Jelek és rendszerek - 12.előadás
|
|
- Zsombor Lakatos
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Jelek és rendszerek - 12.előadás A Z-transzformáció és alkalmazása Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 1 / 47
2 Ismétlés Vázlat I.rész: Ismétlés 1 Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Az átviteli karakterisztika Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 2 / 47
3 Vázlat A Z-transzformáció és alkalmazása II.rész: A Z-transzformáció és alkalmazása 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 3 / 47
4 Vázlat A Z-transzformáció és alkalmazása II.rész: A Z-transzformáció és alkalmazása 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 3 / 47
5 Vázlat A Z-transzformáció és alkalmazása II.rész: A Z-transzformáció és alkalmazása 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 3 / 47
6 Összefoglalás Vázlat III.rész: Összefoglalás 5 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 4 / 47
7 Ismétlés 1 Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Az átviteli karakterisztika Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 5 / 47
8 Ismétlés FI DI Fourier-transzformáció A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Fourier-transzformáció FI DI S(jω) = s(t)e jωt dt, s(t) = 1 S(jω)e jωt dω 2π ( az integrált közeĺıtve, és t lt s ) S(jω) l= ( dω = dϑ/t s ) s(kt s ) = 1 ( π T s 2π s[k] = 1 2π π π π s(lt s )e jωlts T s = = ϑ:=ωts T s ( l= l= s[l]e jϑl ) jϑk dϑ e T s s[l]e jϑl ) e jϑk dϑ l= s[l]e jϑl Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 6 / 47
9 DI Fourier-transzformáció Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) DI Fourier-transzformáció és inverze S(e jϑ ) = F {s[k]} = k= s[k] = F 1 { S(e jϑ ) } = 1 2π s[k]e jϑk π π S(e jϑ )e jϑk dϑ Fourier-transzformálhatóság Egy DI s[k] jel akkor Fourier-transzformálható, ha abszolút összegezhető, azaz s[k] <. k= Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 7 / 47
10 Ismétlés DI Fourier-transzformáció valós alakja A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Valós alak s[k] = 1 π 2π = 1 2π = 1 2π = 1 2π π 0 π ϑ ϑ π 0 S(e jϑ )e jϑk dϑ S(e jϑ )e jϑk dϑ + 1 2π π S(e jϑ )e jϑk dϑ + 1 2π S(e jϑ ) = ( S(e jϑ ) ) π 0 0 π ( S(e jϑ ) ) e jϑk dϑ + 1 2π S(e jϑ )e jϑk dϑ 0 S(e jϑ )e jϑk dϑ π 0 S(e jϑ )e jϑk dϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 8 / 47
11 Ismétlés DI Fourier-transzformáció valós alakja A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Valós alak (folyt.) s[k] = 1 2π s[k] = 1 2π = 1 2π = 1 2π π 0 ( S(e jϑ ) ) e jϑk dϑ + 1 2π π 0 S(e jϑ )e jϑk dϑ S(e jϑ ) = S re (ϑ) + js im (ϑ), S(e jϑ ) = S re (ϑ) js im (ϑ) π 0 π 0 π 0 (S re (ϑ) js im (ϑ)) e jϑk dϑ + 1 2π π 0 (S re (ϑ) + js im (ϑ))e jϑk dϑ (S re (ϑ) js im (ϑ)) e jϑk + (S re (ϑ) + js im (ϑ))e jϑk dϑ 2S re (ϑ) ejϑk + e jϑk 2 2S im (ϑ) ejϑk + e jϑk 2j dϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 9 / 47
12 Ismétlés DI Fourier-transzformáció valós alakja A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Valós alak (folyt.) s[k] = 1 2π s[k] = 1 2π π 0 2S re (ϑ) ejϑk + e jϑk 2 (Euler-formulák) π 0 2S im (ϑ) ejϑk + e jϑk 2j 2S re (ϑ)cos(ϑk) 2S im (ϑ)sin(ϑk) dϑ (S A (ϑ) = 2R { S(e jϑ ) }, S B (ϑ) = 2I { S(e jϑ ) } ) s[k] = 1 2π π 0 S A (ϑ)cos(ϑk) + S B (ϑ)sin(ϑk) dϑ dϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 10 / 47
13 Ismétlés DI Fourier-transzformáció valós alakja A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Valós együtthatók számítása S(e jϑ ) = s[k]e jϑk = (s[k] cosϑk js[k] sin ϑk) = k= k= s[k] cosϑk j k= k= s[k] sinϑk S A (ϑ) = 2R { S(e jϑ ) }, S B (ϑ) = 2I { S(e jϑ ) } S A (ϑ) = 2 s[k] cosϑk, S B (ϑ) = 2 s[k] sinϑk k= k= s[k] paritása s[k] páros S(e jϑ ) valós (S B (ϑ) 0) s[k] páratlan S(e jϑ ) képzetes (S A (ϑ) 0) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 11 / 47
14 Ismétlés A Fourier-transzformáció tételei A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) Tétel (Linearitás) F {C 1 s 1 [k] + C 2 s 2 [k]} = C 1 F {s 1 [k]} + C 2 F {s 2 [k]} { n } n F C i s i [k] = C i F {s i [k]} i=1 i=1 Tétel (Eltolás) F {s[k K]} = e jϑk S(e jϑ ) Biz. s[k K] = 1 π S(e jϑ )e jϑ(k K) dϑ = 1 π 2π π 2π π F{s[k K]} {}}{ e jϑk S(e jϑ )e jϑk dϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 12 / 47
15 Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) A Fourier-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Konvolúció spektruma) ( ) F {s[k] w[k]} = (s[k] w[k])e jϑk = s[i]w[k i] = k= i= = W(e jϑ ) s[i] k= w[k i]e jϑk = k= i= i= i= s[i]e jϑi = W(e jϑ )S(e jϑ ) s[i]e jϑi W(e jϑ ) e jϑk Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 13 / 47
16 Ismétlés A diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DIFT) A Fourier-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Moduláció) F { s[k]e jϑ 0k } = k= vagy valós szinuszos jelre F {s[k] cos(ϑ 0 k)} = = 1 2 = 1 2 k= k= k= s[k]e jϑ 0k e jϑk = k= s[k] cos(ϑ 0 k)e jϑk = s[k]e jϑ 0k e jϑk s[k]e j(ϑ ϑ 0)k s[k]e j(ϑ ϑ0)k = S (e ) j(ϑ ϑ 0) k= k= k= = 1 2 S ( e j(ϑ ϑ 0) ) S ( e j(ϑ+ϑ 0) ) ( e jϑ 0 k + e jϑ ) 0k s[k] e jϑk 2 s[k]e jϑ 0k e jϑk s[k]e j(ϑ+ϑ 0)k Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 14 / 47
17 Ismétlés Az átviteli karakterisztika Az átviteli karakterisztika meghatározása Az átviteli karakterisztika W(e jϑ ) = Y(ejϑ ) S(e jϑ ) = b 0 + b 1 e jϑ + b 2 e 2jϑ + + b m e mjϑ 1 + a 1 e jϑ + a 2 e 2jϑ + + a n e njϑ A gerjesztés és a válasz spektrumának viszonya A W(e jϑ ) átviteli karakterisztika tehát tetszőleges gerjesztés és a rá adott válasz spektrumának ismeretében meghatározható. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 15 / 47
18 A Z-transzformáció 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 16 / 47
19 A Z-transzformáció A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció bevezetése 1 Intuitív módon, a Fourier-transzformáció alapján 2 Formálisan Alapelv Csak olyan DI jelek Foiurier-transzformálhatók, melyek abszolút összegezhetők. s[k] helyett s[k] s[k]e σk k= k= s[k]e σk <! Csak belépő jelekre! Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 17 / 47
20 A Z-transzformáció A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció bevezetése (folyt.) F { ε[k]s[k]e σk} = s[k]e σk e jϑk k=0 st s := σ + jϑ, z := e sts S(z) = s[k]z k = s[0] + s[1]z 1 + s[2]z 2 + s[3]z k=0 Megjegyzés (T s mintavételi periódusidő) { } L ε(t)s(t) δ(t kt s) = s(t) δ(t kt s)e st dt = k=0 k=0 s(kt s)e skts 0 0 k=0 δ(t kt s) dt z:=ests s[k]z k k=0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 18 / 47
21 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció A Z-transzformáció bevezetése (folyt.) S(z) = s[k]z k, k=0 jelölése S(z) = Z {s[k]} s[k] - időfüggvény, S(z) - képfüggvény, z - komplex frekvencia (DI) A Z-transzformáció az időtartományból az ún. komplex frekvenciatartományba, vagy Z-tartományba képez. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 19 / 47
22 A Z-transzformáció A Z-transzformáció tételei A Z-transzformáció tételei Tétel (Linearitás) Z {C 1 s 1 [k] + C 1 s 1 [k]} = C 1 S 1 (z) + C 2 S 2 (z) { n } n Z C i s i [k] = C i S i (z) i=1 i=1 Tétel (Eltolás) Z {ε[k K]s[k K]} = s[k K]z k = k=k k=k = z K s[m]z M = z K S(z) M=0 s[k K]z (k K) z K M:=k K Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 20 / 47
23 Az átviteli függvény A Z-transzformáció Az átviteli függvény Rendszeregyenlet Átviteli függvény W(z) = Y(z) S(z) = y[k] + Y(z) + Y(z) ( n m a i y[k i] = b j s[k i] i=1 i=1 i=0 n m a i z i Y(z) = b i z i S(z) 1 + i=1 m i=0 b iz i i=0 ) n m a i z i = S(z) b i z i i=0 1 + n i=1 a iz = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z b m z m i 1 + a 1 z 1 + a 2 z a n z n Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 21 / 47
24 Az átviteli függvény A Z-transzformáció Az átviteli függvény Az átviteli függvény (folyt.) W(z) = Y(z) S(z) = m i=0 b iz i 1 + n i=1 a iz = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z b m z m i 1 + a 1 z 1 + a 2 z a n z n A gerjesztés és a válasz Z-transzformáltjának viszonya A W(z) átviteli függvény tehát tetszőleges gerjesztés és a rá adott válasz Z-transzformáltjának ismeretében meghatározható. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 22 / 47
25 A Z-transzformáció Siettetett DI jel Z-transzformáltja Az átviteli függvény Siettetett DI jel Z-transzformáltja Z {s[k + 1]} = = z s[k + 1]z k = z k=0 k=0 s[k + 1]z (k+1) M=k+1 s[m]z M = z s[m]z M s[0] M=0 }{{} S(z) M=1 = zs(z) zs[0] Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 23 / 47
26 A Z-transzformáció Az átviteli függvény Átviteli függvény meghatározása az állapotváltozós leírásból Állapotváltozós leírás Átviteli függvény x[k + 1] = Ax[k] + bs[k], y[k] = c T x[k] + Ds[k] ( ) Z {x[k + 1]} = zx(z) zx[0] x[0] = 0 zx(z) = AX(z) + bs(z), Y(z) = c T X(z) + DS(z) zx(z) = AX(z) + bs(z) X(z)(zE A) = bs(z) X(z) = (ze A) 1 bs(z) Y(z) = c T (ze A) 1 bs(z) + DS(z) W(z) = Y(z) S(z) = ct (ze A) 1 b + D Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 24 / 47
27 A Z-transzformáció A Z-transzformáció tételei (folyt.) A Z-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Konvolúció Z-transzformáltja) Z {s[k] w[k]} = ( k ) s[i]w[k i] z k = k=0 i=0 i=0 k=0 } {{ } z i W(z) ( ) s[i]ε[k i]w[k i] k=0 = s[i] ε[k i]w[k i]z k = s[i]z i W(z) = S(z)W(z) i=0 i=0 } {{ } S(z) z k Megjegyzés (kauzális rendszer válasza az s[k] = z k jelre (z k = e σk e jϑk ) ) y[k] = w[i]s[k i] = w[i]z k i = z k w[i]z i = z k W(z) i=0 i=0 i=0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 25 / 47
28 A Z-transzformáció A Z-transzformáció tételei (folyt.) A Z-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Csillapítási tétel) Z { s[k]q k} = ( ) k z s[k]q k z k = s[k] = S(z) z= q z q k=0 k=0 Tétel (Kezdeti- és végértéktétel) s[0] = lim z S(z), s[k ] = lim [(z 1)S(z)] z 1 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 26 / 47
29 A Z-transzformáció Kapcsolat a Fourier-transzformálttal A Z-transzformáció tételei (folyt.) S(z) S(e jϑ ) Ha az s[k] jel belépő és abszolút összegezhető, akkor S(e jϑ ) = S(z) z=e jϑ W(z) W(e jϑ ) Ha az LI rendszer GV stabilis és kauzális, akkor W(e jϑ ) = W(z) z=e jϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 27 / 47
30 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k] Z-transzformáltja Z {ε[k]} = z k 1 = 1 z 1 = z z 1 k=0 Az ε[k]q k Z-transzformáltja Z { ε[k]q k} = q k z k = k=0 k=0 vagy a csillapítási tétel alkalmazásával: ( q ) k 1 = z 1 q z = z z q Z { ε[k]q k} 1 = 1 z 1 z= z q = 1 1 q z = z z q Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 28 / 47
31 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k]q k Z-transzformáltja és deriváltjai (segítség az inverz transzformációhoz) Z { ε[k]q k} = d dq Z { ε[k]kq k 1} = d dq z z q Z { ε[k]k(k 1)q k 2} =. z (z q) 2 2z (z q) 3 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 29 / 47
32 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k]e jϑk Z-transzformáltja Z { ε[k]e jϑk} = k=0 ε[k]e jϑk z k = Z{ε[k]qk }= z z q =, q=ejϑ z z e jϑ Az ε[k]e jϑk Z-transzformáltja Z { ε[k]e jϑk} = k=0 ε[k]e jϑk z k = Z{ε[k]qk }= z z q =, q=e jϑ z z e jϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 30 / 47
33 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k] cos(ϑk) Z-transzformáltja Z {ε[k] cos(ϑk)} = Z {ε[k] ejϑk + e jϑk } = Z { ε[k]e jϑk} Z { ε[k]e jϑk} = 1 z 2 z e jϑ + 1 z 2 z e jϑ = 1 2 z(z e jϑ ) + z(z e jϑ ) (z e jϑ )(z e jϑ ) = 1 2z 2 z(e jϑ + e jϑ ) 2 z 2 z(e jϑ + e jϑ ) + 1 = z2 z cos(ϑ) z 2 2z cos(ϑ) + 1 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 31 / 47
34 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k] sin(ϑk) Z-transzformáltja Z {ε[k] sin(ϑk)} = Z {ε[k] ejϑk e jϑk } = 1 2j 2j Z { ε[k]e jϑk} 1 2j Z { ε[k]e jϑk} = 1 z 2j z e jϑ 1 z 2j z e jϑ = 1 2j z(z e jϑ ) z(z e jϑ ) (z e jϑ )(z e jϑ ) = 1 z(e jϑ e jϑ ) 2j z 2 z(e jϑ + e jϑ ) + 1 = z sin(ϑ) z 2 2z cos(ϑ) + 1 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 32 / 47
35 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az δ[k] Z-transzformáltja Z {δ[k]} = δ[k]z k = 1 k=0 Az δ[k K] Z-transzformáltja Z {δ[k K]} = δ[k K]z k = z K k=0 vagy az eltolási tétel alkalmazásával: Z {δ[k K]} = z K Z {δ[k]} = z K Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 33 / 47
36 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Az impulzusválasz és az átviteli függvény viszonya Y(z) = W(z)S(z) W(z) = Z {w[k]}, ha s[k]=δ[k] S(z)=1 Y(z) = W(z) w[k] = Z 1 {W(z)} Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 34 / 47
37 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja Egyszerű DI jelek Z-transzformáltja Belépő periodikus jel Z-transzformáltja Egy f[k] függvény első periódusa (K db. ütem): s K [k] = {ε[k] ε[k K]}f[k] eltolva ik-hoz s[k] = s K [k ik] i=0 tagonként transzformálva Z {s[k]} = Z {s K [k]} z ik 1 = 1 z KS K(z) i=0 Megjegyzés S C p = 1 K K 1 k=0 s K [k]e jpϑk, S K (z) = K 1 k=0 s K [k]z k S C p = 1 K S K(z) z=e jpϑ Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 35 / 47
38 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja (Példák) DI jelek Z-transzformáltja Pl. 1 s[k] = ε[k] ( 0.5 k) Z { ε[k]q k} = z z q z S(z) = Z {s[k]} = z 0.5 Pl. 2 s[k] = ε[k] ( k 0.9 k) Z { ε[k]q k} = z z q, linearitás z S(z) = Z {s[k]} = 2 z 0.8 z z 0.9 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 36 / 47
39 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja (Példák) DI jelek Z-transzformáltja Pl. 3 s[k] = ε[k]0.7 k cos(5k) Z { s[k]q k} = S(z) z= z q (csillapítási tétel) S(z) = Z {s[k]} = Z {ε[k]cos(5k)} z= z = z2 z cos(5) 0.7 z 2 2z cos(5) + 1 z=( z = ( z 0.7 ( z 0.7 ) 2 ( z 0.7) cos(5) ) 2 ( 2 z ) = 0.7 cos(5) + 1 z z z z ) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 37 / 47
40 A Z-transzformáció DI jelek Z-transzformáltja (Példák) DI jelek Z-transzformáltja Pl. 4 s[k] = ε[k]k0.6 k Z { ε[k]kq k 1} z = (z q) 2, ε[k]k0.6k = ε[k]k0.6 k S(z) = Z {s[k]} = Z { ε[k]k0.6 k } z = 0.6 (z 0.6) 2 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 38 / 47
41 A Z-transzformáció alkalmazása 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 39 / 47
42 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja Válasz Z-transzformáltja A válaszjel Z-transzformáltja s[k] LI rendszer y[k] S(z) W(z) Y(z) R.e. W(z) Áll.e. W(z) Y(z) = W(z)S(z), (y[k] = w[k] s[k]) Fontos! Csak olyan X(z) transzformáltakhoz tartozik időfüggvény melyekre lim X(z) <, z azaz X(z) valódi törtfüggvény (a nevező fokszáma magasabb). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 40 / 47
43 Az inverz Z-transzformáció 2 A Z-transzformáció Definíció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja 3 A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja 4 Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 41 / 47
44 Az inverz Z-transzformáció Az inverz Z-transzformáció inverz Fourier-transzformáció inverz Z-transzformáció s[k] = 1 π S(e jϑ )e jϑk dϑ 2π π belépő és csillapított s[k] π ε[k]s[k]e σk = 1 S(e σ+jϑ )e jϑk dϑ 2π π ε[k]s[k] = 1 π S(e σ+jϑ )e (σ+jϑ)k dϑ 2π π z = e σ+jϑ = e σ e jϑ dz dϑ = eσ je jϑ = jz dz = zj dϑ ε[k]s[k] = 1 S(z)z k 1 dz (r Γ k ) 2πj z =r Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 42 / 47
45 Az inverz Z-transzformáció Az inverz Z-transzformáció (folyt.) Megjegyzés Az alábbi inverziós integrál kiértékelésére a gyakorlatban nincs szükség. ε[k]s[k] = Z 1 {S(z)} = 1 S(z)z k 1 dz (r Γ k ) 2πj z =r A Γ k konvergenciatartomány { } Γ k = z : s[k]z k < k= pl.: s[k] = ε[k]0.5 k 0.5z 1 < 1 z > 0.5 A Γ k sohasem tartalmaz pólusokat! Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 43 / 47
46 Válasz számítása Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pl.5 W(z) = W(z) = Y(z) = W(z)S(z) = z z z 0.05, s[k] = 2ε[k]0.3k, y[k] =? z 2z, S(z) = Z {s[k]} = (z 0.1)(z + 0.5) z 0.3 2z 2 (z 0.1)(z + 0.5)(z 0.3) = z ( ) 2z (z 0.1)(z + 0.5)(z 0.3) a zárójeles kifejezés részlettörtekre bontása ( A Y(z) = z z B z C ) A=, B= C= z 0.3 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 44 / 47
47 Válasz számítása Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz számítása Pl.5 (folyt.) ( 1.67 Y(z) = z z z ) = 1.67z z 0.3 z z z z z 0.3 Z { ε[k]q k} = z z q y[k] = ε[k] ( k 2.08 ( 0.5) k k) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 45 / 47
48 Az inverz Z-transzformáció Pólus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása Pólus-zérus elrendezés, stabilitás Pólus-zérus elrendezés, stabilitás W(z) = Y(z) S(z) = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z b m z m 1 + a 1 z 1 + a 2 z a n z n gyöktényezős alakban W(z) = K (z z 1)(z z 1 )...(z z m ) (z p 1 )(z p 1 )...(z p n ) A nevező polinom a ze A determináns s.é. = pólusok GV Stabilitás A DI rendszer akkor és csak akkor GV stabilis, ha W(z) átviteli függvényének minden pólusa az egységkörön belül helyezkedik el. ( p i < 1, i = 1, 2,..., n) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 46 / 47
49 Összefoglalás 5 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 12.előadás 47 / 47
Jelek és rendszerek - 4.előadás
Jelek és rendszerek - 4.előadás Rendszervizsgálat a komplex frekvenciatartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet
RészletesebbenJelek és rendszerek - 7.előadás
Jelek és rendszerek - 7.előadás A Laplace-transzformáció és alkalmazása Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika
RészletesebbenMintavételezés és FI rendszerek DI szimulációja
Mintavételezés és FI rendszerek DI szimulációja Dr. Horváth Péter, BME HVT 5. december.. feladat Adott az alábbi FI jel: x f (t) = cos(3t) + cos(4t), ([ω] =krad/s). Legalább mekkorára kell választani a
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenJelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék
Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenInverz Laplace-transzformáció. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. Definíció: Ha
RészletesebbenFODOR GYÖRGY JELEK ÉS RENDSZEREK
FODOR GYÖRGY JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, 2006 Előszó A valóságos fizikai, kémiai, műszaki, gazdasági folyamatokat modellek segítségével írjuk le. A modellalkotás során leegyszerűsítjük
RészletesebbenDiszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban
Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;
RészletesebbenJelek és rendszerek - 1.előadás
Jelek és rendszerek - 1.előadás Bevezetés, alapfogalmak Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök
RészletesebbenFourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz
Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea. 2017 ősz 5. Előadás témái Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Folytonos
RészletesebbenKuczmann Miklós. Jelek és rendszerek
Kuczmann Miklós Jelek és rendszerek Készült a HEFOP 3.3.-P.-4-9-/. pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Kuczmann Miklós Keviczky László, akadémikus c Kuczmann Miklós, 6. TARTALOMJEGYZÉK 3 Tartalomjegyzék.
RészletesebbenM pont(30) : (ii) Adja meg az e egyenes egy olyan pontját, melynek első koordinátája 7.
Név, azonosító: M pont(30) :. Az S sík egyenlete: 2x +4y +8z =4,azS 2 sík egyenlete: 2x +8y +4z =2. Legyene az az egyenes, mely párhuzamos mindkét síkkal és átmegy az (,2,3) ponton. (i) Adja meg az e egyenes
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenReichardt András okt. 13 nov. 8.
Példák és feladatok a Hálózatok és rendszerek analízise 2. tárgyhoz Reichardt András 2003. okt. 3 nov. 8. . fejezet Komplex frekvenciatartománybeli analízis Az alábbiakban a komplex frekvenciatartományban
RészletesebbenJelek és rendszerek - 1-2.előadás
Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet
RészletesebbenDigitális jelfeldolgozás
Digitális jelfeldolgozás Átviteli függvények Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2011. október 13. Digitális
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika a Alapfogalmak, modellezési elvek. Irányítástechnika Budapest, 2009 2 Az előadás szerkezete a 1. 2. módszerei 3.
RészletesebbenDigitális jelfeldolgozás
Digitális jelfeldolgozás Mintavételezés és jel-rekonstrukció Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2010.
RészletesebbenFelvételi vizsga. BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar
V Név, azonosító: pont(90): Felvételi vizsga Mesterképzés, villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar 2009. június 8. MEGOLDÁSOK A dolgozat minden lapjára, a kerettel jelölt részre írja
RészletesebbenDiszkrét idej rendszerek analízise szinuszos/periodikus állandósult állapotban
Diszkrét idej rendszerek analízise szinuszos/eriodikus állandósult állaotban Dr. Horváth Péter, BME HVT 6. november 4.. feladat Adjuk meg az alábbi jelfolyamhálózattal rerezentált rendszer átviteli karakterisztikáját
RészletesebbenSzámítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet
Számítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet 2. gyakorlat Feladattípusok két függvény konvolúciója ÿ + aẏ + by = e at, y(), ẏ() típusú kezdetiérték feladatok megoldása (Laplace transzformációval)
RészletesebbenM pont(30) : (ii) Adja meg az e egyenes egy olyan pontját, melynek első koordinátája 7.
M pont(30) :. Az S sík egyenlete: 2x +4y +8z =4,azS 2 sík egyenlete: 2x +8y +4z =2. Legyene az az egyenes, mely párhuzamos mindkét síkkal és átmegy az (,2,3) ponton. (i) Adja meg az e egyenes egy olyan
RészletesebbenNégypólusok tárgyalása Laplace transzformációval
Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval Segédlet az Elektrotechnika II. c. tantárgyhoz Összeállította: Dr. Kurutz Károly egyetemi tanár Szászi István egyetemi tanársegéd . Laplace transzformáció
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenFelvételi vizsga. BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar június 8.
Név, azonosító: V pont(90) : Felvételi vizsga Mesterképzés, villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar 2009. június 8. A dolgozat minden lapjára, a kerettel jelölt részre írja fel nevét,
RészletesebbenFelvételi vizsga. BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar
Név, azonosító: pont(90): Felvételi vizsga Mesterképzés, villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar 2009. január 5. A dolgozat minden lapjára, a kerettel jelölt részre írja fel nevét,
Részletesebben1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!
. Vizsgálat az időtartományban.. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! x x x xy x [ k ] x b( c eg x x gf u [ k ] x ( bd beh x x fh [ k ] bx( c
RészletesebbenTartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás
Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz
Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz 1. Hogyan lehet osztályozni a jeleket időfüggvényük időtartama szerint? 2. Mi a periodikus jelek definiciója? (szöveg, képlet, 3. Milyen
RészletesebbenCsak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar január 4.
Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: VI pont(45) : Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki
RészletesebbenL-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.
Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet
Részletesebbenilletve, mivel előjelét a elnyeli, a szinuszból pedig kiemelhető: = " 3. = + " 2 = " 2 % &' + +
DFT 1. oldal A Fourier-sorfejtés szerint minden periodikus jel egyértelműen felírható különböző amplitúdójú és fázisú szinusz és koszinusz jelek összegeként: = + + 1. ahol az együtthatók, szintén a definíció
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 6. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenFourier transzformáció
Fourier transzformáció A szeizmikus hullámok tanulmányozása során igen nagy jelentősége van a hullámok frekvencia tartalmának. Ezt használjuk a hullámok alakjának mintavételezésekor, lineáris szűrések
RészletesebbenSzámítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?
Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?adás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs
RészletesebbenHangtechnika. Médiatechnológus asszisztens
Vázlat 3. Előadás - alapjai Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Ismétlés Vázlat I.rész: Ismétlés II.rész: A digitális Jelfeldolgozás
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.18. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG Mérések
RészletesebbenIrányítástechnika II. előadásvázlat
Irányítástechnika II. előadásvázlat Dr. Bokor József egyetemi tanár, az MTA rendes tagja BME Közlekedés- és Járműirányítási Tanszék 2018 1 Tartalom Irányítástechnika II. féléves tárgytematika Az irányításelmélet
Részletesebben1. témakör. A hírközlés célja, általános modellje A jelek osztályozása Periodikus jelek leírása időtartományban
1. témakör A hírközlés célja, általános modellje A jelek osztályozása Periodikus jelek leírása időtartományban A hírközlés célja, általános modellje Üzenet: Hír: Jel: Zaj: Továbbításra szánt adathalmaz
RészletesebbenFourier-sorfejtés vizsgálata Négyszögjel sorfejtése, átviteli vizsgálata
Fourier-sorfejtés vizsgálata Négyszögjel sorfejtése, átviteli vizsgálata Reichardt, András 27. szeptember 2. 2 / 5 NDSM Komplex alak U C k = T (T ) ahol ω = 2π T, k módusindex. Időfüggvény előállítása
RészletesebbenDigitális szűrők - (BMEVIMIM278) Házi Feladat
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rszerek Tanszék Digitális szűrők - (BMEVIMIM278) FIR-szűrő tervezése ablakozással Házi Feladat Név: Szőke Kálmán Benjamin Neptun:
Részletesebben3. témakör. Rendszerek idő, frekvencia-, és komplex frekvenciatartományi leírása
3. témakör Rendszerek idő, frekvencia-, és komplex frekvenciatartományi leírása Bevezetés Célunk a rendszer kimenő jelének meghatározása a bemenő jel és a rendszerjellemző függvény ismeretében. A rendszereket
RészletesebbenÁllapottér modellek tulajdonságai PTE PMMK MI BSc 1
Állapottér modelle tulajdonságai 28..22. PTE PMMK MI BSc Kalman-féle rendszer definíció Σ (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) T az időhalmaz X a lehetséges belső állapoto halmaza U a lehetséges bemeneti értée halmaza
RészletesebbenFehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális szűrő Összegezési súlyok sin x/x szerint (ez akár analóg is lehet!!!)
DSP processzorok: 1 2 3 HP zajgenerátor: 4 Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot Autókorrelációs függvény: l. pénzdobálás: (sin x/x) 2 burkoló! Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális
RészletesebbenFI rendszerjellemz függvények
FI rendszerjellemz függvények Dr. Horváth Péter, BME HVT 6. október 7.. feladat Határozzuk meg az ábrákon látható hálózatok által reprezentált rendszerek alábbi rendszerjellemz függvényeit, ha a rendszer
Részletesebben25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel.
25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel. A gerjesztı jelek hálózatba történı be- vagy kikapcsolása után átmeneti (tranziens) jelenség játszódik le. Az állandósult (stacionárius)
RészletesebbenDekonvolúció a mikroszkópiában. Barna László MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Nikon-KOKI képalkotó Központ
Dekonvolúció a mikroszkópiában Barna László MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Nikon-KOKI képalkotó Központ 2015 Fourier-Sorok Minden 2π szerint periodikus függvény előállítható f x ~ a 0 2 + (a
RészletesebbenKommunikációs hálózatok 2
Kommunikációs hálózatok 2 A fizikai rétegről Németh Krisztián BME TMIT 2017. márc. 27. Hajnalka névnap Színházi világnap A whisk(e)y világnapja :)* *Skót, kanadai, japán: whisky, ír, amerikai: whiskey
RészletesebbenDr. Kuczmann Miklós. Ez a példatár a tervezett példatár nulladik verziója. További
Dr. Kuczmann Miklós Példatár a Jelek és rendszerek című tárgyhoz 0. verzió Csak a könyvből kimaradt példák... Ez a példatár a tervezett példatár nulladik verziója. További példákat és megoldásokat az előadásokon
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenShift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot
DSP processzorok: 1 2 HP zajgenerátor: 3 Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot Autókorrelációs függvény: l. pénzdobálás: (sin x/x) 2 burkoló! 4 Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenMérés és adatgyűjtés
Mérés és adatgyűjtés 4. óra Mingesz Róbert Szegedi Tudományegyetem 2012. február 27. MA - 4. óra Verzió: 2.1 Utolsó frissítés: 2012. március 12. 1/41 Tartalom I 1 Jelek 2 Mintavételezés 3 A/D konverterek
RészletesebbenFourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
RészletesebbenVillamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar
VI Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: pont(90): Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenMECHATRONIKA Mechatronika alapképzési szak (BSc) záróvizsga kérdései. (Javítás dátuma: )
MECHATRONIKA 2010 Mechatronika alapképzési szak (BSc) záróvizsga kérdései (Javítás dátuma: 2016.12.20.) A FELKÉSZÜLÉS TÉMAKÖREI A számozott vizsgakérdések a rendezett felkészülés érdekében vastag betűkkel
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
RészletesebbenZ v 1 (t)v 2 (t τ)dt. R 12 (τ) = 1 R 12 (τ) = lim T T. ill. periódikus jelekre:
1 Korrelációs fügvények Hasonlóság mértéke a két függvény szorzatának integrálja Időbeli változások esetén lehet vizsgálni a hasonlóságot a τ relatív időkülönbség szerint: Keresztkorrelációs függvény:
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenFI rendszerek periodikus állandósult állapota (JR1 ismétlés)
FI rendszerek periodikus állandósult állapota (JR ismétlés) Dr. Horváth Péter, BME HV 6. szeptember.. feladat Az ábrán látható ún. Maxwell-Wienhídkapcsolás segítségével egy veszteséges tekercs L x induktivitása
RészletesebbenVillamosságtan szigorlati tételek
Villamosságtan szigorlati tételek 1.1. Egyenáramú hálózatok alaptörvényei 1.2. Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.3. Nemlineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.4. Egyenáramú hálózatok
RészletesebbenCsak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar január 3.
Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: VI pont(90) : Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
RészletesebbenSegédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból
Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból 1 Átviteli tényező számítása: Lineáris rendszer: Pl1.: Egy villanymotor 100V-os bemenő jelre 1000 fordulat/perc kimenő jelet ad.
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 6. A MINTAVÉTELI TÖRVÉNY
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 6. A MINTAVÉTELI TÖRVÉNY Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.25. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG Mintavételezés
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenFI rendszerek analízise a komplex frekvenciatartományban
FI rendszerek analízise a komplex frekvenciatartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 07. január 9.. feladat Vázoljuk fel az alábbi függvényeket, és határozzuk meg aplace-transzformáltjukat!.. +f t = Ae
RészletesebbenMéréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1
Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenGeofizikai kutatómódszerek I.
Geofizikai kutatómódszerek I. A gravitációs és mágneses kutatómódszer Dr. Szabó Norbert Péter egyetemi docens Miskolci Egyetem Geofizikai Intézeti Tanszék e-mail: norbert.szabo.phd@gmail.com 1. A gravitációs
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenJelgenerálás virtuális eszközökkel. LabVIEW 7.1
Jelgenerálás virtuális eszközökkel (mágneses hiszterézis mérése) LabVIEW 7.1 3. előadás Dr. Iványi Miklósné, egyetemi tanár LabVIEW-7.1 EA-3/1 Folytonos idejű jelek diszkrét idejű mérése A mintavételezési
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenCsak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar január 3.
Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: VI pont(45) : Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenCsak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar május 30.
Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: VI pont(45) : Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenEddigi tanulmányaink alapján már egy sor, a szeizmikában általánosan használt műveletet el tudunk végezni.
Eddigi tanulmányaink alapján már egy sor, a szeizmikában általánosan használt műveletet el tudunk végezni. Kezdjük a sort a menetidőgörbékről, illetve az NMO korrekcióról tanultakkal. A következő ábrán
Részletesebbenjelfeldolgozásba II.
TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-215-9 A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen Bevezetés a számítógépes jelfeldolgozásba II. Sári Zoltán Pécs 215
RészletesebbenHatárérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
RészletesebbenJelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03
Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 3. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenBevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi
Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
Részletesebben2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011
8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon
RészletesebbenIrányítástechnika 2. előadás
Irányítástechnika 2. előadás Dr. Kovács Levente 2013. 03. 19. 2013.03.19. Tartalom Tipikus vizsgálójelek és azok információtartalma Laplace transzformáció, állapotegyenlet, átviteli függvény Alaptagok
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenAz ideális határesetek, mint például tömegpont, tökéletesen merev testek pillanatszerű
Részlet Török János, Orosz László, Unger Tamás, Elméleti Fizika 1 jegyzetéből 1 1. fejezet Matematikai bevezető 1.1. Dirac-delta Az ideális határesetek, mint például tömegpont, tökéletesen merev testek
Részletesebben