A soros RC-kör. t, szög [rad]

Átírás

1 A soros C-kör Az átmeneti jelenségek vizsgálatakor soros C-körben egyértelművé vált, hogy a kondenzátoron a késik az áramhoz képest. Váltakozóáramú körökben ez a késés, pontosan 90 fok. Ezt figyelhetjük meg az. ábrán. A valós terhelésen a és az azonos fázisú. Lényegében viszonyítás kérdése, de lássuk meg, hogy a valós terhelésen (ellenálláson) eső hez képest a kondenzátoron 90 o -ot késik a. π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π. ábra Feszültség és áramviszonyok az ellenálláson, illetve a kondenzátoron. ábra a soros C-kör kapcsolási rajza Tekintettel arra, hogy soros körről van szó, megállapítható, hogy közös az áram. Noha a soros egyenáramú köröknél megtanultuk, hogy Kirchhoff. törvénye (huroktörvény) szerint a részek összege egyenlő a forrás ével, itt ez nem járható számítási mód, a valós ellenálláson és a reaktancián eső ek által bezárt szög miatt. Tehát a Pitagorasz-tétel alkalmazása válik szükségessé. A 3. ábrán követhetjük nyomon a soros C-kör viszonyait. A kapacitás és a valós ellenállás ének vektoriális összege adja a soros C-kört tápláló forrás ét (komplex ). Mint említettük, a Pitagorasz-tétel alkalmazása eme helyen kap aktualitást. Egy egyszerű eltolással a ( ) a 3. b) ábra szerinti háromszöget kapva a művelet egyértelműen elvégezhető: = +. a) b) 3. ábra AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor /

2 A -fázorábra elkészítése Soros kapcsolásról beszélünk, vagyis közös az áram. ajzoljuk fel vízszintesen a kör egyetlen közös mennyiségének az áramnak a fázorát (). Jelöljük a fázor forgásirányát! Az ellenálláson a mindig azonos fázisú, ennek megfelelően rajzoljuk fel a fázort ( )! A kondenzátoron a ( ) pontosan 90 o -ot késik az áramhoz képest. Ennek megfelelően vegyük fel a fázorát! Vektoriálisan összegezzük a kondenzátor és az ellenállás -fázorát, mely által megkapjuk a soros C-kört tápláló generátor -fázorát ( )! A () szög a kör áramának és a forrás ének fázora között értelmezett. Jelöljük be a () - szöget! 4. ábra A 4. ábra szerinti elrendezésben a következőkre lehetünk figyelmesek: A forrás e a két -komponens vektoriális összege; A () szög a forrás e és a hálózat által igényelt fázora között értelmezett; Az ellenálláson eső és a rajta átfolyó mindig azonos fázisú, így a fázoraik azonos irányúak. Mindebből az következik, hogy a () szög a forrás, valamint az ellenállás ének fázora között is értelmezhető; Ha az impedancia kapacitív jellegű, akkor a forrás éhez képest az áram siet! A. b) ábra szerinti eltolással kapott ábrában egy háromszöget kaptunk. A háromszög két befogója az és az komponens, az átfogó pedig az forrás. Trigonometriai ismereteinket felelevenítve (4. ábra) belátható, hogy az fázor az fázor koszinuszos vetülete: = cos, az fázor pedig a szinuszos vetülete: = sin. = cos = sin 5. ábra AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor /

3 Az impedancia-fázorábra elkészítése Ohm törvénye alapján tudjuk, hogy az ellenállás úgy számítható ki, hogy a kétpóluson eső et elosztjuk a rajta átfolyó gel. Ez igaz valós ellenállás esetén. Hasonlóan számítható a kapacitás látszólagos ellenállása is, vagyis a reaktanciája. smételjünk néhány vonatkozó fogalmat! ellenállás: az impedancia valós része: = ; a kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása: kapacitív reaktancia, kapacitancia, az impedancia kapacitív képzetes része: = C = ; impedancia: komplex ellenállás, amely valós ellenállásból és látszólagos ellenállásból tevődik össze. Mivel az impedancia képzetes és valós része nem azonos fázisú ( 90 o -os szöget zárnak be), ezért az impedancia kiszámítása a Pitagorasz-tétel segítségével lehetséges: Z = + = Tanulmányaink folyamán láttuk, hogy mind a kapacitív, reaktancia frekvenciafüggő. Kapacitív reaktancia: = C = π f C, valamint frekvenciafüggése: f. hanő,akkor az C,vagyis csökken Amennyiben tehát egy adott soros C-kapcsolás esetén változtatjuk a frekvenciát (f, ), úgy a kapacitív reaktancia értéke is változik, akkor is, ha a forrás ét ( ) nem változtattuk. Ha a kapacitív reaktancia ( ) értéke változik, s vele együtt az impedancia (Z ) értéke, az impedancia és a valós ellenállás által bezárt szög (), valamint a köráram () is változik. Ha csökkentjük a frekvenciát, akkor a kapacitív reaktancia megnő, vele együtt a () szög és az impedancia is, az áram viszont csökken. Ha növeljük a frekvenciát, megfordul a helyzet: a kapacitív reaktancia értéke csökken, vele együtt a () szög és az impedancia is, miközben a köráram megnő. Amennyiben a fázorábra valamennyi komponensét elosztjuk a soros C-kör egyetlen közös mennyiségével (vagyis az árammal), akkor az impedancia komponenseket kapjuk eredményül. Lássuk meg, hogy az eredményül kapott impedancia-fázorábra a -fázorábrával arányos. Az impedancia koszinuszos vetülete az ellenállás, a szinuszos vetülete pedig a kapacitív reaktancia. = ; = ; Z =. = + => / => Z = + = Z cos és = Z sin A fázorábra komponenseit osszuk el az egyetlen közös mennyiséggel, vagyis az árammal / = =Z sin = =Z cos Z= 6. ábra Az impedancia-fázorábra származtatása AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 3/

4 A teljesítmény-fázorábra elkészítése Egyenáramú körök esetén megtanultuk, hogy egy valós terhelésen (ellenállás) hővé alakuló teljesítmény az ellenállás kapcsain mérhető, valamint a rajta átfolyó szorzataként számítható. Hővé alakuló teljesítmény (valós) jön létre az ellenálláson váltakozó áramú körben is, ám ilyenkor a pillanatnyi teljesítményt, csúcsteljesítményt, valamint effektív teljesítményt értelmezünk. Valós teljesítmény csak valós (ohmos, rezisztív) ellenálláson tud létrejönni, amely kétpóluson eső és a rajta átfolyó azonos fázisú. Egyenáramú teljesítmény: Váltakozó áramú teljesítmény: P= Pillanatnyi teljesítmény: p=u i Csúcsteljesítmény: ^P= ^U ^ Effektív teljesítmény: P eff = ^P = ^U ^ = ^U ^ =U eff eff A kapacitív reaktancia áramához képest a e pontosan 90 o -ot késik. A 7. ábrán látható, hogy ebben az esetben negyed periódusig azonos, negyed periódusig pedig ellentétes előjelű a és az. Ennek megfelelően negyed periódusig teljesítményt vesz fel a hálózatból, mely teljesítményt a következő negyed periódusban leadja. Lényegében teljes periódusra vonatkoztatva elmondható, hogy a kapacitív reaktancia teljesítménye nulla, tehát nincs hatásos teljesítmény ( P=0). negyed periódus: P () =U =(+) (+)=(+) => felvesz. negyed periódus: P () =U =(+) (-)=(-) => lead 3. negyed periódus: P (3) =U =(+) (+)=(+) => felvesz 4. negyed periódus: P (4) =U =(+) (-)=(-) => lead ahol: P () = P () és P (3) = P (4) ; P () =P (3) és P () =P (4 ). Mindebből következik, hogy: P=P +P +P 3 +P 4 =0 Látszólag: P=U Valójában: P=0 T T felvesz lead felvesz lead felvesz felvesz -π/4 π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π -π/4 π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π 7. ábra A kapacitív reaktancia teljesítménye 8. ábra Az ellenállás teljesítménye Lássuk meg: a kondenzátoron (mint reaktancián) eső és a rajta átfolyó áram szorzata tehát nem ad valós teljesítményt (7. ábra)! Ez a teljesítmény az úgynevezett meddő teljesítmény: Q= [VAr]. Emellett jól megfigyelhető a 8. ábrán, hogy az ellenálláson bármely félperiódus esetén a teljesítményszorzat pozitív értékű, tehát a rezisztív (ohmos) terheléseken mindig valós, más néven hatásos (hővé, fénnyé, mozgási energiává alakuló) a teljesítmény:. félperiódus: P () =U =(+) (+)=(+) => felvesz;. félperiódus: P () =U =(-) (-)=(+) => felvesz. AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 4/

5 Amennyiben a -fázorábra valamennyi komponensét megszorozzuk a soros C-kör egyetlen közös mennyiségével (vagyis az árammal), akkor a kör teljesítménykomponenseit kapjuk eredményül. Megfigyelhető, hogy az eredményül kapott teljesítmény-fázorábra a -fázorábrával arányos. A kapacitív reaktancia meddő teljesítményének, valamint az ellenállás valós teljesítményének vektoriális összege a hálózatból felvett komplex teljesítmény, vagyis a látszólagos teljesítmény. Mindezek tükrében az is belátható, hogy a komplex teljesítmény (látszólagos teljesítmény, S ) koszinuszos vetülete az ellenálláson létrejövő valós, vagyis a hatásos teljesítmény ( P), a szinuszos pedig a kapacitív reaktancia meddő teljesítménye. P= [ W] ; = [VAr ] ; S= [VA ]. = + => / => Z = + P= S cos és = S sin Összegezzünk minden eddig megismert adatot! P Z S / a) Feszültség-fázorábra b) mpedancia-fázorábra c) Teljesítmény-fázorábra Forrás (komplex fesz.): = + Az ellenálláson eső : = cos Fázistényező: cos= A valós (valamint áram) és a forrás által bezárt szög: =arccos A kondenzátoron eső : = sin 9. ábra A soros C-kör fázorábrái mpedancia (komplex ellenállás): Z = + x Az ellenállás: = Z cos Fázistényező: cos= Z A valós ellenállás és az impedancia által bezárt szög: =arccos Z A kapacitív reaktancia (kapacitív látszólagos ellenállás, kapacitancia): = Z sin A látszólagos teljesítmény (komplex teljesítmény): S = P + A valós teljesítmény: P= S cos Fázistényező: cos= P S A valós teljesítmény és a látszólagos teljesítmény által bezárt szög: =arccos P S A meddő teljesítmény: = S sin. táblázat AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 5/

6 Nézzünk egy számpéldát! Állítsunk össze egy soros C-kört, a következő értékek és adatok mellett! =k Ω ; C=μ F ; =00V ; f =50 s =50 Hz ; f =00 =00 Hz s 0. ábra Készítsük el a -, az impedancia-, valamint a teljesítmény fázorábrát két különböző frekvenciájú forrás esetén! Eme feladat kidolgozása során képet kaphatunk arról, hogy állandó mellett, ámde különböző frekvenciákon hogyan változnak a ek, az ellenállások, a teljesítmények, s vele együtt a fázisszög. Mindemellett legyünk figyelemmel arra a tényre, hogy számításaink alkalmával a kapott szög csak az abszolút értéke a tényleges eredménynek. Ha a komplex mennyiségek helyzetét vizsgáljuk a valós mennyiségekhez képest, akkor a forgásirányt figyelembe véve látható, hogy a komplex mennyiség a valós mennyiséghez képest késik, így a szögérték negatív (lásd 9. ábra, -Z,, P-S viszonya)! A kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása, 50 Hz esetén: 50 = C = π f C = π 50 = s μ F π 50 = 06 V As 00π A =04 π V A =383,0Ω 0 6 s V Az impedancia, 50 Hz esetén: Z 50 = + 50 = 000Ω +383,0Ω =3336,4 Ω Az, 50 Hz esetén: 50 = Z 50 = 00V 3336,4 Ω =30mA A kondenzátoron eső, 50 Hz esetén: 50 = =3336,4 Ω 30mA=433,70V =95,5V Az ellenálláson eső 50 Hz esetén: 50 = 50 =000Ω 30mA=30 V A forrás ellenőrzése, 50 Hz esetén: = + 50 = (95,5V ) +(30V ) =00V A kondenzátor meddő teljesítménye, 50 Hz esetén: 50 = =95,5V 30 ma=,865 VAr Az ellenállás hatásos teljesítménye, 50 Hz esetén: P 50 =50 50 =30 V 30 ma=0,9 W A látszólagos teljesítmény, 50 Hz esetén: S 50 = P = 0,9W +,865var =3VA S 50 = 50 =00V 30 ma=3 VA A cos (a -fázorábrából), 50 Hz esetén: cos 50 = = 30 V 00V = Z 50 = 000Ω 3336,4 Ω = P 50 S 50 =0,9W 3VA =0,3 A fázisszög (a -fázorábrából), 50 Hz esetén, : 50 =arccos(0,3)=7,54 o AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 6/

7 A kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása, 00 Hz esetén: 00 = C = π f C = π 00 = s μ F π 00 As 0 6 s V = π V A = 5000 π V A Ω=59,55Ω Az impedancia, 00 Hz esetén: Z 00 = + = 000 Ω +59,55Ω =879,64Ω Az, 00 Hz esetén: 00 = Z = 00V 879,64Ω =53,mA A kondenzátoron eső, 00 Hz esetén: 00 = =59,55Ω 53,mA=433,70V =84,67 V Az ellenálláson eső, 00 Hz esetén: = 00 =000Ω 53, ma=53,v A forrás ellenőrzése, 00 Hz esetén: = = (84,67V ) +(53,V ) =00V A kondenzátor meddő teljesítménye, 00 Hz esetén: 00 = =84,67 V 53, ma=4,49var Az ellenállás hatásos teljesítménye, 00 Hz esetén: P 00 = =53,V 53,mA=,83W A látszólagos teljesítmény, 00 Hz esetén: S 00 = P =,83W + 4,49 var =5,3VA S 00 = 00 =00V 53, ma=5,3va A cos, 00 Hz esetén: cos 00 = 00 = 53,V 00V = Z 00 = 000Ω 879,64 Ω = P 00 S 00 =,83 W 5,3VA =0,53 A fázisszög (a -fázorábrából), 00 Hz esetén, : =arccos(0,3)=7,54 o 50 Hz esetén 00 Hz esetén Az ellenállás, 000 Ω 000 Ω A reaktancia, 383,0Ω 59,55Ω Az impedancia, Z 3336,04 Ω 879,64 Ω Az ellenállás e, 30V 53,V A kondenzátor e, 95,5V 84,67V A forrás e, 00V 00V Az, 30 ma 53, ma A hatásos teljesítmény, P 0,9W,83W A meddő teljesítmény,,865var 4,49VAr A látszólagos teljesítmény, S 3 VA 5,3VA A fázistényező, cos 0,3 0,53 A fázisszög, (-)7,54 o (-)57,86 o. táblázat A negatív előjel a késést jelöli AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 7/

8 P Z S / x. ábra A fázorábrák 50 Hz-es frekvenciájú forrás esetén (-, impedancia- és teljesítmény-) P Z S / x. ábra A fázorábrák 00 Hz-es frekvenciájú forrás esetén (-, impedancia- és teljesítmény-) A fázorábrákból megállapítható, hogy növekvő frekvencia esetén a kondenzátor reaktanciája csökken, a hatásos teljesítményhez képest arányaiban csökken a meddő teljesítmény, valamint a szög is. A cos értéke nő, így az impedancia kevésbé kapacitív jellegű. f => => P és és => a soros C-kör impedanciája kevésbé kapacitív AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 8/

9 u i - S P 3. ábra A feladatban szereplő soros C-kör áram- és viszonya, 50 Hz esetén ( U=00V, =30 ma, =7,54 o ) u i S P 4. ábra A feladatban szereplő soros C-kör áram- és viszonya, 00 Hz esetén ( U=00V, =53,mA, =57,86 o ) A. és. ábra tanúsága szerint, amennyiben nő a frekvencia, a csökkenő kapacitív reaktancia miatt a hatásos teljesítmény és a meddő teljesítmény aránya javul, a szög csökken, a cos értéke nő. Ennek eredménye az, hogy a soros C-kör, mint impedancia egyre kevésbé mutat kapacitív jelleget. A teljes periódusra vonatkoztatott hatásos (felvett) teljesítmény egyre nagyobb. 3. táblázat Tisztán kapacitív terhelés Kapacitív jellegű terhelés ( >0 ; >0) Tisztán ohmos terhelés ( =0 ;>0) Fázistényező, cos : 0 [0 ; ] Fázisszög, : -90 [ 90 ; 0] 0 Teljesítmény: S= P + ; P=0 S= P + ; =0 S= P +Q S= C S=P AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 9/

10 Z [ohm] Z (=kohm, C=uF) A soros C-kör impedanciáját a frekvencia-fázisszög, valamint frekvencia-impedancia karakterisztikájával is jellemezhetjük, melyekkel a fázisszög és az impedancia frekvenciafüggéséről kaphatunk képet. Ez fontos lehet az ilyen jellegű impedanciákból kialakított négypólusok viselkedésének vizsgálatakor is. 000 határfrekvencia alatt kapacitív dominancia határfrekvencia felett ohmos dominancia f [Hz] Létezik egy nevezetes frekvencia, melyet határfrekvenciának nevezünk (f h ). A határfrekvencián az induktív reaktancia nagysága megegyezik az ellenállás értékével: fázistolás [rad] f [Hz] (f h ) => =. =45 o Z= = -π/4 6. ábra Fázorábra a határfrekvencián -π/ A reaktanciák egyezése esetén természetesen a komponensek einek, valamint a teljesítményeinek nagysága is megegyező: 5. ábra A soros C-kör fázisszögének és impedanciájának frekvenciafüggése f h => = ; =P. f h => = C = π f h C = f h = π C A fázisszög kiszámítására két mód van:. cos = Z = +X = = C C ). sin= Z = +X = C + ( + ( C ) = + ( π f C ) + ( π f C ) => =arccos ( Z ) > =arcsin ( Z ) AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor 0/

11 Tekintsük át, hogy a f - Z és a f - karakterisztikák (5. ábra) függvényeit miként tudjuk megalkotni. Frekvencia-impedancia karakterisztika Az impedancia frekvenciafüggősége: Z= + ebből Z= + ( C ) = Példánkban =k Ω és C=μ F, így Z= (000Ω) + ( π f μ F ) Az állandókat írjuk be mértékegység nélkül: Z= 06 + ( π f 0 6 ) = 06 +( 06 + ( π f C ) π f ) = π f A független változó a frekvencia, a függvényérték pedig az impedancia, így az ábrázolandó függvény: 4 π x ) y= π x átírva hatványalakba: y= ( A Graph függvényrajzoló program segítségével a Graph megadás: y=(0^6+((0^)/(4*pi^*x^)))^(/) Frekvencia-fázisszög karakterisztika (ne feledjük, hogy késés van, így a szög negatív) A fázisszög frekvenciafüggősége: cos = Z = + = Példánkban =k Ω és C=μ F, így =arccos ( Z ) tehát =arccos + ( π f C ) Az állandókat írjuk be mértékegység nélkül: =arccos =arccos 06 +( 06 + ( C ) = 000Ω + ( π f C ) (000Ω) + ( π f μ F ) 0 3 =arccos π f ) π f A független változó a frekvencia, a függvényérték pedig a fázisszög. Figyelembe véve, hogy a fázisszög negatív értékű, az ábrázolandó függvény ekképpen alakul: = arccos π x átírva hatványalakba: 0 3 =-arccos ( π x ) A kapott függvényből a Graph alak: y=-acos(0^3/((0^6+(0^)/(4*pi^*x^))^(/))) Graph függvényrajzoló program: AZ ELEKTOTECHNKA ALKALMAZÁSA Készítette: Mike Gábor /