atommag körül relatív nagy távolságra keringő elektron klasszikus modellje (Rydberg atomoknál)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "atommag körül relatív nagy távolságra keringő elektron klasszikus modellje (Rydberg atomoknál)"

Átírás

1 Centrális erőtérben való mozgás egymás gravitációs terében mozgó égitestek atommag körül relatív nagy távolságra keringő elektron klasszikus modellje (Rydberg atomoknál) Végtelen tömegű + véges tömegű test kölcsönhatása.

2 Háromdimenziós térben egy U(r) = U(r) centrális erőté. A viszonyítási szintet vegyük fel a végtelenben (U( ) = 0. A centrális erőtér megőrzi a részecske impulzusnyomatékát, a mozgás egy, az impulzusnyomaték vektorára merőleges, síkban történik. Lássuk, hogy miként jutunk hasonló következtetésekre a Lagrange formalizmus alkalmazásával és egyúttal tanulmányozzuk a mozgásegyenletek megoldását is. f = 3 L(r, ṙ) = mṙ2 2 U(r). L t = 0, rendszer konzervatív tehát az E = mṙ2 2 + U(r), energia egy mozgásállandó. Szférikus szimmetria előnyös lehet gömbi koordinátákban dolgozni. L(r, θ, φ, ṙ, θ, ϕ) = m 2 (ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ ϕ 2 ) U(r). L ϕ = 0, ennek a ciklikus koordinátának kanonikusan konjugált impulzusa megmarad: l p ϕ = L ϕ = mr 2 sin 2 θ ϕ = állandó. A θ szögre feĺırt Euler-Lagrange egyenlet: d dt (r 2 θ) = r 2 sin θ cos θϕ 2. Az egyenletnek megoldása a θ(t) = π függvény síkmozgás 2

3 E = m 2 (ṙ 2 + r 2 ϕ 2 + U(r)) = mṙ 2 l = mr 2 ϕ = állandó. (1) 2 + l2 + U(r) = állandó, (2) 2mr 2 m r = U r + l2 (3) mr 3

4 Az impulzusnyomaték vektor l nagyságát geometriailag is értelmezhetjük. Az 1 rṙ dϕ kifejezés annak az elemi felületnek a df területe, melyet a helyzetvektor 2 dϕ szöggel történő elfordulása során átseper. Az állandó impulzusnyomaték értéke az előzőek alapján l = 2mḟ, ahol a ḟ = 1/2r 2 ϕ derivált az ú.n.felületi sebesség. Centrális erőtér esetén az impulzusnyomaték megmaradása azt fejezi ki, hogy a felületi sebesség állandó. Ez Keplernek a bolygó keringésére megállapított második törvénye.

5 A fenti tétel általánosabb érvényű mint azt annak idején Kepler a bolygóknak Nap körüli mozgásából kikövetkeztethette. A Nap-bolygó rendszereken túl a Nap-üstökös, bolygó-hold és a minden más gravitáció révén kölcsönható kéttest rendszerre érvényes, a Naprendszeren kívül is. Nem csak a Kepler-féle 1/r típusú gravitációs vonzás esetén, hanem bármilyen centrális erőtér esetén is érvényben marad.

6 Sugárirányú mozgás Egydimenziós mozgás az U eff = U(r) + l2 2mr 2 effektív potenciális energiájú térben. l 2 Az mennyiséget centrifugális energiának nevezzük. 2mr 2 A mozgás az r 0 tartományra van korlátozva!!.

7 U(r) + l2 2mr = E, 2 A gyökök r-ben megadják a mozgás tartományának határait a centrumtól mért távolság szerint Egy vagy két fordulópont a potenciál alakjának és a rendszer energiájának függvényében.

8 Mozgás az erőtér középpontjának közelében Láttuk, hogy minden esetben létezik egy legkisebb r min távolság, aminél közelebb nem kerülhet a részecske a tér középpontjához. Feltevődik a kérdés, hogy lehet-e ez a távolság nulla. Azaz beleeshet-e a részecske az középpontba? Helyesebben fogalmazva milyen feltételek mellett kerülhet a részecske tetszőlegesen közel a tér középpontjához. Az impulzusnyomaték meghatározásából: l = r p = r p = r min p min, (4) ahol r az impulzus karja, azaz a középpont távolsága az impulzus iránya által meghatározott egyenestől. Végtelenből induló részecske esetén az r (+ )-t ütközési paraméternek nevezzük. Nulla kar, nulla impulzusnyomatékot jelent és azt, hogy a középpont irányában mozgó részecske impulzusnyomatéka nulla. A fenti képletben figyelembe vettük, hogy a fordulópontban a sebesség és a helyzet vektorai merőlegesek egymásra.

9 Tekintsük most azt az esetet, amikor az E energia és l impulzusnyomaték tetszőleges véges mennyiségek. Az (4) egyenletből következik, hogy a fordulópontban a távolsággal fordítottan arányos a a megfelelő impulzus. Tetszőleges kicsi r min korlátlanul nagy mozgási energiával jár együtt, ami egy mínusz végtelenhez tartó potenciális energiával együtt tudja biztosítani a E teljes energia megmaradását. Minden ilyen U(r) függvény a nulla környékén vezető rendben U(r) = αr β, α > 0, β > 0 alakú, ahol α és β a potenciált jellemző r-től független véges értékek. A (2) egyenletből a radiális kinetikus energia: mṙ 2 2 = E + αr β l2 2mr 2 > 0. (5) Az egyenlőtlenséget végigszorozva r 2 -el az r 2 E tag tetszőlegesen lecsökkenthető az l 2 2m-hez képest, elegendően kicsi r-ekre. Azt kapjuk, hogy a középpont közvetlen közelében tehát αr 2 β > l2 2m. A jobboldal egy r-től független véges mennyiség. Az egyenlőtlenség fennáll tetszőlegesen kicsi r-re, ha 1. β > 2 vagy, 2. β = 2 és α > l2 2m.

10 Ha kezdeti impulzusnyomaték nélkül (l = 0), azaz egyenesen a középpont felé (r = 0) indul a részecske, akkor a (5) egyenlőtlenségből αr β > E, ami fennáll, ha 1. β > 0 vagy, 2. β = 0 és α > E. Összefoglalva következtetéseinket: Egy centrális erőtérben véges impulzusnyomatékkal mozgó részecske tetszőlegesen közel kerülhet az erőtér középpontjához

11 A pálya zártsága A (2) egyenletből kifejezve az ṙ radiális sebességet ṙ dr 2 dt = [E U(r)] l2 m m 2 r 2. (6) Amennyiben az anyagi pont r min és r max között végez korlátos mozgást a mozgás periódusa rmax dr T (E) = 2 r min [E U(r)] l2 2 m, m 2 r 2 A pálya alakja meghatározható az r és a ϕ koordináták kapcsolata révén, melyet a (6) egyenletből az idő kiküszöbölését követően kapunk meg. A (1) impulzusmegmaradási tételből: ahonnan ϕ(r) = dr dt = dr dϕ dϕ dt = l dr mr 2 dϕ, l r 2 dr 2m[E U(r)] l2 r 2 + állandó. (7)

12 Egy teljes T (E) periódus alatt a helyzetvektor a szöggel fordul el (12. ábra). rmax ϕ = 2 r min l r 2 dr 2m[E U(r)] l2 r 2 A pálya zártságának a feltétele az, hogy ϕ = 2π m, ahol m és n egész n számok. Általában tetszőleges U(r) esetén a pálya nem zárt. Mindössze két típusú olyan centrális erőtér van, amelyben minden véges mozgás zárt. Ha a potenciális energia : U(r) 1 és U(r) r 2. Az előző a Kepler problémának, a r második a térbeli harmonikus oszcillátornak felel meg.

13 Kepler-probléma A Newton-féle gravitációs tér és a Coulomb-féle elektrosztatikus tér is centrális erőtér, amelyekben a potenciális energia vonzás esetén: U(r) = α r, α > 0, U eff = α r + l2 2mr 2 Az r = l2 értéknél az effektív potenciális energiának minimuma van, amely αm (U eff ) min = α2 m 2l 2 A görbe alakjából nyilvánvaló, hogy E > 0 esetén a részecske mozgása végtelen, E < 0 esetén pedig véges (7). Az U(r) = α helyettesítést követően, r a (7) egyenletben az integrálás eredménye: l ϕ = arccos r mα l + C. 2mE + m2 α 2 l 2

14 Legyen, C = 0, p l2 mα és ε = 1 + 2El2. Az így kapott pálya egyenlete: mα2 r = p 1 + ε cos ϕ Ez egy olyan kúpszelet egyenlete, amelynek fókusza az origóban van; p és ε a pálya paramétere, illetve excentricitása. Az ϕ = 0 szöghöz az origóhoz legközelebbi pont tartozik. Ez az ún. perihélium.

15 Amikor E < 0 ε < 1, a pálya ellipszis (16 ábra). Az ellipszis nagy és kistengelye: a = p 1 ε = α 2 2 E, b = p = l. 1 ε 2 2m E A tér centrumától mért legnagyobb és legkisebb távolság: r min = a = rmax + r min 2 p p = a(1 ε), rmax = = a(1 + ε). 1 + ε 1 ε (ezért nevezik az ε-t excentricitásnak). = p 1 ε, c = rmax r min = εp ε = εa 2 a 2 = b 2 + c 2 Az ellipszispályán a keringés T periódusa a felületi sebességgel adható meg. Integrálva egy periódusra és felhasználva a fentebb kapott eredményeket: 2mf = T l, f = πab, a = α 2 E, b = l 2m E, 3 T = 2πa 2 m α = πα m 2 E 3.

16 Azt kaptuk, hogy a periódus négyzete arányos a pálya félnagytengelyének a köbével (Kepler harmadik törvénye).

17 Ha E 0, a mozgás végtelen. E > 0 esetén ε > 1, vagyis a pálya hiperbola, mely az erőtér centrumát (a fókuszt) úgy öleli körül, ahogyan az 17 ábra mutatja. A centrumtól való legkisebb távolság: r min = p = a(ε 1), ε + 1 ahol a = p ε 2 1 = α 2E a hiperbola féltengelye. Az E = 0 esetén ε = 1, tehát a részecske parabolán mozog, amelyre r min = p 2. Ez az eset akkor valósul meg, ha a részecske a nyugalmi állapotból kiindulva, a végtelenben kezdi mozgását.

18 A kéttest-probléma A kölcsönhatás potenciális energiája csak a részecskék kölcsönös távolságától függ. L = m1ṙ2 1 + m2ṙ2 2 U( r 1 r 2 ) 2 2 r r 1 r 2 relatív helyzet m1r1 + m2r2 r c = a rendszer tömegközéppontjának helyzetvektora. m 1 + m 2 r 1 = r c + m 2 m 1 r ; r 2 = r c r m 1 + m 2 m 1 + m 2 ṙ relativ sebesség, ṙ c tömegközéppont sebessége ṙ 1 = ṙ c + Visszahelyettesítés után m1m2 m 2 m 1 ṙ ; ṙ 2 = ṙ c ṙ m 1 + m 2 m 1 + m 2 L = (m1 + m2)ṙ2 c 2 m = a rendszer redukált tömege. m 1 + m 2 + mṙ2 2 U(r)

19 L rc = 0 r c ciklikus változó (m 1 + m 2)ṙ c általános impulzus állandó a rendszer tömegközéppontja állandó sebességgel mozog. Mindig választható úgy egy tehetetlenségi inerciarendszer, hogy ṙ c = 0, r c = 0 L = mṙ2 2 U(r) A feladatot visszavezettük az adott U(r) külső térben egyetlen(redukált tömegű) anyagi pont leírása.

20 Mechanikai hasonlóság Különböző fizikai rendszerek esetén is azonos alakúak a mozgásegyenletek és hasonlóak a pályák. Miként módosul a mozgás pályája illetve a mozgás üteme, ha a rendszerünk térbeli skálázáson megy át. A kezdeti feltételek is megfelelőképpen kell skálázódjanak, hogy a mozgás pályája az eredeti pálya felnagyított vagy kicsinyített mása legyen. Várhatóan az idő is gyorsabban vagy lassabban telik a módosított renszerben. ahol az α és a β pozitív valós számok. r = αr, t = βt, v = α β v, T = α2 β 2 T (8)

21 Egy rendszer potenciális energiája k-adrendűen homogén függvénye a helyzetnek, azaz U(αr 1, αr 2,..., αr n) = α k U(r 1, r 1,..., r n). (9) L = T U = α2 β 2 T αk U. A mozgásegyenletek azonosak, ha a skálázott rendszer Lagrange-függvénye csak egy szorzóban különbözik az eredetitől, azaz L = λl. Ennek feltétele az α 2 /β 2 és α k szorzótényezők azonossága, ahonnan β = α 1 k 2. Ezek szerint, ha két hasonló rendszer valamely karakterisztikus mérete l illetve l, akkor a mozgást jellemző időtartamok között fennáll, hogy t t = ( ) l 1 k 2. (10) A hasonlósághoz szükséges skálázás alkalmazása érvényes a kezdeti és peremfeltételekre is. A kezdeti sebességek maguk is a (8) szerint skálázódnak. l

22 Példa 1. Harmonikus oszcillátor A potenciális energia négyzetes függvénye a helyzetnek, tehát a (10) egyenletben k = 2, ahonnan t t = ( ) l 0 = állandó, l azaz a harmonikus oszcillátor, illetve az azonos mozgásegyenleteket követő kis kitérésekkel rezgő matematikai inga periódusa független az amplitúdótól. 2. Kepler feladat A potenciális energia fordítottan arányos a távolsággal, tehát k = 1, ahonnan ( ) t 3 l t = 2, l ami Kepler harmadik tételét adja bármiféle differenciálegyenlet megoldás nélkül.

23 Viriál tétel Tekintsük most olyan konzervatív rendszereket, melyek mozgása korlátos Magától értetődően a rendszert jellemző fizikai mennyiségek értékei is az idő nagyrészében bizonyos véges értékek közelében találhatók. Ezek a koordinátákon és sebességeken keresztül az időnek közvetett(!) függvényei. Hasznos bevezetni egy f (t) időtől függő mennyiség átlagát az alábbi meghatározás szerint: 1 t f = lim f (τ)dτ. t + t A fentiek szerint, amennyiben f (t) = dg/dt egy teljes derivált, ahol g(t) is (az idő döntő részében) korlátos függvény: dg dt = lim g(t) g(0) = 0. t + t A (8) és (9) homogenitási tulajdonságokból, Euler tételének alkalmazásával: illetve i i 0 ṙ i T ṙ i = 2T, i = 1, n, (11) r i U r i = ku, i = 1, 3. (12)

24 A kinetikus energia esetén i ṙ i T ṙ i = i d dt ( ) T r i ṙ i i ( ) d T r i, i = 1, 3. dt ṙ i Visszahelyettesítve a (11) egyenletbe, véve ennek időbeli átlagát, majd kihasználva az időderiváltak átlagának eltűnését, illetve az ( ) d T = U, i = 1, 3 dt ṙ i r i Euler-Lagrange egyenleteket, azt kapjuk, hogy 2T = i r i U r i. A fenti egyenlet jobboldalát a rendszer viriáljának nevezzük és az egyenlet az ún. viriáltételt fejezi ki. Amennyiben a potenciális energia a (9 típusú homogenitást mutat, a (12) egyenletből T = α 2 U. A teljes E energia állandóságából következik, hogy E = E = T + U, ahonnan T = k k + 2 E, U = 2 k + 2 E.

25 Példa 1. Harmonikus oszcillátor Az előbbiek nyomán k = 2, ahonnan 2. Kepler feladat Mivel k = 1 T = U = E 2. T = E, U = 2E, mely egyenletek, a mozgási energia pozitivitását tekintve, kifejezik, hogy ilyen kölcsönhatás esetén a rendszer csak negatív energia esetén marad kötött (korlátos).

26 A kanonikus mozgásegyenletek f szabadsági fokú mechanikai rendszer mozgásának leírása f darab másodrendű közönséges differenciálegyenlettel. Integrálási állandókat a q k és q k kezdeti értékeiből a rendszer mozgásállapotát 2f adat jellemezni. Hamilton-formalizmus egyenértékű módszer másik 2f független változóval, 2f elsőrendű mozgásegyenlettel. Minden q k koordinátához hozzárendejük p k -t: p k = L(q k, q k, t) q k q k -hoz rendelt kanonikusan konjugált impulzus (általános impulzus) p k, q k független változóknak tekintjük. A Lagrange-függvény helyett H = p k q k L(q k, q k, t) Hamilton-függvénnyel jellemezzük.

27 dh = ( H dq k + H ) dp k + H q k p k t dt ugyanakkor a H fenti definiciós képletének differenciálja dh = az Euler-Lagrange-egyenletből ( q k dp k + p k d q k L dq k L ) d q k L q k q k t dt dh = ṗ k = L q k ( q k dp k ṗ k dq k ) L t dt q k = H p k, ṗ k = H q k (k = 1, 2,..., f ) Hamilton-féle kanonikus egyenletek H t = L t

28 q k = H p k, ṗ k = H q k (k = 1, 2,..., f ) 2f elsőrendű diff.egyenlet. Másik előnye, hogy a Hamilton fg. közvetlenül kapcsolódik egy megmaradó mennyiséghez. A kvantummechanikában elsődleges szerepe van. Időtől független x i q k transzformáció esetén a Hamilton-függvény megegyezik a rendszer teljes mechanikai energiájával. Hamilton-függvény az időbeli váltózása dh dt = dh dt = H = T + U = E ( H q k + H ) ṗ k + H q k p k t ( H H H ) H + H q k p k p k q k t = H t

29 dh dt = ( H H H ) H + H q k p k p k q k t = H t ha a Hamilton-függvény nem tartalmazza expliciten az időt, akkor időben állandó. Az energia állandósága és a H = E egyenlőség nem teljesül mindig egyszerre ha a koordináták közötti transzformáció expliciten tartalmazza az időt, és emiatt a mozgási energia nem homogén másodfokú függvénye az általános sebessegeknek, hanem tartalmaz nullad- és elsőfokú tagokat is. Nevezetesen T = T 0 + T 1 + T 2

30 H = = q k p k L = q k ( T0 q k + T1 q k q k T q k (T U) = + T2 q k ) T + U = = T 2 T 0 + U T + U Ha H nem függ expliciten az időtől, akkor állandó de csak nem egyezik meg az energiával.

31 Kanonikus egyenletek levezetése a variációszámítás elvből q k -kat és a p k -kat független változóknak tekintjük és ennek megfelelően egymástól függetlenül variáljuk, amikor a [ t2 ] δs = δ p k q k H(q k, p k, t) dt = 0 t 1 A határokon a δq variációk zérus: δs = Mivel egyrészt t2 t 1 t2 t 1 ( q k δp k + p k δ q k H δq k H ) δp k dt = 0 q k p k δ q k = d dt δq k [( q k H ) ( δp k ṗ k + H ) ] δq k dt = 0 p k q k δq k és δp k variációk tetszőlegesek visszakapjuk a kanonikus mozgásegyenleteket.

32 A kanonikus transzformációk Ha alkalmas általános koordinátát találunk akkor a hozzá tartozó általános impulzus állandó. Ha pl. q i ciklikus koordináta, akkor p i = α i =állandó. Legyen p k = α k minden k-ra. Legyen H t = 0 a H csak az állandó p k -kat tartalmazza : H = H(α 1, α 2,..., α f ). q k = H α k = ω k = q k (t) = ω k t + β k A β k integrálási állandók a kezdet feltételekből számíthatók ki. Tehát a mozgásfeladat megoldását az alkalmas transzformáció megtalálására vezettük vissza.

33 Vizsgáljuk azokat a transzformációkat, amelyek a kanonikus egyenleteket változatlanul hagyják. Q k = Q k (q 1, q 2,..., q f ; p 1, p 2,..., p f ; t) P k = P k (q 1, q 2,..., q f ; p 1, p 2,..., p f ; t) Q k = H P k, (k = 1, 2,..., f ) Ṗ k = H Q k (k = 1, 2,..., f ) ahol H = H(Q k, P k, t) a Hamilton-függvény transzformáltja kanonikus transzformációk Variációs elv alapján t2 δ t 1 [ ] P k Q k H(Q k, P k, t) dt = 0 i=1 [ t2 ] δ p k q k H(q k, p k, t) dt = 0 t 1 i=1 A két integrandusznak egy tetszőleges W függvény idő szerinti teljes deriváltjában különbözhetnek egymástól

34 t2 dw δ dt = δw (t2) δw (t1) = 0 t 1 dt p k q k H(q k, p k, t) = P k Qk H(Q k, P k, t) + dw dt Mivel a rendszer állapotát 2f független változóval jellemezzük, W az időn kívül 2f független változó tetszőleges függvénye. Négy típusa lehet a W változóktól való függésének : W 1(q k, Q k, t), W 2(q k, P k, t), W 3(p k, Q k, t), W 4(Q k, P k, t). A feladat konkrét jellege szabja meg, hogy ezek közül melyiket célszerű használni.

35 1.) Vegyük először a W 1-et.A kanonikus transzformáció feltétele : ahol p k q k H = dw 1 dt = W1 t P k Qk H + d dt W1(q k, Q k, t), + ( W1 q k q k + W1 Q k Mivel a régi és az új koordináták függetlenek a fenti első egyenlőség csak akkor teljesül, ha a q k és Q k együtthatói az egyenlet két oldalán megegyeznek. így adódik, hogy p k = W1 q k, P k = W1 Q k, Qk ). H = H + W1 t. Az első f egyenletből kifejezhetjük Q k -kat, a másodikból a P k -kat, a harmadik megadja az új Hamilton-függnényt. A transzformáció a W 1 függvényből származtatható, ezért a W -t a kanonikus transzformáció alkotófüggvényének nevezzük.

36 2.)A W 2(q k, P k, t) alkotófüggvényt használjuk, ha független változóként a q k és P k -kat tekintjük q k, Q k független változök helyett.ez az áttérés közvetlenül megvalósítható a W 1 = P k Q k ún. Legendre transzformációval. Ez azt mutatja, hogy W 2 alkotófüggvény megkapható a W 1-ből a W 2(q k, P k ; t) = W 1(q k, Q k ; t) + k P k Q k összefüggéssel.fejezzük ki W 1-et a fenti összefüggésből és helyettesítsük be az előző (1)-es pontbeli egyenletbe. Így [ ] p k q k H = P k Qk H + d W 2(q k, P k ; t) Q k P k = dt = Q k Ṗ k H + dw2 dt. A keresett transzformációra az előbbi gondolatmenettel kapjuk, hogy p k = W2 q k, Q k = W2 P k, H = H + W2

37 3. A harmadik transzformációtípusnál p k -k, Q k -k a független változók. Az elsőből erre való áttérés az első egyenletcsopor alapján Legendre-transzformációval történik.ezért W 3 a W 1-gyel a következőképpen fejezhető ki : W 3(p k, Q k ; t) = W 1(q k, Q k ; t) q k p k. Az ebből adódó W 1-et az (1) egyenletébe helyettesítve, q k ṗ k H = P K Qk H + d dt W3(p k, Q k ; t). A keresett transzformációra ebből az előbbi gondolatmenettel adódik, hogy q k = W3 p k, P k = W3 Q k, H = H + W3 t 4.Amikor a p k -kat és P k -kat tekintjük független változóknak, W 4 a W 1-ből kettős Legendre-transzformációval adódik, W 4(p k, P k ; t) = W 1(q k, Q k ; t) + P k Q k p k q k

38 W 4(p k, P k ; t) = W 1(q k, Q k ; t) + P k Q k p k q k Ezt felhasználva a már többször idézet egyenletben kapjuk, hogy q k ṗ k H = Q k Ṗ k H + d dt W4(p k, P k ; t). Az ebből adódó transzformációs képletek q k = W4 p k, Q k = W4 P k, H = H + W4 t. A régi és az új koordináták és impulzusok transzformációs képleteiben (az egyenletek első két csoportjában) egyik típusnál sem fordul elő a rendszerre jellemző Hamilton-függvény,ezért a transzformáció kanonikus jellege teljesen független a vizsgált problémától.a Hamilton-függvény transzformációja mind a négy típusnál ugyanolyan alakú.

39 Példák a kanonikus transzformációkra 1.Legyen a kanonikus transzformáció alkotófüggvénye W 2 = Az előző rész (2)-es pontjának alapján q k P k. p k = W2 q k = P k, Q k = W2 P k = q k, H = H Eszerint az új koordináták és impulzusok megegyeznek a régiekkel. Tehát ez a W 2 az azonos transzformáció alkotófüggvénye.

40 2.Két szabadsági fokú rendszereknél gyakran találkozunk azzal a transzformációval, amelynek alkotófüggvénye W 2 = q 1(P 1 + P 2) + q 2(P 1 P 2). A fentebb emĺıtett összefüggések alapján Az utóbbiakból p 1 = W2 q 1 = P 1 + P 2, p 2 = W2 q 2 = P 1 P 2 ; Q 1 = W2 P 1 = q 1 + q 2, Q 2 = W2 P 2 = q 1 q 2. q 1 = 1 2 (Q1 + Q2), q2 = 1 (Q1 Q2) 2 A Hamilton-függvény itt is megegyezik az eredetivel : H = H

41 3.Vizsgáljuk azt a transzformációt, amelynek során az új Q k koordinátá csak a régi q k -któl és az időtől függnek : Q k = Q k (q k, t). Ide tartoznak pl. az ortogonális koordinátatranszformációk vagy a derékszögű koordinátákról a polárkoordinátákra való áttérés. Az ilyen transzformácót ponttranszformációnak nevezzük.ez is kanonikus transzformáció, ugyanis a W 2 = g k (q 1, q 2,..., q f, t)p k alkotófüggvényből származtatható.a már emlitett rész második egyenlete szerint Q k = W2 = g k (q k, t). P k Mivel a g k függvény tetszőleges, valamennyi ponttranszformáció kanonikus. Annak feltétele, hogy a q k -k az újq k -ba transzformálódjanak az, hogy az alkotófüggvény a P k -kban lineáris legyen. Hasonlóképpen igaz az is, hogy ha az alkotófüggvény a q k -kban lineáris, akkor A P K -k az új P k -kba mennek át. Ekkor W 2 = γ k (P 1, P 2,..., P f, t)q k. és így p k = W2 q k = γ k (P k, t).

42 A Poisson-zárójelek Legyen f = f (q, p, t) = f (q 1,..., p s, t): df dt = f t + k ( f q k + f ) ṗ k q k p k. ahol q k = H p k, ṗ k = H q k {H, f } = k df dt = f t + {H, f }, ( H p k, Hamilton-egyenletekből f H ) f q k q k p k a H és f mennyiség Poisson-féle zárójeles kifejezése

43 Annak feltétele, hogy az f mennyiség mozgásállandó legyen: ( ) df dt = 0 f t + {H, f } = 0. Ha f t = 0, {H, f } = 0. Tetszőleges f és g függvénypárra a Poisson-zárójel definíciója: {f, g} = ( f g f ) g. p k q k q k p k k

44 A Poisson-zárójelek tulajdonságai: ahol c egy állandó függvény. {f, g} = {g, f } (13) {f, c} = 0 (14) {f 1 + f 2, g} = {f 1, g} + {f 2, g}, (15) {f 1f 2, g} = f 1 {f 2, g} + f 2 {f 1, g}, (16) { } { f {f, g} = t t, g + f, g }, (17) t {f, q k } = f, (18) p k {f, p k } = f q k, (19) {q i, q k } = 0, {p i, p k } = 0, {p i, q k } = δ ik. (20)

45 Jacobi-azonosság. {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0.

46 Ha f és g két mozgásállandó {f, g} = állandó, (Poisson-tétele). Bizonyítás: ha h = H {f, {g, H}} + {g, {H, f }} + {H, {f, g}} = 0. ahonnan {H, g} = 0 és {H, f } = 0, tehát {H, {f, g}} = 0. Ha az f és g mozgásállandó expliciten függ az időtől: vagy { d f {f, g} = dt = d dt {f, g} = {f, g} + {H, {f, g}}. t } { + f, g t t, g { f t + {H, f }, g } + } {f, {g, H}} {g, {H, f }} = (21) { f, g } + {H, g} t { } { d df {f, g} = dt dt, g + f, dg } dt, (22)

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

Az elméleti mechanika alapjai

Az elméleti mechanika alapjai Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Az elméleti mechanika alapjai Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 1. Elméleti mechanika 7 1.1. Az elméleti

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy

Részletesebben

Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika

Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

Egy mozgástani feladat

Egy mozgástani feladat 1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.

Részletesebben

Mozgás centrális erőtérben

Mozgás centrális erőtérben Mozgás centális eőtében 1. A centális eő Válasszunk egy olyan potenciális enegia függvényt, amely csak az oigótól való távolságtól függ: V = V(). A tömegponta ható eő a potenciális enegiája gaiensének

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

Ellipszissel kapcsolatos képletekről

Ellipszissel kapcsolatos képletekről 1 Ellipszissel kapcsolatos képletekről Előző dolgozatunkban melynek címe: A Lenz - vektorról viszonylag sokat kellett ellipszissel kapcsolatos képletekkel dolgozni. Ennek során is adódott pár észrevételünk,

Részletesebben

Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008

Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008 Égi mechanika tesztkérdések A hallgatók javaslatai 2008 1 1 Albert hajnalka 1. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s1 = k 2 m 1m 2 r,m s r 2 r 2 2 = k 2 m 1m 2 r r 2 r mozgásegyenletek ekvivalensek

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk

Részletesebben

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r, Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,

Részletesebben

1. Az előző előadás anyaga

1. Az előző előadás anyaga . Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton

Részletesebben

Képlet levezetése :F=m a = m Δv/Δt = ΔI/Δt

Képlet levezetése :F=m a = m Δv/Δt = ΔI/Δt Lendület, lendületmegmaradás Ugyanakkora sebességgel mozgó test, tárgy nagyobb erőhatást fejt ki ütközéskor, és csak nagyobb erővel fékezhető, ha nagyobb a tömege. A tömeg és a sebesség együtt jellemezheti

Részletesebben

Tartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6

Tartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6 1 / 6 A TételWiki wikiből Tartalomjegyzék 1 A mechanika elvei 2 A virtuális munka elve 3 d'alembert elv és a Lagrange-féle elsőfajú egyenletek 4 A Gauss-féle legkisebb kényszer 5 Általános koordináták

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

1. ábra. 24B-19 feladat

1. ábra. 24B-19 feladat . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,

Részletesebben

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések . REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben

Az éjszakai rovarok repüléséről

Az éjszakai rovarok repüléséről Erről ezt olvashatjuk [ ] - ben: Az éjszakai rovarok repüléséről Az a kijelentés, miszerint a repülés pályája logaritmikus spirális, a következőképpen igazolható [ 2 ].. ábra Az állandó v nagyságú sebességgel

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

A Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra.

A Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra. 1 A Lenz - vektorról Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ez nem régen történt. Meglepett, hogy eddig ez kimaradt. Annál is inkább, mert

Részletesebben

Tömegvonzás, bolygómozgás

Tömegvonzás, bolygómozgás Tömegvonzás, bolygómozgás Gravitációs erő tömegvonzás A gravitációs kölcsönhatásban csak vonzóerő van, taszító erő nincs. Bármely két test között van gravitációs vonzás. Ez az erő nagyobb, ha a két test

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2. Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba

Részletesebben

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés

Részletesebben

A kémiai kötés eredete; viriál tétel 1

A kémiai kötés eredete; viriál tétel 1 A kémiai kötés ereete; viriál tétel 1 Probléma felvetés Ha egy molekula atommagjai közötti távolság csökken, akkor a közöttük fellép elektrosztatikus taszításhoz tartozó energia n. Ugyanez igaz az elektronokra

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9. Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek

Részletesebben

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből 1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

Bolygómozgás. Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1. Csabai István, Stéger József

Bolygómozgás. Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1. Csabai István, Stéger József Bolygómozgás Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1 Csabai István, Stéger József ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Email: csabai@complex.elte.hu, steger@complex.elte.hu Bevezetés Egy Nap körül kering

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Hajder Levente 2017/2018. II. félév Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13. Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik

Részletesebben

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (e) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2014. december 3. 1 A Klein-Gordon-egyenlet (1) A relativisztikus dinamikából a tömegnövekedésre és impulzusra vonatkozó

Részletesebben

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve. TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges

Részletesebben

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú

Részletesebben

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1) 3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem. Elektronikus anyag: comodi.phys.ubbcluj.ro/elmeletifizika

2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem. Elektronikus anyag: comodi.phys.ubbcluj.ro/elmeletifizika Tematika: AZ ELMÉLETI FIZIKA ALAPJAI Kódszám: FLM1303 Kreditszám: 6 Órarend:3 óra előadás, hétfő 10 óra, 243A. terem 2 óra szeminárium, kedd 10 óra, 3/II terem Oktató: Lázár Zsolt József adjunktus főépület

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Mechanika. Kinematika

Mechanika. Kinematika Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat

Részletesebben

Az impulzusnyomatékok általános elmélete

Az impulzusnyomatékok általános elmélete Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P

Részletesebben

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről 1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

6. A Lagrange-formalizmus

6. A Lagrange-formalizmus Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető

Részletesebben

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2) 2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA

EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az

Részletesebben

Speciális relativitás

Speciális relativitás Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 3. (b) Speciális relativitás Relativisztikus dinamika Utolsó módosítás: 2013 október 15. 1 A relativisztikus tömeg (1) A bevezetett Lorentz-transzformáció biztosítja

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

A Kepler - problémáról. Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó.

A Kepler - problémáról. Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó. 1 A Kepler - problémáról Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó. 1. ábra forrása: https://hu.wikipedia.org/wiki/kepler-probl%c3%a9ma

Részletesebben

1 2. Az anyagi pont kinematikája

1 2. Az anyagi pont kinematikája 1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

A spin. November 28, 2006

A spin. November 28, 2006 A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,

Részletesebben

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel 1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora

Részletesebben

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Fermi Dirac statisztika elemei

Fermi Dirac statisztika elemei Fermi Dirac statisztika elemei A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika

Részletesebben

3. jegyz könyv: Bolygómozgás

3. jegyz könyv: Bolygómozgás 3. jegyz könyv: Bolygómozgás Harangozó Szilveszter Miklós, HASPABT.ELTE 21. április 6. 1. Bevezetés Mostani feladatunk a bolygók mozgásának modellezése. Mint mindig a program forráskódját a honlapon [1]

Részletesebben

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról 1 Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról Erről viszonylag ritkán olvashatunk, ezért most erről lesz szó. Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi részt 1. ábra. 1. ábra Itt a ( c ) feladat és annak megoldása

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,

Részletesebben

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség.

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség. Ha az erő és az elmozdulás egymásra merőleges, akkor fizikai értelemben nem történik munkavégzés. Pl.: ha egy táskát függőlegesen tartunk, és úgy sétálunk, akkor sem a tartóerő, sem a nehézségi erő nem

Részletesebben

Elektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=

Elektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B= Elektrodinamika Maxwell egyenletek: div E =4 div B =0 rot E = rot B= 1 B c t 1 E c t 4 c j Kontinuitási egyenlet: n t div n v =0 Vektoranalízis rot rot u=grad divu u rot grad =0 div rotu=0 udv= ud F V

Részletesebben