A robusztos PID szabályozó tervezése

Átírás

1 A robuzto ID zabályozó tervezée. A gyakorlat célja Robuzto ID zabályozó tervezée harmafokú folyamatra. A zabályozá vzgálata zmulácókkal.. Elmélet bevezet özmert, hogy a zabályozá renzerek tabltáát a zárt renzer pólua határozzák meg (pélául folytono eetben, ha az öze pólu való réze negatív a zabályozá renzer tabl. A póluok helye a komplex íkban azonban nem a nformácót a tabltá mértékérl. Ez akkor jelenthet problémát, ha az orán az rányított folyamat paramétere megváltoznak, vagy a moell nem írja le pontoan a való rányított folyamatot é így mplct móon a póluok helye megváltozk a komplex térben, vagy a való folyamat pólua nem ugyanott vannak, mnt a zabályozótervezéhez alkalmazott moell pólua. Így, habár a tervezé orán a zabályozá renzerünk a jó mnég jellemzk mellett tabltát mutatott, amennyben a való folyamat paramétere móoulnak, a zárt renzer akár a tabltáát elvezíthet. ehát zámo rányítá felaatnál zükége, hogy a zabályozó akkor garantálja a zárt renzer tabltáát, ha a folyamat paramétere megváltoznak. Az lyen megfontolá alapján tervezett zabályozókat robuztunak nevezzük. A robuztu zabályozók tervezééhez zükégünk van egy jellemzre, amellyel a tabltá mértéke írható le. Ennek alapján úgy tervezzük meg a zabályozót, hogy a tabltát jellemz érték mnél nagyobb legyen. Ilyen jellemz lehet a fáztartalék. A zárt renzer tabltáa a nyílt renzer Boe agramja alapján vzgálható. Elzör az ampltúómenetrl le kell olvan a vágá körfrekvencát ( c, vagy hogy melyk körfrekvenca értéken metz az ampltúómenet a vízznte tengelyt. A vágá körfrekvenca pontjában leolvauk a fázmenet értékét. a a fázmenet a vágá körfrekvenca értékén nagyobb, mnt -80 o akkor a renzer tabl, ellenkez eetben ntabl. A fáztartalék az a zögkülönbég, amt a vágá körfrekvencához tartozó fázmenet értéke é -80 o között mérünk (lá Ábra: ϕ ϕ( j ( 80 ϕ( ( j 80 ( t N ( N ϕ ( N ( j a nyílt renzer c vágá körfrekvencához tartozó fázmenetét jelöl. A tabltá feltétele, hogy a fáztartalék poztív legyen.

2 Ábra: áztartalék a Boe agramon A nyílt renzer fáztartaléka változtatható a zabályozó paraméterevel. Robuztu zabályozótervezénél az a cél, hogy úgy válazuk meg a zabályozó paraméteret, hogy a nyílt renzernek mnél nagyobb fáztartalékot bztoítunk. ID tervezée: A cél a ID típuú zabályozó paraméterenek meghatározáa úgy, hogy a zabályozó renzer akkor e vezíte el a tabltáát, ha a tervezénél alkalmazott moell nem írja le tökéleteen a való rányított folyamat velkeéét, vagy ha a folyamat paramétere megváltoznak. a a zabályozó garantálja, hogy a nomnál nyílt renzernek nagy elírt fáztartaléka legyen, akkor a bzonytalanág ávban található való renzer jó eéllyel tabl mara. ehát a robuztu tabltát garantáló zabályozók paraméteret úgy kell meghatározn, hogy a nyílt renzer nagy fáztartalékkal renelkezzen. A robuztuág mellett a tervezénél má követelményeket elírhatunk, mnt pélául gyor válaz é korlátozott beavatkozó jel. A ID zabályozó átvtel függvénye általánoan: ( A,,, paramétereket kell meghatározn úgy, hogy a zabályozá robuztu legyen. Bzonyo felaatokhoz elégége, ha cak egyzerbb truktúrájú, I vagy D zabályozót alkalmazunk. Ilyenkor keveebb paramétert kell meghatározn. A követelményeket az alább három pontban foglalhatjuk öze: I. Legyen a nyílt renzer fáztartaléka egyenl egy elírt ϕ tre fáztartalékkal. II. Legyen a beavatkozó jel maxmál értéke u MAX. III. Legyen az rányított renzer válaza mnél gyorabb. Az I. feltétel teljeítééhez elzör meg kell határozn a nyílt renzer vágá frekvencáját (, vagy ahol az ampltúómenet metz a vízznte tengelyt. Mvel a Boe agram logartmku, ezért az ampltúómenet a vágá frekvencán. Ezek után a nyílt renzer ( özefüggé alapján zámított fáztartaléka egyenl kell legyen az elírt fáztartalékkal. ehát az alább egyenletrenzerhez jutunk:

3 ϕ ( j ( j ( ( j ϕ( ( j ϕ tre ( A II. feltételt akkor kell fgyelembe venn, ha a zabályozó erváló catornával renelkezk. A zabályozá nítáakor a zabályozó bementén egyégugrázer hba jelenk meg. Ezért a t0 pllanatban a erváló catorna matt a beavatkozó jel megugrk. A zabályozó paramétereket úgy kell megválaztan, hogy a zabályozó egyégugrára aott válaza a t0 pllanatban egyenl legyen az elírt maxmál beavatkozó jellel. A D (é ID zabályozó egyégugrára aott válazának meghatározáához alkalmazzuk a Laplace tranzformált alább tulajonágát: lm u t 0 ( t lm u( (4 Mvel az egyégugrá Laplace tranzformáltja /: lm u lm lm lm (5 önnyen belátható, hogy ID eetén ugyanez lez az eremény. Az (5 özefüggében kapott érték egyenl kell legyen u MAX -al. A III. feltételt pólu-zéru kejtéel érhetjük el. A zabályozó zéruat úgy válaztjuk meg, hogy ejték k az rányított folyamat laú póluat. A cak egy erítéparaméterrel renelkez zabályozóval cak az I. feltétel teljeíthet. Zérual renelkez zabályozókkal garantálható a pólu-zéru kejté, tehát a gyor válaz. A tervezé lépée orán feltételezzük, hogy az rányított folyamat harmafokú renzer, e a tervezé mózer egyzeren móoítható má renzeroztályokra. eltételezzük, hogy az rányított folyamat namkája az alább moellel írható le: (6 ( ( ( Legyen a leglaúbb, a leggyorabb állanó a folyamatban, vagy: > >. A renzer öze paraméterét mertnek tekntjük. A nyílt renzer zrt D zabályozóval é az rányított folyamattal : ( (7 Válazuk úgy a ( ( ( ( ( ( értékét, hogy ejte k a leglaabb pólut: (8

4 A pólu-zéru kejté után a nyílt renzer: ( N (9 A ( egyenletrenzert alkalmazva kapjuk. Mvel a zabályozó tartalmaz erváló catornát, vegyük fgyelembe a beavatkozó jel korlátoágára kkötött feltételt: MAX tre u arctg arctg arctg ϕ (0 A fent nemlneár egyenletrenzerben az meretlenek,,. A erválá t a paraméter meretében a (8 özefüggé alapján kapjuk. A pólu-zéru kejté elvégzééhez a ID zabályozót móoított alakban kell felírn: ( ( A moell zámlálóját kereük az alább alakban: ( önnyen belátható, hogy a, é a zabványo zabályozóparaméterek között az alább özefüggé áll fenn: ( A pólu zéru kejtéhez válazuk:,. Ezzel a paraméterválaztáal zabályozó erválá é ntegrálá ejét az alább móon tujuk kfejezn: (4 A nyílt renzer zrt ID zabályozóval é az rányított folyamattal a pólu-zéru kejté végrehajtáa után:

5 N ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (5 Ugyanakkor vegyük fgyelembe a beavatkozó jel korlátoágára kkötött feltételt, kapjuk az alább özefüggét: c arctg ( ( ( ( arctg( ( u MAX ϕ tre (6 A fent nemlneár egyenletrenzerben az meretlenek,,. A, paramétereket a már meghatározott paraméter meretében a (4 özefüggé alapján zámíthatjuk... Elírt fáztartalékon alapuló tervezé kterjeztée mntavétele renzerekre Az elz fejezetben bemutatott, folytono renzerekre kolgozott zabályozótervezé mózer az elírt fáztartalék bztoítáára k változtatáokkal kterjezthet mntavétele zabályozók tervezéére. A tervezé a blneár (utn tranzformácón alapzk, amellyel mntavétele (z komplex változóban felírt átvtel függvények folytono ( komplex változóban felírt átvtel függvényekké tranzformálhatóak é forítva. A blneár tranzformácó eetében az áttéréhez az alább özefüggét kell alkalmazn (utn képlet: a mntavétel peróut jelöl. A tranzformácó forítottja: z (7 z z (8 A blneár tranzformácó fonto tulajonága, hogy a komplex tér bal félíkját az egyégugarú kör belejébe tranzformálja. A forított tranzformácó peg a komplex egyégugarú kör belejét a komplex tér bal félíkjába tranzformálja. ehát ha a folytono renzer tabl, a tranzformácóval kapott mntavételezett renzermoell garantáltan tabl lez é forítva. Ezért a robuztuágot garantáló zabályozók mntavétele átíráánál a blneár tranzformácót éreme alkalmazn.

6 A zabályozó tervezééhez aott az elírt fáztartalék (ϕ tre, u MAX valamnt a beavatkozó jel maxmál értéke, valamnt a mntavételezett renzer moellje (z. A mntavétele zabályozó tervezéének lépée: I. A blneár tranzformácót alkalmazva megkapjuk a renzer folytono moelljét. Eremény: (. II. A folytono moellre megtervezzük a folytono ej zabályozót. Eremény: c (. III. A folytono zabályozót blneár tranzformácóval mntavétele alakra hozzuk. Eremény: c (z. A II. lépében a folytono zabályozótervezénél leírtakat kell követn. Egyeül eltéré a maxmál beavatkozó jel zámítáánál van. eltételeztük, hogy a beavatkozó jel a t0 pontban (mntavétele eetben a k0 mntavételben lez a legnagyobb. A beavatkozó jel értékét mntavétele renzereknél máképp kell zámítan. A beavatkozó jel értéke a legel mntavételben, ha a zabályozó bemenete egyégugrá: u 0 lm u( z lm ( z lm ( z ( z (9 z Blneár tranzformácó eetén, ha a z komplex változó értéke a be tart, az komplex változó: z lm lm z (0 ehát ha áttérünk folytono renzermoellre, é a beavatkozó jel értékét kereük a legel mntavételben, helyébe / t kell helyetteíten: u0 ( A zabályozó tervezéénél a pólu-zéru kejté mellett, a korlátozott beavatkozó jel é elírt fáztartalék bztoítáához, az nverz blneár tranzformácóval kapott folytono moellt alkalmazva az alább nemlneár egyenletrenzert kell megolan: arctgϕ ( j ( j ( ( j arctgϕ( ( j ( u MAX ϕ tre ( Matlab függvényeket haználva a tervezé éma az alább móon foglalható öze: " utn " cm ( z, -Z kejté, folve ( z " c utn " m

7 . A méré menete elaat: Legyen az alább harmafokú renzer 5 ( (4 (0 A renzer egyeítée 5, állanó máoperc (mp, 4 mp, 0 mp. ervezzünk a renzernek ID zabályozót úgy, hogy a nyílt renzer fáztartaléka ϕ tre 50 o legyen, a beavatkozó jel egyégny hbabemenet eetén legyen u MAX 0. A felaat megoláa:. ólu-zéru kejté: Mvel a renzer két laúbb állanója a 0 é a 4, ezért a pólu-zéru kejté orán ezeket kell kejten. A pólu-zéru kejté után a nyílt renzert a (5 özefüggé írja le.. Az elírt fáztartalék é a maxmál beavatkozó jel bztoítáa: (5 nemlneár özefüggé megoláára a Matlab folve függvényét alkalmazzuk. Ehhez az egyenletrenzert f(x0 alakba kell hozn, ahol x az meretlen változók vektorát jelöl. A m eetünkben az meretlen paraméterek vektora: x(w p. Elzör egy Matlab függvényt kell kézítünk az alább formában. Elzör egy Matlab függvényt építünk fel, a következ formában: functon fpfun(x; %ff(x,x,x %ff(x,x,x %ff(x,x,x % a fuggveny bemenete wcx(; % krtku korfrekvenca px(; % a zabalyozo erotee x(; % a D tag keleletee % Az ranytott renzer parametere.. f.. % krtku frekvenca egyenlet f.. % faztartalek egyenlet f.. % maxmal vezerlojel egyenlet f[f f f]'; A függvény megoláához az folve hívát az alább formában végezhetjük: x folve('pfun',[wc0 p0 0]; wc x( p x( x( Mvel a nemlneár egyenlet megoláához a Matlab teratív eljárát alkalmaz, knuló értéket kell ajunk a megolának ([wc0 p0 0]. Válazuk mnhárom knuló értéket -nek.

8 . Számítuk k az ntegrálá é erválá t a (4 özefüggéek alapján 4. Az eremények kértékelée: - Írjuk fel a nyílt renzert é olvauk le a fáztartalékát a margn függvénnyel. - Írjuk fel a zárt renzert é vzgáljuk az egyégugrára aott válazát a tep függvénnyel. - Vzgáljuk a kapott ID zabályozó egyégugrára aott válazát a tep függvénnyel. - Robuztuág tezt: Móoítuk (növeljük értékét uplájára az rányított folyamat erítéét é az elz pontokban tervezett zabályozóval vzgáljuk a nyílt renzer fáztartalékát é a zárt renzer é a zárt renzer egyégugrára aott válazát. 4. éréek é felaatok. Móoítuk a maxmál beavatkozó jel értékét 0-ra é tervezzük újra a zabályozót. ogyan változtatja ez meg a zabályozá tranzenet?. ézítük el a zabályozá kör moelljét Smulnk környezetben.. A. alfejezetben leírtak alapján terjezük a tervezét mntavétele renzerekre.