Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 1.

Átírás

1 Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 1. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai és Bionikai Kar szederkenyi@itk.ppke.hu PPKE-ITK, február 8. Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 1 / 79

2 Tartalom 1 Bevezetés 2 Rövid történeti áttekintés 3 Szabályozott rendszerek a mindennapokban és a természetben 4 További példák 5 Jelek és rendszerek alapjai Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 2 / 79

3 1 Bevezetés 2 Rövid történeti áttekintés 3 Szabályozott rendszerek a mindennapokban és a természetben 4 További példák 5 Jelek és rendszerek alapjai Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 3 / 79

4 Bevezető példa 1. Egyszerű DNS-javító mechanizmus kvantitatív modellje (Karschau et al., Biophysical Journal, 2011) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 4 / 79

5 Bevezető példa 2. Reakciógráf: Kinetikus egyenletek: ẋ 1 (t) = k 3 x 3 (t) k 1 x 1 (t) ẋ 2 (t) = k 1 x 1 (t) k 2 x 2 x 4 (t) ẋ 3 (t) = k 2 x 2 (t)x 4 (t) k 3 x 3 (t) ẋ 4 (t) = k 3 x 3 (t) k 2 x 2 (t)x 4 (t), változók: x 1 - ép guanin bázisok száma, x 2 - sérült guanin bázisok száma, x 3 - javítás alatt álló guanin bázisok száma, x 4 - szabad javítóenzim mol. száma Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 5 / 79

6 Egyszerű biokémiai rendszer 3. Beavatkozás (a működés megváltoztatása): javítóenzim hozzáadása Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 6 / 79

7 Dinamikus modellek/rendszerek fogalma és alkalmazása Dinamikus (dinamikai) modell: térben és/vagy időben változó [fizikai] mennyiségek leírására alkalmazzák természetes vagy technológiai folyamatok működését (tér-időbeli fejlődését) írja le modell-analízisre és szimulációra, predikcióra is alkalmas lehet leggyakrabban matematikai modelleket (pl. közönséges vagy parciális diff. egyenleteket) alkalmaznak dinamikus modellként numerikusan (számítógéppel) többnyire hatékonyan megoldható célzott beavatkozás (szabályozás) hatása vizsgálható Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 7 / 79

8 Egyszerű RLC áramkör u R u L R L u be i C u C Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 8 / 79

9 Egyszerű RLC áramkör Huroktörvény: u be +u R +u L +u C = 0 Ohm-törvény: U R = R i Lineáris kondenzátor és tekercs működése: ún. "állapotegyenletes" leírás di dt du C dt u L = L di dt, i = C du C dt = R L i 1 L u C + 1 L u be = 1 C i Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 9 / 79

10 Egyszerű RLC áramkör Paraméterek: R = 1 Ω, L = 10 1 H, C = 10 1 F. u C (0) = 1 V, i(0) = 1 A, u be (t) = 0 V 1.5 i [A] u c [V] idö [t] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 10 / 79

11 Egyszerű RLC áramkör u C (0) = 1 V, i(0) = 1 A,u be (t) = 5 V i [A] u c [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 11 / 79

12 Egyszerű RLC áramkör Periodikus bemenet: u be [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 12 / 79

13 Egyszerű RLC áramkör u C (0) = 1 V, i(0) = i [A] u c [V] idö [s] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 13 / 79

14 Mit jelent a szabályozás/irányítás? - Példa Gépjárművek sebességszabályozása (pl. tempomat) Beavatkozás gázpedál Érzékelés sebesség Számítás szabályozási hatás Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 14 / 79

15 Mit jelent a szabályozás/irányítás? Egy objektum irányítása: viselkedésének befolyásolása egy kívánt cél elérése érdekében. A befolyásolás történhet: a viselkedés megfigyelésével (modellezés), és a beavatkozási lehetőségek elvárt viselkedés alapján történő megválasztásával megfigyelt mennyiségek (mérések) manipulálható bemenetre történő visszacsatolásával (ez is lehet modell-alapú) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 15 / 79

16 Mit jelent a szabályozás/irányítás? - Hozzávalók Rendszer: Mit szeretnénk működtetni (hol vannak a határok, mik a be- ill. kimenetek)? Irányítási cél: Milyen viselkedést kívánunk megvalósítani? Rendszeranalízis: Megoldható-e a feladat, mit várhatunk? Szenzorok: Rendszer viselkedésének érzékelése/nyomonkövetése Aktuátorok: Tényleges fizikai beavatkozás (végrehajtás) Modellek: Rendszer (időbeli) működésének matematikai leírása Szabályozási módszer: Megközelítési mód a probléma megoldásához (többféle lehet) Hardware/software: Szabályozó tervezése, szabályozási algoritmus végrehajtása Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 16 / 79

17 A rendszer- és irányításelmélet jelentősége Dinamika : térben és/vagy időben változó mennyiségek leírása Dinamikus rendszerek és irányítórendszerek mindenütt jelen vannak az életünkben: háztartási gépek, járművek, ipari berendezések, kommunikációs rendszerek, természetes rendszerek (fizikai, kémiai, biológiai) A szabályozás kulcsfontosságú (-vá válik): ha nem működik, az egész rendszer használhatatlan lehet A rendszerelmélet elemeit az alaptudományok is (egyre inkább) hasznosítják A szabályozás alapelveit már látszólag távoli területeken (közgazdaságtan, biológia, gyógyszerkutatás stb.) is alkalmazzák Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 17 / 79

18 A rendszer- és irányításelmélet jelentősége A rendszer- és irányításelmélet természeténél fogva interdiszciplináris (matematikai modellek megépítése és analízise; fizikai komponensek: irányított rendszer, szenzorok, aktuátorok, kommunikációs csatornák, számítógépek, szoftver) A rendszerelmélet jó környezetet biztosít a technológiatranszfer számára: az egyik területen kidolgozott eljárások rendszerint máshol is meghonosíthatók Az irányításelméleti képzettség jó hátteret nyújt a komplex (technológiai) rendszerek tervezéséhez és vizsgálatához Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 18 / 79

19 Dinamikus modellek (rendszerek) és biológia a dinamika alapvető fontosságú lehet biokémiai/biológiai folyamatok működésének megértésében (okok, okozatok, kereszthatások) a biológia egyre inkább "hozzáférhető" a hagyományosan mérnöki megközelítések számára (molekuláris, sejt- ill. szervi szinten is): kvantitatív modellezés, rendszerelmélet, számítási eljárások, absztrakt szintézis módszerek megfordítva: biológiai felfedezések is szolgálhatnak új tervezési módszerek alapjául néhány terület, ahol a dinamikának és szabályozásnak fontos szerepe van: génreguláció; jelátvitel; hormonális, immunrendszeri és kardiovaszkuláris visszacsatolások; izom- és mozgásszabályozás; aktív érzékelés; látás; figyelem; populáció- és járványdinamika Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 19 / 79

20 1 Bevezetés 2 Rövid történeti áttekintés 3 Szabályozott rendszerek a mindennapokban és a természetben 4 További példák 5 Jelek és rendszerek alapjai Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 20 / 79

21 Egyszerű vízóra Kr.e előtt Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 21 / 79

22 Vízóra szabályozott áramlási sebességgel Kr.e. 3. század Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 22 / 79

23 Repülősúlyos fordulatszám-szabályozó James Watt, 1788 Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 23 / 79

24 A rendszer- és irányításelmélet mint önálló tudományág születése (kb ) : intenzív katonai célú kutatás (sajnos); közös alapelvek és reprezentációs lehetőségek felismerése (radarrendszerek, optimális lőtáblázatok, légvédelmi lövegek pozícionálása, autopilot rendszerek, elektronikus erősítők, urán ipari termelése stb.) Rendszerkomponensek blokkdiagramos ábrázolása Lineáris differenciálegyenletek analízise és megoldása Laplace-transzformációval, komplex függvénytan, frekvenciatartománybeli vizsgálatok A katonai célú kutatások eredményeit gyorsan elkezdték felhasználni más iparágakban is Megindult az irányításelmélet önálló kutatása és oktatása 1957: Megalakul az International Federation of Automatic Control (IFAC) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 24 / 79

25 A fejlődés következő szakasza (1957-kb. 1980) Húzóerők: ipari és katonai alkalmazási igények, a matematika és számítástudomány fejlődése Űrkutatási verseny (Szputnyik űrhajó, 1957) Az első számítógépes vezérlésű olajfinomító: 1959 A digitális számítógépek előretörtek a szimuláció és szabályozó-implementáció területén A matematikai precizitás megkövetelése egyre fontosabbá válik Állapottér-modelleken alapuló módszerek megjelenése Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 25 / 79

26 Modern és posztmodern irányításelmélet (kb ) Differenciálalgebrai alapú nemlineáris rendszer- és irányításelmélet Numerikus optimalizálási módszerek robbanásszerű fejlődése + egyre olcsóbb számítási kapacitás Modellbizonytalanságok kezelése (robusztus irányítások) Modell-prediktív irányítások Soft computing technikák: fuzzy logika, neurális hálók stb. Energia-alapú lineáris és nemlineáris szabályozások (elektromos, mechanikai, termodinamikai alapok) Hibrid rendszerek irányítása Pozitív rendszerek elmélete Hálózatba kapcsolt rendszerek ( kiber-fizikai rendszerek) irányításának elmélete és gyakorlata Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 26 / 79

27 1 Bevezetés 2 Rövid történeti áttekintés 3 Szabályozott rendszerek a mindennapokban és a természetben 4 További példák 5 Jelek és rendszerek alapjai Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 27 / 79

28 Irányított technológiai rendszerek termosztát + fűtés: hőmérséklet dinamikus sebességkorlátok az autópályákon: időegység alatt átáramló autók száma, szennyezőanyag-kibocsátás erőművek (hő)teljesítménye: kívánt elektromos teljesítmény robotkarok és mobilrobotok mozgása: előírt pályák követése repülőgépek le-/felszállása: magasság, sebesség légiirányító rendszerek: le-/felszállások időpontja, sorrendje menetrendek újratervezése: összes késés minimalizálása szennyvíztelepek oxigénellátása: bioreakciók sebessége mosógép: súlyautomatika, vízmennyiség-szabályozás ABS-, ESP-rendszerek gépkocsikban: nyomaték, fékerő CPU órajel, ventillátor fordulatszám: hőmérséklet Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 28 / 79

29 Irányítás a társadalomban és a gazdaságban törvények (végrehajtással együtt): közösségi élet bankrendszer: forgalomban lévő pénzmennyiség média: vélemények, közízlés, elfogadott normák, túlhangsúlyozott és elhallgatott információk reklámok: fogyasztási szokások Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 29 / 79

30 Szabályozás a természetben génexpresszió szabályozása (transzkripció, transzláció) melegvérű állatok testhőmérséklet-szabályozása vércukorszint szabályozása hormonális és idegi szabályozás élőlényekben rajban mozgó állatok (madarak, rovarok, halak): sebesség világító rovarok szinkronizált villogása mozgás, emberi járás Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 30 / 79

31 1 Bevezetés 2 Rövid történeti áttekintés 3 Szabályozott rendszerek a mindennapokban és a természetben 4 További példák 5 Jelek és rendszerek alapjai Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 31 / 79

32 Bioreaktor modell Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 32 / 79

33 Bioreaktor modell dx = µ(s)x XF dt V ds = dt µ(s)x Y ahol pl. µ(s) = µ max + (S F S)F V S K 2 S 2 +S+K 1 X biomassza koncentráció [ g ] Y kin. par l S szubsztrát koncentráció [ g ] µ max kin.par. 1 [ 1] h F bemenő folyadékáram [ l] K h 1 kin.par [ g ] V térfogat 4 [l] K 2 kin.par 0.5 [ l ] g S F bemenő szubsztrát konc. 10 [ g ] l Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 33 / 79

34 Bioreaktor modell F = 0 l h 10 9 biomassza konc. szubsztrát konc. 8 7 koncentráció [g/l] idö [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 34 / 79

35 Bioreaktor modell F = 0.8 l h 10 9 biomassza konc. szubsztrát konc. 8 7 koncentráció [g/l] idö [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 35 / 79

36 Egyszerű ökológiai rendszer dx = k x a x y dt dy = l y +b x y dt x zsákmányállatok száma a zárt területen y ragadozók száma a zárt területen k a zsákmányállatok természetes növekedési rátája ragadozók hiányában a a ragadozók és zsákmányállatok "találkozási" rátája l a ragadozók természetes halálozási rátája zsákmány hiányában b a ragadozók reprodukciós rátája megevett zsákmányállatonként Paraméterek: 1 k = 2 hónap 1 a = 0.1 db hónap 1 l = 1 hónap 1 b = 0.01 db hónap Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 36 / 79

37 Egyszerű ökológiai rendszer x(0) = 200, y(0) = zsákmányállatok száma ragadozók száma [db] idö [hónap] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 37 / 79

38 Egyszerű ökológiai rendszer x(0) = 200, y(0) = zsákmányállatok száma ragadozók száma 400 [db] idö [hónap] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 38 / 79

39 SIR járványterjedési modell Gyógyulási/terjedési mechanizmus: S: fertőzésre fogékonyak (susceptible) I: fertőzöttek (infected) R: fertőzésen átesettek (recovered) N: populáció létszáma s = S/N, i = I/N, r = R/N matematikai modell: ds = b s(t) i(t) dt dr dt = k i(t) di = b s(t) i(t) k i(t) dt b, k: konstans paraméterek Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 39 / 79

40 SIR járványterjedési modell N = 10 7, S(0) = , I(0) = 10, R(0) = 0, k = 1/3, b = 1/ s (susceptible) r (recovered) i (infected) s/i/r t [days] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 40 / 79

41 6 szabadsági fokú robotkar (Lombai Ferenc doktoranduszi munkája) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 41 / 79

42 6 szabadsági fokú robotkar Eldobó mozdulat tervezése és végrehajtása (videos/6dof_dob_1.avi) (videos/6dof_dob_2.avi) (videos/6dof_dob_3.avi) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 42 / 79

43 Rugalmas robot-ízület Szabályozott flexor-extenzor mechanizmus kialakítása 2 léptetőmotorral (Veres József doktoranduszi munkája) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 43 / 79

44 Simultaneous Localization & Mapping (SLAM) Feladat: Mobilrobot aktív lokalizációja (párhuzamos mozgás és térképezés) Rudan János és Tuza Zoltán TDK-munkája (videos/slam_tdk.mpeg) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 44 / 79

45 Autonóm és kooperatív járművek Kormányzott autómodell 1 Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 45 / 79

46 Autonóm és kooperatív járművek Kormányzott autómodell 2 Konfigurációs tér: R 2 S 1 Konfiguráció: q = (x,y,θ) Paraméterek: s: hossztengely-irányú előjeles sebesség φ: kormányzási szög L: első és hátsó tengely távolsága ρ: fordulási sugár rögzített φ esetén A keresett dinamikus modell megadja, hogy hogyan változik x, y és θ az idő függvényében, azaz: ẋ = f 1 (x,y,θ,s,φ) ẏ = f 2 (x,y,θ,s,φ) θ = f 3 (x,y,θ,s,φ) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 46 / 79

47 Autonóm és kooperatív járművek Kormányzott autómodell 3 A legegyszerűbb irányítási modell: Manipulálható bemenetek (leegyszerűsítő feltételezés): sebesség (u s ), kormányszög (u φ ), azaz u = (u s,u φ ) Az egyenletek: ẋ = u s cosθ ẏ = u s sinθ θ = u s L tanu φ Valósághűbb modell gyorsítási dinamikával: ẋ = s cosθ ẏ = s sinθ θ = u s L tanu φ ṡ = u t Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 47 / 79

48 Autonóm és kooperatív járművek Előírt pálya követése (videos/car_track.avi) Mozgó objektum "üldözése", szimuláció: Faludi Gábor (videos/ref_car.avi) Mozgás (repülés) formációban (videos/formation.avi) Formációváltás (videos/chg_form.avi) Akadályelkerülés (videos/obstacle.avi) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 48 / 79

49 Energetikai alkalmazás: primerköri nyomásszabályozás Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 49 / 79

50 Primerköri nyomásszabályozás Nyomottvizes reaktorblokk szerkezete Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 50 / 79

51 Primerköri nyomásszabályozás kg m s é ê êë ù ú úû T I [ K ] YP10 χ 1 M= const. χ 2 χ 3 χ 4 kg m s é ê ë ù ú û T[ K ] térfogatkiegyenlítő tartály Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 51 / 79

52 Primerköri nyomásszabályozás Modellezési feltételezések: két tökéletesen kevert mérlegelési térfogat: víz és tartályfal a mérlegelési térfogatokban a tömegek állandóak a fizikai-kémiai tulajdonságok állandóak gőz-folyadék egyensúly a tartályban Egyenletek: víz du dt = c pmt I c p mt +K W (T W T)+W HE χ tartályfal du W = K W (T T W ) W loss dt Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 52 / 79

53 Primerköri nyomásszabályozás Változók és paraméterek: T vízhőmérséklet C T W tartályfal-hőmérséklet C J c p víz fajhője kg C U víz belső energiája J U W tartályfal belső energiája J kg m víz beáramlási sebessége s T I bejövő víz hőmérséklete C M víztömeg kg C pw tartályfal hőkapacitása J C W HE fűtőtestek max. teljesítménye W χ bekapcsolt fűtőtestek aránya - K W tartályfal hőátbocsátási tényezője W C W loss a rendszer hővesztesége W Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 53 / 79

54 Primerköri nyomásszabályozás Bejövő víz hőmérséklete T I [K] idö [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 54 / 79

55 Primerköri nyomásszabályozás A nyomás szabályozó nélkül nyomás [bar] idö [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 55 / 79

56 Primerköri nyomásszabályozás A nyomás szabályozóval nyomás [bar] idö [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 56 / 79

57 Primerköri nyomásszabályozás A szabályozó által bekapcsolt fűtőteljesítmény bekapcsolt fütötestek aránya idö [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 57 / 79

58 Primerköri nyomásszabályozás Kisebb tranziens: szabályozórudak pozíciója control rod position [m] time [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 58 / 79

59 Primerköri nyomásszabályozás A reaktor hőteljesítménye Reactor thermal power [MW] time [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 59 / 79

60 Primerköri nyomásszabályozás Primerköri hőmérséklet primary circuit temperature [ o C] time [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 60 / 79

61 Primerköri nyomásszabályozás TK nyomás a régi és az új szabályozóval new controller old controller primary circuit pressure [bar] time [h] Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 61 / 79

62 Miért tanuljuk a tantárgyat? elsődleges cél: rendszerszemlélet megalapozása a körülöttünk lévő világban található rendszerek észrevétele, megfigyelése, elkülönítése bemenetek, kimenetek, állapotok meghatározása alapvető rendszertulajdonságok ismerete és vizsgálata (mit várhatunk?) milyen beavatkozási lehetőségeink vannak egy kívánt irányítási cél megvalósítására, és ez mennyibe kerül (idő, energia)? interdiszciplináris látásmód megalapozása (elektromos, mechanikai, kémiai, biológiai, termodinamikai, ökológiai, gazdasági rendszerek) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 62 / 79

63 Miről lesz szó? Rendszerosztályok, alapvető rendszertulajdonságok Folytonos idejű lineáris, időinvariáns (F-LTI) rendszerek input/output és állapottér modelljei F-LTI rendszerek BIBO stabilitása, stabilitáskritériumok F-LTI rendszerek aszimptotikus stabilitása, Ljapunov módszer F-LTI rendszerek megfigyelhetősége és irányíthatósága Együttes megfigyelhetőség és irányíthatóság, minimális realizációk, rendszerdekompozíció Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 63 / 79

64 Miről lesz szó? Szabályozótervezés: PI, PID és pólusáthelyezéses szabályozás Lineáris kvadratikus optimális szabályozás Állapotmegfigyelők tervezése Mintavételezés, diszkrét idejű lineáris időinvariáns (D-LTI) rendszermodellek D-LTI rendszerek megfigyelhetősége, irányíthatósága és stabilitása D-LTI sztochasztikus rendszerek Sztochasztikus állapotbecslés: Kálmán-szűrő Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 64 / 79

65 Kapcsolódás más tantárgyakhoz Előzetes tanulmányok matematika (lin. algebra, analízis, val. szám., sztochasztikus folyamatok) fizika (fizikai modellek felírása) jelfeldolgozás (átviteli függvények, szűrők, stabilitás) elektromos hálózatok/áramkörök elmélete (lineáris áramkörök modelljei) További tantárgyak robotika (dinamikus modellezés, szabályozás, pályakövetés) nemlineáris dinamikus rendszerek (szimuláció, stabilitás) optimalizációs módszerek, funkcionálanalízis (optimális szabályozók tervezése, lineáris rendszeroperátorok) számításos rendszerbiológia (diff. egyenletes modellek, molekuláris szabályozókörök) dinamikus rendszerek paramétereinek becslése (dinamikus modellek konstruálása mérési adatok alapján) nemlineáris molekuláris folyamatok analízise és irányítása Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 65 / 79

66 Szoftver-eszközök (teljesség igénye nélkül) Kereskedelmi Matlab/Simulink: numerikus számítások, szimuláció Mathematica: szimbolikus, numerikus számítások Maple: szimbolikus, numerikus számítások, szimuláció Ingyenes Scilab/Xcos: numerikus számítások, szimuláció Sage: szimbolikus, numerikus számítások Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 66 / 79

67 Jelek 1 Jel: időtől, tértől vagy más független változótól függő (fizikai) mennyiség Pl. (a bevezető példák mellett) x : R + 0 R, x(t) = e t y : N + 0 R, y[n] = e n X : C C, X(s) = 1 s+1 Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 67 / 79

68 Jelek 2 1 a) x(t) t 1 b) 0.8 y[n] n Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 68 / 79

69 Jelek 3 szoba hőmérséklete: T(x,y,z,t) (x, y, z: helykoordináták, t: idő) színes TV képe: I : R 3 R 3 I(x,y,t) = I r(x,y,t) I g (x,y,t) I b (x,y,t), Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 69 / 79

70 Jelek csoportosítási szempontjai független változó dimenziója függő változó (jel) dimenziója valós v. komplex értékű folytonos v. diszkrét idejű korlátos v. nem korlátos periodikus v. aperiodikus páros v. páratlan Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 70 / 79

71 Különleges jelentőségű jelek 1 Dirac-δ vagy egységimpulzus függvény f(t)δ(t)dt = f(0) ahol f : R + 0 R tetszőleges sima (végtelenül sokszor folytonosan differenciálható) függvény. következmény: 1 δ(t)dt = 1 Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 71 / 79

72 Különleges jelentőségű jelek 2 Egységimpulzus fizikai jelentése: áramimpulzus töltés hőmérsékletimpulzus energia erőimpulzus momentum nyomásimpulzus tömeg sűrűségimpulzus: tömegpont töltésimpulzus: ponttöltés Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 72 / 79

73 Különleges jelentőségű jelek 3 Egységugrás (unit step) függvény azaz η(t) = η(t) = t δ(τ)dτ, { 0, ha t < 0 1, ha t 0 Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 73 / 79

74 Alapvető műveletek jelekkel 1 x 1 (t) y 1 (t) x(t) =., y(t) =. x n (t) y n (t) összeadás: (x +y)(t) = x(t)+y(t), t R + 0 skalárral való szorzás: (αx)(t) = αx(t) t R + 0, α R skaláris szorzat: x,y ν (t) = x(t),y(t) ν t R + 0 Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 74 / 79

75 Alapvető műveletek jelekkel 2 eltolás: T a x(t) = x(t a) t R + 0,a R kauzális eltolás: T c a x(t) = η(t a)x(t a) t R+ 0,a R Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 75 / 79

76 Konvolúció 1 x,y : R + 0 R (x y)(t) = t 0 x(τ)y(t τ)dτ, t 0 Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 76 / 79

77 Konvolúció x(t) y(t) (x*y)(t) t Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 77 / 79

78 Laplace-transzformáció Értelmezési tartomány: Λ = { f f : R + 0 C,f integrálható [0,a]-n a > 0 és A f 0,a f R, hogy f(x) A f e afx x 0 } Definíció: L{f}(s) = 0 f(t)e st dt, f Λ, s C Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 78 / 79

79 Rendszerek Rendszer: Olyan fizikai vagy logikai eszköz, amely jeleken végez valamilyen műveletet. (Bemenő jeleket dolgoz fel, és kimenő jeleket állít elő.) Szederkényi G. (PPKE-ITK) Computer Controlled Systems PPKE-ITK 79 / 79