Az égi mechanika alapfeladata általánosan mint az n-test probléma fogalmazható meg a
|
|
- György Borbély
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. fejezet Az n-test probléma 1.1. Mozgásegyenletek Az égi mechanika alapfeladata általánosan mint az n-test probléma fogalmazható meg a következőképpen: x Határozzuk meg az n számú n 2 n N pontszerű test mozgását ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerők hatnak. z P j P n rij r n r j P i r i O r P 1 1 y 1.1. ábra. Az n-test probléma Jelölje az n-test problémában a tömegpontokat P 1 P 2... P n tömegüket m 1 m 2... m n. Legyen P i helyvektora egy Oxyz inerciarendszerben r i derékszögű koordinátái x i y i z i i { n} 1.1. ábra. A P i tömegpontra a P j j i i j { n} által kifejtett gravitációs vonzóerő a Newton féle általános tömegvonzási törvény alapján F ij = G m im j r 2 ij r ij r ij 1.1 ahol G = m 3 kg 1 s 2 a Newton-féle gravitációs állandó 1 r ij = r j r i 1.2 r ij = r ij = x j x i 2 + y j y i 2 + z j z i A Seattle-i Washington Egyetem kutatói 2000-ben torziós ingával végzett nagypontosságú mérései szerint G = ± m 3 kg 1 s 2. 1
2 2 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA és az erő irányát a P i -ből a P j -be mutató r ij r ij egységvektor adja. Az égi mechanikában a Nemzetközi mértékrendszerben SI használt kg m s egységek helyett sajátos egységeket használnak amelyek a következők: tömegegysége a Nap tömege hosszúságegység a csillagászati egység időegység pedig a középnap. Ebben a mértékrendszerben a tömegvonzási törvényben szereplő gravitációs állandót hagyományosan k 2 -tel jelöljük ahol a k Gauss-féle gravitációs állandó értéke: k = Így a tömegvonzási erő kifejezésére az F ij = k 2 m im j r 2 ij kifejezéseket használjuk. A P i -re ható F i erő az F ij -k összegzésével adódik: F i = k 2 r ij r ij j i i j { n} 1.4 n r 2 ij r ij r ij i = n. Az erőknek a derékszögű koordináta-rendszer tengelyeire eső vetületei: F ix = k 2 n x j x i F rij 3 iy = k 2 n Az n-test probléma Newton-féle mozgásegyenletei így m i ri = k 2 n y j y i F rij 3 iz = k 2 n z j z i. rij 3 r rij 3 ij i = n 1.5 alakban írhatók ahol az r i gyorsulások az idő függvényeként változó r i : [t 0 t v ] R 3 helyzetvektorok t idő szerinti másodrendű deriváltjai. A 1.5 közönséges másodrendű differenciálegyenletek az r i t 0 = r i0 ri t 0 = r i0 i = n 1.6 kezdeti feltételekkel egy kezdetiérték-feladatot alkotnak amely megoldásai az r ij = 0 i j = n i j ütközéseken kívül egyértelműen meghatározottak.
3 1.2. AZ N-TEST PROBLÉMA ELSŐ INTEGRÁLJAI Megjegyzés. Az égi mechanikában szokásos V = k2 2 in r ij = k 2 1 i<j n potenciális energiát bevezetve az n-test probléma 1.5 mozgásegyenletei az m i ri = grad i V i = n alakban írhatók amely egyenletek komponensekben az r ij 1.7 m i x i = V egyenletekkel ekvivalensek. m i y i = V y i m i z i = V z i i = n 1.8 Bizonyítás. Például az x koordináta esetén ha l { n}: V x l = x l = k2 2 k 2 2 n j l n j l m l m j r lj m l m j x j x l r 3 lj + x l + n i l k 2 2 n i l m i m l r il m i m l x i x l r 3 il = = k2 n i l m l m i x i x l r 3 li = F lx ami éppen a P l -re ható erő x komponense. Az összegek deriválásánál azt tartottuk szem előtt hogy csak azon tagok deriváltja nem zérus amelyekben megjelenik x l l = i vagy l = j esetén. Az n-test problémát leíró 1.8 egyenletek 3n számú közönséges másodrendű differenciálegyenletet jelentenek a meghatározandó x i t y i t z i t i = n függvények számára ahol a független változó a t idő amelyre 0 t 0 t t v. Így a 1.8 differenciál-egyenletrendszer rendje 6n Az n-test probléma első integráljai Az n-test probléma mozgásegyenleteiből álló differenciálegyenlet-rendszer megoldásának legkézenfekvőbb módja első integrálok keresése.
4 4 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Definíciók. Valamely f : M R 3n [t 0 t v ] R M R 3n függvényt az n-test probléma mozgásállandójának nevezzük ha a 1.5 mozgásegyenletek bármely r 1 r 2... r n megoldásához létezik olyan c R állandó amelyre f r 1 r 2... r n r 1 r 2... r n t = c t [t 0 t v ]. 1.9 A 1.9 összefüggést a 1.5 mozgásegyenletek első integráljának nevezzük. A 1.5 mozgásegyenletek integrálásához 6n független első integrálra lenne szükség mely összesen 6n tetszőleges állandót tartalmaz. Az n-test probléma általános megoldása ezen integrálokból lenne kifejezhető a t idő és a 6n tetszőleges állandó függvényeként. Az egyes megoldásokhoz tartozó integrációs állandók a 1.6 kezdeti feltételek alapján határozhatók meg. Az n-test problémára irányuló kutatások középpontjában hosszú időn keresztül a megfelelő számú független első integrál keresése állott. A következőkben az ismert első integrálokat mutatjuk be. A tömegközéppont-integrálok Tétel. A tömegközéppont-integrálok. Az n-test probléma bármely megoldása esetén léteznek az a b állandó vektorok amelyekre ahol a pontrendszer össztömege és m r C = a és m r C = at + b t [t 0 t v ] 1.10 m = r C = 1 m m i 1.11 r i 1.12 a rendszer C tömegközéppontjának helyzetvektora. Bizonyítás. A 1.5 mozgásegyenleteket összegezve minden i-re: m i ri = k2 n r 3 ij r ij =
5 1.2. AZ N-TEST PROBLÉMA ELSŐ INTEGRÁLJAI 5 ugyanis a kettős összegben az r ij és r ji kiejti egymást. Így idő szerinti kétszeri integrálással kapjuk hogy léteznek az a és b állandó vektorok amelyekre m i ri = a és m i r i = at + b. Ezen utóbbi összefüggések 1.11 és 1.12 figyelembevételével a kijelentésben szereplő 1.10 tömegközéppont-integrálokhoz vezetnek Megjegyzések. 1. Az a b integrációs állandók értéke a kezdeti feltételek alapján a = m r i0 és b = m i r i0 at A 1.10 tömegközéppont integrálok komponensekben felírva az 1.5 rendszer hat első integrálját jelentik Következmények. 1. Az impulzusmegmaradás tétele. Az n-test probléma esetén a pontrendszer n m i v i = n m r i i impulzusa állandó: n m i v i = a. Tehát az a nem más mind a rendszer össz-ipulzusa teljes lendülete. 2. A tömegközéppont tétele. A rendszer C tömegközéppontja vagy nyugalomban van a = 0 vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez a 0. Az impulzusmomentum-integrál Tétel. Az impulzusmomentum-integrál. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan c állandó vektor amelyre r i m i ri = c t [t 0 t v ] Bizonyítás. A 1.5 mozgásegyenletek mindkét oldalát megszorozva vektoriálisan balról r i -vel majd minden i-re összegezve adódik hogy r i m i ri = k2 r rij 3 i r ij = n ugyanis az r i r ij és r j r ji vektorok összege zérusvektor: r i r ij + r j r ji = r i r j r i + r j r i r j = r i r j + r j r i = 0. A 1.15 összefüggésből idő szerinti integrálással kapjuk hogy létezik olyan c R 3 amelyre teljesül a 1.14 összefüggés.
6 6 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Megjegyzések. 1. A 1.14 impulzusmomentum-integrál bal oldalán a pontrendszer impulzusmomentuma van. Így az impulzusmomentum-integrál az impulzus-momentum perdület állandóságát fejezi ki. 2. Az impulzusmomentum-integrál komponensekben felírva az n-test probléma újabb három első integrálját adja. Az energiaintegrál Tétel. Az energiaintegrál. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan h R állandó amelyre ahol T + V = h t [t 0 t v ] 1.16 T = 1 2 m i v i a rendszer kinetikus energiája V pedig a 1.7-ben értelmezett potenciális energia. Bizonyítás. A 1.5 mozgásegyenletek beszorozva rendre skalárisan a v i = r i sebességekkel majd összegezve i szerint: m i ri r i = k 2 r rij 3 i r ij 1.18 ahol a bal oldalon levő kifejezés nem más mint a kinetikus energia idő szerinti deriváltja b o = n m i ri r i = dt dt 1.19 míg a jobb oldaldalon szereplő összeg az alábbi módon alakítható: j o = k 2 = 1 2 k2 n in = 1 2 k2 in r 3 ij r rij 3 ij r 3 ij r i r ij = 1 2 k2 in rj r i = 1 2 k2 r ij ṙ ij = 1 2 k2 in r rij 3 ij r i + in in r rij 3 ij r ij = r 3 ij r ji r j = ṙ rij 2 ij = dv dt. 1.20
7 1.2. AZ N-TEST PROBLÉMA ELSŐ INTEGRÁLJAI 7 A és 1.20 összefüggések alapján a d T + V dt = 0 összefüggés következik ahonnan a 1.16 azonnali Megjegyzések. 1. Az energiaintegrál a mechanikai energia a mozgási és potenciális energiák összegének állandóságát vagyis az energia megmaradásának elvét fejezi ki. 2. A és 1.16 egyenletek a 1.5 mozgásegyenletek tíz skaláris első integrálját jelentik. Ezek az ún. klasszikus első integrálok. Az n-test problémára n 3 estén további első integrálok nem ismeretesek. A bemutatott tíz első integrál felhasználásával a 1.5 egyenletek egy 6n 10-ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók. 3. n = 2 esetén az új rendszer másodrendű mely egyszerűen integrálható lásd a következő részben. 4. n = 3 esetén a redukált rendszer 8-ad rendű melynek integrálásához további első integrálok lennének szükségesek. Sokáig próbálkoztak újabb első integrálok keresésével mígnem H. Burns bebizonyította 1887 hogy a háromtest-probléma esetében nem létezik a tíz klasszikus első integráltól független algebrai első integrál mely a koordináták és sebességek algebrai függvénye lenne. Poincaré kimutatta 1889 hogy a háromtest-problémára olyan transzcendens első integrálok sem léteznek melyek a változók egyértékű függvényei lennének. Bruns és Poincaré eredményeit P. Painlevé általánosította 1898 az n-test problémára. Ezek az eredmények véget vetettek az n-test probléma integrálására irányuló próbálkozásoknak. Ha ugyanis találnánk további első integrálokat azok olyan bonyolultak lennének hogy a mozgásegyenletek redukálására nem lennének alkalmazhatók. Az első integrálok két alkalmazását említhetjük a Naprendszer esetében. 1. Feltéve hogy a Naprendszer zárt pontrendszer melynek tagjaira csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerők hatnak a tömegközéppont integrálok értelmében a Naprendszer tömegközéppontja egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A környező csillagok rendszerének tömegközéppontjához képest a mozgás sebessége 20 km/sec iránya a Herkules csillagkép felé mutat. Figyelembe véve azonban a Tejútrendszer csillagainak gravitációs hatását a Naprendszer tömegközéppontjának mozgása már nem egyenes vonalú hanem a Tejútrendszer centruma körüli körmozgás kb. 250 km/sec-os sebességgel. 2. A pontrendszer C tömegközéppontján átmenő és a c impulzusmomentum vektorra merőleges sík az ún. Laplace-féle invariábilis sík. A c állandósága miatt ez a sík
8 8 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA a térben állandó helyzetű. A pontrendszer hosszú idő alatt lejátszódó dinamikai fejlődését célszerű az invariábilis síkhoz viszonyítva vizsgálni. A Naprendszer Laplace-féle invariábilis síkjának szögkoordinátái G. Burkhardt 1982 számításai szerint: i = Ω = ahol i a pályahajlás Ω a felszálló csomó hossza. Az adatok a J epochához tartozó ekliptikai koordináta-rendszerre vonatkoznak. A Naprendszer dinamikai fejlődését célszerű az invariábilis síkhoz viszonyítani. Az n-test probléma megoldását a kívánt pontossággal numerikus integrálás segítségével közelíthetjük meg A Lagrange Jacobi-egyenlet Tétel. Lagrange Jacobi. Az n-test probléma esetén a mozgás teljes ideje alatt érvényes az Ï = 2U + 4h 1.21 ún. Lagrange Jacobi-egyenlet ahol U = V az erőfüggvény I = m i x 2 i + yi 2 + zi a rendszer tehetetlenségi nyomatéka h pedig az energiaállandó. Bizonyítás. Az U erőfüggvény a koordináták 1-edrendű homogén függvénye ugyanis tetszőleges λ > 0 valós számra U λx 1... λz n = λ 1 U x 1... z n. A homogén függvényekre vonatkozó Euler-tétel szerint így x i + y i + z i = U y i z i Az 1.8 m i ẍ i =... mozgásegyenleteket felhasználva 1.23-ból U = V figyelembevételével kapjuk hogy m i x i ẍ i + y i ÿ i + z i z i = U.
9 1.3. A LAGRANGE JACOBI-EGYENLET 9 Adjuk ehhez 1.17 T = 1 n 2 m r i i 2 figyelembevételével az 1.16 T + V = h energia-integrál kétszeresét 2T = 2U + 2h: m i xi ẍ i + ẋ 2 i + y i ÿ i + ẏi 2 + z i z i + żi 2 = U + 2h. Innen [ ] d m i x i ẋ i + y i ẏ i + z i ż i = U + 2h dt és [ d 2 ] m dt 2 i x 2 i + yi 2 + zi 2 = 2U + 4h. A tehetetlenségi nyomaték 1.22 értelmezése szeritn 1.21 azonnali Megjegyzés. Az 1.21 Lagrange Jacobi-egyenletet mely fontos szerepet játszik az n-test problémára vonatkozó kvalitatív vizsgálatokban először Lagrange vezette le ben a háromtest-problémára majd C.G.J. Jacobi általánosította 1842-ben tetszőleges számú tömegpontra. Az 1.22 összefüggéssel értelmezett mennyiség a P i tömegpontok rendszerének a koordináta-rendszer O kezdőpontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. Ez az r i távolságoktól függ. Célszerű 1.22-et olyan alakra hozni amelyben r i helyett a tömegpontok közti r ij távolságok szerepelnek és amely így a koordináta-rendszer kezdőpontjától független Tétel. Az n-test problémára vonatkozó Lagrange Jacobi-egyenlet felírható az alakban ahol R = 1 2m R = 2U + 4h m = n m i az össztömeg és h 0 R állandó. rij Bizonyítás. Induljunk ki a következő összefüggésekből: m i m i x 2 i = m 2 i x 2 i + 1 x 2 2 i + xj 2 2 m i x i = m 2 i x 2 i + x i x j.
10 10 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Az első egyenletből a másodikat kivonva az m = n m i figyelembevételével kapjuk hogy 2 m m i x 2 i m i x i = 1 x j x i Az 1.10 tömegközéppont-integrálok felhasználásával az a és b vektorok komponenseit a 1 a 2 a 3 -mal illetve b 1 b 2 b 3 -mal jelölve: és így az 1.26 összefüggés az m i x i = a 1 t + b 1 m m i x 2 i a 1 t + b 1 2 = 1 2 x j x i 2 alakra hozható. Ezt az összefüggést az y és z koordinátákra is felírva majd a három egyenletet összeadva kapjuk hogy 3 mi a k t + b k 2 = 1 2 rij. 2 Az 1.25 jelöléssel I = R + 1 m 3 a k t + b k t 1.21-be helyettesítve az 1.24 egyenletet kapjuk ahol Ezzel tételünket bizonyítottuk. h 0 = h a2 1 + a a m Megjegyzések. 1. A koordináta-rendszer középpontját a C tömegközéppontba helyezve a 1 = a 2 = a 3 = 0 így 1.28-ból látható hogy h 0 a baricentrikus energiaállandó az 1.10 tömegközéppont-integrálok felhasználásával az I = R + mr 2 C alakban írható. Itt mr 2 C a C tömegközéppontba koncentrált m = n m i össztömeg tehetetlenségi nyomatéka a koordináta-rendszer O kezdőpontjára vonatkoztatva.
11 1.4. RELATÍV MOZGÁSEGYENLETEK 11 Alkalmazás: Lagrange-féle stabilitás A Lagrange Jacobi-egyenlet egyszerű alkalmazásaként vizsgálható a Lagrange-féle stabilitás Definíció. Az n tömegpontból áll rendszer Lagrange-féle értelemben stabil ha a tömegpontok közti összes r ij távolságnak véges felső határa van. A Lagrange-féle stabilitás nem mond semmit a minimális távolságokról a tömegpontok közti lehetséges ütközésekről Tétel. A Lagrange-féle stabilitás szükséges feltétele hogy h 0 < 0 legyen. Bizonyítás. Integráljuk 1.24-et kétszer az idő szerint. Ekkor R = R 0 + Ṙ0 t t 0 + t t t 0 t 0 2U + 4h 0 dτdτ ahol R 0 Ṙ 0 integrációs állandók. Ha a rendszer Lagrange-féle értelemben stabil az r ij távolságok felülről korlátosak így U-nak mely definíciója szerint nem negztív pozitív alsó korlátja van: U K > 0. Így R R 0 + Ṙ0 t t 0 + K + 2h 0 t t 0 2 ] = R 0 + [Ṙ0 + K + 2h 0 t t 0 t t 0. Látható hogy h 0 0 esetén a szögletes zárójelben álló kifejezés Ṙ0 előjelétől függetlenül t növekedésével mindenképpen pozitív lesz és t esetén R. Ekkor viszont legalább az egyik r ij azaz a rendszer instabil. A Lagrange-féle stabilitás szükséges feltétele tehát hogy h 0 < 0 legyen Mozgásegyenletek az egyik tömegpontra vonatkoztatva A bolygók és holdjaik mozgásának vizsgálatában fontos szerepet játszik az n-test problémának az az esete amelyben az egyik test pl. P 1 sokkal nagyobb tömegű a többinél. Ezek mozgását így elsősorban P 1 gravitációs hatása határozza meg. Célszerű ezért a P i tömegpontok i = n mozgását P 1 -hez viszonyítva vizsgálni. Például a bolygók mozgását vizsgálva P 1 a Nap P 2 P 3... P n a bolygók. Egy bolygó holdjai esetében P 1 a központi bolygó P 2 P 3... P n pedig a holdak.
12 12 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Tétel. Az n-test probléma esetén a P i tömegpontnak a P 1 tömegpontra vonatkoztatott mozgását az r i + µ i egyenletek írják le ahol és r 3 i r i = R i i = n 1.29 r i r i = r i r 1 i = n 1.30 µ i = k 2 m 1 + m i i = n 1.31 R i = k 2 j=2 1 m j r i r j r ij r j 3 x z P j r j r j z r ij P i r i r P 1 1 O r i y x 1.2. ábra. A relatív mozgás vizsgálata. y Bizonítás. Az Oxyz inerciarendszerben a mozgásegyenletek 1.5 szerint P i i = n esetén: m i ri = k 2 P 1 esetén pedig m 1 r1 = k 2 j=2 r rij 3 ij m 1 m j r r1j 3 1j. Az első egyenletből a másodikat kivonva kapjuk a P 1 -hez viszonyított relatív mozgások mozgásegyenleteit. Az első egyenletben m i -vel a másodikban m 1 -el egyszerűsítve majd a kivonást elvégezve 1.30 figyelembevételével kapjuk hogy r i = k 2 m 1 r i + k 2 r 3 i j=2 m j r 3 ij r ij k 2 m i r i k 2 r i 3 j=2 m j r j 3 r j vagyis r i = k2 m 1 + m i r r i 3 i + k 2 j=2 m j rij r 3 ij r j 1.33 r j 3
13 1.4. RELATÍV MOZGÁSEGYENLETEK 13 ahol az 1.2 ábra alapján r i = r 1i = r i r 1 r j = r 1j = r j r 1 r ij = r j r i = r j r i és az r i koordinátáit x i y i z i-vel jelölve r i = r i = x 2 i + y i 2 + z i 2 r ij = r ij = x j x i 2 + y j y i 2 + z j z i 2. Az 1.32 összefüggéssel bevezetett R i függvények segítségével az 1.33 egyenlet komponensekben az ẍ i + µ i r i 3 ÿ i + µ i r i 3 z i + µ i r i 3 x i = R i 1.34 x i y i = R i i = n y i z i = R i z i alakban írhtó ami nem más mint az 1.29 relatív mozgásegyenletek Descartes-féle megfelelője Megjegyzések be R i = 0-t helyettesítve kapjuk hogy ẍ i + µ i x i = r i 3 ÿ i + µ i y i = 0 r i 3 z i + µ i z i = 0 i = n. r i 3 A 1.35 egyenletek a P i tömegpontok P 1 körüli mozgását írják le abban az esetben ha mindegyik P i -re i = n csak P 1 gravitációs vonzása hatna. Ekkor különböző i-kre az 1.35 egyenletek egymástól függetlenek. Az 1.34 egyenletek a P i tömegpontok P 1 körüli mozgását határozzák meg P 1 és a többi P j j = n j i tömegpont együttes hatása alatt. A P j tömegpontok hatását P i -re az R i függvény fejezi ki. Mindegyik P i -hez más-más R i függvény tartozik. Mivel R i az összes P i pont koordinátáitól függ a 1.29 illetve 1.34 egyenletek nem függetlenek egymástól.
14 14 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Az R i függvény 1.32 alatti alakjában a zárójelben álló első tag 1 az R i direkt része. Ez adja P j -nek P i -re gyakorolt közvetlen hatását. A zárójel második tagja R i indirekt része. Ez P j -nek P i -re gyakorolt közvetett hatását fejezi ki ami onnan származik hogy P j befolyásolja P 1 inerciarendszerbeli mozgását és ez jelentkezik P i -nek P 1 -re vonatkoztatott mozgásában. A bolygók mozgásának vizsgálatakor P 1 a Nap P i -k a bolygók. Az 1.35 egyenletek a bolygók perturbálatlan mozgását határozzák meg amelyet egyedül a Nap gravitációs hatása hoz létre. A bolygók egymásra gyakorolt hatása perturbációi az 1.34 egyenletekből határozhatók meg ban R i a perturbációs függvény. Minden bolygóhoz más-más perturbációs függvény tartozik. Az 1.34 egyenletek megoldása szempontjából lényeges hogy ezek jobb oldalán az m j perturbáló bolygótömegek szerepelnek melyek igen kicsik az egyenletek bal oldalán µ i -n keresztül fellépő m 1 Nap-tömeghez képest így a perturbációszámítás módszereivel vizsgálható A Jacobi-féle koordináták Az n-test problémában gyakran alkalmazzák a Jacobi-féle koordinátákat amelyeket a következőképpen vezethetjük be: Definíció. A P i i = 1... n pontrendszer esetén a P i pont ρ i -vel jelölt Jacobi-féle helyvektora i {2... n} esetén P i -nek a P 1 P 2... P i1 rendszer tömegközéppontjára vonatkoztatott helyvektora míg ρ 1 a teljes rendszer tömegközéppontjának origóra vonatkoztatott helyvektora 1.3 ábra. r ij P2 P 3 ρ 2 ρ 3 C 3 ρ 4 ρ P4 1 P 1 O 1.3. ábra. A Jacobi-féle koordináták négy tömegpont esetén. O az inerciarendszer kezdőpontja C pedig a teljes pontrendszer tömegközéppontja. Ha az Oxyz Descartes-féle inerciarendszerben az m i tömegű P i pont helyvektora r i = x i y i z i R 3 i {1... n} R i = X i Y i Z i i {2... n} pedig a P 1 P 2... P i
15 1.5. A JACOBI-FÉLE KOORDINÁTÁK 15 pontok tömegközéppontjának helyvektora akkor a ρ i = ξ i η i ζ i Jacobi-féle helyvektorok az értelmezés alapján a következő összefüggésekkel fejezhetők ki: ahol ρ i = r i R i1 i {2... n} A Jacobi-féle helyvektorok kifejezhetők a helyvektorok lineáris kombinációjaként: ρ i = r i 1 M i1 1 M n i1 m k r k ha i {2... n} m k r k ha i = 1 M i = 1.37 i m k 1.38 az első i test össztömege. Ez azonnal belátható ha figyelembe vesszük hogy a tömegközéppontok helyzetvektorait értelmezés szerinti R i1 = 1 i1 M i1 m k r k kifejezések adják amelyeket 1.36-be helyettesítve az 1.37 összefüggésekhez jutunk. A Jacobi-féle helyvektorokat adó 1.37 kifejezéseket a tengelyekre vetítve megkapjuk a Jacobi-féle koordináták at amelyek a következő összefüggésekkel fejezhetők ki: illetve ξ i = x i 1 M i1 ξ 1 = 1 m k x k η 1 = 1 m k y k ζ 1 = 1 m k z k 1.39 M n M n M n i1 m k x k η i = y i 1 M i1 i1 m k y k ζ i = z i 1 M i1 i1 m k z k 1.40 ha i {2... n}. Az alkalmazások esetében a koordináta-rendszer kezdőpontját leggyakrabban a pontrendszer tömegközéppontjában rögzítjük és ebben az esetben: ρ 1 = 0 ξ 1 = η 1 = ζ 1 = 0. Az 1.37 illetve összefüggésekkel értelmezett J : R 3 n R 3 n Jacobi-féle koordináta-trsanszformáció bijektív ugyanis a transzformáció mátrixának nemnulla elemei
16 16 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA a főátló mentén három azonos tömbbe rendezhetők x y és z szerint. Ezek a tömbök m 1 m 2 m 3 m m n m m n m m n... m n1 m m n m n m m n m 1 m 1 +m 2 m 2 m 1 +m m 1 m m n2 m 1 m m n1 m 2 m m n2 m 2 m m n1 m 3 m m n m 3 m m n1... m n1 m m n1 1 alakőak és a megfelelő aldeterminánsok értéke 1. Így detj = 1 ami azt jelenti hogy a mátrix nem szinguláris tehát a transzformáció kölcsönösen egyértelmű Lemma. Ha egy vonatkoztatási rendszer kezdőpontját a pontrendszer tömegközéppontjába rögzítjük ρ 1 = 0 akkor az r ij = r j r i vektorok kifejezése a Jacobi-féle helyvektorok segítségével: r ij = ρ j ρ i + j1 l=i m l M l ρ l 1 i < j n Bizonyítás. A fenti jelölésekkel a tömegközéppontok helyzetvektora: R i = i m k r k M i = i1 m k r k + m i r i M i = M i1 R i1 + m i r i M i ahonnan M i R i M i1 R i1 = m i r i = M i M i1 r i minden i {2... n} esetén. Az 1.36 összefüggések segítségével az R i és R i1 vektorok R kiküszöbölhetők i = r i+1 ρ i+1 azaz ami a következő alakra hozható: M i r i+1 ρ i+1 M i1 r i ρ i = M i r i M i1 r i r i+1 r i = ρ i+1 M i1 M i ρ i i {2... n 1}. A fenti egyenlőségeket összegezve amikor i {2... j 1} 3 j n az j1 j1 r j r 2 = r i+1 r i = ρ i+1 M i1 ρ i M i i=2 i=2 = ρ j M j1 1 ρ 2 + M 2 l=3 1 M l1 ρ l M l
17 1.5. A JACOBI-FÉLE KOORDINÁTÁK 17 összefüggésekhez jutunk azaz r j r 2 = ρ j ρ 2 + j1 A P 2 pont Jacobi-féle helyvektorának értelmezése alapján felírható r 2 r 1 = ρ 2 összefüggést hozzáadva az 1.42 összefüggéshez az r j r 1 = ρ j + j1 l=2 l=2 m l M l ρ l m l M l ρ l ha 3 j n 1.43 összefüggéshez jutunk. Ez az összefüggés felírható minden i-re ha 3 i < j n azaz r i r 1 = ρ i + i1 l=2 m l M l ρ l. A j-re és i-re felírt összefüggéseket kivonva egymásból a lemmában szereplő 1.41 összefüggést kapjuk azaz r ij = r j r i = ρ j ρ i + j1 l=i m l M l ρ l ha 3 i < j n. Megállapíthatjuk hogy a felírt összefüggés i = 2 esetében is érvényes mivel ebben az esetben megegyezik a már ellenőrzött 1.42 összefüggéssel. Figyelembe véve a ρ 1 = 0 feltevést az 1.43 összefüggés i = 1 esetére is kiterjeszthető. Ezzel a bizonyítás teljes Következmény. A ρ 1 = 0 feltétel esetén a pontok közti r ij = r j ri kölcsönös távolságok kifejezése a Jacobi-féle koordináták segítségével: j1 r ij = ρ m l j ρ i + ρ l 1 i < j n M l l=i Tétel. A Jacobi-féle koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletek az n-test probléma esetén: M i ξ i = m i M i1 ξ i η i = ζ i = M i m i M i1 η i i = n M i m i M i1 ζ i
18 18 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Bizonyítás. Az m i ẍ i = m i ÿ i = y i m i z i = z i mozgásegyenletekben szereplő Descartes-féle koordinátákat helyettesítjük a Jacobi-féle koordinátákkal. Az 1.37 összefüggések mindkét oldalát kétszer deriválva az idő szerint ρ i = r i 1 M i1 i1 m k rk i = n at komponensekben felírva az első komponens a Descartes-féle mozgásegyenletek felhasználásával a következőképpen írható: ξ i = 1 m i 1 M i1 i1 x k i = n Fejezzük ki 1.47 jobb oldalát a Jacobi-koordinátákkal! Ehhez az x i szerinti parciális deriváltakat fejezzük ki a ξ i szerinti parciális deriváltakkal: 1.40 szerint = j=2 ξ j ξ j i 1. Ezt felhasználva Így i 2 esetén: és ξ j = m i M j1 ha j > i ξ j = 1 ha j = i ξ j = 0 ha j < i. x 1 = i 2 : = 1 M i1 j=2 j=2 ξ j ξ j x 1 = j=2 ξ j ξ j = ξ i 1 = 1 m i m i ξ i i1 j=i+1 ξ j m 1 M j1 j=i+1 1 M j1 ξ j m i. ξ j M j1 = 1 i1 + = x k M i1 x 1 x k k=2
19 1.5. A JACOBI-FÉLE KOORDINÁTÁK 19 = = 1 M i1 1 M i1 i1 [ m 1 i1 + M j1 ξ j ξ k j=2 j=3 [ = 1 i1 M i1 j=3 j1 m k j=3 k=2 k=2 m 1 i1 + M j1 ξ j ξ k k=3 1 m 1 M j1 ξ j 1 M j1 ξ j [ = 1 i1 j1 M j1 m 1 m k M i1 Tehát j=3 = 1 M i1 j=i k=2 M i1 = M j1 ξ j ξ i = 1 m i 1 = 1 m i M i1 j=i+1 j=i i1 j=k+1 i1 k=2 j=k+1 j=i 1 M j1 ξ j i1 j=i x k = 1 + M j1 ξ j = 1 m i + 1 M i1 ξ i = ] m k = M j1 ξ j m k = M j1 ξ j m 1 M j1 ξ j ] 1 m k = M j1 ξ j k=2 i1 m k j=i 1 i 2. M j1 ξ j j=i M i. m i M i1 ξ i 1 = M j1 ξ j ] 1 = M j1 ξ j Ugyanígy vezethetők le az η i ζ i koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletek is Megjegyzések. i Az 1.8 mozgásegyenletekkel szemben az 1.45 egyenletrendszer nem 3n hanem 3n 1 másodrendű differenciálegyenletből áll rendszáma így 6n 1. Az egyenletek számának hárommal a rendszám hattal való csökkenése 1.8-hoz képest annak a következménye hogy a Jacobi-koordináták a tömegpontok helyzetét lényegében a rendszer tömegközéppontjához viszonyítva adják meg aminek a mozgása viszont a tömegközéppont-integrálok értelmében ismert. ii Az 1.45 egyenletek előnye az 1.29-al szemben az hogy 1.45 mindegyik egyenletében az erőkomponensek ugyanazon U erőfüggvényből származtathatók. Ezzel szemben 1.29-ban az erőkomponensek minden i-re más-más R i függvényből kaphatók meg. iii Az 1.45 egyenletek úgy is felfoghatók mint amelyek az m i M i1 /M i tömegű tömegpontok mozgását határozzák meg az U erőfüggvényből származtatható erők hatására.
20 20 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Alkalmazások. Az 1.45 egyenletek egyik alkalmazásaként a Hold mozgáselméletét említjük. Az n = 3 esetben legyen P 1 a Föld P 2 a Hold P 3 a Nap 1.4. ábra! 1.45-ből i = 2-re kapjuk a Hold i = 3-ra a Nap mozgásegyenleteit. A Hold mozgásegyenletei a Földre vonatkoztatva: ξ P 2 ξ 2 η 2 ζ 2 2 = m 1 + m 2 m 1 m 2 ξ 2 Hold r 23 η 2 = m 1 + m m ρ 2 3 P 3 ξ 3 η 3 ζ 3 1 m 2 η 2 ρ Nap ζ 2 = m 1 + m 2. 3 m 1 m 2 ζ 2 r 13 A Nap mozgásegyenletei a Föld Hold rendszer tömegközéppontjára vonatkoztatva: P 1 Föld ξ 3 = m 1 + m 2 + m 3 m 3 m 1 + m 2 ξ ábra. A Föld Hold Nap rendszer. η 3 = m 1 + m 2 + m m 3 m 1 + m 2 η 3 ζ 3 = m 1 + m 2 + m 3 m 3 m 1 + m 2 ζ 3 r 12 = ρ 2 r 23 = ρ 3 m 1 ρ 2 m 1 + m 2 r 31 = ρ m ρ 2 m 1 + m 2. ahol az U = V és 1.7 szerint U = k 2 m1 m 2 + m 2m 3 + m 3m 1 r 12 r 23 r 31 ahol 1.44 alkalmazásával Az 1.48 egyenletekből határozható meg a Hold mozgása a Föld körül a Nap perturbáló hatásának figyelembevételével. Az 1.48 és 1.49 nem függetlenek egymástól U-n keresztül a Hold és a Nap koordinátái mindkét egyenletrendszerben szerepelnek. Az egyenletek alkalmazásának előnye az hogy 1.49 alapján a Nap mozgása igen jó közelítéssel Kepler-féle mozgásnak tekinthető tehát amely a kéttest-probléma megoldásának megfelelően megy végbe így 1.48-ban első közelítésben a Nap koordinátái az idő ismert függvényeinek tekinthetők megoldását így maghatározva később figyelembe vehetők a Nap Kepler-mozgástól való eltéréséből származó perturbációk.
21 1.6. REKURZÍV HATVÁNYSOROK Az n-test probléma megoldása rekurzív hatványsorokkal Az n-test probléma vizsgálatában nagy szerepük van a numerikus módszereknek. Ezek egyike az ún. Steffensen módszer az n-test probléma megoldásának numerikus megközelítésére hatványsorokat használ. A módszer névadója J. F. Steffensen aki ben vizsgálta a háromtest-probléma megoldását az idő hatványai szerinti hatványsorok formájában. Steffensen módszerét R. Broucke 1971 alkalmazta az n-test problémára. Tekintsük az n + 1-test problémát például a Nap és a körülötte keringő n bolygó rendszere. A relatív mozgást leíró 1.33 r i = k2 m 0 + m i r r i 3 i + k 2 m j rij r 3 ij r j i = 1... n r j 3 egyenletek alapján ahol µ i = k 2 m 0 + m i r i = r i r 0 i = 1... n a bolygók mozgásegyenletei a Napra i = 0 vonatkoztatva: ẋ i = u i ẏ i = v i ż i = w i u i = m 0 + m i x i r 3 i v i = m 0 + m i y i r 3 i ẇ i = m 0 + m i z i r 3 i m j xi x j r 3 ij m j yi y j r 3 ij m j zi z j r 3 ij + x j 1.50 rj 3 + y j rj 3 + z j i = 1... n rj 3 ahol r 2 i = x 2 i + y 2 i + z 2 i r 2 ij = x i x j 2 + y i y j 2 + z i z j ben x i y i z i illetve u i v i w i az i-edik bolygó hely- illetve sebességkoordinátái m 0 a Nap vagy középponti test tömege m i az i-edik bolygó tömege ben a pont a t idő szerinti deriválást jelenti amelynek egysége a korábbiaktól eltérően nem egy középnap hanem 1/k = középnap k a Gauss-féle gravitációs állandó. Az
22 22 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA idő egységének ilyen választásakokor 1.50 jobb oldalán k 2 kiegyszerűsödik n elsőrendű közönséges differenciálegyenletből áll az ismeretlenek száma is 6n. A Steffensen-módszer lényege olyan új segédváltozók bevezetése melyekkel 1.50-ben a nevezőkből ri 3 és rij 3 kiküszöbölhető. Legyen és s i = r 3 i i = n s ij = rij 3 i j = n i j Ezekkel az új változókkal az 1.50 egyenletek így írhatók: ẋ i = u i ẏ i = v i ż i = w i u i = m 0 + m i x i s i v i = m 0 + m i y i s i ẇ i = m 0 + m i z i s i m j [x i x j s ij + x j s j ] 1.53 m j [y i y j s ij + y j s j ] m j [z i z j s ij + z j s j ] i = 1... n. Vegyük ezen egyenletekhez az 1.51 és 1.52 deriválásából adódó r i ṙ i = x i ẋ i + y i ẏ i + z i ż i r ij ṙ ij = x i x j ẋ i ẋ j + y i y j ẏ i ẏ j + z i z j ż i ż j 1.54 i j = n i j r i ṡ i = 3s i ṙ i r ij ṡ ij = 3s ij ṙ ij i j = n i j 1.55 egyenleteket. Az egyenletek egy szimultán differenciál-egyenletrendszernek tekinthetők az x i y i z i u i v i w i r i s i r ij s ij változók számára. Látható hogy 6n egyenlet van az x i y i z i u i v i w i hely- és sebességkomponensekre 2n egyenlet az r i és s i változókra és n n 1 /2 + n n 1 /2 = n n 1 egyenlet az r ij és s ij változókra. A differenciálegyenletek és az ismeretlenek száma így egyaránt n n + 7. Az egyenletek száma pl. n = 2 bolygó esetén 18 n = 9-re 144.
23 1.6. REKURZÍV HATVÁNYSOROK 23 Keressük a megoldást a következő Taylor-sorok alakjában x i = y i = z i = r i = r ij = X ik t k1 u i = Y ik t k1 v i = Z ik t k1 w i = R ik t k1 s i = R ijk t k1 s ij = U ik t k1 V ik t k1 W ik t k S ik t k1 S ijk t k1. Az 1.56 kifejezéseket az egyenletekbe helyettesítve majd egyenlővé téve az így kapott egyenletek két oldalán t azonos hatványainak együtthatóit az X ik Y ik... S ijk ismeretlen együtthatókat meghatározható egyenletrendszer írható fel. A behelyettesítést viszonylag könnyű elvégezni mert az egyenletekben legfeljebb két változó szorzatai szerepelnek az s i s ij változók bevezetésének éppen ez az előnye. A számításokat elvégezve az ismeretlen együtthatóra a következő rekurziós összefüggések adódnak: kx ik+1 = U ik ky ik+1 = V ik kz ik+1 = W ik ku ik+1 = m 0 + m i kv ik+1 = m 0 + m i kw ik+1 = m 0 + m i kr i1 R ik+1 = p=2...k p=1...k p=1...k p=1...k qr ip R iq+1 + X ip S iq Y ip S iq Z ip S iq p=1...k m j m j m j p=1...k p=1...k p=1...k [X ip X jp S ijq + X jp S jq ] [Y ip Y jp S ijq + Y jp S jq ] [Z ip Z jp S ijq + Z jp S jq ] q [X ip X iq+1 + Y ip Y iq+1 + Z ip Z iq+1 ]
24 24 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA kr ij1 R ijk+1 = p=2...k qr ijp R ijq+1 + p=1...k q [X ip X jp X iq+1 X jq Y ip Y jp Y iq+1 Y jq+1 + Z ip Z jp Z iq+1 Z jq+1 ] kr i1 S ik+1 = qr ip S iq+1 3 qs ip R iq+1 p=2...k kr ij1 S ijk+1 = p=2...k qr ijp S ijq+1 3 i j = n i j k = N 1 p=1...k p=1...k qs ijp R ijq ahol N a tagok száma az 1.56 sorfejtésekben. Az 1.57 összefüggéseket a megadott sorrendben alkalmazva minden i k + 1 indexű együttható csak korábi együtthatóktól függ így lépésről lépéste a sorfejtések együtthatói kiszámíthatók. Az X i1 Y i1 Z i1 U i1 V i1 W i1 R i1 R ij1 S i1 S ij1 kezdő együtthatók a t = 0-ra megadott kezdőfeltételekből kaphatók meg. Az n-test probléma megoldására itt ismertetett módszer számítógépes alkalmazásának előnye az 1.57 rekurziós összefüggések használatában rejlik. Broucke 1971 számításaiban az 1.56 sorokat N = 25-ig azaz t 24 hatványokig vette különböző számú de legfeljebb 10 bolygó esetén. Tapasztalatai szerint a módszer mind pontosságban mind gyorsaságban felülmúlja a hagyományos numerikus integrálási módszereket. A Nap körül keringő bolygók mozgásának problémája numerikus integrálás szempontjából az n-test probléma viszonylag egyszerű esete. Az n-test probléma numerikus integrálásánál a legnagyobb nehézséget a tömegpontok közti szoros megközelítések és ütközések okozzák. Ez a bolygómozgások esetében nem fordul elő. Az ütközések és szoros megközelítések kezelése speciális módszereket kíván. Ez a problémakör a regularizáció témájához tartozik melyről a két- és háromtest-problémával kapcsolatban részletesebben lesz szó.
Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008
Égi mechanika tesztkérdések A hallgatók javaslatai 2008 1 1 Albert hajnalka 1. A tömegközéppont körüli mozgást leíró m 1 s1 = k 2 m 1m 2 r,m s r 2 r 2 2 = k 2 m 1m 2 r r 2 r mozgásegyenletek ekvivalensek
RészletesebbenÉgi mechanika tesztfeladatok 2006
Égi mechanika tesztfeladatok 2006 1 2 Bartha Zsolt 1. Az n tömegpontból álló rendszer Lagrange-féle értelemben stabil, ha a tömegpontok közti összes r ij távolságoknak... a.) nincs felső határa. b.) véges
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenLássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
RészletesebbenIMPULZUS MOMENTUM. Impulzusnyomaték, perdület, jele: N
IPULZUS OENTU Impulzusnyomaték, perdület, jele: N Definíció: Az (I) impulzussal rendelkező test impulzusmomentuma egy tetszőleges O pontra vonatkoztatva: O I r m Az impulzus momentum vektormennyiség: két
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)
DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenAz alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR. Érdi Bálint ÉGI MECHANIKA
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Érdi Bálint ÉGI MECHANIKA NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ 1996 BEVEZETÉS Az égi mechanika a csillagászat egyik ága, amely a bolygók mozgásának vizsgálatából fejlődött
RészletesebbenMechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó
Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
RészletesebbenMatematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.
3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
Részletesebben1. Az előző előadás anyaga
. Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben6. A Lagrange-formalizmus
Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenKinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.
01.03.16. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: +36 0 416 59 14 Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Részletesebben1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika ZH NÉV: október 18. Neptun kód:...
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika ZH NÉV:.. 2018. október 18. Neptun kód:... g=10 m/s 2 Előadó: Márkus/Varga Az eredményeket a bekeretezett részbe be kell írni! 1. Egy m=3
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenElektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenA mechanikai alaptörvények ismerete
A mechanikai alaptörvények ismerete Az oldalszám hivatkozások a Hudson-Nelson Útban a modern fizikához c. könyv megfelelő szakaszaira vonatkoznak. A Feladatgyűjtemény a Mérnöki fizika tárgy honlapjára
RészletesebbenBevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi
Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,
RészletesebbenTartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6
1 / 6 A TételWiki wikiből Tartalomjegyzék 1 A mechanika elvei 2 A virtuális munka elve 3 d'alembert elv és a Lagrange-féle elsőfajú egyenletek 4 A Gauss-féle legkisebb kényszer 5 Általános koordináták
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
RészletesebbenIrányításelmélet és technika I.
Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010
Részletesebben1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
RészletesebbenAz impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenBolygómozgás. Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1. Csabai István, Stéger József
Bolygómozgás Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1 Csabai István, Stéger József ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Email: csabai@complex.elte.hu, steger@complex.elte.hu Bevezetés Egy Nap körül kering
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenDinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.
Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenMit nevezünk nehézségi erőnek?
Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
Részletesebbenrnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika
Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenA Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra.
1 A Lenz - vektorról Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ez nem régen történt. Meglepett, hogy eddig ez kimaradt. Annál is inkább, mert
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenMODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenElőszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés.
SZABÓ JÁNOS: Fizika (Mechanika, hőtan) I. TARTALOMJEGYZÉK Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai... 2. Tér is idő. Hosszúság- és időmérés. MECHANIKA I. Az anyagi pont mechanikája 1. Az anyagi
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenElméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport
Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben