jelfeldolgozásba II.

Átírás

1 TÁMOP F-14/1/KONV A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen Bevezetés a számítógépes jelfeldolgozásba II. Sári Zoltán Pécs 215 A tananyag a TÁMOP F-14/1/KONV azonosító számú, A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen című projekt keretében valósul meg.

2

3 Tartalomjegyzék 1. A konvolúció A konvolúció értelmezése A folytonos idejű konvolúció A konvolúció tulajdonságai Konvolúció két dimenzióban A konvolúció néhány alkalmazása Szűrés az időtartományban Szűrés a frekvenciatartományban Szűrés a képtartományban A Fourier-transzformáció és a spektrum A Fourier-sor A Fourier-sor valós alakja A Fourier-approximáció Fourier-transzformáció Periodikus jelek Fourier-transzformáltja A Fourier-transzformáció tulajdonságai A matematikai mintavételezés és a Shannon-tétel A diszkrét Fourier-transzformáció és a z-transzformáció A diszkrét Fourier-transzformáció A gyors Fourier-transzformáció A diszkrét idejű Fourier-transzformáció

4 Tartalomjegyzék A DTFT legfontosabb tulajdonságai A z-transzformáció Az inverz z-transzformáció A z-transzformáció tulajdonságai Digitális szűrők Digitális szűrők alapvető tulajdonságai Alapvető szűrőtípusok frekvenciatartománybeli viselkedés szempotjából A digitális szűrőkkel szemben támasztott követelmények Az FIR szűrők (konvolúciós szűrők) Az átlagoló szűrő (mozgóátlagú szűrő) Ablakolt FIR aluláteresztő szűrő Az ablakolt FIR szűrő további lehetőségei Egyedi frekvenciafüggvénnyel megadott szűrő Konvolúciós szűrés a frekvenciatartományban (FFTkonvolúció) Rekurzív szűrők (IIR) A rekurzív szűrők tervezése Audiojelek feldolgozása FIR és IIR szűrők alkalmazása Nagyfrekvenciás zaj csillapítása FIR szűrővel Lyukszűrés Bevezetés a digitális képfeldolgozásba Alapvető szűrők a képtartományban Az átlagoló szűrő Az élkiemelő szűrő A medián szűrő Alkalmazási példák Normális eloszlású véletlen zaj eltávolítása Impulzusszerű zaj eltávolítása Mintakeresés, mintafelismerés

5 Tartalomjegyzék Mintaillesztés korreláció segítségével A korreláció megvalósítása a konvolúció egy gyors implementációjával

6 6 Tartalomjegyzék

7 Ábrák jegyzéke 1.1. Két jel konvolúciójának grafikus interpretációja (w[n] szaggatott, x[n] folytonos vonallal jelölve) Mozgóátlagolással való szűrés. A zajos jel (a.) és szűrt változatai (b., c. és d.) rendre 3, 5, 12 elemű kernellel Az átlagoló szűrő frekvenciafüggvénye 3 és 1 elemű kernelekkel Szürkeárnyalatos kép (a.) simító szűrése 3 3 (b.), 5 5 (c.) és 7 7-es (d.) kernelekkel A cos(t) periodikus jel spektruma Négyszögjel Fourier-approximációja és spektruma Négyszögjel Fourier-approximációja és spektruma Négyszögjel Fourier-approximációja nagy n esetén Periodikus jel és aperiodikus szegmense A burkológörbe és a vonalas spektrum viszonya Folytonos idejű jel mintavételezése az i (t) impulzussorozattal Mintavételezés hatása a frekvenciatartományban DI jel spektruma Ideális aluláteresztő szűrő frekvenciafüggvénye Ideális felüláteresztő szűrő frekvenciafüggvénye Ideális sávzáró (a) és sáváteresztő (b) szűrő frekvenciafüggvénye Felüláteresztő szűrő előállítása Sáváteresztő szűrő előállítása

8 Ábrák jegyzéke 4.6. Sávzáró szűrő előállítása Átmeneti függvények Frekvenciafüggvények ideálishoz közeli esetben Frekvenciafüggvények ideálistól eltérő esetben Az átlagoló szűrő súlyfüggvénye (a) és frekvenciafüggvénye (b), M = 1 esetén Az ideális aluláteresztő szűrő frekvenciafüggvénye és súlyfüggvénye A csonkolt, diszkretizált súlyfüggvény és a hozzá tartozó frekvenciafüggvény Hamming-ablakfüggvénnyel beszorzott súlyfüggvény, és a hozzá tartozó frekvenciafüggvény Sorba kapcsolt szűrők eredő viselkedése Ideálishoz közeli FIR szűrő frekvenciafüggvénye Egyedi frekvenciafüggvényhez tartozó szűrőkernel előállítása Egy Hanning-ablakkal ellátott 199 pontos szűrőkernel (a), és a hozzá tartozó frekvenciafüggvény (b) A cirkuláris konvolúció jelensége, (a, 13 pontos zajos jel), (b, 34 pontos kernel), (c, 163 pontos helyes eredmény), (d, 13 pontos hibás eredmény) Az FFT-konvolúció (a, a jel első szegmense), (b, az első szegmens szűrve), (c, a jel második szegmense), (d, a második szegmens szűrve) Az FFT-konvolúció eredménye a szűrt szegmensek (a. és b.) összegeként adódik (c.) (a) z-sík felett ábrázolt W (z), (b) a pólusok és a zérushelyek elhelyezkedése az egységsugarú körben, (c) az (a) átviteli függvényből nyerhető frekvenciafüggvény Zajos szinuszos jel (a), és spektruma (b) Aluláteresztő szűrőkernel (a), frekvenciafüggvény (b), az eredeti zajos jel (c), az (a) kernellel szűrt jel (d) Zajos jel (a), és spektruma(b)

9 Ábrák jegyzéke 5.4. Kétpólusú lyukszűrő pólus zérus elrendezése (a), és átviteli karakterisztikája (b) A szűrt jel (a) és spektruma (b) D átlagoló szűrő frekvenciafüggvénye Élkiemelő szűrőkernel frekvenciafüggvénye Normál eloszlású zaj szűrése. Zajos kép (a), átlagolással szűrt kép (b), medián szűrővel szűrt kép (c) Impulzusszerű zaj szűrése. Zajos kép (a), átlagolással szűrt kép (b), medián szűrővel szűrt kép (c) Minta keresése zajos jelben korreláció segítségével Konstans résztartomány diszkrét differenciálása Résztartományokra osztott kép. Eredeti kép (a), H = 1 küszöbértékkel felosztott kép (b), H = 1 küszöbértékkel felosztott kép (c), a (b) kép résztartomány határvonalak nélkül (d) A 2D korreláció. Eredeti kép (a), keresendő minta (b), a korreláció eredménye (c)

10 1 Ábrák jegyzéke

11 1. fejezet A konvolúció A digitális jelfeldolgozás egyik alapvető fontosságú módszere a konvolúció, melynek segítségével tetszőleges bemenőjelre meg tudjuk határozni egy rendszer kimenőjelét, ha a rendszer impulzusválasza (súlyfüggvénye) ismert. 1 A módszer kapcsolatot teremt egy rendszer bemenőjele, kimenőjele és impulzusválasza között, ezáltal számos manipulációra ad lehetőséget. Ebben a fejezetben bemutatjuk a konvolúció műveletének elvi hátterét, elvégzésének módszereit, továbbá néhány egyszerűbb alkalmazási példát A konvolúció értelmezése Legyen adott egy lineáris invariáns rendszer és annak egy tetszőleges bemenőjele x[n], ismert továbbá a rendszer súlyfüggvénye w[n]. A fentebb tárgyalt impulzus-dekompozíció módszerét alkalmazva bontsuk fel x[n]-t impulzusok sorozatára az alábbi módon x[n] = i= x[i]δ[n i], (1.1.1) 1 Általánosabban, ha a fenti három jel közül bármelyik kettő ismert, akkor meghatározható a harmadik. 11

12 1.1. A konvolúció értelmezése majd értelmezzük a kimenőjelet a következőképp. Mint ismeretes, egy δ[n] egységimpulzusra adott válasz a w[n] impulzusválasz (v. súlyfüggvény), egy kδ[n i] eltolt impulzusra adott válasz pedig a kw[n i] függvény (ehhez felhasználtuk a rendszer homogenitását és eltolás invarianciáját). Esetünkben az impulzus dekompozícióban a k-nak megfelelő konstans éppen x [i]-vel egyenlő, így az x[i]δ[n i] bemenethez tartozó kimenőjel x[i]w[n i] alakú lesz. Ezek után az y[n] kimenőjel a rendszer additív tulajdonsága miatt előállítható az egyes impulzusokra adott válaszok összegeként az alábbi módon y[n] = i= x[i]w[n i], (1.1.2) vagy, ha a gerjesztés és az impulzusválasz is belépő jel, 2 akkor y[n] = n x[i]w[n i]. (1.1.3) i= A fenti módon definiált (1.1.2), (1.1.3) összefüggést nevezzük konvolúciónak, és a műveletre az y [n] = x [n] w [n] rövid jelölést használjuk. A konvolúció kommutatív, asszociatív és a függvények összeadására nézve disztributív lineáris művelet. Ha egyszerűen matematikai műveletként tekintünk rá, akkor a rendszerelméleti értelmezésben szereplő bemenőjel és súlyfüggvény felcserélhető, tehát a műveletvégzés szempontjából nincs kitüntetett szerepük. A kommutatív szabály alkalmazásával az (1.1.2) és (1.1.3) összefüggések a következő és y[n] = w[i]x[n i], (1.1.4) i= i= 2 A gyakorlatban tipikusan teljesül ez a feltétel. n y[n] = w[i]x[n i], (1.1.5) 12

13 1. fejezet. A konvolúció alakban írhatók. Az 1.1. ábrán két függvény konvolúciójának grafikus értelmezése látható. Az y[n] kimenőjel n. időpillanatbeli értéke úgy állapítható meg, hogy a tükrözött, n-nel jobbra tolt gerjesztést (x[n i]) és a w[n] impulzusválaszt az egymást átfedő részen szorozzuk és szummázzuk ábra. Két jel konvolúciójának grafikus interpretációja (w[n] szaggatott, x[n] folytonos vonallal jelölve) 1.2. A folytonos idejű konvolúció A folytonos idejű konvolúció, hasonlóan a fentebb definiált DI változathoz, az impulzus-dekompozíción alapul. Egy folytonos idejű x(t) jel impulzusokra való felbontása úgy alkotható meg, hogy első lépésként közelítjük a jelet az alábbi módon x(t) i= x(i τ)[ε(t i τ) ε(t (i + 1) τ)], (1.2.1) azaz a függvényértéket τ hosszúságú intervallumonként konstans x(i τ)- nak tekintjük, majd elvégezzük az alábbi helyettesítést δ(t i τ, τ) = ε(t i τ) ε(t (i + 1) τ), (1.2.2) τ 13

14 1.3. A konvolúció tulajdonságai ahol a bal oldalon álló jel egy közelítő (véges τ szélességű) Dirac-impulzus, melynek bevezetésével az (1.2.1) összefüggés az alábbi módon írható x(t) i= x(i τ)δ(t i τ, τ) τ, (1.2.3) ami a τ határátmenettel az FI jel impulzus-dekompozícióját adja x(t) = x(τ)δ(t τ)dτ. (1.2.4) Ha egy lineáris invariáns rendszer bemenetére (1.2.4) alakú x(t) érkezik, akkor erre a rendszer válasza az alábbi y(t) jel lesz y(t) = x(τ)w(t τ)dτ, (1.2.5) ahol x(t) a gerjesztés, y(t) a válasz, w(t) pedig a rendszer impulzusválasza. Az (1.2.5) összefüggést konvolúciós integrálnak nevezzük. Az FI konvolúció műveleti tulajdonságai megegyeznek a DI konvolúciónál megadottakkal A konvolúció tulajdonságai Az előző szakaszban bevezettük a konvolúciót, mint módszert egy rendszer kimenőjelének meghatározására. Ha elvonatkoztatunk a rendszerelméleti értelmezéstől, a konvolúció egyszerűen egy olyan műveletnek tekinthető, amelynek két operandusa függvény, eredménye is egy függvény, és érvényesek rá a következő műveleti szabályok: Kommutativitás: x w = w x, tetszőleges w, x függvényekre. Asszociativitás: w (x z) = (w x) z, tetszőleges w, x, z függvényekre. Disztributivitás: w (x + z) = w x + w z, tetszőleges w, x, z függvényekre. 14

15 1. fejezet. A konvolúció Azon felül, hogy a konvolúció az időtartományban rendelkezik ezekkel a hasznos tulajdonságokkal, további fontos szabályszerűségekre bukkanhatunk a frekvenciatartományban. 3 Ha adott három időfüggvény x, w és y, valamint e függvények Fourier-transzformáltjai X, W és Y, akkor: y = x w Y = X W. (1.3.1) A fenti összefüggés tulajdonképpen azt fogalmazza meg, hogy két jel konvolúciója megadható úgy is, hogy a függvények Fourier-transzformáltjait összeszorozzuk, majd ezt a szorzatot inverz Fourier-transzformálva, megkapjuk a konvolúció eredményét. Ez a tétel azért nagyon fontos, mert lehetőséget ad a konvolúció műveletének egy alternatív megvalósítására, ezzel sok esetben megkönnyítve, ill. leegyszerűsítve ezt a sokszor meglehetősen számításigényes feladatot. Amint azt a később tárgyalandó digitális szűrők megvalósításának témakörénél látni fogjuk, a konvolúció frekvenciatartományban való elvégzése bizonyos feltételek mellett jóval kevesebb számítást igényel, így értelemszerűen gyorsabb, ami egy szűrő gyakorlati használhatóságának szempontjából nem elhanyagolható Konvolúció két dimenzióban A kétdimenziós konvolúció teljesen hasonlóan képzelhető el az egydimenziós esethez. Itt is adott egy impulzus és egy impulzusválasz, a különbség csak annyi, hogy ezek kétváltozós függvények. Egy kétváltozós függvény is felbontható impulzusok összegére, és a rendszernek az egyes impulzusokra adott válaszait összegezve előáll a kimenőjel, tehát az elv ugyanaz. Egy impulzus két dimenzióban a következőképpen definiálható: i[n, m] = 3 Részletesebben ld. a 2. fejezetben. { k, ha n = m = különben. (1.4.1) 15

16 1.4. Konvolúció két dimenzióban Ha a kétdimenziós függvények a mi esetünkben képeket jelentenek, és egy k [n, m] kép impulzusokra való felbontásáról beszélünk, akkor az egyes impulzusok értéke a kép n-edik sorában és m-edik oszlopában álló pixel fényességértéke (az egyszerűség kedvéért szürkeárnyalatos 256 színű képekre gondoljunk, ahol minden képpont fényességét egy-egy byte tartalmazza). A kép indexelésénél elképzelhető negatív indexek használata is, azért, hogy a [, ] indexű pont éppen a kép közepén legyen. Ennek azért van jelentősége, mert ha egy egységimpulzust (egy darab egy értékű pixel egy kép közepén, 4 ahol minden más pixel nulla értékű) adunk egy rendszer bemenetére (valahogyan feldolgozzuk), akkor a rendszer viselkedésétől függően a kép megváltozik, mégpedig oly módon, hogy az egyetlen pont valahogyan szétterjed a képen (tetszőleges irányokban). Az egységimpulzusra adott válasz, mint azt már tudjuk, a rendszer impulzusválasza, amit kétváltozós esetben szokás PSF-nek (Point Spread Function) nevezni. Az egydimenziós változattal analóg értelmezés alapján, a kétdimenziós konvolúciót definiáló összefüggés az alábbi y[n, m] = i= j= x[i, j] p[n i, m j], (1.4.2) ahol a kettős összegzést minden olyan [n, m]pontpárra el kell végezni, ami az eredményként keletkező képen szerepel. Az összegzések indexhatárai pedig a gyakorlatban, az x[n, m] és p[n, m] függvények közül a kisebb területű függvény határai. A képfeldolgozás gyakorlatában a PSF a legtöbb esetben sokkal kisebb, mint a feldolgozandó kép, és majdnem mindig szimmetrikus, így az indexek legtöbbször a PSF-et futják be. Egy M N méretű PSF esetében y[n, m] = M 1 i= N 1 j= x[i, j] p[n i, m j]. (1.4.3) Az (1.4.3) összefüggés alapján egy 3 3 méretű PSF esetében egy pixel új értékének kiszámítása úgy történik, hogy a mindkét dimenziója mentén 4 Az egységimpulzus a definíciója miatt kerül a [, ] pontba. 16

17 1. fejezet. A konvolúció tükrözött PSF-et ráillesztünk a képre, és az egymás alá kerülő értékeket összeszorozzuk, majd a szorzatokat összeadjuk. Az így kapott érték az eredményként keletkező kép [n, m] indexű helyére kerül A konvolúció néhány alkalmazása Ebben a szakaszban a konvolúció alkalmazási területeiről vett néhány bevezető példával illusztráljuk a módszer alkalmazhatóságát a digitális jelfeldolgozásban Szűrés az időtartományban A konvolúció egyik kiemelkedően fontos alkalmazási területe a különféle szűrések megvalósítása. Az alapelv az, hogyha egy valódi (alkatrészekből fizikailag megépített) szűrő viselkedését ismerjük (ismert a súlyfüggvénye), akkor bármilyen bemenőjelre pusztán matematikai műveletek (konvolúció) segítségével meg lehet határozni a szűrő kimenőjelét egy digitális számítógépen. Általánosabban, tetszőleges rendszer kimenőjelét előállíthatjuk konvolúció segítségével, ha ismert az adott rendszer súlyfüggvénye. A szűrés azért kiemelkedő fontosságú, mert a jelfeldolgozás egyik alapvető feladata a jelek szűrése, kondicionálása (számunkra valamilyen szempontok szerint kedvezőbb formára alakítása). Tekintsünk a szűrésre egy olyan egyszerű példát, ami a jelek feldolgozása kapcsán igen gyakran előforduló feladathoz, a zajszűréshez kapcsolódik. Ha bármilyen átviteli közegen továbbítunk egy jelet, akkor elkerülhetetlenül bizonyos mennyiségű zaj adódik hozzá. Ez a zaj, ha nem halad meg egy szintet, akkor az eredeti jel viszonylag hatékonyan különválasztható tőle. A zajról feltételezzük, hogy véletlenszerű, és az átlaga (várható értéke) nulla. 5 Tehát nincs más dolgunk, mint átlagoljuk a jelünket, így eltűnik a zaj és 5 Valójában igen sokféle zajmodell létezik, ennél a típusnál azt feltételezzük, hogy olyan sztochasztikus folyamatból származik, amelynek kimenete nulla várható értékű, véges szórású valószínűségi változóval reprezentálható. 17

18 1.5. A konvolúció néhány alkalmazása megmarad a jel. 6 A szűrőnk súlyfüggvénye, vagy ahogyan szűrők esetén szokás nevezni, a kernel, a következő alakú függvény { 1 w[n] = N, ha n < N, különben, ahol N a szűrendő tartomány hossza. Az így definiált impulzusválasszal rendelkező rendszer viselkedése könnyen nyomon követhető, akár a konvolúció (1.1.3) definiáló összefüggése, akár a műveletet reprezentáló 1.1. ábra alapján. A rendszer y[n] válasza egy tetszőleges időpillanatban a gerjesztés előző N értékének 7 átlaga. Az 1.2. ábrán megfigyelhető a szűrés hatása különböző hosszúságú kernelek esetén. Jól látható, hogy a kernel hosszának növelésével a zajszint csökken, viszont csökken a négyszögimpulzus oldalmeredeksége is. Ez az átlagolás természetes velejárója. Ha ezt a módszert használjuk, akkor el kell dönteni, hogy a jel oldalmeredekségének megtartása a lényegesebb, vagy a zaj elnyomása, és ennek megfelelően kell megválasztani a kernel hosszát Szűrés a frekvenciatartományban Ha közelebbről megvizsgáljuk az előző szakaszban tárgyalt mozgó átlagolást megvalósító szűrőt, akkor észrevehetjük, hogy tulajdonképpen a gyors változásokat távolítja el a jelből, azaz a nagyfrekvenciás összetevőket csillapítja, míg az alacsony frekvenciájú összetevőket változatlanul hagyja. Ez a viselkedés, az úgynevezett aluláteresztő szűrés. Próbáljunk meg pontosabb képet kapni arról, hogy vajon ténylegesen melyik az a frekvencia, amitől kezdve csillapít a szűrő. Ehhez meg kell határoznunk a szűrő átviteli karakterisztikáját (frekvenciafüggvényét), amit megkapunk, ha a súlyfüggvényét (kernel) Fourier-transzformáljuk. 8 A frekvenciafüggvényből azt tudjuk kiolvasni, hogy mekkora a szűrő erősítése különböző frekvenciákon. 6 Természetesen, ahogy ezt majd látni fogjuk, ez csak bizonyos korlátozások mellett igaz. 7 Az aktuális időpillanatot is beleértve. 8 Itt az impulzusválasz jellegéből fakadóan a diszkrét Fourier-transzformációt kell alkalmazni. Részleteket ld. a 3. fejezetben. 18

19 1. fejezet. A konvolúció x[n].6.4 y3[n] n (a.) n (b.) y5[n].6.4 y12[n] n (c.) n (d.) 1.2. ábra. Mozgóátlagolással való szűrés. A zajos jel (a.) és szűrt változatai (b., c. és d.) rendre 3, 5, 12 elemű kernellel Az 1.3. ábrán megfigyelhető a szűrő kernel és a frekvenciafüggvények kapcsolata, normalizált frekvenciatengelyen értelmezve. 9 Vegyük észre, hogy a kernel hosszának növelésével a frekvenciafüggvény vágási tartománya egyre inkább eltolódik az alacsony frekvenciák irányába, és a vágás egyre meredekebb. Az is megfigyelhető, hogy ez az aluláteresztő szűrő bár az időtartományban megfelelő a frekvenciatartományban nagyon messze van az ideálistól. Hozzá kell tennünk azonban, hogy ezt a szűrőt nem is a frekvenciatartományban való használatra terveztük. Ha a 9 [ π rad/minta] 19

20 1.5. A konvolúció néhány alkalmazása W(f) W(f) f (a.) f (b.) 1.3. ábra. Az átlagoló szűrő frekvenciafüggvénye 3 és 1 elemű kernelekkel célunk olyan szűrő tervezése, mely igen hatékonyan választja el egymástól a frekvenciatartomány egyes részeit, más eszközökhöz kell nyúlnunk, melyekről a későbbiekben bővebben lesz szó. Az ideálishoz közeli aluláteresztő szűrő tervezési alapelvei, valamint gyakorlati megvalósításának részletei a 4. fejezetben találhatók Szűrés a képtartományban A konvolúciós módszerek a képfeldolgozás terén is fontos szerephez jutnak, a legváltozatosabb algoritmusok épülnek rájuk. Az egyik legalapvetőbb ezek közül az egyszerű simító szűrés. Ahogy azt már megszokhattuk a konvolúcióval kapcsolatban, a szűrést megvalósító rendszer leírása az impulzusválasszal (súlyfüggvénnyel) történik, melynek a képfeldolgozásban megszokottabb elnevezése a PSF rövidítéssel jelölt Point Spread Function. A simító szűréshez tartozó PSF úgy van megalkotva, hogy a módosított képpontérték az eredeti képpontnak és szomszédainak súlyozott átlagából adódjék, ami technikailag egy olyan N N-es mátrixot jelent, amelynek minden eleme 1/N 2. Az 1.4. ábrán a simító szűrésre láthatunk példákat. Az ábrán jól nyomon követhető, hogy a PSF méretének növelésével a kép egyre homályosabbá válik, vagyis egyre inkább eltűnnek a nagyfrekvenciát képviselő élek. Ez várható is volt, hiszen a PSF alatti területen végzett 2

21 1. fejezet. A konvolúció (a.) (b.) (c.) (d.) 1.4. ábra. Szürkeárnyalatos kép (a.) simító szűrése 3 3 (b.), 5 5 (c.) és 7 7-es (d.) kernelekkel átlagolás eltompítja a gyors változásokat, így elmossa a kontrasztos éleket a képben. 21

22 A konvolúció néhány alkalmazása

23 2. fejezet A Fourier-transzformáció és a spektrum A Fourier-transzformáció a konvolúció mellett a jelfeldolgozás talán legfontosabb módszereinek egyike, mely a jeleknek egy frekvenciatartománybeli reprezentációját adja. A transzformációnak különböző változatai léteznek attól függően, hogy a vizsgált jel folytonos/diszkrét idejű, ill. periodikus/aperiodikus. Ebben a fejezetben a folytonos idejű jelek analízise esetében alkalmazott változatot tárgyaljuk A Fourier-sor Igen sok függvény előállítható φ k (t) = e jkω t alakú függvények lineáris kombinációjaként, ugyanis a Fourier-tétel alapján minden periodikus jel (bizonyos feltételek mellett) felírható harmonikus függvények szuperpozíciójaként, azaz szinuszos összetevők súlyozott összegeként. 1 Az ilyen periodikus x(t)-kel és frekvenciatartománybeli reprezentációjukkal foglalkozunk ebben a szakaszban. Az alábbi lineáris kombináció egy olyan 1 Ez ekvivalens azzal, hogy periodikus jelünket egy komplex exponenciális függvényekből áló lineáris kombináció segítségével írjuk le. 23

24 2.1. A Fourier-sor x(t) = k c k φ k (t) (2.1.1) periodikus jelet definiál, amely különböző c k C mértékben súlyozott különböző (kω ) körfrekvenciájú φ k (t) összetevőkből áll, ahol az ω = 2π/T az ún. alapkörfrekvencia, melynek egész számú többszörösei szerepelnek a φ k (t) függvényekben. 2 Ha az összegzést a k =... intervallumon végezzük, akkor az alábbi x(t) = k= c k e jkω t (2.1.2) Fourier-sorhoz jutunk, ahol a c k komplex konstansok az ún. Fourieregyütthatók. A c k együtthatók meghatározásához tekintsük a (2.1.2) alakú sort, szorozzuk be mindkét oldalt e jnω t -vel és integráljuk egy perióduson (pl.... T ) T x(t)e jnω t dt = k= T c k e j(n k)ωt dt, (2.1.3) ahol a jobb oldalon álló integrál értéke T, ha k = n és minden más esetben, azaz T x(t)e jnω t dt = T c n c n = 1 T T x(t)e jnω t dt, (2.1.4) amiből a k indexre visszatérve adódik a komplex Fourier-együttható számítására szolgáló összefüggés c k = 1 T T x(t)e jkω t dt. (2.1.5) 2 Azért fontos, hogy az összegben szereplő komplex exponenciális függvények körfrekvenciája kω, mert az e jkω t függvények így alkotnak bázist, és ez teszi lehetővé az x(t) ilyen módon történő megadását. 24

25 2. fejezet. A Fourier-transzformáció A c k együtthatót ábrázolva az ω függvényében az ún. spektrumot kapjuk. A komplex c k C együtthatót jellegénél fogva nem tudjuk közvetlenül ábrázolni, ábrázolható viszont abszolútértéke és fázisa. A c k = c k e j arg c k alakban szereplő c k -et az ω függvényében ábrázolva az amplitúdóspektrumot, az arg c k -t ábrázolva a fázisspektrumot kapjuk. 3 Tisztán szinuszos jelek spektruma nagyon egyszerűen meghatározható, hiszen, ha tekintjük az x(t) = cos(ω t) alakú jelet, akkor az Euler-formula alkalmazásával az x(t) közvetlenül felírható at alábbi alakban x(t) = cos(ω t) = 1 2 ejω t e jω t, (2.1.6) ahonnan azonnal látható, hogy (2.1.6) tulajdonképpen egy (2.1.2) alakú Fourier-sor, ahol a k = ±1 indexekhez tartozó c k Fourier-együtthatók 1/2-el egyenlők, minden más együttható pedig nulla, hiszen a (2.1.6) sor többi tagjának c k együtthatója nullával egyenlő. A 2.1. ábra az x(t) = cos(t) jel amplitúdóspektrumát mutatja. Az ábra és (2.1.6) összevetésével azonnal világos az amplitúdóspektrum funkciója ck ω 2.1. ábra. A cos(t) periodikus jel spektruma 3 Mind az amplitúdó-, mind pedig a fázisspektrum vonalas, azaz csak az ω egész számú többszöröseinél értelmezett. 25

26 2.1. A Fourier-sor A Fourier-sor valós alakja Az előző szakaszban definiált Fourier-sor megadható valós alakban is, ahol a komplex e jkω t függvények helyett szinuszos és koszinuszos összetevők szerepelnek, valamint a komplex c k Fourier-együttható helyett valós a k, b k együtthatókat vezetünk be. A komplex c k együttható megadható az alábbi c k = a k jb k, (2.1.7) 2 alakban a valós a k és b k együtthatók segítségével, valamint az e jkω t komplex exponenciális függvény az Euler-formulák alapján felírható a e jkω t = cos(ω t) + j sin(ω t) (2.1.8) alakban, ahonnan a megfelelő behelyettesítések elvégzésével az (2.1.2) Fourier-sor valós alakja adódik x(t) = (a k cos(kω t) + b k sin(kω t)), (2.1.9) k= ahol az a k és b k a valós Fourier-együtthatók. A valós együtthatók számítása a (2.1.5), (2.1.7) és (2.1.8) alapján közvetlenül következik, és az alábbi formulákat eredményezi a k = 2 T T x(t) cos(kω t)dt, (2.1.1) b k = 2 T T x(t) sin(kω t)dt. (2.1.11) A sor valós alakját szokás még az alábbi formában is megadni x(t) = a + (a k cos(kω t) + b k sin(kω t)), (2.1.12) k=1 ahol a sorból kiemelt a együttható a periodikus jel egyenkomponense. 26

27 2. fejezet. A Fourier-transzformáció A Fourier-approximáció Az előzőekben definiált Fourier-sor (2.1.2) definiáló összefüggése alapján látható, hogy a Fourier-soros reprezentáció általános esetben egy végtelen tagú összeggel valósítható meg. Ha a (2.1.2)-ben véges számú tagot alkalmazunk az x(t) periodikus jel közelítésére, akkor az ún. Fourierapproximációhoz jutunk, ami a jelnek egy véges tagszámú összeggel való közelítését adja. Ahogy az egyszerű szinuszos jel közelítésekor láttuk (ld. (2.1.6)), előfordul, hogy a periodikus jel pontos leírásához néhány tag is elegendő, de ez tipikusan csak akkor fordul elő, ha a jelet szinuszos összetevők összegeként definiáltuk. Általános periodikus jel esetén a véges tagszámú közelítés nem lesz hibátlan, de elegendően sok tagot alkalmazva az eredeti jel megfelelő reprezentációját adja. Az n-tagú Fourier-approximáció formálisan az alábbi módon adható meg vagy valós alakban n x(t) = c k e jkωt, (2.1.13) k= n x(t) = n (a k cos(kω t) + b k sin(kω t)). (2.1.14) k= Az approximációs formulák csak annyiban különböznek a Fourier-sort megadó alakoktól, hogy az összegzéseket véges számú tagra végezzük el. Az approximáció folyamatát egy ω =,2 rad/s körfrekvenciájú periodikus négyszögjel esetében a 2.2 ábra szemlélteti. A periodikus jel (2.1.13) közelítésében szereplő kω körfrekvenciájú összetevők súlyát a c k komplex együtthatók adják meg. Ahogy azt az előző szakaszban definiáltuk, a c k = c k e jρ k együtthatók abszolút értékének a körfrekvencia függvényében való ábrázolásával az amplitúdóspektrumot, és hasonlóan a c k fázisának a körfrekvencia függvényében való ábrázolásával fázisspektrumot nyerjük. A 2.2.a. ábrán látható 3 tagú közelítéséhez tartozó amplitúdó- és fázisspektrumokat a 2.2.b. és 2.2.c. ábrákon figyelhetjük meg. A spektrum tehát egy vizuális reprezentációját adja a jel különböző 27

28 2.1. A Fourier-sor 1.5 n = 2 1 x(t), x n (t) t (a.) c k.4.2 ρ k ω (b.) ω (c.) 2.2. ábra. Négyszögjel Fourier-approximációja és spektruma frekvenciájú összetevőinek. Megfigyelhető, hogy a spektrum vonalas szerkezetű, azaz csak az ω egész számú többszöröseihez tartoznak értékek. 4 Ez a szabályszerűség minden periodikus jelre jellemző, ezt szokás úgy megfogalmazni, hogy a periodikus jelek spektruma vonalas. A 2.2.a. ábrán látható x n (t) közelítés a spektrális összetevőkből a (2.1.13) alapján a következő módon adható meg 5 4 Ez nyilván ilyen alakú lesz, hisz a Fourier-soros előállításban csak kω körfrekvenciájú komponensek szerepelnek. 5 Valós x(t) esetén a c k = c k, azaz a negatív indexű együtthatók a pozitív indexűek komplex konjugáltjai. 28

29 2. fejezet. A Fourier-transzformáció 2 x(t) = c k e jkωt, (2.1.15) k= 2 vagy a c k = c k e jρ k felbontásával az x(t) = 2 k= 2 c k e jρ k e jkω t, (2.1.16) alakban. A 2.2.a. ábrán megfigyelhető, hogy a közelíteni kívánt négyszögjel 3 taggal való közelítése nem elegendő, a közelítésként kapott x n (t) jel alakja nem hasonlít az eredeti x(t) jelhez. Ha a közelítést pontosítani szeretnénk, akkor több összetevőre lesz szükség, hiszen értelemszerűen minél nagyobb az összetevők száma, annál közelebb kerülünk a sorral való pontos megadáshoz. A 2.3. ábrán a periodikus négyszögjelnek egy n = 8-hoz tartozó approximációját, és a hozzá tartozó spektrumokat láthatjuk. Megfigyelhető, hogy a 2.3.a. ábrán látható x n (t) közelítés már jóval pontosabban követi az eredeti x(t) periodikus négyszögjelet, az approximációban megtalálható spektrális összetevők száma is megnövekedett, de a spektrumvonalak továbbra is az ω egész számú többszöröseinél helyezkednek el. A közelítés további pontosításával kapott jelek láthatók a 2.4. ábrán. Megfigyelhető, hogy a közelítésben szereplő tagok számának növelésével a közelítés egyre pontosabbá válik, de a szakadási helyen megjelenik egy kis csúcs, ami az eredeti periodikus jelben nem volt benne. Ez a Gibbs-effektusnak nevezett jelenség mindig fel fog lépni, ha szakadásos függvény közelítését állítjuk elő Fourier-approximáció segítségével, még akkor is, ha végtelen tagú összeggel (Fourier-sorral) közelítünk. A közelítés pontosításával a nem kívánt kis csúcs megmarad ugyan, de határesetben (n ) a területe -hoz tart, így az eredeti jel és közelítése között a különbség lim n x n(t) x(t) 2 =, (2.1.17) 29

30 2.1. A Fourier-sor 1.5 n = 8 1 x(t), x n (t) t (a.).5.6 c k.4 ρ k ω (b.) ω (c.) 2.3. ábra. Négyszögjel Fourier-approximációja és spektruma 1.5 n = n = x(t), x n (t).5 x(t), x n (t) t (a.) t (b.) 2.4. ábra. Négyszögjel Fourier-approximációja nagy n esetén tehát az eredeti jelnek és (2.1.13) alakú approximációjának kettes normában mért távolsága nulla, így a közelítés ebben az értelemben pontos. 3

31 2. fejezet. A Fourier-transzformáció 2.2. Fourier-transzformáció Az Fourier-transzformáció felfogható a Fourier-sor aperiodikus jelekre történő kiterjesztésének, azaz a Fourier-sornál használt apparátust alkalmazzuk az aperiodikus jelekre T mellett. Tekintsük az alábbi x(t) periodikus jelet és ennek középső ( T/2, T/2) periódusaként definiált x(t) aperiodikus jelet 2.5. ábra. Periodikus jel és aperiodikus szegmense és határozzuk meg az x(t) Fourier-együtthatóit az alábbi módon, 6 T1 c k = 1 x(t)e jkωt dt = 1 T T 1 T ahonnan (a fenti jelre) x(t)e jkω t dt, (2.2.1) ami írható az alábbi alakban, c k = 2 T kω sin(kω T 1 ), (2.2.2) c k T = 2 ω sin(ωt 1) ω=kω, (2.2.3) azaz a c k T előáll a jobb oldalon álló függvény ω = kω helyeken vett mintáiból. A (2.2.3) jobb oldalán álló szinuszos jel a spektrumvonalak 6 Mivel a ( T/2, T/2) intervallumon x(t) x(t) ezen kívül pedig x(t) azonosan, az x(t) Fourier-együtthatói meghatározhatók az x(t) ismeretében (2.2.1) szerint. 31

32 2.2. Fourier-transzformáció burkológörbéje, a 2.6. ábra ezt a burkológörbét ábrázolja két különböző ω mellett. Látható, hogy minél kisebb az ω, annál sűrűbben veszünk mintát a (2/ω) sin(ωt 1 ) burkológörbéből, de annak alakja nem változik, ami úgy interpretálható, hogy ω mellett a spektrum a folytonos burkológörbéhez tart X(jω) ω 2.6. ábra. A burkológörbe és a vonalas spektrum viszonya A fentieket általánosan megfogalmazva a (2.2.1) alapján az alábbi kifejezés adódik ahol (2.2.1)-et figyelembe véve c k T = X(jω) ω=kω c k = 1 T X(jkω ), (2.2.4) X(jω) = x(t)e jωt dt. (2.2.5) A (2.2.4) alapján megadott c k -t az x(t) Fourier-sorába helyettesítve, az 1/T = ω /(2π) figyelembevételével adódik 32

33 2. fejezet. A Fourier-transzformáció x(t) = 1 2π k= ahonnan a T (ω ) határátmenettel az alábbi X(jkω )e jkω t ω, (2.2.6) x(t) = 1 X(jω)e jωt dω, (2.2.7) 2π integrált kapjuk, amit inverz Fourier-transzformációnak nevezünk, és amelynek szokásos formális jelölése x(t) = F 1 {X(jω)}. (2.2.8) Az X(jω)-t definiáló (2.2.5) formulát pedig Fourier-transzformációnak nevezzük, 7 formális jelölése X(jω) = F{x(t)}. (2.2.9) Az X(jω) függvényt az x(t) jel Fourier-transzformáltjának vagy komplex spektrumának nevezzük. Az X(jω) -t szokás még amplitúdósűrűségspektrumnak nevezi, mert a vonalas spektrumtól eltérően itt az ω-ban folytonos X(jω) egy ω sáv fölötti integrálja jellemző az adott tartományba eső összetevők nagyságára Periodikus jelek Fourier-transzformáltja Tekintsük az X(jω) = 2πδ(ω ω ) egyetlen, ω -hoz tolt 2π nagyságú impulzusból álló spektrumot és határozzuk meg a hozzá tartozó időfüggvényt a (2.2.8) inverz Fourier-transzformáció segítségével x(t) = 1 2πδ(ω ω )e jωt dω x(t) = e jωt, (2.2.1) 2π és a fentihez hasonlóan 8 adjuk meg az 7 Mivel a többféle Fourier-transzformációs módszer gyűjtőneve is Fourier-transzformáció, szokás a (2.2.5) formulát Fourier-integrálnak nevezni. 8 A (2.2.1) a Dirac-δ definíciójából közvetlenül következik. 33

34 2.2. Fourier-transzformáció X(jω) = impulzussorozat időfüggvényét, x(t) = 1 2π k= k= 2πc k δ(ω kω ) (2.2.11) 2πc k δ(ω kω )e jωt dω, (2.2.12) amit tagonként integrálva, egyszerűsítés után adódik az x(t) = k= c k e jkω t, (2.2.13) vagyis (mivel a fenti konstrukció az x(t) Fourier-soros megadása) a periodikus jel Fourier-tanszformáltja egy impulzussorozat, 9 ahol az impulzusok nagysága 2πc k A Fourier-transzformáció tulajdonságai Ebben a szakaszban a Fourier-transzformáció legfontosabb tulajdonságaival foglalkozunk. E tulajdonságok ismerete egyrészt megkönnyítheti a különböző speciális tulajdonságokkal rendelkező jelek transzformáltjainak egyszerűbb meghatározását, másrészt hozzásegít általános érvényű összefüggések feltárásához. Linearitás A Fourier-transzformáció lineáris, azaz, ha a transzformálandó jel két vagy több jel súlyozott összege (szuperpozíciója, lineáris kombinációja), akkor a transzformált is az eredeti jelekre meghatározott transzformáltak súlyozott összegeként adódik, vagyis ha F{x 1 (t)} = X 1 (jω) és F{x 2 (t)} = X 2 (jω), akkor F{K 1 x 1 (t) + K 2 x 2 (t)} = K 1 X 1 (jω) + K 2 X 2 (jω), (2.2.14) 9 A periodikus jelek spektrumának vonalas szerkezete tehát ebben a reprezentációban is megjelenik. 34

35 2. fejezet. A Fourier-transzformáció vagy általánosan, ha F{x i (t)} = X i (jω), akkor { } F K i x i (t) = i i A linearitás az inverz Fourier-transzformációra is igaz. K i X i (jω). (2.2.15) Eltolás az időtartományban Ha egy x(t) jel eltolt változatának a Fourier-transzformáltját szeretnénk meghatározni, akkor felhasználhatjuk az alábbi összefüggést, miszerint F{x(t τ)} = e jωτ X(jω), (2.2.16) ami azt jelenti, hogy az időtartománybeli eltolás a frekvenciatartományban e jωτ -val való szorzásnak felel meg. Figyelembe véve, hogy az X(jω) transzformált felírható X(jω) e jφ(ω) alakban, az e jωτ tényezővel való beszorzás csak a φ(ω) fázis-frekvencia függvény módosítását jelenti, az eltolás tehát az amplitúdóspektrumot nem befolyásolja. Moduláció Ha egy x(t) jelet beszorzunk egy e jωt alakú komplex exponenciális jellel, akkor e szorzat transzformáltja az alábbi szabály szerint számítható F{x(t)e jωt } = X(j(ω Ω)), (2.2.17) azaz az időtartományban e jωt -vel való beszorzás Ω-val való eltolásnak felel meg a frekvenciatartományban. Megfigyelhető a szimmetria az időtartománybeli eltolásra vonatkozó (2.2.16) összefüggéssel, mely a Fouriertranszformáció és az inverze közötti szimmetria következménye. Konvolúció spektruma Két jel konvolúciójának Fourier-transzformáltja az alábbi szabály alapján számítható F{x(t) w(t)} = X(jω)W (jω), (2.2.18) 35

36 2.3. A matematikai mintavételezés és a Shannon-tétel ahol a a konvolúció szokásos jelölése, és a művelet az (1.2.5) formulával definiált konvolúciós integrált takarja. A (2.2.18) összefüggés azt fogalmazza meg, hogy ami az időtartományban konvolúció, az a frekvenciatartományban szorzássá egyszerűsödik. A szabály megfordítása a transzformáció szimmetriája alapján a szorzat spektrumára vonatkozó alábbi összefüggés F{x(t)w(t)} = 1 [X(jω) W (jω)], (2.2.19) 2π miszerint szorzat Fourier-transzformáltja a tényezőként szereplő függvények transzformáltjainak konvolúciójaként számítható. 1 Konjugált szimmetria, valós jel spektruma A Fourier-transzformáció nem csak valós értékű időfüggvények transzformálására alkalmas, de ha tudjuk hogy a transzformálandó x(t) R valós jel, akkor az X(jω) transzformáltra igaz az X (jω) = X( jω) (2.2.2) összefüggés, amely X(jω) = X(jω) e jφ(ω) alakú X(jω) mellett az alábbi módon írható X(jω) e jφ(ω) = X( jω) e jφ( ω), (2.2.21) ahonnan azonnal következik, hogy X(jω) páros, φ(ω) pedig páratlan A matematikai mintavételezés és a Shannontétel Az x(t) FI jel matematikai mintavételezése az alábbiak szerint definiálható x (t) = x(t)i (t) = x(t) 1 Egy konstans szorzótényezőtől eltekintve. n= δ(t nt s ), (2.3.1) 36

37 2. fejezet. A Fourier-transzformáció ahol x (t) a mintavételezett jel, i (t) a mintavételező impulzussorozat, T s a mintavételi periódusidő. A mintavétel eredményeként adódó x (t) az x(t) t=nts mintákat tartalmazza, ahogyan azt a 2.7. ábra szemlélteti x (t) t 2.7. ábra. Folytonos idejű jel mintavételezése az i (t) impulzussorozattal x (t) = n= x(nt s )δ(t nt s ). (2.3.2) Vizsgáljuk meg az x (t) spektrumát. Mivel i (t) periodikus, ezért a spektruma I (jω) = k= 2πc k δ(ω kω s ) (2.3.3) alakú, 11 és a c k együtthatók k-tól függetlenül mind 1/T s -re adódnak tehát i (t) spektruma 11 Ld szakasz. c k = 1 Ts/2 δ(t)e jkωst dt = 1, (2.3.4) T s T s T s/2 37

38 2.3. A matematikai mintavételezés I (jω) = k= 2π T s δ(ω kω s ), (2.3.5) ahonnan a szorzat spektrumára vonatkozó szabály ismeretében 12 X (jω) = 1 2π [X(jω) I (jω)] = 1 T s k= X(j(ω kω s )), (2.3.6) vagyis a mintavételezett jel spektruma az eredeti X(jω) spektrum eltolt és skálázott változatainak az összege (2.8. ábra). 13 A 2.8. ábra alapján jól látható, hogy az eredeti jel spektruma akkor állítható vissza egy rekonstrukciós aluláteresztő szűrővel, ha a mintavételezés hatására keletkező másolatok nem érnek össze. Ennek pedig pontosan az a feltétele, hogy az ω s mintavételi körfrekvencia nagyobb legyen, mint az ω M sávkorlát kétszerese ábra. Mintavételezés hatása a frekvenciatartományban 12 F{x(t)w(t)} = 1 [X(jω) W (jω)] 13 2π A mintavételezés hatására a spektrum periodikussá válik ω s periódussal. 38

39 2. fejezet. A Fourier-transzformáció A fentiek alapján megfogalmazható a helyes mintavételre vonatkozó szabály, melyet mintavételi törvénynek, vagy Shannon-tételnek nevezünk. Shannon-tétel: Egy x(t) sávkorlátozott jel (X(jω), ω > ω M ) mintáiból egyértelműen rekonstruálható, ha ω s > 2ω M, ω s = 2π/T s A Shannon-tétel szerint tehát akkor jó a mintavételezés, ha az ω s mintavételi körfrekvencia nagyobb, mint a jelben előforduló maximális körfrekvencia (ω M, sávkorlát) kétszerese. 39

40 A matematikai mintavételezés

41 3. fejezet A diszkrét Fourier-transzformáció és a z-transzformáció Ebben a fejezetben a diszkrétidejű periodikus és aperiodikus jelek Fouriertranszformáltjainak meghatározását tárgyaljuk. Mivel a számítógépes, digitális jelfeldolgozás szempontjából a DI jelek fogják a legfontosabb szerepet játszani, a Fourier-transzformációnak ezeket a változatait alkalmazzák majd a gyakorlatban A diszkrét Fourier-transzformáció A digitális jelfeldolgozás talán leggyakrabban alkalmazott módszere a diszkrét Fourier-transzformáció (röviden DFT), amely funkcióját tekintve azonos a folytonos idejű Fourier-sorral, azaz egy periodikus jel spektrális összetevőinek meghatározására alkalmas. Tekintsük az x[n] periodikus jelet. 1 A folytonos idejű jelek esetéhez hasonlóan itt is abból fogunk kiindulni, hogy a periodikus jelek felírhatók komplex exponenciális függvények lineáris kombinációjaként 1 x[n] = x[n + N], n Z 41

42 3.1. A DFT az alábbi alakban x[n] = k D k φ k [n], (3.1.1) ahol a φ k [n] bázisfüggvények a következő módon adhatók meg φ k [n] = e jkϑ n, (3.1.2) ahol ϑ az ún. diszkrét idejű alapkörfrekvencia, melynek értéke ϑ = 2π/N, ami analóg a folytonos idejű ω = 2π/T alapkörfrekvenciával. Mivel a (3.1.1) összefüggésben szereplő φ k [n] = e jkϑ n függvény a k szerint N- nel periodikus 2, csak N különböző φ k [n] van, ezekre elvégezve a (3.1.1) összegzést az alábbi x[n] = N 1 k= D k e jkϑ n, (n =, 1,..., N 1), (3.1.3) összefüggés adódik, amelyet inverz diszkrét Fourier-transzformációnak, röviden inverz DFT-nek nevezünk. A D k együttható meghatározásához szorozzuk be mindkét oldalt e jpϑ n -el, és összegezzünk mindkét oldalon n szerint N 1 n= x[n]e jpϑ n = N 1 n= N 1 k= D k e jkϑ n e jpϑ n, (3.1.4) ahonnan a jobboldali összegzések felcserélésével és az összegben szereplő kifejezések megfelelő átrendezésével az alábbi alakhoz jutunk N 1 n= x[n]e jpϑ n = N 1 k= N 1 D k n= A (3.1.5) kifejezés jobb oldalán található n szerinti összegzés e j(k p)ϑ n. (3.1.5) 2 A DI komplex exponenciális jel periodikus, e jkϑ n = e j(k+n)ϑ n, (ϑ = 2π/N). 42

43 3. fejezet. DFT, FFT, z-transzformáció N 1 n= e j(k p)ϑ n = { N, ha k = p, különben, (3.1.6) tehát a jobb oldalon álló külső, k szerinti összegzés csak a k = p esetben ad nullától különböző eredményt, 3 a k = p esetre pedig az alábbi kifejezés adódik N 1 n= x[n]e jpϑ n = ND p, (3.1.7) ahonnan a k változóra visszatérve a D k együttható meghatározására szolgáló formula az alábbi alakú D k = 1 N N 1 n= x[n]e jkϑ n, (3.1.8) melyet diszkrét Fourier-transzformációnak, röviden DFT-nek nevezünk. Könnyen megmutatható, 4 hogy csak N darab különböző D k van, ugyanis D k periodikus, hiszen D k+n = 1 N N 1 n= x[n]e j(k+n)ϑ n = 1 N N 1 n= x[n]e jkϑ n e jnϑ n, (3.1.9) ahonnan tekintve, hogy ϑ = 2π/N, a (3.1.9) jobb oldalán álló e jnϑ n szorzótényező eggyel egyenlő, 5 azonnal következik, hogy D k = D k+n. A DFT tehát egy N hosszú periódussal rendelkező x[n] transzformáltjaként egy periodikus D k jelet eredményez (szintén N hosszú periódussal), ahol a k független változó a ϑ k = kϑ DI körfrekvencia indexe. A 3.1. ábra egy folytonos idejű x(t) mintavételezésével kapott x[n] jel diszkrét Fourier-transzformáltjának szerkezetét szemlélteti. 3 A k p esetben az egész jobb oldali összeg lenullázódik. 4 A DI komplex exponenciális jel periodikus, e jkϑ n = e j(k+n)ϑ n, (ϑ = 2π/N). 5 e jnϑ n = e jn 2π N n = e j2πn = 1, n Z 43

44 3.1. A DFT x(t), x(nts) Dk t (a.) k (b.).5.4 Dk ω [rad/s] (c.) 3.1. ábra. DI jel spektruma Az ábrán látható x(t) egy ω = 16 rad/s körfrekvenciájú szinuszos jel, amit ω s = 8 rad/s mintavételi körfrekvenciával mintavételeztünk. Ennek eredményeként N = 2 db mintavételi helyen kaptunk függvényértékeket az eredeti jelből, ezek az x(t) jel t = nt s helyeken felvett értékei alkotják az x[n] DI jelet, amelynek amplitúdóspektruma látható a 3.1.b. ábrán. Mivel a (3.1.8) diszkrét Fourier-transzformáció az N elemű x[n]-hez egy szintén N elemű D k -t rendel, a spektrum N db spektrumvonalból áll. A mintavételi körfrekvencia ismeretében meghatározható a spektrumvonalak távolsága (a DFT felbontása), amely ω = ω s /N. Ha a vonalas spektrumot az ω függvényében ábrázoljuk, akkor leolvasható az eredeti 44

45 3. fejezet. DFT, FFT, z-transzformáció x(t) körfrekvenciája (3.1.c. ábra) A gyors Fourier-transzformáció Az előző szakaszban tárgyalt diszkrét Fourier-transzformáció komoly hátránya, hogy a végrehajtásához szükséges műveletek száma O(N 2 ), azaz a műveletigény a transzformálandó jel mintaszámának négyzetével arányos. Könnyen belátható, hogy ez a gyakorlatban lehetetlenné teszi a DFT alkalmazását. 6 A végrehajtási sebesség azonban szignifikánsan növelhető a gyors Fouriertranszformáció, vagy angol rövidítése után az FFT (Fast Fourier Transform) alkalmazásával. Tekintsük a (3.1.8) összefüggést (az 1/N szorzótényezőt átmenetileg elhagyjuk) és írjuk fel az alábbi módon D k = N 1 n= x[n]e jkϑ n, (3.2.1) ami, különválasztva az összegzésben a páros és páratlan indexű elemeket, 7 valamint felhasználva a ϑ = 2π/N összefüggést az alábbi alakban is felírható D k = N 2 1 x[2n]e jk 2π N 2n + x[2n + 1]e jk 2π N (2n+1), (3.2.2) n= N 2 1 n= ahonnan átrendezéssel a következő alak adódik D k = N 2 1 n= 2π jk x[2n]e N/2 n } {{ } D N/2 k,e N n= 2π jk x[2n + 1]e } {{ } D N/2 k,o N/2 2n e jk 2π N }{{}. (3.2.3) W N 6 CD audiojel egy másodperce N = 44 1 mintát tartalmaz, aminek transzformálásához nagyjából művelet szükséges. 7 Itt feltételezzük, hogy N páros. 45

46 3.3. A diszkrét idejű Fourier-transzformáció A (3.2.3)-ban definiált D N/2 k,e hosszú jel DFT-je, és hasonlóan D N/2 az eredeti x[n] páros indexű elemeiből álló N/2 k,o az x[n] páratlan indexű elemeinek DFT-jét tartalmazza. A kitevőkben bevezetett N, ill. N/2 jelölés arra utal, hogy hány mintából áll az adott transzformálandó jel, az alsó indexben bevezetett E és O pedig rendre a páros (Even) és páratlan (Odd) indexekhez tartozó szekvenciákat jelöli. Az itt bevezetett jelölésekkel (3.2.1) az alábbi alakban írható Dk N = DN/2 k,e + DN/2 k,o W N, (3.2.4) azaz az N hosszú szekvencia DFT-je meghatározható az x[n] páros és páratlan indexű elemeiből álló N/2 hosszú darabok DFT-je, és a W N konstans ismeretében. A gondolatmenetet tovább folytatva az N/2 hosszú DFT-k két N/4 hosszúságú DFT-ből állíthatók elő, így (3.2.4) az alábbi alakú lesz D N k = DN/4 k,ee + DN/4 k,eo W N/2 +(D N/4 k,oe + DN/4 k,oo W N/2 } {{ } D N/2 k,e } {{ } D N/2 k,e )W N. (3.2.5) Ezt a felosztást egészen addig kell ismételni, ameddig egyelemű darabok DFT-je alkotja az eredeti DFT-t. A (3.2.1) alapján ugyanis világos, hogy Dk 1 = x[], azaz az egyelemű szekvenciák önmaguk transzformáltjai. Az FFT algoritmus a fenti alapelvet követve állítja elő az x[n] diszkrét Fourier-transzformáltját. Végeredményét tekintve működése azonos a DFT működésével, műveletigénye viszont O(N log 2 N), ami jelentős gyorsulást eredményez A diszkrét idejű Fourier-transzformáció A diszkrét idejű Fourier-transzformáció a DI aperiodikus jelek vizsgálatára alkalmas. Bevezetését az FI Fourier-transzformációhoz hasonlóan végezzük, 8 CD audio jel egy másodpercének transzformálásához nagyjából művelet szükséges. 46

47 3. fejezet. DFT, FFT, z-transzformáció azaz a DFT-nél definiált apparátust fogjuk alkalmazni a DI aperiodikus jelekre N mellett. Tekintsük az ˆx[n] periodikus jelet a [ N 1, N 2 ] periódussal, legyen továbbá az x[n] = ˆx[n] a [ N 1, N 2 ] intervallumon különben. Mivel ˆx[n] egy DI periodikus jel, együtthatói a (3.1.8) alapján D k = 1 N N 1 n= ˆx[n]e jkϑ n = 1 N n= Vezessük be az alábbi módon definiált X(e jϑ )-t 9 X(e jϑ ) = n= x[n]e jkϑ n. (3.3.1) x[n]e jϑn, (3.3.2) melynek mintáiként értelmezhetők a (3.3.1)-ben szereplő D k együtthatók, azaz D k = 1 N X(ejϑ ) ϑ=kϑ. (3.3.3) Az így definiált együtthatókat helyettesítve ˆx[n] (3.1.3) alapján történő leírásába, ˆx[n] = N 1 k= ahonnan az 1/N = ϑ /(2π) alkalmazásával 1 N X(ejkϑ ) e jkϑn, (3.3.4) }{{} D k ˆx[n] = 1 N 1 X(e jkϑ )e jkϑn ϑ, (3.3.5) 2π k= innen az N (ϑ ) határátmenettel 1 adódik az 9 Az X(e jϑ ) folytonos függvénye ϑ-nak és 2π-vel periodikus. 1 Az integrálás tartománya egy 2π hosszú intervallum (pl. (, 2π),( π, π),...), mivel ϑ = 2π/N az N növelésével csak egyre több részre osztjuk fel a 2π-hosszú intervallumot. 47

48 3.3. A DTFT x[n] = 1 X(e jϑ )e jϑn dϑ, (3.3.6) 2π 2π összefüggés, amit inverz diszkrét idejű Fourier-transzformációnak nevezünk. Formális jelölése x[n] = F 1 D {X(ejϑ )}, (3.3.7) az X(e jϑ )-t definiáló (3.3.2) összefüggés pedig a diszkrét idejű Fouriertranszformáció, formálisan X(e jϑ ) = F D {x[n]}. (3.3.8) A DTFT legfontosabb tulajdonságai A DTFT tulajdonságai közül az alábbi fontos tulajdonságokat emeljük ki, amelyek a későbbiekben a digitális szűrők tervezésekor hasznosak lesznek. Eltolás az időtartományban A időtartományban egy ütemmel késleltetett jel transzformáltja az alábbi módon határozható meg F D {x[n 1]} = e jϑ X(e jϑ ), (3.3.9) az N ütemmel késleltetett jel transzformáltja pedig alakú. F D {x[n N]} = e jϑn X(e jϑ ) (3.3.1) Csillapított jel transzformáltja Egy r n (r R) exponenciális jellel beszorzott időfüggvény transzformáltja az alábbi összefüggés szerint adódik F D {x[n]r n } = X(re jϑ ), (3.3.11) azaz az időtartományban r n -el való szorzás a transzformált tartományban az argumentum r-el való szorzását jelenti. 48

49 3. fejezet. DFT, FFT, z-transzformáció 3.4. A z-transzformáció Ebben a szakaszban bevezetjük a z-transzformációt, amely majd később, a digitális szűrők tervezési elveinek tárgyalásakor fog fontos szerepet játszani. Legyen egy diszkrét idejű rendszer gerjesztés válasz kapcsolata y[n] = W{x[n]}, és adjunk a bemenetére egy x[n] = z n (z = re jϑ C) alakú gerjesztést, majd határozzuk meg a rendszer válaszát (konvolúcióval) 11 y[n] = i= w[i]z n i = z n i= w[i]z i, (3.4.1) } {{ } W (z) ahonnan látható, hogy a z n alakú komplex exponenciális a DI rendszer sajátfüggvénye, azaz egy konstans szorzótól eltekintve módosítatlanul kerül át a rendszer kimenetére. A (3.4.1)-ben szereplő W (z)-t a DI rendszer átviteli függvényének nevezzük. 12 A W (z) fenti konstrukcióját z-transzformációnak nevezzük, és az alábbi módon definiáljuk X(z) = A z-transzformáció formális jelölése n= x[n]z n. (3.4.2) X(z) = Z{x[n]}, (3.4.3) ahol az X(z)-t az x[n] z-transzformáltjának nevezzük. A DTFT-vel való kapcsolatát az alábbi módon fogalmazhatjuk meg, X(z) z=e jϑ = X(e jϑ ), (3.4.4) vagy másképpen, (3.4.2) alapján z = e jϑ helyettesítéssel 11 y[n] = i= w[i]x[n i] 12 A DI rendszerek esetében definiált W (z) átviteli függvénynek szokásos elnevezései még a z-átviteli függvény, ill. az impulzusátviteli függvény. 49

50 3.4. A z-transzformáció X(z) = n= x[n](re jϑ ) n = n= x[n]r n e jϑn, (3.4.5) ahonnan látható, hogy a z-transzformáció interpretálható úgy, mint F D {x[n]r n }, tehát mintha az x[n] helyett ennek egy csillapított változatát transzformálnánk Az inverz z-transzformáció Használjuk fel a DTFT (3.3.11) tulajdonságát, majd szorozzuk mindkét oldalt r n -el, x[n]r n = 1 X(re jϑ )e jϑn dϑ, (3.4.6) 2π 2π x[n] = 1 X(re jϑ )(re jϑ ) n dϑ, (3.4.7) 2π 2π ahonnan a z-szerinti integrálásra áttérve (dz/dϑ = rje jϑ = jz) adódik az alábbi 13 x[n] = 1 X(z)z n 1 dz, (3.4.8) 2πj z =r kifejezés, amit inverz z-transzformációnak nevezünk A z-transzformáció tulajdonságai Az alábbiakban a z-transzformáció legfontosabb tulajdonságait tekintjük át. 13 Az integrálási út ebben az esetben egy 2π hosszú körív a z-síkon, valahol a konvergenciatartományban. 5

51 3. fejezet. DFT, FFT, z-transzformáció Linearitás A z-transzformáció lineáris, azaz, ha a transzformálandó jel két vagy több jel súlyozott összege (szuperpozíciója), akkor a transzformált az eredeti jelek transzformáltjainak súlyozott összegeként adódik, vagyis, ha Z{x 1 [n]} = X 1 (z) és Z{x 2 [n]} = X 2 (z), akkor Z{K 1 x 1 [n] + K 2 x 2 [n]} = K 1 X 1 (z) + K 2 X 2 (z), (3.4.9) vagy általánosan, ha Z{x i [n]} = X i (z), akkor { } Z K i x i [n] = K i X i (z). (3.4.1) i i Eltolás az időtartományban Ha egy x[n] jel eltolt változatának z- transzformáltját szeretnénk meghatározni, akkor felhasználhatjuk az alábbi összefüggést, miszerint Z{x[n N]} = z N X(z), (3.4.11) ami azt jelenti, hogy az időtartománybeli késleltetés az operátortartományban z N -nel való szorzásnak felel meg. Csillapítási tétel Ha egy x[n] jelet beszorzunk egy r n alakú exponenciális jellel, akkor e szorzat transzformáltja az alábbi alakban írható ( z ) Z{x[n]r n } = X, (3.4.12) r azaz az időtartományban r n -el való beszorzás az operátorfüggvény argumentumának r-el való osztásának felel meg. 51

52 A z-transzformáció

53 4. fejezet Digitális szűrők A digitális szűrők alatt olyan algoritmusokat (rendszereket) értünk, amelyek valamilyen módon megszűrik, azaz bizonyos szempontok figyelembevételével számunkra kedvezőbb formára alakítják a bemenetükre érkező jelet. A digitális szűrők frekvenciatartománybeli viselkedését az I./4. fejezetben bevezetett átviteli karakterisztika segítségével értelmezzük Digitális szűrők alapvető tulajdonságai A jelek szűrése alapvetően két fontos dolog miatt szükséges. Az egyik a jelekre rakódó nem kívánt zaj eltávolítása, a másik pedig két vagy több jel frekvenciatartománybeli szeparációja. A digitális szűrők mindkét alkalmazási területen kiváló teljesítményt nyújtanak, és emiatt széleskörűen alkalmazzák is őket a legkülönbözőbb feladatokra. Ebben a fejezetben a digitális szűrés alapelveit tárgyaljuk, felhasználva az előző fejezetekben szerzett ismereteket Alapvető szűrőtípusok frekvenciatartománybeli viselkedés szempotjából A digitális szűrők frekvenciatartománybeli viselkedése alapján többféle típust különböztethetünk meg. Ezek közül az egyik legfontosabb az 53

54 4.1. Digitális szűrők tulajdonságai aluláteresztő szűrő. Az elnevezés azt takarja, hogy a szűrő a bemenetére érkező jelet úgy módosítja, hogy a jelben előforduló frekvenciakomponensek közül az alacsony frekvenciájúakat (egy f v vágási frekvenciánál kisebbeket) változatlan amplitúdóval átengedi, az ennél nagyobbakat viszont lehetőség szerint egyáltalán nem engedi át. A 4.1. ábrán az ideális aluláteresztő szűrő átviteli karakterisztikája 1 (vagy más néven frekvenciafüggvénye) látható W(f) f 4.1. ábra. Ideális aluláteresztő szűrő frekvenciafüggvénye A szűrő frekvenciamenetéből kiolvasható, hogy az f v vágási frekvenciánál (az ábra f v =,5 esetet mutatja) kisebb frekvenciákon az amplitúdóviszony egyszeres, az ennél nagyobb frekvenciák esetében nullaszoros (tehát tökéletes a vágás). Azt a frekvenciatartományt, ahol a szűrő átengedi a jelet, áteresztési tartománynak, ahol nem engedi át, azt zárótartománynak nevezzük. Az aluláteresztő szűrőhöz hasonlóan alapvető fontosságú szűrőtípus a felüláteresztő szűrő. Mint az elnevezéséből sejthető, ez a szűrő az előbbivel pontosan ellentétes viselkedést valósít meg, tehát az f v vágási frekvenciánál kisebb frekvenciákat vágja, a nagyobbakat átereszti. Átviteli karakterisztikája a 4.2. ábrán látható. 1 A frekvenciatartománybeli szűrőtulajdonságok vizsgálatakor az amplitúdókarakterisztika a fontos. 54

55 4. fejezet. Digitális szűrők W(f) f 4.2. ábra. Ideális felüláteresztő szűrő frekvenciafüggvénye Fontos még az előbbieken kívül megemlíteni a sáváteresztő és sávzáró szűrőket, melyek viselkedése a 4.3. ábrán figyelhető meg W(f) W(f) f (a.) f (b.) 4.3. ábra. Ideális sávzáró (a) és sáváteresztő (b) szűrő frekvenciafüggvénye A frekvenciafüggvényekből látható, hogy ez a két szűrőtípus egy frekvenciasávval operál, amelynek határpontjai a szűrő alapparaméterei. Ezek a szűrőtípusok egyszerűen előállíthatók az aluláteresztő szűrő karakterisztikájának ismeretében. 55

56 4.1. Digitális szűrők tulajdonságai Amennyiben ismerjük egy aluláteresztő szűrő impulzusválaszát 2 (súlyfüggvényét), akkor ebből egy ugyanilyen vágási frekvenciájú felüláteresztő szűrő a 4.4. ábrán látható elv szerint állítható elő ábra. Felüláteresztő szűrő előállítása Az ábra alapján világos, hogy az aluláteresztő szűrő impulzusválaszát kivontuk a mindent áteresztő szűrő impulzusválaszából (ami a δ[n] egységimpulzus). A művelet frekvenciatartományban az aluláteresztő szűrő frekvenciafüggvényének a konstans, egységnyi értékű függvényből való kivonásával ekvivalens, aminek eredményeképp pontosan a felülátersztő viselkedésre jellemző átviteli karakterisztikához jutunk. A sávzáró és a sáváteresztő viselkedés egy megfelelő aluláteresztő és egy felüláteresztő szűrő soros (sáváteresztő), ill. párhuzamos (sávzáró) kapcsolásával valósítható meg, tehát az eredő szűrő súlyfüggvénye a két, sorba kapcsolt alapszűrő súlyfüggvényének konvolúciójával (sáváteresztő), ill. összeadásával (sávzáró) állítható elő. A szűrők egyéb szempontok szerinti kategóriákba való besorolására az egyes szűrőtípusok részletes tárgyalásakor kerül sor. 2 Mivel az átviteli karakterisztika az impulzusválasz Fourier-transzformáltja, kiindulhatnánk az átviteli karakterisztikából is. 56

57 4. fejezet. Digitális szűrők 4.5. ábra. Sáváteresztő szűrő előállítása 4.6. ábra. Sávzáró szűrő előállítása A digitális szűrőkkel szemben támasztott követelmények Egy szűrő teljesítményét több szempontból is vizsgálhatjuk. Első ránézésre azt gondolhatnánk, hogy a legkézenfekvőbb a szűrő viselkedését a frekvenciatartományban vizsgálni, hiszen a tulajdonképpeni szűrőtulajdonságokat itt lehet jól megfigyelni. Ez részben igaz is, de csak abban az esetben, ha a szűrőt olyan feladatra terveztük, amelyet a frekvenciatartományban kell elvégezni (pl. jelek szeparálása). Amennyiben a szűrő feladata a bemenetére érkező jel simítása (véletlen zajok szűrése), úgy az időtartománybeli viselkedés jóval fontosabb, hiszen itt az a célunk, hogy a zaj leszűrése után a jelalak (időfüggvény) lehetőleg változatlan maradjon. A frekvenciatartományban az átviteli karakterisztika, időtartományban pedig az ugrásválasz (átmeneti függvény) jellemzi a szűrő viselkedését. Azért választjuk az ugrásválaszt az időtartomány vizsgálatára, mert itt elsősorban az érdekel bennünket, hogy az ugrásjel felfutó, ill. lefutó éle milyen torzulásokat szenved a szűrés 57

58 4.1. Digitális szűrők tulajdonságai hatására. A következő, 4.7. és 4.8. ábrákon összefoglalva láthatók azok a szempontok, amelyek egy szűrő teljesítményére jellemzők idő-, ill. frekvenciatartománybeli felhasználás szempontjából. Fontos megemlíteni, hogy egy szűrő általában csak az egyik tartományban viselkedik jól, ezt a szűrő tervezésekor figyelembe kell venni v[n].5 v[n] n n (a.) (b.) v[n].6.4 v[n] n (c.) n (d.) 4.7. ábra. Átmeneti függvények A 4.7. ábrán megfigyelhető, hogy az ideális ugrásválasz (a) többféleképpen megváltozhat a szűrés hatására. A (b) átmeneti függvény aluláteresztő szűrésre utal, látható, hogy az ugrásjel felfutó éle gyakorlatilag eltűnt a szűrés hatására. A (c) ábrán látható ugrásválaszon a felfutó él határozott maradt ugyan, de túllendülés keletkezett az él előtt és után, ez 58

59 4. fejezet. Digitális szűrők azért hátrányos, mert szűrés után problémát okoz annak eldöntése, hogy az éleknél tapasztalt jelenség ez eredeti jelből származik vagy pusztán a szűrés káros mellékhatása. A (d) ábra egy aszimmetrikus átmeneti függvényt mutat, ami arra utal, hogy a szűrő fázis-frekvenciafüggvénye nem lineáris W(f) W(f) [db] f (a.) f (b.) 4.8. ábra. Frekvenciafüggvények ideálishoz közeli esetben A 4.8. ábrán látható átviteli karakterisztikák közül az (a) és (b) jelűek az ideálishoz közeli aluláteresztő szűrő frekvenciafüggvényét mutatják lineáris, ill. logaritmikus skálán W(f) W(f) f (a.) f (b.) 4.9. ábra. Frekvenciafüggvények ideálistól eltérő esetben 59

60 4.1. Digitális szűrők tulajdonságai A 4.9. (a) ábrán látható jelenség az ún. fodrozódás az áteresztősávban, melyet, ha lehet, kerülni kell, hiszen egy ideális szűrőtől azt várjuk, hogy egyáltalán ne módosítsa az áteresztési tartományt. A (b) jelű ábra pedig egy olyan szűrő frekvenciafüggvénye, melynek esetében túlságosan lassú az átmenet a zárótartományba. A digitális szűrők felépítésüket tekintve két kategóriába sorolhatók, ezek az ún. FIR (Finite Impulse Response) és IIR (Infinite Impulse Response) architektúrák. A két típus közötti alapvető különbség a szűrőt reprezentáló diszkrét idejű rendszer struktúrájában van. Egy általános DI rendszer időtartománybeli reprezentációja egy differenciaegyenlet, ami az alábbi alakban írható y[n] + N M a i y[n i] = b j x[n j], (4.1.1) i=1 ahol x[n] a rendszer gerjesztése, y[n] a válasza, az a i és b j pedig a rendszert jellemző konstans paraméterek. A (4.1.1) alapján a rendszer válasza az alábbi módon értelmezhető 3 y[n] = M b j x[n j] + j= j= N a i y[n i], (4.1.2) melynek alapján jól látható, hogy az y[n] kimenőjel előállításához nemcsak az x[n] gerjesztést, hanem a válasz előző időpillanatokban felvett értékeit is felhasználtuk. Ez az ún. IIR architektúra, az ilyen visszacsatolást is tartalmazó rendszereket szokás még rekurzív rendszereknek is nevezni. Ha az y[n] válasz előállításához csak az x[n] gerjesztést használjuk fel, akkor az alábbi y[n] = i=1 M b j x[n j], (4.1.3) j= 3 Az (4.1.1)-hez képest az a i együtthatók előjele itt ellentétes lesz, de ennek a stuktúra szempontjából nincs jelentősége. 6

61 4. fejezet. Digitális szűrők FIR architektúrához jutunk. A következő szakaszban az FIR és IIR szűrők felépítését és tulajdonságait tárgyaljuk Az FIR szűrők (konvolúciós szűrők) A szűrők megvalósítása szempontjából az egyik legkézenfekvőbb lehetőség a konvolúció, hiszen így elég a szűrő súlyfüggvényét ismerni, ennek ismeretében tetszőleges bemenőjelhez (a szűrendő jel) előállítható a szűrő válasza (a szűrt jel). Tehát egy konvolúciós szűrő tervezésekor a feladat a szűrő impulzusválaszának meghatározása. Ezeket a szűrőket szokás még a fentebb tárgyalt architekturális sajátságra utalva FIR szűrőknek is nevezni, ahol az FIR betűhármas arra utal, hogy a szűrő súlyfüggvénye (impulzusválasza) véges (Finite Impulse Response) Az átlagoló szűrő (mozgóátlagú szűrő) A jelek szűrésekor az egyik leggyakrabban előforduló feladat a véletlen zaj eltávolítása a jelből (simítás) (mint arra már az 1. fejezetben történt utalás). Ha a szűrendő zaj fehérzaj (nulla várható értékű, véges szórású véletlen jel), akkor e feladat megoldására optimális megoldást jelent az átlagoló szűrő használata. Mivel nem tudjuk megjósolni egyik időpillanatról a másikra a zajfüggvényt, viszont statisztikai tulajdonságait ismerve elmondhatjuk, hogy hosszútávon az átlaga nulla, jó megoldás lehet a mozgóátlagolás módszere, hiszen így a nulla átlagú zajtól meg tudunk szabadulni. A mozgóátlagoláshoz meg kell adni egy M mintából álló intervallumot, amelyen az átlagolást végezzük. Így az y[n] kimenőjel az x[n] bemenőjel alapján az alábbiak szerint alakul: y[n] = 1 M M 1 i= x[n i]. (4.2.1) A fenti (4.2.1) összefüggésből látszik, hogy ez tulajdonképpen az x[n] gerjesztés és az 1/M konstans konvolúciója, tehát a szűrő impulzusválasza egy M mintából álló konstans 1/M értékű függvény. 61

62 4.2. Az FIR szűrők w[n].6.4 W(f) n (a.) f (b.) 4.1. ábra. Az átlagoló szűrő súlyfüggvénye (a) és frekvenciafüggvénye (b), M = 1 esetén Mivel a szűrő működése közben M db mintát átlagol a bemenetére érkező jelből, ezért szükségszerűen csökkenti a jel fel- és lefutásainak oldalmeredekségét. Amint az 1. fejezet 1.2. ábráján nyomon követhető, a súlyfüggvény szélességének növelésével a zajszint csökken, de csökken az oldalmeredekség is, így a szűrőtervezés egyetlen szempontja, hogy mi az a legnagyobb M, ahol még megfelelő marad a szűrt jel oldalmeredeksége. Ennek a szűrőnek, egyszerűségén kívül, van még egy hatalmas előnye, nevezetesen az, hogy megvalósítható konvolúció nélkül egy ötletes és gyors algoritmussal, és mivel a konvolúciós szűrők legnagyobb hátránya a lassú végrehajtás, ez fontos szempont lehet. A gyors algoritmus alapelve azon az egyszerű felismerésen alapul, hogy az átlagoló szűrő a mozgóátlagolás közben egymást szinte teljesen átfedő N hosszúságú jeldarabokkal dolgozik. A jelszegmensek közötti különbség kizárólag az első és az utolsó értékben van. A következő összefüggés az y [26] és az y [27] kimeneti értékek kiszámításának menete egy M = 5 pontú kernel esetén: y [26] = x [26] + x [25] + x [24] + x [23] + x [22], 5 62

63 4. fejezet. Digitális szűrők y [27] = x [27] + x [26] + x [25] + x [24] + x [23], 5 ahonnan látható, hogy az y [26] ismeretében az y [27] könnyen kiszámítható az alábbi módon: vagy általánosan: y [27] = y [26] + x [27] x [22], 5 y [n + 1] = y [n] + x [n + 1] x [n + 1 M]. (4.2.2) M A (4.2.2) összefüggésből világosan látszik, hogy az eredetileg kimenő értékenként szükséges M db összeadás helyett csupán 2 db összeadásra van szükség, így a végrehajtás jelentősen felgyorsult. A módszer legnagyobb előnye, hogy a kernel hosszának növelésével nem növekszik a végrehajtási idő, hiszen az összeadások száma immár nem függvénye M-nek Ablakolt FIR aluláteresztő szűrő Megvizsgálva az előző pontban tárgyalt szűrő átviteli karakterisztikáját, azt látjuk, hogy nem teljesít valami jól a frekvenciatartományban. Ez nem is meglepő, hiszen simítószűrő lévén hatását az időtartományban fejti ki, s mintegy mellékhatásként aluláteresztő szűrőként viselkedik, mivel a gyors változásokat (nagyfrekvenciás összetevők) elsimítja. Amennyiben célunk az, hogy minél tökéletesebben válasszuk szét a frekvenciatartományt két részre, akkor más irányból kell megközelítenünk a problémát. Induljunk ki az ideális aluláteresztő szűrő átviteli karakterisztikájából, és próbáljunk egy olyan impulzusválaszt előállítani, amelyhez ez a karakterisztika tartozik. Ez a feladat elméletben egyszerűen megoldható, hiszen az átviteli karakterisztika a súlyfüggvény Fouriertranszformáltja, így az impulzusválasz az átviteli karakterisztika inverz Fourier-transzformáltjaként adódik. 63

64 4.2. Az FIR szűrők Az ideális aluláteresztő szűrő átviteli karakterisztikája egy szimmetrikus négyszögimpulzus, melynek inverz Fourier-transzformáltja az alábbiak szerint határozható meg w(t) = 1 ωh e jωt dω = sin(ω ht), (4.2.3) 2π ω h tπ ahol ω h a határkörfrekvencia. A ábrán az ideális aluláteresztő szűrőhöz tartozó frekvenciafüggvény és az ebből kapott súlyfüggvény látható (ω h = 1) W(jω) w(t) ω t ábra. Az ideális aluláteresztő szűrő frekvenciafüggvénye és súlyfüggvénye Az egyetlen probléma az, hogy az inverz transzformált egy folytonos függvény a [, ] intervallumon. Ez azért jelent gondot, mert számítógépen csak véges mintaszámú diszkrét függvényeket tudunk kezelni, tehát el kell vágnunk valahol (csonkolnunk kell) a kapott impulzusválaszt, valamint a folytonos idő helyett át kell térnünk diszkrét idejű reprezentációra, kvázi mintavételeznünk kell a csonkolt w(t) impulzusválaszt. Ezután a diszkretizált w[n]-hez tartozó W (e jϑ ) átviteli karakterisztika fogja leírni a szűrő viselkedését a frekvenciatartományban. Ez az áttérés az ω h vágási határfrekvencia értelmezésén is változtat, hiszen a folytonos-diszkrét átmenettel az ω tartományából a ϑ tartományába tértünk át, ezzel az ω [, ω s ] intervallum helyett a ϑ [, 2π] intervallumban jelennek meg a DI körfrekvenciák. Az implementáció szempontjából ez azt jelenti, hogy a jelben előforduló legnagyobb frekvenciájú komponens (a mintavételi frekvencia 64

65 4. fejezet. Digitális szűrők feléhez tartozó) ϑ = π, azaz, ha azt szeretnénk, hogy a szűrő vágási határfrekvenciája a legnagyobb frekvenciájú komponens 1 4 része legyen, akkor a határ-körfrekvenciát ϑ h = π 4 -re kell választani, ami az eredeti folytonos idejű körfrekvencia tartományában az ω s /8-nak felel meg. A digitális szűrők frekvenciatartományának jellemzésére szokás az ún. normalizált frekvencia bevezetése, amely az ω [, ω s /2] intervallum f [, 1] intervallumra való leképezésével adódik. Ez azért kényelmes, mert így a szűrő karakterisztikája a [, 1] intervallumon értelmezhető, amely gyakorlatilag a szűrés szempontjából releváns teljes frekvenciatartományt lefedi. Ha vissza akarunk térni az igazi frekvenciák tartományába, akkor ezt a mintavételi frekvencia ismeretében bármikor megtehetjük. A ábra a ábrán látható ideális impulzusválasz csonkolás utáni diszkrét változatát, valamint az ebből származtatott átviteli karakterisztikát mutatja w[n].2.1 W(f) n f ábra. A csonkolt, diszkretizált súlyfüggvény és a hozzá tartozó frekvenciafüggvény Látható, hogy a csonkolás miatt a frekvenciafüggvény eléggé messze került az ideálistól. Ennek egyik oka, hogy a DFT periodikusnak tekinti a jelet, így a csonkolással a periódus határánál olyan frekvenciakomponensek kerülnek a jelbe, amik eredetileg nem voltak ott. Ezt a problémát az ún. ablakolással lehet kiküszöbölni, ami nagy vonalakban annyit tesz, hogy a w[n] impulzusválaszt beszorozzuk egy f w [n] ablakfüggvénnyel, amely 65

66 4.2. Az FIR szűrők tipikusan olyan korlátos tartójú jel, ami az értelmezési tartományainak határán igen gyorsan tart a nullához, 4 ez által a w[n]f w [n] szorzatot is a nullához szorítja. A ábrán az ablakolással nyert impulzusválaszt és a hozzá tartozó átviteli karakterisztikát látjuk w[n].2.1 W(f) n f ábra. Hamming-ablakfüggvénnyel beszorzott súlyfüggvény, és a hozzá tartozó frekvenciafüggvény Ez már majdnem megfelel a várakozásainknak. A fenti módon konstruált FIR szűrő vágási meredeksége annál nagyobb (az átmenet az áteresztő és a zárótartomány között annál rövidebb), minél több mintából áll a w[n] impulzusválasz, tehát a szűrő annál közelebb van az ideálishoz, minél többet megtartunk az ideális súlyfüggvényből, az átmeneti tartomány szélessége és a kernel hossza közötti közelítő összefüggés pedig az alábbi formulával adható meg M 4 S, (4.2.4) ahol M a kernel hossza, S az átmeneti tartomány szélessége. 4 Pl. Hamming-, Hanning-, Blackman- ablakok, részleteket ld. az irodalomban. 66

67 4. fejezet. Digitális szűrők Az ablakolt FIR szűrő további lehetőségei Látva a szűrő képességeit, felmerülhet a kérdés, hogy mi az a határ, amit teljesítményben már nem tudunk túllépni. Nos, ha a teljesítmény alatt a szűrő vágási meredekségét, ill. vágási tartománybeli csillapítását értjük, akkor azt kell mondanunk, hogy elméletileg bármilyen szűrőt meg tudunk valósítani, azaz nincs semmilyen határ (a numerikus számítások pontosságát leszámítva természetesen). Másrészről viszont a teljesítmény részének kell tekintenünk a szűrés végrehajtásához szükséges időt, ami egy ideális viselkedést erősen megközelítő szűrő esetében kivárhatatlanul hosszúra nyúlhat. A teljesítmény növelésének kézenfekvő módja lehet, ha két azonos paraméterű (vágási frekvencia, csillapítás) szűrőt sorba kapcsolunk. A soros kapcsolás eredményeképp az eredő szűrő súlyfüggvénye a tagszűrők súlyfüggvényének konvolúciójával állítható elő. A ábrán a tagszűrők, valamint az eredő szűrő súlyfüggvénye, ill. frekvenciafüggvénye látható soros kapcsolás esetén. Az ábrán megfigyelhető, hogy a szűrők sorba kapcsolása hogyan változtatja meg a szűrő impulzusválaszát és átviteli karakterisztikáját. Az eredeti szűrő egy 129 pontos kernellel (a) megadott Blackman-ablakot alkalmazó FIR szűrő, melynek frekvenciafüggvénye látható a (b) jelű ábrán. A szűrő önmagával való sorba kapcsolásának eredményeképp kialakuló szűrőkernel (b) egy 257 pontos kernel, mellyel a szűrés jóval hatékonyabb. A teljesítménynövekedés jelentős, hiszen összehasonlítva a (b) és (d) ábrákat, észrevehetjük, hogy a csillapítás 75 db ről 15 db re, azaz a duplájára nőtt. Nem szabad megfeledkeznünk azonban arról, hogy a teljesítménynövekedésért azt az árat kellett fizetnünk, hogy a szűrőkernel a duplájára növekedett (az eredeti kernel önmagával vett konvolúciója miatt), így a végrehajtási idő is a kétszeresére nőtt. Végezetül álljon itt példaként egy kiemelkedően jó teljesítményű, pontos kernel önmagával vett konvolúciójával keletkező szűrő frekvenciafüggvénye. A ábra igen jól érzékelteti az ablakolt FIR szűrőben rejlő lehetőségeket. Az (a) jelű ábra a frekvenciafüggvény lineáris amplitúdóval ábrázolva, melyen megfigyelhető az óriási vágási meredekség, az átmenet 67

68 4.2. Az FIR szűrők w[n].2.1 W(f) [db] n (a.) f (b.) w[n].2.1 W(f) [db] n (c.) f (d.) ábra. Sorba kapcsolt szűrők eredő viselkedése az áteresztő és a zárótartomány között a,499 és a,52 között megy végbe. Ez a vágási meredekség gyakorlatilag ideálisnak tekinthető. A (b) jelű ábrán az amplitúdót logaritmikusan ábrázolva vizsgálhatjuk meg a szűrő csillapítását, ami szintén kivételesen nagy: 3 db. Ez azt jelenti, hogy a szűrendő jel vágási tartományba eső részei eredeti amplitúdójuk szeresével jelennek meg a szűrő kimenetén. 5 Egy ilyen szűrő alkalmazásával gyakorlatilag ideális szűrést tudunk megvalósítani, azonban még egyszer hangsúlyozni kell, hogy a nagyobb teljesítményekhez hosszabb végrehajtási 5 Ez tulajdonképpen a dulapontosságú számábrázolásban a kerekítési zaj szintje, mivel az itt ábrázolható legkisebb abszolút értékű szám a

69 4. fejezet. Digitális szűrők W(f) W(f) [db] f (a.) f (b.) ábra. Ideálishoz közeli FIR szűrő frekvenciafüggvénye idő tartozik, ez pedig az ideálishoz közeli szűrőket legtöbbször alkalmatlanná teszi a gyakorlati felhasználásra Egyedi frekvenciafüggvénnyel megadott szűrő Előfordulhatnak olyan speciális jelfeldolgozási feladatok, melyek megoldásához nem elég az előzőekben tárgyalt alapszűrők használata, mert a négy alapvető viselkedés közül egyik sem felel meg a célnak. Ez azt jelenti tehát, hogy a szűrőtervezéskor nem indulhatunk ki az aluláteresztő szűrőből. Mindazonáltal a fejezetben tárgyalt ideális aluláteresztő szűrő tervezésének kapcsán felmerülhet a gondolat, hogyha már úgy is a frekvenciafüggvényből indulunk ki, akkor miért ne indulhatnánk ki egy tetszőleges frekvenciafüggvényből, amiből azután már előállítható a súlyfüggvény. Kiindulásként meg kell adnunk egy vektort, ami a kívánt frekvenciamenetet tartalmazza, ez lesz a diszkrét frekvenciafüggvény. A következő lépés az inverz DFT, amely előállítja a frekvenciafüggvényből a súlyfüggvényt. A kapott súlyfüggvény közvetlenül még nem alkalmazható szűrésre, szükség van még egy pár előkészítő lépésre. Tekintsük a ábrán látható frekvenciafüggvényt, és az ebből inverz DFT-vel kapott súlyfüggvényt! Első lépésként a kapott súlyfüggvény elejéről kiveszünk egy N/2 hosszúságú darabot, ahol N a szűrőkernel kívánt hossza. 69

70 4.2. Az FIR szűrők Ezután a DFT szimmetriái miatt ezt tükrözzük a függőleges tengelyre és összefűzzük a tükörképet és az eredeti, N/2 hosszúságú darabot. Arra ügyelni kell, hogy az összeillesztésnél az eredetileg -s indexű elemből csak egy legyen. Ezután jobbra toljuk a kapott jelet N 2 1 mintával, így a legkisebb index a, tehát kiküszöböltük a negatív indexeket W(f) w[n] f (a.) n (b.) wc[n] W(f) n (c.) f (d.) ábra. Egyedi frekvenciafüggvényhez tartozó szűrőkernel előállítása A ábrán nyomon követhetőek a szűrő előállításának lépései, valamint a végeredményként kapott frekvenciafüggvényt (d) is összevethetjük a kiindulásként beállított frekvenciamenettel (a). Az első ránézésre is látszik, hogy a kívánthoz hasonló frekvenciafüggvényt sikerült előállítani, de az eredmény még nem tökéletes. Két szembetűnő különbség azonnal látható: (1) 7

71 4. fejezet. Digitális szűrők A kapott frekvenciafüggvény a kívántnál sokkal hullámosabb ; (2) az éles vágásoknál a meredekség nem megfelelő. Az (1) probléma azért jelentkezik, mert a DFT periodikusnak tekinti a jelet, így, ha a súlyfüggvényünk az intervallum két szélén nem egyenlő, akkor olyan frekvenciakomponensek is bekerülnek a transzformáltba, amelyeket eredetileg nem tartalmaz a jel. E probléma orvoslására a már említett ablakolás a megfelelő technika. A (2) problémát pedig javíthatjuk a szűrőkernel hosszának növelésével. Az alábbi ábrán egy Hanning-ablakkal ellátott, 199 pontos kernel, és a hozzá tartozó frekvenciafüggvény látható wc[n] W(f) n (a.) f (b.) ábra. Egy Hanning-ablakkal ellátott 199 pontos szűrőkernel (a), és a hozzá tartozó frekvenciafüggvény (b) Az ábrán jól látható, hogy ablakolással, és a kernel hosszának növelésével a kapott frekvenciafüggvény sokkal jobban megközelíti az elérni kívánt frekvenciamenetet. Az inverz DFT-vel előállított szűrők további előnye, hogy a fázis-frekvenciafüggvény is teljesen tetszőleges lehet, így egyáltalán nem jelent gondot egy lapos fázisú szűrő megvalósítása. 71

72 4.2. Az FIR szűrők Konvolúciós szűrés a frekvenciatartományban (FFTkonvolúció) Az előző fejezetekben bemutatott módszerrel gyakorlatilag tetszőleges karakterisztikájú szűrő előállítható. A konvolúciós szűrők tehát egyszerűen megvalósíthatók tetszőleges karakterisztikával, emiatt a teljesítményük gyakorlatilag a végtelenségig fokozható. Az egyetlen hátrányuk ami viszont a gyakorlati alkalmazás szempontjából komoly probléma az, hogy a konvolúció nagyon lassú művelet, és minél nagyobb a szűrő teljesítménye, annál több idő szükséges a végrehajtásához (ahogy ezt már említettük az előző fejezetben). Ezt a problémát megkerülhetjük, ha felhasználjuk a Fourier-transzformációnak azt a tulajdonságát, miszerint két időfüggvény konvolúciója a függvények transzformáltjainak szorzataként is megadható. x(t) w(t) = X(jω) W (jω) (4.2.5) Felhasználva a (4.2.5) azonosságot, kiszámíthatjuk a szűrő kimenetét a frekvenciatartományban, ami egy elegendően hosszú kernel esetén már gyorsabb művelet, mint az időtartományban végzett konvolúció. 6 Mint azt láthattuk az előző fejezetben, a szűrő teljesítménye annál jobb, minél hosszabb a kernel, tehát a nagyteljesítményű szűrők implementálásakor hasznos lehet az FFT-konvolúció. Az elv igen egyszerű, a megvalósításához azonban figyelembe kell vennünk egy pár praktikus szempontot: 1. mivel az FFT csak 2 k elemszámú vektorral működik, ezért mindkét függvényt ki kell egészítenünk annyi db nullával, hogy a hossza a következő kettőhatvány legyen (zero padding), 2. a két komplex vektor elemenkénti szorzásához szükséges, hogy a vektorok hossza azonos legyen. 6 Meg kell jegyezni, hogy a hagyományos DFT esetén nem éri meg a módszert használni, mert a transzformált kiszámítása önmagában hosszabb időt vesz igénybe, mint a közvetlen, időtartománybeli konvolúció. 72

73 4. fejezet. Digitális szűrők A fenti feltételek teljesítése nem okoz komoly problémát, hiszen egy tömb nullákkal való kiegészítése nagyon egyszerű művelet, arra kell csak figyelni, hogy a kiegészítés a hosszabb vektornál nagyobb, következő kettőhatványra történjen (ügyelve arra, hogy cirkuláris konvolúció ne lépjen fel), így a vektorok összeszorzásánál nem lesz probléma. Ez viszont a gyakorlati megvalósítás szempontjából nem előnyös, hiszen a szűrendő jel tipikusan sokkal hosszabb, mint a szűrőkernel (és a nagy számok között egyre ritkábban találunk kettőhatványokat), így rengeteg felesleges számítást végzünk az FFT, ill. az inverz FFT műveletek végrehajtásakor. Célszerűnek tűnik tehát, a jelet feldarabolni. A darabok hosszának (N) megválasztásakor figyelembe kell vennünk a konvolúció azon tulajdonságát, hogy egy N és egy M mintából álló jel konvolúciójának eredményeként keletkező jel hossza N + M 1. Tehát az inverz FFT által szolgáltatott eredmény mintaszáma nagyobb vagy egyenlő kell, hogy legyen mint N + M 1 (ellenkező esetben torzulást szenved a jel). Tehát a szűrőkernel hosszának (M) ismeretében célszerű N-t úgy megválasztani, hogy N +M 1 kettőhatvány legyen. 7 Ha a darabokat nem választjuk elég hosszúra, akkor fellép a cirkuláris konvolúció, ami abból adódik, hogy az FFT periodikusnak tekinti a jelet, és átlapolódás keletkezik a jel egyik (vagy negatív indexek használata esetén mindkét) oldalán. A jelenséget a ábra szemlélteti. Az ábrán az (a) zajos jel (b) kernellel való szűrésének eredménye látható hagyományos konvolúcióval (c), ill. FFT-konvolúcióval (d). Ahogy az azonnal szembetűnik, a két eredmény nem egyezik a fent említett cirkuláris konvolúció miatt. A 34 pontos kernelt csak a bemenőjel hosszáig (13) kibővítve végeztük el a DFT-t, így az eredményül kapott jel szintén 13 pontból áll, ami pedig nyilvánvalóan nem jó, hiszen a 34 pontos kernel és a 13 pontos jel konvolúciójának eredményeként keletkező jel 163 pontból áll. A következő ábra a helyes megoldás lépéseit mutatja. A jelet célszerű úgy felbontani, hogy a darabokkal történő konvolúció eredménye kettőhatvány méretű legyen, esetünkben a = 95 pontos darabok megfelelők lesznek. Ezeket a darabokat, valamint a kernelt 128 pontosra kiegeszítve, és a darabokból kapott eredményeket összegezve, előáll a helyes megoldás. 7 Vagy alulról egy kettőhatvány közelében legyen. 73

74 4.2. Az FIR szűrők x[n] w[n] n (a.) n (b.) y[n] yfft[n] n n (c.) (d.) ábra. A cirkuláris konvolúció jelensége, (a, 13 pontos zajos jel), (b, 34 pontos kernel), (c, 163 pontos helyes eredmény), (d, 13 pontos hibás eredmény) A ábrán nyomon követhető, ahogy a jel darabonkénti szűrésével valóban előállítható az eredeti jel szűrt változata, csak annyit kell tenni, hogy az eredeti jel szegmenseit (a) és (b) külön-külön megszűrjük a frekvenciatartományban, majd a keletkező eredményeket (c) és (d) összegezzük, ügyelve az átlapolódásokra. Végrehajtási idő szempontjából egy bizonyos kernelméret felett előnyös az FFT-konvolúció alkalmazása. 74

75 4. fejezet. Digitális szűrők x1[n] y1[n] n n (a.) (b.) x2[n] -.6 y2[n] n n (c.) (d.) ábra. Az FFT-konvolúció (a, a jel első szegmense), (b, az első szegmens szűrve), (c, a jel második szegmense), (d, a második szegmens szűrve) 4.3. Rekurzív szűrők (IIR) Az FIR szűrők áttekintése után a másik fontos architektúrát, a Rekurzív vagy IIR (Infinite Impulse Response), vagyis végtelen impulzusválaszú szűrőket tárgyaljuk. E szűrők előnye az FIR szűrőkkel szemben a gyors végrehajtás, cserébe viszont a teljesítményük nem olyan kiváló, mint konvolúcióval működő társaiké, továbbá tervezésük is jóval körülményesebb. Ez nem jelenti azt, hogy ezek a szűrők nem jók. Vannak olyan feladatok, ahol a gyors végrehajtás sokkal fontosabb, mint az ideálishoz közeli teljesítmény. 75

76 4.3. Rekurzív szűrők (IIR) y1[n] y2[n] n n (a.) (b.) y1[n] + y2[n] n (c.) 4.2. ábra. Az FFT-konvolúció eredménye a szűrt szegmensek (a. és b.) összegeként adódik (c.) Először is szükséges tisztázni, hogyan lehetséges az, hogy egy szűrő impulzusválasza (súlyfüggvénye) végtelen hosszú, és ha már végtelen hosszú, hogyan fogjuk digitális jelfeldolgozásra használni (hiszen a számítógép csak véges hosszúságú vektorokat képes kezelni). A válasz egyszerű. Az IIR szűrők nem a súlyfüggvényükkel vannak megadva, hanem az ún. rekurziós együtthatókkal, így a súlyfüggvényt közvetlenül nem fogjuk használni, tehát nem jelent problémát a végtelen hossz. Ahogy azt az FIR és IIR architektúrák bevezetésekor definiáltuk, az IIR architektúrát reprezentáló differenciaegyenlet az alábbi alakú 76

77 4. fejezet. Digitális szűrők y[n] = M b j x[n j] + j= N a i y[n i], (4.3.1) ahol az y[n] a rendszer kimenőjele, x[n] pedig a bemenőjele. Az egyenlet tartalmazza ezen felül a kimenőjel és a bemenőjel különböző mértékben késleltetett értékeit is. Ha a (4.3.1) egyenlet jobb oldalán nem szerepel a kimenőjel (FIR architektúra esetén), akkor az egyenlet tulajdonképpen az x[n] bemenőjel és a b együtthatóvektor konvolúcióját definiáló összefüggés, ami pedig az x[n] FIR szűrése a b vektor mint szűrőkernel segítségével. Az IIR szűrők sajátsága az, és innen a rekurzív jelző hogy felhasználják a kimenőjel aktuális értékének kiszámításához a már előzőekben kiszámolt kimeneti értékeket. Ezen a módon valóban megoldható, hogy a szűrő súlyfüggvénye végtelen hosszú legyen, hiszen az együtthatók megfelelő megválasztásával elérhető, hogy a δ[n] bemenőjel hatására megjelenő válasz egy olyan jel, amely sohasem lesz azonosan nulla. Példaként tekintsük az alábbi konkrét rendszeregyenletet: i=1 y[n] = b x[n] + a 1 y[n 1], b =,15, a 1 =,85. (4.3.2) A fenti egyenlettel reprezentált rendszer olyan, hogy sohasem tűnik el az impulzusválasza, vagyis ez egy IIR típusú rendszer. Ha végiggondoljuk a működését, láthatjuk, hogy hiába véges hosszúságú a bemenőjel, a kimenőjel sohasem lesz azonosan nulla, bár exponenciálisan csökken, soha nem tűnik el. A rekurzív szűrőket tehát úgy is elképzelhetjük, mintha véges munka árán egy végtelen hosszú súlyfüggvénnyel végeznénk konvolúciót A rekurzív szűrők tervezése A rekurzív szűrők tervezésekor a feladat tulajdonképpen a szűrő differenciaegyenletében szereplő együtthatók meghatározása a kívánt frekvenciafüggvény alapján, hiszen ezek az együtthatók teljes egészében jellemzik a szűrőt. Ahhoz, hogy a frekvenciafüggvényből meghatározzuk az együtthatókat, szükségünk lesz a 3. fejezetben tárgyalt z-transzformációra. 77

78 4.3. Rekurzív szűrők (IIR) Első lépésként határozzuk meg a (4.3.1) rendszeregyenlet z- transzformáltját, M Z{y[n]} = Z b j x[n j] + j= N a i y[n i], (4.3.3) amely a transzformáció linearitását és eltolási tételét felhasználva az alábbi alakú Y (z) = M b j z j X(z) + j= i=1 N a i z i Y (z), (4.3.4) i=1 összefüggést eredményezi, amelyből felírható a rendszer W (z) = Y (z) X(z) = b + b 1 z + + b M z M 1 a 1 z 1 a 2 z 2 a N z N (4.3.5) átviteli függvénye. Konkrét esetben eltekinthetünk a negatív kitevők használatától, ha z legmagasabb negatív kitevőjű hatványával elosztjuk az átviteli függvény számlálóját és nevezőjét is. Az így kapott W (z) a z komplex változó komplex értékű függvénye, mely N M esetén racionális törtfüggvény, és amelynek számlálója és nevezője is a z változó polinomja. A törtfüggvény számlálójának gyökeit zérushelyeknek, nevezőjének gyökeit pólusoknak nevezzük. A W (z) átviteli függvény és a W (e jϑ ) átviteli karakterisztika kapcsolata a (3.4.4) alapján W (z) z=e jϑ = W (e jϑ ), (4.3.6) aminek geometriai interpretációja az, hogy a szűrő átviteli karakterisztikája a (4.3.5) átviteli függvény egységsugarú kör felett elhelyezkedő része. Mivel a W (z) átviteli függvény alakját csak a pólusok és zérushelyek elhelyezkedése befolyásolja a szűrő tervezése ezek z-síkon való optimális elhelyezésére redukálódik. 78

79 4. fejezet. Digitális szűrők Im(z) (a.) Re(z) (b.) W(f) f (c.) ábra. (a) z-sík felett ábrázolt W (z), (b) a pólusok és a zérushelyek elhelyezkedése az egységsugarú körben, (c) az (a) átviteli függvényből nyerhető frekvenciafüggvény Az 4.21.a. ábra szemlélteti a z-sík feletti átviteli függvény abszolútértékét, a 4.21.b. ábrán pedig a pólusok (+jelek) és zérushelyek (körök) elhelyezkedése látható. Ezek határozzák meg W (z) alakját, és ezáltal természetesen a W (e jϑ ) átviteli karakterisztika alakját is. Az ábra (c) része a (b) pólus-zérus 79

80 4.3. Rekurzív szűrők (IIR) elrendezéshez tartozó frekvenciafüggvényt mutatja, amely (4.3.6) miatt a W (z) függvény és az egységsugarú körre állított egyenes henger palástjának metszeteként adódik. IIR szűrő tervezésekor meghatározzuk tehát a pólus(ok) és zérushely(ek) elhelyezkedését a z-síkban úgy, hogy az így adódó átviteli karakterisztika megfelelő legyen, majd ennek ismeretében felírjuk W (z) számlálóját és nevezőjét gyöktényezős alakban, melyből (4.3.5) azonnal adódik. Itt gyakorlatilag kész is vagyunk, hiszen az átviteli függvény (4.3.5) megadása tartalmazza a differenciaegyenletben szereplő rekurziós együtthatókat, így a szűrő működési egyenlete felírható. 8

81 5. fejezet Audiojelek feldolgozása Ebben a fejezetben a fentebb tárgyalt módszerek és eljárások néhány tipikus alkalmazását tárgyaljuk. Elsőként a digitális szűrők alkalmazási lehetőségeit fogjuk megvizsgálni FIR és IIR szűrők alkalmazása Ahogyan azt a szűrőkről szóló fejezetben tárgyaltuk, a frekvenciatartományok hatékony elválasztásában az FIR és az IIR szűrők teljesítenek a legjobban. Az előbbiek (FIR) feladatuk végrehajtásához a konvolúcót hívják segítségül, így nagyon pontosak és hatékonyak mind a kívánt frekvenciatartománybeli viselkedés megközelítése, mind pedig a csillapítás szempontjából, legfőbb hátrányuk a hosszú végrehajtási idő. Az utóbbiak (IIR) rekurziós algoritmust használnak, nagyon gyorsan dolgoznak, cserébe viszont a teljesítményük nem olyan kiemelkedő, mint az FIR szűrőké Nagyfrekvenciás zaj csillapítása FIR szűrővel Ebben a példában egy ω = 5 rad/s körfrekvenciájú zajos szinuszos jelet kellene megszűrnünk az additív nagyfrekvenciás zajtól. A szűrés első 81

82 5.1. FIR és IIR szűrők alkalmazása lépése, hogy megpróbáljuk feltérképezni a zaj jellegét, meghatározzuk a jel spektrumát és megpróbálunk ennek alapján következtetéseket levonni. (A mintavételi körfrekvencia ω s = 3 rad/s.) x[n] X(jω) n (a.) ω (b.) 5.1. ábra. Zajos szinuszos jel (a), és spektruma (b) A 5.1. ábrán látható zajos jel felépítése azonnal leolvasható a jel spektrumából, melyen három, jól elkülönülő csúcs látszik, ami arra utal, hogy (a) zajos jel három szinuszos komponens összege az, melyek közül a legkisebb frekvenciájú komponenst kell megtartanunk, a többit le kell szűrni. Kézenfekvő, hogy a feladatra egy aluláteresztő szűrőt kell választanunk, hiszen a két, nem kívánt komponens (a zaj) jóval nagyobb körfrekvenciájú (5, ill. 8 rad/s), mint a jel. A szűrő megvalósításához felhasználjuk a fejezetben tárgyaltakat, és egy olyan FIR aluláteresztő szűrőt tervezünk, melynek vágási frekvenciája illeszkedik a konkrét problémához. Tudjuk, hogy az ideális szűrő impulzusválasza az alábbiak szerint adható meg: w(t) = sin(ω ht). (5.1.1) tπ Ahhoz, hogy a feladatunkban szereplő jel szűréséhez alkalmazni tudjuk ezt a szűrőt, annyit kell tennünk, hogy az ω h vágási körfrekvenciát megadjuk, és a fejezetben leírtak szerint előállítjuk a szűrőkernelt. Esetünkben a 82

83 5. fejezet. Audiojelek feldolgozása spektrum alapján választhatunk egy megfelelő ω h -t, ügyelve arra, hogy a vágási körfrekvenciát normalizált alakban adjuk meg. A 5.1. (b) részéről leolvasható, hogy a mintavételi körfrekvencia 1/1, 1/12-ed része körülbelül megfelelő lesz. Az alábbi ábra a 32 pontosra csonkolt, és ablakolt súlyfüggvényt, a hozzátartozó frekvenciafüggvényt, valamint a szűrés eredményét mutatja w[n].1.5 W(f) [db] n 2 (a.) f (b.) x[n] y[n] n (c.) n (d.) 5.2. ábra. Aluláteresztő szűrőkernel (a), frekvenciafüggvény (b), az eredeti zajos jel (c), az (a) kernellel szűrt jel (d) Megfigyelhetjük, hogy a szűrés szinte tökéletes, annak ellenére, hogy a szűrő frekvenciafüggvénye nagyon messze van az ideálistól. Mivel ez esetben a jel frekvenciájánál jóval nagyobb frekvenciájú zajokról van szó, a 83

84 5.1. FIR és IIR szűrők alkalmazása létrehozott 32 pontos szűrő vágási meredeksége elegendő a zaj leszűréséhez. Ami pedig a csillapítást illeti, egészen hamar 4dB alá csökken, ez pedig azt jelenti, hogy a zaj már csak eredeti amplitúdójának 1%-ával van jelen a jelben Lyukszűrés A lyukszűrésnél feladatunk az, hogy a jelből egy adott frekvenciájú komponenst pontosabban ennek egy minél szűkebb környezetét eltávolítsunk. Erre a feladatra választhatunk egy FIR sávzáró szűrőt, amely alkalmas a probléma megoldására, de a legkézenfekvőbb megoldás mégis egy kétpólusú IIR szűrő, amely pontosan egy frekvencia környezetét csillapítja, valamint architektúrájából fakadóan jóval gyorsabb működésű, mint az FIR sávzáró szűrő. Hogy konkretizálhassuk a feladatot, tekintsünk egy olyan jelet, amely két alacsonyfrekvenciás komponensből, valamint egy zajösszetevőből áll, ez látható az alábbi ábrán. 2.5 x[n] X(jω) n (a.) ω (b.) 5.3. ábra. Zajos jel (a), és spektruma(b) A lyukszűrő megvalósítása során a 4. fejezetben tárgyaltak alapján fogunk eljárni, tehát megadjuk a zérusokat és pólushelyeket úgy, hogy az átviteli karakterisztika épp a számunkra kedvező alakot öltse. 84

85 5. fejezet. Audiojelek feldolgozása A fenti ábra (b) részén látható spektrumról leolvasható a zaj körfrekvenciája, ami ω z = 5 rad/s. A mintavételi körfrekvencia ω s = 256 rad/s, így könnyen kiszámítható, hogy a szűrő diszkrét idejű vágási körfrekvenciája ϑ h = 2π = 25π 64. Ennek ismeretében megadhatók a zérushelyek, és a pólusok z 1 = e jϑ h = cos(ϑ h ) + j sin(ϑ h ), z 2 = z 1, p 1 = re jϑ h = r(cos(ϑ h ) + j sin(ϑ h )), p 2 = p 1, ahol ϑ h a diszkrét idejű vágási körfrekvencia, r (, 1) pedig a pólusok abszolút értéke. Az r növelésével nő a szűrő vágási meredeksége, így e konstans alkalmas megválasztásával befolyásolhatjuk a szűrni kívánt tartomány szélességét. Ebben a példában válasszunk r =,8-at. A zérusok és pólusok elhelyezkedése egyértelműen meghatározza a szűrő átviteli függvényét, melynek általános alakja két pólusra és zérushelyre az alábbi W (z) = (z z 1)(z z 2 ) (z p 1 )(z p 2 ). (5.1.2) A (5.1.2)-be helyettesítve a zérusokat és a pólusokat, megkapjuk a rekurziós együtthatókat a számlálóban és nevezőben található polinomok együtthatóiként, melyeket a szűrő (4.3.1) differenciaegyenletébe helyettesítve a szűrés közvetlenül elvégezhető. Az így adódó differenciaegyenlet a következő: y[n] = b x[n] + b 1 x[n 1] + b 2 x[n 2] + a 1 y[n 1] + a 2 y[n 2], (5.1.3) ahol az együtthatók számértékei a zérusok és pólusok fentebb meghatározott értékei alapján a 1 =,54, a 2 =,64 b = 1, b 1 =,67, b 2 = 1. 85

86 5.1. FIR és IIR szűrők alkalmazása Az együtthatók előállítása után következő lépés a szűrő erősítésének megadása, mely két pólus és két zérushely esetén az alábbi összefüggéssel számítható K = b + b 1 + b 2 1 (a 1 + a 2 ), (5.1.4) vagy tetszőleges pólus- és zérushelyszámra az alábbi módon adható meg M i= K = b i 1 N j=1 a, (5.1.5) j ahol M a zérushelyek, N pedig a pólusok száma. A (5.1.5) összefüggés az IIR rendszer (4.3.1) rendszeregyenlete alapján származtatható oly módon, hogy az x[n] gerjesztés helyére az 1 konstanst, az y[n] válasz helyére pedig a K konstanst helyettesítjük, ahonnan (5.1.5) közvetlenül adódik. A szűrő erősítésének kiszámítása után tetszőleges DC erősítés beállítható. Ha egységnyi DC erősítést szeretnénk, az átviteli függvényt el kell osztanunk K-val, így már a megfelelő rekurziós együtthatók állnak rendelkezésre. Az alábbi ábrán a pólus-zérus elrendezés, valamint a szűrő átviteli karakterisztikája látható Im W(f) [db] Re (a.) f (b.) 5.4. ábra. Kétpólusú lyukszűrő pólus zérus elrendezése (a), és átviteli karakterisztikája (b) 86

87 5. fejezet. Audiojelek feldolgozása A szűrés ahogy az a 5.4. ábrán megfigyelhető a zajkomponens szűk környezetében megy végbe, a frekvenciatartomány többi része változatlan marad. Az 5.5 ábrán szűrés eredménye látható az idő- és a frekvenciatartományban y[n] Y(jω) n (a.) ω (b.) 5.5. ábra. A szűrt jel (a) és spektruma (b) A szűrt jel spektrumát összevetve az eredeti jel spektrumával (ld ábra), jól látszik, hogy a zajkomponens szinte teljesen eltűnt a jelből, csak a két alacsonyfrekvenciás összetevő maradt meg a szűrés után. Természetesen ez a szűrő akkor is hatékonyan alkalmazható, ha a jelben nagyfrekvenciás összetevők is szerepelnek, hiszen kizárólag a zaj szűk környezetében csillapít. Az előbbi két példán keresztül nyomon követhettük egy FIR és egy IIR szűrő tervezésének lépéseit, és láthattuk a szűrés eredményét. Természetesen a fenti példák lévén elsődlegesen a könnyű érthetőség szempontját szem előtt tartó mintapéldák jóval egyszerűbbek, mint a legtöbb, gyakorlatban előforduló szűrési feladat, mindazonáltal az itt megismert elvek és módszerek hatékonyan átültethetők az összetettebb gyakorlati problémákra is. 87

88 FIR és IIR szűrők alkalmazása

89 6. fejezet Bevezetés a digitális képfeldolgozásba A digitális képfeldolgozás módszereinek, eszközeinek és technikáinak tárgyalása messze túlmutat e tananyag keretein. E fejezet célja csupán az előzőekben tárgyalt szűrési technikák megfelelőinek demonstrálása képek mint kétdimenziós jelek esetére alkalmazva. A digitális szűrés, mint a jelfeldolgozás egyik legalapvetőbb feladata, természetesen a képek feldolgozásában is fontos szerepet kap, és a fentebb lefektetett elvek és technikák a képek feldolgozásával kapcsolatos alapvető szűrési feladatok terén is igen hatékonynak bizonyulnak. A fejezet a képfeldolgozásban használatos néhány elemi, de fontos módszer áttekintését adja egyszerű alkalmazási példákon keresztül Alapvető szűrők a képtartományban A képek feldolgozásakor csakúgy, mint az audiojelek esetében az egyik legalapvetőbb feladat a szűrés. A következő szakaszokban a 2D konvolúciós szűrésben használatos szűrőkernelek közül néhányat, valamint az ezekkel végzett konvolúciós szűrés hatását mutatjuk be. Az itt alkalmazott elveket és alapfogalmakat az 1. fejezetben a 2D konvolúció elvénél már tárgyaltuk. 89

90 6.1. Alapvető szűrők Az átlagoló szűrő A képek simítószűrésére alkalmas, elsimítja a gyors változásokat, így aluláteresztő szűrőként viselkedik. Az alábbi ábrán a 1/9 1/9 1/9 w[m, n] = 1/9 1/9 1/9, (6.1.1) 1/9 1/9 1/9 szűrőkernelhez tartozó szűrő frekvenciafüggvénye látható ábra. 2D átlagoló szűrő frekvenciafüggvénye A szűrő ahogy az nevéből is sejthető a szűrést oly módon végzi, hogy a környező képpontok súlyozott átlagát képezi, súlyfüggvénye tehát egy olyan mátrix, amelyben minden elem a mátrix dimenziói szorzatának reciproka Az élkiemelő szűrő Az előző pontban tárgyalt simítószűrő viselkedésével pontosan ellentétes viselkedést megvalósító szűrő. A nagyfrekvenciás komponenseket tartja meg a képből, míg a kisfrekvenciájúakat csillapítja, ezzel felüláteresztő viselkedést valósít meg. A szűrő súlyfüggvénye az alábbi módon adott 9

91 6. fejezet. Bevezetés a képfeldolgozásba w[m, n] = 1 α α + 1 α α + 1 α + 5 α + 1, (6.1.2) 1 + α α α + 1 α frekvenciafüggvénye a 6.2 ábrán látható ábra. Élkiemelő szűrőkernel frekvenciafüggvénye A medián szűrő Ez a szűrő alapelvében hasonlít az átlagoló szűrőre, az eltérés csak annyi, hogy a képpontok átlaga helyett azok mediánja jelenti a szűrő kimenetét. Ez a szűrés bizonyos alkalmazásokban sokkal hatékonyabb lesz, mint az egyszerű simítás. A medián szűrés hatására a képben található kiugró intenzitásértékű képpontok fényessége közeledni fog a környezetük fényességéhez, szélsőséges esetben, ha egy homogén képrészletben található egy, az átlagfényességnél szignifikánsan sötétebb vagy világosabb képpont, az egyszerűen eltűnik a képből. Emiatt a tulajdonsága miatt a medián szűrő nagyon hatékonyan távolítja el az impulzusszerű zajokat (pl. Salt & Pepper Noise). 91

92 6.2. Alkalmazási példák 6.2. Alkalmazási példák A következőkben két egyszerű zajszűrési feladat kapcsán mutatjuk be a fentebb tárgyalt szűrők viselkedését Normális eloszlású véletlen zaj eltávolítása Az egyik leggyakoribb zajtípus, amivel a jelfeldolgozási feladatok során találkozunk, az additív normális eloszlású véletlen zaj. A zaj mértékének csökkentése történhet átlagolással, amit simító szűrők (átlagoló, medián) segítségével valósíthatunk meg. A szűrés hatása a 6.3. ábrán látható. (a.) (b.) (c.) 6.3. ábra. Normál eloszlású zaj szűrése. Zajos kép (a), átlagolással szűrt kép (b), medián szűrővel szűrt kép (c) Az ábra alapján elmondható, hogy az egyszerű átlagoló szűrő és a medián szűrő teljesítménye közel ugyanolyan, amennyiben feladatuk a normális eloszlású véletlen zaj szűrése. Észrevehetjük, hogy a szűrt képekről nem tűnt el teljesen a zaj. Ezek a szűrők egydimenziós változatukkal analóg módon működnek, azaz csökkentik a zaj amplitúdóját, de ezzel együtt a kép éleit is elkenik, ezt vizuálisan a kép homályosodásaként érzékeljük. 92

93 6. fejezet. Bevezetés a képfeldolgozásba Impulzusszerű zaj eltávolítása Az impulzusszerű zaj (Salt & Pepper Noise) a normális eloszlású véletlen zajhoz hasonlóan igen gyakran fordul elő, így az ilyen zajok hatékony eltávolítására alkalmas szűrők nagy jelentősségűek. E zajtípus szűrésénél szintén simító szűrőt használunk, de ahogy azt látni fogjuk, a medián szűrő teljesítménye az impulzusszerű zajok eltávolításában messze meghaladja az átlagoló szűrőét. A 6.4. ábra alapján világos, hogy ebben az esetben a medián szűrő sokkal jobban teljesít. Míg a normál véletlen zaj esetében a két simító szűrő közel azonos végeredményt produkál, addig az impulzusszerű zaj eltávolításában a medián szűrő hatékonysága annyival jobb, hogy e területen az átlagoló szűrő nem tud versenyezni vele. (a.) (b.) (c.) 6.4. ábra. Impulzusszerű zaj szűrése. Zajos kép (a), átlagolással szűrt kép (b), medián szűrővel szűrt kép (c) 93

94 6.3. Mintakeresés, mintafelismerés 6.3. Mintakeresés, mintafelismerés A mintafelismerés fontos és hasznos képfeldolgozási alkalmazás, mely széleskörűen alkalmazható a legkülönbözőbb területeken (ipari végtermékek minőség ellenőrzése, robotok kalibrálása, stb). A mintafelismerés terén alkalmazott modern módszerek, az ún. skálainvariáns jellemzőkre építő transzformációk (SIFT (Scale Invariant Feature Transform), SURF (SpeedUp Robust Features)), és az ezekre épülő komplex alkalmazások (különféle biometriai módszerek, ujjlenyomat-felismerés, retina-, ill. arcazonosítás) adekvát megvalósítása olyan összetett algoritmusok működési elvének ill. ezek implementációjával kapcsolatos technikák ismeretét feltételezi, melyek messze túlmutatnak e tananyag keretein. A mintafelismerés egyszerűbb alkalmazásainak megértéséhez és megvalósításához viszont elegendő ismeret áll a rendelkezésünkre Mintaillesztés korreláció segítségével Egy zajos x[n] jelben egy ismert p[n] minta keresésére alkalmas az alábbi formulával definiált korreláció y[n] = n p[n + i]x[n], (6.3.1) i= ahol p[n] és x[n] jelek a korreláció bemenetei, y[n] a művelet eredményeként adódó jel. A korreláció a 1. fejezetben tárgyalt (1.1.3) konvolúcióhoz formailag nagyon hasonló művelet, egyetlen előjelben különbözik a korrelációt és a konvolúciót definiáló formula. A korreláció egy egyszerű alkalmazása a 6.5. ábrán látható, ahol egy mintát (a) keresünk egy zajos jelben (b), amelyben a minta zajjal terhelt és késleltetett változata található. A 6.5.c. ábrán a korreláció eredményeként adódó y[n] jel látható, melynek maximumhelye a p[n] minta eltolásának (késleltetésének) mértéke. Ezzel tulajdonképpen lokalizálható a késleltetett impulzus a zajos jelben. 94

95 6. fejezet. Bevezetés a képfeldolgozásba p[n].6.4 x[n] n (a.) n (b.) y[n] n (c.) 6.5. ábra. Minta keresése zajos jelben korreláció segítségével A korreláció megvalósítása a konvolúció egy gyors implementációjával Az előző szakaszban bemutatott korreláció megfelelő előfeldolgozás után alkalmas arra, hogy egy mintát lokalizáljunk egy képben. A korreláció kétdimenziós alakja az alábbi módon definiálható y[m, n] = N 1 i= M 1 j= p[m, n]x[m + j, n + j], (6.3.2) egy M N méretű p[m, n] minta esetén. A fenti összefüggés a kétdimenziós 95

96 6.3. Mintakeresés, mintafelismerés konvolúcióval azonos eredményt ad, amennyiben a bemenetére érkező valamelyik inputot mindkét tengelye mentén tükrözzük, ebben az esetben ugyanis a (6.3.2) formula az (1.4.3)-ba megy át. 1 A következőkben a korrelációnak egy olyan implementációját fogjuk megvizsgálni, amely már közelebb áll a valódi alkalmazásokhoz. Minden kép felfogható olyan mátrixként, amely 2D impulzusokból áll, azaz minden kép előállítható eltolt és skálázott impulzusok összegeként az impulzus-dekompozíció elve alapján. A képeket felépítő impulzusok amplitúdója az adott helyen lévő pixel intenzitásértéke. Mivel a konvolúció lineáris művelet, ezért a szuperpozíció elve alapján megoldható, hogy az egyes impulzusokkal külön-külön számoljunk a műveletvégzés során, és a végső eredményt a részeredmények összegeként állítjuk elő. Ezzel a módszerrel tehát, minél kevesebb impulzus van a képen, annál rövidebb ideig tart a konvolúció elvégzése. Ha csökkenteni tudjuk az impulzusok számát, azzal értékes időt tudunk megspórolni a műveletvégzés során. Tekintsük a képet, mint egy kétváltozós diszkrét függvényt K [x, y] a D tartományon, majd osszuk fel a D-t diszjunkt résztartományokra a következőképpen: d i d j = ha i j és D = i d i. Ezután minden résztartományon számítsuk ki az átlagos intenzitást (I) és a résztartomány minden pontjának adjuk ezt az új intenzitásértéket. Ezzel a képet konstans intenzitású résztartományokra bontottuk, tehát előállítottuk a kép egy közelítését. A közelítés előállításánál természetesen olyan résztartományokat kell választani, ahol az intenzitás közelítőleg konstans. Azt, hogy melyik tartomány felel meg ennek a kritériumnak, akkor tudjuk eldönteni, ha definiálunk egy hibafüggvényt és meghatározzuk, hogy mennyi lehet a maximális hiba egy résztartományon. A hiba alatt itt azt értjük, hogy a közelítő tartomány mennyiben különbözik az eredeti képtől, így adódik e i = [x,y] d i (K [x, y] I) 2. (6.3.3) Ha a fenti összefüggésben szereplő I konstanst az átlagfényességgel 1 Mivel a konvolúció kommutatív, matematikailag a p[m, n] és x[m, n] szerepe felcserélhető. 96

97 6. fejezet. Bevezetés a képfeldolgozásba helyettesítjük, a (6.3.3) az alábbi formát ölti e i = [x,y] d i ( K [x, y] Kdi ) 2. (6.3.4) Ezzel definiáltuk a hibát az i. résztartományon. Ha egy résztartományon egy előre definiált küszöbértéknél (H) nagyobb a hiba, akkor azt további résztartományokra kell bontani, és újból alá kell vetni a hibakritériummal kapcsolatos vizsgálatnak. A felosztás konkrét megvalósítását többféleképpen el lehet végezni, az egyik legegyszerűbb a kvadrális fafelbontás, ahol egy résztartományt mindig négy egyenlő részre osztunk fel, így a képet alkotó összes résztartomány egy kvadrális fa leveleiben foglal helyet. Ennél egy kicsivel összetettebb, de hatékonyabb módszer, ha a résztartományt csak két további részre osztjuk. Ennél a rekurziónál azonban figyelni kell, hogy váltogassuk a függőleges, ill. a vizszintes elosztást, hogy a kialakuló résztartomány-rendszer minél homogénebb legyen. A felosztás után, ha mindkét tengely mentén elvégzünk egy delta-kódolást (diszkrét differenciálást), akkor csak a résztartományok sarokpontjain marad nullától különböző értékű impulzus, hiszen a résztartományok belsejében a függvényérték konstans. Ezt szemlélteti az alábbi ábra ábra. Konstans résztartomány diszkrét differenciálása A delta-kódolás után előálló függvényben sokkal kevesebb impulzus van, mint az eredeti képben, így a konvolúció elvégzéséhez szükséges 97

98 6.3. Mintakeresés, mintafelismerés idő jelentősen csökken. A művelet elvégzése után a helyes eredmény előállításához természetesen szükség van egy delta-dekódolásra is. A következő 6.7. ábrán a résztartományokra való felbontás eredményét láthatjuk. (a.) (b.) (c.) (d.) 6.7. ábra. Résztartományokra osztott kép. Eredeti kép (a), H = 1 küszöbértékkel felosztott kép (b), H = 1 küszöbértékkel felosztott kép (c), a (b) kép résztartomány határvonalak nélkül (d) Az ábrán látható, hogyha a felosztás megfelelően finom, akkor a kép minősége gyakorlatilag nem sokat változik, főleg ami a rajta található 98

99 6. fejezet. Bevezetés a képfeldolgozásba jellegzetes mintákat illeti, így ez nem befolyásolja jelentős mértékben a minták felismerésének hatékonyságát. A következő példán bemutatjuk a korreláció hatékonyságát. A képünk a 6.8. ábrán látható bohóc, a keresendő minta pedig a bohóc bal szemének egy részlete. A keresés eredményét egy kétváltozós függvény formájában láthatjuk, melynek legnagyobb amplitúdójú értékéhez tartozó koordinátái jelentik a keresett minta pozícióját a képen. (a.) (b.) (c.) 6.8. ábra. A 2D korreláció. Eredeti kép (a), keresendő minta (b), a korreláció eredménye (c) Az ábrán látható, hogy a korreláció eredménye egy jól definiált csúcs némi zajban, így a minta helyét igen pontosan meg tudjuk határozni. Mondhatjuk tehát, hogy egyszerű mintafelismerési alkalmazások esetében a korreláció önmagában is elég jól használható módszer, a hátrányként jelentkező végrehajtási időt pedig csökkenthetjük, ha a konvolúciónak valamilyen gyorsított változatát hívjuk segítségül a művelet végrehajtásához. 99