4. Szűrés frekvenciatérben

Átírás

1 4. Szűrés frekvenciatérben Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (

2 Unitér transzformációk Az unitér transzformációk olyan lineáris, invertálható transzformációk véges dimenziós térben, ahol a transzformációs kernel ortogonális és igazak az alábbi egymással ekvivalens megállapítások (U unitér transzformáció): UU T = I, azaz U inverze komplex konjugáltjának transzponáltja; Normatartó: f g = Uf Ug, ahol f és g képfüggvények a véges dimenziós tér elemei, : : pedig a skaláris szorzatot jelöli; U oszlopai és sorai orthonormált bázist alkotnak. Képfeldolgozásban gyakori unitér transzformációk: Fourier, cosinus, Hadamard, Haar,

3 3 Fourier transzformáció Minden függvény felírható különböző frekvenciájú sin és cos függvények (végtelen) súlyozott összegeként. Ennek matematikai eszköze a Fourier-transzformáció. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) =

4 4 Fourier transzformáció A Fourier transzformáció a képfeldolgozásban leggyakrabban használt unitér transzformáció: Felbontás hullámfüggvényekre Az eredeti f(x) függvény (jel) frekvenciáit reprezentálja f(x) Fourier Transzformáció F(w) Minden w ϵ (0,.., )-ra F(w) a megfelelő hullámfüggvény A amplitúdóját és f fázisát adja F(w) komplex F( w) R( w) ii ( w) A R w I ( ) ( w) f arctan I( w) R( w) F(w) Inverz Fourier Transzformáció f(x)

5 5 Komplex számok képzetes -1 b -i a = z cos(f ) b = z sin(f ) i z f a magnitúdó fázis valós 1 valós rész z = Re(z) + Im(z) i = a + b i = z cos(f ) + z sin(f ) i = z (cos(f ) + i sin(f )) = z e i f i f z 1 a b arctan b a képzetes rész imaginárius egység abszolút érték fázis szög

6 6 1D cos hullámfüggvény f ( t ) A cos t f 1/λ frekvencia (Hz) A - amplitúdó λ - hullámhossz f - fázis eltolás

7 1D (folytonos) Fourier transzformáció f L 1 (, ) (folytonos) F( X ) f ( x) f ( x) e F( X ) e ixx ixx dx dx (inverz trafó) bázis-függvények

8 D (folytonos) Fourier transzformáció A skaláris szorzat nem más, mint a bázisfüggvényekkel vett hasonlóság mértéke, vagy a bemeneti függvény vetülete a bázisfüggvényekre A teljes D síkon vett integrálok! F( X, Y ) f ( x, y) e i( xx yy ) dxdy f ( x, y) F( X, Y ) e i( xx yy ) dxdy bázis-függvények

9 9 D cos hullámfüggvény Síkhullámok θ orientáció (a síkban milyen irányban futnak a hullámok) Amplitúdó ~szürkeárnyalat q orientation f A f = fázis eltolás A ( x, y) cos ( xsinq y cosq ) f 1

10 10 D cos hullámfüggvény Orientáció és fáziseltolás

11 Diszkrét Fourier transzformáció (DFT) A digitális képek csak véges tartományon értelmezettek A síkon vett integrál helyett véges szumma A DFT eredménye a bemeneti képpel megegyező méretű komplex értékű diszkrét függvény (kép) lesz ) / / ( ) / / ( ), ( ), ( 1 0,1,..., 1, 0,1,..., ), ( 1 ), ( R u C v C yv R xu i R x C y C yv R xu i e v u F y x f C v R u e y x f C R v u F 1 0,1,..., 1, 0,1,..., ), ( C y R x y x f (inverz trafó) RxC méretű kép)

12 1 D Fourier bázis függvények u=-, v= u=-1, v= u=0, v= u=1, v= u=, v= u=-, v=1 u=-1, v=1 u=0, v=1 u=1, v=1 u=, v=1 u u=-, v=0 u=-1, v=0 u=-, v=-1 u=-1, v=-1 u=0, v=0 u=1, v=0 u=, v=0 u=0, v=-1 u=1, v=-1 u=, v=-1 hullámhossz: 1/ u v u=-, v=- u=-1, v=- v u=0, v=- u=1, v=- u=, v=-

13 DFT: M Gyors Fourier transzformáció (Fast Fourier Transform-FFT) FFT: M log M M

14 14 Diszkrét Fourier transzformáció A DFT a képet nem síkban tekinti, hanem egy tórusz felületén! végesből végtelen The BoingBoing Bloggers

15 15 Koordináta rendszerek A kép koordinátarendszer origója a bal felső sarokban van A Fourier síkon az origó középen van y v v u u x f Re(F) Im(F)

16 16 Egy kép Fourier transzformáltja Valós és képzetes rész helyett többet mutat a magnitúdó és fázis A magnitúdó a szélek felé gyorsan elenyészik logaritmikus skálán jelenítjük meg f log( F +1) [F]

17 17 A Fourier sík pontjai θ = a hullámfelület iránya, ha négyzetes a kép. y x Ez a pont ezt a hullámot reprezentálja

18 18 Egy pont és a hullámok közötti összefüggés θ = a hullámfelület iránya, ha négyzetes a kép. F [F]

19 19 Egy pont és a hullámok közötti összefüggés Egy R C kép esetén a DFT (u,v) pontja megadja a hullámfüggvény ismétlődésének számát az adott irányban. A sor és oszlop irányú hullámhossz (pixelben): C u, u R v A hullámfront irányában pedig: C R u v A frekvencia ezek inverze lesz A hullámok iránya pedig a alapján számolható: v -v irány (0,0) sor frekvencia oszlop frekvencia θ = a hullámfelület iránya, ha négyzetes a kép. (digitális kép esetén) q arctan -θ irány vc ur u irány

20 0 Méret és frekvencia közötti összefüggés Ha ΔxΔy egy objektum kiterjedése a képtérben és ΔuΔv a Fourier térben, akkor közöttük az alábbi összefüggés áll fent: x y u v 1 16 space FT frequency Egy kis méretű képelem nagy kiterjedésű lesz a Fourier térben és fordítva. space FT frequency

21 1 Koordináták és irányok a Fourier síkon Mivel a képen a sorok lefelé, az oszlopok pedig jobbra nőnek, a Fourier síkon a szögek fordítottan állnak decreasing rows (-r,-c) (-r,+c) (-r,-c) (-r,+c) q < 0 q > 0 q < 0 increasing cols decreasing cols q > 0 (+r,-c) (+r,+c) (+r,-c) (+r,+c) increasing rows

22 Impulzusok képi megfelelője A lehető legnagyobb frekvenciájú vízszintes irányú hullám (C páros)

23 3 Impulzusok képi megfelelője A lehető legnagyobb frekvenciájú függőleges irányú hullám (R páros)

24 4 Impulzusok képi megfelelője A lehető legnagyobb frekvenciájú vízszintes+függőleges irányú hullám (C és R páros)

25 5 Impulzusok képi megfelelője A lehető legalacsonyabb frekvenciájú vízszintes irányú hullám

26 6 Impulzusok képi megfelelője A lehető legalacsonyabb frekvenciájú függőleges irányú hullám

27 7 Impulzusok képi megfelelője A lehető legalacsonyabb frekvenciájú negatív átlós irányú hullám

28 8 Impulzusok képi megfelelője A lehető legalacsonyabb frekvenciájú pozitív átlós irányú hullám

29 9 Impulzusok képi megfelelője (u,v)=(3,3) frekvencia esetén a korábban megismert képletek alapján kapjuk a hullám λ hullámhosszát és θ irányát C u R v 51 3 q arctan vc ur 351 arctan oszlop 53 q q q q 384 sor

30 30 A Fourier transzformáció tulajdonságai kép-tér frekvencia-tér eredeti elforgatás linearitás eltolás skálázás

31 31 Fourier transzformáció tulajdonságai Képtér (x) Frekvencia tartomány (u) Linearitás c1 f x cgx c1f u cgu Skálázás f ax 1 a F Eltolás f x x 0 e ux Fu Szimmetria Fx f u Konjugált f x F u Konvolúció f x gx FuG u n d f x Differenciálás n iu Fu dx n u a A fenti összefüggések az ( i ux ) frekvenciával vannak levezetve e

32 3 Konvolúció és Fourier transzformáció Konvolúciós tétel: Konvolúció a képtérben szorzás a frekvencia tartományban Ha g f h akkor G u g x e iux dx f h x e iux ddx iu iux f e d hx e dx F iu f e d hx' u H u e iux' dx'

33 33 Konvolúció és Fourier transzformáció Képtér (x) Frekvencia tartomány (u) g f h G FH g fh G F H Tehát g(x)-t előállíthatjuk Fourier transzformációval: g f h IFT FT FT G F H

34 34 Konvolúció Fourier térben konvolúció * = Fourier tr. inverz Fourier tr. = pontonkénti szorzás

35 35 Ideális aluláteresztő szűrő H ILPF ( u, v) 1, 0, ha ( u v különben ) D 0 D 0 : levágási frekvencia, ahol H=1-ből H=0-ba megy át D 0 -nál kisebb frekvenciákat változtatás nélkül átereszti, míg a többit elnyeli. Erős simító hatás Alkalmazási lehetőségek: zajszűrés

36 36 Ideális aluláteresztő szűrő a szűrőfüggvény

37 37 Ideális aluláteresztő szűrés kiindulási kép F. F -1 frekvenciamaszk

38 38 Ideális aluláteresztő szűrés Tesztkép és Fourier transzformáltja a rárajzolt körök sugarai: 30, 80, 30, 15, 5

39 39 Ideális aluláteresztő szűrés eredeti levágási frekvenciák

40 40 Ideális felüláteresztő szűrő H IHPF ( u, v) 0, 1, ha ( u v különben ) D 0 D 0 -nál nagyobb frekvenciákat változtatás nélkül átereszti, míg a többit elnyeli. csak a nagy frekvenciájú komponensek maradnak a képben (pl. él, zaj) Alkalmazási lehetőség: él detektálás

41 Ideális felüláteresztő szűrés

42 4 Ideális felüláteresztő szűrés kiindulási kép F frekvenciamaszk. F -1

43 43 Alul- és felüláteresztő szűrőpárok HPF ( u, v) 1 LPF ( u, v)

44 44 Ideális sáváteresztő szűrő H IBPF ( u, v) 1 0,, ha D1 ( u v ) D különben csak a (D 1,D ) sávba tartozó frekvenciákat engedi át, a többit elnyeli

45 45 Ideális sávszűrés zajos kép frekv. kép frekv. maszk 1 0 szűrt kép

46 46 Ideális szűrő ideális eredmény Éles vágási frekvencia gyűrűsödést idéz elő a képtérben IFT

47 47 Ideális szűrő ideális eredmény Ideális aluláteresztő szűrőt alkalmazva az eredmény szellemképes lesz: Ideal LPF

48 48 Optimális szűrő a Gauss szűrő A lehető legélesebb frekvenci-vágás szellemkép nélkül Gauss szűrő IFT

49 Isotropikus D Gauss szűrő 49 0 ) ( exp ), ( ) ( ) ( exp 1 ), ( D v u v u H y x y x g GLPF x y R = 51, C = 51 = 57, = 64

50 50 Aluláteresztő Gauss szűrő Simítás gyűrűsödés nélkül Gaussian LPF

51 51 Aluláteresztő Gauss szűrés kiindulási kép Gauss frekvencia-maszk szűrt kép

52 5 Gauss aluláteresztő szűrés eredeti levágási frekvenciák

53 53 Gauss felüláteresztő szűrő Fourier tartomány Képtér Szűrő függvények

54 54 Gauss sáváteresztő szűrő Fourier tartomány Képtér Szűrő függvények

55 Butterworth szűrők Gauss szűrő diszkrét közelítése Aluláteresztő Butterworth szűrő Felüláteresztő Butterworth szűrő 55 n BLPF D v u v u H ), ( n BHPF v u D v u H ), (

56 56 Adott frekvenciájú zaj szűrése A Fourier tartomány elemzésével azonosíthatjuk a nemkívánatos frekvenciákat Majd ezeket kimaszkolva előállítjuk a szűrt képet

57 57 kiindulási, frekvencia, szűrt frekvencia, eredmény

58 58 kiindulási, frekvencia, inverz maszk, eredmény

59 59 Felhasznált anyagok Palágyi Kálmán: Digitális Képfeldolgozás /pub/digitalis_kepfeldolgozas Trevor Darrell: C80, Computer Vision s06/lectures/ppts/ Richard Alan Peters: EECE/CS 53 Image Processing További források az egyes diákon megjelölve