Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Átírás

1 Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen függvény különböző rendű deriváltjait. A differenciálegyenlet megoldása azt jelenti, hogy találunk egy olyan függvényt (függvényeket) amely kielégíti az egyenletet. A fizika, kémia, biológia vagy közgazdaságtan számos alaptörvénye felírható differenciálegyenletekkel. A differenciálegyenleteket különbözőképpen osztályozhatjuk, vannak elsőrendű, másodrendű és magasabbrendű differenciálegyenletek, ezt az egyenletben található függvény legmagasabb rendű deriváltja adja meg. A közönséges differenciálegyenlet (DE) egy olyan differenciálegyenlet melyben a keresendő függvény csak egy változós. Ebben a fejezetben csak az első illetve másodrendű közönséges differenciálegyenletet tárgyaljuk. Hogyan kapjuk meg egy elsőrendű DE általános megoldását? Tekintsük az alábbi elsőrendű DE-t Ez egy nagyon egyszerű DE, de ezen keresztül is bemutathatjuk a Maple használatát a DE megoldásában. Megjegyeznénk, hogy az (1)-es DE egy kezdeti értékes DE. Ez azt jelenti, hogy az y ( 0) = 1, ( y illetve x értéke 0, illetve 1), kezdeti érték felhasználásával egy konkrét (partikuláris) megoldást keresünk. Először a DE általános megoldását keressük meg. Első lépésként ismerjük meg azokat a parancsokat, amelyeket a Maple a megoldáshoz használ. Azok a parancsok amelyeket a Maple DE-hez használ a DEtools csomagban találhatóak. A DE megoldásainak (a megoldás görbéinek) ábrázolásához a parancsokat a plots csomag tartalmazza. Nézzük meg ezek szintaxisát: A következő lépés a DE megadása. Ne felejtsük el, hogy az y függvény az x változótól függ, vagyis a bemenő adatnak y(x)-et tartalmaznia kell, hogy a Maple felismerje a változót. Használjuk az ODE1 jelölést a DE-hez:

2 A DE megoldásához a dsolve parancsot használjuk. Ha nem ismerjük egy parancs pontos használatát, megkereshetjük a hozzá rendelt help fájlt, ehhez csak annyit kell tennünk, hogy közvetlenül a parancs elé?-et írunk és megnyomjuk az Enter gombot. Lássuk akkor az (1)-es DE általános megoldását: Az általános megoldásban szereplő _C1-el a Maple egy tetszőleges konstant jelöl. Ha a megoldás bonyolult, akkor a konstans a megoldás végén is állhat. A Mapleben lehetséges az általános megoldás görbéjének ábrázolása is, ehhez a következő parancsot kell használjuk: A parancs első paramétere maga a DE, a második paraméter megadja a változót (y(x)- azaz y x-től függ), a harmadik és a negyedik bemeneti adat megadja a tartományt ahol ábrázoljuk x = 2..2, y = A többi paraméter opcionális,

3 akár ki is hagyható. Általában ha iránymezőt rajzolunk a scaling=constrained opciót használjuk, különben az irányvonalak torzulhatnak. A DE partikuláris megoldásának kiszámítása A Maple segítségével olyan DE-t is megoldhatunk amelyhez kezdeti feltétel tartozik. A partikuláris megoldás meghatározásához is a dsolve parancsot használjuk. Használva az eredeti DE kezdeti értékét, lássuk milyen partikuláris megoldást kapunk: Ha ábrázolni akarjuk a partikuláris megoldást is, akkor Deplot parancsot hasznájuk a következőképpen:

4 Másodrendű DE megoldása Maplel Kezdjük egy másodrendű állandó együtthatós homogén DE megoldásával. y + 2 y + 10y = 0 Az egyenlet azért homogén mert az ismeretlen függvény, y, és a deriváltjai is az egyenlet baloldalán helyezkednek el és a jobb oldal pedig 0. Először is beírjuk az egyenletet. Ezután újra segítségül hívjuk a DE megoldásához a DEtools és plots csomagokat ugyanúgy mint az elsőrendű DE megoldásánál. Az előző fejezetben már bemutattuk, hogy diff(y(t),t,t) az y(t) második deriváltját adja meg. A DE megoldásához újra a dsolve parancsot használjuk. Az első argumentum a DE amit megakarunk oldani (a mi esetünkben (eq1) és a második argumentum a függvény amit keresünk y(t). Az előző fejezetből már tudjuk, hogy a dsolve parancs a megoldást a következő alakban adja meg : ismeretlen függvény=megoldás, ha azonban csak a megoldást szeretnénk látni az rhs parancsot kell használjuk ami csak a jobboldalt jeleníti meg. Jelöljük a megoldást sol1 -el. A megoldásban szereplő _C1-el és _C2-vel a Maple tetszőleges konstant jelöl. Másodrendű kezdeti értékkel definiált feladat megoldása A következő lépés az előző másodrendű DE megoldása kezdeti feltétel mellett. Minden másodrendű DE-nek két kezdeti érték feltétele kell legyen. Oldjuk meg tehát a következő DE-t y + 2 y + 10y = 0, y ( 0) = 3, y (0) = 5. Akárcsak az előzőekben a dsolve parancsot használjuk a DE megoldására. Jelöljük a megoldást sol2 -vel.

5 Ezzel megkaptuk a DE partikuláris megoldását, ha megakarjuk rajzolni, akkor ez a plot paranccsal megtehető: Inhomogén, kezdeti érték feltétellel megadott másodrendű DE Végezetül oldjunk meg egy másodrendű inhomogén DE-t, melyhez kezdeti feltétel is tartozik. Legyen a következő DE: Első lépésünk most is az, hogy megadjuk a DE-t és jelöljük ezt eq2 -vel.

6 Akárcsak az előző feladatoknál a megoldáshoz a dsolve parancsot használjuk és jelöljük az általános megoldást sol3 -al. Mint láthatjuk ez a megoldás már sokkal bonyolultabb mint az előző feladatok megoldásai amiatt hogy ez már egy inhomogén DE. Felhasználva a kezdeti feltételeket keressük meg a DE partikuláris megoldását a dsolve paranccsal és jelöljük a megoldást sol4 -el: Nagyon bonyolult megoldást kaptunk, ezért ábrázoljuk, hogy átláthatóbb képet kapjunk a megoldás görbéjéről: