SZOLVENCIATŐKE MINT FIXPONT

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "SZOLVENCIATŐKE MINT FIXPONT"

Átírás

1 SZÜLE BORBÁLA SZOLVENCIATŐKE MINT FIXPONT A tanulmányban a szező a fixpont-iteáció témájával foglalkozik egy elméleti modellben, a biztosítók szolvenciatőkéjének számolásával kapcsolatban. A téma aktualitását a biztosítók tőkemegfelelésével összefüggő Szolvencia II. euópai uniós iányelv előeláthatólag közeljövőben váható bevezetése mutatja. Az eedmények alapján megállapítható, hogy az elméleti modellben a biztosítók szolvenciához kapcsolódó tőkeszükséglete matematikai ételemben vett fixpontként is ételmezhető. Bá a gyakolati tőkeszükséglet-számítások a tanulmányban bemutatottnál jóval összetettebbek, az elméleti eedmények a szolvenciatőke-modellezés édekes összefüggéseie világítanak á. BEVEZETÉS Az Euópai Unióban 2009-ben fogadták el a Szolvencia II. iányelvet, amelynek gyakolati alkalmazása a közeljövőben váható. Ez az iányelv a biztosítók szolvenciamegfelelésével kapcsolatban is több szabályt hatáoz meg. A Szolvencia II. egészében véve hasonlóságot mutat a bankoka vonatkozó Bázel II. szabályozással is. Az egyik ilyen hasonlóság a kétféle szabályendsze pilléei esetében mutatkozik meg. A Bázel II. szabályendszeben például az első pillé minimum tőkekövetelmény meghatáozását jelenti a bankok számáa, a második pillé a felügyeleti ellenőzés (supevisoy eview pocess) témájáa vonatkozik (vagyis, hogy a bankok belső étékelését a felügyelet áttekint, a hamadik pillét pedig a nyilvános közzététel (public disclosue) jelenti, amely az egyes kockázati métékeke és a kockázatkezelési infomációka vonatkozik. Ehhez hasonlóan a Szolvencia II. szabályendszeen belül is kiemelt szeepe van a tőkekövetelmény meghatáozásának, amelynek soán többféle kockázata vonatkozóan töténik meg a kockázat elemzése [McNeil et al. 2005: 8 5]. A Szolvencia II. szabályok szeint a biztosítóknak legalább annyi saját tőkét kell tataniuk, hogy az egy éves időtatamot tekintve fedezze a nem vát veszteségeket egy adott megbízhatósági szinten (a vállalkozás folytatásának elvét figyelembe véve). A Szolvencia II. definíció alapján a szükséges tőke étékét kockáztatott éték (Value-at-Risk, VaR) számolással lehet megoldani. 2 A kockáztatott éték számolása soán a biztosítók mélegében szeeplő eszközöknek, kötelezettségeknek és a saját tőkének is szeepe van. Elméleti modellben könnyen bemutatható, hogy a VaR-ként számolható tőkekövetelmény étéke attól is függ, hogy mekkoa saját tőkét tételezünk fel a számolás A tanulmány a TÁMOP B-0/ pojekt keetében kapott támogatással jelenik meg. Diective 2009/38/EC of the Euopean Paliament and of the Council of 25 Novembe 2009 on the taking-up and pusuit of the business of Insuance and Reinsuance (Solvency II) 2 Diective 2009/38/EC, Aticle 0

2 46 KÖZ-GAZDASÁG 204/ kiinduló adataként. Amennyiben például azt feltételezzük, hogy a tulajdonosok viszonylag sok saját tőkét bocsátanak a biztosító endelkezésée, akko az adott megbízhatósági szint elééséhez szükséges tőkekövetelmény étéke viszonylag alacsony is lehet. Gyakolati szempontból egyébként ez a nagyobb jelentőségű eset, mivel a biztosítók tőkeszintje gyakan magasabb, mint a valamilyen módon számított minimális tőke étéke. Ezzel együtt felmeülhet a kédés, hogy mekkoa az a kiinduló adatként megadott tőkeéték, amellyel a VaR-számolás eedményeként kapott tőkeszükséglet-éték éppen megegyezne. E feladat megoldását egy fixpontiteációval kapcsolatos matematikai eedménnyel szemléltetjük a tanulmányban. Az elemzést egy elméleti modellben mutatjuk be, amely a biztosítók gyakolati jellegzetességei közül néhány fontosabb tulajdonsága koncentál. A gyakolatban temészetesen a tőkekövetelménnyel kapcsolatos számolások a tanulmányban szeeplőknél jóval összetettebbek, a bemutatott eedmények viszont alkalmasak lehetnek a biztosítási tőkeszükséglet-számítás jellemzőinek szemléltetésée. A fixpont-iteáció témája a közgazdaságtan számos más teületén is felbukkan 3, így e téma tanulmányozása nemcsak a biztosítási modellezés szempontjából lehet előnyös. A témához kapcsolódó matematikai összefüggéseket ezzel együtt mindöszsze olyan mélységben tekinti át a tanulmány, hogy a biztosítási tőkeszükségletmodellezéssel való kapcsolatok jól követhetők legyenek. A következőkben az első fejezet áttekinti az eedmények levezetésée alkalmazott elméleti modellt. A második fejezetben a tanulmány bemutatja, milyen módon ételmezhető a szolvenciatőke étéke matematikai ételemben fixpontként, majd a hamadik fejezetben azzal foglalkozunk, hogy miként befolyásolják egyes, a biztosítási állománya jellemző paaméteek étékei a fixpontként is ételmezhető tőkeszükséglet étékét. A tanulmány végén a fontosabb megállapítások összegzése található.. A MODELL FELÉPÍTÉSE A biztosítók tevékenysége a gyakolatban viszonylag sokétű és a szolvenciatőke gyakolati modellezése is meglehetősen összetett. A következőkben a klasszikus biztosítási tevékenység fontosabb jellemzőit modellezzük. Hagyományosan a biztosítóknál a működés egyik alapelvének tekinthető a különböző biztosítási kockázatok vállalása biztosítási díjbevétel ellenében. A díjbevétel alapján a biztosítók díjtatalékot képeznek, illetve különböző (például pénzügy eszközökbe fektetik be a díjként befizetett összegek meghatáozott észét. Ennek megfelelően a tanulmányban szeeplő modellben a biztosító szeződések keetében biztosítási kockázatot vállal, az ügyfelek által befizetett díjak alapján számított díjtatalékot, illetve a endelkezése álló saját foásait (tőkét) pedig pénzügyi eszközökbe fekteti. A Szolvencia II. szabályok a tőkeszükséglettel kapcsolatban nem konstans étéket hatáoznak meg minden biztosító számáa egységesen, hanem a szolvencia szempontjából fontos pénzügyi és biztosítási összefüggéseket, illetve a biztosítási 3 A közgazdasági modellekben alkalmazott fixponttételekkel is foglalkozik például Hegedűs és Zalai [978].

3 TANULMÁNYOK 47 állomány jellegzetességeit is figyelembe véve ez az éték biztosítónként különbözhet. A Szolvencia II. szabályok szeint a legalább szükséges tőke valamely biztosító esetében egy éves időtatamot tekintve, meghatáozott (99,5 százalékos) megbízhatósági szinten számolható ki. A tőkeszükséglet meghatáozása a kockáztatott éték (VaR) számolásával oldható meg: 4 It shall coespond to the Value-at-Risk of the basic own funds of an insuance o einsuance undetaking subject to a confidence level of 99,5 pecent ove a one-yea peiod. A gyakolatban a tőkeszükséglet meghatáozása meglehetősen összetett feladat. A szolvencia-tőkekövetelmény (Solvency Capital Requiement) számításánál a Szolvencia II. szabályok alapján a nem életbiztosítási (non-life undewiting isk), az életbiztosítási (life undewiting isk), az egészségbiztosítási (health undewiting isk), a piaci (maket isk), a működési (opeational isk) és a hitelkockázatot (cedit isk) 5 kell figyelembe venni. A számolások soán a működési kockázaton kívül a többi kockázat esetében számolt tőkeszükségleteket egy koelációkat is tatalmazó képlet alapján összegzik (Basic Solvency Capital Requiement), majd ehhez hozzáadják a működési kockázata vonatkozóan számított tőkeszükséglet-étéket, illetve még további koekciók elvégzésée keül so. A tanulmányban szeeplő modellben a gyakolati számításoknál jóval egyszeűbb módon töténik a tőkeszükséglet meghatáozása. Mindössze egyetlen fajta (biztosítás kockázattal foglalkozunk a modellben, ezt azonban úgy definiáljuk, hogy megfeleljen a biztosítások általános jellemzőinek. Ilyen módon olyan modellkeetet alakítunk ki, amely életbiztosítási kockázatok és nem életbiztosítási kockázatok tanulmányozásáa is alkalmas. A modellben egyéves időtávot tekintve keül so a kockázat méésée. A feltevések szeint a biztosítási kötelezettségek az egyéves időtáv végén esedékesek. A biztosító mélege esetében a modellben az egyéves időtatam alatt folyamatosan teljesül a következő összefüggés: A = C + L () ahol: A: eszközök összesen C: a saját tőke étéke L: a kötelezettségek étéke A modell nem tatalmaz további egyéb mélegtételeket (például ingatlanokat, időbeli elhatáolásokat). A gyakolatban a biztosítások egy észe egyszei díjas (amiko a díjat egy összegben fizeti az ügyfél), más esetekben azonban több időpontban is töténhet díjfizetés. Ebben a modellben azt feltételezzük, hogy a biztosító ügyfelei egyszei díjat fizetnek. A díjak egy észe a gyakolatban a költségeket fedezi, a modellben ezzel kapcsolatban feltételezzük, hogy a költségek azonnal esedékesek és a költségeket a befolyó díjból fizetik ki. A biztosító díjtataléka ilyen esetben az egyszei nettó díjak 4 Diective 2009/38/EC, Aticle 0 5 Diective 2009/38/EC, Aticle 0

4 48 KÖZ-GAZDASÁG 204/ összegével egyezik meg. Az egyszei nettó díj egy adott biztosítási szeződés esetén a kötelezettségek váható jelenétékeként számítható ki a következőképpen: B p (2) i ahol: B: a biztosítási összeg, amely a biztosítási szeződés alapján a szeződésben meghatáozott személynek a biztosítási esemény bekövetkezése esetén fizetendő, p: a biztosítási esemény bekövetkezésének valószínűsége, i: a technikai kamat. Valamely biztosítási szeződés esetében a modellben p valószínűségű a biztosítási esemény bekövetkezése, így az i-edik biztosítási szeződés esetében definiálható > i (kaakteisztikus) valószínűségi változó (i =,, n): > i = a biztosítási esemény bekövetkezéseko, 0, ha a biztosítási esemény nem következik be. Az összesen bekövetkező biztosítási események száma (> valószínűségi változó) a > i (kaakteisztikus) valószínűségi változók összege, tehát binomiális eloszlású: > => + + > n (3) A > valószínűségi változó esetében a váható éték E(>)=n p, a vaiancia (szóásnégyzet) pedig F 2 (> )=n p ( p). Amennyiben n éték, vagyis a biztosító állománya megfelelően nagy, akko a binomiális eloszlás a nomális eloszlással közelíthető (ez má n=000 esetében is teljesülhet, így a továbbiakban a nomális eloszlással való közelíthetőséget feltételezzük). Mivel a biztosító egy év múlva méhető eedménye az összesen bekövetkező biztosítási események számának függvénye, ezét a modellben a biztosító egy év múlva méhető veszteségének jelenétéke is nomális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. Jelölje a veszteség-jelenéték valószínűségi változót 0: B ξ B n p ( ) + C ( ) η = (4) k ( k)( ahol: n: a biztosítási szeződések száma, : a befektetési hozam, k: a veszteség-jelenéték számítása soán a diszkontálásnál alkalmazott áta, C: a saját tőke étéke. A befektetési hozam étékét konstansnak tekintjük, mivel a modellben csak egyetlen fajta (biztosítás kockázattal foglalkozunk. A veszteség-jelenéték, mint valószínűségi változó alapján keülhet so a modellben a tőkeszükséglet számolásáa VaR-ként. Nomális eloszlású változóknál a VaR számolása a váható éték, a szóás és a figyelembe vett " megbízhatósági szint alapján töténhet [McNeil et al.2005: 39]:

5 VaR TANULMÁNYOK () α = E() η + σ () η Φ () α 49 (5) ahol M (") a standad nomális eloszlás eloszlásfüggvényének invez függvényét jelenti. Az (5) összefüggés alapján számolt tőkeszükséglet ételmezése a kockáztatott éték (VaR) definíciója alapján lehetséges. A szolvenciaszabályozással kapcsolatban például a CEA [2006] a VaR fogalmát úgy definiálja, hogy ha a VaR-nak megfelelő tőke tatásáa keül so, akko a VaR számításánál alkalmazott megbízhatósági szintnek megfelelő a szolvencia valószínűsége, olyan ételemben, hogy az eszközök étéke legalább annyi, mint a kötelezettségek (egulatoy liabilities) étéke, illetve az inszolvencia valószínűsége ( "), ahol " az adott megbízhatósági szint. A modellben számított tőkeszükséglet étéke tehát az (5) összefüggés figyelembevételével: B n p ( ) ( k)( C ( ) ( k)( + Φ () α B p ( p) ( k) n (6) 2. A SZOLVENCIATŐKE SZÁMOLÁSA FIXPONTKÉNT A (6) összefüggés alapján megállapítható, hogy az adott megbízhatósági szinten számított tőkeszükséglet étéke attól is függ, hogy mekkoa a biztosító észée kezdetben endelkezése álló saját tőke étéke. Felmeül az a kédés, hogy mi lehet az a kezdetben endelkezése álló sajáttőkeéték (vagyis C éték), amely ugyanakkoa, mint amekkoa tőkeszükségletet ennek alapján meg lehet hatáozni: C = f (C), (7) ahol az f(x) függvény a (6) képlet alapján számolható VaR meghatáozásához kapcsolódik. A (7) egyenletben C étéke bizonyos esetben fixpont-iteációval is kiszámolható. A (7) egyenlet gyökét iteációval úgy lehet meghatáozni, hogy a gyök (ebben az esetben a szolvenciatőke) valamely közelítő étékét f(x) függvénybe behelyettesítjük, majd a kapott étéket úja behelyettesítjük a függvénybe és ezt az eljáást tovább folytatjuk. Ilyen módon a függvénybe behelyettesítéssel kapott étékek elméletileg végtelen tagú soozatot alkotnak. Elméletileg, ha ez a soozat konvegens és az f(x) függvény folytonos mint a (7) összefüggésben szeeplő függvény, akko a (7) összefüggésben keesett éték ezen soozat hatáétéke [Obádovics Szaka 2002: 603]. A fixpont-iteáció soán a konvegencia az f(x) függvény alakjától is függ. Ha az f(x) függvény diffeenciálható valamely intevallumon (és ez az intevallum tatalmazza a függvény lehetséges étékeinek tatományát is), akko a konvegencia kédése azzal függ össze, hogy lehet-e találni olyan egynél kisebb konstans étéket (jelölje ezt például d), amelynél f '() x d minden lehetséges x étéke az adott intevallum belsejében (az intevallum maximális és minimális étékét kivéve). Tételezzük fel, hogy az iteációs algoitmus kezdő étéke az előzőekben említett inte-

6 50 KÖZ-GAZDASÁG 204/ vallumból számazik (amelyben az f(x) függvény diffeenciálható és amely a függvény lehetséges étékeinek tatományát is tatalmazza). Ebben az esetben belátható, hogy az ezzel a kezdőétékkel számolható az f(x) függvénybe behelyettesített étékeket tatalmazó soozat konvegens és az x = f(x) egyenletnek az előzőekben említett intevallumbeli egyetlen megoldásához konvegál [Obádovics Szaka 2002: 604]. A modellben a biztosító tőkeszükségletének étékée vonatkozóan a (7) összefüggés tehát abban az esetben oldható meg a fixpont-iteációs módszeel, ha () C f C nem nagyobb egy egységnyinél kisebb étéknél. A (6) képlet alapján f () C =. C ( k)( A modellben feltételezhető, hogy az () éték kisebb, mint az (k) ( szozat, mivel i éték a modellben a technikai kamat, éték a konstansnak feltételezett befektetési hozam, k pedig a pénzáamlások diszkontálásánál alkalmazott hozaméték. 6 A gyakolatban a befektetési hozamok étéke nem konstans, de a biztosítók befektetéseie általában jogszabályi kolátozások vonatkoznak, ami a befektetési kockázatot meghatáozott métékben behatáolja. Amennyiben például feltételeznénk, hogy a befektetési hozam elméletileg kockázatmentesnek tekinthető, akko a kockázatmentes befektetési hozam és a technikai hozam között szoos összefüggés lenne. Mivel ezenkívül a pénzáamlások diszkontálásánál alkalmazott hozam a pénzáamlások kockázatosságát is figyelembe veszi (a biztosító eedménye pedig nem tekinthető kockázatmentesnek a biztosítási kockázat következtében), ezét a modellben elfogadható feltevésnek tekinthető, hogy < ( k)(. A konvegenciát lehetővé tevő ezen feltevés figyelembevételével az adott megbízhatósági szintnek megfelelő VaR-nak is tekinthető induló tőke étéke: C * = B n p + Φ k ( () α B ( k)( n p k ( p) (8) A (8) összefüggést és a C* éték fixpont-iteációval töténő számolását az. ába szemlélteti (B =, n = 0000, p = 0,05, k = 0,025, = 0,05, i = 0,0, " = 0,995): 6 Az i, és k étékek esetében feltételezhető, hogy étékük nem negatív a modellben.

7 TANULMÁNYOK 5 Foás: saját számítások. ába: Szolvenciatőke meghatáozása fixpont-iteációval Mivel az. ábán szeeplő példában < ( )( ), k i így a szolvenciatőke étéke fixpont-iteációs módszeel is meghatáozható. Valamilyen kezdőtőke-étéket feltételezve kiszámolható, hogy ehhez a kezdőtőkéhez mekkoa VaR tatozik. Ha a fixpont-iteációs eljáás következő lépésében a kezdőtőke étékét a számolásokban ezzel a VaR étékkel megegyezőnek feltételezzük, akko szintén számolható valamilyen szolvenciatőkeként ételmezhető VaR éték. A fixpont-iteációs eljáás konvegenciája következtében a második lépésben számolt VaR éték és a fixpontként is ételmezhető szolvenciatőke étéke közötti (euklidesz távolság kisebb, mint az első lépésben számolt VaR éték és a fixpont között. Az. ába a konvegenciáa tett feltevés ételmezését is elősegíti. Amennyiben például = ( k)( teljesülne, akko valamely kezdőtőke-étékből indulva az iteációs módsze minden lépésben ugyanazt a szolvenciatőke- (VaR) étéket, illetve kezdőtőke-étéket eedményezné. Hasonló módon poblematikus lenne a fixpont eléése az iteációs módszeel, ha > ( k)(, mivel ekko az egyes iteációs lépésekkel a számolt tőke étéke nem közelebb, hanem egye távolabb keülne a fixponttól. Édemes azonban hangsúlyozni, hogy a szolvenciatőke étéke + = ( k)( és > ( k)( esetében is számolható a (8) képlet alapján, mindössze a fixpont-iteációs módszeel töténő számolás nem oldható meg ezekben az esetekben.

8 52 KÖZ-GAZDASÁG 204/ 3. A BIZTOSÍTÁSI ÁLLOMÁNY JELLEMZŐINEK HATÁSAI A szolvenciatőke étékét több tényező is befolyásolja. Mivel ebben a modellben mindössze a biztosítási kockázattal foglalkozunk (a befektetési kockázatot például konstansnak feltételezzük, így a pénzügyi kockázatot közvetlenül nem modellezzük), a szolvenciatőke étékée ható tényezők közül édemes foglalkozni a biztosítási állomány jellemzőivel. A következőkben a modellfeltevések közül a biztosítási esemény bekövetkezési valószínűségének és a biztosítási állomány nagyságának hatását elemezzük. Azzal a kédéssel is foglalkozunk, hogy e két tényező esetében van-e különbség a (8) képlet alapján fixpontként ételmezhető tőke étékée és a (6) képlet alapján számolható (valamilyen adott induló tőkeétéket feltételező) tőkeszükséglet-étéke gyakoolt hatás között. A tőkeszükséglet-étékeket a számolások soán édemes elosztani B n p étékkel, mivel így egy olyan mutatószám az eedmény, ami azzal is összefügg, hogy a biztosító mélegén belül mekkoa a tőke aánya. A (6) képletben szeeplő tőkeszükséglet-étéket B n p étékkel elosztva és a képletek jobb áttekinthetősége édekében alkalmazva az a = ( k)( jelölést, az eedményül kapott elatív tőkeszükséglet étéke: ( a) C a + Φ ( α) k n p p (9) A (9) képletben szeeplő elatív tőkeszükséglet-éték csökken, ha a biztosító állományának méete nagyobb (a biztosítási szeződések számát n jelöl. Ez az eedmény azzal is kapcsolatban van, hogy a modellben a biztosítási állománynál a biztosítási események számáa vonatkozóan is teljesül a nagy számok tövénye. A (9) képlet alapján az is megállapítható, hogy a elatív tőkeszükséglet étéke nagyobb, ha a biztosítási események bekövetkezési valószínűsége kisebb, mivel a (9) képletben szeeplő éték p szeinti paciális deiváltjának étéke negatív: Φ 2 () α k n p 3 ( p) (0) A (0) képlet alapján kapott eedmény úgy is ételmezhető, hogy ha kevésbé valószínű a biztosítási esemény bekövetkezése, akko a nettó díjak összegeként számolható B n p kezdeti nettó díjtatalék étéke is kisebb, és ehhez a díjtatalékétékhez képest viszonylag nagyobb a tőkeszükséglet étéke kisebb valószínűséggel bekövetkező biztosítási eseménynél, mint nagyobb valószínűségű biztosítási eseménynél. Az előzőkben szeeplőkhöz hasonlóak az eedmények abban az esetben is, amiko a fixpontként is ételmezhető, a (8) képlet alapján számolható tőkeszükséglet

9 TANULMÁNYOK 53 étékének és a B n p kezdeti nettó díjtatalék étékének hányadosát elemezzük. E hányados az előzőekben is alkalmazott a jelölés figyelembevételével: a + Φ () α a a k ( k)( a) n p p () A () képletben szeeplő elatív tőkeszükséglet-éték is kisebb, ha a biztosítási állomány nagyobb. Az is teljesül, hogy ha nagyobb a biztosítási események bekövetkezésének valószínűsége, akko kisebb a elatív tőkeszükséglet, mivel a () képletben szeeplő éték p szeinti paciális deiváltjának étéke a (0) képletben szeeplő étékhez hasonlóan negatív: 2 Φ a () α k n p 3 ( p) (2) Ahogyan azt a (0) és (2) képletek összehasonlítása mutatja, a p szeinti paciális deiváltak mindössze annyiban különböznek, hogy a fixpontként is ételmezhető tőkeszükséglet-éték esetében számolt deivált a másik deivált étékének és az a étéknek a szozata. Mivel a modellben az < ( k)( elfogadható feltevésnek tekinthető, ezét < a pozitív éték. A biztosítási esemény bekövetkezésének valószínűsége esetében töténő (kis) változások tehát a modellben kisebb hatással vannak a elatív tőkeszükséglet étékée a fixpontként is ételmezhető szolvenciatőke esetében. A (9) és () képlet alapján hasonló eedmények adódnak a biztosítási állomány nagyságával kapcsolatban is: a biztosítási állomány nagyságának adott (kismétékű) emelkedése kisebb csökkenést okoz a elatív tőkeszükséglet étékében a fixpontként is ételmezhető szolvenciatőke esetében. ÖSSZEFOGLALÁS A biztosítók tőkeszükségletének meghatáozása a hamaosan a gyakolatban is alkalmazott Szolvencia II. euópai uniós iányelv egyik központi témája. A tanulmány elméleti modellben, a gyakolathoz képest egyszeűsítéseket jelentő feltevések alkalmazásával tőkeszükséglet-étékek számolásával foglalkozik. Bá a gyakolat-

10 54 KÖZ-GAZDASÁG 204/ ban a biztosítók szolvenciatőkéjének étékét sok tényező befolyásolhatja, az elméleti modellben lehetőség van kiemelten a biztosítási kockázat hatásának tanulmányozásáa. A modellben levezethető, hogy milyen feltevések esetében lehetséges a szolvenciatőke étékét fixpont-iteációval meghatáozni. Amennyiben ezek a feltevések teljesülnek, a biztosító adott időszak elején endelkezése álló induló tőkéje fixpontként úgy is meghatáozható, hogy megegyezik a kockáztatott étékként (VaR) számolt tőkeszükséglettel. Az elméleti modell feltevései alapján a fixpontnak tekinthető tőkeszükséglet étéke, a modellben szeeplő paaméteek alapján, képlettel is meghatáozható. A tanulmány a fixpontként is ételmezhető és a valamilyen tetszőleges módon meghatáozott induló tőkét feltételező eljáással számított tőkeszükséglet-étékeket is összehasonlítja. Ez az összehasonlítás a kezdeti díjtatalék-étékhez viszonyítva töténik a modellben, mivel a tőkeszükséglet és a kezdeti díjtatalék aánya egyfajta elatív tőkeszükségletként is ételmezhető és ez az aány azzal is kapcsolatban van, hogy a biztosító mélegén belül mekkoa a tőke étéke. Az összehasonlítás eedményeként megállapítható, hogy a modellben mindkét esetben kisebb a elatív tőkeszükséglet, ha nagyobb a biztosítási állomány vagy pedig a biztosítási esemény bekövetkezésének valószínűsége. Az is megállapítható az eedmények alapján, hogy e két paaméte változásának hatása a fixpontként is ételmezhető szolvenciatőke esetében kisebb. A tanulmányban található eedmények a biztosítók tőkeszükségletével kapcsolatos számítások jellegzetességeit szemléltetik. A bemutatott, a biztosítások fontosabb jellemzői alapján létehozott elméleti modellben viszonylag egyszeűen szemléltethetők a fixpont-iteáció alkalmazási lehetőségei is a tőkeszükséglet-számítással kapcsolatban. A témával kapcsolatos további kutatási lehetőségek közül a gyakolat szempontjából a leginkább édekes eedmények feltehetőleg a pénzügyi kockázat észletesebb modellezéséből adódhatnak. IRODALOM CEA [2006]: CEA Woking Pape on the isk measues VaR and TailVaR Diective 2009/38/EC of the Euopean Paliament and of the Council of 25 Novembe 2009 on the taking-up and pusuit of the business of Insuance and Reinsuance (Solvency II) Hegedűs Miklós Zalai Enő [978]: Fixpont és egyensúly a gazdasági modellekben. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. McNeil, A.J. Fey, R. Embechts, P.[2005]: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools. Pinceton Univesity Pess. Obádovics J. Gyula Szaka Zoltán [2002]: Felsőbb matematika. Scola Kiadó

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok A pénzügyi számítások alapjai II. étékpapíok Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Ka Pénzügyi Tanszék Galbács Péte doktoandusz Az étékpapíok csopotosítása Tulajdonosi jogot (észesedési viszonyt) megtestesítő

Részletesebben

3. Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye melyik képlettel van definiálva?

3. Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye melyik képlettel van definiálva? . z és események függetlensége melyik összefüggéssel van definiálva? P () + P () = P ( ) = P ()P () = P ( ) = P () P () 2. z alábbi összefüggések közül melyek igazak, melyek nem igazak tetszőleges és eseményeke?

Részletesebben

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV 7. Fejezet A TŐKE KÖLTSÉGE 7.1.2 Saját tőke költsége D =hitel tőkeköltsége. i =névleges kamatláb, kötvény esetén n. P n =a kötvény névétéke. =a kötvény áfolyama. P 0 Hitel típusú foások tőkeköltsége, (T

Részletesebben

2011. november 2. Dr. Vincze Szilvia

2011. november 2. Dr. Vincze Szilvia 20. novembe 2. D. Vincze Szilvia Tatalomjegyzék.) Számtani és métani soozatok Métani soozatok alkalmazásai: 2.) Kamatos kamat számítás a.) Egyszeű kamatszámítás b.) Kamatos kamat számítás c.) Kamatszámítás

Részletesebben

9. ábra. A 25B-7 feladathoz

9. ábra. A 25B-7 feladathoz . gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,

Részletesebben

Numerikus módszerek. A. Egyenletek gyökeinek numerikus meghatározása

Numerikus módszerek. A. Egyenletek gyökeinek numerikus meghatározása Numeikus módszeek A. Egyenletek gyökeinek numeikus meghatáozása A1) Hatáozza meg az x 3 + x = egyenlet (egyik) gyökét éintı módszeel. Kezdje a számítást az x = helyen! Megoldás: x 1, Megoldás 3 A függvény

Részletesebben

Volatilitási tőkepuffer a szolvencia IIes tőkekövetelmények megsértésének kivédésére

Volatilitási tőkepuffer a szolvencia IIes tőkekövetelmények megsértésének kivédésére Volatilitási tőkepuffer a szolvencia IIes tőkekövetelmények megsértésének kivédésére Zubor Zoltán MNB - Biztosításfelügyeleti főosztály MAT Tavaszi Szimpózium 2016. május 7. 1 Háttér Bit. 99. : folyamatos

Részletesebben

Olvassa el figyelmesen a következő kérdéseket, állításokat, s karikázza be a helyesnek vélt választ.

Olvassa el figyelmesen a következő kérdéseket, állításokat, s karikázza be a helyesnek vélt választ. Feleletválasztós kédések 1. Hosszú távú modell Pénz Olvassa el figyelmesen a következő kédéseket, állításokat, s kaikázza be a helyesnek vélt választ. 1. Kédés A pénz olyan pénzügyi eszköz, amely betölti

Részletesebben

Pénzügyi ismeretek. Dülk Marcell 2012/2013/2

Pénzügyi ismeretek. Dülk Marcell 2012/2013/2 Pénzügyi ismeetek Dülk Macell 2012/2013/2 Rövid ismetető Dülk Macell, dulk@finance.bme.hu, QA337 Jegyzetek, diák Számonkéés Miől lesz szó? Nettó jelenéték fogalma és számítása Pénzáamlások becslése Tőkeköltség

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 3 októbe 7 technológia és a költségek dualitása oábban beláttuk az alábbi összefüggéseket: a) Ha a munka hatáteméke nő akko a hatáköltség csökken

Részletesebben

Távközlő hálózatok gazdasági tervezése

Távközlő hálózatok gazdasági tervezése A HÍRADÁSTECHNIKAI TUDOMÁNYOS EGYESÜLET LAP1A SÓLYMOS Posta Kíséleti LÁSZLÓ Intézet Távközlő hálózatok gazdasági tevezése ETO 6.394.74:054.02.001.2 A híközlési hálózatoknak időben folyamatosan növekvő

Részletesebben

A Szolvencia II harmadik mennyiségi hatástanulmányának (QIS3) eredményei. Gaálné Kodila Diána március 20.

A Szolvencia II harmadik mennyiségi hatástanulmányának (QIS3) eredményei. Gaálné Kodila Diána március 20. A Szolvencia II harmadik mennyiségi hatástanulmányának (QIS3) eredményei Gaálné Kodila Diána 2008. március 20. 1 Korábbi hatástanulmányok Előkészítő helyszíni tanulmány (Preparatory Field Study, PFS) 2005.

Részletesebben

Biztosítók kockázatdiverzifikációja

Biztosítók kockázatdiverzifikációja Közgazdasági Szemle, LVII. évf., 00. július augusztus (634 65. o.) SZÜLE BORBÁLA Biztosítók kockázatdiverzifikációja A biztosítók működését általában több homogén részállományból összetevődő heterogén

Részletesebben

II. TÉMA Kockázati transzferek, kockázatmérés

II. TÉMA Kockázati transzferek, kockázatmérés II. TÉMA Kockázati transzferek, kockázatmérés Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában A tanulmányt készítette: Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási Oktató és Kutató Csoport

Részletesebben

Rugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai

Rugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Rugalmas hullámok tejedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Milyen hullámok alakulhatnak ki ugalmas közegben? Gázokban és folyadékokban csak longitudinális hullámok tejedhetnek. Szilád közegben

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás SZÉHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTN ÉS EHNIK TNSZÉK 6. EHNIK-STTIK GYKORLT Kidolgozta: Tiesz Péte egy. ts. Négy eő egyensúlya ulmann-szekesztés Ritte-számítás 6.. Példa Egy létát egy veembe letámasztunk

Részletesebben

Szakszemináriumi téma neve: Kockázatok mérése a Szolvencia II. szabályozásban

Szakszemináriumi téma neve: Kockázatok mérése a Szolvencia II. szabályozásban Meghirdető neve: Dr. Szüle Borbála Szakszemináriumi téma neve: Kockázatok mérése a Szolvencia II. szabályozásban Téma rövid leírása: A biztosítók működését számos kockázat befolyásolja. A kockázatok pontos

Részletesebben

Portfóliók képzése és a portfólió értékelés mértékei. A portfóliókockázat. elemzése. Az arbitrázs-értékelés modellje és alkalmazása.

Portfóliók képzése és a portfólió értékelés mértékei. A portfóliókockázat. elemzése. Az arbitrázs-értékelés modellje és alkalmazása. Beuházás és fnanszíozás döntések Levelező. konzultácó Potfólók kézése és a otfóló étékelés météke. A otfólókockázat secáls esetenek elemzése. Az abtázs-étékelés modellje és alkalmazása. A otfolók kézése,

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

A piaci (egytényezős) modellek és portfóliók képzése

A piaci (egytényezős) modellek és portfóliók képzése 0/9/05 A ac (egytényezős) modellek és otfólók kézése Beuházás és fnanszíozás döntések. konzultácó A ac (egytényezős) modellek szeee a befektetések étékelésében. Bevezetés az egytényezős modellek áttekntése.

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a IV. éves vegyészhallgatók Poláris molekula dipólusmomentumának meghatározása című méréséhez

Elméleti összefoglaló a IV. éves vegyészhallgatók Poláris molekula dipólusmomentumának meghatározása című méréséhez lméleti összefoglaló a I. éves vegyészhallgatók oláis molekula dipólusmomentumának meghatáozása című mééséhez 1.1 ipólusmomentum Sok molekula endelkezik pemanens dipólus-momentummal, ugyanis ha a molekulát

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

A QIS5 mennyiségi eredményei QIS5 QIS5 QIS5 QIS. Gaálné Kodila Diána Somlóiné Tusnády Paula Varga Gábor február 28.

A QIS5 mennyiségi eredményei QIS5 QIS5 QIS5 QIS. Gaálné Kodila Diána Somlóiné Tusnády Paula Varga Gábor február 28. A mennyiségi eredményei 2011. február 28. Gaálné Kodila Diána Somlóiné Tusnády Paula Varga Gábor 1 Tartalom Lebonyolítás, részvétel Adatminőség Általános pénzügyi hatás Tartalékok értékelése Illikviditási

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

Szolvencia II: Tőkekövetelmény

Szolvencia II: Tőkekövetelmény Szolvencia II: Tőkekövetelmény Szabó Péter 2005. április 27. 2005. 04. 27. 1/30 Áttekintés Szervezeti keretek A tőkeszükséglet szintjei Minimális Tőkeszükséglet Szavatoló Tőkeszükséglet: Átfogó kérdések

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

BIZTOSÍTÓK ÉS BANKOK KOCKÁZATI KÜLÖNBSÉGEI

BIZTOSÍTÓK ÉS BANKOK KOCKÁZATI KÜLÖNBSÉGEI BIZTOSÍTÁS ÉS KOCKÁZAT BIZTOSÍTÁS ÉS KOCKÁZAT BIZTOSÍTÓK ÉS BANKOK KOCKÁZATI KÜLÖNBSÉGEI Szüle Borbála, PhD (Budapesti Corvinus Egyetem)* 1. Bevezetés A biztosítási szektorban a közeljövőben várható a

Részletesebben

Analitikai eredmények értelmezése tejre és tejtermékekre a közös piaci szabályozás keretében

Analitikai eredmények értelmezése tejre és tejtermékekre a közös piaci szabályozás keretében Analitikai eedmények ételmezése teje és tejtemékeke a közös piaci szabályozás keetében Molná Pál Központi Élelmiszeipai Kutató Intézet, Budapest Ékezett: 000. januá 8. A tej és tejtemékek az Euópai Unió

Részletesebben

6. Kérdés A kormányzati kiadások növelése hosszú távon az alábbi folyamaton keresztül vezet a kamat változásához: (a)

6. Kérdés A kormányzati kiadások növelése hosszú távon az alábbi folyamaton keresztül vezet a kamat változásához: (a) Feleletválasztós kédések 1. Hosszú távú modell 02 Olvassa el figyelmesen az alábbi állításokat és kaikázza be a helyes válasz előtt álló betűjelet. 1. Kédés Egy zát gazdaság áupiacán akko van egyensúly,

Részletesebben

Kétváltozós vektor-skalár függvények

Kétváltozós vektor-skalár függvények Kétáltozós ekto-skalá függények Definíció: Az olyan függényt amely az ( endezett alós számpáokhoz ( R R ( ektot endel kétáltozós ekto-skalá függénynek neezzük. : ( ( ( x( i + y( j + z( k Az ektoal együtt

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

Módszertani megjegyzések a biztosítók felügyeleti célú adatszolgáltatásán alapuló idősorhoz és a tájékoztatóhoz

Módszertani megjegyzések a biztosítók felügyeleti célú adatszolgáltatásán alapuló idősorhoz és a tájékoztatóhoz Módszertani megjegyzések a biztosítók felügyeleti célú adatszolgáltatásán alapuló idősorhoz és a tájékoztatóhoz Általános megállapítások 1. Az idősorok a biztosítók rendszeres felügyeleti célú adatszolgáltatási

Részletesebben

Gazdasági Információs Rendszerek

Gazdasági Információs Rendszerek Gazdasági Információs Rendszerek 1. előadás Bánhelyi Balázs Alkalmazott Informatika Tanszék, Szegedi Tudományegyetem 2009 A pénz időértéke Mit jelent a pénz időértéke? Egy forint (dollár, euró, stb.) ma

Részletesebben

Hitelintézetek és befektetési vállalkozások tőkekövetelményeinek változásai

Hitelintézetek és befektetési vállalkozások tőkekövetelményeinek változásai Hitelintézetek és befektetési vállalkozások tőkekövetelményeinek változásai Seregdi László 2006. december 11. 2006. november 16. Előadás témái I. Bevezetés a hitelintézetek tőkekövetelmény számításába

Részletesebben

Mozgás centrális erőtérben

Mozgás centrális erőtérben Mozgás centális eőtében 1. A centális eő Válasszunk egy olyan potenciális enegia függvényt, amely csak az oigótól való távolságtól függ: V = V(). A tömegponta ható eő a potenciális enegiája gaiensének

Részletesebben

A pénzügyi számítások alapjai I. Szakirodalom. Az előadás témakörei

A pénzügyi számítások alapjai I. Szakirodalom. Az előadás témakörei A pézügyi számítások alapjai I. Miskolci Egyetem Gazdaságtudomáyi Ka Pézügyi Taszék Galbács Péte doktoadusz Szakiodalom VIGVÁRI Adás [004]: Pézügy(edsze)ta. Budapest: KJK-KERSZÖV. BREALEY, Richad A. MYERS,

Részletesebben

Basel II, avagy a tőkekövetelmények és azok számítása a pénz- és tőkepiaci szervezeteknél - számítás gyakorlati

Basel II, avagy a tőkekövetelmények és azok számítása a pénz- és tőkepiaci szervezeteknél - számítás gyakorlati Basel II, avagy a tőkekövetelmények és azok számítása a pénz- és tőkepiaci szervezeteknél - számítás gyakorlati példákon Dr. Pálosi-Németh Balázs, Tamás Sándor Budapest, 18 November 2010 A Bank tőkemegfelelésének

Részletesebben

A Maxwell-féle villamos feszültségtenzor

A Maxwell-féle villamos feszültségtenzor A Maxwell-féle villamos feszültségtenzo Veszely Octobe, Rétegezett síkkondenzátoban fellépő (mechanikai) feszültségek Figue : Keesztiányban étegezett síkkondenzáto Tekintsük a. ábán látható keesztiányban

Részletesebben

( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ.

( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ. 5.A 5.A 5.A Szinszos mennyiségek ezgıköök Ételmezze a ezgıköök ogalmát! ajzolja el a soos és a páhzamos ezgıköök ezonanciagöbéit! Deiniálja a ezgıköök hatáekvenciáit, a ezonanciaekvenciát, és a jósági

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

1.4. Mintapéldák. Vs r. (Használhatjuk azt a közelítő egyenlőséget, hogy 8π 25.)

1.4. Mintapéldák. Vs r. (Használhatjuk azt a közelítő egyenlőséget, hogy 8π 25.) Elektotechnikai alapismeetek Mágneses té 14 Mintapéldák 1 feladat: Az ába szeinti homogén anyagú zát állandó keesztmetszetű köben hatáozzuk meg a Φ B és étékét! Ismet adatok: a = 11 cm A = 4 cm μ = 8 I

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Lehetséges minimumkérdések Méréstechnika tárgyból 2015.

Lehetséges minimumkérdések Méréstechnika tárgyból 2015. Lehetséges minimumkédések Mééstechnika tágyból 015. (A válaszokat póbálja lényege töően megogalmazni, az ábáknál töekedjen a pontosan elidézni, a képletek esetén töekedjen a képletben szeeplő betűk megadásáa.)

Részletesebben

II projekt várható hatása a biztosítók tőkemegfelelésére

II projekt várható hatása a biztosítók tőkemegfelelésére A S Solvencia z II projekt várható hatása a biztosítók tőkemegfelelésére Szabó Péter 2006. május 10. 2006.05.10. 1/22 Szolvencia II: Áttekintés 1. pillér Az eszközökre, a forrásokra és a tőkére vonatkozó

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A BEFEKTETŐ-VÉDELMI ALAP IGAZGATÓSÁGÁNAK

A BEFEKTETŐ-VÉDELMI ALAP IGAZGATÓSÁGÁNAK Nyilvános A BEFEKTETŐ-VÉDELMI ALAP IGAZGATÓSÁGÁNAK 24/2010. (XI. 4.) számú határozata A Beva igazgatósága megvitatta a kockázatarányos díjrendszer bevezetésére vonatkozó döntés nyomán elkészített előterjesztést,

Részletesebben

KÖZZÉTÉTEL. - éves kockázatkezelési jelentés -

KÖZZÉTÉTEL. - éves kockázatkezelési jelentés - KÖZZÉTÉTEL - éves kockázatkezelési jelentés - A GlobalFX Investment Zártkörűen Működő Részvénytársaság (székhely: 1113 Budapest, Nagyszőlős utca 11-15., cégjegyzékszám: 01-10-046511; továbbiakban: Társaság)

Részletesebben

Szolvencia II: A QIS4 hatástanulmány magyarországi eredményei. Szabó Péter december 10.

Szolvencia II: A QIS4 hatástanulmány magyarországi eredményei. Szabó Péter december 10. Szolvencia II: A QIS4 hatástanulmány magyarországi eredményei Szabó Péter 2008. december 10. Miről lesz szó? Részvétel Pénzügyi helyzet alakulása Értékelés: Eszközök és nem biztosítási kötelezettségek

Részletesebben

Közgazdaságtan alapjai. Dr. Karajz Sándor Gazdaságelméleti Intézet

Közgazdaságtan alapjai. Dr. Karajz Sándor Gazdaságelméleti Intézet Közgazdaságtan alapjai Dr. Karajz Sándor Gazdaságelméleti 4. Előadás Az árupiac és az IS görbe IS-LM rendszer A rövidtávú gazdasági ingadozások modellezésére használt legismertebb modell az úgynevezett

Részletesebben

7.2 Az infláció okozta jóléti veszteség

7.2 Az infláció okozta jóléti veszteség 7.2 Az infláció okozta jóléti veszteség Elemezésünk kiindulópontja a pénzügytanból jól ismet Fishe-tétel, amelynek ételmében a nominális kamatláb () megközelítőleg egyenlő a eálkamatláb ( ) és az inflációs

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz Segélet a Tengely göülő-csaágyazása felaathoz Összeállította: ihai Zoltán egyetemi ajunktus Tengely göülő-csaágyazása Aott az. ábán egy csaágyazott tengely kinematikai vázlata. A ajz szeint az A jelű csaágy

Részletesebben

Makroökonómia. 4. szeminárium

Makroökonómia. 4. szeminárium Makroökonómia 4. szeminárium 2016. 03. 03. 1 Emlékeztető Jövő héten dolgozat 12 pontért! definíció, Igaz-Hamis, kiegészítős feladat számítás 2. házi feladat 2 pontért Gyakorlásnak is jó Hasonló feladatok

Részletesebben

Neoklasszikus növekedési modellek

Neoklasszikus növekedési modellek Neoklasszikus egionális növekedési modellek Regionális gazdaságtan 2007/2008. tanév Regionális növekedési modellek Neoklasszikus növekedési modellek Robet Solow, kínálati tényezők Endogén növekedési modellek

Részletesebben

Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Befektetés és biztonság

Befektetés és biztonság Befektetés és biztonság kompromisszumok nélkül Terra Életbiztosítás Befektetés és többszörös gondoskodás A befektetéssel kombinált életbiztosításokról sokan azt állítják, hogy indokolatlan költségekkel

Részletesebben

Gazdaság és környezet kapcsolódási pontjai. Nem megújuló erőforrások kitermelése. Környezetgazdaságtan. 1. rész

Gazdaság és környezet kapcsolódási pontjai. Nem megújuló erőforrások kitermelése. Környezetgazdaságtan. 1. rész Könyezetgazdaságtan 11. előadás: A temészeti eőfoások otimális használata és a temészeti tőke étékelése 1. ész A temészeti eőfoások otimális használata 2012 BME Könyezetgazdaságtan Tanszék Gazdaság és

Részletesebben

Szolvencia II. Biztosítástechnikai tartalékok 2005.04.27

Szolvencia II. Biztosítástechnikai tartalékok 2005.04.27 Szolvencia II. Biztosítástechnikai tartalékok 2005.04.27 Biztosítástechnikai tartalékok A. Nem-életbiztosítási tartalékok B. Életbiztosítási tartalékok C. Próbaszámolások 2005.04.27 2 A. Nem-életbiztosítási

Részletesebben

Módszertani megjegyzések a biztosítók felügyeleti célú adatszolgáltatásán alapuló idősorhoz és a tájékoztatóhoz

Módszertani megjegyzések a biztosítók felügyeleti célú adatszolgáltatásán alapuló idősorhoz és a tájékoztatóhoz Módszertani megjegyzések a biztosítók felügyeleti célú adatszolgáltatásán alapuló idősorhoz és a tájékoztatóhoz Általános megállapítások 1. A biztosítók idősorai az MNB adatszolgáltatási táblái alapján

Részletesebben

TESTAMENTUM egész életre szóló életbiztosítás

TESTAMENTUM egész életre szóló életbiztosítás TESTAMENTUM egész életre szóló életbiztosítás különös szerződési feltételei Hatályos 2016.07.01. TESTAMENTUM EGÉSZ ÉLETRE SZÓLÓ ÉLETBIZTOSÍTÁS KÜLÖNÖS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI (T0700, TE700) Jelen életbiztosítások

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Előadás vázlat. Vizsgáljam vagy ne. Laboratóriumi eredmények interpretálásának általános alapelvei. Vizsgálatkérő lap

Előadás vázlat. Vizsgáljam vagy ne. Laboratóriumi eredmények interpretálásának általános alapelvei. Vizsgálatkérő lap A beteg nevét nyomtatott nagybetűkkel kéjük kitölteni! Laboatóiumi eedmények intepetálásának általános alapelvei Hováth Andea Szegedi Tudományegyetem, Általános Ovostudományi Ka, Laboatóiumi Medicina Intézet

Részletesebben

Térbeli polárkoordináták alkalmazása egy pont helyének, sebességének és gyorsulásának leírására

Térbeli polárkoordináták alkalmazása egy pont helyének, sebességének és gyorsulásának leírására Tébeli polákoodináták alkalmazása egy pont helyének sebességének és gyosulásának leíásáa A címbeli feladat a kinematikával foglalkozó tankönyvek egyik alapfeladata: elmagyaázni levezetni az idevágó összefüggéseket

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

UNION-Szinkron Befektetési eszközalapokhoz kapcsolódó, egyszeri díjfizetésű életbiztosításokhoz TKM tájékoztató. Tisztelt Leendő Ügyfelünk!

UNION-Szinkron Befektetési eszközalapokhoz kapcsolódó, egyszeri díjfizetésű életbiztosításokhoz TKM tájékoztató. Tisztelt Leendő Ügyfelünk! UNION-Szinkron Befektetési eszközalapokhoz kapcsolódó, egyszeri díjfizetésű életbiztosításokhoz tájékoztató Tisztelt Leendő Ügyfelünk! Az Ön által megkötni kívánt életbiztosítás az olyan befektetési egységekhez

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA január 16. m KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) KÖZÉPSZINT PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA január 16. m KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) KÖZÉPSZINT PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA m KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) KÖZÉPSZINT PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS STUDIUM GENERALE KÖZGAZDASÁGTAN SZEKCIÓ Feleletválasztás Közgazdasági alapismeretek

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Egyesült Siker Alapok Befektetési eszközalapokhoz kapcsolódó, egyedi, egyszeri díjfizetésű, teljes életre szóló életbiztosításokhoz TKM tájékoztató

Egyesült Siker Alapok Befektetési eszközalapokhoz kapcsolódó, egyedi, egyszeri díjfizetésű, teljes életre szóló életbiztosításokhoz TKM tájékoztató Egyesült Siker Alapok Befektetési okhoz kapcsolódó, egyedi, egyszeri díjfizetésű, teljes életre szóló életbiztosításokhoz tájékoztató Tisztelt Leendő Ügyfelünk! Az Ön által megkötni kívánt életbiztosítás

Részletesebben

Hősugárzás. 2. Milyen kölcsönhatások lépnek fel sugárzás és anyag között?

Hősugárzás. 2. Milyen kölcsönhatások lépnek fel sugárzás és anyag között? Hősugázás. Milyen hőtejedési fomát nevezünk hőmésékleti sugázásnak? Minden test bocsát ki elektomágneses hullámok fomájában enegiát a hőméséklete által meghatáozott intenzitással ( az anyag a molekulái

Részletesebben

Loss Distribution Approach

Loss Distribution Approach Modeling operational risk using the Loss Distribution Approach Tartalom»Szabályozói környezet»modellezési struktúra»eseményszám eloszlás»káreloszlás»aggregált veszteségek»további problémák 2 Szabályozói

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O 1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.

Részletesebben

1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra

1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c

Részletesebben

Szolvencia II - áttekintés. Tatai Ágnes 2011. Január 17. 24. Piaci konzultáció

Szolvencia II - áttekintés. Tatai Ágnes 2011. Január 17. 24. Piaci konzultáció Szolvencia II - áttekintés Tatai Ágnes 2011. Január 17. 24. Piaci konzultáció 1 A Szolvencia II projekt állása, a felügyelés alapjai 2 Hol tart a folyamat? 1. szintű szabályozás elfogadva: 2009 év végén

Részletesebben

Mérleg. Szolvencia II. szerinti érték Eszközök

Mérleg. Szolvencia II. szerinti érték Eszközök Mérleg Szolvencia II. szerinti érték Eszközök C0010 Immateriális javak R0030 - Halasztott adókövetelések R0040 - Nyugdíjszolgáltatások többlete R0050 - Saját használatú ingatlanok, gépek és berendezések

Részletesebben

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #

Részletesebben

III. Differenciálszámítás

III. Differenciálszámítás III. Diffeenciálszámítás A diffeenciálszámítás számunka elsősoban aa való hogy megállaítsuk hogyan változnak a (fizikai) kémiában nagy számban előfoló (többváltozós) függvények. A diffeenciálszámítás megadja

Részletesebben

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra . Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó

Részletesebben

Megtakarítás és biztonság

Megtakarítás és biztonság Megtakarítás és biztonság kompromisszumok nélkül Aqua Életbiztosítás Rendszeres megtakarítás és többszörös gondoskodás A befektetéssel kombinált életbiztosításokról sokan azt állítják, hogy indokolatlan

Részletesebben

Az ICAAP felülvizsgálati folyamat bemutatása

Az ICAAP felülvizsgálati folyamat bemutatása Az ICAAP felülvizsgálati folyamat bemutatása Kutasi Dávid főosztályvezető Validáció és SREP Főosztály Budapesti Corvinus Egyetem 2017.05.04. 1 Komplex SREP a magyar bankrendszer ~80%-át fedi le Eltérő

Részletesebben

Vállalati pénzügyek alapjai. 2.DCF alapú döntések

Vállalati pénzügyek alapjai. 2.DCF alapú döntések Vállalati pénzügyek alapjai 2.DCF alapú döntések Deliné Palinkó Éva Pénzügyek Tanszék (palinko@finance.bme.hu) A vállalati pénzügyi döntések alapjai 1) Bevezetés. Vállalati pénzügyi döntések köre.. 2)

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés) Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Optikai hullámvezető fénymódus spektroszkópia Majerné Baranyi Krisztina Adányiné Dr. Kisbocskói Nóra

Optikai hullámvezető fénymódus spektroszkópia Majerné Baranyi Krisztina Adányiné Dr. Kisbocskói Nóra Optikai hullámvezető fénymódus spektoszkópia Majené Baanyi Kisztina Adányiné D. Kisbocskói Nóa NAIK ÉKI 1022 Budapest, Heman Ottó út 15. 4. épület Az optikai hullámvezető fénymódus spektoszkópia (OWLS)

Részletesebben

Az atomok vonalas színképe

Az atomok vonalas színképe Az atomok vonalas színképe Színképelemzés, spektoszkópia R. Bunsen 8-899 G.R. Kichhoff 8-887 A legegyszebb (a legkönnyebb) atom a hidogén. A spektuma a láthatóban a következ A hidogén atom spektuma a látható

Részletesebben

Biztosítási Eszközalapok brosúrája

Biztosítási Eszközalapok brosúrája Biztosítási Eszközalapok brosúrája ESZKÖZALAP MEGNEVEZÉSE: NOVIS ETF Részvény Eszközalap Jelen Biztosítási Eszközalapok brosúrája 2018. január 1- től érvényes. Milyen eszközalapról van szó? TIPUS: Biztosítási

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Matematika B4 VIII. gyakorlat megoldása

Matematika B4 VIII. gyakorlat megoldása Matematika B4 VIII. gyakorlat megoldása 5.április 7.. Eloszlás- és sűrűségfüggvény Ha az X egy folytonos valószínűségi változó, akkor X-et jól jellemzi az eloszlás illetve a sűrűségfüggvénye. Az eloszlásfüggvény

Részletesebben

Szolvencia II: Az időközi mennyiségi

Szolvencia II: Az időközi mennyiségi Szolvencia II: Az időközi mennyiségi hatástanulmány t á eredményei Somlóiné Tusnády Paula Szabó Péter 2009. november 30. Miről lesz szó? Bevezetés Részvétel Általános pénzügyi helyzet Eszközök és nem biztosítási

Részletesebben

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,

Részletesebben

ORSA ORSA ORSA. ORSA konzultáció I. pilléres aspektusok. Tatai Ágnes 2011 november 18

ORSA ORSA ORSA. ORSA konzultáció I. pilléres aspektusok. Tatai Ágnes 2011 november 18 ORSA konzultáció I. pilléres aspektusok Tatai Ágnes 2011 november 18 1 Vázlat Mi az ORSA, miért jó ez nekünk? Az ORSA mennyiségi aspektusai tartalékok szavatoló tőkeszükséglet szavatoló tőke Összegzés

Részletesebben

10. előadás: Vonalas létesítmény tegelyvonalának kitűzése. (Egyenes, körív, átmeneti ív) *

10. előadás: Vonalas létesítmény tegelyvonalának kitűzése. (Egyenes, körív, átmeneti ív) * 10. előadás: Vonalas létesítmény tegelyvonalának ktűzése. (Egyenes, köív, átmenet ív)* 10. előadás: Vonalas létesítmény tegelyvonalának ktűzése. (Egyenes, köív, átmenet ív) * 10.1. Vonalas létesítmények

Részletesebben

Bevezetés a diadikus adatelemzésbe elmélet és alkalmazás

Bevezetés a diadikus adatelemzésbe elmélet és alkalmazás Tanulmányok Bevezetés a diadikus adatelemzésbe elmélet és alkalmazás Gelei Andea PhD, a Budapesti Covinus Egyetem egyetemi docense E-mail: andea.gelei@unicovinus.hu Dobos Ime DSc, a Budapesti Covinus Egyetem

Részletesebben

ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE. Írta: Hajdu Endre

ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE. Írta: Hajdu Endre ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE Íta: Hajdu Ende Egy pénzémének vagy egyéb lemezidomnak saját síkjában töténő elmozgathatósága meggátolható oly módon, hogy a lemez peeme mentén, alkalmasan megválasztott

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben