Jelek és rendszerek előadás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Jelek és rendszerek - 1-2.előadás"

Átírás

1 Jelek és rendszerek előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 1 / 141

2 Bevezetés,alapfogalmak Vázlat I.rész: Bevezetés, alapfogalmak 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 2 / 141

3 Bevezetés,alapfogalmak Vázlat I.rész: Bevezetés, alapfogalmak 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 2 / 141

4 Bevezetés,alapfogalmak Vázlat I.rész: Bevezetés, alapfogalmak 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 2 / 141

5 Vázlat II.rész: Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 3 / 141

6 Vázlat II.rész: Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 3 / 141

7 Vázlat II.rész: Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 3 / 141

8 Vázlat Állapotváltozós rendszerleírás III.rész: Az állapotváltozós rendszerleírás 7 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) 8 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Az állapotváltozós leírás megoldása SISO rendszer megoldása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 4 / 141

9 Vázlat Állapotváltozós rendszerleírás III.rész: Az állapotváltozós rendszerleírás 7 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) 8 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Az állapotváltozós leírás megoldása SISO rendszer megoldása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 4 / 141

10 Összefoglalás Vázlat IV.rész: Összefoglalás 9 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 5 / 141

11 Jel fogalma és leírása 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 6 / 141

12 Jel fogalma és leírása Jelek és fizikai mennyiségek Valamely valóságos folyamat mérhető mennyiségeiről mérőeszközök segítségével szerezhetünk információt. Definíció (Fizikai mennyiség) Különböző folyamatok mérhető mennyiségeiről valamilyen mérőeszköz segítségévél mért mennyiséget fizikai mennyiségnek nevezzük. Példa hőmérséklet a tér egy adott pontján, egy testre ható erő, feszültség egy erősítő kimenetén, folyadékszint egy tartályban, stb. A fizikai mennyiségek matematikai leírását változók bevezetésével végezzük, melyek értéke valamely mértékegységben (pl. SI) megadott számérték. Példa T = 26.2 C, F = 90 N, u = 0.8 V, l = 1.43 m. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 7 / 141

13 Jel fogalma és leírása A jel fogalma és matematikai leírása Definíció (Jel) A jel valamely fizikai mennyiség olyan értéke vagy értékváltozása, amely egy egyértelműen hozzárendelt információt hordoz. Jelek matematikai leírására függvényeket használunk. A függvények egy független változó és egy függő változó között definiálnak kapcsolatot. (Egy változós skalár függvények) f : R R, y = x f(x), y = f(x) A független változó lehetséges értékeinek halmaza alkotja a függvény értelmezési tartományát (D f ), a függő változó értékeinek halmaza pedig a függvény értékkészletét (R f ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 8 / 141

14 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása A jelek alaptípusai, az értékkészlet és az értelmezési tartomány szerkezete alapján. 1 Ha a jel az idő argumentum minden valós értékére értelmezett, akkor folytonos idejű jelről beszélünk. Ezen csoportban legismertebb az analóg jel (folytonos értékű jel),amelynél a jel értéke is folytonos, 2 Ha egy analóg jelből adott (általában egyenletes osztású) időpillanatokban mintákat veszünk, akkor az időben diszkrét, értékkészletében pedig folytonos jelet kapunk, ami voltaképpen egy számsorozat. Ezt diszkrét idejű jelnek nevezzük, 3 Vannak olyan jelek, amelyek csak bizonyos értékeket vehetnek fel egy megszámlálható számhalmaz elemeiből (lépcsős, másnéven kvantált jelalak, vagy diszkrét értékű jel). Az ilyen jel az időben folytonos, de értékkészletében diszkrét, 4 Végül a számítástechnika szinte minden műszaki területen jelen lévő alkalmazása miatt nagy jelentősége van a mind időben, mind értékkészletében diszkrét jelnek, amelyet digitális jelnek nevezünk. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 9 / 141

15 A különböző jeltípusok Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása x 1 (t) 0 x 2 [k] t k x 3 (t) 0.5 x 4 [k] t k Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 10 / 141

16 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Folytonos jelek és megadásuk Egy x jel akkor folytonos idejű, ha a jel az idő minden valós értékére értelmezett ahol t az időváltozó jele. Megadásuk: x = x(t), t R, < t <, Képlettel (matematikai formulával) (pl. x(t) = 3cos(t π/2)) Grafikusan (ábrázolással) Differenciál-egyenlettel Értékek felsorolásával (értéktáblázattal) Figyelem! A grafikus és értéktáblázatos megadással csak véges hosszú jel adható meg korlátozott pontossággal. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 11 / 141

17 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás képlettel(formulával) és grafikusan x 1 (t) 0 x 1 (t) = { 0 ha t < 0 2cos(3t)sin(5t) ha t 0 x 2 (t) = { t ha t < 2 t 2 ha t t x 2 (t) t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 12 / 141

18 Jel fogalma és leírása Megadás képlettel és grafikusan Jelek osztályozása x 3 (t) x 3 (t) = 2cos(3t π/2) t x 4 (t) = 1 0.3e 0.5t sin(3t) t x 4 (t) t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 13 / 141

19 Jel fogalma és leírása Megadás differenciálegyenlettel Jelek osztályozása Egy folytonos idejű jel megadható egy n-ed rendű differenciálegyenlettel, de ebben az esetben egy adott t időpontban (célszerűen a t = 0-ban) meg kell adnunk n számú kezdeti értéket is. A megadott jel ekkor a differenciálegyenlet megoldásaként kapott függvény. Pl. dy dt = f(y, t), y(0) = y 0 y(t) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 14 / 141

20 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás differenciálegyenlettel A megadott egyenlet dy dt = 2y, y(0) = 5 dy = 2ydt (1) dy y = 2dt (2) 1 dy = 2 1dt (3) y lny + C 1 = 2(t + C 2 ) (4) y = e 2t C = e 2t C (5) e y(t) = Me 2t 1 vigyük át az y változót a bal, a t változót pedig a jobb oldalra (változók szeparálása) 2 formálisan integráljuk az egyenlet mindkét oldalát. 3 felhasználjuk az 1/y és az 1 integranduszok primitív függvényét, az ln y + C 1 és a t + C 2 függvényeket, és 4 rendezzük az egyenletet y-ra úgy, hogy a C 1 és C 2 konstanokat összevonjuk egyetlen C konstanssá (C = C 1 + 2C 2 ). 5 helyettesítsük az e C konstanst M-el. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 15 / 141

21 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás differenciálegyenlettel (folyt.) 25 Ezáltal az y = Me 2t általános megoldást kapjuk, ahol az M konstans értékét a t = 0 időpillanatban adott érték segítségével határozzuk meg: y(0) = Me 0 = 5 M = 5. Így a differenciálegyenletet és a kezdeti feltételt is kilégítő időfüggvény a következő (kék görbe): y(t) y(t) = 5e 2t t 5 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 16 / 141

22 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Diszkrét jelek és megadásuk Egy f[k] jel akkor diszkrét idejű, ha független változója k csak egész értékeket vehet fel y = f[k], k Z, k [,..., 1, 0, 1, 2,..., ], ahol k a diszkrét idő, azaz a kt s mintavételi időpillanat indexe. Megadásuk: Képlettel (matematikai formulával) (pl. y[k] = 3cos(k π/2)) Rekurzív formulával (pl. y[k] = 0.8y[k 1] + 0.2y[k 2]) Grafikusan (ábrázolással) Értékek felsorolásával (értéktáblázattal) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 17 / 141

23 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás rekurzív formulával A jel k-adik ütembeli értéke sok esetben rekurzív úton számolható az azt megelőző értékek segítségével, pl.: y[k] = 0.5y[k 1] + 0.1y[k 2], y[ 1] = 2, y[ 2] = 0. A k = 0, 1, 2,... ütemekre az y[k] értéke lépésenként számolható, melyhez azonban ismerni kell a kezdeti feltételeket is (most y[ 1] = 2 és y[ 2] = 0). A rekurzió tehát a következő: y[0] = 0.5y[ 1] + 0, 1y[ 2] = = 1 y[1] = 0.5y[0] + 0, 1y[ 1] = = 0.7 y[2] = 0.5y[1] + 0, 1y[0] = 0.5 0, = 0.45 y[3] = = és így tovább. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 18 / 141

24 Jel fogalma és leírása Belépő és nem belépő jelek Jelek további csoportosítása Egy folytonos idejű y(t) jel belépő, ha értéke t negatív értékeire azonosan nulla. y(t) 0, ha t < 0 Egy diszkrét idejű y[k] jel belépő, ha értéke k negatív értékeire azonosan nulla. y[k] 0, ha k < 0 Általánosabban egy folytonos (diszkrét) idejű jel belépő a t 0 (k 0 ) időpillanatban, ha t < t 0 (k < k 0 ) esetén azonosan nulla. y(t) 0, ha t < t 0, y[k] 0, ha k < k 0 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 19 / 141

25 Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Páros és páratlan jelek Egy x(t) ill. x[k] jel páros, ha igaz a jelre hogy x( t) = x(t), x[ k] = x[k], azaz a jel szimmetrikus az ordinátára (függőleges tengely). Pl. y(t) = cos(t), y(t) = 1, y(t) = t Egy x(t) ill. x[k] jel páratlan, ha x( t) = x(t), x[ k] = x[k]. azaz a jel szimmetrikus az origóra. Pl. y(t) = sin(t), y(t) = sgn(t), y(t) = t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 20 / 141

26 Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Korlátos jelek Egy y(t) (y[k]) jel korlátos, ha létezik olyan véges K érték amelyre igaz, hogy y(t) < K, y[k] < K. Pl. pl. az y(t) = A sin(ωt) korlátos mert az értéke abszolút értékben legfeljebb A. Az y(t) = t vagy az y[k] = e 3k nem korlátos, mert nem létezik olyan véges K amelyre igaz a fenti feltétel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 21 / 141

27 Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Periodikus és aperiodikus jelek Az y(t) folytonos idejű jel T periódusidővel periodikus, ha y(t + T) = y(t) igaz t minden értékére. Hasonlóan az y[k] diszkrét idejű jel K periódusidővel periodikus, ha y[k + K] = y[k] igaz k minden értékére. Pl. Periodikus jelek pl. a harmonikus függvények (sin, cos), aperiodikus pl. az y(t) = e t vagy az y[k] = k 2 jel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 22 / 141

28 Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Determinisztikus és sztochasztikus jelek Az y(t) (y[k]) jel determinisztikus, ha értékét minden t időpillanatra előre ismerjük. Pl. Determinisztikus pl. y(t) = t vagy y[k] = sin[k]. Az y(t) (y[k]) jel sztochasztikus, ha időfüggését nem ismerjük előre, de meg tudjuk határozni bizonyos statisztikai jellemzőit. A sztochasztikus jelek véletlen folyamatok eredményei. Pl. Tipikus sztochasztikus jelek a különböző zajok. Melyek időfüggvény formájában nem adhatók meg, de statisztikai tulajdonságaik ismertek. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 23 / 141

29 Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Egy y(t) (y[k]) jel átlagértéke a [0, T] ([0, K]) intervallumon µ = 1 T T 0 y(t)dt, µ = 1 K + 1 K y[k]. k=0 Egy y(t) (y[k]) jel szórása a [0, T] ([0, K]) intervallumon 1 T σ = (y(t) µ) T 2 dt, σ = 1 K (y[k] µ) 0 K 2. k=0 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 24 / 141

30 Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Két különböző sztochasztikus jel átlaga és szórása. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 25 / 141

31 Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Különböző jelek átlaga és szórása. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 26 / 141

32 Jel fogalma és leírása További gyakori jeltípusok Jelek további csoportosítása Korlátos tartójú jelek: A jel egy korlátos intervallumon kívül azonosan 0. Abszolút integrálható jelek: Abszolút összegezhető jelek: k= Négyzetesen integrálható jelek Négyzetesen összegezhető jelek k= x(t) dt < x[k] < x(t) 2 dt < x[k] 2 < Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 27 / 141

33 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A FI egységugrásjel ε(t) (Heaviside fv., 1(t) ) A vizsgált folyamatokat leíró jelek egy adott időpillanatban kezdődnek, ami célszerűen választható nullának. Az egységugrásjel hasznos lesz ilyen jelek leírására Definíció (Egységugrás) ε(t) = { 0, ha t < 0, 1, ha t > 0. ε(t) t A szakaszonként folytonos egységugrásjelnek a t = 0 időpillanatban szakadása van. Itt bal oldali határértéke (a t = 0 időpillanatban) 0, jobb oldali határértéke (a t = +0 időpillanatban) pedig 1. lim ε(t) = 0, lim t 0 ε(t) = 1. t +0 Az ε(t) a t = 0 időpillanatban nem definiált. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 28 / 141

34 Eltolt egységugrás Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Szükségünk lehet egy tetszőleges τ idővel eltolt egységugrásjelre, amely a következőképp adható meg Definíció (Eltolt egységugrás) ε(t τ) = { 0, ha t < τ, 1, ha t > τ. ε(t τ) τ t Az egységugrásjelet és eltolját korlátos tartójú jelek matematikai formulával történő megadására alkalmazzuk Definíció (Négyszög-ablak) ε(t) w R(τ1,τ 2 )(t) = ε(t τ 1 ) ε(t τ 2 ) ε(t) ε(t τ) ε(t τ) τ t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 29 / 141

35 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Ablakolás az egységugrásjel segítségével Egy x(t) jel adott intervallumát szeretnénk kiválasztani Az egységugrásjel segítségével, a vizsgált jel egy adott részét kitakarjuk egy négyszögletes ablakkal, amit két eltolt egységugrásjel különbségeként álĺıthatunk elő Az eredeti jel x(t) = e 0.2t cos(2t) Az ablakolt jel y(t) = [ε(t τ 1 ) ε(t τ 2 )]x(t), 0 ahol τ 1 = 0.5 és τ 2 = y(t) t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 30 / 141

36 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A FI Dirac-impulzus δ(t) (egységimpulzus) Definíció (Egységnyi intenzitású impulzus) δ(t, τ) = ε(t) ε(t τ) τ Ennek szélessége tehát τ, magassága pedig 1/τ, így intenzitása (területe) egységnyi δ(t, τ)dt = 1. Szemléletesen δ(t, τ) δ(t) ε(t) ε(t τ) δ(t) = lim. τ 0 τ δ(t,τ) δ(t) /τ τ t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 31 / 141

37 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A Dirac-δ fontosabb tulajdonságai jelölése egy függőleges nyíl, a Dirac-δ páros függvény. A Dirac-δ tehát olyan jel, melynek értéke minden t helyen 0, kivéve a t = 0 helyet, ahol végtelen nagy, és intenzitása (területe) egységnyi. δ(t)dt = +0 0 δ(t)dt = 1. A fenti egyenlőség igaz az eltolt Dirac-impulzusra is δ(t τ)dt = τ+0 τ 0 δ(t τ)dt = 1. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 32 / 141

38 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A Dirac-δ definíciója Definíció (Dirac-δ) Ha f(t) folytonos a τ helyen, akkor f(t)δ(t τ)dt = f(τ), mert, ha az f(t) időfüggvényt beszorozzuk a δ(t τ) Dirac-impulzussal, akkor egy olyan függvényt kapunk, amelynek értéke mindenütt nulla, kivéve a t = τ helyet, ahol viszont értéke egy olyan Dirac-impulzus, melynek nagysága arányos a konstans f(τ) értékkel, azaz f(t)δ(t τ)dt = f(τ) τ+0 τ 0 δ(t τ)dt = f(τ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 33 / 141

39 Jel fogalma és leírása Az általánosított derivált Fontosabb FI és DI jelek Ha az x = x(t) jel differenciálható, akkor x (t) dx dt = lim x(t + t) x(t) t 0 t az x(t) jel derivált jele, ha létezik a fenti határérték. Előfordul, hogy egy folytonos idejű jel szakaszonként differenciálható, viszont az egyes szakaszok közötti átmenetnél a jelnek véges szakadása (ugrása) van. Ennek kezelésére vezetjük be az általánosított derivált fogalmát Definíció (Általánosított derivált) egy x(t) jel általánosított deriváltja az az x (t) jel, melynek segítségével az x(t) jel az alábbi módon álĺıtható elő x(t) = t t 0 x (τ)dτ + x(t 0 ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 34 / 141

40 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és a Dirac-δ kapcsolata Pl.1 Közeĺıtsük az ε(t) függvényt az alábbi függvénnyel 0 ha t < 0 x(t) = t/τ ha 0 < t < τ 1 ha t > τ Innen az x (t) derivált jel egy olyan négyszögimpulzus, amelynek értéke a 0 < t < τ intervallumban 1/τ, azaz x (t) = δ(t, τ). x(t) t Ha τ 0, akkor x(t) ε(t) és x (t) δ(t). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 35 / 141

41 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és a Dirac-δ kapcsolata (folyt.) Pl.1 (folyt) A definíciós összefüggés szerint tehát (figyelembe véve, hogy x( ) = 0) hiszen t ε(t) = δ(τ)dτ = t δ(τ)dτ { 0 ha t < 0 1 ha t > 0 ε(t), tehát ε(t) = δ(t), Azaz a Dirac-δ az ε(t) egységugrásjel általánosított deriváltja. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 36 / 141

42 Jel fogalma és leírása Az általánosított derivált (folyt.) Fontosabb FI és DI jelek Pl.2 Adott egy x(t) jel, amelyet szakaszonként az x 1 (t) illetve az x 2 (t) folytonos jel ír le, melyek találkozásánál (a t 1 helyen) x(t)-nek K értékű véges szakadása van { { x 1 (t) ha t < t 1 x 1 (t) = 3e 2t ha t < 2 x(t) = = x 2 (t) ha t t 1 x 2 (t) = 5e 2(t 2) ha t 2 A jel általánosított deriváltja x 1 (t) ha t < t 1 x 1 (t) = 6e 2t ha t < 2 x (t) = Kδ(t t 1 ) ha t = t 1 = 4.95δ(t 2) ha t = 2 x 2 (t) ha t > t 1 x 2 (t) = 10e 2(t 2) ha t > 2 mivel K = x 2 (t 1 ) x 1 (t 1 ) = 5 3e 4 = Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 37 / 141

43 Jel fogalma és leírása Az általánosított derivált (folyt.) Fontosabb FI és DI jelek Pl.2 (folyt) 5 5 x(t) x (t) t x(t) = { x 1 (t) = 3e 2t ha t < 2 x 2 (t) = 5e 2(t 2) ha t t x 1 (t) = 6e 2t ha t < 2 x (t) = 4.95δ(t 2) ha t = 2 x 2 (t) = 10e 2(t 2) ha t > 2 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 38 / 141

44 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az általánosított derivált (folyt.) Pl.2 alternatív megoldási módszer Írjuk fel az x(t) függvényt ablakozott jelek segítségével zárt alakban x(t) = x a (t) + x b (t) = [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t), majd végezzük el a deriválást (szorzatfüggvények összegének deriváltja) x a(t) = [1 ε(t t 1 )] x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1(t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1 (t), x b(t) = ε (t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2(t) = δ(t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2(t), x (t) = x a(t) + x b(t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1(t) + δ(t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t), Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 39 / 141

45 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az általánosított derivált (folyt.) Pl.2 alternatív megoldási módszer (folyt.) A derivált jel tartalmaz eltolt Dirac-impulzusokat, melyekről azonban tudjuk, hogy csak a t = t 1 időpillanatban vesznek fel értéket, minden más időpillanatban az értékük nulla, (továbbá δ(t t 1 )x 1 (t) = δ(t t 1 )x 1 (t 1 )) x (t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + δ(t t 1)x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t) = [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + δ(t t 1)(x 2 (t 1 ) x 1 (t 1 )) + ε(t t 1 )x 2 (t) ahonnan a számértékek behelyettesítésével x (t) = 6[1 ε(t 2)]e 2t δ(t 2) 10ε(t 2)e 2(t 2), ami azonos az előzőekben kapott eredménnyel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 40 / 141

46 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A DI egységugrás ε[k] és egységimpulzus δ[k] Definíció (Egységugrás) ε[k] = { 0 ha k < 0, 1 ha k 0, azaz az egységugrás értéke a k < 0 ütemekre 0, nemnegatív egészekre pedig 1. Definíció (Egységimpulzus) 0 ha k < 0, δ[k] = 1 ha k = 0, 0 ha k > 0, azaz az egységimpulzus értéke a k = 0 helyen 1, bármely más helyen értéke nulla. Eltolt egységugrás ε[k i] = Eltolt egységimpulzus { 0 ha k < i, 1 ha k i, 0 ha k < i, δ[k i] = 1 ha k = i, 0 ha k > i, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 41 / 141

47 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek DI jelek megadása eltolt egységimpulzusokkal Pl. x[k] = { 0 ha k < 0, k = 4δ[k] + 2δ[k 1] + δ[k 2] +... ha k 0, Tetszőleges x[k] jel megadása x[k] = i= x[i]δ[k i], tehát az x[k] jelet eltolt egységimpulzusok súlyozott összegeként, más néven szuperpozíciójaként írhatjuk fel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 42 / 141

48 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és az egységimpulzus kapcsolata Az egységugrásjel kifejezhető egységimpulzusokkal ε[k] = δ[k i] = δ[k] + δ[k 1] + δ[k 2] +..., i=0 Az egységimpulzus pedig megadható az egységugrással δ[k] = ε[k] ε[k 1], melynek általánosításával juthatunk el a folytonos idejű ablakhoz hasonló diszkrét idejű ablakhoz. 0 ha k < 0, x[k] = 1.1k ha 0 k < 4 x[k] = {ε[k] ε[k 4]}1.1k 0 ha k 4, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 43 / 141

49 Rendszerek és osztályozásuk 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 44 / 141

50 A rendszer fogalma Rendszerek és osztályozásuk Definíció (Rendszer) A rendszer egy fizikai objektum valamilyen modellje, melynek segítségével modellezhetjük, matematikailag leírhatjuk annak működését. Rendszer lehet pl. egy szabályozandó berendezés, egy bonyolult ipari robot, de rendszer lehet egy rugóra akasztott test és a rugó együttesen. A rendszer lényege, hogy matematikai formába öntsük azt a bonyolult folyamatot, amelynek szimulációját el szeretnénk végezni annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk az objektum tulajdonságairól, megtudjuk, hogy az hogyan fog viselkedni, ha valamilyen hatás éri. Ezek a külső hatások a rendszer bemenetei, másnéven gerjesztések, s a rendszer ezen gerjesztésekre válaszokkal reagál, melyek a rendszer kimenetei. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 45 / 141

51 Rendszerek és osztályozásuk SISO és MIMO rendszerek SISO, MIMO rendszerek A rendszer a bemeneteket kimenetekké transzformálja, azaz adott gerjesztésekhez adott válaszokat rendel. A rendszereket bemeneteik és kimeneteik száma alapján két fő csoportba sorolhatjuk 1 SISO-rendszerek (Single Input Single Output), melyek egy gerjesztéshez egy választ rendelnek y(t) = W{s(t)}, vagy y[k] = W{s[k]}, 2 MIMO-rendszerek (Multiple Input Multiple Output), melyek több gerjesztéshez több választ rendelnek y(t) = W{s(t)}, vagy y[k] = W{s[k]}, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 46 / 141

52 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek További osztályozási lehetőségek Attól függően, hogy a gerjesztés és a válasz folytonos idejű vagy diszkrét idejű, egy rendszer lehet 1 Folytonos idejű gerjesztésű és folytonos idejű válaszú, (FI rendszerek) 2 diszkrét idejű gerjesztésű és diszkrét idejű válaszú, (DI rendszerek) 3 diszkrét idejű gerjesztésű és folytonos idejű válaszú, (D/A átalakítók) 4 folytonos idejű gerjesztésű és diszkrét idejű válaszú, (A/D átalakítók) Főként az 1 2 csoportba tartozó rendszerekkel foglalkozunk. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 47 / 141

53 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Lineáris rendszerek Egy rendszer lineáris, ha a G-V kapcsolatot jellemző W operátor lineáris,azaz homogén és additív (érvényes a szuperpozíció elve). A y = W{s} jelöléssel W{C 1 s 1 + C 2 s 2 } = C 1 W{s 1 } + C 2 W{s 2 } = C 1 y 1 + C 2 y 2. Pl. Lináris elemek pl. ellenállás, kondenzátor, tekercs, nemlineáris elemek pl. dióda, tranzisztor. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 48 / 141

54 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Invariáns rendszerek Egy rendszer akkor invariáns, ha a gerjesztés időbeli eltolása azt eredményezi, hogy a válaszban csak egy ugyanekkora időbeli eltolódás következik be. Ellenkező esetben a rendszer variáns. Pl. Variáns rendszer pl. egy egyszerű ellenállás is, ha figyelembe vesszük, hogy a rajta átfolyó áram által létrehozott teljesítmény melegíti az ellenálláshuzalt, amelynek ennek hatására megnő az ellenállása. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 49 / 141

55 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Kauzális rendszerek Egy rendszer akkor kauzális, ha válaszának adott időpontbeli értéke nem függ a gerjesztés jövőbeli értékétől, azaz egy FI (DI) rendszer akkor kauzális, ha az y(t) (y[k]) válasz bármely t 1 (k 1 ) időpontban az s(t) (s[k]) gerjesztés csak olyan értékeitől függ, melyekre t < t 1 (k k 1 ). Egyébként a rendszer akauzális. Pl. Minden fizikai rendszer kauzális, hiszen a tapasztalat szerint nincs olyan rendszer, amelynek jelen időpillanatbeli állapota függene a jövőtől. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 50 / 141

56 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Stabil rendszerek Egy rendszer akkor gerjesztés-válasz stabilis, ha bármely korlátos gerjesztésre korlátos válasszal reagál. Ezt a stabilitást BIBO-stabilitásnak is szokás nevezni a,,bounded input implies bounded output angol elnevezés rövidítéséből. Fontos! Elképzelhető, hogy a rendszer több korlátos gerjesztésre korlátos választ ad, de ha létezik akár egyetlen olyan korlátos gerjesztés, amelyre a rendszer nem korlátos válasszal reagál, akkor a rendszer nem gerjesztés-válasz stabilis, más szóval a rendszer labilis. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 51 / 141

57 Hálózatok 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 52 / 141

58 Hálózatok A hálózat fogalma A hálózat komponensek összekapcsolásából áll. Minden komponensnek (hálózati elemnek) egy vagy több bemenete és egy vagy több kimenete lehet (pólusok). A bemenet(ek) és a kimenet(ek) közti kapcsolatot a komponens karakterisztikája adja meg, ami egy függvénykapcsolat a komponens bemeneti változója (változói) és kimeneti változója (változói) között, pl. megadja a kimeneti változót a bemeneti változó függvényében. A hálózat be- és kimenete A hálózat bemenetére a gerjesztést kapcsoljuk, kimenetén pedig a választ várjuk. A hálózat is rendelkezhet egy, vagy több bemenettel és egy, vagy több kimenettel, gerjesztése és válasza lehet folytonos idejű vagy diszkrét idejű. Hálózatok és rendszerek kapcsolata A hálózat akkor reprezentál, másszóval realizál egy rendszert, ha gerjesztés-válasz kapcsolataik megegyeznek. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 53 / 141

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2014. május 27.

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2014. május 27. Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: VI pont(45) : Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Logaritmikus erősítő tanulmányozása

Logaritmikus erősítő tanulmányozása 13. fejezet A műveleti erősítők Logaritmikus erősítő tanulmányozása A műveleti erősítő olyan elektronikus áramkör, amely a két bemenete közötti potenciálkülönbséget igen nagy mértékben fölerősíti. A műveleti

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

A mintavételezéses mérések alapjai

A mintavételezéses mérések alapjai A mintavételezéses mérések alapjai Sok mérési feladat során egy fizikai mennyiség időbeli változását kell meghatároznunk. Ha a folyamat lassan változik, akkor adott időpillanatokban elvégzett méréssel

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Két- és háromállású szabályozók. A szabályozási rendszer válasza és tulajdonságai. Popov stabilitási kritérium

Két- és háromállású szabályozók. A szabályozási rendszer válasza és tulajdonságai. Popov stabilitási kritérium Két- és háromállású szabályozók. A szabályozási rendszer válasza és tulajdonságai. Popov stabilitási kritérium 4.. Két- és háromállású szabályozók. A két- és háromállású szabályozók nem-olytonos kimenettel

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Reológia Mérési technikák

Reológia Mérési technikák Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás Statisztika 3. előadás Statisztika fogalma Gyakorlati tevékenység Adatok összessége Módszertan A statisztika, mint gyakorlati tevékenység a tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

4. Kartell két vállalat esetén

4. Kartell két vállalat esetén 4. Kartell két vállalat esetén 34 4. Kartell két vállalat esetén Ebben a fejezetben azzal az esettel foglalkozunk, amikor a piacot két vállalat uralja és ezek összejátszanak. A vállalatok együttműködését

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

A/D és D/A konverterek vezérlése számítógéppel

A/D és D/A konverterek vezérlése számítógéppel 11. Laboratóriumi gyakorlat A/D és D/A konverterek vezérlése számítógéppel 1. A gyakorlat célja: Az ADC0804 és a DAC08 konverterek ismertetése, bekötése, néhány felhasználási lehetőség tanulmányozása,

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Statisztika 3. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Koncentráció mérése Koncentráció általában a jelenségek tömörülését, összpontosulását értjük. Koncentráció meglétéről gyorsan tájékozódhatunk, ha sokaságot

Részletesebben

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I.

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I. : Intelligens Rendszerek Gyakorlata Neurális hálózatok I. dr. Kutor László http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/ir2.html IRG 3/1 Trend osztályozás Pnndemo.exe IRG 3/2 Hangulat azonosítás Happy.exe IRG 3/3

Részletesebben

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

11/1. Teljesítmény számítása szinuszos áramú hálózatokban. Hatásos, meddô és látszólagos teljesítmény.

11/1. Teljesítmény számítása szinuszos áramú hálózatokban. Hatásos, meddô és látszólagos teljesítmény. 11/1. Teljesítén száítása szinuszos áraú álózatokban. Hatásos, eddô és látszólagos teljesítén. Szinuszos áraú álózatban az ára és a feszültség idıben változik. Íg a pillanatni teljesítén is változik az

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ.

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ. Termelői magatartás II. A költségfüggvények: A költségek és a termelés kapcsolatát mutatja, hogyan változnak a költségek a termelés változásával. A termelési függvényből vezethető le, megkülönböztetünk

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

3.18. DIGITÁLIS JELFELDOLGOZÁS

3.18. DIGITÁLIS JELFELDOLGOZÁS 3.18. DIGITÁLIS JELFELDOLGOZÁS Az analóg jelfeldolgozás során egy fizikai mennyiséget (pl. a hangfeldolgozás kapcsán a levegő nyomásváltozásait) azzal analóg (hasonló, arányos) elektromos feszültséggé

Részletesebben

HŐMÉRSÉKLET MÉRÉS I. Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás. 2010/2011.BSc.II.évf.

HŐMÉRSÉKLET MÉRÉS I. Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás. 2010/2011.BSc.II.évf. HŐMÉRSÉKLET MÉRÉS I. Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás 2010/2011.BSc.II.évf. Nem villamos jelek mérésének folyamatai. Érzékelők, jelátalakítók felosztása. Passzív jelátalakítók 1.Ellenállás változáson alapuló

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

Elektronikus műszerek Analóg oszcilloszkóp működés

Elektronikus műszerek Analóg oszcilloszkóp működés 1 1. Az analóg oszcilloszkópok általános jellemzői Az oszcilloszkóp egy speciális feszültségmérő. Nagy a bemeneti impedanciája, ezért a voltmérőhöz hasonlóan a mérendővel mindig párhuzamosan kell kötni.

Részletesebben

12.A 12.A. A belsı ellenállás, kapocsfeszültség, forrásfeszültség fogalmának értelmezése. Feszültséggenerátorok

12.A 12.A. A belsı ellenállás, kapocsfeszültség, forrásfeszültség fogalmának értelmezése. Feszültséggenerátorok 12.A Energiaforrások Generátorok jellemzıi Értelmezze a belsı ellenállás, a forrásfeszültség és a kapocsfeszültség fogalmát! Hasonlítsa össze az ideális és a valóságos generátorokat! Rajzolja fel a feszültség-

Részletesebben

Félvezetk vizsgálata

Félvezetk vizsgálata Félvezetk vizsgálata jegyzkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetje: Böhönyei András Mérés dátuma: 010. március 4. Leadás dátuma: 010. március 17. Mérés célja A mérés célja a szilícium tulajdonságainak

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Debreceni Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Nemzeti Fejlesztési Ügynökség

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Állandó együtthatós lineáris rekurziók

Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1. fejezet Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1.1. A megoldás menete. Mese. Idézzük fel a Fibonacci-számokat! Az F n sorozatot a következő módon definiáltuk: legyen F 0 = 0, F 1 = 1, és F n+2 = F n+1

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben