Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)"

Andor Dudás
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

2 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás függvény x(t) = e at alakú. Hasonló alakú megoldást kapunk akkor is ha x(t) R n és A R n n. Az ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x 0 homogén diff. egyenlet megoldása: x(t) = e At x 0,

3 Állapotgyenletek megoldása ahol az e At exponenciális mátrixfüggvényt a következőképpen értelmezzük: e At = I + At + A2 t 2 2! + A3 t 3 3! +..., az e at = 1+at +a 2 t 2 /2!+... hatványsorral való analógia alapján

4 Állapotgyenletek megoldása Diagonál reprezentációknál e A dt alakja igen egyszerű. Legyen A d R 2 2, ekkor e A dt = eλ 1t 0 0 e λ 2t

5 Állapotgyenletek megoldása Az inhomogén ẋ = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) egyenlet megoldása a következő: x(t) = e At x 0 + y(t) = c T x(t). t 0 e A(t τ) bu(τ)dτ

6 Állapotgyenletek megoldása Ebből a konvolúciós integrálból közvetlenül látható, hogy a rendszer súlyfüggvényét az állapottér reprezentáció ismeretében a következőképp kapjuk: g(t) = c T e At b

7 Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

8 Állapot visszacsatolás Adott egy rendszer n-dimenziós (A,b,c T ) állapottér reprezentációja: ẋ = Ax + bu y = c T x. A rendszer karakterisztikus polinomja: a(s) = det(si A) = s n + a n 1 s n a 1 s + a 0. Cél: módosítsuk a rendszer dinamikáját az x(t) állapot visszacsatolásával, azaz legyen a bemenőjel u = k T x + r,

9 Állapot visszacsatolás ahol: r(t) egy külső referencia jel, k T a visszacsatolás erősítési tényezőinek sorvektora: [ ] k T = k n 1... k

10 Állapot visszacsatolás A visszacsatolt (zárt) rendszer blokkdiagramja:

11 Állapot visszacsatolás Behelyettesítve a bemenőjel alakját az állapotegyenletbe, a zárt rendszer állapotegyenlete a következő lesz: ẋ = Ax + b( k T x + r), ẋ = ( A bk T) x + br, y = c T x, amiből a zárt rendszer karakterisztikus polinomjára azt kapjuk, hogy ā(s) = det(si A+bk T ) = s n +ā n 1 s n ā 1 s+ā

12 Állapot visszacsatolás Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a k erősítés megfelelő megválasztásával a zárt rendszer karakterisztikus polinomja tetszőlegesen beállítható, ha az (A,b,c T ) rendszer irányítható. Mivel minden irányítható állapottér reprezentáció irányítható alakra hozható, tegyük fel, hogy a rendszert irányítható alakra hoztuk: ẋ c = A c x c + b c u y = c T c x c

13 Állapot visszacsatolás Ekkor az ẋ c = ( A c b c k T c ) xc + br egyenletben A c b c k T c = = a n 1... a 1 a [ ] k cn 1... k c0 = (a n 1 + k cn 1 )... (a 1 + k c1 ) (a 0 + k c0 ) 1 0 0,

14 Állapot visszacsatolás amiből következik, hogy ā(s) = det(si A c + b c k T c ) = s n + (a n 1 + k cn 1 )s n (a 1 + k c1 )s + (a 0 + k c0 ), tehát a zárt rendszer karakterisztikus polinomjának ā i, (i = 0,...,n 1) együtthatóit előírva ehhez a k vektor elemei meghatározhatók: ā i = a i + k ci = k ci = ā i a i, i = 0,...,n

15 Állapot visszacsatolás Ha a zárt rendszer pólusait előírjuk, akkor rögzítjük a p 1,..., p n pólusokat, amiből az ā(s) karakterisztikus polinomot ā(s) = (s p 1 )... (s p n ) alakban számítjuk

16 Állapot visszacsatolás Ezzel az eljárással az irányíthatósági alakra vonatkozó k T c erősítés vektort tetszőlegesen előírt ā(s) karakterisztikus polinomhoz meg tudjuk határozni. Ha a rendszer irányítható, de nem irányíthatósági alakban adott, akkor egy T c nemszinguláris transzformációs mátrix segítségével irányíthatósági alakra hozható

17 Állapot visszacsatolás Az irányíthatósági alakban jelöljük A c és b c -vel az állapotdinamikai egyenlet mátrixait. A tervezés ebben az irányíthatósági alakban történik. A tervezett kc T erősítést azonban vissza kell transzformálni az eredeti rendszer állapotterére! A visszatranszformálás összefüggése: k T = k T c T c

18 Állapot visszacsatolás Az állapot visszacsatolás tervezési lépései: 1. A rendszer irányíthatóságának ellenőrzése 2. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomjának számítása: a(s) = det (si A) 3. A T c irányíthatósági alakba transzformáló mátrix meghatározása

19 Állapot visszacsatolás 4. Az új p i pólusok előírása, a szabályozott rendszer karakterisztikus polinomjának kiszámítása: ā(s) = (s p 1 )... (s p n ) 5. Az irányíthatósági alakra vonatkozó erősítések számítása: k ci = ā i a i

20 Állapot visszacsatolás 6. A kapott erősítés vektor visszatranszformálása az eredeti állapottérbe: k T = k T c T c 7. A zárt, szabályozott rendszer időtartományi viselkedésének elemzése

21 Inverz inga egyszerűsített modellje Az inverz inga egy M tömegű kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, melynek m tömege a rúd középpontjába van redukálva

22 Az inverz inga mint dinamikus rendszer súlyfüggvényének és átviteli függvényének levezetéséhez a Newton mozgásegyenletekből indulunk ki, amelyeket az M és m tömegekre írunk fel

23 Példa: Inverz inga szabályozása pólusallokációval Az inverz inga u bemenőjele (horizontális erő) és θ kimenőjele (szögelfordulás) közötti átviteli függvény. θ(s) = 1/Ml s 2 a 0 U(s), ahol M a kocsi tömege m az inga tömege a 0 = (M + m)g Ml g l > 0, l az inga hossza. A rendszer pólusai: p 1,2 = ± a 0. Az inverz inga instabil, de ha irányítható, akkor pólusallokációval stabilizálhatjuk

24 Az inga irányíthatósági állapottér reprezentációja: A c = 0 a 0 1 0, b c = 1 0, irányíthatósági mátrixa: C 2 (A c,b c ) = , tehát rangc 2 (A c,b c ) = 2, így az inga irányítható, állapot visszacsatolással stabilizálható. Megjegyzés: az a rendszer, aminek létezik irányíthatósági állapottér reprezentációja, eleve irányítható!

25 Legyen l = 9.81m, ekkor a(s) = s 2 a o = s 2 1 és írjuk elő, hogy a zárt rendszernek két valós pólusa legyen, pl. p 1 = 1 és p 2 = 2! A ā(s) = (s + 1)(s + 2) = s 2 + 3s + 2, így ā 1 = 3, ā 0 = 2. Az állapot erősítés tehát: k 1 = ā 1 a 1 = 3, k 0 = ā 0 a 0 = 2 ( 1) =

26 Ellenőrzésképpen a visszacsatolt rendszer karakterisztikus egyenlete: det ( si A c + b c k T) = det s = 1 s 0 0 = det s = s 2 + 3s + 2, 1 s a zárt rendszer pólusai tehát valóban stabilak és p 1 = 1, p 2 =

27 Az inverz inga összetett mechanikai modellje: z = m M g θ + 1 M u θ = (M + m)g θ 1 M l M l u Válasszuk meg az állapotvektort és a rendszer kimenetét a következő módon: x = [ ] T z ż θ θ y = z

28 Így az inverz inga állapotdinamikai és megfigyelési egyenletei: ż z θ θ = m M g (M+m)g Ml 0 z ż θ θ M 0 1 Ml u y = [ ] z ż θ θ

29 Helyettesítsük be az M = 2kg, m = 0, 1kg és l = 0, 5m paramétereket! A = , ,594 0 b = 0 0,5 0 1 c T = [ ]

30 Az irányíthatósági mátrix: 0 0, 5 0 0, , 5 0 0, C = , ,

31 1. det(c) = 96, tehát az inga irányítható, állapot visszacsatolással stabilizálható. 2. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomja: a(s) = s 4 20,594s 2, pólusai pedig: 0, 0, ,

32 3. Az irányíthatósági alakba vivő transzformációs mátrix: ,594 0 T c = (C T ) ,594 T = T c = 0 0, , 051 0, ,

33 4. Tervezés kétféle pólus konfigurációra: p 1 = [ ,46i 2 3,46i] p 2 = [ 4,5381 4, ] ā 1 (s) =s s ,9716s ,716s + 399,29 ā 2 (s) =s ,0762s ,8992s ,6822s + 82,

34 5. Erősítések irányíthatósági alakban: k T c 1 = [14 101, , ,29] k T c 2 = [13, , , ,3774] 6. Erősítések visszatranszformált alakban: k T 1 = [ 40, , , ,2418] k T 2 = [ 8, , , ,1273] 7. Elemzés időtartományban, az 1. másodpercben Dirac δ gerjesztést adva a rúd szögsebességére ( pöckölés ):

35 A rúd θ szögelfordulása az első esetben: θ rúd szögelfordulás [fok] Idõ [sec]

36 A kocsi z elmozdulása az első esetben: 10 8 z kocsi elmozdulás [mm] Idõ [sec]

37 A rendszer bemenetének alakulása az első esetben: Bemenet [N] Idõ [sec]

38 A rúd θ szögelfordulása a második esetben: θ rúd szögelfordulás [fok] Idõ [sec]

39 A kocsi z elmozdulása a második esetben: 8 6 z kocsi elmozdulás [mm] Idõ [sec]

40 A rendszerbemenet alakulása a második esetben: Bemenet [N] Idõ [sec]

41 Látható, hogy a második esetben kisebbek a túllendülések mind θ-t, mind z-t tekintve és a rendszer bemenetének maximális értéke is kisebb (ahogy a k T erősítés vektor elemei is kisebbek). Ez annak köszönhető, hogy a komplex konjugált pár helyett csak a valós részeket használtuk a második esetben és a valós pólusokat is közelebb helyeztük el a 0-hoz

42 Jól megfigyelhető az is, hogy a komplex konjugált pár lengőrendszert jelent. Az első esetben minden jellemző több lengésen keresztül áll csak be zérus értékűre. Ezzel szemben a második esetben a csak valós pólusok egyszeri lengés után aszimptotikus beállást eredményeznek

Hasonló dokumentumok

Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás

Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer