DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

Átírás

1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

2 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n 1 dt a v t =b u t b du dt b d u m dt m MEGOLDÁS: homogén általános + inhomogén partikuláris magára hagyott rendszer gerjesztett rendszer Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 2

3 Harmonikus jelek u(t) harmonikus Y(jω ) v(t) harmonikus u harmonikus t =U 0 e j ω t v harmonikus t =V 0 ω e j ω t ϕ ω v harmonikus t =Y jω u harmonikus t Y jω = v t harmonikus u harmonikus t = b b jω b 0 1 m jω m a 0 a 1 jω a n jω n Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 3

4 u(t) Harmonikus válasz meghatározása diff. egyenlet v(t) u(t) harmonikus Y(jω ) v(t) harmonikus a n d n v m dt a dv n 1 dt a v t =b u t b du dt b d u m dt m Y jω = v t harmonikus u harmonikus t = b b jω b 0 1 m v harmonikus t =Y jω u harmonikus t jω m a 0 a 1 jω a n jω n Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 4

5 u(t) diff. egyenlet Megoldási lehetőségek v(t) differenciál-egyenlet u(t) harmonikus időtartománybeli megoldás Y(jω ) v(t) harmonikus TRANSZFORMÁCIÓ időtartomány INVERZ TRANSZFORMÁCIÓ operátoros tartomány algebrai egyenlet operátoros tartománybeli megoldás U(s) Y(s) V(s) Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 5

6 Ismeretelméleti alapok harmonikus analízis periodikus jelek leképezése harmonikus jelekkel: Fourier-sor periódusidő kiterjesztése: Fouriertranszformáció alkalmazás korlátai Laplace-transzformáció alapgondolata Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 6

7 Periodikus jelek periodikus jel közelítése: harmonikus komponensek összege (Fourier-sorba fejtés) Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 7

8 Fourier-sor f t =A 0 A k cos kω t B sin kω t 0 k 0 ω 0 = 2 π k=1 T T 2 A 0 = 1 T T 2 f t dt f t =A 0 k=1 T 2 A k = 2 T T 2 f t cos kω 0 t dt T 2 B k = 2 T T 2 C k sin ϕ k cos kω 0 t cosϕ k sin kω 0 t f t sin kω 0 t dt k=1,2,3, f t =A 0 k=1 C k sin kω 0 t ϕ k C k = A k 2 B k 2 ϕ k =arctg A k B k Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 8

9 A Fourier-sor komplex alakja f t = k= C k e j kω 0 t ϕ k T 2 C k = 1 T f t e j k ω 0 t dt T 2 C k az f(t) függvény vonalas frekvenciaspektruma Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 9

10 T periódus =150 T periódus = Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 10

11 Fourier-transzformáció periodikus függvényből nem periodikus függvény T periódus határátmenettel képezhető T periódus ω 0 0 a vonalas spektrum folytonossá válik F { f t }=F jω = f t e j ω t dt F 1 {F jω }= f t = 1 2 π F jω e j ω t dω Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 11

12 F { f t }=F jω = Az alkalmazás korlátai F 1 {F jω }= f t = 1 2 π f t e j ω t dt F jω e j ω t dω Fourier transzformáció inverz Fourier transzformáció f(t)-nek ki kell elégítenie a Dirichlet-feltételeket és abszolút integrálhatónak kell lennie f t dt K Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 12

13 1(t) transzformáltja e - σ t 1 1 (σ > 0) t 1 t dt=? NEM ABSZOLÚT INTEGRÁLHATÓ!!! ABSZOLÚT INTEGRÁLHATÓVÁ ALAKÍTÁS 0 < t t 1 t e σ t dt K Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 13

14 Laplace transzformáció féloldalas súlyozott Fourier transzformáció 0 f t e j ω t e σ t dt F s = 0 f t e j ω t e σ t dt= 0 f t e s t dt=l { f t } s=σ jω Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 14

15 Mintapélda 1. 1 t F s = 0 1 t e dt=[ s t e s t =0 1 s ]0 s =1 s Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 15

16 Mintapélda 2. e -at t>0 1 t F s = 0 e a t e s t dt=[ e a s t a s ]0 1 =0 a s = 1 s a Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 16

17 Néhány függvény Laplace-transzformáltja Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 17

18 Laplace-transzformációs szabályok 1. Laplace transzformált jelölése: L { f t }=F s Lineáris kombináció: L{ c 1 f 1 t c 2 f 2 t } =c 1 F 1 s c 2 F 2 s Eltolás: L { f t T }= 0 f t T e ts dt= 0 f τ e τ T s dτ= e st F s τ=t T Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 18

19 Laplace-transzformációs szabályok 2. Differenciálás: L{ df } dt = df 0 dt e s t dt=[ f t e s t ] 0 L{ d n f dt n } Integrálás: 0 u ' vdt=[uv ] 0 0 u v ' dt s 0 f t e s t dt=sf s f 0 =sn F s s n 1 f 0 s n 2 f ' 0 f n 1 0 L{ 0 t f τ dτ}= F s s Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 19

20 Laplace-transzformációs szabályok 3. Hasonlósági tétel: L { f a t }= 1 a F s a Konvolúció: L 1 { F 1 s F 2 s } = f 1 t f 2 t Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 20

21 Kezdeti- és végértéktétel lim t 0 f t =lim s F s s lim t f t =lim s 0 s F s Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 21

22 A Laplace-transzformáció alkalmazásai differenciálegyenlet megoldása átviteli függvény definíciója s-operátor értelmezése Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 22

23 Az átviteli függvény származtatása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v dt n a 1 dv dt a 0 v t =b 0 u t b 1 du dt b m d m u dt m A differenciálegyenlet zérus kezdeti feltételek melletti Laplacetranszformálásával: V s a n s n a 1 s a 0 =U s b m s m b 1 s b 0 Y s = L {v t } L {u t } = V s U s = b s m b m 1 s b 0 a n s n a 1 s a 0 U(s) Y(s) V(s) V s =Y s U s Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 23

24 Az átviteli függvény alkalmazása dv dt v t =3 u t 10 s V s V s =3 U s v 0 =0 V s 10 s 1 =3 U s Y s = V s U s = 3 10 s 1 Feladat: v(t) meghatározása különböző u(t) gerjesztések esetén Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 24

25 Az átviteli függvény alkalmazása 2. u t =1 t U s = 1 s Y s = V s U s = 3 10 s 1 V s = 3 10 s 1 1 s = a 1 10 s 1 a 2 s = a s a 10 s = a 10 a 1 2 s a 2 s 10 s 1 s 10 s 1 a 2 =3 a =0 a 1 = 30 V s = s 1 3 s = 3 1 s s e a t =L 1 { 1 s a} 1 t =L 1 { 1 s} v t =L 1 {V s }= 3 e 0. 1 t 3=3 1 e t Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 25

26 Az átviteli függvény alkalmazása 3. u t =δ t U s =1 Y s = V s U s = 3 10 s 1 V s = 3 10 s 1 1=0.3 1 s 0.1 e a t =L 1 { 1 s a} v t =L 1 {V s }=0.3 e 0. 1 t t 10 =0.3 e Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 26

27 Kifejtési tétel F s = b m sm b 1 s b 0 a n s n a 1 s a 0 = b s m b m 1 s b 0 s s 1 s s 2 s s n s i egyszeres gyök! n F s = i=1 A i s s i A i =lim s s i F s s s i Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 27

28 Y(s) és Y(j ) kapcsolata Y s = L {v t } L {u t } = V s U s = b b s b s m 0 1 m a 0 a 1 s a n s n s= jω helyettesítéssel Y jω = v t harmonikus u harmonikus t = b b jω b 0 1 m jω m a 0 a 1 jω a n jω n Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 28

29 Súlyfüggvény információtartalma u(τ ) u(t) t v t = 0 u τ w t τ dτ dτ τ w(τ ) t w(t-τ ) τ Y s = L {v t } L {u t } = L {w t } L {δ t } =W s 1 δ (t) U(s)=1 diff. egyenlet Y(s) w(t) V(s)=W(s) Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 29

30 Átviteli függvények alkalmazása V 1 (s) U(s) V 1 (s)=u 2 (s) V(s) U(s) Y 1 (s) + V(s) Y 1 (s) Y 2 (s) Y 2 (s) V 2 (s) + Y soros s =Y 1 s Y 2 s Y párhuzamos s =Y 1 s Y 2 s U(s) + - U 1 (s) V 2 (s) Y 1 (s) Y 2 (s) V(s) U 1 s =U s V 2 s =U s V s Y 2 s V s =U 1 s Y 1 s = U s V s Y 2 s Y 1 s V s 1 Y 1 s Y 2 s =U s Y 1 s Y 1 s Y negatív s = visszacsatolás 1 Y 1 s Y 2 s Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 30

31 Összetett rendszerek ábrázolása b Y 3 d a b Y 1 c e hatásvázlat f Y 2 e d Y 3 1 jelfolyamábra 1 Y 1 a b c 1 e -1 f Y Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 31

32 Hatásvázlatok egyszerűsítése Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 32

33 Hatásvázlatok egyszerűsítése - példa 1. azonos átalakítás = változatlan jeltartalom Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 33

34 Hatásvázlatok egyszerűsítése - példa Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 34