Egész számok értelmezése, összehasonlítása

Átírás

1 Egész számok értelmezése, összehasonlítása Mindennapi életünkben jelenlevő ellentétes mennyiségek kifejezésére a természetes számok halmazát (0; 1; 2; 3; 4; 5 ) ki kellett egészítenünk. 0 +1, +2, , 2, 3 Természetes számok (N) EGÉSZ SZÁMOK (Z) Ezekez az ellentétes mennyiségeket pozitív és negatív számokkal fejezzük ki. A pozitív számokat plusz, a a negatív számokat mínusz előjel fejezi ki. A 0 se nem pozitív, se nem negatív szám! Az ellentétes mennyiségeket kifejező számokat, ellentett számoknak nevezzük. Ha egy szám ellentettjét akarjuk kifejezni, akkor az előjeles szám elé egy jelet teszünk. Pl. plusz 3 ellentettje mínusz 3. Jelekkel: (+3) = 3 minusz 5 ellentettje plusz 5. Jelekkel: () = +5 Ellentett számok összege mindig 0. Pl.: (+5) + () = 0 (+3) + ( 3) = 0 A pozitív egész számok ellentettjeinek ábrázolására a negatív egész számokat is felmérhetjük a számegyenesre erre növekednek a számok erre csökkennek a számok -6 < < 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 Mint látható az ellentett számok a számegyenesen egyenlő távolságra helyezkednek el a 0-tól. A számok 0-tól való távolságát, a szám abszolútértékének nevezzük. Mivel távolságot jelöl, azért csak nemnegatív szám lehet. Jele: Pl. +7 abszolútértéke +7. Jelekkel: 7 7 A 0 abszolútértéke önmaga: abszolútértéke +4. Jelekkel: egység távolságra van 4 egység távolságra van Kérdések, feladatok (1) Mi a természetes és egész számok halmazának jele? Rajzold le a füzetedbe a halmazábrát, majd címkézd fel! Írj 2 példát a halmazábra részeibe, amelynek nincs eleme, azt vonalkázással jelöld! (2) Melyik a legkisebb és legnagyobb természetes szám? (3) Mit tudsz az ellentett számokról? (Mit fejeznek ki, mit tudsz az összegükről) (4) Mit fejez ki egy szám abszolútértéke? (5) Igaz vagy hamis? (a) A 0 egész szám, de természetes szám. (g) Pozitív számok abszolútértéke negatív. (b) A 0 természetes szám is, és egész szám is. (h) Negatív számok ellentettje negatív. (c) A 0 természetes szám, de nem egész. (i) Negatív számok ellentettje is, és abszolútértéke (d) A 0-nak nincs előjele. is pozitív szám. (e) A 0 pozitív egész szám. (j) A 0 minden egész számnál kisebb. (f) A 0-nak nincs abszolútértéke. (k) A 12 nagyobb, mint a 11.

2 (6) Rajzolj számegyenest és ábrázold rajta a következő számokat: +6; 0; 9; 11; +3; +8; 4; 2; +10 (7) Állítsd növekvő sorrendbe a (6) feladatban szereplő számokat! A relációs jelekről ne feledkezz el! (8) Rajzolj a füzetedbe egy ehhez hasonló táblázatot és töltsd ki: ellentettje abszolútértéke (9) Mely számok helyét jelöltük a számegyenesen? a =? b =? c =? d =? e =? (10) Írd a megfelelő relációs jelet! (11) Sorold fel azokat az egész számokat, amelyekre igaz az egyenlőség! Fogalmazd meg, majd írd le a füzetedbe milyen tulajdonságú számok ezek! (12) Alaphalmaz: U := { ; 4; 3; 2; 1; 0; +1; +2; +3; +4; +5 } Mind a 3 feladathoz rajzolj ilyen halmazábrát! Írd be a számokat a halmazábrába, ha az A és B halmaz: U (a) A := { negatív számok } B := { pozitív számok } C D (b) A := { 0-nál kisebb szám } B := { nempozitív szám } A B (c) A := { nagyobb, mint 3 } B := { kisebb, mint +4 } Fogalmazd meg, hogy az egyes esetekben, milyen tulajdonságú számokat tartalmaz a C és D halmaz.

3 A derékszögű koordináta-rendszer (1) Ebben a házban a lakásokat két jelzőszámmal jelölték meg. Az első jelzőszám azt jelenti, hogy melyik lépcsőházban van a lakás, a második jelzőszám, pedig megmutatja, hogy melyik emeleten. (Van 0. lépcsőház illetve 0. emelet is.) Pl. az 1. lépcsőházban, a 4. emeleten kitört egy ablak. Ennek a lakásnak a jelzőszámai: (1; 4). Keresd meg ezt a lakást! (a) Kovácsék az 5. lépcsőházban, a 3. emeleten laknak. A Kovács-lakás jelzőszámai:... (b) Az egyik lakásban a redőnyt félig leengedték. A lakás jelzőszámai:... (c) Egy helyen mindkét ablakszárny nyitva van. A lakás jelzőszámai:... Miért fontos megállapodnunk a jelzőszámok sorrendjében? (d) Sorold fel a besötétített ablakú lakások jelzőszámait!... (2) Figyelj az utasításokra! (a) Határozd meg a csúcspontok jelzőszámait!... (b) Mindegyik pont első jelzőszámának vedd az ellentettjét a második jelzőszámot hagyd változatlanul!... Rajzold le pirossal azt az ábrát, amit az új pontok határoznak meg! (c) Mindegyik pont második jelzőszámának vedd az ellentettjét, az első jelzőszámot hagyd változatlanul! Rajzold le kékkel azt az ábrát, amit az új pontok határoznak meg! (d) Mindegyik pont mindkét jelzőszámának vedd az ellentettjét!... Rajzold le zölddel azt az ábrát, amit az új pontok határoznak meg! Két egymásra merőleges, számegyenes segítségével az általuk meghatározott sík bármely pontja meghatározható. Tehát egy (x; y) számpár a sík egy és csak egy pontját jelöli ki és a sík bármely pontjához egy és csak egy (x; y) számpár tartozik. Az egyeneseket koordinátatengelyeknek, metszéspontjukat koordinátakezdőpontnak vagy origónak mondjuk. A vízszintes tengelyt x-tengelynek, a függőleges tengelyt y- tengelynek nevezzük. Az x-tengelyen a pozitív irányt jobbra, az y-tengelyen pedig felfelé szokás felvenni.

4 Egész számok összeadása, kivonása Azonos előjelű számok összeadása + = (+11) + (+4) = = ( 9) + () = 14 I. szabály: Azonos előjelű számokat úgy adunk össze, hogy a számok abszolútértékét összeadjuk, és az adott előjellel látjuk el! (1) Végezd el az alábbi összeadásokat! (+5) + (+2) =?; (-5) + (-2) =? (+4) + (+6) =?; (-4) + (-6) =? (+6) + (+3) + (+2) + (+7) =?; (-5) + (-3) + (-7) + (-6) =? Különböző előjelű számok összeadása + = = 0 (+15) + () = = ( 9) + (+4) = II. szabály: Különböző előjelű számokat úgy adunk össze, hogy a nagyobb abszolútértékű számból kivonjuk a kisebbet összeadjuk, és a nagyobb abszolútértékű szám előjelével látjuk el! (2) Végezd el az alábbi összeadásokat! (+5) + (-2) =? (+8) + (-3) =? (+2) + (-7) =? (+7) + (-6) =? (+4) + (-6) =? (+6) + (-6) =? (+4) + (-4) =? (-15) + (+7) =? (+5) + (-3) =? ( 18) + (+9) =? (+9) + (-5) =? (-40) + (+50) =? (3) Figyelj, mert azonos és különböző előjelű számok összeadása vegyesen következnek! (+9) + (-7) =? (-1) + (-5) =? (-25) + (-8) =? (+5) + (-8) =? (-9) + (-11) =? (-23) + (+17) =? (+5) + (-17) =? (+12) + (-8) =? (+40) + (-70) =?

5 Műveletsorok összeadásánál add össze a negatív, majd a pozitív számokat, végül a kapott két különböző előjelű számot! Pl.: (+9) + (-7) + (-25) + (-8) + (+5) + (-17) =? (+9) + (+5) + (-7) + (-25) + (-8) + (-17) =? (+14) + (7) = 43 (4) Számítsd ki az alábbi műveletsorok eredményét! (a) (+15) + ( 19) + (+4) =? (d) (+55) + (-39) + (+4) + (-15) + (+16) + (-11) =? (b) (-12) + (-24) + (+36) =? (e) (-25) + (-12) + (+30) + (+35) + (+22) + (-19) =? (c) (+46) + (-23) + (-33) =? (f) (+107) + (-57) + (-40) + (-10) + (+23) + (-47) =? Rövidítés Ha egy műveletsorban csak az összeadás művelete szerepel, akkor az összeadás elhagyható, és az előjelek fejezik ki, hogy csökkentésről vagy növekedésről van szó. Pl.: (-34) + (+48) + (-76) =? (+73) + (-98) + (+27) + (-32) + (+17) + (-27) =? = = =? = 40 (5) Számítsd ki az alábbi műveletsorok eredményét! (a) =? (d) =? (b) =? (e) =? (c) =? (f) =? Egész számok kivonása III. szabály: Minden kivonás helyettesíthető a kivonandó ellentettjének hozzáadásával. Tehát: A kivonást átírjuk összeadásra. Rövidítünk (az összeadás jelét elhagyjuk) Az összeadást az I. vagy a II. szabály szerint elvégezzük. Kivonás: ( 9) () =? ( 9) (+4) =? Összeadás: ( 9) + (+5) =? ( 9) + ( 4) =? Rövidítés: = = 13 (6) Számítsd ki! Az összeadásokat rövidítsd! A kivonásokat írd át összeadásra, majd rövidítés után állapítsd meg a végeredményt! Pl.: (+15) + ( 21) = = 6 ( 13) (-27) = ( 13) + (+27) = = +14 (+8) + (-6) =? (+8) + (-7) =? (+8) + (-8) =? (+15) - (-5) =? (+4) + (-11) =? (+1) + (-11) =? (+2) + (+9) =? (+1) + (-7) =? (+9) + (+5) =? (+2) - (+9) =? (+2) 0 =? (+5) - (+9) =?

6 (7) A műveletsorokban ahol szükséges, a kivonásokat írd át összeadásra, majd számítsd ki a végeredményt! Lásd előző oldalon a kidolgozott feladatot! Pl.: 24 ( 8) 6 = 24 + (+8) 6 = = 32 6 = 26 0 ( ) =? (0 59) + 41 =? 4 + ( 6) - 2 =? 4 (6 2) =? 5 (9 + 14) =? (15 6) 10 =? 15 (6 10) =? ( 5 9) + 14 =? Egész számok szorzása, osztása Különböző előjelű számok szorzása, osztása (+7). () = 7. () =? 7. () = () + () + () + () + () + () + () = = () = 35 a felcserélhetőség miatt (). 7 = 35 Ellenőrzés: ( 35) : 7 = Különböző előjelű számok szorzata és hányadosa negatív: ( ). (+) ( ) : (+) (+). ( ) ( ) illetve (+) : ( ) ( ) Azonos előjelű számok szorzása, osztása (+7). (+5) = 7. 5 = +35 ( 7). () =? Figyeld a szorzat változását, következtessünk! (+3). () = 15 (+2). () = 10 (+1). () = 0. () = 0 ( 1). () = +5 ( 2). () = +10 ( 3). () = +15 ( 15) : (+3) = () ( 10) : (+2) = () () : (+1) = () (+5) : ( 1) = () (+10) : ( 2) = () (+15) : ( 3) = () Azonos előjelű számok szorzata és hányadosa pozitív: (+). (+) (+) : (+) ( ). ( ) (+) illetve ( ) : ( ) (+)

7 (1) Számítsd ki! (a) (+40). ( 25) =? ( 6400) : ( 80) =? (0). ( 60) =? (+3600) : ( 90) =? ( 80). (+70) =? (+1250) : (+50) =? ( 25). ( 20) =? ( 4000) : ( 80) =? (b) ( 4). (). ( 4) =? ( 9). ( 5). ( 2). ( 6) =? (+5). ( 4). (). (+4). () =? (c) (25-10). ( 8) =? ( ) (+ 3) =? ( 72 36) : ( 6) =? (48 60) : (+ 4) =? Ügyelj a műveletek sorrendjére! (d) ( 2500) : (+ 50) =? 1300 ( 30). ( 100) =? 20. ( 80) ( 1). () =? (e) 50. ( 200) 1600 ( 3000) : ( 100) =? 7200 : ( 60) ( 40) =? ( 80). (+ 25) ( 60). (+ 20) =?