Jelek és rendszerek - 1.előadás
|
|
- Fruzsina Vass
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Jelek és rendszerek - 1.előadás Bevezetés, alapfogalmak Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 1 / 58
2 Bevezetés Vázlat I.rész: Bevezetés 1 Bevezetés Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 2 / 58
3 Alapfogalmak Vázlat II.rész: Jelek, rendszerek, hálózatok alapfogalmai 2 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 3 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 4 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 3 / 58
4 Alapfogalmak Vázlat II.rész: Jelek, rendszerek, hálózatok alapfogalmai 2 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 3 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 4 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 3 / 58
5 Alapfogalmak Vázlat II.rész: Jelek, rendszerek, hálózatok alapfogalmai 2 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 3 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 4 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 3 / 58
6 2 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 3 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 4 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 4 / 58
7 Jelek és fizikai mennyiségek Valamely valóságos folyamat mérhető mennyiségeiről mérőeszközök segítségével szerezhetünk információt. Definíció (Fizikai mennyiség) Különböző folyamatok mérhető mennyiségeiről valamilyen mérőeszköz segítségévél mért mennyiséget fizikai mennyiségnek nevezzük. Példa hőmérséklet a tér egy adott pontján, egy testre ható erő, feszültség egy erősítő kimenetén, folyadékszint egy tartályban, stb. A fizikai mennyiségek matematikai leírását változók bevezetésével végezzük, melyek értéke valamely mértékegységben (pl. SI) megadott számérték. Példa T = 26.2 C, F = 90 N, u = 0.8 V, l = 1.43 m. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 5 / 58
8 A jel fogalma és matematikai leírása Definíció (Jel) A jel valamely fizikai mennyiség olyan értéke vagy értékváltozása, amely egy egyértelműen hozzárendelt információt hordoz. Jelek matematikai leírására függvényeket használunk. A függvények egy független változó és egy függő változó között definiálnak kapcsolatot. (Egy változós skalár függvények) f : R R, y = x f(x), y = f(x) A független változó lehetséges értékeinek halmaza alkotja a függvény értelmezési tartományát (D f ), a függő változó értékeinek halmaza pedig a függvény értékkészletét (R f ). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 6 / 58
9 Jelek osztályozása A jelek alaptípusai, az értékkészlet és az értelmezési tartomány szerkezete alapján. 1 Ha a jel az idő argumentum minden valós értékére értelmezett, akkor folytonos idejű jelről beszélünk. Ezen csoportban legismertebb az analóg jel (folytonos értékű jel),amelynél a jel értéke is folytonos, 2 Ha egy analóg jelből adott (általában egyenletes osztású) időpillanatokban mintákat veszünk, akkor az időben diszkrét, értékkészletében pedig folytonos jelet kapunk, ami voltaképpen egy számsorozat. Ezt diszkrét idejű jelnek nevezzük, 3 Vannak olyan jelek, amelyek csak bizonyos értékeket vehetnek fel egy megszámlálható számhalmaz elemeiből (lépcsős, másnéven kvantált jelalak, vagy diszkrét értékű jel). Az ilyen jel az időben folytonos, de értékkészletében diszkrét, 4 Végül a számítástechnika szinte minden műszaki területen jelen lévő alkalmazása miatt nagy jelentősége van a mind időben, mind értékkészletében diszkrét jelnek, amelyet digitális jelnek nevezünk. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 7 / 58
10 A különböző jeltípusok Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása x 1 (t) 0 x 2 [k] t k x 3 (t) 0.5 x 4 [k] t k Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 8 / 58
11 Jelek osztályozása Folytonos jelek és megadásuk Egy x jel akkor folytonos idejű, ha a jel az idő minden valós értékére értelmezett ahol t az időváltozó jele. Megadásuk: x = x(t), t R, < t <, Képlettel (matematikai formulával) (pl. x(t) = 3cos(t π/2)) Grafikusan (ábrázolással) Differenciál-egyenlettel Értékek felsorolásával (értéktáblázattal) Figyelem! A grafikus és értéktáblázatos megadással csak véges hosszú jel adható meg korlátozott pontossággal. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 9 / 58
12 Jelek osztályozása Megadás képlettel(formulával) és grafikusan x 1 (t) 0 x 1 (t) = { 0 ha t < 0 2cos(3t)sin(5t) ha t 0 x 2 (t) = { t ha t < 2 t 2 ha t t x 2 (t) t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 10 / 58
13 Megadás képlettel és grafikusan Jelek osztályozása x 3 (t) x 3 (t) = 2cos(3t π/2) t x 4 (t) = 1 0.3e 0.5t sin(3t) t x 4 (t) t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 11 / 58
14 Megadás differenciálegyenlettel Jelek osztályozása Egy folytonos idejű jel megadható egy n-ed rendű differenciálegyenlettel, de ebben az esetben egy adott t időpontban (célszerűen a t = 0-ban) meg kell adnunk n számú kezdeti értéket is. A megadott jel ekkor a differenciálegyenlet megoldásaként kapott függvény. Pl. dy dt = f(y, t), y(0) = y 0 y(t) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 12 / 58
15 Jelek osztályozása Megadás differenciálegyenlettel A megadott egyenlet dy dt = 2y, y(0) = 5 dy = 2y dt (1) dy (2) 1 = 2 dt y y dy = 2 1 dt (3) lny + C 1 = 2(t + C 2 ) (4) y = e 2t C = e 2t C (5) e y(t) = Me 2t 1 vigyük át az y változót a bal, a t változót pedig a jobb oldalra (változók szeparálása) 2 formálisan integráljuk az egyenlet mindkét oldalát. 3 felhasználjuk az 1/y és az 1 integranduszok primitív függvényét, az ln y + C 1 és a t + C 2 függvényeket, és 4 rendezzük az egyenletet y-ra úgy, hogy a C 1 és C 2 konstanokat összevonjuk egyetlen C konstanssá (C = C 1 + 2C 2 ). 5 helyettesítsük az e C konstanst M-el. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 13 / 58
16 Jelek osztályozása Megadás differenciálegyenlettel (folyt.) 25 Ezáltal az y = Me 2t általános megoldást kapjuk, ahol az M konstans értékét a t = 0 időpillanatban adott érték segítségével határozzuk meg: y(0) = Me 0 = 5 M = 5. Így a differenciálegyenletet és a kezdeti feltételt is kilégítő időfüggvény a következő (kék görbe): y(t) y(t) = 5e 2t t 5 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 14 / 58
17 Jelek osztályozása Diszkrét jelek és megadásuk Egy f[k] jel akkor diszkrét idejű, ha független változója k csak egész értékeket vehet fel y = f[k], k Z, k [,..., 1, 0, 1, 2,..., ], ahol k a diszkrét idő, azaz a kt s mintavételi időpillanat indexe. Megadásuk: Képlettel (matematikai formulával) (pl. y[k] = 3cos(k π/2)) Rekurzív formulával (pl. y[k] = 0.8y[k 1] + 0.2y[k 2]) Grafikusan (ábrázolással) Értékek felsorolásával (értéktáblázattal) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 15 / 58
18 Jelek osztályozása Megadás rekurzív formulával A jel k-adik ütembeli értéke sok esetben rekurzív úton számolható az azt megelőző értékek segítségével, pl.: y[k] = 0.5y[k 1] + 0.1y[k 2], y[ 1] = 2, y[ 2] = 0. A k = 0, 1, 2,... ütemekre az y[k] értéke lépésenként számolható, melyhez azonban ismerni kell a kezdeti feltételeket is (most y[ 1] = 2 és y[ 2] = 0). A rekurzió tehát a következő: y[0] = 0.5y[ 1] + 0.1y[ 2] = = 1 y[1] = 0.5y[0] + 0.1y[ 1] = = 0.7 y[2] = 0.5y[1] + 0.1y[0] = = 0.45 y[3] = = és így tovább. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 16 / 58
19 Belépő és nem belépő jelek Jelek további csoportosítása Egy folytonos idejű y(t) jel belépő, ha értéke t negatív értékeire azonosan nulla. y(t) 0, ha t < 0 Egy diszkrét idejű y[k] jel belépő, ha értéke k negatív értékeire azonosan nulla. y[k] 0, ha k < 0 Általánosabban egy folytonos (diszkrét) idejű jel belépő a t 0 (k 0 ) időpillanatban, ha t < t 0 (k < k 0 ) esetén azonosan nulla. y(t) 0, ha t < t 0, y[k] 0, ha k < k 0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 17 / 58
20 Jelek további csoportosítása Páros és páratlan jelek Egy x(t) ill. x[k] jel páros, ha igaz a jelre hogy x( t) = x(t), x[ k] = x[k], azaz a jel szimmetrikus az ordinátára (függőleges tengely). Pl. y(t) = cos(t), y(t) = 1, y(t) = t Egy x(t) ill. x[k] jel páratlan, ha x( t) = x(t), x[ k] = x[k]. azaz a jel szimmetrikus az origóra. Pl. y(t) = sin(t), y(t) = sgn(t), y(t) = t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 18 / 58
21 Jelek további csoportosítása Korlátos jelek Egy y(t) (y[k]) jel korlátos, ha létezik olyan véges K érték amelyre igaz, hogy y(t) < K, y[k] < K. Pl. pl. az y(t) = A sin(ωt) korlátos mert az értéke abszolút értékben legfeljebb A. Az y(t) = t vagy az y[k] = e 3k nem korlátos, mert nem létezik olyan véges K amelyre igaz a fenti feltétel. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 19 / 58
22 Jelek további csoportosítása Periodikus és aperiodikus jelek Az y(t) folytonos idejű jel T periódusidővel periodikus, ha y(t + T) = y(t) igaz t minden értékére. Hasonlóan az y[k] diszkrét idejű jel K periódusidővel periodikus, ha y[k + K] = y[k] igaz k minden értékére. Pl. Periodikus jelek pl. a harmonikus függvények (sin, cos), aperiodikus pl. az y(t) = e t vagy az y[k] = k 2 jel. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 20 / 58
23 Jelek további csoportosítása Determinisztikus és sztochasztikus jelek Az y(t) (y[k]) jel determinisztikus, ha értékét minden t időpillanatra előre ismerjük. Pl. Determinisztikus pl. y(t) = t vagy y[k] = sin[k]. Az y(t) (y[k]) jel sztochasztikus, ha időfüggését nem ismerjük előre, de meg tudjuk határozni bizonyos statisztikai jellemzőit. A sztochasztikus jelek véletlen folyamatok eredményei. Pl. Tipikus sztochasztikus jelek a különböző zajok. Melyek időfüggvény formájában nem adhatók meg, de statisztikai tulajdonságaik ismertek. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 21 / 58
24 Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Egy y(t) (y[k]) jel átlagértéke a [0, T] ([0, K]) intervallumon µ = 1 T T 0 y(t)dt, µ = 1 K + 1 K y[k]. k=0 Egy y(t) (y[k]) jel szórása a [0, T] ([0, K]) intervallumon 1 T σ = (y(t) µ) T 2 dt, σ = 1 K (y[k] µ) 0 K 2. k=0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 22 / 58
25 Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Két különböző sztochasztikus jel átlaga és szórása. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 23 / 58
26 Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Különböző jelek átlaga és szórása. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 24 / 58
27 További gyakori jeltípusok Jelek további csoportosítása Korlátos tartójú jelek: A jel egy korlátos intervallumon kívül azonosan 0. Abszolút integrálható jelek: Abszolút összegezhető jelek: k= Négyzetesen integrálható jelek Négyzetesen összegezhető jelek k= x(t) dt < x[k] < x(t) 2 dt < x[k] 2 < Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 25 / 58
28 Fontosabb FI és DI jelek Néhány fontosabb FI és DI jel FI egységugrás, FI egységimpulzus, DI egységugrás, DI egységimpulzus, Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 26 / 58
29 Fontosabb FI és DI jelek A FI egységugrásjel ε(t) (Heaviside fv., 1(t) ) A vizsgált folyamatokat leíró jelek egy adott időpillanatban kezdődnek, ami célszerűen választható nullának. Az egységugrásjel hasznos lesz ilyen jelek leírására Definíció (Egységugrás) ε(t) = { 0, ha t < 0, 1, ha t > 0. ε(t) t A szakaszonként folytonos egységugrásjelnek a t = 0 időpillanatban szakadása van. Itt bal oldali határértéke (a t = 0 időpillanatban) 0, jobb oldali határértéke (a t = +0 időpillanatban) pedig 1. lim ε(t) = 0, lim t 0 ε(t) = 1. t +0 Az ε(t) a t = 0 időpillanatban nem definiált. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 27 / 58
30 Eltolt egységugrás Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Szükségünk lehet egy tetszőleges τ idővel eltolt egységugrásjelre, amely a következőképp adható meg Definíció (Eltolt egységugrás) ε(t τ) = { 0, ha t < τ, 1, ha t > τ. ε(t τ) τ t Az egységugrásjelet és eltolját korlátos tartójú jelek matematikai formulával történő megadására alkalmazzuk Definíció (Négyszög-ablak) ε(t) w R(τ1,τ 2 )(t) = ε(t τ 1 ) ε(t τ 2 ) ε(t) ε(t τ) ε(t τ) τ t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 28 / 58
31 Fontosabb FI és DI jelek Ablakolás az egységugrásjel segítségével Egy x(t) jel adott intervallumát szeretnénk kiválasztani Az egységugrásjel segítségével, a vizsgált jel egy adott részét kitakarjuk egy négyszögletes ablakkal, amit két eltolt egységugrásjel különbségeként álĺıthatunk elő Az eredeti jel x(t) = e 0.2t cos(2t) Az ablakolt jel y(t) = [ε(t τ 1 ) ε(t τ 2 )]x(t), 0 ahol τ 1 = 0.5 és τ 2 = y(t) t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 29 / 58
32 Fontosabb FI és DI jelek A FI Dirac-impulzus δ(t) (egységimpulzus) Definíció (Egységnyi intenzitású impulzus) δ(t, τ) = ε(t) ε(t τ) τ Ennek szélessége tehát τ, magassága pedig 1/τ, így intenzitása (területe) egységnyi δ(t, τ) dt = 1. Szemléletesen δ(t, τ) δ(t) ε(t) ε(t τ) δ(t) = lim. τ 0 τ δ(t,τ) δ(t) /τ τ t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 30 / 58
33 Fontosabb FI és DI jelek A Dirac-δ fontosabb tulajdonságai jelölése egy függőleges nyíl, a Dirac-δ páros függvény. A Dirac-δ tehát olyan jel, melynek értéke minden t helyen 0, kivéve a t = 0 helyet, ahol végtelen nagy, és intenzitása (területe) egységnyi. δ(t) dt = +0 0 δ(t) dt = 1. A fenti egyenlőség igaz az eltolt Dirac-impulzusra is δ(t τ) dt = τ+0 τ 0 δ(t τ) dt = 1. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 31 / 58
34 Fontosabb FI és DI jelek A Dirac-δ definíciója Definíció (Dirac-δ) Ha f(t) folytonos a τ helyen, akkor f(t)δ(t τ) dt = f(τ), mert, ha az f(t) időfüggvényt beszorozzuk a δ(t τ) Dirac-impulzussal, akkor egy olyan függvényt kapunk, amelynek értéke mindenütt nulla, kivéve a t = τ helyet, ahol viszont értéke egy olyan Dirac-impulzus, melynek nagysága arányos a konstans f(τ) értékkel, azaz f(t)δ(t τ) dt = f(τ) τ+0 τ 0 δ(t τ) dt = f(τ). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 32 / 58
35 Az általánosított derivált Fontosabb FI és DI jelek Ha az x = x(t) jel differenciálható, akkor x (t) dx dt = lim x(t + t) x(t) t 0 t az x(t) jel derivált jele, ha létezik a fenti határérték. Előfordul, hogy egy folytonos idejű jel szakaszonként differenciálható, viszont az egyes szakaszok közötti átmenetnél a jelnek véges szakadása (ugrása) van. Ennek kezelésére vezetjük be az általánosított derivált fogalmát Definíció (Általánosított derivált) egy x(t) jel általánosított deriváltja az az x (t) jel, melynek segítségével az x(t) jel az alábbi módon álĺıtható elő x(t) = t t 0 x (τ) dτ + x(t 0 ). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 33 / 58
36 Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és a Dirac-δ kapcsolata Pl.1 Közeĺıtsük az ε(t) függvényt az alábbi függvénnyel 0 ha t < 0 x(t) = t/τ ha 0 < t < τ 1 ha t > τ Innen az x (t) derivált jel egy olyan négyszögimpulzus, amelynek értéke a 0 < t < τ intervallumban 1/τ, azaz x (t) = δ(t, τ). x(t) t Ha τ 0, akkor x(t) ε(t) és x (t) δ(t). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 34 / 58
37 Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és a Dirac-δ kapcsolata (folyt.) Pl.1 (folyt) A definíciós összefüggés szerint tehát (figyelembe véve, hogy ε( ) = 0) hiszen t ε(t) = δ(τ) dτ = t δ(τ) dτ { 0 ha t < 0 1 ha t > 0 ε(t), tehát ε(t) = δ(t), Azaz a Dirac-δ az ε(t) egységugrásjel általánosított deriváltja. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 35 / 58
38 Az általánosított derivált (folyt.) Fontosabb FI és DI jelek Pl.2 Adott egy x(t) jel, amelyet szakaszonként az x 1 (t) illetve az x 2 (t) folytonos jel ír le, melyek találkozásánál (a t 1 helyen) x(t)-nek K értékű véges szakadása van { { x 1 (t) ha t < t 1 x 1 (t) = 3e 2t ha t < 2 x(t) = = x 2 (t) ha t t 1 x 2 (t) = 5e 2(t 2) ha t 2 A jel általánosított deriváltja x 1 (t) ha t < t 1 x 1 (t) = 6e 2t ha t < 2 x (t) = Kδ(t t 1 ) ha t = t 1 = 4.95δ(t 2) ha t = 2 x 2 (t) ha t > t 1 x 2 (t) = 10e 2(t 2) ha t > 2 mivel K = x 2 (t 1 ) x 1 (t 1 ) = 5 3e 4 = Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 36 / 58
39 Az általánosított derivált (folyt.) Fontosabb FI és DI jelek Pl.2 (folyt) 5 5 x(t) x (t) t x(t) = { x 1 (t) = 3e 2t ha t < 2 x 2 (t) = 5e 2(t 2) ha t t x 1(t) = 6e 2t ha t < 2 x (t) = 4.95δ(t 2) ha t = 2 x 2(t) = 10e 2(t 2) ha t > 2 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 37 / 58
40 Fontosabb FI és DI jelek Az általánosított derivált (folyt.) Pl.2 alternatív megoldási módszer Írjuk fel az x(t) függvényt ablakozott jelek segítségével zárt alakban x(t) = x a (t) + x b (t) = [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t), majd végezzük el a deriválást (szorzatfüggvények összegének deriváltja) x a(t) = [1 ε(t t 1 )] x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1(t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1 (t), x b(t) = ε (t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2(t) = δ(t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2(t), x (t) = x a(t) + x b(t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1(t) + δ(t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t), Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 38 / 58
41 Fontosabb FI és DI jelek Az általánosított derivált (folyt.) Pl.2 alternatív megoldási módszer (folyt.) A derivált jel tartalmaz eltolt Dirac-impulzusokat, melyekről azonban tudjuk, hogy csak a t = t 1 időpillanatban vesznek fel értéket, minden más időpillanatban az értékük nulla, (továbbá δ(t t 1 )x 1 (t) = δ(t t 1 )x 1 (t 1 )) x (t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + δ(t t 1)x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t) = [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + δ(t t 1)(x 2 (t 1 ) x 1 (t 1 )) + ε(t t 1 )x 2 (t) ahonnan a számértékek behelyettesítésével x (t) = 6[1 ε(t 2)]e 2t δ(t 2) 10ε(t 2)e 2(t 2), ami azonos az előzőekben kapott eredménnyel. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 39 / 58
42 Fontosabb FI és DI jelek A DI egységugrás ε[k] és egységimpulzus δ[k] Definíció (Egységugrás) ε[k] = { 0 ha k < 0, 1 ha k 0, azaz az egységugrás értéke a k < 0 ütemekre 0, nemnegatív egészekre pedig 1. Definíció (Egységimpulzus) 0 ha k < 0, δ[k] = 1 ha k = 0, 0 ha k > 0, azaz az egységimpulzus értéke a k = 0 helyen 1, bármely más helyen értéke nulla. Eltolt egységugrás ε[k i] = Eltolt egységimpulzus { 0 ha k < i, 1 ha k i, 0 ha k < i, δ[k i] = 1 ha k = i, 0 ha k > i, Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 40 / 58
43 Fontosabb FI és DI jelek DI jelek megadása eltolt egységimpulzusokkal Pl. x[k] = { 0 ha k < 0, k = 4δ[k] + 2δ[k 1] + δ[k 2] +... ha k 0, Tetszőleges x[k] jel megadása x[k] = i= x[i]δ[k i], tehát az x[k] jelet eltolt egységimpulzusok súlyozott összegeként, más néven szuperpozíciójaként írhatjuk fel. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 41 / 58
44 Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és az egységimpulzus kapcsolata Az egységugrásjel kifejezhető egységimpulzusokkal ε[k] = δ[k i] = δ[k] + δ[k 1] + δ[k 2] +..., i=0 Az egységimpulzus pedig megadható az egységugrással δ[k] = ε[k] ε[k 1], melynek általánosításával juthatunk el a folytonos idejű ablakhoz hasonló diszkrét idejű ablakhoz. 0 ha k < 0, x[k] = 1.1k ha 0 k < 4 x[k] = {ε[k] ε[k 4]}1.1k 0 ha k 4, Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 42 / 58
45 Rendszerek és osztályozásuk 2 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 3 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 4 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 43 / 58
46 A rendszer fogalma Rendszerek és osztályozásuk Definíció (Rendszer) A rendszer egy fizikai objektum valamilyen modellje, melynek segítségével modellezhetjük, matematikailag leírhatjuk annak működését. Rendszer lehet pl. egy szabályozandó berendezés, egy bonyolult ipari robot, de rendszer lehet egy rugóra akasztott test és a rugó együttesen. A rendszer lényege, hogy matematikai formába öntsük azt a bonyolult folyamatot, amelynek szimulációját el szeretnénk végezni annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk az objektum tulajdonságairól, megtudjuk, hogy az hogyan fog viselkedni, ha valamilyen hatás éri. Ezek a külső hatások a rendszer bemenetei, másnéven gerjesztések, s a rendszer ezen gerjesztésekre válaszokkal reagál, melyek a rendszer kimenetei. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 44 / 58
47 Rendszerek és osztályozásuk SISO és MIMO rendszerek SISO, MIMO rendszerek A rendszer a bemeneteket kimenetekké transzformálja, azaz adott gerjesztésekhez adott válaszokat rendel. A rendszereket bemeneteik és kimeneteik száma alapján két fő csoportba sorolhatjuk 1 SISO-rendszerek (Single Input Single Output), melyek egy gerjesztéshez egy választ rendelnek y(t) = W{s(t)}, vagy y[k] = W{s[k]}, 2 MIMO-rendszerek (Multiple Input Multiple Output), melyek több gerjesztéshez több választ rendelnek y(t) = W{s(t)}, vagy y[k] = W{s[k]}, Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 45 / 58
48 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek További osztályozási lehetőségek Attól függően, hogy a gerjesztés és a válasz folytonos idejű vagy diszkrét idejű, egy rendszer lehet 1 Folytonos idejű gerjesztésű és folytonos idejű válaszú, (FI rendszerek) 2 diszkrét idejű gerjesztésű és diszkrét idejű válaszú, (DI rendszerek) 3 diszkrét idejű gerjesztésű és folytonos idejű válaszú, (D/A átalakítók) 4 folytonos idejű gerjesztésű és diszkrét idejű válaszú, (A/D átalakítók) Főként az 1 2 csoportba tartozó rendszerekkel foglalkozunk. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 46 / 58
49 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Lineáris rendszerek Egy rendszer lineáris, ha a G-V kapcsolatot jellemző W operátor lineáris,azaz homogén és additív (érvényes a szuperpozíció elve). A y = W{s} jelöléssel W{C 1 s 1 + C 2 s 2 } = C 1 W{s 1 } + C 2 W{s 2 } = C 1 y 1 + C 2 y 2. Pl. Lináris elemek pl. ellenállás, kondenzátor, tekercs, nemlineáris elemek pl. dióda, tranzisztor. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 47 / 58
50 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Invariáns rendszerek Egy rendszer akkor invariáns, ha a gerjesztés időbeli eltolása azt eredményezi, hogy a válaszban csak egy ugyanekkora időbeli eltolódás következik be. Ellenkező esetben a rendszer variáns. Pl. Variáns rendszer pl. egy egyszerű ellenállás is, ha figyelembe vesszük, hogy a rajta átfolyó áram által létrehozott teljesítmény melegíti az ellenálláshuzalt, amelynek ennek hatására megnő az ellenállása. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 48 / 58
51 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Kauzális rendszerek Egy rendszer akkor kauzális, ha válaszának adott időpontbeli értéke nem függ a gerjesztés jövőbeli értékétől, azaz egy FI (DI) rendszer akkor kauzális, ha az y(t) (y[k]) válasz bármely t 1 (k 1 ) időpontban az s(t) (s[k]) gerjesztés csak olyan értékeitől függ, melyekre t < t 1 (k k 1 ). Egyébként a rendszer akauzális. Pl. Minden fizikai rendszer kauzális, hiszen a tapasztalat szerint nincs olyan rendszer, amelynek jelen időpillanatbeli állapota függene a jövőtől. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 49 / 58
52 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Stabil rendszerek Egy rendszer akkor gerjesztés-válasz stabilis, ha bármely korlátos gerjesztésre korlátos válasszal reagál. Ezt a stabilitást BIBO-stabilitásnak is szokás nevezni a,,bounded input implies bounded output angol elnevezés rövidítéséből. Fontos! Elképzelhető, hogy a rendszer több korlátos gerjesztésre korlátos választ ad, de ha létezik akár egyetlen olyan korlátos gerjesztés, amelyre a rendszer nem korlátos válasszal reagál, akkor a rendszer nem gerjesztés-válasz stabilis, más szóval a rendszer labilis. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 50 / 58
53 Hálózatok 2 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 3 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 4 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 51 / 58
54 Hálózatok A hálózat fogalma A hálózat komponensek összekapcsolásából áll. Minden komponensnek (hálózati elemnek) egy vagy több bemenete és egy vagy több kimenete lehet (pólusok). A bemenet(ek) és a kimenet(ek) közti kapcsolatot a komponens karakterisztikája adja meg, ami egy függvénykapcsolat a komponens bemeneti változója (változói) és kimeneti változója (változói) között, pl. megadja a kimeneti változót a bemeneti változó függvényében. A hálózat be- és kimenete A hálózat bemenetére a gerjesztést kapcsoljuk, kimenetén pedig a választ várjuk. A hálózat is rendelkezhet egy, vagy több bemenettel és egy, vagy több kimenettel, gerjesztése és válasza lehet folytonos idejű vagy diszkrét idejű. Hálózatok és rendszerek kapcsolata A hálózat akkor reprezentál, másszóval realizál egy rendszert, ha gerjesztés-válasz kapcsolataik megegyeznek. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 52 / 58
55 Jelfolyam hálózatok elemei Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Az általunk vizsgált hálózatok un. jelfolyamhálózatok, melyekben a következő jellegzetes (elemi) komponensek fordulhatnak elő: 1 Forrás, a hálózat bemenetét, gerjesztését reprezentálja 2 Nyelő, a hálózat kimenetét, válaszát reprezentálja 3 Összegzőcsomópont, kimenetén a bemenetére érkező jelek összege jelenik meg 4 Elágazócsomópont, A bemenetére érkező jel minden kimenetén változatlanul halad tovább 5 Erősítő, olyan lineáris komponens, amelynek karakterisztikája y = Ks, ahol K egy időtől független konstans 6 Késleltető, a bemenetére érkező diszkrét idejű jelet egy ütemmel késlelteti 7 Integrátor, kimenetén a bemenetére érkező folytonos idejű jel integrálja jelenik meg 8 Nemlineáris erősítő,karakterisztikája nemlineáris, bemenet és kimenete között az η = Φ(ξ) kapcsolat áll fenn 9 Szorzócsomópont, kimenetén a bemenetére érkező jelek szorzata jelenik meg Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 53 / 58
56 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Jelfolyam hálózatok elemei Forrás A forrás a hálózat bemenetét, gerjesztését reprezentálja, egyetlen kimeneti változója az s = s(t) folytonos idejű jel, vagy az s = s[k] diszkrét idejű jel, bemenete nincs Nyelő A nyelő a hálózat kimenetét, válaszát reprezentálja, bemeneti változója a keresett y = y(t) folytonos idejű jel, illetve y = y[k] diszkrét idejű jel, kimenete nincs Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 54 / 58
57 Jelfolyam hálózatok elemei Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Összegzőcsomópont Az összegzőcsomópont kimenetén a bemenetére érkező jelek összege jelenik meg, azaz y(t) = i s i (t), vagy y[k] = i s i [k] Tetszőleges számú bemenete lehet és egyetlen kimenete van Elágazócsomópont Egyetlen bemeneti pólusa és tetszőleges számú kimeneti pólusa van. A bemenetére érkező s = s(t), vagy s = s[k] jel minden kimenetén változatlanul halad tovább Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 55 / 58
58 Jelfolyam hálózatok elemei Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Erősítő Az erősítő olyan lineáris komponens, amelynek karakterisztikája y(t) = Ks(t), vagy y[k] = Ks[k], ahol K egy időtől független konstans (erősítés), tehát az erősítő invariáns elem Késleltető A késleltető olyan diszkrét idejű hálózati elem, amely a bemenetére érkező diszkrét idejű jelet egy ütemmel késlelteti, de a kimeneti jel és a bemeneti jel értéke megegyezik. Ez memóriával bíró, un. dinamikus elem Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 56 / 58
59 Jelfolyam hálózatok elemei Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Integrátor Az integrátor olyan folytonos idejű hálózati elem, amelynek kimenetén a bemenetére érkező folytonos idejű jel integrálja jelenik meg. A későbbiekben azonban azt a jelölést fogjuk használni, hogy az integrátor bemeneti jele az x (t) derivált jel, kimenete pedig az x(t) jel Nemlineáris erősítő A nemlineáris erősítő olyan komponens, melynek karakterisztikája nemlineáris, bemenete és kimenete között az η = Φ(ξ) kapcsolat áll fenn, ahol ξ a nemlineáris erősítő bemeneti jele, η a kimeneti jele, Φ(.) pedig egy nemlineáris függvénykapcsolat Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 57 / 58
60 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Jelfolyam hálózatok elemei Szorzócsomópont A szorzócsomópont (nemlineáris komponens) kimenetén a bemenetére érkező jelek szorzata jelenik meg, azaz y(t) = i s i (t), vagy y[k] = i s i [k] Megjegyzés: Nem csak jelfolyam hálózatok léteznek. (pl. Neurális hálózatok, Kirchoff-típusú hálózatok stb.) Hálózatanaĺızis A hálózatanaĺızis feladata az ismert hálózati topológiával, és ismert karakterisztikájú komponensekkel megadott hálózat által reprezentált rendszer valamely gerjesztés-válasz kapcsolatának meghatározása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 1.előadás 58 / 58
Kuczmann Miklós. Jelek és rendszerek
Kuczmann Miklós Jelek és rendszerek Készült a HEFOP 3.3.-P.-4-9-/. pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Kuczmann Miklós Keviczky László, akadémikus c Kuczmann Miklós, 6. TARTALOMJEGYZÉK 3 Tartalomjegyzék.
RészletesebbenJelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék
Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006
RészletesebbenJelek és rendszerek - 1-2.előadás
Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet
RészletesebbenHangtechnika. Médiatechnológus asszisztens
Vázlat 3. Előadás - alapjai Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Ismétlés Vázlat I.rész: Ismétlés II.rész: A digitális Jelfeldolgozás
RészletesebbenDr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK
Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenJelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03
Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő
RészletesebbenJelek és rendszerek - 4.előadás
Jelek és rendszerek - 4.előadás Rendszervizsgálat a komplex frekvenciatartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenJelfeldolgozás - ANTAL Margit. impulzusválasz. tulajdonságai. Rendszerek. ANTAL Margit. Sapientia - Erdélyi Magyar Tudományegyetem
Sapientia - Erdélyi Magyar Tudományegyetem 2007 Megnevezések Diszkrét Dirac jel Delta függvény Egységimpluzus függvény A diszkrét Dirac jel δ[n] = { 1, n = 0 0, n 0 d[n] { 1, n = n0 δ[n n 0 ] = 0, n n
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 3. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenJelek és rendszerek - 12.előadás
Jelek és rendszerek - 12.előadás A Z-transzformáció és alkalmazása Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenHíradástechikai jelfeldolgozás
Híradástechikai jelfeldolgozás 13. Előadás 015. 04. 4. Jeldigitalizálás és rekonstrukció 015. április 7. Budapest Dr. Gaál József docens BME Hálózati Rendszerek és SzolgáltatásokTanszék gaal@hit.bme.hu
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenNéhány fontosabb folytonosidejű jel
Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenMárkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF -
Márkus Zsolt markus.zsolt@qos.hu Tulajdonságok, jelleggörbék, stb. 1 A hatáslánc részegységekből épül fel, melyek megvalósítják a jelátvitelt. A jelátviteli sajátosságok jellemzésére (leírására) létrehozott
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika rendszerek Irányítástechnika Budapest, 2008 2 Az előadás felépítése 1. 2. 3. 4. Irányítástechnika Budapest, 2008
RészletesebbenHurokegyenlet alakja, ha az áram irányával megegyező feszültségeséseket tekintjük pozitívnak:
Első gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjünk Matlab-SIMULINK szoftverrel és annak segítségével sajátítsuk el az Automatika c. tantárgy gyakorlati tananyagát. Ezen a gyakorlaton ismertetésre kerül
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenMérési hibák 2006.10.04. 1
Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenMérés és adatgyűjtés
Mérés és adatgyűjtés 4. óra Mingesz Róbert Szegedi Tudományegyetem 2012. február 27. MA - 4. óra Verzió: 2.1 Utolsó frissítés: 2012. március 12. 1/41 Tartalom I 1 Jelek 2 Mintavételezés 3 A/D konverterek
RészletesebbenJelek és rendszerek - 7.előadás
Jelek és rendszerek - 7.előadás A Laplace-transzformáció és alkalmazása Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull
14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenDiszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban
Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenDifferenciál és integrálszámítás diszkréten
Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS Dr. Soumelidis Alexandros 2019.03.13. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Részletesebbenelőadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz
Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz 1. Hogyan lehet osztályozni a jeleket időfüggvényük időtartama szerint? 2. Mi a periodikus jelek definiciója? (szöveg, képlet, 3. Milyen
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenBevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés
Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenA Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenMatematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.
3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenIrányítástechnika II. előadásvázlat
Irányítástechnika II. előadásvázlat Dr. Bokor József egyetemi tanár, az MTA rendes tagja BME Közlekedés- és Járműirányítási Tanszék 2018 1 Tartalom Irányítástechnika II. féléves tárgytematika Az irányításelmélet
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenJármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
Részletesebben