Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9."

Átírás

1 Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar PPKE-ITK, április 25. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 1 / 36

2 Tartalom 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 2 / 36

3 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 3 / 36

4 LQR: problémafelvetés Adott egy (MIMO) LTI állapottér-modell ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), x(0) = x 0 y(t) = Cx(t) egy funkcionál (szabályozási cél) J(x,u) = 1 2 T ahol Q T = Q, Q > 0 és R T = R, R > 0. 0 [x T (t)qx(t)+u T (t)ru(t)]dt Kiszámítandó beavatkozás: {u(t), t [0, T]}, amellyel J minimális az állapottér-modell megoldásai mentén (megszorítás) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 4 / 36

5 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 5 / 36

6 Variációszámítás 1 Probléma: Minimalizáljuk u-ra: J(x,u) = T 0 F(x,u,t)dt feltétel: ẋ = f(x,u,t). Megoldás: vektor Lagrange-multiplikátorokkal λ(.) J(x,ẋ,u) = T Hamilton-függvény H = F +λ T f. 0 [F(x,u,t) +λ T (t)(f(x,u,t) ẋ)]dt J = T 0 [H λ T ẋ]dt Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 6 / 36

7 Variációszámítás 2 ẋ parciális integrálással elmininálható [λ T x] T 0 = T 0 T λ T x + λ T ẋ 0 ekkor J = T 0 [H λt ẋ]dt-ból kapjuk: x és u variációja: J = [λ T x] T 0 + T 0 [H + λ T x]dt x(t) x(α,t) = x(t)+αη(t) u(t) u(β,t) = u(t)+βγ(t) Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 7 / 36

8 Euler-Lagrange egyenletek 1 Kritériumfüggvény: I(α,β) = [λ T (t)x(α,t)] T T 0 x-hez és u-hoz I szélsőértéke tartozik, ha [H(x(α,t),u(β,t),t) + λ T (t)x(α,t)]dt I T α = I β = I α = 0, I β = 0 0 T 0 [ ] H x + λ T (t) η(t)dt = 0 H u γ(t)dt Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 8 / 36

9 Euler-Lagrange egyenletek 2 Euler-Lagrange egyenletek H x + λ T = 0 H u = 0 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 9 / 36

10 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 10 / 36

11 LQR Euler-Lagrange egyenletek Euler-Lagrange egyenletek a H = F +λ T f Hamilton-függvénnyel: H x + λ T = 0, H u = 0 LTI rendszerekre: f = Ax + Bu F = 1 2 (xt Qx + u T Ru) H = 1 2 (xt Qx + u T Ru)+λ T (Ax + Bu) LQR Euler-Lagrange egyenletek: x (xt Qx) = 2x T Q λ T + x T Q +λ T A = 0, λ T (T) = 0 u T R +λ T B = 0 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 11 / 36

12 Állapotok és társ-állapotok dinamikája Átrendezett Euler-Lagrange egyenletek λ+qx + A T λ = 0 u = R 1 B T λ Állapotegyenlet: ẋ = Ax(t)+Bu(t), x(0) = x 0 Mátrix-vektor alak [ ] [ ẋ(t) A BR = 1 B T λ(t) Q A T ][ x(t) λ(t) ], x(0) = x 0 λ(t) = 0 Rendszerdinamika + Hammerstein társ-állapot diff.e. Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 12 / 36

13 LQR: irányítható&megfigyelhető eset Lemma * Ha (A, B) irányítható, akkor λ(t) = K(t)x(t), K(t) R n n A módosított állapot- és társ-állapot-egyenletek λ+qx + A T λ = 0 Kx + Kẋ = A T Kx Qx u = R 1 B T λ u = R 1 B T Kx ẋ = Ax + Bu ẋ = Ax BR 1 B T Kx Kx + K[A BR 1 B T K]x + A T Kx + Qx = 0 x(t). Mátrix Riccati differenciálegyenlet K(t)-re K + KA+A T K KBR 1 B T K + Q = 0 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 13 / 36

14 Stacionárius eset Speciális eset: stacionárius megoldás T J = 0 (x T Qx + u T Ru)dt lim K(t) = K i.e. K = 0 t Control Algebraic Riccati Equation (CARE) KA+A T K KBR 1 B T K + Q = 0 Tétel: (R. Kalman) Ha (A,B) irányítható, akkor a CARE-nak egyértelmű pozitív definit szimmetrikus megoldása van (K). Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 14 / 36

15 LQR és tulajdonságai Megoldás: lineáris statikus teljes állapotvisszacsatolás u 0 (t) = R 1 B T Kx(t) = Gx(t) ahol G = R 1 B T K. Zárt kör dinamikája ẋ = Ax BR 1 B T Kx = (A BG)x, x(0) = x 0 A zárt kör tulajdonságai a zárt kör aszimptotikusan stabil függetlenül A,B,C,R,Q értékétől, azaz Re λ i (A BG) < 0, i = 1,2,...,n a zárt kör pólusai Q és R megválasztásától függnek Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 15 / 36

16 1 Optimális szabályozás: problémafelvetés 2 Variációszámítási alapok 3 Az LQR probléma megoldása 4 Példák Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 16 / 36

17 1. Példa: az RLC-kör szabályozása Rendszer: RLC kör. A nyitott kör (u = 0V ) válasza x(0) = [1 1] T kezdeti érték esetén. (Pólusok: 5 ± i) 1.5 i [A] u C [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 17 / 36

18 1. Példa: az RLC-kör szabályozása Q = [ ], R = 0.1 Visszacsatolási erősítés: G = [2.9539, ] A zárt kör (A BG) pólusai: λ 1 = , λ 2 = Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 18 / 36

19 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A zárt kör működése i [A] u C [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 19 / 36

20 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A szabályozó által generált bemenet 1 u be 0 1 feszültség [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 20 / 36

21 1. Példa: az RLC-kör szabályozása Q = [ ], R = 1 Visszacsatolási erősítés: G = [0.6818, ] A zárt kör (A BG) pólusai: λ 1,2 = 8.409±8.409i Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 21 / 36

22 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A zárt kör működése i [A] u C [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 22 / 36

23 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A szabályozó által generált bemenet 0.2 u be feszültség [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 23 / 36

24 1. Példa: az RLC-kör szabályozása Q = [ ], R = 10 Visszacsatolási erősítés: G = [0.0944, ] A zárt kör (A BG) pólusai: λ 1,2 = ±8.6568i Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 24 / 36

25 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A zárt kör működése 1.5 i [A] u C [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 25 / 36

26 1. Példa: az RLC-kör szabályozása A szabályozó által generált bemenet 0.04 u be feszültség [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 26 / 36

27 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Szabályozandó rendszer: egyenáramú motor Paraméterek: J tehetetlenségi nyomaték 0.01 kg m 2 /s 2 b csillapítási tényező 0.1 Nm s K elektromotoros erő tényező Nm/A R ellenállás 1 ohm L induktivitás 0.5 H állapotváltozók, bemenet, kimenet: x 1 = θ szögsebesség [rad/s] x 2 = i átfolyó áram [A] u bemenő feszültség [V] y = x 1 Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 27 / 36

28 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Állapottér-modell: [ ẋ1 ẋ 2 ] [ b = J K L y = [ 1 0 ][ x 1 x 2 K J R L ] ][ x1 x 2 ] +[ 0 1 L ] u Pólusok: , Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 28 / 36

29 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása A szabályozatlan rendszer működése u(t) = 5V bemenetre: 5 x 1 x x idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 29 / 36

30 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Állapotmegfigyelő tervezése Az állapotmegfigyelő előírt pólusai: -15, -16 ("gyorsabbak" az eredeti rendszer pólusainál) Az L mátrix értéke: [ ] 19 L = Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 30 / 36

31 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Stabilizáló állapotvisszacsatolás tervezése A tervezendő LQR szabályozó paraméterei: [ ] Q =, R = A kapott visszacsatolási erősítés: G = [ ] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 31 / 36

32 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Az állapotbecslővel kombinált stabilizáló visszacsatolás viselkedése A szabályozó által generált bementi feszültség: u [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 32 / 36

33 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása A visszacsatolt rendszer állapotváltozói x 3.5 x 1 x idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 33 / 36

34 2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Az állapotbecslő működése x x 1 (tényleges) x 1 (becsült) x 2 (tényleges) x 2 (becsült) idö [s] Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 34 / 36

35 3. Példa: Inverz inga szabályozása A súlyozómátrixok (tervezési paraméterek): A kiszámított visszacsatolási erősítés: Q = I 4 4, R = 1 G = [ ] A zárt rendszer sajátértékei: λ = i i Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 35 / 36

36 3. Példa: Inverz inga szabályozása A szabályozó működése: ipend_lq_1.avi Szederkényi G. (PPKE) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 36 / 36

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el? Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?adás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás

Részletesebben

Irányításelmélet és technika I.

Irányításelmélet és technika I. Irányításelmélet és technika I Folytonos idejű rendszerek leírása az állapottérben Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki

Részletesebben

LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai

LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai Diszkrét és hibrid diagnosztikai és irányítórendszerek LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai Hangos Katalin Közlekedésautomatika Tanszék Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratórium

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet

Részletesebben

Irányítástechnika 2. előadás

Irányítástechnika 2. előadás Irányítástechnika 2. előadás Dr. Kovács Levente 2013. 03. 19. 2013.03.19. Tartalom Tipikus vizsgálójelek és azok információtartalma Laplace transzformáció, állapotegyenlet, átviteli függvény Alaptagok

Részletesebben

Irányításelmélet és technika II.

Irányításelmélet és technika II. Irányításelmélet és technika II. Modell-prediktív szabályozás Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010 november

Részletesebben

Irányításelmélet és technika II.

Irányításelmélet és technika II. Irányításelmélet és technika II. Legkisebb négyzetek módszere Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 200 november

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Állapottér modellek tulajdonságai PTE PMMK MI BSc 1

Állapottér modellek tulajdonságai PTE PMMK MI BSc 1 Állapottér modelle tulajdonságai 28..22. PTE PMMK MI BSc Kalman-féle rendszer definíció Σ (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) T az időhalmaz X a lehetséges belső állapoto halmaza U a lehetséges bemeneti értée halmaza

Részletesebben

Dr. Gyurcsek István. Példafeladatok. Helygörbék Bode-diagramok HELYGÖRBÉK, BODE-DIAGRAMOK DR. GYURCSEK ISTVÁN

Dr. Gyurcsek István. Példafeladatok. Helygörbék Bode-diagramok HELYGÖRBÉK, BODE-DIAGRAMOK DR. GYURCSEK ISTVÁN Dr. Gyurcsek István Példafeladatok Helygörbék Bode-diagramok 1 2016.11.11.. Helygörbe szerkesztése VIZSGÁLAT: Mi a következménye annak, ha az áramkör valamelyik jellemző paramétere változik? Helygörbe

Részletesebben

Matematika A3 1. ZH+megoldás

Matematika A3 1. ZH+megoldás Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő

Részletesebben

Gyártórendszerek irányítási struktúrái

Gyártórendszerek irányítási struktúrái GyRDin-10 p. 1/2 Gyártórendszerek Dinamikája Gyártórendszerek irányítási struktúrái Hangos Katalin Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: hangos@scl.sztaki.hu GyRDin-10 p. 2/2 Tartalom

Részletesebben

IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II.

IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II. IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II. A projekt címe: Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés A megvalósítás érdekében létrehozott konzorcium résztvevői: KECSKEMÉTI FŐISKOLA BUDAPESTI MŰSZAKI

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Mechatronika alapjai órai jegyzet

Mechatronika alapjai órai jegyzet - 1969-ben alakult ki a szó - Rendszerek és folyamatok, rendszertechnika - Automatika, szabályozás - számítástechnika Cd olvasó: Dia Mechatronika alapjai órai jegyzet Minden mechatronikai rendszer alapstruktúrája

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

Elektromechanikai rendszerek szimulációja

Elektromechanikai rendszerek szimulációja Kandó Polytechnic of Technology Institute of Informatics Kóré László Elektromechanikai rendszerek szimulációja I Budapest 1997 Tartalom 1.MINTAPÉLDÁK...2 1.1 IDEÁLIS EGYENÁRAMÚ MOTOR FESZÜLTSÉG-SZÖGSEBESSÉG

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. Az előző előadás anyaga

1. Az előző előadás anyaga . Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton

Részletesebben

Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox

Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges

Részletesebben

Érzékelők és beavatkozók

Érzékelők és beavatkozók Érzékelők és beavatkozók DC motorok 1. rész egyetemi docens - 1 - Főbb típusok: Elektromos motorok Egyenáramú motor DC motor. Kefenélküli egyenáramú motor BLDC motor. Indukciós motor AC motor aszinkron

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5. Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához

Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához Gerzson Miklós 2015. december 8. 2 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. Kötelező kérdések 7 1.1. Kötelező kérdések a Kalman-féle

Részletesebben

Kovács Ernő 1, Füvesi Viktor 2

Kovács Ernő 1, Füvesi Viktor 2 Kovács Ernő 1, Füvesi Viktor 2 1 Miskolci Egyetem, Elektrotechnikai - Elektronikai Tanszék 2 Miskolci Egyetem, Alkalmazott Földtudományi Kutatóintézet 1 HU-3515 Miskolc-Egyetemváros 2 HU-3515 Miskolc-Egyetemváros,

Részletesebben

PILÓTANÉLKÜLI REPÜLŐGÉP REPÜLÉSSZABÁLYOZÓ RENDSZERÉNEK ELŐZETES MÉRETEZÉSE. Bevezetés. 1. Időtartománybeli szabályozótervezési módszerek

PILÓTANÉLKÜLI REPÜLŐGÉP REPÜLÉSSZABÁLYOZÓ RENDSZERÉNEK ELŐZETES MÉRETEZÉSE. Bevezetés. 1. Időtartománybeli szabályozótervezési módszerek Szabolcsi Róbert Szegedi Péter PILÓTANÉLÜLI REPÜLŐGÉP REPÜLÉSSZABÁLYOZÓ RENDSZERÉNE ELŐZETES MÉRETEZÉSE Bevezetés A cikkben a Szojka III pilótanélküli repülőgép [8] szakirodalomban rendelkezésre álló matematikai

Részletesebben

DFTH november

DFTH november Kovács Ernő 1, Füves Vktor 2 1,2 Elektrotechnka és Elektronka Tanszék Mskolc Egyetem 3515 Mskolc-Egyetemváros tel.: +36-(46)-565-111 mellék: 12-16, 12-18 fax : +36-(46)-563-447 elkke@un-mskolc.hu 1, elkfv@un-mskolc.hu

Részletesebben

Tartalom. Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák

Tartalom. Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák Tartalom Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák 215 1 Tervezési célok Szabályozó tervezés célja Stabilitás biztosítása

Részletesebben

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható folytonos idejű Markovláncok  segítségével. E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek

Részletesebben

Mérnöki alapok 2. előadás

Mérnöki alapok 2. előadás Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

PILÓTA NÉLKÜLI REPÜLŐGÉP OLDALIRÁNYÚ MOZGÁSÁNAK ÁLLAPOTVÁLTOZÓIT STABILIZÁLÓ ZÁRT SZABÁLYOZÁSI RENDSZER SZABÁLYOZÓJÁNAK ELŐZETES TERVEZÉSE

PILÓTA NÉLKÜLI REPÜLŐGÉP OLDALIRÁNYÚ MOZGÁSÁNAK ÁLLAPOTVÁLTOZÓIT STABILIZÁLÓ ZÁRT SZABÁLYOZÁSI RENDSZER SZABÁLYOZÓJÁNAK ELŐZETES TERVEZÉSE DEBRECENI MŰSZAKI KÖZLEMÉNYEK 28/ PILÓTA NÉLKÜLI REPÜLŐGÉP OLDALIRÁNYÚ MOZGÁSÁNAK ÁLLAPOTVÁLTOZÓIT STABILIZÁLÓ ZÁRT SZABÁLYOZÁSI RENDSZER SZABÁLYOZÓJÁNAK ELŐZETES TERVEZÉSE SZEGEDI Péter - BÉKÉSI Bertold

Részletesebben

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

Robotika. Kinematika. Magyar Attila Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc

Részletesebben

Számítógéppel irányított rendszerek elmélete. Gyakorlat - Mintavételezés, DT-LTI rendszermodellek

Számítógéppel irányított rendszerek elmélete. Gyakorlat - Mintavételezés, DT-LTI rendszermodellek Számítógéppel irányított rendszerek elmélete Gyakorlat - Mintavételezés, DT-LTI rendszermodellek Hangos Katalin Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: hangos.katalin@virt.uni-pannon.hu

Részletesebben

Villamosságtan szigorlati tételek

Villamosságtan szigorlati tételek Villamosságtan szigorlati tételek 1.1. Egyenáramú hálózatok alaptörvényei 1.2. Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.3. Nemlineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.4. Egyenáramú hálózatok

Részletesebben

Elektromosságtan. II. Általános áramú hálózatok. Magyar Attila

Elektromosságtan. II. Általános áramú hálózatok. Magyar Attila Elektromosságtan II. Általános áramú hálózatok Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010. március 22. Áttekintés

Részletesebben

MINTA Írásbeli Záróvizsga Mechatronikai mérnök MSc. Debrecen,

MINTA Írásbeli Záróvizsga Mechatronikai mérnök MSc. Debrecen, MINTA Írásbeli Záróvizsga Mechatronikai mérnök MSc Debrecen, 2017. 01. 03. Név: Neptun kód: Megjegyzések: A feladatok megoldásánál használja a géprajz szabályait, valamint a szabványos áramköri elemeket.

Részletesebben

Rendszertan. Visszacsatolás és típusai, PID

Rendszertan. Visszacsatolás és típusai, PID Rendszertan Visszacsatolás és típusai, PID Hangos Katalin Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratórium MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete

Részletesebben

Irányításelmélet és technika I.

Irányításelmélet és technika I. Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010

Részletesebben

Irányítástechnika. II. rész. Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu

Irányítástechnika. II. rész. Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu Irányítástechnika II. rész Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok Lineáris tagok modellje Differenciálegyenlettel

Részletesebben

Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék MOTOR - BOARD

Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék MOTOR - BOARD echatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék OTOR - BORD I. Elméleti alapok a felkészüléshez 1. vizsgált berendezés mérést a HPS System Technik (www.hps-systemtechnik.com) rendszereszközök segítségével

Részletesebben

92 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009. x = f(t,x). x = f(x), (6.1)

92 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009. x = f(t,x). x = f(x), (6.1) 9 MAM43A előadásjegyzet, 8/9 6. Stabilitáselmélet 6.. Autonóm nemlineáris rendszerek Legyen f : R R n R n. Ekkor az általános elsőrendű explicit nemlineáris differenciálegyenletrendszer alakja x = f(t,x.

Részletesebben

Márkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF -

Márkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF - Márkus Zsolt markus.zsolt@qos.hu Tulajdonságok, jelleggörbék, stb. 1 A hatáslánc részegységekből épül fel, melyek megvalósítják a jelátvitelt. A jelátviteli sajátosságok jellemzésére (leírására) létrehozott

Részletesebben

Diszkrét Eseményű Rendszerek Diagnosztikája és Irányítása

Diszkrét Eseményű Rendszerek Diagnosztikája és Irányítása Diszkrét és hibrid diagnosztikai és irányítórendszerek Diszkrét Eseményű Rendszerek Diagnosztikája és Irányítása Hangos Katalin Közlekedésautomatika Tanszék Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratórium

Részletesebben

Ipari kemencék PID irányítása

Ipari kemencék PID irányítása Ipari kemencék PID irányítása 1. A gyakorlat célja: Az ellenállással melegített ipari kemencék modelljének meghatározása. A Opelt PID tervezési módszer alkalmazása ipari kemencék irányítására. Az ipari

Részletesebben

MÉRŐERŐSÍTŐK EREDŐ FESZÜLTSÉGERŐSÍTÉSE

MÉRŐERŐSÍTŐK EREDŐ FESZÜLTSÉGERŐSÍTÉSE MÉŐEŐSÍTŐK MÉŐEŐSÍTŐK EEDŐ FESZÜLTSÉGEŐSÍTÉSE mérőerősítők nagy bemeneti impedanciájú, szimmetrikus bemenetű, változtatható erősítésű egységek, melyek szimmetrikus, kisértékű (általában egyen-) feszültségek

Részletesebben

Logaritmikus erősítő tanulmányozása

Logaritmikus erősítő tanulmányozása 13. fejezet A műveleti erősítők Logaritmikus erősítő tanulmányozása A műveleti erősítő olyan elektronikus áramkör, amely a két bemenete közötti potenciálkülönbséget igen nagy mértékben fölerősíti. A műveleti

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk

Részletesebben

QP és QX mélykútszivattyúk 4"

QP és QX mélykútszivattyúk 4 QP 4A-8 0,25 2,8 A - 20 681 mm 11,5 kg 1 1/4" QP 4A-12 0,37 3,3 A 1,6 A 20 761 mm 12,0 kg 1 1/4" QP 4A-18 0,55 4,4 A 1,7 A 25 896 mm 13,5 kg 1 1/4" QP 4A-25 0,75 5,8 A 2,5 A 35 1061 mm 15,4 kg 1 1/4" QX

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Méréselmélet példatár

Méréselmélet példatár Méréselmélet példatár I. rész Gerzson Miklós Méréselmélet példatár I. rész Pécs 2015 A tananyag a TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 azonosító számú, "A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Mérnöki alapok 2. előadás

Mérnöki alapok 2. előadás Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Ideális műveleti erősítő

Ideális műveleti erősítő Ideális műveleti erősítő Az műveleti erősítő célja, hogy alap építőeleméül szolgáljon analóg matematikai műveleteket végrehajtó áramköröknek. Az ideális műveleti erősítő egy gyakorlatban nem létező áramköri

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Kalman-féle rendszermodell Méréselmélet PE MIK MI, VI BSc 1

Kalman-féle rendszermodell Méréselmélet PE MIK MI, VI BSc 1 alman-féle rendszermodell.4.. Méréselmélet PE MI MI, VI BSc álmán Rudolf Rudolf Emil alman was born in Budapest, Hungar, on Ma 9, 93. He received the bachelor's degree (S.B.) and the master's degree (S.M.)

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 1.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 1. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 1. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Analóg áramkörök Műveleti erősítővel épített alapkapcsolások

Analóg áramkörök Műveleti erősítővel épített alapkapcsolások nalóg áramkörök Műveleti erősítővel épített alapkapcsolások Informatika/Elektronika előadás encz Márta/ess Sándor Elektronikus Eszközök Tanszék 07-nov.-22 Témák Műveleti erősítőkkel kapcsolatos alapfogalmak

Részletesebben

Bevezetés a méréstechnikába és jelfeldolgozásba. Tihanyi Attila 2007 március 27

Bevezetés a méréstechnikába és jelfeldolgozásba. Tihanyi Attila 2007 március 27 Bevezetés a méréstechnikába és jelfeldolgozásba Tihanyi Attila 2007 március 27 Ellenállások R = U I Fajlagos ellenállás alapján hosszú vezeték Nagy az induktivitása Bifiláris Trükkös tekercselés Nagy mechanikai

Részletesebben

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre

Részletesebben

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22. TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású

Részletesebben

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei

Részletesebben

Minta Írásbeli Záróvizsga és BSc felvételi kérdések Mechatronikai mérnök

Minta Írásbeli Záróvizsga és BSc felvételi kérdések Mechatronikai mérnök Minta Írásbeli Záróvizsga és BSc felvételi kérdések Mechatronikai mérnök Debrecen, 2017. 01. 03-04. Név: Neptun kód: 1. Az ábrán egy hajtás fordulatszám-nyomaték jelleggörbéje látható. M(ω) a motor, az

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Merev testek mechanikája. Szécsi László

Merev testek mechanikája. Szécsi László Merev testek mechanikája Szécsi László Animáció időfüggés a virtuális világmodellünkben bármely érték lehet időben változó legjellemzőbb: a modell transzformáció időfüggése mozgó tárgyak módszerek az időfüggés

Részletesebben

Legutolsó frissítés ZÁRÓVIZSGA KÉRDÉSEK a VÁLOGATOTT FEJEZETEK AZ ELEKTROTECHNIKÁBAN CÍMŰ MSc TÁRGYBÓL

Legutolsó frissítés ZÁRÓVIZSGA KÉRDÉSEK a VÁLOGATOTT FEJEZETEK AZ ELEKTROTECHNIKÁBAN CÍMŰ MSc TÁRGYBÓL Legutolsó frissítés 2013.05.24. Tárgykód: BMEVIAUM012 ZÁRÓVIZSGA KÉRDÉSEK a VÁLOGATOTT FEJEZETEK AZ ELEKTROTECHNIKÁBAN CÍMŰ MSc TÁRGYBÓL Fontos megjegyzés: a felkészüléshez ajánljuk a www.get.bme.hu hálózati

Részletesebben

Egyenáramú szervomotor modellezése

Egyenáramú szervomotor modellezése Egyenáramú szervomotor modellezése. A gyakorlat élja: Az egyenáramú szervomotor mködését leíró modell meghatározása. A modell valdálása számításokkal és szotverejlesztéssel katalógsadatok alapján.. Elmélet

Részletesebben

KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II.

KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II. Írta: SZALKAI ISTVÁN DÓSA GYÖRGY KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II. Egyetemi tananyag COPYRIGHT: 6, Dr. Szalkai István, Dr. Dósa György, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék

Részletesebben

S Y L L A B U S. 1. Általános információk az előadásokról, szemináriumokról, szak vagy laborgyakorlatokról

S Y L L A B U S. 1. Általános információk az előadásokról, szemináriumokról, szak vagy laborgyakorlatokról Babeş Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár Kar: Fizika Egyetemi év: 2008/2009 Félév: I. S Y L L A B U S 1. Általános információk az előadásokról, szemináriumokról, szak vagy laborgyakorlatokról Tantárgy neve:

Részletesebben

Bevezetés. Rendszer- és irányításelmélet

Bevezetés. Rendszer- és irányításelmélet Bevezetés Könyvünk az irányításelmélet és az irányítástervezés, valamint a megvalósítás kérdéseivel foglalkozik. Az elméleti és módszertani kérdéseken túl kiemelt alkalmazási területként a földi és légi

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 19. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 19. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

Szabályozás Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1

Szabályozás Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1 Szabályozás 2008.03.29. Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1 Nyílt hatásláncú rendszerek Az irányító rendszer nem ellenőrzi a beavatkozás eredményét vezérlő rendszerek ahol w(s) bemenő változó / előírt érték

Részletesebben

1. Transzformációk mátrixa

1. Transzformációk mátrixa 1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)

Részletesebben

ü ő ő ü ő ő ö ö ő ö í ü ő í ö ö í ő ö ő ű ú ő í ü ő ö ő Í ö ö ő ö ö ő ő ö ő í Í í ü ö ő í ü ü ú ü ö ö ő ü ő ö ő í ü ő í ö ö ő ő ő í í ő í ő ő Á Ó Í í í ő ű ú ő í í ő ő Í ő í ő í í Í í ő í ő í ő ő íí ő

Részletesebben

É Ü ö Ü ú Ú ű Ó Ó ű ö Ó Ó ú ű Ü Ö Ó Ó ö Ó Ő ű Ó Ó ú Ü Ü Ó Ó Ó Ü Ó Í Í ö ö ö ö ö ú ú ö ű ú ö ö ö ú ö ú ű ö ö ű ö ö ö ű ö ö ö ú ö ö ú ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö Í ö Ö ö ú ö ö ö ö Ó Í

Részletesebben

Í Ő É Ó É é Ö Á Á Á Ó é Ó é ö é Ö ű ö é ö ű ö é ö é é é é é é é é é é é é é é é é é é ü é é é Í é é é é ü é ö ü é ü é é ö ö é ú é é ü é é ü é é ü é ü é é é ú é Ó é é ú é ü é é ö é ö é Á Á Á Ó é Ó Í é ö

Részletesebben

ö í Ö Ó ü í ü ö Ö ö ü ü ö ö ö ö Ö ü ö ö Ö ü Ű Ö ö ü ú ű ö ö í ö ö í ü ö ö í í ö Á É ö Ö í ö Ö ü ö Ö ö ö ö ö ö ü í ü ö í ü ö ö ö Ö ü ö í ü í ö ö ö Ö ü ö Ö í í ö Ö ü ö Ö í ü ö Á É ö Ö í ü ö í ö ű ö ö ű ö

Részletesebben

ő ő ű í ó ú í ó í ó Á Á Á É ű ő ó ó ő ó ő Á É ó Á É ú Á É É Á ó Á Á Á Á Á É É ó Á É í É É í É ú ú ú ó ó Ö ú É ú ó ő ú ó í É É É É Ö Ö É Á É É É Ő Ó É ő ó ó í ő ú ő ő ű í ó ú Ő Ö ú É ú ú ő ő É É ő ő ő ő

Részletesebben

ö é é ü Ő Ö é ü ö é é ü é é ó é ü ü é é é é é í é ü é é é é é é ö é é ö ö é ü ö ö é ü í é ü ü é é é ü é ö é é é ó é é é é é ü ö é é ü ú ö é é é é ö é é ö é é ó é ó é é í é é ó é é ó é é í ó é é ü ü é ó

Részletesebben