1. témakör. A hírközlés célja, általános modellje A jelek osztályozása Periodikus jelek leírása időtartományban

Átírás

1 1. témakör A hírközlés célja, általános modellje A jelek osztályozása Periodikus jelek leírása időtartományban

2 A hírközlés célja, általános modellje Üzenet: Hír: Jel: Zaj: Továbbításra szánt adathalmaz Időfüggvénnyé alakított üzenet A hír elektromos mása Minden egyéb, amely az előzőek mellett nem kívánatos jelenségként fellép Cél: VETT ÜZENET=KÜLDÖTT ÜZENET

3 A jelek osztályozása Jel Determinisztikus (időfüggvénye jellemzi) Stochasztikus (statisztikusan jellemezhető) Periodikus Nem periodikus Stacionárius Nem stacionárius [x(t)=x(t+t)] (bármely realizációjában a statisztikus jellemzők Harmonikus Általános stabilitást mutatnak) Kváziperiodikus Véges energiájú Végtelen energiájú Ergodikus Nem ergodikus (spektrum vonalas (pl. tranziensek) (pl. Dirac imp.) (a statisztikus és időátlagok de nem Fourier sor) megegyeznek)

4 A jelek osztályozása

5 Periodikus jelek leírása időtartományban Sinus és cosinus harmonikus rezgések: cos: kitüntetett (páros függvény), az ábrán zöld jelöléssel sinus: 90 fokkal késik a cos-hoz képest: negatív kezdő fázisszög (- ): a fázis késik pozitív kezdő fázisszög (+ ): a fázis siet frekvencia: körfrekvencia: Általánosan:

6 Forgó vektor vetületével történő megadás Általánosan Alkalmazva:: Két, azonos frekvenciájú, sin és cos harmonikus jel előjeles összegével egy tetszőleges kezdőfázisú és amplitúdójú harmonikus jelet írhatunk le.

7 Komplex forgó vektorral történő megadás Komplex helyvektor: Euler-féle összefüggés (hatványsorok határértékeiből): : Alkalmazva: Komplex amplitúdó bevezetése: Alkalmazva:

8 Komplex vektorok összegével történő megadás Euler-féle összefüggések összegéből és különbségéből: Alkalmazva: Komplex amplitúdók: Alkalmazva: A valós jelünk leírható két, ellentétes irányba, de azonos szögsebességgel forgó, azonos nagyságú komplex vektor összegeként. (komplex konjugált vektor-pár) Negatív frekvencia értelmezése: az ellentétes körüljárási irányba forgó vektor körfrekvenciája!

9 1. témakör (folyt.) Periodikus jelek leírása frekvenciatartományban Periodikus jel átlagteljesítménye

10 Periodikus jelek leírása frekvenciatartományban A tervezési folyamatokban sok esetben nem előnyös az időtartományban végezni a számításokat. Transzformáció: Áttérés frekvenciatartományra Cél. a SPEKTRUM meghatározása! Fontos a sávszélesség ismerete: Periodikus jelek spektrumának meghatározása a harmonikusokra bontás: FOURIER analízis (sorfejtés) Minden periodikus jel felbontható egy konstans tag, valamint véges vagy végtelen számú harmonikusok (koszinuszos ill. szinuszos időfüggésű összetevők) összegére. A periodikus jel T periódusidejének reciproka adja az alapharmonikus frekvenciáját, a további összetevők (felharmonikusok) frekvenciája ezen alapharmonikus frekvenciájának egész számú többszöröse. Feltétel, hogy az f(t) a T tartományon legyen korlátos, integrálható és legalább szakaszonként differenciálható. Az így előállt vonalas spektrum jól mérhető spektrum-analizátorral, vagy szelektív mérővevővel. A mért eredmény az összetevők amplitúdója (áram, feszültség, teljesítmény, térerősség), valamint frekvenciája.

11 Fourier sor 1. alak: Az alapharmonikus frekvenciája a periódusidő reciproka: Az egyen-összetevő nagysága: (a negatív előjelet felfoghatjuk egy 180 fokos fázistolásnak) A cos együtthatója az amplitúdó. A kezdőfázis-szög radiánban értendő! A felharmonikusok frekvenciája az alapharmonikus frekvenciájának egész számú többszöröse. A spektrum összetevők (spektrum vonalak) távolsága a periódusidő reciproka. A periodikus jel spektruma diszkrét, vonalas. Ábrázolási példa:

12 Fourier sor 2. alak: A forgó vektor vetületével történő leírásmódhoz igazodóan: Együtthatók kiszámítási módszere: (egyenkomponens) Ábrázolási példa:

13 Fourier sor 3. alak: A komplex forgó vektorok összegével történő leírásmódhoz igazodóan: Felismerhetjük: (Pozitív frekvenciás tagok együtthatói) (Negatív frekvenciás tagok együtthatói)

14 Fourier sor 3. alak (folytatás): Összerendezve felírhatjuk: Az egyen-összetevő is benne van a kifejezésben (ez egyetlen, nem forgó, a valós tengelyen elhelyezkedő vektort jelöli). A negatív érték ebben az esetben is a kezdőfázis eltolásával adódik. Az együtthatók kiszámítása. A spektrum meghatározása valójában a Ck-k meghatározása.

15 Fourier sor 3. alak (folytatás): Ábrázolási példa: Gyakran alkalmazzák még az abszolút érték és fázis ábrázolását a valós és képzetes rész megjelenítése helyett. A jel véges vagy végtelen számú, ellenkező körüljárási iránnyal forgó komplex vektorok összegeként is leírható.

16 Összefüggés a mennyiségek között A spektrumképek egymásból átszámíthatóak. A spektrum és az időfüggvény a periodikus jelek esetében kölcsönösen és egyértelműen meghatározzák egymást.

17 Négyszögjelek spektruma Az 50% kitöltési tényezőjű bipoláris négyszögjel spektruma (az ideális négyszögjel spektruma végtelen!):

18 Periodikus jel átlagteljesítménye A periodikus jelet időtartományban a négyzetes középértékével is jellemezzük. Ez egy időátlag:: Ez tulajdonképp az effektív érték négyzete. Az átlagolást a periodicitás miatt elég egy periódusra elvégezni (különben az integrálási határok: - + ). Az átlagteljesítmény egy rezisztív elemen (feszültségfüggvényt véve): Az általános vizsgálatoknál gyakran élünk ezzel az egyszerűsítéssel: Így: Kérdés: lehet-e az átlagteljesítményt közvetlenül a spektrumból számítani? Válasz: IGEN!

19 Periodikus jel átlagteljesítménye (folytatás) Behelyettesítjük a Fourier sorát, majd az időtől nem függő tagokat az integrál elé kiemeljük:. Mint már ismeretes: A komplex konjugáltak szorzata egyenlő az abszolút érték négyzetével, ezért: A periodikus jel spektrumösszetevőinek abszolút érték négyzetösszege egyenlő a jel négyzetes középértékével, azaz az átlagteljesítménnyel (1 Ohm-on!). Másképp: a harmonikusok teljesítmény szerint összegződnek!

20 1. témakör (folyt.) Nem periodikus, véges energiájú jel spektruma Jelenergia

21 Nem periodikus, véges energiájú jel spektruma Ha egy impulzussorozat periódusidejét minden határon túl növeljük, akkor egy magában álló impulzust kapunk eredményképpen. A spektrumösszetevők minden határon túl besűrűsödnek, és nagyságuk végtelen kicsivé válik. Ez tovább az ismert leírási móddal nem kezelhető. Ld: 1.gyakorlat példái! Határátmenet képzéssel: Fourier sorból eljutunk a Fourier integrálhoz: Az inverz Fourier és a Fourier transzformáció: A Fourier transzformált létezésének feltétele az alábbi improprius integrál létezése (véges görbe alatti terület):

22 Nem periodikus, véges energiájú jel spektruma A jelalak és a spektrum (Fourier transzformált) kölcsönösen és egyértelműen meghatározzák egymást. A spektrum komplex, ezért felírható külön amplitúdó és fázisfüggvényként: A függvény folytonos. A sávszélesség abból meghatározható. A nem periodikus, véges energiájú jel spektruma folytonos. PÉLDA: Vegyünk egy egyszerű példát egy páros négyszögimpulzus spektrumának meghatározására:

23 Nem periodikus, véges energiájú jel spektruma Számunkra fontos függvény a következő:

24 Periodikus négyszögimpulzus sorozat spektruma A si(x) függvény általánosan: Főbb függvényjellemzők: 0-ban a határértéke 1 (L Hospital szabály alkalmazásával) Zérushelyei -nként

25 Nem periodikus, véges energiájú jel spektruma Az eredmény ábrázolva: A függvények leírása: Zérushelyek:

26 A spektrum értelmezése Értelmezése nem lehetséges pontonként (végtelen amplitúdók adódnának), hanem sűrűségfüggvényként. A spektrum elnevezése: Amplitúdó sűrűség függvény A függvény magadja egy adott frekvenciasávba eső végtelen sok, végtelen kicsiny amplitúdók összegét (végtelen sok végtelen kis jelű generátor összekapcsolásaként fogható fel). Ez a görbe alatti terület: A függvény a negatív frekvenciákon is értelmezett, páros függvény. A területek a pozitív és a negatív tartományokban összegződnek! Azt is mondhatjuk, hogy amennyiben egy 1Hz-es sávban a függvényértéket konstansnak tekintjük, akkor a függvényérték megadja az egységnyi sávszélességre eső összetevők összamplitúdóját.

27 A spektrum értelmezése A dimenzió meghatározásához az alábbiakat kell meggondolni: Feszültségfüggvény spektrumának meghatározása esetén feszültség dimenziójú: Közelítve: Ebből: Ez a spektrum számításra, tervezésre alkalmas, de mérni nehéz.

28 Jelenergia Jellemző a jelenergia. A jelteljesítmény nincs értelmezve, hiszen a hosszú időre vett négyzetes középérték tart a 0-hoz. A jelenergia viszont véges! Az energia az időfüggvény alapján: A jelenergia számítható a spektrumból is? IGEN! Parseval tétel A tétel szóban: A nem periodikus jel által képviselt energia arányos az amplitúdó-sűrűség spektrum négyzete alatti görbeterülettel. Az arányossági tényező:

29 Energiasűrűség függvény Az amplitúdó-sűrűség függvény analógiájára definiálható az energiasűrűség függvény: Megadja az egységnyi sávszélességre jutó jelenergiát: Általánosan, információt kaphatunk a jelenergia spektrális eloszlásáról, így a sávszélességről:

30 Ajánlott irodalom Czebe: Fourier integrál, Fourier sor Kerpán: A hírközlés elméleti- módszertani alapjai Ferenczi: Hírközléselmélet Székely: Gyors Fourier transzformációs módszerek Híradástechnika II. laboratórium 1. mérési útmutató