Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008"

Átírás

1 Égi mechanika tesztkérdések A hallgatók javaslatai

2 1 Albert hajnalka 1. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s1 = k 2 m 1m 2 r,m s r 2 r 2 2 = k 2 m 1m 2 r r 2 r mozgásegyenletek ekvivalensek a: a) r = µ r 3 r b) r = µ r 2 r c) r = µ r 3 r ahol µ = k 2 (m 1 m 2 ) 2. A Steffenszen-módszer milyen segedváltozókat vezet be? a) s i = r 3 i, i = 1, 2,..., n, s ij = r 3 ij, i, j = 1, 2,..., n, i j b) s i = ri 3, i = 1, 2,..., n, s ij = rij, 3 i, j = 1, 2,..., n, i j c) s i = ri 2, i = 1, 2,..., n, s ij = r 2 ij, i, j = 1, 2,..., n, i j 3. A Jacobi-Lagrange egyenlet n-test probléma esetén: a) b) c) Ï = 2U + 4h, ahol I az össz tehetetlenségi nyomaték Ï = 2U + 2h, ahol I az össz tehetetlenségi nyomaték Ï = 2U + 2h, ahol I az össz tehetetlenségi nyomaték 4. A relatív mozgás pályaegyenlete: a) r = b) r = c) r = p 1+e cos(u w) p 1 e cos(u w) p 1+e cos(u+w) 5. Energiaintegrál: a) T + V = h, h R állandó b) T V = h, h R állandó c) T + U = h, h R állandó 6. Tömegközéppont integrál: a) m r c = a t + b, ahol a, b R állandó vektorok, t I 2

3 b) m r c = a t + b, ahol a, b R állandó vektorok, t I c) m r c = at b, ahol a, b R állandó vektorok, t I 7. A háromtest probléma: a) három pontszerű test meghatározása, ha rájuk csak a Newton-féle gravitációs vonzóerő hat b) három pontszerű test sebességének vizsgálata c) Három pontszerű test mozgásának vizsgálata 8. A Laplace-integrál: a) r c µ r r = λ, λ a Laplace-vektor b) r c + µ r r = λ, λ a Laplace-vektor c) r c µ r 2 r = λ, λ a Laplace-vektor 9. Az excentrikus anomália a t idő függvényében a következő: a) E e sin E = n(t τ) b) E + e sin E = n(t τ) c) E e cos E = n(t τ) 10. A mozgás pályája parabola, ha a numerikus excentricitás: a) e = 1 b) e = 0 c) e (0, 1) Minden kérdés esetén az a) válasz a helyes! 3

4 2 Bartha Ildikó 1. Az égi mechanika a csillagászat azon ága, amely: a) a Naprendszert alkotó természetes égitestek mozgását vizsgálja b) mesterséges égitestek mozgását vizsgálja c) a csillagok mozgását tanulmányozza 2. Kepler harmadik törvénye: a) p2 a 3 = 4Π2 µ b) p2 a 3 = µ 4Π 2 c) a 3 4Π 2 = µ p 2 3. Kepler hányadik törvénye mondja ki azt, hogy a bolygók vezérsugara az idővel arányos területet súról? a) Kepler I. törvénye b) Kepler II. törvénye c) Kepler III. törvénye 4. A háromtest-probléma Newton-féle mozgásegyenletei: a) m i ẍ i = U x i, m i ÿ i = U y i, m i z i = U ahol U = k 2 ( m 1m 2 r 12 + m 2m 3 r 23 + m 3m 1 ), r ij = r j r i. z i, b) m i ẍ i = U x i, m i ÿ i = U y i, m i z i = U ahol U = k 2 m ( 1 m 2 m 3 ), r i,j=1,3,i j r ij = r ij j r i. r 31 z i, c) m i x i = U x i, m i y i = U y i, m i z i = U ahol U = k 2 ( m 1+m 2 r 12 + m 2+m 3 z i, r 23 + m 3+m 1 r 31 ), r ij = r j r i. 5. Hányad rendű a háromtest probléma mozgásegyenleteinek differenciálegyenlet rendszere és hányad rendűre redukálható? a) 18 és 6 b) 20 és 8 c) 18 és Steffensen módszer: 4

5 a) az n-test probléma megoldása numerikus megközelítéssel, hatványsorok használata b) a kettest probléma megoldása numerikus megközelítéssel c) a háromtest probléma idő szerinti deriváltjának vizsgálata 7. A Steffensen-módszerrel megadott egyenletek száma a hely és sebességkomponensekre: a) 6n b) 2n c) n(n-1) 8. A korlátozott háromtest-probléma esetén a Jacobi-integrál: a) ( ) dx 2 ( dt + dy ) 2 dt = 2Ω + C b) ( ) dx 2 ( dt + dy ) 2 dt = 0 c) ( ) dx 2 ( dt + dy ) 2 dt = Ω 9. A Lagrange-féle stabilitás szükséges feltétele: a) h 0 < 0 b) h 0 > 0 c) h 0 = A hármas ütközésre melyik tétel ad szükséges feltételt és mi az? a) Weierstrass-Sundman, c = 0 b) Steffensen, c = 0 c) Kustaanheio-Stiefel, c 0 Minden kérdés esetén az a) válasz a helyes! 5

6 3 Katona Kálmán 1. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan hɛr állandó, amelyre ahol: T + V = h, tɛ[t 0, t v ], a.) T = n i=1 m i v i 2 b.) T = 1 2 n i=1 m i v i 2 c.) T = 1 2 n i=1 m i v i 2 2. A Lagrange-Jacobi egyenlet esetén, a rendszer tehetetlenségi nyomatéka: a.) I = n i=1 m i (x i + y i + z i ) b.) I = 1 2 n i=1 m i (x 2 i + y 2 i + z 2 i ) c.) I = n i=1 m i (x 2 i + y 2 i + z 2 i ) 3. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan c állandó vektor, amelyre n ( r i m i r i ) = c, tɛ[t 0, t v ]. i=1 a.) impulzusmomentum-integrál b.) energiaintegrál c.) tömegközéppont-integrál 4. Az n-test problémára vonatkozó Lagrange-Jacobi egyenlet felírható a következő alakban: a.) R = 2 U + 4 h 0 b.) R = 2 U 4 h 0 6

7 c.) R = 2 U + h 0 5. Az n-test problémára vonatkozó Lagrange-Jacobi egyenlet esetén az R a következő alakban írható fel: c.) R = 1 2 m n i=1 n j=1j i m i m j r ij b.) R = 1 4 m n i=1 n j=1j i m i m j r 2 ij c.) R = 1 2 m n i=1 n j=1j i m i m j r 2 ij 6. A relatív mozgás bármely megoldás esetén létezik olyan hɛr állandó, amelyre 1 ( ) 2 2 µ r r = h, tɛ[t 0, t v ]. a.) impulzusmomentum-integrál b.) energiaintegrál c.) Laplace-integrál 7. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s 1 = k 2 m1 m 2 r, m r 2 r 2 r 2 = k 2 m1 m 2 r 2 következő mozgásegyenlettel ekvivalensek: r r mozgásegyenletek a a.) r = µ r r 3 b.) r = µ r r 3 c.) r = µ r r 3 8. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s 1 = k 2 m1 m 2 r, m r 2 r 2 r 2 = k 2 m1 m 2 r mozgásegyenletek az r 2 r r = µ r mozgásegyenlettel ekvivalensek, ahol: r 3 a.) µ = k 2 (m 1 m 2 ) b.) µ = k 2 (m 1 + m 2 ) c.) µ = k 2 (m 1 + m 2 ) 7

8 9. Elliptikus mozgás esetén a T sziderikus keringési periódus négyzetének és a pálya a fél nagytengelye köbének arányára érvényes a következő összefüggés: T 2 a 3 = 4 π2 µ a.) Kepler I általánosított tétele b.) Kepler II általánosított tétele c.) Kepler III általánosított tétele 10. Elliptikus mozgás esetén a mozgó pont v sebességére érvényes a következő összefüggés: a.) v 2 = µ ( 2 r 1 a ) b.) v 2 = µ ( 2 r + 1 a ) c.) v 2 = µ ( 1 r + 1 a ) Helyes válaszok: 1.-b 2.-c 3.-a 4.-a 5.-c 6.-b 7.-a 8.-c 9.-c 10.-a 8

9 4 Koók László 1. A Laplace vektor alakja: (a) λ = µ r + rx c r (b) λ = µ + rx c r (c) λ = µ r + rx c r (d) λ = r + rx c 2. A Lagrange - Jacobi egyenlet: (a) (b) (c) (d) Ï = U + h Ï = U + 2h Ï = 2U + h Ï = 2U + 4h 3. Kepler első általánosított törvénye: (a) A kéttest - probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókuszú kúpszelet (b) A kéttest - probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókuszú hipebola (c) A kéttest - probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókuszú parabola (d) A kéttest - probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 sugarú kör 4. A Lagrange - féle stabilitás szükséges feltétele: (a) h 0 = 0 (b) h 0 < 0 (c) h 0 > 0 (d) h 0 = 1 9

10 5. Az n-test probléma megoldásának numerikus megközelítésére használt módszer: (a) Lagrange módszer (b) Steffensen módszer (c) Sundman módszer (d) Broucke módszer 6. A relatív mozgás egyenlete: (a) r = µ r r 2 (b) r = µ r 3 (c) r = r r µ 3 (d) r = µ r r 3 7. A T sziderikus keringés és n középmozgás kapcsolata: (a) (b) (c) (d) n = π T n = 2T n = 2π T n = πt 8. Az elliptikus mozgás esetén az E excentrikus anomália NEM elégíti ki a következő összefüggést: (a) rcosv = a(cose e) (b) rsinv = a 1 e 2 sine (c) r = a(1 ecose) (d) r = (1 sine) 9. A Jacobi integrál: (a) (b) (c) (d) ( dx dt ) + ( dy ( dx dt )2 + ( dy ( dx dt )2 + ( dy ( dx dt )2 + ( dy ) = 2Ω + C dt dt )2 = 2Ω + C dt )2 = Ω + C ) = 2Ω + C dt 10. Mit jelent az inklináció? (a) (b) (c) (d) periodikus mozgás pályaelhajlás torzultság egyensúlyi állapot 10

11 Megoldások: 1) (a) 2) (d) 3) (a) 4) (b) 5) (b) 6) (d) 7) (c) 8) (d) 9) (b) 10) (b) 11

12 5 Kupás Ernő 1. Az n-test probléma esetén az energiaintegrál kifejezésében szereplő kinetikus energia értéke: a) T = 1 2 n i=1 m i v 2 i b) T = 1 2 n i=1 m i v 2 i c) T = k 2 1 i j n d) T = k2 2 m i m j r ij m i m j i,j=1,n;i j r ij 2. Az n-testre vonatkozó Lagrange-Jacobi egyenlet felírható az Ṙ = 2U + 4h 0 alakban, ahol: a) R = 1 n n m i m j 2m i=1 j=1;i j rij 2 b) R = 1 n n 2m i=1 j=1;i j m im j rij 2 c) R = 2m n n i=1 j=1;i j m im j rij 2 d) R = 2m n i=1 n j=1;i j m i m j r 2 ij 3. Az n-test probléma n 3 esetén a tanult tíz első integrál (vagy skaláris első integrál) felhasználásával az egyenletek a) (2n 10) ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók b) (3n 10) ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók c) (4n 10) ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók d) (6n 10) ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók 4. A ρ 1 = 0 feltétel esetén a pontok közti r ij = r j r i kölcsönös távolságok kifejezése a Jacobi-koordináták segitségével: a) r ij = ρ j ρ i + j 1 m l l=i M l ρ l, 1 i < j n. b) r ij = ρ j ρ i + j 1 l=i M l m l ρ l, 1 i < j n. c) r ij = ρ j ρ i + j 1 l=i M lm l ρ l, 1 i < j n. d) r ij = ρ j ρ i + j 1 l=i ρ l M l m l, 1 i < j n. 12

13 5. Az e = 1 + 2h c2 összefüggéssel értelmezett e numerikus excentricitás µ 2 parabola pályát ír le,ha: a) e [0, 1) b) e = 0 c) e = 1 d) e > 1 6. Az energiaintegrál: T + V = h (ekvivalens) a) m 1( r 1 ) + m 2( r 2 ) + k 2 m 1m r b) m 1( r 1 ) + m 2( r 2 ) k 2 m 1m r c) m 1( r 1 ) + m 2( r 2 ) + k 2 m 1m r d) m 1( r 1 ) + m 2( r 2 ) k 2 m 1m r = h = h = h = h 7. Az elliptikus mozgás esetén az E excentrikus anomálía kielégíti a következő összefüggéseket:(keressük meg melyik nincs helyesen felírva!) a) rcosv = a(cose e), b) rsinv = a 1 e 2 sine, c) r = a(1 ecose), d) tan v 2 = 1 e 1+e tan E 2, e) dv de = 1 e 2 1 ecose ben L. Euler azt a problémát vizsgálta, lehetséges-e háromtestprobléma olyan megoldása, amelyben a a) tömegpontok közti távolság négyzetesen változik b) tömegpontok mindig egy egyenesbe esnek c) tömegpontok mindig egy síkba esnek 9. Milyen alakja van a Tisserand-kritériumnak térbeli esetben? a) 1 a + 2n k a(1 e2 ) = konstans b) 1 a + 2n k a(1 e2 )sini = konstans 13

14 c) 1 a + 2n k a(1 e2 )cosi = konstans d) 1 a + 2n k a(1 e2 )tani = konstans 10. Ki bizonyitotta be, hogy a háromtest-problémának nem létezik a 10 es klasszikus első integráltól független, további algebrai első integralja? a) H. Bruns b) K. Sundman c) L. Euler d) Tisserand Helyes válaszok: 1-a 2-b 3-d 4-a 5-c 6-b 7-d 8-b 9-c 10-a 14

15 6 Máthé Boglárka 1. Az Égi mechanika a Csillagászat azon ága, amely... a. a gravtitációs vonzóerő figyelembevételével a kevéstest rendszerek valódi mozgását tanulmányozza. b. az égitestek szerkezetét, fizikai tulajdonságait és kémiai összetételét tanulmányozza. c. a világegyetem egésszének szerkezetét és fejlődését tanulmányozza. d. a műszertechnika, asztrometriai mérési módszerek, hibaszámítással foglalkozik. e. csillagok, csillagrendszerek és csillagközti anyag eloszlásának és mozgásainak törvényeit tanulmányozza. 2. Az egy pontból felmért sebesség vektorok végpontjainak mértani helye -meghatározása... a. a sebesség-hodográfnak. b. a valódi anomáliának. c. a pericentrumnak. d. az apocentrumnak. 3. Az energia integrál... állandóságát fejezi ki. a. a mechanikai energia b. a helyezeti energia c. a mozgási energia d. a gravitációs energia 4. A v 2 = µ( 2 1 ) összefüggéssel kiszámolható... r a a. az elliptikus mozgás sebessége. b. a körmozgás sebessége. c. a hiperbólikus mozgás sebessége. d. a parabólikus mozgás sebessége. 5. A Lagrange-Jacobi egyenlet: Ï = 2U + 4h, ahol U : 15

16 a. U = V b. U = 1 V c. U = V + T d. U = T 6. A Lagrange-Jacobi egyenletben I, a rendszer tehetetlenségi nyomatéka, melyik összefüggéssel számolható ki? a. I = n i=1 m i(x 2 i + y 2 i + z 2 i ) b. I = n mvi 2 i=1 2 c. I = gh n i=1 m i d. I = 1 2m n i=1 n+1 j=1 m im j r ij 7. Az r = d2 r dt 2 összefüggés, megadja... a. a sebességet. b. a gyorsulást. c. a mozgás pályáját. d. az impulzust. 8. Az impulzusmomentum integrál megadható, mint: a. mv = c b. r 2 dr dt = c c. r dv dt = c d. d 2 r dt 2 = c 9. A Lagrange-féle stabilítás szükségesség feltétele: a. h 0 0 b. h 0 0 c. h 0 < 0 d. h Kepler I. általánosított tétele: 16

17 a. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókúszú kúpszelet. b. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak P 1 körüli relatív pályája egy kör. c. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak P 1 körüli relatív pályája egy P 2 fókúszú kúpszelet. d. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak P 1 körüli relatív pályája egy ellipszis. 11. Ha mindenik helyes válasz egy pontot ér, maximum 10 pontot érhetsz el! Hányast adnál magadnak?! a. 4-en alul b. 5-6 között c. 6-7 között d. 7-8 között e között Helyes válaszok : 1-a 2-a 3-a 4-a 5-a 6-a 7-b 8-b 9-c 10-a 11-es választható kérdés. Amennyiben a diák feltudja mérni önállóan a tudását, megkapja a pontszámot ( és mindenekelőtt elárulja tudását), és amennyiben nem találta el elvesztette a pontszámot. 17

18 7 Molnár István 1. Milyen fizikai eszközökkel végeztek nagypontosságú méréseket ben, a Seattle-i Washington Egyetem kutatói, a Newton féle gravitációs állandó meghatározására? a.) toziós ingával b.) centrifugális géppel c.) Wertheim készülékkel 2. Tétel(impulzusmomentum-integrál): Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan c állandó vektor, amelyre: a.) 1 n 2 i=1 m iv 2 i = c b.) n i=1 ( r i m i r i). = c c.) n i=1 (m i r i. r i.. ) = c 3. Az égi mechanikában a Nemzetközi mértékrendszerben (SI) (kg,m,s) egységek helyett milyen sajátos egységeket használunk? a.) Nap tömeg, csillagászati egység, szoláris nap b.) Föld tömeg, csillagászati egység, közép nap c.) Nap tömeg, csillagászati egység, közép nap 4. A Naprendszer Laplace-féle invariánbilis síkjának szögkoordonátái G.Burkhardt(1982) számításai szerint i=1 o 35 13,86 és Ω=107 o 36 30,8 ahol i és Ω: a.) pályahajlás, leszálló csomó b.) pályahajlás, felszálló csomó c.) integrációs állandó, felszálló csomó 5. Az n tömegpontból álló rendszer Lagrange-féle értelmében stabil ha: a.) a pontok közti összes r ij távolságnak véges alsó határa van b.) a pontok közti összes r ij távolságnak véges felső határa van c.) a pontok közti összes r ij távolságnak nincs véges határa 6. A mozgásegyenletek első integrálja a következő: a.) f( r 1, r 2,..., r n, r. 1, r. 2,..., r ṅ, t) = c 18

19 b.) f( r 1, r 2,..., r n, r. 1, r. 2,..., r ṅ, µ) = c c.) f( r 1, r 2,..., r n, r. 1, r. 2,..., r ṅ, r C ) = c 7. Az r C = 1 m n i=1 r. egyenlet: a.) mozgásegyenlet b.) a rendszer C tömegközéppontjának helyzetvektora c.) pontrendszer össztömege 8. A rendszer C tömegközéppontja...: a.) nyugalomban van, vagyis a > 0 b.) változó mozgást végez, vagyis a < 0 c.) egyenes vonalú ( a = 0 ), egyenletes mozgást végez ( a 0 ) 9. Az I = n i=1 m i(x 2 i + y 2 i + z 2 i ) : a.) a rendszer tehetetlenségi nyomatéka b.) impulzusmomentum integrál c.) tömegközéppont integrál 10. Mit jelöl E az E e sin E = n(t r) egyenletben? a.) excentrikus anomália b.) valódi anomália c.) excentricitás Helyes válaszok: 1-a 2-b 3-c 4-b 5-b 6-a 7-b 8-c 9-a 10-a 19

20 8 Molnár László 1. N-test probléma esetén az impulzusmomentum integrál: a) n i=1 ( r i m i ri ) = c, t [t 0, t v ] b) n i=1 ( r i m i r i ) = c, t [t 0, t v ] c) n i=1 ( r i m i r i ) = c, t [t 0, t v ] d) n i=1 ( r i m i ri ) = c, t [t 0, t v ] 2. Az n-test probléma esetén a T+V=h energiaintegrálban minek nevezzük a T-t? a) mozgási vagy kinetikus energia b) helyzeti vagy potenciális energia c) mozgási vagy potenciális energia d) helyzeti vagy kinetikus energia 3. Az n-test problémára vonatlozó Lagrange-Jacobi egyenlet felirható a következő alakban a) R = 2U + 4h 0 b) R = U + 2h 0 c) R = 4U + 2h 0 d) R = 4U + 4h 0, ahol R = 1 és h o R állandó 2m n i=1 n j=1j i m im j r 2 ij, m = n i=1 m i az össztömeg 4. A Jacobi-féle koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletek az n-test probléma esetén: a) ξ i = M i U m i M i 1 ξ i η i = M i U m i M i 1 η i, i = 1, 2,..., n ζ i = M i m i M i 1 U ζ i b) ξ i = 1 U m i ξ i η i = 1 U m i η i, i = 1, 2,..., n ζ i = 1 U m i ζ i c) ξ i = M i U M i 1 ξ i η i = M i U M i 1 η i, i = 1, 2,..., n ζ i = M i M i 1 U ζ i 20

21 d) ξ U i = m i ξ i U η i = m i η i, i = 1, 2,..., n U ζ i = m i ζ i 5. A háromtest probléma esetén a tömegközéppont integrálok: a) 3 i=1 m i r i = a, 3 i=1 m i r i = at + b b) 3 i=1 m i r i = a, 3 i=1 m i v i = at + b c) n i=1 m i r i = a, n i=1 m i r i = at + b d) n i=1 m i r i = a, n i=1 m i v i = at + b, ahol a és b konstans értékek 6. Mikor vizsgálta Euler, hogy lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok mindig egy egyenesbe esnek? a) 1967 b) 1972 c) 1975 d) Milyen kérdésre kereste Lagrange a választ 1972-ben? a) Lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok közti távolságok aránya állandó. b) Lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok mindig egy egyenesbe esnek. c) Lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok nem mindig egy egyenesbe esnek. d) Lehetséges-e a háromtest-probléma olyan megoldása, amelyben a tömegpontok közti távolságok aránya nem állandó. 8. Ki bizonyította be, hogy c 0 esetén tetszőleges időintervallumban csak véges számú kettős ütközés lehetséges? a) Sundman b) Bruns c) Poincaré d) Euler 21

22 9. A háromtest-probléma a) nem integrálható b) integrálható c) differenciálható d) nem differenciálható 10. Milyen nemzetiségű csillagász Sundman? a) Finn b) Angol c) Dán d) Svéd Minden kérdés esetén a helyes válasz az a). 22

23 9 Páll Éva-Boglárka Az első öt kérdést ki kell egészíteni, a többi kérdésnél pedig ki kell választani a helyes választ! Kérdés 1. Az n-test probléma n számú (n 2, n N), pontszerű test mozgását vizsgálja ha rájuk csak a hatnak. Válasz: Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerők Kérdés 2. Kéttest probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 pont körüli relatív p mozgásának pályáját az r = egyenlettel adjuk meg. Ekkor az e numerikus excentricitás értékei szerint a pálya típusa a 1+e cos v következő: i...., ha e = 0; ii...., ha e (0, 1); iii...., ha e = 1; iv...., ha e > 1; Válasz: - i. kör ii. ellipszis iii. parabola iv. hiperbola Kérdés 3. Az n-test probléma esetén, a rendszer C tömegközéppontjának sebessége.... Tehát a rendszer C tömegközéppontja vagy... vagy... mozgást végez. Válasz: állandó, nyugalomban van, egyenes vonalú egyenletes; Kérdés kimondja, hogy a bolygók vezérsugara idővel arányos területeket súrol, azaz a... állandó. Válasz: Kepler II. törvénye, felületi sebesség; 23

24 Kérdés 5. A... egyenlet egy egyszerű alkalmazása a Lagrange-féle stabilitás. Az n tömegpontból álló rendszer Lagrange-féle értelemben stabil, ha a tömegpontok közti összes r ij távolságnak létezik Válasz: Lagrange-Jacobi, véges felső határa Kérdés 6. Az n-test probléma Newton-féle mozgásegyenleteinek alakja: a. m i ri = k 2 j=1,n j i b. m i ri = k 2 j=1,n j i c. m i r i = k 2 j=1,n j i d. m i ri = k 2 Válasz: a! j=1,n j i m i m j r 3 ij m i m j r 3 ij m i m j r 2 ij m i m j r 2 ij r ij, i = 1, 2,..., n; r ij, i = 1, 2,..., n; r ij, i = 1, 2,..., n; r ij, i = 1, 2,..., n; Kérdés 7. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan h R amelyre T + V = h, t [t 0, t v ], ahol n a. T = 1 m 2 i v 2 i a rendszer potenciális energiája, V pedig a kinetikus i=1 energia; b. T = n m i v 2 i a rendszer kinetikus energiája, V pedig a potenciális energia; i=1 n c. T = 1 m 2 i v 2 i a rendszer kinetikus energiája, V pedig a potenciális i=1 energia; d. T = n m i v 2 i a rendszer potenciális energiája, V pedig a kinetikus energia; Válasz: c! i=1 24

25 Kérdés 8. Az n-test probléma esetén a mozgás teljes ideje alatt érvényes az ún. Lagrange-Jacobi egyenlet, amelynek alakja: a. I = 2U + 4h b. I = n m i (x 2 i + yi 2 + zi 2 ) i=1 c. m I = U + 2h d. Ï = 2U + 4h Válasz: d! Kérdés 9. A relatív mozgás bármely megoldásához létezik, olyan λ R 3 állandó vektor (Laplace-vektor), amelyre: a. λ = r c + µ r r b. λ = r c µ r r c. λ 2 = r c + µ r r d. λ = r r µ r c Válasz: b! Kérdés 10. Milyen pályaelemeket jelölnek a, e és Ω -val? a. félnagytengely, excentricitás, felszálló csomó hossza; b. félnagytengely, pályahajlás, pericentrum argumentuma; c. pericentrumátmenet időpontja, excentricitás, pályahajlás; d. pályahajlás, excentricitás, felszálló csomó hossza; Válasz: a! 25

26 10 Ugron Sándor Kérdés 1. Mikor stabil Lagrange értelemben egy rendszer? 1. h0 = 0 2. h0? 0 3. h0 < 0 4. h0 = 0 Kérdés 2. A mozgás teljes ideje alatt érvényes az Ï = 2U + 4h. Mi a h? 1. magasság 2. energiállandó 3. idálállandó 4. tehetetlenségi nyomaték Kérdés 3. Az egycentrum probléma mozgásegyenlete formailag melyikkel egyezik meg? 1. r = - 2. r = - 3. r = - 4. r = - ľ r 3 ľ r 3 ľ r 2 ľ r 2 r r r r Kérdés 4. Minek a meghatarozása az rmin = 1. pericentrumtávolság 2. apocentrumtávolság 3. pályahajlás 4. zéro sebességű kör p 1+e? 26

27 Kérdés 5. Minek a meghatarozása az rmax = 1. pericentrumtávolság 2. apocentrumtávolság 3. pályahajlás 4. zéro sebességű kör p 1 e? Kérdés 6. Mi a kéttest probléma esetén P2 pontnak P1 pont körüli pályája? 1. kör 2. ellipszis 3. kúpszelet 4. hiperbola Kérdés 7. Ha a numerikus excentricitás, e = 0 akkor a mozgás pályája? 1. ellipszis 2. kör 3. hiperbola 4. parabola Kérdés 8. Mit jelöl az I a Lagrange-Jacobi egyenletben? 1. tehetlenségi nyomaték 2. energiaállandó 3. energiaintegrál 4. tömegpont Kérdés 9. A pericentrum és az apocentrum megfelelője a Nap és a bolygók esetén? 27

28 1. perihélium és aphélium 2. pericentrum és aphélium 3. perihélium és apocentrum 4. perigeum és apogeum Kérdés 10. A pericentrum és az apocentrum megfelelője a Föld holdjainál? 1. perihélium és aphélium 2. pericentrum és aphélium 3. perihélium és apocentrum 4. perigeum és apogeum 28

29 11 Váradi Zsolt 1. A relatív mozgás bármely megoldás esetén létezik olyan h ɛ R állandó, amelyre a.) 1 2 ( r ) 2 + µ r = h b.) 1 2 ( r ) 2 µ r = h ( ) c.) 1 2 r µ = h r 2. Az elliptikus mozgás esetén az E excentrikus anomália kielégíti a következő összefüggést: a.) r sin v = a(cos E e) b.) r cos v = (cos E e) a c.) r cos v = a(cos E e) 3. Az E excentrikus anomália a t időpont ismeretében az... Kepleregyenletből határozható meg. a.) E e sin E = n(t τ) b.) 1 e sin E = n(t τ) c.) E e sin E = 1 (t τ) n 4. A bolygók és holdjaik mozgásának vizsgálatában fontos szerepet játszik az n-test problémának az az esete, amelyben: a.) az egyik test sokkal kisebb tömegű a többinél. b.) az összes testnek azonos a tömege. c.) az egyik test sokkal nagyobb tömegű a többinél. 5. A kéttest probléma esetén a P 2 pontnak a P 1 körüli relatív pályája egy P 1 fókuszú kúpszelet. 29

30 a.) Kepler II általánosított tétele b.) Kepler III általánosított tétele c.) Kepler I általánosított tétele 6. Az 1 2 (ẋ2 1 + ẏ 2 1) µ r = h egyenlet: a.) energiaintegrál b.) impulzusmomentum-integrál c.) mozgásegyenlet 7. Az n test probléma esetén a mozgás teljes ideje alatt érvényes az... ún. Lagrange - Jacobi - egyenlet a.) Ï = 2U + 4h b.) Ï = U + 4h c.) Ï = U + h 8. A Lagrange - féle stabilitás nem mond semmit: a.) a tömegpontok közti maximális távolságokról b.) a tömegpontok közti összes távolság véges határáról. c.) a tömegpontok közti minimális távolságokról és a tömegpontok közti lehetséges ütközésekről. 9. A bolygók mozgását vizsgálva P 1 a..., P 2, P 3,..., P n a bolygók. a.) Föld b.) Nap c.) Hold 10. Milyen érteke kell legyen az e = 1 + 2h c2 összefüggéssel értelmezett µ 2 e numerikus excentricitásnak ahhoz, hogy ellipszis pályáról beszélhessünk? 30

31 a.) e ɛ [0, 1) h ɛ [ µ 2c 2 ) b.) e = 1 h = 0 c.) e > 1 h > 0 Helyes válaszok: 1.-b 2.-c 3.-a 4.-c 5.-c 6.-a 7.-a 8.-c 9.-b 10.-a 31

Égi mechanika tesztfeladatok 2006

Égi mechanika tesztfeladatok 2006 Égi mechanika tesztfeladatok 2006 1 2 Bartha Zsolt 1. Az n tömegpontból álló rendszer Lagrange-féle értelemben stabil, ha a tömegpontok közti összes r ij távolságoknak... a.) nincs felső határa. b.) véges

Részletesebben

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ 1. Egy téglalap alakú háztömb egyik sarkából elindulva 80 m, 150 m, 80 m utat tettünk meg az egyes házoldalak mentén, míg a szomszédos sarokig értünk. Mekkora az elmozdulásunk?

Részletesebben

Naprendszer mozgásai

Naprendszer mozgásai Bevezetés a csillagászatba 2. Muraközy Judit Debreceni Egyetem, TTK 2017. 09. 28. Bevezetés a csillagászatba- Naprendszer mozgásai 2017. szeptember 28. 1 / 33 Kitekintés Miről lesz szó a mai órán? Naprendszer

Részletesebben

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

Tömegvonzás, bolygómozgás

Tömegvonzás, bolygómozgás Tömegvonzás, bolygómozgás Gravitációs erő tömegvonzás A gravitációs kölcsönhatásban csak vonzóerő van, taszító erő nincs. Bármely két test között van gravitációs vonzás. Ez az erő nagyobb, ha a két test

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Egyszerű számítási módszer bolygók és kisbolygók oályáj ának meghatározására

Egyszerű számítási módszer bolygók és kisbolygók oályáj ának meghatározására Egyszerű számítási módszer bolygók és kisbolygók oályáj ának meghatározására A bolygók és kisbolygók pályájának analitikus meghatározása rendszerint több éves egyetemi előtanulmányokat igényel. Ennek oka

Részletesebben

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Gravitáció, égi mechanika Tanári jegyzet

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Gravitáció, égi mechanika Tanári jegyzet Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör 2015-16 1. Gravitáció, égi mechanika Tanári jegyzet Bécsy Bence, Dálya Gergely 1. Tematika Newton-féle gravitációs törvény Kozmikus sebességek

Részletesebben

6. A Lagrange-formalizmus

6. A Lagrange-formalizmus Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR. Érdi Bálint ÉGI MECHANIKA

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR. Érdi Bálint ÉGI MECHANIKA EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Érdi Bálint ÉGI MECHANIKA NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ 1996 BEVEZETÉS Az égi mechanika a csillagászat egyik ága, amely a bolygók mozgásának vizsgálatából fejlődött

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

DR. BUDO ÁGOSTON ' # i. akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA. Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

DR. BUDO ÁGOSTON ' # i. akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA. Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST DR. BUDO ÁGOSTON ' # i akadémikus, Kossuth-díjas egyetemi tanár MECHANIKA Kilencedik kiadás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST 1991 TARTALOMJEGYZÉK Bevezette 1.. A klasszikus mechanika feladata, érvényességi határai

Részletesebben

Bolygómozgás. Számítógépes szimulációk 1n4i11/1. Csabai István tavasz. ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék csabaiθcomplex.elte.

Bolygómozgás. Számítógépes szimulációk 1n4i11/1. Csabai István tavasz. ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék csabaiθcomplex.elte. Bolygómozgás Számítógépes szimulációk 1n4i11/1 Csabai István ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék 5.102 Email: csabaiθcomplex.elte.hu 2009 tavasz A bolygómozgás Kepler törvényei 1 A bolygók pályája

Részletesebben

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29. A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat)

Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat) Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat) 1. Az inerciarendszer fogalma. Newton I. törvénye 3. Newton II. törvénye 4. Newton III. törvénye 5. Erők szuperpozíciójának elve 6. Különböző mozgások

Részletesebben

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel 1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

1. Az előző előadás anyaga

1. Az előző előadás anyaga . Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton

Részletesebben

Irányításelmélet és technika I.

Irányításelmélet és technika I. Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010

Részletesebben

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

l 1 Adott: a 3 merev fogaskerékből álló, szabad rezgést végző rezgőrendszer. Adott továbbá

l 1 Adott: a 3 merev fogaskerékből álló, szabad rezgést végző rezgőrendszer. Adott továbbá SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETE ALKALAZOTT ECHANIKA TANSZÉK ECHANIKA-REZGÉSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Fehér Lajos tsz mérnök; Tarnai Gábor mérnök tanár; olnár Zoltán egy adj r Nagy Zoltán egy adj) Több szabadságfokú

Részletesebben

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 3. GÉPEK MECHANIKAI FOLYAMATAI 1. Definiálja a térbeli pont helyvektorát! r helyvektor előáll ortogonális (a 3 tengely egymásra merőleges) koordinátarendszer koordinátairányú

Részletesebben

A MECHANIKAI ENERGIA

A MECHANIKAI ENERGIA A MECHANIKAI ENERGIA. A mechanika munkatétele A mechanika munkatétele Newton második axiómájából következik. Newton második axiómája egyetlen tömegre (vagy tömegpontra): F d r ma m, (.) mely általános

Részletesebben

Differenciálegyenletek a mindennapokban

Differenciálegyenletek a mindennapokban Differenciálegyenletek a mindennapokban Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 15 Pénz, pénz,

Részletesebben

atommag körül relatív nagy távolságra keringő elektron klasszikus modellje (Rydberg atomoknál)

atommag körül relatív nagy távolságra keringő elektron klasszikus modellje (Rydberg atomoknál) Centrális erőtérben való mozgás egymás gravitációs terében mozgó égitestek atommag körül relatív nagy távolságra keringő elektron klasszikus modellje (Rydberg atomoknál) Végtelen tömegű + véges tömegű

Részletesebben

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből 1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló

Részletesebben

Molekuláris dinamika. 10. előadás

Molekuláris dinamika. 10. előadás Molekuláris dinamika 10. előadás Mirőlis szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok, gázok, szilárdtestek makroszkópikus

Részletesebben

Az inga mozgásának matematikai modellezése

Az inga mozgásának matematikai modellezése Az inga mozgásának matematikai modellezése Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Természet és Matematika Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08.

Részletesebben

Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása

Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munkavégzés történik ha: felemelek egy könyvet kihúzom az expandert A munka Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő

Részletesebben

Erők (rug., grav., súrl., közegell., centripet.,), és körmozgás, bolygómozgás Rugalmas erő:

Erők (rug., grav., súrl., közegell., centripet.,), és körmozgás, bolygómozgás Rugalmas erő: Erők (rug., grav., súrl., közegell., centripet.,), és körmozgás, bolygómozgás Rugalmas erő: A rugalmas test (pl. rugó) megnyúlása egyenesen arányos a rugalmas erő nagyságával. Ezért lehet a rugót erőmérőnek

Részletesebben

TENGELYSZIMMETRIKUS CENTRÁLIS KONFIGURÁCIÓK A NÉGYTESTPROBLÉMÁBAN

TENGELYSZIMMETRIKUS CENTRÁLIS KONFIGURÁCIÓK A NÉGYTESTPROBLÉMÁBAN TNGLYSZIMMTRIKUS CNTRÁLIS KONFIGURÁCIÓK A NÉGYTSTPROBLÉMÁBAN Érdi Bálint LT, Csillagászati Tanszék Centrális konfigurációk A centrális konfigurációk vizsgálata az égi mechanikai n -test problémához kapcsolódik:

Részletesebben

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

Fizika példák a döntőben

Fizika példák a döntőben Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén

Részletesebben

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek 1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Földünk a világegyetemben

Földünk a világegyetemben Földünk a világegyetemben A Tejútrendszer a Lokális Galaxiscsoport egyik küllős spirálgalaxisa, melyben a Naprendszer és ezen belül Földünk található. 200-400 milliárd csillag található benne, átmérője

Részletesebben

Csillagászati földrajz november 10. A Naprendszer

Csillagászati földrajz november 10. A Naprendszer Csillagászati földrajz 2016. november 10. A Naprendszer A Naprendszer fogalma Naprendszer: a Nap és a körülötte keringő anyag gravitációsan kötött rendszere minden test, ami tartósan, közvetlenül vagy

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6

Tartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6 1 / 6 A TételWiki wikiből Tartalomjegyzék 1 A mechanika elvei 2 A virtuális munka elve 3 d'alembert elv és a Lagrange-féle elsőfajú egyenletek 4 A Gauss-féle legkisebb kényszer 5 Általános koordináták

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Mérnöki alapok 1. előadás

Mérnöki alapok 1. előadás Mérnöki alapok 1. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Speciális mozgásfajták

Speciális mozgásfajták DINAMIKA Klasszikus mechanika: a mozgások leírása I. Kinematika: hogyan mozog egy test út-idő függvény sebesség-idő függvény s f (t) v f (t) s Példa: a 2 2 t v a t gyorsulások a f (t) a állandó Speciális

Részletesebben

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

Mérnöki alapok 2. előadás

Mérnöki alapok 2. előadás Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Mágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja

Mágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Mágneses erőtér Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Magnetosztatikai mező: nyugvó állandó mágnesek és egyenáramok időben

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

A Föld helye a Világegyetemben. A Naprendszer

A Föld helye a Világegyetemben. A Naprendszer A Föld helye a Világegyetemben A Naprendszer Mértékegységek: Fényév: az a távolság, amelyet a fény egy év alatt tesz meg. (A fény terjedési sebessége: 300.000 km.s -1.) Egy év alatt: 60.60.24.365.300 000

Részletesebben

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

1. NEWTONI POSZTULÁTUMOK ÉS ÉRTELMEZÉSÜK

1. NEWTONI POSZTULÁTUMOK ÉS ÉRTELMEZÉSÜK Bevezetés A mechanika történetében három nagy periódus különíthető el. Az első, átfogó kvalitatív vizsgálatokat jelentő hosszú periódus Kepler és Galilei munkásságával zárul. A második ún. kvantitatív

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Speciális relativitás

Speciális relativitás Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 3. (b) Speciális relativitás Relativisztikus dinamika Utolsó módosítás: 2013 október 15. 1 A relativisztikus tömeg (1) A bevezetett Lorentz-transzformáció biztosítja

Részletesebben

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek

2.3 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek Keresés (http://wwwtankonyvtarhu/hu) NVDA (http://wwwnvda-projectorg/) W3C (http://wwww3org/wai/intro/people-use-web/) A- (#) A (#) A+ (#) (#) English (/en/tartalom/tamop425/0027_fiz2/ch01s03html) Kapcsolat

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz?

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz? Rezgés tesztek 1. Egy rezgés kitérés-idő függvénye a következő: y = 0,42m. sin(15,7/s. t + 4,71) Mekkora a rezgés frekvenciája? a) 2,5 Hz b) 5 Hz c) 1,5 Hz d) 15,7 Hz 2. Egy rezgés sebesség-idő függvénye

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA május-június EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA május-június EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 003. május-június MATEMATIKA EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 003 MATEMATIKA Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján

Részletesebben

V e r s e n y f e l h í v á s

V e r s e n y f e l h í v á s A természettudományos oktatás módszertanának és eszközrendszerének megújítása a Sárospataki Református Kollégium Gimnáziumában TÁMOP-3.1.3-11/2-2012-0021 V e r s e n y f e l h í v á s A Sárospataki Református

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

FIZIKA KÖZÉPSZINTŐ SZÓBELI FIZIKA ÉRETTSÉGI TÉTELEK Premontrei Szent Norbert Gimnázium, Gödöllı, 2012. május-június

FIZIKA KÖZÉPSZINTŐ SZÓBELI FIZIKA ÉRETTSÉGI TÉTELEK Premontrei Szent Norbert Gimnázium, Gödöllı, 2012. május-június 1. Egyenes vonalú mozgások kinematikája mozgásokra jellemzı fizikai mennyiségek és mértékegységeik. átlagsebesség egyenes vonalú egyenletes mozgás egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás mozgásokra

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL

7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL 7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL Számos technológiai folyamat, kémiai reakció színtere gáz, vagy folyékony közeg (fluid közeg). Gondoljunk csak a fémek előállításakor

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Rugalmas állandók mérése

Rugalmas állandók mérése KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 2. MÉRÉS Rugalmas állandók mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. november 16. Szerda délelőtti csoport 1. A mérés rövid leírása Mérésem

Részletesebben

Termodinamika. Belső energia

Termodinamika. Belső energia Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk

Részletesebben

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A

2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben