NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

Átírás

1 FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright

2 Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart a kezében, vagy néz a számítógépe képerny jén. E jegyzetet a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen illetve az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tartott numerikus módszerek kurzusainkhoz írtuk. Az írás során mindvégig azt vettük gyelembe, hogy a jegyzet segítségével hallgatóink alapos ismereteket tudjanak elsajátítani a tárgy témájában és egyben eredményesebben tudjanak felkészülni a vizsgákra. A jegyzet elején összefoglaljuk a szükséges el ismereteket. Ezután a matematikai modellalkotással foglalkozunk, részletesen kitérve a számítógépes számábrázolásra és az ebb l ered hibákra. Ezután a klasszikus numerikus analízis egyes fejezeteit vesszük sorra: numerikus lineáris algebra, polinominterpoláció, numerikus deriválás és integrálás, közönséges dierenciálegyenletek kezdetiés peremérték-feladatai. A jegyzetet a parciális dierenciálegyenletek véges dierenciás megoldásainak bemutatásával zárjuk. A jegyzetbe nem akartunk több dolgot belezsúfolni, mint amir l egy két féléves kurzus során az el adásokon is szó lehet, de igyekeztünk azért az érdekl d hallgatóknak is kitekintést nyújtani az el adások anyagán túlmutató elméletek felvillantásával vagy az ezeket tárgyaló irodalom megadásával. Mivel ez a jegyzet elektronikus formában lesz elérhet, így kihasználtuk azokat a lehet ségeket is, amiket az elektronikus forma megenged. Így számos helyen megadtunk internethivatkozásokat valamilyen szemléltet programhoz, b vebb leíráshoz vagy életrajzhoz. Kulcsszavak: numerikus módszerek, numerikus lineáris algebra, numerikus deriválás és integrálás, interpoláció, dierenciálegyenletek numerikus megoldása

3 Támogatás: Készült a TÁMOP /2/A/KMR számú, a Természettudományos (matematika és zika) képzés a m szaki és informatikai fels oktatásban cím projekt keretében. Készült: a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Szakmai felel s vezet : Ferenczi Miklós Lektorálta: Havasi Ágnes Az elektronikus kiadást el készítette: Horváth Róbert Címlap grakai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert Copyright: , Faragó István, ELTE, Horváth Róbert, BME A terminusai: A szerz nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthet, megjelentethet és el adható, de nem módosítható. Második, javított kiadás, 2013

4

5 Tartalomjegyzék 1. El ismeretek Vektorterek Valós és komplex vektorterek Normált terek Euklideszi terek Mátrixok Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Diagonalizálhatóság Normák és sajátértékek M-mátrixok Sorozatok és függvények konvergenciájának jellemzése Sorozatok konvergenciasebessége Függvények konvergenciavizsgálata A MATLAB programcsomag A fejezettel kapcsolatos MATLAB parancsok Feladatok Modellalkotás és hibaforrásai Modellalkotás A modellalkotás hibaforrásai A hiba mérése Feladatok kondicionáltsága Gépi számábrázolás és következményei A fejezettel kapcsolatos MATLAB parancsok Feladatok Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszerek kondicionáltsága Gauss-módszer LU-felbontás F elemkiválasztás, általános LU-felbontás, Cholesky-felbontás F elemkiválasztás Általános LU-felbontás Cholesky-felbontás Lineáris egyenletrendszerek klasszikus iterációs megoldása Jacobi-iteráció GaussSeidel-iteráció Relaxációs módszerek Iterációs módszerek konvergenciája Leállási feltételek Variációs módszerek

6 2 Tartalomjegyzék Gradiens-módszer Konjugált gradiens-módszer A QR-felbontás QR-felbontás Householder-tükrözésekkel QR-felbontás Givens-forgatásokkal Túlhatározott rendszerek megoldása Megoldás a normálegyenlet segítségével Megoldás a QR-felbontás segítségével Lineáris egyenletrendszerek megoldása a MATLAB-ban Feladatok Sajátérték-feladatok numerikus megoldása Sajátérték-feladatok kondicionáltsága A sajátértékeket egyenként közelít eljárások A hatványmódszer Inverz iteráció Rayleigh-hányados iteráció Deációs eljárások Householder-deáció Rangdeáció Blokk háromszögmátrix deáció A sajátértékeket egyszerre közelít eljárások A Jacobi-módszer QR-iteráció Sajátértékszámítás a MATLAB-ban Feladatok Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldása Nemlineáris egyenletek A gyökök elkülönítése Nemlineáris egyenletek megoldásának kondicionáltsága Geometriai módszerek Intervallumfelezési módszer Húrmódszer Szel módszer Newton-módszer Fixpont-iterációk Aitken-gyorsítás Mintafeladat Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása Feladatok Interpolációs feladatok Globális polinominterpoláció Az interpolációs polinom Lagrange-féle el állítása A baricentrikus interpolációs formula Az interpolációs polinom el állítása Newton-féle osztott dierenciákkal Az interpolációs hiba Interpoláció Csebisev-alappontokon Hermite-interpoláció

7 Tartalomjegyzék Szakaszonként polinomiális interpoláció Szakaszonként lineáris interpoláció Szakaszonként kvadratikus interpoláció Szakaszonként harmadfokú interpoláció Trigonometrikus interpoláció Gyors Fourier-transzformáció Közelítés legkisebb négyzetek értelemben Interpolációs feladatok megoldása a MATLAB-ban Feladatok Numerikus deriválás A numerikus deriválás alapfeladata Az els derivált közelítése A második derivált közelítése A deriváltak másfajta közelítései Lépéstávolság-dilemma Feladatok Numerikus integrálás A numerikus integrálás alapfeladata NewtonCotes-féle kvadratúraformulák Összetett kvadratúraformulák Összetett trapézformula Összetett érint formula Összetett Simpson-formula Romberg-módszer Gauss-kvadratúra Numerikus integrálási eljárások a MATLAB-ban Feladatok A kezdetiérték-feladatok numerikus módszerei Bevezetés A közönséges dierenciálegyenletek kezdetiérték-feladata Egylépéses módszerek Taylor-sorba fejtéses módszer Néhány nevezetes egylépéses módszer Az explicit Euler-módszer Az implicit Euler-módszer A CrankNicolson-módszer Az általános alakú egylépéses módszerek alapfogalmai és pontbeli konvergenciája Az egylépéses módszerek pontbeli konvergenciája A RungeKutta típusú módszerek A másodrend RungeKutta típusú módszerek A magasabb rend RungeKutta típusú módszerek Az implicit Runge-Kutta típusú módszerek Az egylépéses módszerek egy tesztfeladaton A többlépéses módszerek A lineáris többlépéses módszer általános alakja és rendje A kezdeti értékek megválasztása és a módszer konvergenciája

8 4 Tartalomjegyzék Adams-típusú módszerek Retrográd dierencia módszerek A lineáris és a merev rendszerek numerikus megoldása A kezdetiérték-feladatok numerikus megoldása MATLAB segítségével Feladatok A peremérték-feladatok numerikus módszerei Bevezetés Peremértékfeladatok megoldása véges dierenciákkal A véges dierenciás séma felépítése A véges dierenciás séma megoldhatósága és tulajdonságai A véges dierenciás módszer konvergenciája Összefoglalás A közönséges dierenciálegyenletek peremérték-feladatának megoldhatósága A lineáris peremérték-feladat megoldhatósága A peremérték-feladat numerikus megoldása Cauchy-feladatra való visszavezetéssel A belövéses módszer Lineáris peremérték-feladatok numerikus megoldása A peremérték-feladat numerikus megoldása véges dierenciák módszerével Véges dierenciás approximáció Az általános alakú peremérték-feladat megoldása a véges dierenciák módszerével A lineáris peremérték-feladatok approximációja a véges dierenciák módszerével A lineáris peremérték-feladatok numerikus megoldásának általános vizsgálata A lineáris peremérték-feladatok M-mátrixokkal A diszkrét maximumelv és következményei A peremérték-feladatok numerikus megoldása MATLAB segítségével A modellfeladat: stacionárius h eloszlás homogén vezetékben A tesztfeladat numerikus megoldása MATLAB segítségével Feladatok A parciális dierenciálegyenletek numerikus módszerei A parciális dierenciálegyenletek alapfogalmai Lineáris, másodrend, elliptikus parciális differenciálegyenletek A Laplace-egyenlet analitikus megoldása egységnégyzeten Elliptikus egyenletek közelít megoldása véges dierenciák módszerével Általános kit zés és az alaptétel Az elliptikus feladatok numerikus közelítésének konvergenciája A numerikus módszer realizálásának algoritmusa Lineáris, másodrend, parabolikus parciális differenciálegyenletek Az egydimenziós h vezetési egyenlet analitikus megoldása A h vezetési feladat numerikus megoldása véges dierenciák módszerével A véges dierenciás közelítés konvergenciája A numerikus módszer realizálásának algoritmusa Egy másik véges dierenciás séma és vizsgálata Általánosítás és magasabb rend módszerek A parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldása MATLAB segítségével A Poisson-egyenlet megoldása els (Dirichlet-féle) peremfeltétellel

9 Tartalomjegyzék A h vezetési egyenlet megoldása véges dierenciák módszerével Feladatok Tárgymutató 395 Irodalomjegyzék 397