Tartalom. 1. Számítógéppel irányított rendszerek 2. Az egységugrásra ekvivalens diszkrét állapottér

Átírás

1 Tartalom 1. Számítógéppel irányított rendszerek 2. Az egységugrásra ekvivalens diszkrét állapottér

2 Számítógéppel irányított rendszerek Számítógéppel irányított rendszer blokkvázlata Tartószerv D/A ZOH Folytonos rendszer A/D Számítógép

3 Számítógéppel irányított rendszerek D/A átalakítás A diszkrét idejű jelből kódolási eljárással folytonos idejű impulzus sorozatot állít elő, mely a D/A átalakító analóg kimenő jele

4 Számítógéppel irányított rendszerek Tartószerv A tartószerv feladata két mintavételi pont között a jel biztosítása. A D/A konverter kimenő impulzussorozatából folytonos idejű jelet biztosít. A tartószerv meghatározza, hogy két mintavételi időpont között hogyan változik a jel. A legegyszerűbb tartószerv a zérusrendű (ZOH) tarószerv, mely állandó értéken (előző kimeneti függvény érték) tartja a kimenetet, míg a a következő mintavétel sorra nem kerül

5 Számítógéppel irányított rendszerek A zérus rendű tartószerv a D/A átalakító kimenetét integrálja h mintavételi ideig. Elsőrendű tartó (FOH) a két mintavételi pont értékeinek adott meredekségű összekötését biztosítja. Léteznek magasabbrendű tartószervek, melyek törekszenek a folytonos jelalak két mintavétel közötti értékének minél tökéletesebb visszaadására

6 Számítógéppel irányított rendszerek A/D átalakítás Az időben folytonos rendszer kimenetét diszkrét jellé alakítja kódolási eljárással. Ezt a diszkretizált, majd digitalizált jelet használjuk fel a számítógéppel irányított szabályozó bemeneteként

7 Számítógéppel irányított rendszerek

8 Tartalom 1. Számítógéppel irányított rendszerek (bevezetés) 2. Az egységugrásra ekvivalens diszkrét állapottér

9 Egységugrásra ekvivalens, diszkrét idejű állapottér modell Legyen adott az alábbi folytonos idejű állapottér reprezentáció, x 0 kezdeti értékkel ẋ = Ax + bu y = c T x

10 ahol az inhomogén állapotegyenlet megoldása a következő: x(t) = e At x 0 + y(t) = c T x(t). t 0 e A(t τ) bu(τ)dτ

11 Diszkrét esetben x(t k+1 ) = e A(t k+1 t k ) x(t k ) + tk+1 Legyen a mintavételi idő állandó: t k e A(t k+1 τ) bu(τ)dτ h = t k+1 t k = állandó valamint feltételezzük, hogy két mintavételi idő között a bemenőjel nem változik

12 Változó transzformáció h 0 t k+1 τ = (t k+1 t k ) + (t k τ) = h θ [ h ] e A(h θ) bu(t k )dθ = e Aθ dθ e Ah bu(t k ) = = [ A 1 e Aθ] h 0 eah bu(t k ) = = ( A 1 e Ah + A 1 I n ) e Ah bu(t k )

13 Tehát a diszkrét idejű állapottér reprezentáció ahol x(t k+1 ) = Φx(t k ) + Γu(t k ) y(t k ) = Cx(t k ) + Du(t k ) Φ = e Ah Γ = A 1 [ e Ah I n ] b

14 Példa Legyen G(s) = b s + a. Határozzuk meg az 1TP tag folytonos állapottér reprezentációját!

15 A = a, B = b, c T = 1 ẋ = ax + bu y = x

16 Határozzuk meg az egységugrásra ekvivalens állapottér reprezentáció paramétermátrixait ha a mintavételi idő h! Φ = e ah Γ = 1 ( e ah 1 ) b a x(t k+1 ) = e ah x(t k ) + 1 ( e ah 1 ) bu(t k ) a y(t k ) = c T x(t k )

17 Példa Legyen adott az alábbi átviteli függvény: s + 1 G(s) = (s + 2)(s + 3) Határozzuk meg a tag folytonos diagonál állapottér reprezentációját! A folytonos rendszer pólusai a p 1 = 2 és p 2 = 3 helyeken vannak

18 A residuumok: Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér r 1 = lim (s + 2)G(s) = 1 s 2 r 2 = lim (s + 3)G(s) = 2 s 3 És az állapottér reprezentáció, ẋ1 = 2 0 x u ẋ x 2 2 [ ] y = 1 1 x 1 x

19 Határozzuk meg az egységugrásra ekvivalens állapottér reprezentáció paramétermátrixait ha a mintavételi idő h! Φ = e Ah = e 2h 0 0 e 3h Γ = A 1 [e Ah I n ]b = e 2h = e 3h = e 2h 0 = e 2h (e 3h 2(1 e 1) 3h )

20 Diszkrét rendszerek stabilitása Re(λ i ) < 0 i = 1..n e λ ih < Im 0 Im Re Re

21 Diszkrét rendszerek megfigyelhetősége 1. Definíció. Az O n (c T,Φ) mátrixot a diszkrét idejű rendszer megfigyelhetőségi mátrixának nevezzük. 1. Állítás (Kálmán-féle rangfeltétel): Egy (c T,Φ) pár megfigyelhető akkor és csak akkor, ha megfigyelhetőségi mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang { O n (c T,Φ) } = n,

22 ahol O n = c T c T Φ. c T Φ n

23 Diszkrét rendszerek irányíthatósága 2. Definíció. Az C n (Φ,Γ) mátrixot a diszkrét idejű rendszer irányíthatósági mátrixának nevezzük. 2. Állítás (Kálmán-féle rangfeltétel): Egy (Φ, Γ) pár akkor és csak akkor irányítható, ha irányíthatósági mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang{c n (Φ,Γ)} = n, [ ] ahol C n = Γ ΦΓ... Φ n 1 Γ