Idı-frekvencia transzformációk waveletek

Átírás

1 Idı-frekvencia transzformációk waveletek Pokol Gergı BME NTI Mőszaki diagnosztika 010. április 13.

2 Vázlat Alapfogalmak az idı-frekvencia síkon Rövid idejő Fourier-transzformáció spektrogram Folytonos wavelet transzformáció skálagram Spektrogram, skálagram alkalmazások Folytonos vagy diszkrét? Ortogonális wavelet transzformáció alapú eljárások Példa: Wavelet koherencia skálainvariáns simítással + módusszámok mágneses szonda jeleken

3 Alapfogalmak: Idı-frekvencia sík Idı-frekvencia atom Energiasőrőség az idı-frekvencia síkon - peremeloszlások Idı-frekvencia atom: Olyan függvény, aminek energiája idıben és frekvenciában is lokalizált u = ξ = σ σ 1 + t ω = = f π f f π f t + f ( t) + ( t u) ) ω f ( ω) + dt ( ω ξ ) dω f ( t) dt ) f ( ω) dω 3

4 Határozatlansági reláció Alsó korlát az idı-frekvencia atom kiterjedésére σ t σ ω Egyenlıség Gábor-atomra: 1 f ( t) = ae iξt e b( t u) 4

5 Heisenberg-doboz Idı-frekvencia atom kiterjedése az idı-frekvencia síkon 5

6 Rövid idejő Fourier-transzformáció 1. STFT: short-time Fourier-transform folytonos ablakozott Fourier-transzformáció Az idı-frekvencia atom: i t g = ξ u, e g( t ξ u) g = 1 6

7 Rövid idejő Fourier-transzformáció. A transzformáció: iξ t Sf ( u, ξ ) =< f, g >= f ( t) g( u t) e dt Invertálható, a jel teljes energiája megmarad. Energiasőrőség-eloszlás az idı-frekvencia síkon (spektrogram): Egyenletes lefedés: u, ξ P S f ( u, ξ ) = Sf ( u, ξ ) + 7

8 Frekvencia (khz) 8 Példa spektrogram alkalmazására Idı (s)

9 Folytonos wavelet transzformáció 1. CWT: continuous wavelet transform Komplex, analitikus Az idı-frekvencia atom: Ψ = 1 t u Ψ s s u, s Ψ = 1 9

10 Folytonos wavelet transzformáció. A transzformáció: Wf + 1 t u ( u, s) =< f, Ψu, s >= f ( t) Ψ dt s s Invertálható, a jel teljes energiája megmarad. Energiasőrőség-eloszlás az idı-frekvencia síkon (skálagram): Lefedés változó alakú atomokkal: P W f ( u, s) = Wf ( u, s) 10

11 Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) ,7 7,8 7,9 Idı (s) 8,0 8,1 8, 11

12 Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) ,7 7,8 7,9 Idı (s) 8,0 8,1 8, 1

13 Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) ,0 0,5 1,0 Idı (s),0,5 3,0 8, 13

14 A két módszer összehasonlítása 14

15 Idı-frekvencia atomok kiválasztása Komplex, analitikus atomok (STFT esetén automatikusan) Az atom típusa függ a jeltıl, de általában a Gábor-atom jó Az atom paramétereit a fizikai modell határozza meg: STFT esetén az ablakhosszt CWT esetén a hullámok számát A jó paraméterezést a fizikai kép határozza meg (lásd: lebegés) 15

16 Lebegés f1=300 Hz f=303 Hz 303 Hz 300 Hz ω ω ω + 1 A cos 1 ( 1t) + Acos( ω t) = Acos t cos t ω R=600 ω 303 Hz 300 Hz 301,5 Hz R=300 R=00 R=60 16

17 Lebegés példa Frekvencia (khz) Idı (s)

18 Vibrafon 18

19 Vibrafon 19

20 Folytonos vagy diszkrét A folytonos transzformáció: Alapvetı tulajdonságok idı-eltolás invariáns frekvencia-eltolás invariáns (vagy skálainvariáns) redundáns ábrázolás a transzformált értékek összefüggnek A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal): nem idı-eltolás invariáns nem frekvencia-eltolás invariáns nem redundáns ábrázolás a transzformált értékek függetlenek 0

21 Folytonos vagy diszkrét Melyiket használjuk? A folytonos transzformáció: tranziens jeleknél fontos az invariancia vizualizálásnál hasznos a sima (összefüggı) kép az atomok szabadon választhatók A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal): sztochasztikus stacioner jeleknél nem fontos az invariancia, további statisztikus feldolgozás esetén hasznos a függetlenség ha a további használat elıtt inverz transzformáljuk (szőrés, tömötítés) speciális ortogonális bázisok (atomok) kellenek (keret elmélet) Kevert tulajdonságú transzformációk pl. csúszóablakos FFT 1

22 Ortogonális wavelet transzformáció FWT (fast wavelet transform), gyors wavelet transzformáció Diszkrét transzformáció ortogonális waveletekre Speciális wavelet-ek: keret elmélet (frame theory) Morlet-wavelet nem jó. Diadikus skálázás, mintavétel:

23 Ortogonális wavelet Példa Egy lépésben ortogonális waveletekte és skálafüggvényekre bontunk (Példa: Haar-wavelet, 1909) 3

24 MRA (Multiresolution analysis), sokskálás analízis 4

25 FWT alapú zajszőrés FWT szőrés Inverz FWT Fontos a diszkrét ortogonális transzformáció függetlenül megváltoztatható komponensek Kemény küszöb: adott érték alatt elhagyjuk Puha küszöb: adott értékkel csökkentjük az összest Küszöb számolható különbözı zajtípusokra A wavelet kiválasztása kritikus Hasonló elven mőködnek a tömörítı eljárások MATLAB: SWT De-noising 1-D, wave 5

26 Egyéb, avagy Mit szokás még wavelet módszerként emlegetni? Mindent, ahol egy skálainvariáns bázis szerepet játszik: Többdimenziós waveletek, képfelgolgozás: pl. JPEG000 formátum Speciális waveletek korlátos jelekre Biortogonális waveletek Bármiféle wavelet transzformáción alapuló adatfeldolgozási eljárást Bázis szerinti kifejtésen alapuló analitikus közelítı megoldásokat Skálainvariáns bázisfüggvényeket használó numerikus módszereket Skálainvarianciát kihasználó tömörítési eljárásokat Mintázatfelismerı eljárásokat... 6

27 Irodalom Stéphane Mallat: A wavelet tour of signal processing (Academic Press) Alfred Mertins: Signal analysis (John Willey & Sons Ltd.)... 7

28 Példa wavelet transzformáción alapuló adatfeldolgozási eljárásra Wavelet koherencia skálainvariáns simítással + módusszámok az ASDEX- Upgrade tokamak mágneses szonda jelein 8

29 Folytonos wavelet koherencia skálainvariáns simítással Hagyományos simítás: állandó magfüggvény hossz + változó idı felbontás változó számú átlagolt független mérés: CS f, g t+ T 1 ( t, ξ ) = CS f, g ( u, ) du = CS f, g ( u) AT ( t) ξ T t T 1, ha - T < t A = < T ( t) 0 különben T Skálázott simítás állandó számú átlagolt független mérés: CS f, g ( t, ξ ) = CS f, g ( u) Bs ( t) B s ( t) = 1, ha -sπn avr. < t < sπn 0 különben avr. 9

30 Az ASDEX-Upgrade tokamak mágneses szonda győrője Sajátmódusokat keresünk: periodikus peremfeltételt kielégítı plazmahullámok módusszámok (periódusok száma) 30

31 Minden szonda jelére skálagram, minden szondapárra keresztskálagram skálázott simítással 31

32 A koherencia fölülrıl konvergál a minimum koherencia jó indikátora a globális módusoknak 3

33 Θ x y ( u, ξ ) = arg f, ( CS ( u, ) ), g ξ Kereszt-fázisok a relatív szondapozíció ϕ x, y függvényében legjobban illeszkedı egyenes keresése: ξ ξ ξ Q m ( Θ ( u, m ) ( u, ) = w ( u, ) ϕ x, y x, y x, y ) x, y 33