Tananyag. Amikor ez nem sikerül (vagy nem érdemes előállítani a megoldás képletét, mert pl. nagyon
|
|
- Petra Pataki
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 5. lecke. A megoldás előállíthatóságának problémája. Egy közelítő módszer, hibabecsléssel Tananyag Láttuk az előzőekben, hogy az y = f(x, y) differenciálegyenlet jobb oldalának, az f = f(x, y) kétváltozós függvénynek az ismeretében gyakran eldönthető, hogy a differenciálegyenletnek van-e megoldása. Azonban a fenti tételek arról nem adnak információt, hogy a megoldás ha létezik hogyan adható meg konkrétan, pl. hogyan írható fel a képlete. A 2. és 3. modulban olyan speciális f-eket vizsgálunk meg, amikor a megoldást elő tudjuk állítani valamilyen formában, gyakran annak képletét is. Általában azonban a megoldást, mégha bizonyítottan létezik is, nem kaphatjuk meg egy véges képlet alakjában. Például az y(x) = e x2 dx primitívfüggvények (ezek az analízis tétele miatt léteznek, lévén az integrandus folytonos függvény) a határozatlan integrál definíciója miatt kielégítik az y = e x2 egyenletet; viszont bizonyított, hogy ezek az y függvények nem írhatók fel csak az elemi függvények (azaz a hatvány-, exponenciális-, trigonometrikus függvények, ezek inverzei) felhasználásával véges sok művelet (összeadás, szorzás, osztás, függvénykompozíció) segítségével, röviden véges képlettel. Sőt, még az sem elegendő differenciálegyenletek megoldásainak véges képlettel való felírhatóságához, hogy megengedjük még az eddigi értelemben véges képletű függvények primitív függvényeinek (így pl. az előző differenciálegyenlet megoldásának) a szerepeltetését a képletekben: az is bizonyított, hogy az y = x 2 + y 2 egyenletnek még így sem adható meg véges képlettel a megoldása (de megoldása van). Ez is jelzi, amit a tapasztalat mutat: mérnöki és más tudományterületeken felbukkanó differenciálegyenletek megoldását, a megoldás hozzárendelési szabályát gyakran nem lehet megadni képlettel. Amikor ez nem sikerül (vagy nem érdemes előállítani a megoldás képletét, mert pl. nagyon bonyolult lenne), akkor valamilyen közelítő módszerre van szükségünk; ez a megoldásfüggvénynek a hozzárendelési szabályát közelíti egy másik, tipikusan egyszerű képlet segítségével, vagy esetleg csak sokszor ez is elég az alkalmazásokban bizonyos érdekes értelmezési tartománybeli pontban. Ezzel a témakörrel foglalkozik a differenciálegyenletek megoldásának numerikus módszerei tudományterület (ebben a jegyzetben nem foglalkozunk vele részletesen). Előbbire, közelítő képlet előállítására itt ebben a leckében is mutatunk egy módszert, a Taylorsor módszert. Igényesebb alkalmazások megkövetelik, hogy ne csak egy közelítést adjunk, hanem adjunk becslést arra: mekkora lehet a hiba legfeljebb a leckét egy hibabecslő eljárás bemutatása zárja. Ha a differenciálegyenlet pontos megoldását nem is ismerjük, azért a differenciálegyenlet vizsgálatából általában sok információ nyerhető a megoldásra nézve. Például, az előző differenciálegyenlethez tartozó tetszőleges kezdeti érték feladatnak egyértelmű megoldása van (ezt tudjuk az unicitási tételből) és ez a megoldás monoton növekedő. Ez utóbbi tulajdonság onnan
2 következik, hogy a megoldás deriváltja, x 2 + y 2 minden x-re nemnegatív. (Gyakorlásképpen bizonyítsa be az olvasó, hogy az y(0) = 0 kezdeti feltételhez tartozó megoldásnak egyetlen inflexiós pontja van csak, a 0.) Általában azonban nem elegendő a megoldás pusztán kvalitatív, azaz csak minőségi tulajdonságokra (mint pl. monotonitásra) szorítkozó vizsgálata, hanem meg kell határoznunk a megoldás néhány, vagy akár az értelmezési tartományának minden pontjában felvett értékét (például, ha feladatunk egy fizikai jelenség matematikai modellje és az ismeretlen fizikai mennyiség számszerű értékére van szükség). Erre akkor nehezebb válaszolni, ha a megoldás mint a fenti estben is nem írható fel képlet segítségével 1. Ekkor be kell érnünk a pontos megoldás valamilyen közelítésével. A feladat kitűzéséből, illetve az esetlegesen háttérben lévő fizikai feladatból tudhatjuk, hogy milyen értelemben kell a közelséget értelmezni. Leggyakrabban az y pontos és az ỹ közelítő megoldás különbségének abszolút értékét, illetve ha több pontban keressük a megoldást, akkor ezen abszolút értékek maximumát szokták használni a hiba mérésére. Magát az y ỹ különbséget nem ismerjük, mert ellenkező esetben ezt ỹ-hoz hozzáadva mégiscsak megkapnánk a pontos megoldást. Tehát ha a pontos megoldást nem tudjuk felírni, akkor a közelítő megoldások hibájára is csak becslést adhatunk. Ez azonban szükséges, hiszen ha megadunk egy függvényt és azt mondjuk, hogy ez a feladat közelítő megoldása, akkor fontos, hogy legyen fogalmunk az elkövetett hiba nagyságáról, hiszen ennek hiányában egy függvény semmi információt nem hordoz a pontos megoldásra. Azonban a hiba nem túl durva becslése általában nehéz, így gyakran megelégszünk valamilyen nagyságrendi becsléssel is. Egy elég általános, elsőrendű kezdeti érték feladatok közelítő megoldásának hibájára vonatkozó becslés található a lecke végén. Nézzünk először egy közelítő módszert kezdeti érték feladatok megoldására. A Taylor-sor módszer Ennek a módszernek a segítségével a?? alfejezetben kitűzött feladatok közül a kezdeti érték feladatok megoldására kapunk közelítéseket, annak x 0 körüli Taylor-polinomjai (speciális esetekben Taylor-sorának) alakjában. A Taylor-polinomok pedig amint azt az analízisből tudjuk elég gyakran jól közelítik a kifejtett függvényt a kifejtési pont, x 0 közelében. Tekintsük először az elsőrendű kezdeti érték feladatot. y (x) = f(x, y(x)) y(x 0 ) = y 0 1 Az is előfordulhat, hogy a differenciálegyenlet megoldását képlet írja le, mi ezt a képletet ismerjük, de túl bonyolult, ezért egy vagy több pontban való kiértékelése több fáradsággal, esetleg nagyobb hibával járna, mintha egyből egy közelítő eljárással számolnánk. (1)
3 A módszer lényege az, hogy ha a differenciálegyenlet jobb oldalát deriváljuk x szerint, akkor megkapjuk y deriváltjait, lévén y az eredeti differenciálegyenlet bal oldala. Csak az a baj, hogy a deriváltakra előálló formula tartalmazza az ismeretlen y függvényt is, hiszen azt a jobb oldal, f(x, y(x)) is tartalmazza, ezért a deriváltak értéke általában ismeretlen. Azonban y-nak egy pontban, x 0 -ban ismerjük a helyettesítési értékét: a kezdeti feltétel szerint ez y(x 0 ) = y 0 ; így ebben a pontban ki tudjuk értékelni a deriváltakat. Ezek segítségével felírhatók a keresett Taylor-polinomok. Másodrendű differenciálegyenletekhez tartozó kezdeti érték feladatoknál a módszer ugyanez, csak az egyenletek deriválásával mindig eggyel magasabb rendű deriváltját kapjuk meg y-nak, mint az előbb. Nézzük meg most pontosabban az előbb mondottakat. Állítás. Ha f n-szer folytonosan deriválható az (x 0, y 0 ) pont környezetében 2, akkor a (1) kezdeti érték feladat y megoldása n + 1-szer deriválható x 0 -ban és az y (k) (x 0 ), k = 1,..., n + 1 deriváltak kifejezhetők x 0, y 0 és f parciális deriváltjai (x 0, y 0 ) helyen felvett helyettesítési értékeivel. Bizonyítás. Először nézzük meg az állítást n = 1-re. A láncszabályt 3 felhasználva deriváljuk a differenciálegyenlet jobb oldalát x szerint! Ez megtehető, mert a feltételezések szerint f és y is differenciálható. (A könnyebb olvashatóság miatt a második egyenlőségjeltől a parciális deriváltakra az indexes jelölésmódot használjuk, továbbá az y függvény x és az f és parciális deriváltjainak (x, y(x)) argumentumait sem írjuk ki.) df(x, y(x) dx = f f (x, y(x)) 1 + x y (x, y(x))y (x) = f x + f y f, kihasználva még azt, hogy y megoldása a differenciálegyenletnek, így y = f. Ezért a differenciálegyenlet bal oldala, y is deriválható és y = f x + f y f. (2) n = 2-re az állítás ugyanígy látható be: (2) jobb oldala x szerint deriválható és a deriválást elvégezve kapjuk: d dx (f x + f y f) = (f x + f y f) x 1 + (f x + f y f) y y = = (f xx + f yx f + f y f x ) 1 + (f xy + f yy f + f y f y ) y, amit átrendezve és y = f-et beírva y -re az y = f xx + 2f xy f + f yy f 2 + f y (f x + f y f) (3) 2 Ez azt jelenti, hogy az n-edik rendig bezárólag az összes parciális deriváltja létezik és folytonos az (x 0, y 0 ) pont környezetében. 3 Lásd a??. alfejezetet.
4 formulát kapjuk. Ez az eljárás láthatóan akármekkora n-re működik. A pontos bizonyítást jelentő n+1-ig terjedő teljes indukciót itt elhagyjuk. Ezután y deriváltjainak x 0 helyen felvett értékeihez úgy jutunk, hogy az (x 0, y 0 ) ponton kiszámítjuk (2), (3) és a többi deriváltra vonatkozó egyenletek jobb oldalát. Így eljutunk y n-edfokú T n Taylor-polinomjához, melynek alakja: T n (x) = n y (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. (4) Ez szolgál az y pontos megoldás közelítésére. Mielőtt e közelítés hibájának a becslésére is alkalmazható formulát ismertetnénk, lássunk a módszer alkalmazására egy példát! Hogy legyen összehasonlítási alapunk olyan differenciálegyenletre fogjuk alkalmazni, amelynek a pontos megoldása ismert. 1. kidolgozott feladat. Adjuk meg az y = 2xy, y(0) = 1 kezdeti érték feladat megoldásának x 0 = 0 körüli 4-edrendű Taylor-polinomját! Megoldás: A keresett polinom alakja: T 4 (x) = 4 y (k) (0) x k. A kezdeti feltételből: a differenciálegyenletből: y (0) (0) = y(0) = 1; y (1) (0) = y (0) = = 0. Deriválva a differenciálegyenletet: y = 2y + 2xy = 2y + 2x 2xy = 2y + 4x 2 y, (5) így y (0) = = 2. Hasonlóan y = (2y + 4x 2 y) = 2y + 8xy + 4x 2 y = 4xy + 8xy + 8x 3 y = 12xy + 8x 3 y, (6)
5 ezért y (0) = 0; ahonnan Így y = (12xy + 8x 3 y) = 12y + 12x 2xy + 24x 2 y + 8x 3 2xy = 12y + 48x 2 y + 16x 4 y, y (0) = 12. T 4 (x) = ! x + 2 2! x ! x ! x4 = 1 + x x4. Most a pontos megoldást fel tudjuk írni a korábban tanult módszerek segítségével (a differenciálegyenlet szétválasztható változójú (és lineáris is)). A megoldás: y(x) = e x2, amelynek a Taylor-sora (felhasználva e x Taylor-sorát) az alábbi alakban írható fel: (x 2 ) k = x 2k = 1 + x 2 + x , ahonnan láthatjuk, hogy valóban jól számoltunk az előbb. Egy példa végigszámolása után jól láthatjuk, hogy tulajdonképpen felesleges volt (5)-ben és (6)-ban y - nek a differenciálegyenletből származó képlettel való helyettesítése. Ezt az y alakot is vihettük volna tovább és amikor ezt a tagot deriválni kell, akkor azt csak formálisan kijelöljük. Amikor a konkrét x 0 helyen kell kiszámolni a helyettesítési értékeket, addigra már a megfelelő deriváltak értékei már rendelkezésre fognak állni. A fenti példánál maradva, a (5) és (6) egyenletek helyett elég lett volna az alábbiakat írni. y = 2y + 2xy, ahonnan y (0) = 1-et felhasználva Hasonlóan y (0) = = 2. y = 2y + 2y + 2xy, ahonnan az előbb kiszámított y (0) = 0-t felhasználva Ezt az eljárást folytathatnánk végig. y (0) = = 6. Ez a módosítás elég sok számítástól megkímél bennünket, főleg akkor, ha f parciális deriváltjai bonyolultak.
6 2. kidolgozott feladat. Írjuk fel az x 2 y + xy y = 0, y(1) = 2, y (1) = 0 kezdeti érték feladat megoldásának harmadfokú, x = 1 körüli Taylor-polinomját! Megoldás: A polinom alakja: T 3 (x) = 3 y (k) (1) (x 1) k. A szükséges deriváltak közül kettőt ismerünk a kezdeti feltételből: y (0) (1) = y(1) = 2 és y (1) (1) = y (1) = 0. A maradék két együttható számolásához először fejezzük ki y -t a differenciálegyenletből: Innen közvetlen behelyettesítéssel y (1) = = 2 adódik. Deriválva (7)-t: ahonnan Így a keresett polinom: y = y x + y x 2. (7) y = y x y x 2 y (1) = y x 2 2xy x 4, = 6. T 3 (x) = 2 + (x 1) 2 (x 1) 3. Speciális esetekben az ismertetett hatványsor-módszer megadja a megoldás teljes Taylorsorát is, nemcsak egy Taylor-polinomját. Akkor lehetséges ez, ha észreveszünk valamilyen, legtöbbször rekurziós formulát az y (k) (x 0 ) értékekre. 3. kidolgozott feladat. Adjuk meg az y = 5y, y(0) = 3 kezdeti érték feladat megoldásának x 0 = 0 körüli Taylor-sorát!
7 Számítsunk ki először néhány deriváltat és próbáljuk megsejteni belőlük az általános for- Megoldás: mulát! Ezekből azt sejtjük, hogy y (2) = (y (1) ) = (5y) = 5 2 y, y (3) = (y (2) ) = (5 2 y) = 5 3 y, y (4) = (y (3) ) = (5 3 y) = 5 4 y. y (k) = 5 k y. Ezen állítás bizonyítása k szerinti indukcióval könnyen elvégezhető. Valóban, k = 0-ra és k = 1-re nyilvánvalóan, k = 2, 3, 4-re az előbb látottak miatt igaz; továbbá ha k-ra igaz, akkor k + 1-re: y (k+1) = (y (k) ) = (az indukciós feltevés miatt:) = (5 k y) = 5 k 5y = 5 k+1 y, amit igazolni kellett. Ezért minden k természetes számra így a keresett Taylor-sor: y (k) (0) = 5 k y(0) = 3 5 k, 3 5 k x k = 3 (5x) k. Ez viszont könnyen észrevehetően éppen 3e 5x Taylor-sora, ezért a megoldás y(x) = 3e 5x. Megjegyezzük, hogy a megoldást megkaphattuk volna pl. a változók szétválasztásának módszerével is. Egy hibabecslő eljárás tetszőleges közelítéshez Most bizonyítás nélkül 4 ismertetünk egy tételt, amely segítségünkre lehet tetszőleges közelítő megoldás, így a hatványsor-módszerrel kapott Taylor-polinom hibájának megbecslésében is. Tétel. Tekintsük az y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 kezdeti érték feladatot és legyen D D f olyan tartomány, amelyen f folytonos és (8) f y L, 4 A bizonyítás megtalálható pl. [?]-ban.
8 továbbá (x 0, y 0 ) D. Ha z olyan függvény, melynek értelmezési tartománya tartalmazza az I intervallumot, grafikonjának I feletti része D-ben halad (azaz {(x, z(x)) IR 2 x I D) és létezik hozzá ε 1, ε 2 IR, hogy egyaránt teljesül, akkor z(x 0 ) y 0 ε 1 és f(x, z(x)) z (x) ε 2 minden x I-re {(x, y) IR 2 x I, y z(x) (ε 1 + ε 2 x x 0 )e L x x 0 D (9) esetén (8) (D-ben egyértelmű) y megoldására és a z közelítésre érvényes az y(x) z(x) (ε 1 + ε 2 x x 0 )e L x x 0 (10) becslés minden x I pontban. Nézzünk meg egy példát a tétel alkalmazására! 4. kidolgozott feladat. A 1. kidolgozott feladatban már vizsgáltuk az y = 2xy, y(0) = 1 kezdeti érték feladatot és ott a pontos y megoldás közelítésére a T 4 (x) = 1 + x 2 + x4 2 Becsüljük meg T 4 legnagyobb eltérését y-tól a [ 0.4, 0.4] intervallumon! Megoldás: Feladatunkban a tételbeli jelöléseknek polinomot kaptuk. f(x, y) = 2xy, z(x) = T 4 (x) felel meg. D megválasztása lenne a következő lépés. Ebben két különböző érdek játszik szerepet: egyrészt D-t minél kisebbre kell választanunk, hogy f maximumára minél kisebb L becslés jöjjön ki, ami azért y fontos, mert a (10) alatti hibabecslés, azaz a jobb oldal L növekedtével rohamosan, exponenciálisan nő. Másrészt, D-t elég nagyra kell választani, hogy (9) is teljesüljön és ezt annál könnyebb elérni, minél nagyobb D. Legyen most I = ( 1 2, 1 2 ), D = I IR = {(x, y) IR2 x I, y IR. Ekkor világos, hogy a (9) feltétel teljesül, hiszen D,,y-irányban végtelen. Nézzük meg, nem kapunk-e túl nagy számot emiatt L-re. f y = 2x 21 2 = 1 I-n,
9 ezért L = 1 jó választás. Azt is látjuk, hogy ebben a feladatban nem okozott rosszabb becslést D-re az, hogy D-t y-irányban túl nagyra választottuk, mert f most nem függött y-tól. y Keressünk megfelelő ε 1 -et és ε 2 -t! Mivel z(0) y(0) = 0, ezért ε 1 = 0 jó választás. Továbbá f(x, z(x)) z (x) = 2x(1 + x 2 + x4 2 ) (2x + 2x3 ) = x 5, és mivel az x 5 függvény monoton növő [0, 1 2 ]-en, így legnagyobb értékét éppen a végpontjában veszi fel, ezért ε 2 = (1/2) 5 = 1/32 megfelelő választás. Így (10)-nek megfelelően y(x) T 4 (x) 1 32 x e x minden x I-re. Az xe x függvény a nemnegatív félegyenesen szigorúan növekvő, ezért y(x) T 4 (x) 1 32 azaz a legnagyobb hiba kisebb, mint e 1 2 < ,
Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,
Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenNagy Krisztián Analízis 2
Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai
. Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenFourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenMÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenMatematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált
Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 3. Hibaszámítás, lineáris regresszió Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Hibaszámítás Hibák fajtái, definíciók Abszolút, relatív, öröklött
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenMatematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.
3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek
Részletesebben1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x
1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenMatematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév
Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen
RészletesebbenDiszkréten mintavételezett függvények
Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
Részletesebben