5. Geometriai transzformációk

Átírás

1 5. Geometiai tanszfomáiók Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Gafika tanszék SZTE (

2 2 Kép tanszfomáiók típusai Kép étékkészletének (adiometiai infomáió) átalakítása: J( i, j) f ( I,( i, j)) Kép ételmezési tatományának geometiai tanszfomáiója (waping): J ( i, j) I( t ( i, j), t ( i, j)) i j Mind az étékkészlet mind pedig az ételmezési tatomány átalakítása: J ( i, j) f ( I,( t ( i, j), t ( i, j))) i j

3 3 Egyszeű geometiai tanszfomáiók Nagyítás / kisinyítés Izotóp Anizotóp Fogatás

4 4 Fogatás RxC kép fogatása 0 < 90 szöggel a középpont köül Új képméet: Rout ound Dsin θθ A Cout ound Dos θθ A Új középpont: 2 Rout, 2 C out Rout0, C out0. R C out0 out0

5 5 Fogatás RxC kép fogatása 0 < 90 szöggel a középpont köül Fogatási mátix θ osθ sinθ sinθ osθ R C in0 in0 Output koodináták előállítása θ in in R C in0 in0 R R out0 out0

6 6 Geometiai tanszfomáiók Adott koodináta tanszfomáió x = t(x) és I(x) kép esetén hogyan állítjuk elő a J(x ) = I(t(x)) képet? J(x ) geneálása tipikusan az invez tanszfomáió alapján töténik J minden pixele gaantáltan kitöltése keül Mi töténik, ha x őse (x=t - (x )) I ben nem egész pixelkoodinátáa mutat? t(x) x x I(x) J(x ) Szeliski

7 7 Úja mintavételezés Emlékeztető: egy I(i,j) digitális kép az eedeti folytonos f(x,y) kép mintavételezésével és kvantálásával áll elő: I egy folytonos függvény diszkét pontszeű mintáiból áll elő. I( i, j) quantize( f ( xd, yd)) Ha ekonstuálni tudnánk az eedeti f függvényt, akko tetszőleg új felbontást elő tudnánk állítani I(i) i Ha ismejük egy f függvény étékeit diszkét pontokban, akko f közbülső étékeit intepoláióval állíthatjuk elő

8 8 Geometiai tanszfomáió végehajtása Input kép Tanszfomáló függvény Intepoláiós függvény Output kép

9 9 Egyszeű példa: Kép negyedée kisinyítése

10 0 Egyszeű példa: Kép negyedée kisinyítése Minden 4. so minden 4. pixelét vegyük ki és másoljuk a kisinyített képbe.

11 Egyszeű példa: Kép negyedée kisinyítése Mi tötént?

12 2 A MINTAVÉTELEZÉS KORLÁTAI

13 3 Méet és fekvenia közötti összefüggés Ha ΔxΔy egy objektum kitejedése a képtében és ΔuΔv a Fouie tében, akko közöttük az alábbi összefüggés áll fent: x y u v 6 2 spae FT fequeny Egy kis méetű képelem nagy kitejedésű lesz a Fouie tében és fodítva. spae FT fequeny

14 4 Képméet sökkentés - alulmintavételezés Egy R C méetű I kép n-ed észe kisinyítése egy R/n C/n méetű J kép. Egy J kép diszkét Fouie tanszfomáltja a J-vel megegyező méetű. A képté és FT jellemzők méete fodítottan aányos J-nek n R/n n C/n = R C méetűnek kellene lennie. A fentiek egyszee sak úgy teljesülhetnek, ha DFT(J) átfed önmagával.

15 5 Kép és DFT tóuszon ételmezett

16 6 Felée kisinyített kép

17 7 Ideális DFT - felezés A felée kisinyített kép ideális DFT-je a középső (alasony fekveniájú) égió lenne

18 8 Valós DFT - felezés A valóságban az eedeti kép DFT-je 4 észe osztódik, amelyek az eedeti gyűűn folytonosan helyezkednek el

19 9 Valós DFT - felezés A kisinyített képen a 4 ész átlapolódik Alasony fekvenia Magas oszlop fekv. Oszlopok és sook Alasony so fekv. Magas fekvenia Alasony oszlop fekv. Oszlopok és sook Magas so fekv.

20 20 Valós DFT - felezés A 4 ész megfelel - tóusznak, amelyek átfednek

21 2 Spektális átfedés At eedeti és felezett kép közötti spektális átfedés átfedő fekvenia té-beli jellemzők eedeti felezett, 2 zoom

22 22 Egy kép mintavételezése Egy kép mintavételezése a samp() mintavételező függvénnyel való szozással töténik A mintavételező függvény nem más, mint egy négyzetás mentén elhelyezett impulzusfüggvények összessége samp N I, I, jn kn j k

23 23 Impulzus függvény A Dia δ függvény ha ( x, y) (0,0) ( x, y), ( x, y) dxdy 0 különben A Dia függvény szepaálható: ( x, y) ( x) ( y) A méésben használt változata (impulzus függvény): ( x k) 0 ha x k különben 0 x k

24 24 A mintavételező függvény FT-ja Maga is egy mintavételező függvény, de az impulzusok /N távolsága lesznek egymástól A képtében vett szozás (mintavételezés) a Fouie tében konvolúió lesz!

25 25 Konvolúió az impulzusfüggvénnyel Az eedmény az eedeti függvény eltolása lesz az impulzusfüggvény pozíiójába

26 26 Egy mintavételezett kép FT-ja A kép FT-ja ismétlődik /N intevallumonként Ha a Fouie tatomány ádiusza /(2N), akko átfedés lesz spektum átfedés, Moié hatás FI u, v u v j k N N j k

27 27 Nyquist fekvenia T.f.h. az f(x) függvény sávhatáolt, vagyis a Fouie tanszfomáltja F(X) nem tatalmaz w-nél nagyobb fekveniákat, azaz: F(X)=0, ha X >w. A w-t ekko Nyquist-fekveniának nevezzük, ha F(-w) 0 vagy F(w) 0.

28 28 Sávhatáolt függvény Mintavételezés előtt biztosítani kell, hogy a kép nem tatalmaz /2N-nél nagyobb fekveniákat: Szozás az alábbi dobozfüggvénnyel: FT H u, v 0 ahol u vagy v 2N 2N Ez ekvivalens a képtében egy 2N nagyságú szűővel Tehát ha felezni akajuk a képet, akko N=2 és így egy legalább 4x4 méetű simítása van szükség (pl. 5x5 méetű konvolúiós maszkkal simítjuk).

29 29 A sin és a doboz függvény kapsolata П /2 (x) sin(x) Fouie u x F [ 2 2ikx / 2( x)]( k) e / ( x) dx sin( k )

30 30 A sin függvény sin( x) sin x x,ha,ha x x 0 0 k os x 2 k

31 3 A sin és a doboz függvény kapsolata Fouie 2D doboz függvény 2D sin függvény

32 32 Whittake-Shannon intepoláiós fomulája Ha az f(x) függvény sávhatáolt (a Fouie tanszfomáltja nem tatalmaz w-nél nagyobb fekveniákat), akko: f ( x) n f ( n ) 2w sin( (2wx n)) (2wx n) diszkét pontok

33 33 Whittake-Shannon mintavételezési tétele A 2D folytonos, w-nél nagyobb fekveniákat nem tatalmazó (sávhatáolt) képfüggvény akko és sakis akko állítható vissza a mintavételezettjéből, ha a Δx és a Δy mintavételezési léptékeke teljesül: x 2w, y 2w.

34 34 INTERPOLÁCIÓS TECHNIKÁK

35 35 Geometiai tanszfomáió végehajtása Input kép Tanszfomáló függvény Intepoláiós függvény Output kép

36 36 Intepoláiós tehnikák

37 37 Legközelebbi szomszéd (NN) A legközelebbi szomszéd (Neaest Neighbo NN) intepoláió nem más, mint a subpixeles koodináták keekítése: J(,) = I( i, i ) ahol ( i, i ) = ound( f, f ) ( i, i ) ( f, f )

38 Bilineáis A bilineáis intepoláió nem más, mint a subpixeles ( f, f ) koodinátához legközelebb eső 4 szomszédos pixeléték súlyozott átlaga: Ahol és 38,,,,, f, f ; f f f f ;. I I I I J,,,,,

39 Biubi A biubi intepoláió a subpixeles ( f, f ) koodinátához legközelebb eső 4 szomszédos pixelétéket illetve azok paiális deiváltjait is használja Ezét 4x4 szomszédság szükséges , I,, I,, I i j j i j i j i f f,,

40 Biubi 40 N(, ) az (, ) 8-pixeles szomszédsága, I, I, I, I, I, I átlaga diff.,, I 2 2, N, N, N, N, I, I, I

41 Biubi A paiális deiváltak az alábbi hamadfokú polinomok szozatának összegében kombinálódnak ahol és 4 n P m P n m I J m n 2 2,, x Q x Q x Q x Q x P 0 fo 0 0 fo x x x x Q f f,, f f,,

42 42 Példa: Kisinyítés 3/7 aányban eedeti neaest neighbo bilinea biubi

43 43 Példa: Kisinyítés 3/7 aányban - eedeti eedeti

44 44 Példa: Kisinyítés 3/7 aányban - NN neaest neighbo

45 45 Példa: Kisinyítés 3/7 aányban - bilinea bilinea

46 46 Példa: Kisinyítés 3/7 aányban - biubi biubi

47 47 Példa: Kisinyítés 3/7 aányban - eedeti eedeti

48 48 Felhasznált anyagok Palágyi Kálmán: Digitális Képfeldolgozás /pub/digitalis_kepfeldolgozas Tevo Daell: C280, Compute Vision s06/letues/ppts/ Rihad Alan Petes: EECE/CS 253 Image Poessing További foások az egyes diákon megjelölve