapotváltozók megválasztásának egy természetes módja a következő: x = y, x 2 = ẏ. Állapotegyenletek: ẋ = ẏ = x 2 (2.5) ẋ 2 = ÿ = 4ẏ 3y + u = 4x 2 3x + u (2.5) y = x (2.52) Állapottér reprezentáció: ] [ ] [ ] [ẋ x = + ẋ x 2 y = [ ] [ ] x x 2 [ ] u (2.53) (2.54) Természetesen egy másik állapottér megválasztás is lehetséges. x = 3y, x 2 = 4ẏ. Állapotegyenletek: ẋ = 3ẏ = 3 4 x 2 (2.55) ẋ 2 = 4ÿ = 6ẏ 2y + 4u = 4x 2 4x + 4u (2.56) y = 3 x (2.57) Állapottér reprezentáció: ] [ ] [ ] [ẋ 3 x = 4 + ẋ x 2 y = [ ] [ ] x 3 x 2 [ ] u (2.58) 4 (2.59) Fentiek alapján a bemenőjelek és kimenőjel közötti kapcsolat állapottér reprezentációja többféle alakban felírható és az állapottér alakja nem egyértelmű. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
22 22 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az állapotegyenlet, mint egy elsőrendű differenciálegyenlet megoldása két lépésben történik. Előbb megoldjuk a homogén egyenletet, majd megkeressük az inhomogén egyenlet egy partikulártis megoldását. A homogén egyenlet alakja: az x() = x kezdeti feltétellel és megoldása: ẋ(t) = Ax(t), (2.6) x(t) = e At x, (2.6) ahol az e At mátrix-exponenciális függvényt a következőképpen értelmezzük: e At = I + At + A2 t 2 + A3 t 3 2! [ Például diagonál reprezentációknál e Adt (A 3! ] d R 2 2 ) e alakja: e Adt λ t = e λ. 2t Az inhomogén egyenlet alakja: ahol x() = x egyenlet megoldása a következő: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) (2.62) x(t) = e A(t τ) bu(τ)dτ. (2.63) A fentiek alapján az elsőrendű differenciálegyenlettel leírt állapotegyenlet megoldása: x(t) = e At x + e A(t τ) bu(τ)dτ (2.64) y(t) = c T x(t). (2.65) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
23 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Példa. Határozzuk meg a ] [ ] [ ] [ẋ x = rendszer válaszát egységugrás bemenet esetén. Megoldás:. lépés A homogén rész megoldása: A példában: (si A) = ẋ 2 x 2 [ ] u (2.66) ẋ = Ax (2.67) sx(s) x() = AX(s) (2.68) adj(si A) det(si A) = X(s) = (si A) x() (2.69) [ ] s s s 2 + 3s + 2 = [ s+3 s 2 +3s+2 2 s 2 +3s+2 s 2 +3s+2 s s 2 +3s+2 ] (2.7) A homogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik: [ ] [ ] [ ] x (t) 2e = t e 2t e t e 2t x () x 2 (t) 2e t + 2e 2t e t + 2e 2t (2.7) x 2 () 2. lépés Az inhomogén rész megoldása zérus kezdeti érték feltételezésével: A példában: (si A) adj(si A) bu(s) = det(si A) b s [ ] [ ] s s = s 3 + 3s 2 + 2s = ẋ = Ax + bu (2.72) sx(s) = AX(s) + bu(s) (2.73) X(s) = (si A) bu(s) (2.74) [ ] s s 3 + 3s 2 + 2s = [ ] s 3 +3s 2 +2s s 2 +3s+2 (2.75) Az inhomogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik: [ ] [ ] x (t).5 e = t +.5e 2t x 2 (t) e t e 2t (2.76) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
24 24 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE A teljes megoldás: [ ] [ ] [ ] [ ] x (t) 2e = t e 2t e t e 2t x ().5 e x 2 (t) 2e t + 2e 2t e t + 2e 2t + t +.5e 2t x 2 () e t e 2t Ha a kezdeti értékek zérusok, azaz x () = és x 2 () = : [ ] [ ] x (t).5 e = t +.5e 2t x 2 (t) e t e 2t (2.77) (2.78) Egy szimulációs vizsgálati eredményt mutat a 2. ábra. x x [sec] 2.. ábra. Átmeneti függvények zérus kezdeti értékekkel Ha a kezdeti értékek egységnyiek, azaz x () = és x 2 () = : [ ] [ ] x (t).5.5e = 2t + 2e t x 2 (t) 2e t + 3e 2t (2.79) Egy szimulációs vizsgálati eredményt mutat a 2.2 ábra. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
25 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 25.5 x x [sec] 2.2. ábra. Átmeneti függvények nem zérus kezdeti értékek esetén Állapottér és átviteli függvény kapcsolata Általánosan egy lineáris dinamikus rendszer állapottér reprezentációját a következő alakban írhatjuk: ẋ = Ax + bu (2.8) y = c T x, (2.8) Az állapottér reprezentáció alapján a rendszer átviteli függvényét a Laplace transzformáció alkalmazásával kapjuk meg: ebből Az állapot Laplace transzformáltja: sx(s) x() = AX(s) + bu(s), (2.82) (si A)X(s) = bu(s) + x(). X(s) = (si A) bu(s) + (si A) x(), (2.83) ahol x() a kezdő állapot t = időpontban. Az x() = feltétel mellett A G(s) átviteli függvény: Y (s) = c T X(s) = c T (si A) bu(s). (2.84) G(s) = Y (s) U(s) = ct (si A) b. (2.85) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
26 26 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az átviteli függvény pólusai tehát az egyenlet gyökei. det(si A) = (2.86) 2.9. Példa. Határozzuk meg az alábbi állapottér reprezentáció átviteli függvényét: [ ] [ ] 2 4 ẋ = x + u (2.87) y = [ 2 ] x (2.88) Megoldás: G = [ 2 ] [ ] [ ] s = s 2 s 2 + 2s + 4 (2.89) 2.. Példa. Határozzuk meg az alábbi állapottér reprezentáció átviteli függvényét: 4 ẋ = x + u (2.9) 2 y = [ ] x (2.9) Megoldás: G = [ ] s 4 s s + 2 = s 3 + 2s (2.92) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
27 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Irányíthatósági és diagonális állapottér reprezentációk Irányíthatósági alak Az irányíthatósági alakú állapottér reprezentáció a 2.3 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel: ẋ a 2 a a x ẋ 2 = x 2 + u (2.93) ẋ 3 x 3 y = [ ] x b 2 b b x 2 (2.94) x 3 b 2 b u ẋ ẋ 2 ẋ 3 x 3 y b a 2 a a 2.3. ábra. Az irányíthatósági alak illusztrációja Induljunk ki egy általános rendszerből, melynek átviteli függvényét az alábbi alakban fogalmaztuk meg: Y (s) = b(s) U(s), (2.95) a(s) ahol a(s) és b(s) polinomiális függvények, például b(s) = b s + b és a(s) = s 2 + a s + a. A bemenőjel Laplace transzformáltja U(s) és a kimenőjel Laplace transzformáltja Y (s) közötti kapcsolatot ekkor a következőképp írhatjuk: Y (s) = b(s)a (s)u(s). (2.96) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
28 28 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Vezessük be a ξ(s) változót az alábbi módon: Ekkor a bemenőjel és a kimenőjel Laplace transzformáltja: ξ(s) = a U(s). (2.97) Y (s) = b(s)ξ(s) = [b s + b ] ξ(s) és (2.98) U(s) = a(s)ξ(s) = [ s 2 + a s + a ] ξ(s). (2.99) Inverz Laplace transzformációval a differenciálegyenlet: y = b ξ + b ξ u = ξ + a ξ + a ξ (2.) Vezessük be a következő új változókat, amelyeket állapotváltozóknak nevezünk: x = ξ, x 2 = ξ. (2.) Figyelembe véve, hogy ẋ = ξ és ẋ 2 = ξ = x, az alábbi elsőrendű differenciál egyenletekhez jutunk, melyek az állapotdinamika egyenletrendszerét alkotják: ẋ = a x a x 2 + u (2.2) ẋ 2 = x (2.3) Az állapotváltozókból a rendszer kimenőjele a következőképp kapható meg. úgynevezett megfigyelési egyenlet. Ez az y = b x + b x 2 (2.4) Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ c = A c x c + b c u (2.5) y = c T c x c (2.6) ahol A c = [ a a ] [, b c = ], c T c = [ b b ]. Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben, hogy az irányíthatósági alak egyértelműségét. Induljunk ki az (2.5)-(2.6) kétállapotú általános leírásból. Az átviteli Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
29 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 29 függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt: G(s) = c T (si A) b = [ ] [ ] [ ] s + a b b a s [ ] [ ] [ ] s + a a b b adj s = [ ] s + a a det s [ ] [ ] [ ] s a b b s + a = s 2 + a s + a = b s + b s 2 + a s + a (2.7) Az átviteli függvény alapján jól látható, hogy az irányíthatósági alak egyértelműen felírható. Az A c mátrix első sorának elemei az átviteli függvény nevezőjének együtthatóiként, míg a c T c vektor elemei az átviteli függvény számlálójának együtthatóiként jelennek meg. Diagonális alak Az diagonális alakú állapottér reprezentáció a 2.4 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel: ẋ λ x r ẋ 2 = λ 2 x 2 + r 2 u (2.8) ẋ 3 λ 3 x 3 r 3 y = [ ] x c 2 c c x 2 (2.9) x 3 Tegyük fel, hogy adott egy rendszer kimenete átviteli függvényének parciális tört alakú felbontásával: Y (s) = b(s) [ a(s) U(s) = r + r ] 2 U(s), (2.) s λ s λ 2 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
30 3 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE ẋ x r c λ u ẋ 2 x 2 y r 2 c 2 λ 2 r 3 ẋ 3 λ 3 x 3 c ábra. A diagonális alak illusztrációja ahol λ, λ 2 az s 2 + a s + a = karakterisztikus egyenlet gyökei, r, r 2 pedig a λ, λ 2 gyökökhöz (a b(s)/a(s) átviteli függvény pólusaihoz) tartozó rezidumok: b s + b r = lim (s λ ) s λ (s λ )(s λ 2 ) = b λ + b λ λ 2 (2.) b s + b r 2 = lim (s λ 2 ) s λ2 (s λ )(s λ 2 ) = b λ 2 + b. λ 2 λ (2.2) Megjegyezzük, hogy ennél a felírásnál λ és λ 2 konvex pólusok is lehetnek. Vezessük be új változóként az X (s), X 2 (s) változókat, melyekre amiből az alábbi egyenletek írhatók fel: X (s) = r s λ U(s) (2.3) X 2 (s) = r 2 U(s) s λ 2 (2.4) Y (s) = X (s) + X 2 (s) (2.5) (s λ i )X i (s) = r i U(s) (2.6) sx i (s) = λ i X i (s) + r i U(s), i =, 2. (2.7) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
31 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 3 Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ d = A d x d + b d u (2.8) y = c T d x d, (2.9) ahol az (A d, b d, c T d ) jelölésben a d index az A d mátrix diagonális alakjára utal, [ λ A d = λ 2 ] [ r, b d = r 2 ], c T d = [ ]. Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben a diagonális alak egyértelműségét. Induljunk ki az (2.8)-(2.9) kétállapotú általános leírásból. Mivel sem b d sem c d alakjára nézve nincs megkötés, ezért ezeket válasszuk meg a következőképpen: [ ] r b d =, c T d = [ ] m m 2. r 2 Az átviteli függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt: G(s) = c T d (si A d ) b d = [ ] [ ] [ ] s λ m m r 2 s λ 2 r 2 [ ] [ ] [ ] s λ r m m 2 adj s λ 2 r 2 = [ ] s λ det s λ 2 [ ] [ ] [ ] s λ m m 2 r 2 s λ r 2 = s 2 (λ + λ 2 )s + λ λ 2 [ ] [ ] r m m (s λ 2 ) 2 r 2 (s λ ) = s 2 (λ + λ 2 )s + λ λ 2 = (m r + m 2 r 2 )s (m r λ m 2 r 2 λ ) (2.2) s 2 (λ + λ 2 )s + λ λ 2 Az átviteli függvény alapján látható, hogy a diagonális alak felírása nem egyértelmű. Habár az átvityeli függvény nevezője alapján A d egyértelműen felírható (a pólusok sorrenjének megválasztásától eltekintve), b d és c T d elemeinek megválasztása nem egyértelmű. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
32 32 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.. Példa. Írjuk fel az alábbi, átviteli függvényével adott rendszer állapottér reprezentációját irányíthatósági alakban: G = s 2 +.5s + 45 (2.2) Megoldás: Ha az átviteli függvény számlálója, akkor az irányíthatósági állapottér reprezentációhoz az állapotváltozókat y deriváltjai csökkenő rendje szerint kell megválasztani. Válasszuk meg a két állapotot a következőképpen: Az állapotok deriváltjai: A kimenőjel: Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ] [ ] [ ] [ẋ.5 45 x = + ẋ 2 x 2 y = [ ] [ ] x x 2 x = ẏ (2.22) x 2 = y (2.23) ẋ =.5x 45x 2 + u (2.24) ẋ 2 = x. (2.25) y = x 2. (2.26) [ ] u (2.27) (2.28) 2.2. Példa. Írjuk fel az alábbi, átviteli függvényével adott rendszer állapottér reprezentációját irányíthatósági alakban. G = 2s + s 2 + 2s + 3 (2.29) Megoldás: A bemenőjel deriváltjának megjelenése miatt az előző gondolatmenet nem alkalmazható közvetlenül. Vezessünk be egy új változót: Z = s 2 + 2s + 3 U (2.3) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
33 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 33 Inverz Laplace transzformációval: z = 2ż 3z + u (2.3) Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = ż és x 2 = z. Az állapotok deriváltjai: ẋ = z = 2x 3x 2 + u és ẋ 2 = ż = x. A kimeneti jel: y = 2ż + z = 2x + x 2. Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ] [ẋ = ẋ 2 [ 2 3 y = [ 2 ] [ x x 2 ] [ ] x + x 2 ] [ ] u (2.32) (2.33) 2.3. Példa. Határozzuk meg a 2.5 ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modelljét irányíthatósági alakban. Adatok: m = 2kg, b = N s/m, k=9n/m. Megoldás: A 2.2 példa megoldása alapján induljunk az átviteli függvény alakból: Vezessünk be egy új változót: G =.5s + 45 s 2 +.5s + 45 (2.34) Z = Inverz Laplace transzformációval: s 2 +.5s + 45 U (2.35) z =.5ż 45z + u (2.36) Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = ż és x 2 = z. Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = ż és x 2 = z. Az állapotok deriváltjai: ẋ = z =.5x 45x 2 + u és ẋ 2 = ż = x. A kimeneti jel: y =.5ż + 45z =.5x + 45x 2. Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ] [ẋ = ẋ 2 [.5 45 y = [.5 45 ] [ x x 2 ] [ ] x + x 2 ] [ ] u (2.37) (2.38) Megjegyezzük, hogy a témával kapcsolatban további példákat találni az irodalomban [, 6]. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
34 34 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Állapottér transzformációk Vizsgáljuk azt az esetet, amikor egy adott x állapotvektorból egy új x állapotvektort képezünk az alábbi módon: x = T x (2.39) ahol T R n n egy n n méretű nemszinguláris transzformációs mátrix, és x R n, x R n. Ha az x állapotvektor az (A, b, c T ) állapottér reprezentációhoz tartozik, azaz Határozzuk meg az x állapotvektor ẋ = Ax + bu (2.4) y = c T x, (2.4) x = Ā x + bu (2.42) y = c T x (2.43) egyenletekben szereplő (Ā, b, c T ) mátrixokat. Mivel x = T x, ezt behelyettesítve az állapotegyenletbe kapjuk, hogy azaz Állapottér reprezentációk közötti kapcsolat T x = AT x + bu (2.44) y = c T T x, (2.45) x = T AT x + T bu (2.46) y = c T T x, (2.47) Ā = T AT, (2.48) b = T b, (2.49) c T = c T T. (2.5) Az A és Ā mátrixok közötti fenti kapcsolatot hasonlósági transzformációnak nevezzük. Egy rendszer adott dimenziós állapottér reprezentációi egymásból hasonlósági transzformációval kaphatók. Az alábbiakban három speciális állapottér reprezentációt írunk fel. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
35 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 35 Irányíthatósági alak előállítása Az irányíthatósági alakú állapottér reprezentációt előállító transzformációs mátrix alakja: T c = (C n (A, b)τ(a)), (2.5) ahol n dimenziós állapottér esetén C n (A, b) az irányíthatósági mátrix: C n (A, b) = [ b Ab A 2 b..., ] és τ(a) egy n n dimenziós Toeplitz-mátrix: a n a n 2... a τ(a) = a n... a , amelynek elemei a karakterisztikus egyenlet együtthatói: det (si A) = s n + a n s n + a n 2 s n a s + a. Ekkor az irányíthatósági állapottéralak Diagonális alak előállítása A transzformációs mátrix alakja: Ā c = T c AT c, bc = T c b, c T c = c T T c. T d = (C n (A, b)τ(a)p n ), ahol P n egy n n dimenziós Vandermonde-mátrix: λ n λ n 2... λ n n... P n = λ 2 λ λ 2 n λ λ 2... λ n... A diagonális állapottér alak: Ā d = T d AT d, bd = T d b, c T d = c T T d. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
36 36 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Megfigyelhetőségi alak előállítása Az irányíthatósági alak és a megfigyelhetőségi alak felírási módja között a dualitás teremt kapcsolatot. A két állapottér ekvivalens alakjai: A o = A T c, (2.52) b o = c c, (2.53) c T o = b T c, (2.54) Vizsgáljuk meg az irányíthatósági és a megfigyelhetőségi alakok ekvivalenciáját. Írjuk fel az átviteli függvényt mindkét esetben egy kétállapotú állapottér reprezentáció esetére. Az irányíthatósági alakot (2.5) és (2.5) szerint vesszük: G(s) = [ ] [ s + a b b a s ] [ ] = b s + b s 2 + a s + a (2.55) Vizsgáljuk meg a megfigyelhetőségi alakot is. Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ o = A o x o + b o u (2.56) y = c T o x o (2.57) ahol A o = [ a a ] [ b, b o = b ], c T o = [ ]. Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben, hogy az irányíthatósági és a megfigyelhetőségi alakok ekvivalensek. Induljunk ki az (2.5)-(2.6) kétállapotú általános leírásból. Az átviteli függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
37 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 37 írjuk fel az átviteli függvényt: G(s) = c T (si A) b = [ ] [ ] [ ] s + a b a s b [ ] [ ] [ ] s + a b adj a s b = [ ] s + a det a s [ ] [ ] [ ] s b a s + a b = s 2 + a s + a = b s + b s 2 + a s + a (2.58) Az átviteli függvények alapján jól látható, hogy az irányíthatósági alak és a megigyelhetőségi alakok ekvivalensek Példa. Határozzuk meg az alábbi rendszer irányíthatósági alakját előállító transzformációs mátrixot. 2 4 A =, b = c T = [ ] (2.59) Megoldás Az irányíthatósági alak transzformációs mátrixa: T = (Cτ) ahol det (si A c ) = s 3 + 3s 2 + 2s + 4 C = [ b Ab A 2 b ] = 3 τ = 3 (2.6) T = (Cτ) = = (2.6) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
38 38 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az irányíthatósági alak: 2 4 A c =, b c =, c T c = [ 3 ]. (2.62) ahol A diagonális alakú állapottér reprezentációt előállító transzformációs mátrix alakja: T = (CτP) C = [ b Ab A 2 b ] a 2 a, τ = a 2, (2.63) λ 2 λ 2 2 λ 2 3 P = λ λ 2 λ 3 (2.64) és λ, λ 2, λ 3 az A mátrix sajátértékei (a rendszer pólusai) Példa. Határozzuk meg az alábbi rendszer diagonális alakját előállító transzformációs mátrixot. 6 A =, b = c T = [ ] (2.65) 6 Megoldás Az diagonális alak transzformációs mátrixa: T = (CτP) ahol det (si A c ) = s 3 + 6s 2 + s C = τ = 6 P = 2 3 (2.66) T = (CτP) = = 2 4 (2.67) A diagonális alak:.5 A d = 2, b c =, c T c = [ ]. (2.68) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
39 2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN Példa. Írja fel az alábbi állapottér reprezentációt megfigyelhetőségi alakban a dualitás elvének kihasználásával: [ ] [ ] 4 A =, b =, c T = [ ]. (2.69) 3 Megoldás Irányíthatósági alak: C = [ A Ab ] = [ 4 τ = [ ] (2.7) ], det(si A) = s 2 4s + 3 (2.7) T = Cτ = [ ], T = 4 [ ] 4 (2.72) A c = T AT = [ ] 4 3 b c = T b = [ ] c T c = [ 3 ] (2.73) A o = A T c = [ ] [ ] 4, b 3 o = c c =, c T o = b T c = [ ]. (2.74) 3 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
40 4 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.4. Modellezés mért jelek alapján: modell identifikáció alapjai A rendszer modelljének konstruálása a bemenőjelek és a kimenő jelek mért (mintavételezett) adatai alapján is történhet. Az eljárást modell identifikációnak nevezzük. A mért jelek közötti kapcsolat az alábbi alakban írható fel: y = G(q)u (2.75) ahol q az úgynevezett eltolás operátor, G(q) modell leírja a rendszer bemenete és kimenete közötti kapcsolatot, azaz a mintavételezett rendszer átviteli függvényét. u t G y t A D u k G(q) y k A D 2.5. ábra. Identifikálandó modell Egy zajjal terhelt lineáris időinvariáns rendszer modelljét mutatja a 2.6 ábra. A zajos rendszer modellje: y = G(q)u + e (2.76) ahol q eltolás operátor, e zaj (zavarás). A rendszeridentifikáció végrehajtása több lépésben történik. Ezekkel kapcsolatban további részleteket találni az irodalomban [8]. Bemenő és kimenő jelek mérése, mintavételezése, szűrése, feldolgozása (transzformációja). Modell struktúrájának becslése fizikai megfontolások alapján. Modell paramétereinek becslése. Modell ellenőrzése, tesztelése, validálása. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
41 2.4. MODELLEZÉS MÉRT JELEK ALAPJÁN: MODELL IDENTIFIKÁCIÓ ALAPJAI 4 u G(q) e + + y 2.6. ábra. Zajjal terhelt modell Diszkrét modell transzformálása folytonos alakra. A rendszermodell általános alakja: y(t) = G(q)u(t) + e(t) (2.77) ahol G(q) átviteli függvény és q az eltolás operátor. Például G(q) = B(q) A(q) (2.78) ahol A(q) és B(q) polinomok az eltolás operátor szerint a következő alakúak: ahol A modell ARX struktúrája A(q) = + a q + a 2 q a n q n (2.79) B(q) = b q + b 2 q b m q m (2.8) A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (2.8) B(q) = b q + b 2 q 2 (2.82) A(q) = + a q + a 2 q 2 (2.83) A modell struktúráját a kimenet korábbi kimeneteinek száma, a korábbi bemenetek száma és a bemenőjel eltolása határozza meg: y(t) + a y(t ) + a 2 y(t 2) = b u(t ) + b 2 u 2 (t 2) + e(t) (2.84) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
42 42 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE ahol a, a 2, b, b 2 a modell paraméterei. Átrendezve: y(t) = a y(t ) a 2 y(t 2)+ (2.85) + b u(t ) + b 2 u 2 (t 2) + e(t) (2.86) A modell alapján a kimenőjel t-edik értékére becslés adható: ŷ(t) = â y(t ) â 2 y(t 2) + ˆb u(t ) + ˆb 2 u(t 2) (2.87) Az előrejelzés hibája: minden t-re. Az n-edrendű ARX modell alakja: ɛ(t) = y(t) ŷ(t) (2.88) y(t) = a y(t ) a 2 y(t 2)... a n y(t n) (2.89) Vezessük be a következő jelölést: + b u(t ) + b 2 u(t 2) b n u(t n) + e(t) (2.9) φ(t) = [ y(t )... y(t n) u(t )... u(t n) ] T (2.9) θ = [ a... a n b... ] T b n (2.92) ahol φ a mért jelek, θ a paraméterek halmaza. A kimenőjel: y(t) = φ T (t)θ + e(t) (2.93) y(t + ) = φ T (t + )θ + e(t + ) (2.94)... (2.95) y(t + N) = φ T (t + N)θ + e(t + N) (2.96) A modell kompakt alakja: Y = Φθ + ɛ(n, θ) (2.97) ahol Y = [ y(t) y(t + )... y(t + N) ] T, (2.98) Φ = [ φ(t) φ(t + )... φ(t + N) ] T, (2.99) ɛ = [ e(t) e(t + )... e(t + N) ] T (2.2) θ = [ ] T a... a n b... b n (2.2) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
43 2.4. MODELLEZÉS MÉRT JELEK ALAPJÁN: MODELL IDENTIFIKÁCIÓ ALAPJAI 43 Az LS becslés azt a paramétervektort keresi, amelynél az ɛ(t) hiba négyzetösszege a legkisebb. Az LS kritériumot a következő alakban definiáljuk: J(θ) = ami skaláris szorzat alakban is felírható: N e(t, θ) 2 (2.22) t= J(θ) = ɛ(t, θ) T ɛ(t, θ) (2.23) ahol θ a paramétereket tartalmazó vektor. Az LS becslés egy optimalizáló eljárás, melynek során a paraméterbecslési eljárás eredményét a következő költségfüggvény minimalizálásával kapjuk: Az LS kritérium kifejtve: ˆθ = arg min θ J(θ) (2.24) J(θ) = ɛ T ɛ = (Y Φθ) T (Y Φθ) (2.25) A minimum parciális deriválttal számítható: = Y T Y θ T Φ T Y Y T Φθ + θ T Φ T Φθ (2.26) Az optimális megoldás: J(θ) = [ J θ i ] = 2Y T Φ + 2θ T Φ T Φ (2.27) Φ T Y = Φ T Φˆθ LS (2.28) ˆθ LS = (Φ T Φ) Φ T Y (2.29) amit az LS becslésre vonatkozó normálegyenletnek nevezzük. A gyakorlati alkalmazásokból ismert tény, hogy a becslési hiba az idő fügvényében egyre nagyobb értékeket vesz fel. Ezért a becslési hiba súlyozását is érdemes bevinni a kritériumba. N J(θ) = w(t)e(t, θ) 2 = ɛ(t, θ) T W ɛ(t, θ) (2.2) t= ahol w(k), illetve W súlyozó tényező. Abban a tartományban, ahol nagyra választjuk, a becslés pontosabb lesz, mint ahol kisebbre választjuk. A normálalak összefüggése a következőképpen változik. Φ T W Y = Φ T W Φˆθ W LS (2.2) ˆθ W LS = (Φ T W Φ) Φ T W Y (2.22) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
44 44 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Ezt a kifejezést a súlyozott LS becslésre vonatkozó normálegyenletnek nevezzük. A becsült modell validáció vizsgálatára a gyakorlatban elterjedt módszer a hiba statisztikai vizsgálata. Az identifikált modell tulajdonságait a rendszer tulajdonságaival való összehasonlítása. A vizsgálat mind idő, mind frekvenciatartományban elvégezhető Példa. Tegyük fel, hogy adott egy paramétereiben nem ismert másodfokú rendszer. A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (2.23) ahol n k = 2, A(q) = [.5.7 ] és B(q) = [ ]. Tegyük fel, hogy a 4 Input signal 3 Noise sec sec 4 Output signal sec 2.7. ábra. Mért bemenő és kimenő jelek másodfokú rendszer bemenő és kimenő jeleit T s =. sec lépésenként mérjük. A mért mintát illusztrálja a 2.7 ábra. Megoldás: A modellt s következő ARX struktúrában keressük: A(q)y = B(q)u + e (2.24) ahol B(q) = b q +b 2 q 2 és A(q) = +a q +a 2 q 2. A paraméterbecslést legkisebb négyzetes módszerrel hajtjuk végre. B(q) = [ ] (2.25) A(q) = [ ] (2.26) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
45 2.5. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE IDŐTARTOMÁNYBAN 45 4 Measured and predicted signals sec 2 Prediction error sec 2.8. ábra. Becslési hiba elemzése Kiszámítjuk az előrejelzett kimenetet és ezt a mért kimenethez hasonlítjuk. Elvégezzük a hiba kimenet (reziduál) elemzését. Hiba átlag: m =.55, szórás: σ =.98. A modell által generált jel és a mért jel illesztése az eltérés jelével együtt a 2.8 ábrán látható Rendszerdinamika elemzése időtartományban 2.. Definíció. Súlyfüggvény A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az ún. Dirac-delta függvényre adott válaszfüggvény segítségével is. A Dirac-delta függvényt a következőképp definiáljuk: {, ha t =, δ(t) = (2.27), ha t. ahol δ(t)dt =. (2.28) A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A súlyfüggvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény: y(t) = t δ(τ)u(t τ)dτ. (2.29) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
46 46 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.2. Definíció. A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az egységugrás függvényre adott válaszfüggvény segítségével is. Az egységugrás függvényt a következőképp definiáljuk: {, ha t, (t) = (2.22), ha t <. Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. Az átmeneti függvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény: y(t) = t (τ)u(t τ)dτ. (2.22) A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A Dirac-delta függvény (u(t) = δ(t)) Laplace transzformáltja: U(s) =. Emiatt Y (s) = G(s)U(s) = G(s). y(t) = L [G(s)] (2.222) Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. A egységugrás függvény (u(t) = (t)) Laplace transzformáltja: U(s) = s. Emiatt Y (s) = G(s)U(s) = s G(s). y(t) = L [ s G(s) ] (2.223) Példák a rendszerdinamika időtartományi elemzésére 2.8. Példa. Tekintsük a 2.4 ábrán látható két rugóból és csillapító kamrából álló rendszert. Adatok: k = Ns m, c = 3 N m, c 2 = 2 N m G = Átmeneti függvény számítása kc s + c c 2 = + 5s ks(c + c 2 ) + c c s (2.224) 3 Y = s G = + 5s s( s) (2.225) Az átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával kiszámítható és 2.9 ábra szerint felrajzolható: v = lim s + 5s + lim s s( s)est =.4 e.2t s 3 25 (s ) + 5s 25 s( s)est Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
47 2.5. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE IDŐTARTOMÁNYBAN 47 Átmeneti függvény Time [sec] 2.9. ábra. Az átmeneti függvény illusztrációja. y. u k m c 2.2. ábra. Lengőrendszer modellje 2.9. Példa. Írjuk fel a 2.2 ábrán látható tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer átviteli függvényét. Az átviteli függvény Laplace transzformációval: G = c ms 2 + ks + c = c m s 2 + k m s + c m (2.226) Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: p,2 = k ± k 2 c. Súlyfüggvény számítása 2m 4m 2 m c m w(t) = lim (s p ) s p (s p )(s p 2 ) est c m + lim (s p 2 ) s p2 (s p )(s p 2 ) est, c m = e pt p p 2 c m p p 2 e p 2t. (2.227) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
48 48 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Komplex pólusok esetén (p = α + iβ és p 2 = α iβ) további számítások szükségesek: w(t) = c m 2iβ eαt (e iβt e iβt ) = c mβ eαt sin(βt) (2.228) Kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó e φt Átmeneti függvény számítása: = cosφ + isinφ Euler összefüggést. v(t) = lim s s s + lim s p (s p ) s c m (s p )(s p 2 ) est c m (s p )(s p 2 ) est c m + lim (s p 2 ) s p2 s (s p )(s p 2 ) est c c m m = + p p 2 p (p p 2 ) ep t c m p 2 (p p 2 ) ep 2t (2.229) Komplex pólusok esetén (p = α + iβ és p 2 = α iβ) további számítások szükségesek: v(t) = = c m α 2 + β 2 + c m α 2 + β 2 c m c m 2iβ(α + iβ) eαt e iβt 2iβ(α iβ) eαt e iβt c m α 2 + β 2 eαt cosβt + c m α 2 + β 2 α β eαt sinβt. (2.23) Komplex pólusok esete: Adatok: m = kg, k = Ns, c = 3 N. Két komplex m m konjugált pólus van: a p = i és p 2 =.5.65i. A súlyfüggvény és átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával számítható: w =.88e.5t sin(.65t) (2.23) v =.3e.5t sin(.65t) e.5t cos(.65t) (2.232) Valós pólusok esete. Adatok: m = kg, k = 4 Ns, c = 3 N. Valós pólusai m m vannak: p = 3 és p 2 =. A súlyfüggvény és átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával számítható: w =.5e t.5e 3t (2.233) v =.5e t +.5e 3t (2.234) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME
Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi
Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika a Alapfogalmak, modellezési elvek. Irányítástechnika Budapest, 2009 2 Az előadás szerkezete a 1. 2. módszerei 3.
RészletesebbenBevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk
Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok
RészletesebbenTartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás
Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
Részletesebbenpont) Írja fel M struktúrában a parametrikus bizonytalansággal jellemzett
Irányításelmélet MSc (Tipikus példák) Gáspár Péter 1. Egyértelmű-e az irányíthatósági állapottér reprezentáció? Egyértelműe a diagonális állapottér reprezentáció? 2. Adja meg az állapotmegfigyelhetőség
RészletesebbenIrányítástechnika II. előadásvázlat
Irányítástechnika II. előadásvázlat Dr. Bokor József egyetemi tanár, az MTA rendes tagja BME Közlekedés- és Járműirányítási Tanszék 2018 1 Tartalom Irányítástechnika II. féléves tárgytematika Az irányításelmélet
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Rendszer és irányításelmélet Rendszerek idő és frekvencia tartományi vizsgálata Irányítástechnika Budapest, 29 2 Az előadás felépítése
RészletesebbenHa ismert (A,b,c T ), akkor
Az eddigiekben feltételeztük, hogy a rendszer állapotát mérni tudjuk. Az állapot ismerete szükséges az állapot-visszacsatolt szabályzó tervezéséhez. Ha nem ismerjük az x(t) állapotvektort, akkor egy olyan
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika rendszerek Irányítástechnika Budapest, 2008 2 Az előadás felépítése 1. 2. 3. 4. Irányítástechnika Budapest, 2008
RészletesebbenSegédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból
Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból 1 Átviteli tényező számítása: Lineáris rendszer: Pl1.: Egy villanymotor 100V-os bemenő jelre 1000 fordulat/perc kimenő jelet ad.
RészletesebbenIrányítástechnika 2. előadás
Irányítástechnika 2. előadás Dr. Kovács Levente 2013. 03. 19. 2013.03.19. Tartalom Tipikus vizsgálójelek és azok információtartalma Laplace transzformáció, állapotegyenlet, átviteli függvény Alaptagok
RészletesebbenHurokegyenlet alakja, ha az áram irányával megegyező feszültségeséseket tekintjük pozitívnak:
Első gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjünk Matlab-SIMULINK szoftverrel és annak segítségével sajátítsuk el az Automatika c. tantárgy gyakorlati tananyagát. Ezen a gyakorlaton ismertetésre kerül
RészletesebbenSzámítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7.
Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs
RészletesebbenFOLYAMATIRÁNYÍTÁSI RENDSZEREK
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Vegyészmérnöki és Biomérnöki Kar Kémiai és Környezeti Folyamatmérnöki Tanszék Írta: MIZSEY PÉTER Lektorálta: BÉKÁSSYNÉ MOLNÁR ERIKA FOLYAMATIRÁNYÍTÁSI RENDSZEREK
RészletesebbenIrányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar Irányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás Jelen gyűjtő munkát készítette Fölföldi Konrád,
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenNégypólusok tárgyalása Laplace transzformációval
Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval Segédlet az Elektrotechnika II. c. tantárgyhoz Összeállította: Dr. Kurutz Károly egyetemi tanár Szászi István egyetemi tanársegéd . Laplace transzformáció
RészletesebbenSzámítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9.
Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs
RészletesebbenSzámítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8.
Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 5. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenSzámítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet
Számítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet 2. gyakorlat Feladattípusok két függvény konvolúciója ÿ + aẏ + by = e at, y(), ẏ() típusú kezdetiérték feladatok megoldása (Laplace transzformációval)
RészletesebbenMárkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF -
Márkus Zsolt markus.zsolt@qos.hu Tulajdonságok, jelleggörbék, stb. 1 A hatáslánc részegységekből épül fel, melyek megvalósítják a jelátvitelt. A jelátviteli sajátosságok jellemzésére (leírására) létrehozott
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenL-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.
Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet
RészletesebbenIrányításelmélet és technika I.
Irányításelmélet és technika I Folytonos idejű rendszerek leírása az állapottérben Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki
RészletesebbenTartalom. Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák
Tartalom Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák 215 1 Tervezési célok Szabályozó tervezés célja Stabilitás biztosítása
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 3. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS Dr. Soumelidis Alexandros 2019.03.13. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT
RészletesebbenSzámítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?
Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?adás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs
RészletesebbenIrányításelmélet és technika II.
Irányításelmélet és technika II. Legkisebb négyzetek módszere Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 200 november
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Részletesebben"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 3. MÉRÉSFELDOLGOZÁS
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 3. MÉRÉSFELDOLGOZÁS Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.04. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG Mérés-feldolgozás
RészletesebbenMECHATRONIKA Mechatronika alapképzési szak (BSc) záróvizsga kérdései. (Javítás dátuma: )
MECHATRONIKA 2010 Mechatronika alapképzési szak (BSc) záróvizsga kérdései (Javítás dátuma: 2016.12.20.) A FELKÉSZÜLÉS TÉMAKÖREI A számozott vizsgakérdések a rendezett felkészülés érdekében vastag betűkkel
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenSoros felépítésű folytonos PID szabályozó
Soros felépítésű folytonos PID szabályozó Főbb funkciók: A program egy PID szabályozót és egy ez által szabályozott folyamatot szimulál, a kimeneti és a beavatkozó jel grafikonon való ábrázolásával. A
RészletesebbenTörténeti Áttekintés
Történeti Áttekintés Történeti Áttekintés Értesülés, Információ Érzékelő Ítéletalkotó Értesülés, Információ Anyag, Energia BE Jelformáló Módosító Termelőeszköz Folyamat Rendelkezés Beavatkozás Anyag,
RészletesebbenInverz inga irányítása állapot-visszacsatolással
Inverz inga irányítása állapot-visszacsatolással Segédlet az Irányítástechnika c. tantárgyhoz Összeállította: Dr. Bokor József, egyetemi tanár Dr. Gáspár Péter, tanszékvezető egyetemi tanár Dr. Szászi
RészletesebbenMechatronika alapjai órai jegyzet
- 1969-ben alakult ki a szó - Rendszerek és folyamatok, rendszertechnika - Automatika, szabályozás - számítástechnika Cd olvasó: Dia Mechatronika alapjai órai jegyzet Minden mechatronikai rendszer alapstruktúrája
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenJelek és rendszerek - 4.előadás
Jelek és rendszerek - 4.előadás Rendszervizsgálat a komplex frekvenciatartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika jellemzőinek Rendszerek stabilitása és minőségi jellemzői. Soros kompenzátor. Irányítástechnika Budapest, 29 2 Az
RészletesebbenSzámítógépvezérelt szabályozások elmélete
Számítógépvezérelt szabályozások elmélete Folytonos idejű rendszerek Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Számítógépvezérelt szabályozások
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenIrányításelmélet és technika II.
Irányításelmélet és technika II. Modell-prediktív szabályozás Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010 november
RészletesebbenÁllapottér modellek tulajdonságai PTE PMMK MI BSc 1
Állapottér modelle tulajdonságai 28..22. PTE PMMK MI BSc Kalman-féle rendszer definíció Σ (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) T az időhalmaz X a lehetséges belső állapoto halmaza U a lehetséges bemeneti értée halmaza
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenMINTA Írásbeli Záróvizsga Mechatronikai mérnök MSc. Debrecen,
MINTA Írásbeli Záróvizsga Mechatronikai mérnök MSc Debrecen, 2017. 01. 03. Név: Neptun kód: Megjegyzések: A feladatok megoldásánál használja a géprajz szabályait, valamint a szabványos áramköri elemeket.
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 2. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenInverz Laplace-transzformáció. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. Definíció: Ha
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat Irányítási rendszerek szintézise
Számítógépes gyakorlat Irányítási rendszerek szintézise Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel.
25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel. A gerjesztı jelek hálózatba történı be- vagy kikapcsolása után átmeneti (tranziens) jelenség játszódik le. Az állandósult (stacionárius)
RészletesebbenReichardt András okt. 13 nov. 8.
Példák és feladatok a Hálózatok és rendszerek analízise 2. tárgyhoz Reichardt András 2003. okt. 3 nov. 8. . fejezet Komplex frekvenciatartománybeli analízis Az alábbiakban a komplex frekvenciatartományban
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 21. A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. A módszer alkalmazásának feltételei:
RészletesebbenJelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék
Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 4. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenHaszongépj. Németh. Huba. és s Fejlesztési Budapest. Kutatási. Knorr-Bremse. 2004. November 17. Knorr-Bremse 19.11.
Haszongépj pjármű fékrendszer intelligens vezérl rlése Németh Huba Knorr-Bremse Kutatási és s Fejlesztési si Központ, Budapest 2004. November 17. Knorr-Bremse 19.11.2004 Huba Németh 1 Tartalom Motiváció
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 5.
Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenLTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai
Diszkrét és hibrid diagnosztikai és irányítórendszerek LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai Hangos Katalin Közlekedésautomatika Tanszék Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratórium
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenÁtmeneti jelenségek egyenergiatárolós áramkörökben
TARTALOM JEGYZÉK 1. Egyenergiatárolós áramkörök átmeneti függvényeinek meghatározása Példák az egyenergiatárolós áramkörök átmeneti függvényeinek meghatározására 1.1 feladat 1.2 feladat 1.3 feladat 1.4
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenBevezetés. Rendszer- és irányításelmélet
Bevezetés Könyvünk az irányításelmélet és az irányítástervezés, valamint a megvalósítás kérdéseivel foglalkozik. Az elméleti és módszertani kérdéseken túl kiemelt alkalmazási területként a földi és légi
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Részletesebben1. Az előző előadás anyaga
. Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton
RészletesebbenDIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK Példa: elsőrendű állandó e.h. lineáris differenciaegyenlet Ennek megoldása: Kezdeti feltétellel: Kezdeti feltétel nélkül ha 1 és a végtelen összeg (abszolút) konvergens: / 1 Minden
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenDiszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban
Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;
RészletesebbenFODOR GYÖRGY JELEK ÉS RENDSZEREK
FODOR GYÖRGY JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, 2006 Előszó A valóságos fizikai, kémiai, műszaki, gazdasági folyamatokat modellek segítségével írjuk le. A modellalkotás során leegyszerűsítjük
Részletesebben