Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Save this PDF as:

WORD PNG TXT JPG

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)"

Andor Dudás
1 évvel ezelőtt
Látták:

Átírás

1 Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

2 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás függvény x(t) = e at alakú. Hasonló alakú megoldást kapunk akkor is ha x(t) R n és A R n n. Az ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x 0 homogén diff. egyenlet megoldása: x(t) = e At x 0,

3 Állapotgyenletek megoldása ahol az e At exponenciális mátrixfüggvényt a következőképpen értelmezzük: e At = I + At + A2 t 2 2! + A3 t 3 3! +..., az e at = 1+at +a 2 t 2 /2!+... hatványsorral való analógia alapján

4 Állapotgyenletek megoldása Diagonál reprezentációknál e A dt alakja igen egyszerű. Legyen A d R 2 2, ekkor e A dt = eλ 1t 0 0 e λ 2t

5 Állapotgyenletek megoldása Az inhomogén ẋ = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) egyenlet megoldása a következő: x(t) = e At x 0 + y(t) = c T x(t). t 0 e A(t τ) bu(τ)dτ

6 Állapotgyenletek megoldása Ebből a konvolúciós integrálból közvetlenül látható, hogy a rendszer súlyfüggvényét az állapottér reprezentáció ismeretében a következőképp kapjuk: g(t) = c T e At b

7 Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

8 Állapot visszacsatolás Adott egy rendszer n-dimenziós (A,b,c T ) állapottér reprezentációja: ẋ = Ax + bu y = c T x. A rendszer karakterisztikus polinomja: a(s) = det(si A) = s n + a n 1 s n a 1 s + a 0. Cél: módosítsuk a rendszer dinamikáját az x(t) állapot visszacsatolásával, azaz legyen a bemenőjel u = k T x + r,

9 Állapot visszacsatolás ahol: r(t) egy külső referencia jel, k T a visszacsatolás erősítési tényezőinek sorvektora: [ ] k T = k n 1... k

10 Állapot visszacsatolás A visszacsatolt (zárt) rendszer blokkdiagramja:

11 Állapot visszacsatolás Behelyettesítve a bemenőjel alakját az állapotegyenletbe, a zárt rendszer állapotegyenlete a következő lesz: ẋ = Ax + b( k T x + r), ẋ = ( A bk T) x + br, y = c T x, amiből a zárt rendszer karakterisztikus polinomjára azt kapjuk, hogy ā(s) = det(si A+bk T ) = s n +ā n 1 s n ā 1 s+ā

12 Állapot visszacsatolás Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a k erősítés megfelelő megválasztásával a zárt rendszer karakterisztikus polinomja tetszőlegesen beállítható, ha az (A,b,c T ) rendszer irányítható. Mivel minden irányítható állapottér reprezentáció irányítható alakra hozható, tegyük fel, hogy a rendszert irányítható alakra hoztuk: ẋ c = A c x c + b c u y = c T c x c

13 Állapot visszacsatolás Ekkor az ẋ c = ( A c b c k T c ) xc + br egyenletben A c b c k T c = = a n 1... a 1 a [ ] k cn 1... k c0 = (a n 1 + k cn 1 )... (a 1 + k c1 ) (a 0 + k c0 ) 1 0 0,

14 Állapot visszacsatolás amiből következik, hogy ā(s) = det(si A c + b c k T c ) = s n + (a n 1 + k cn 1 )s n (a 1 + k c1 )s + (a 0 + k c0 ), tehát a zárt rendszer karakterisztikus polinomjának ā i, (i = 0,...,n 1) együtthatóit előírva ehhez a k vektor elemei meghatározhatók: ā i = a i + k ci = k ci = ā i a i, i = 0,...,n

15 Állapot visszacsatolás Ha a zárt rendszer pólusait előírjuk, akkor rögzítjük a p 1,..., p n pólusokat, amiből az ā(s) karakterisztikus polinomot ā(s) = (s p 1 )... (s p n ) alakban számítjuk

16 Állapot visszacsatolás Ezzel az eljárással az irányíthatósági alakra vonatkozó k T c erősítés vektort tetszőlegesen előírt ā(s) karakterisztikus polinomhoz meg tudjuk határozni. Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy T c nemszinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható

17 Állapot visszacsatolás Az irányíthatósági alakban jelöljük A c és b c -vel az állapotdinamikai egyenlet mátrixait. A tervezés ebben az irányíthatósági alakban történik. A tervezett kc T erősítést azonban vissza kell transzformálni az eredeti rendszer állapotterére! A visszatranszformálás összefüggése: k T = k T c T c

18 Állapot visszacsatolás Az állapot visszacsatolás tervezési lépései: 1. A rendszer irányíthatóságának ellenőrzése 2. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomjának számítása: a(s) = det (si A) 3. A T c irányíthatósági alakba transzformáló mátrix meghatározása

19 Állapot visszacsatolás 4. Az új p i pólusok előírása, a szabályozott rendszer karakterisztikus polinomjának kiszámítása: ā(s) = (s p 1 )... (s p n ) 5. Az irányíthatósági alakra vonatkozó erősítések számítása: k ci = ā i a i

20 Állapot visszacsatolás 6. A kapott erősítés vektor visszatranszformálása az eredeti állapottérbe: k T = k T c T c 7. A zárt, szabályozott rendszer időtartományi viselkedésének elemzése

21 Inverz inga egyszerűsített modellje Az inverz inga egy M tömegű kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, melynek m tömege a rúd középpontjába van redukálva

22 Az inverz inga mint dinamikus rendszer súlyfüggvényének és átviteli függvényének levezetéséhez a Newton mozgásegyenletekből indulunk ki, amelyeket az M és m tömegekre írunk fel

23 Példa: Inverz inga szabályozása pólusallokációval Az inverz inga u bemenőjele (horizontális erő) és θ kimenőjele (szögelfordulás) közötti átviteli függvény. θ(s) = 1/Ml s 2 a 0 U(s), ahol M a kocsi tömege m az inga tömege a 0 = (M + m)g Ml g l > 0, l az inga hossza. A rendszer pólusai: p 1,2 = ± a 0. Az inverz inga instabil, de ha irányítható, akkor pólusallokációval stabilizálhatjuk

24 Az inga irányíthatósági állapottér reprezentációja: A c = 0 a 0 1 0, b c = 1 0, irányíthatósági mátrixa: C 2 (A c,b c ) = , tehát rangc 2 (A c,b c ) = 2, így az inga irányítható, állapot visszacsatolással stabilizálható. Megjegyzés: az a rendszer, aminek létezik irányíthatósági állapottér reprezentációja, eleve irányítható!

25 Legyen l = 9.81m, ekkor a(s) = s 2 a o = s 2 1 és írjuk elő, hogy a zárt rendszernek két valós pólusa legyen, pl. p 1 = 1 és p 2 = 2! A ā(s) = (s + 1)(s + 2) = s 2 + 3s + 2, így ā 1 = 3, ā 0 = 2. Az állapot erősítés tehát: k 1 = ā 1 a 1 = 3, k 0 = ā 0 a 0 = 2 ( 1) =

26 Ellenőrzésképpen a visszacsatolt rendszer karakterisztikus egyenlete: det ( si A c + b c k T) = det s = 1 s 0 0 = det s = s 2 + 3s + 2, 1 s a zárt rendszer pólusai tehát valóban stabilak és p 1 = 1, p 2 =

27 Az inverz inga összetett mechanikai modellje: z = m M g θ + 1 M u θ = (M + m)g θ 1 M l M l u Válasszuk meg az állapotvektort és a rendszer kimenetét a következő módon: x = [ ] T z ż θ θ y = z

28 Így az inverz inga állapotdinamikai és megfigyelési egyenletei: ż z θ θ = m M g (M+m)g Ml 0 z ż θ θ M 0 1 Ml u y = [ ] z ż θ θ

29 Helyettesítsük be az M = 2kg, m = 0, 1kg és l = 0, 5m paramétereket! A = , ,594 0 b = 0 0,5 0 1 c T = [ ]

30 Az irányíthatósági mátrix: 0 0, 5 0 0, , 5 0 0, C = , ,

31 1. det(c) = 96, tehát az inga irányítható, állapot visszacsatolással stabilizálható. 2. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: a(s) = s 4 20,594s 2, pólusai pedig: 0, 0, ,

32 3. Az irányíthatósági alakba vivő transzformációs mátrix: ,594 0 T c = (C T ) ,594 T = T c = 0 0, , 051 0, ,

33 4. Tervezés kétféle pólus konfigurációra: p 1 = [ ,46i 2 3,46i] p 2 = [ 4,5381 4, ] ā 1 (s) =s s ,9716s ,716s + 399,29 ā 2 (s) =s ,0762s ,8992s ,6822s + 82,

34 5. Erősítések irányíthatósági alakban: k T c 1 = [14 101, , ,29] k T c 2 = [13, , , ,3774] 6. Erősítések visszatranszformált alakban: k T 1 = [ 40, , , ,2418] k T 2 = [ 8, , , ,1273] 7. Elemzés időtartományban, az 1. másodpercben Dirac δ gerjesztést adva a rúd szögsebességére ( pöckölés ):

35 A rúd θ szögelfordulása az első esetben: θ rúd szögelfordulás [fok] Idõ [sec]

36 A kocsi z elmozdulása az első esetben: 10 8 z kocsi elmozdulás [mm] Idõ [sec]

37 A rendszer bemenetének alakulása az első esetben: Bemenet [N] Idõ [sec]

38 A rúd θ szögelfordulása a második esetben: θ rúd szögelfordulás [fok] Idõ [sec]

39 A kocsi z elmozdulása a második esetben: 8 6 z kocsi elmozdulás [mm] Idõ [sec]

40 A rendszerbemenet alakulása a második esetben: Bemenet [N] Idõ [sec]

41 Látható, hogy a második esetben kisebbek a túllendülések mind θ-t, mind z-t tekintve és a rendszer bemenetének maximális értéke is kisebb (ahogy a k T erősítés vektor elemei is kisebbek). Ez annak köszönhető, hogy a komplex konjugált pár helyett csak a valós részeket használtuk a második esetben és a valós pólusokat is közelebb helyeztük el a 0-hoz

42 Jól megfigyelhető az is, hogy a komplex konjugált pár lengőrendszert jelent. Az első esetben minden jellemző több lengésen keresztül áll csak be zérus értékűre. Ezzel szemben a második esetben a csak valós pólusok egyszeri lengés után aszimptotikus beállást eredményeznek

Hasonló dokumentumok

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs