Budapesti Műszaki- és Gazdaságtudományi Egyetem. Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar. Fizika dolgozat. Kovács Emese. 4-es tankör április 30.

Átírás

1 Budapesti Műszaki- és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és ársadalomtudományi Kar Fizika dolgozat 4. Váltakozó áramú áramkörök munkája és teljesítménye Kovács Emese Műszaki szakoktató hallgató 4-es tankör 4. április 3.

2 artalomjegyzék. Munka és teljesítmény.. Munka eljesítmény Váltakozó áram és feszültség, pillanatnyi teljesítmény.. eljesítmény tisztán induktív vagy tisztán kapacitív ellenállás esetén Az impedancia, pillanatnyi teljesítmény általános esetben Gyakorlati szempont: középértékek, átlagos teljesítmény 7 4. Látszólagos és meddő teljesítmény 9 5. Hatásos és meddő ellenállás 6. Amikor az itt tanultak megjelennek a gyakorlatban i

3 . Munka és teljesítmény.. Munka A munka és a teljesítmény fogalmát ismerhetjük mechanikából. Ha a mechanika oldaláról közelítjük meg, a munka az elmozdulást okozó erő elmozdulással megegyező irányú komponense és a megtett út szorzata. W = F cosα l () A munka fogalmával találkozhatunk elektrosztatikában és elektrokinetikában is. Ekkor az E homogén elektromos tér által a q töltésű részecskére kifejetett erő munkája W = q E h () ahol q a részecske töltése Coulombban, E az elektrosztatikus tér intenzitása (N C ) és h az E irányában megtett út. A munkát kifejezhetjük a potenciálkülönbség segítségével is: W = q V A q V B = q(v A V B ) = q U AB (3) A töltést kifejezhetjük a definíciója alapján az áramerősség és az idő függvényében is: q = I t (4) Ebből az következik, hogy W = I t (V A V B ) = I t U AB (5).. eljesítmény Mechanikából ismerős teljesítmény az adott idő alatt végzett munka. P = W t (6) A elektromosság terén sincs ez másképp, egy kétpólusú fogyasztó számára elérhető (általa kapott) teljesítményt a következőképpen írhatjuk fel: P = W t = I t U AB t = I U AB (7). Váltakozó áram és feszültség, pillanatnyi teljesítmény A villamos áram töltéshordozó részecskék (pl. szabad elektronok a fémekben) rendezett mozgása. Ha ez a rendezett mozgás egyirányú, akkor egyenáramról beszélünk. Ha a vezetőn áthaladó

4 töltések száma időben állandó, akkor időben állandó egyenáramról van szó. Ha a részecskék mozgása egyirányú, de a vezetőn áthaladó részecskék mennyisége időben nem állandó, akkor változó egyenárammal állunk szemben. Váltakozó áramról akkor beszélhetünk, ha a töltéseket hordozó részecskék vándorlási sebessége szabályos időközönként változik, ismétlődő mintát mutat és eközben az áramlá iránya is megváltozik. A váltakozó áram tulajdonságai a periódusideje (), az áramerősségének csúcsértéke I MAX és a kezdeti fázisszöge (φ )). A gyakorlatban gyakran találkozunk sinuszos váltakozó árammal. A szinuszos váltakozó áram időfüggvénye: i(t) = I MAX sin(ωt + φ ) (8) Vizsgáljuk a feszültség alakulását tisztán ohmos ellenállás esetén. Az Ohm törvény érvényes a pillanatnyi értékekre, így: R =R i(t) (9) =R I MAX sin(ωt + φ ) () R I MAX a tisztán ohmos ellenálláson eső feszültség. = U max sin(ωt + φ ) () isztán ohmos ellenállás A szinusz függvény argumentumából látszik, hogy tisztán ohmos ellenállás esetén nincs fáziseltérés az áram és a feszültség között t = időpillanatban mindkét szinusz függvény értéke. A pillanatnyi teljesítmény a pillanatnyi feszültség és a pillanatnyi áramerősség szorzatából számítható. p(t) = i(t) () A. ábra ábra szemlélteti, hogy azonos fázisszög esetén a teljesítmény nulla és U max I MAX között szinuszosan változik, hiszen az és i(t) függvények mindig egyszerre váltanak előjelet... eljesítmény tisztán induktív vagy tisztán kapacitív ellenállás esetén Kvalitatív vizsgálatok megmutatják [5, 53. o.], hogy míg adott tisztán ohmos (R) ellenállás esetén váltakozó és egyenfeszültség (U eff = U e ) esetén ugyanolyan hatást észlelünk, ugyanakkora áram folyik az áramkörben. Ha az ohmos ellenállást lecseréljuk önindukciós tekercsre, azt figyelhetjük meg, hogy azonos effektív értékű váltakozó áram esetén kisebb áram folyik az áramkörben. Megfigyelhető, hogy az önindukciós tekercs által kifejtett ellenállás a tekercs induktivitásával és az áram frekvenciájával arányosan nő. Ha a tekercs helyett kondenzátort iktatunk az áramkörbe, azt figyelhetjük meg, hogy váltakozó áram esetén a kondenzátor kisebb ellenállást fejt ki, az áramkörben nagyobb áram folyik. A kondenzátor ellenállása annál kisebb, minél nagyobb a kapacitás és a frekvencia.

5 .5 i(t) p(t) ábra. eljesítmény tisztán ohmos ellenállás esetén Ideális feszültségforrás és tekercs esetén: L = U max sin ωt (3) és = L di dt (lásd Farady féle indukciós törvény [5, 474. o.]) (4) isztán induktív ellenállás Ebből i(t)-t kifejezve: i(t) = L dt (5) Helyettesítsük be az időfüggvényt: i(t) = L U max sin ωt dt (6) Emeljük ki a konstans U max -ot: i(t) = U max L sin ωt dt (7) Helyettesítsük az integrált a sin ωt primitív függvényével ( ω cos ωt + C) [6, 3-4] Mivel a cos(t) = sin(t π ) i(t) = U max L cos ωt (8) ω i(t) = U max ωl sin ω(t π ) (9) Ebből az egyenletből két dolog következik: 3

6 (i) I max = U max ωl azaz U max = ωli max () Az Ohm törvény analógiájára bevezetjük az X L mennyiséget, az induktív ellenállást vagy induktanciát: X L = ωl () (ii) Ha összehasonlítjuk az i(t) és függvényeket, észrevehetjük, hogy a szinusz függvény argumentumában eltérés tapasztalható. Az i(t) függvény nincs fázisban az feszültséggel, i(t) π -vel később éri el a csúcsértékét. Ha ebben az esetben vizsgáljuk a teljesítményt, észrevehetjük, hogy a fáziskülönbség miatt p(t) nem mindig pozitív. Ha és i(t) előjele különbözik, szorzatuk negatív lesz..5 i(t) p(t) ábra. eljesítmény induktiv reaktancia esetén Hasonló módszerrel ideális feszültségforrást (feszültsége ) és ideális kapacitív fogyasztót (kapacitása C) vizsgálva levezethetjük, hogy ha: C akkor: Innen: = U max sin ωt () i(t) = U max Cω sin(ωt + π ) (3) isztán kapacitív ellenállás (i) I max = CωU max azaz U max = Cω I max (4) Bevezethetjük az X C mennyiséget, a kapacitív ellenállás vagy kapacitanciát: X C = Cω 4 (5)

7 (ii) Ebben az esetben is megállapíthatjuk az és i(t) függvényekből, hogy a feszültség és az áram nincs fázisban. isztán kapacitív ellenállás esetén az áram siet, i(t) π -vel előbb éri el I max-ot mint U max -ot..5 i(t) p(t) ábra. eljesítmény kapacitív reaktancia esetén Mivel kapacitív ellenállás esetén is van fáziseltérés a feszültség és az áram között, itt is lesz olyan időpillanat, amikor és i(t) előjelei eltér. Ekkor p(t) negatív. Amikor p(t) >, a generátor teljesítményt ad át a fogyasztónak, a fogyasztóban ez a teljesítmény egy része hővé és/vagy hasznos munkává alakul, más része felhalmozódik a fogyasztóban elektromos vagy mágneses terében, így potenciális emergiát képez. Amikor p(t) <, a fogyasztó ezt a felhalmozott energiát szolgáltatja vissza... Az impedancia, pillanatnyi teljesítmény általános esetben Fontos megjegyezni, hogy a valóságban a fogyasztók ellenállása nem tisztán ohmos, kapacitív vagy induktív (pl. a tekercsnek van Xc az induktancián kívül ohmos ellenállása is, vagy nem csak egy XL Z komponens viselkedését vizsgáljuk, hanem olyan áramkörökét, XL amelyekben találhatók ellenállások, tekercsek és kondenzáorok a is). Ilyenkor a számításokhoz a fent bemutatott ellenállások Xc R eredőjét használjuk, az impedanciát. Az impedancia vektormennyiség, számításához a jobb oldalon található vekorábrát használjuk. Az impedancia (Z) határozza meg, hogy az feszültség és az i(t) áram között mekkora a fáziseltérés (az ábrán a-val jelölve, R és Z vektorok által bezárt szög). A vektorok nagyságát a fent meghatározott képletek adják: 5

8 X L = ωl X C = Cω (6) A pillanatnyi teljesítmény általános esetben, tetszőleges fázisszögnél ( π < φ < π ): =U max sin ωt (7) i(t) =I max sin(ωt φ) (8) p(t) = i(t) = U max sin ωt I max sin(ωt φ) (9) p(t) =U max I max sin ωt sin(ωt φ) (3) A további átalakításhoz a sin α sin β = cos(α β) cos(α + β) összefüggést használjuk fel. p(t) = U max I max [ sin ωt sin(ωt φ)] (3) p(t) = U max I max [cos(ωt ωt φ) cos(ωt + ωt φ)] (3) p(t) = U max I max [cos( φ) cos(ωt φ)] (33) p(t) = U maxi max cos φ U maxi max cos(ωt φ) (34) (35).5 i(t) p(t) ábra. eljesítmény általános esetben (φ = π 4 ) Látható, hogy a pillanatnyi teljesítény két tagból áll, az egyik csak φ-től függ, a másik pedig a frekvenciától is (ω = πf). Az áram adott idő alatt (pl. egy periodus) végzett munkáját a p(t) 6

9 görbe alatti (amikor p(t) negatív, akkor a görbe feletti) terület adja meg. W = p(t) dt (36) 3. Gyakorlati szempont: középértékek, átlagos teljesítmény A gyakorlatban nem a feszültség, áramerősség vagy teljesítmény pillanatnyi értékére vagyunk kíváncsiak, ennek mérése voltmérővel pl. elég körülményes lenne gondoljunk bele, a villamoshálózatban jelenlévő jel másodpercenként -szor vált előjelet. Szükségünk van tehát egy olyan értékre, amely jól jellemzi a váltakozó mennyiséget. Ilyen értékek a különböző középértékek: a váltakozó áram egyszerű középértéke, a váltakozó áram effektív középértéke és a váltakozó áram abszolutértékének egyszerű középértéke. Ezek közül leggyakrabban az effektív középértéket használjuk. Ha az i(t) a váltakozó áram egy periódus alatt W munkát végez az R ellenálláson, akkor I eff annak az egyenáramnak a mértéke, amely ugyanannyi idő alatt () ugyanannyi munkát végez (W Ieff = UI = RI ). ehát: W = i R dt = Ieff R (37) Ebből: R i dt =Ieff R (38) i dt =I eff (39) Ieff = i dt (4) i dt (4) Ha i(t) = I max sin ωt, akkor I eff : Imax I max sin ωt dt (4) sin ωt dt (43) A cosx = cos x sin x azonosság felhasználásával: sin ωt = (cos ωt cos ωt) (44) 7

10 A cos x + sin x = azonosság felhasználásával: sin ωt =(( sin ωt) cos ωt) (45) sin ωt + sin ωt = cos ωt (46) sin ωt = cos ωt (47) sin ωt = ( cos ωt) (48) ehát: I max I max I max I max I max Imax I max ( cos ωt) dt (49) ( ( ( cos ωt) dt (5) ) dt cos ωt dt ) [t] [ ω sin ωt ] ( [ [ ] ω sin ω ω ]) ( [ sin ω ω ]) sin ω (5) (5) (53) (54) ( ) (55) I max (56) I max (57) Ugyanígy megállapíthatjuk, hogy: U eff = U max (58) Az effektív értékek ismeretében meghatározhatjuk az átlagos teljesítményt is: 8

11 P = P = ω =π p(t) dt (59) U maxi max cos φ U maxi max cos(ωt φ) dt (6) cos φ cos(ωt φ) dt (6) ( ) cos φ dt cos(ωt φ) dt (6) (cos φ( ) sin(ω φ) + sin(ω φ)) (63) ( cos φ sin(ω φ) + sin( φ)) (64) ( cos φ sin(4π φ) + sin( φ) ) (65) (66) ( cos φ sin(4π φ) + sin( φ)) (67) ( cos φ) (68) P = U maxi max (cos φ) = U max I max (cos φ) (69) P =U eff I eff (cos φ) (7) Adott I eff és U eff mellett akkor a legnagyobb az átlagos vagy hatásos teljesítmény, ha cosφ = azaz φ =, vagyis az áram és a feszültség fázisban van. Ha az áram és a feszültség között π a fázis eltérés, P értéke nulla (hiszen cos π = ). φ = π eléréséhez a feljebb vizsgált tökéletes kondenzátor vagy tökéletes önindukciós tekercs kellene. A valóságban nem lehet teljesítmény nélküli áramot előállítani. A P hatásos teljesítmény mértékegysége a Watt. A szinuszos váltakozó áram hatásos munkáját felírhatjuk a hatásos teljesítmény és a munkavégzés ideje szorzataként: W = P t = I eff U eff t cos φ (7) A hatásos teljesítményt meg kell különböztetni a hasznos teljesítménytől. A hatásos teljesítménynek csak egy része hasznos a feladatvégzés szempontjából, a többi veszteség (pl. hő). 4. Látszólagos és meddő teljesítmény A látszólagos teljesítmény definíciója (cos φ = ): P l = U eff I eff (7) 9

12 Mértékegysége: Volt Amper (VA) A látszólagos és a hatásos teljesítmény viszonya: P = U eff I eff cos φ = cos φ (73) P l U eff I eff cos φ -t ekkor teljesítménytényezőnek nevezzük, azt fejezi ki, hogy az effektív feszültséget és az effektív áramot mennyire használjuk fel teljesítmény termelésére. Mint már korábban láttuk, a pillanatnyi teljesítmény egy állandó és egy lengő részből tevődik össze: p(t) =U eff I eff cos φ U eff I eff cos(ωt φ) (74) p(t) =U eff I eff cos φ U eff I eff [cos ωt cos φ + sin ωt sin φ] (75) p(t) =U eff I eff cos φ U eff I eff cos φ cos ωt U eff I eff sin φ sin ωt (76) Ebből: p(t) = U eff I eff cos φ( cos ωt) U eff I eff sin φ sin ωt (77) A p(t) kifejezés első tagja a lengő teljesítmény, akkor is fellép, ha cos φ = (φ = ), azaz az áram és a feszültség fázisban van. A második tag a meddő teljesítmény, sin φ = (φ = ) esetén értéke nulla, azaz nincs meddő teljesítmény, amikor az áram és a feszültség fázisban van. P m =U eff I eff sin φ (78) p(t) =P ( cos ωt) P m sin ωt (79) A meddő teljesítmény mértékegysége: VAR (volt-amper reaktív) A három teljesítményfajta (hatásos, meddő és látszólagos) között négyzetes összefüggés van: P l = P + P m (8) 5. Hatásos és meddő ellenállás Az impedanciát felírhatjuk az effektív feszültség és az effektív áramerősség hányadosaként is. Z = U eff I eff (8) Mivel felírhatjuk, hogy: P = U eff I eff cos φ (8) P = Ieff Z cos φ (83) Z cos φ a hatásos ellenállás, R h. Ugyanezt a meddő teljesítményre felírva beláthatjuk, hogy Z sin φ a meddő ellenállás, X. P kifejezéséből látható, hogy teljesítményt csak R h vesz fel, X nem.

13 6. Amikor az itt tanultak megjelennek a gyakorlatban A váltakozó feszültséggel gyakran találkozhatunk a mindennapokban, hiszen a hálózati aljzatokból a mindenki számára ismerős V áll rendelkezésünkre. A hálózati váltakozó áram szinuszosan változik, hasonlóan a feljebb bemutatott példákhoz. Ez azzal magyarázható, hogy a váltakozó áramot generátorokkal, forgó mozgás hatásaként állítják elő (váltakozó mágneses mező). Ezzel ellentétben az egyenáramot kémiai reakciókból lehet előállítani. A villamoshálózatok elterjedésekor (Edison, esla és Steinmetz idejében) a villamosenergia mindkét változatának alkalmazására történtek kísérletek, de végül a váltakozó áram bizonyult felhasználóbarátabbnak. A villamosenergia szállításához nagy feszültségre van szükség (a vezeték ohmos ellenállása és a Joule effektus miatt), váltakozó feszültséget pedig egyszerű feltranszformálni a szállításhoz, majd a fogyasztói végpontokhoz közeledve ismét csökkenteni a feszültséget. Fent bemutattuk, hogy az az ideális eset, amikor az áram és a feszültség fázisban van, cos(φ) =, a hatásos teljesítmény ekkor a maximális. Láttuk azt is, hogy φ az áramkörbe kötött fogyasztó impedanciájától függ (az R, X C és X L komponensektől). A fogyasztók lehetnek kapacitív vagy induktív jellegűek. A nagy reaktív ellenállású berendezések un. fázisjavító áramkört tartalmaznak, így billentik helyre X C és X L egyensúlyát, és tartaják φ -t a lehető legkisebb értéken. Hivatkozások [] Guy Fontaine et al. Sciences Physiques res S.E. Nathan, Paris - France, 99. [] Calibra könyvek Fizika - Mechanika Műszaki könyvkiadó, Budapest, 3. [3] Calibra könyvek: Fizika - Elektromosság, mágnesesség Műszaki könyvkiadó, Budapest,. [4] Hevesi György Villamosságtan Műszaki könyvkiadó, Budapest, 99. [5] Hevesi Imre Elektromosságtan Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest, 998. [6] Ross L. Finney - George B. homas, Jr Calculus - Second Edition Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, California, USA, 994. Függvények ábrázolása: Gnuplot program ( Áramkörök rajzolása: OmniGraffle program ( Az európai kontinensen a közelmúltban még -4V között U eff hálózati feszültséget használtak. A hálózatok szabványosítására való törekvés keretében a V néhány éve nálunk is 3V