Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest 2010

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 2 2. Dierenciálegyenletek A dierenciálegyenletek típusai A közönséges dierenciálegyenletek általános alakja A KDE típusai A dierenciálegyenletek stabilitása Stabilitási alapfogalmak Példa Dierenciálegyenletek a gyakorlatban Példa Példa A dierenciálegyenletek megoldhatósága A megoldandó probléma: Numerikus módszerek A numerikus módszerek "jósága" A numerikus módszerek hibája Numerikus módszerek konvergenciája A konvergencia rendje Numerikus módszerek 0-stabilitása Numerikus módszerek konzisztenciája A legegyszer bb megoldások Az explicit Euler módszer

3 Példa A hibaegyenlet Az explicit Euler módszer konzisztenciája Az Euler módszer lokális hibája Az Euler módszer 0-stabilitása A "jó" lépésköz megválasztása A teszt egyenlet Abszolút stabilitás A-stabilitás Az explicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A módszer hiányosságai Az implicit Euler módszer Az implicit Euler módszer konzisztenciája Az implicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya Merev dierenciálegyenletek Példa Az implicit Euler módszer el nyei és hátrányai Szimmetrikus/ trapéz módszer A szimmetrikus módszer konzisztenciája A trapéz módszer abszolút stabilitási tartománya Runge-Kutta típusú módszerek A kvadratúra formulák A javított Euler módszer lokális hibája Az RK módszerek 0-stabilitása Az implicit Runge-Kutta módszerek Az implicit formula el nyei és hátrányai Az explicit Runge-Kutta formulák Az els rend Runge-Kutta formulák A megoldhatóság feltételei A másodrend Runge-Kutta formulák Példák másodrend formulákra Harmadrend RK formulák A klasszikus negyed rend Runge-Kutta formula

4 Az explicit Runge-Kutta módszer abszolút stabilitási tartománya RK módszerek összehasonlítása Összefoglalás 38 3

5 1. fejezet Bevezet "Bár napjaink matematika könyveiben szinte hemzsegnek az absztrakt szimbólumok, ez azonban éppúgy nem jelenti a matematika lényegét, mint ahogy a zene valódi mibenléte sem a hangjegyek jelölésrendszerében keresend." Keith Devlin A témaválasztásban számomra fontos szerepe volt annak, hogy a matematika olyan területével foglalkozzak, mely közvetlen kapcsolatban áll a gyakorlati problémák megoldásával. A dierenciálegyenletek a tudomány szinte minden területén jelen vannak, ezért a megoldhatóságuk nagyon fontos szerepet tölt be mindennapjainkban. Ám a legtöbb esetben ezeket nem olyan egyszer kiszámítani. Ahogy az idézetben is szerepel, a matematika lényege az ehhez hasonló problémák megoldása, ennek ellenére a következ néhány oldal sem fog sz kölködni "absztrakt szimbólumokban". 4

6 2. fejezet Dierenciálegyenletek 2.1. A dierenciálegyenletek típusai Egy dierenciálegyenlet egy függvény és annak dierenciáltja közötti kapcsolatot mutatja meg. Ezek az összefüggések sok esetben a tudomány egyéb területein felmerül problémák matematikai modelljei. Ezek a modellek a gyakorlatban igen hasznosak, ám elég összetettek is ahhoz, hogy a megoldásuk egzakt legyen. Legyen szó zikai, biológiai, vagy közgazdaságtani problémáról, biztosan függenek az id t l, vagy esteleg egy másik változó paramétert l, tehát a dierenciálegyenletek olyan folyamatokat írnak le, melyek nem diszkrét lépésekben zajlanak. A dierenciálegyenleteknek két f típusa van, nevezetesen 1. Közönséges dierenciálegyenletek 2. Parciális dierenciálegyenletek A f különbség e két típus között az, hogy a közönséges dierenciálegyenletekben (KDE) az ismeretlen egyváltozós, a parciális dierenciálegyenletknél pedig többváltozós ismeretlent keresünk. A továbbiakban a közönséges dierenciálegyenletekkel fogunk foglalkozni A közönséges dierenciálegyenletek általános alakja Nézzük meg el ször az els rend explicit KDE általános alakját. 5

7 Megjegyzés. A dierenciálegyenlet rendje a legmagasabb derivált rendje. x (t) = f(t, x(t)) ahol f : R R n adott függvény, és az ismeretlenünk pedig x : R R n Deníció. Legyen F : R n+2 R függvény. Az n-ed rend közönséges dierenciálegyenlet általános alakja: F (t, x(t), x (t)... x (n) (t)) = 0 Legyen f : R n+1 R adott. Az n-ed rend explicit közönsége dierenciálegyenlet általános alakja x (n) (t) = f(t, x(t), x (t)... x (n 1) (t)) A KDE típusai A közönséges dierenciálegyenleteket két nagy csoportra oszthatjuk: lineáris és nemlineáris. Ez a megoldhatóság szempontjából igen fontos, hiszen a nemlineáris egyenletek pontos megoldására nincs bevett módszer, és a közelít megoldások kiszámítása is komplikáltabb. A lineáris dierenciálegyenletek újabb két nagy csoportra oszthatók. Legyen a lineáris els rend KDE általalános alakja: y (t) = A(t)y(t) + b(t) Két esetet küönböztetünk meg: 1. ha A(t) nem függ t-t l, azaz konstans, így az egyenlet állandó együtthatós 2. ha A(t) függ t-t l, azaz az egyenlet változó együtthatós Az els esetben létezik egzakt megoldási módszer, de legtöbbször csak nagy nehézségek árán tudjuk meghatározni a pontos megoldást. A második esetre nincs olyan bevett módszer, mellyel kiszámíthatnánk a pontos értékeket Megjegyzés. A dierenciálegyenlet típusa, és megoldhatóságának nehézsége, nyílván a közelít megoldások pontosságát is befolyásolja. 6

8 2.3. A dierenciálegyenletek stabilitása Stabilitási alapfogalmak A stabilitáselméleti alapfogalmak szemléltetésére tekintsük meg el ször az alábbi egyszer zikai példát. Képzeljünk el egy golyót az alábi 3 egyensúlyi helyzetben: 1. egy gödör alján 2. egy domb tetején 3. egy vízszintes sík felületen Mindhárom helyzetben egyensúlyban van a golyó (ha nem mozdítjuk meg, helyben marad), azonban ha kicsit elmozdítjuk, majd elengedjük, akkor mindhárom esetben más történik. Az els esetben a golyó visszagurul a gödör aljára. Ezt az egyensúlyi helyzetet nevezzük asszimptotikusan stabilisnak. A második esetben a golyó legurul a domboldalon, egyre jobban eltávolodik az eredeti helyzetét l. Ezt az egyensúlyi helyzetet nevezzük instabilisnak. A harmadik esetben a golyó ott marad az elmozdítás helyén, azaz nem tér vissza az eredeti helyzetébe, de nem is távolodik el onnan. Ezt az egyensúlyi helyzetet nevezzük stabilisnak. Nézzük meg egy példa segítségével, hogy mit is jelentenek ezek a fogalmak a dierenciáálegyenletek megoldásainak körében. 7

9 Példa Legyen y (t) = λy, dierenciálegyenlet, y(0) = y 0 kezdetiérték feltétetellel. Ha ezt az egyenltet integráljuk, akkor az y(t) = e λt y 0 egyenletet kapjuk megoldásként. Nézzük meg milyen egyensúlyi állapotok állnak fenn λ < 0, λ > 0, illetve λ = 0 esetekben. 1. λ < 0 esetben, ha t +, akkor a megoldás határétéke 0, így minden megoldás a 0 egyensúlyi ponthoz közeledik. Ez egy asszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzet. 2. λ > 0 esetben, ha t +, akkor a megoldás határértéke ±, azaz minden 0-tól különböz kezdetiérték feltételnek eleget tev megoldás távolodik 0 egyensúlyi ponttól. Ebben az estben az 0 egyensúlyi pont instabilis. 3. λ = 0 esetben a megoldások konstans függvények, azaz nem is közelednek és nem is távolodnak a 0 egyensúlyi ponttól, azaz a megoldás stabilis Dierenciálegyenletek a gyakorlatban A dierenciálegyenletek általában akkor jutnak szerephez, amikor olyan folyamatot próbálunk modellezni, mely nem diszkrét lépésekben zajlik (mint mondjuk egy sakkjátszma), hanem az id ben folyamatosan változnak az állapotjelz k értékei. Ilyen esetekben vagy meggyelések utalnak egy mennyiség és megváltozásának kapcsolatára, vagy feltételeznek egy elméleti relációt a jellemz k között. Például a természetben populációk növekedésének üteme általában függ magától a populáció nagyságától. Nézzünk egy ilyen példat a gyakorlatban Példa 1 Legyen x(t) a populáció mérete t id pontban. Most azt fogjuk megvizsgálni, hogy egy adott id intervallumban, milyen mértékkel n a populáció mérete: x(t + h) x(t) h x(t) a 8

10 Ebben a modellben nem számolunk a halálozással, csupán a szület utódok számát vesszük gyelembe. Az eltelt id t h-val jelöljük, a-val pedig annak a változásnak a mértékét (arányát), mely a növekv populáció következtében a szület utódok számának növekedését mutatja. A fenti egyenletet átrendezve az alábbi dierenciálegyenletet kapjuk x(t + h) x(t) = a x(t) h lim h 0 x (t) = a x(t) Tehát, ha ezt az egyenletet kiintegráljuk, akkor az alábbi megoldáshoz jutunk: x(t) = e at x 0 Ez az egyenlet azonban csak akkor ad reális eredményt, ha kis id intervallumokat vizsgálunk Ha hosszú távon szeretnénk populációs modelleket vizsgálni, akkor sajnos ennél egy jóval bonyulultabb egyenletre lesz szükségünk. Például, olyan a-t választunk arányossági tényez nek, mely függ x(t)-t l is. Például a = r (K x(t)), ahol r ismét egy arányossági tényez, K pedig az eltartó képesség, azaz, hogy egy adott terület egy adott populációnak hány tagját képes "eltartani". Sajnos az ilyen típusú egyenletek már jóval nagyobb m veletigénnyel bírnak, mint azt az el z egyszer példában láthattuk Példa 2 Ugyancsak a populáció növekedését leíró folyamat, az úgynevezett "róka-nyúl" modell, ahol már nem csak egy populáció nagyságánának a változását vizsgáljuk, hanem azt, hogy ha egy területen két különböz faj él, akkor hogyan alakul a populációk mérete. Jelöljük a rókák számát a t id pntban y(t)-vel, a nyulakét x(t)-vel, a, b, c, d számok pedig pozitív konstansok. x (t) = a x(t) b x(t)y(t) y (t) = c x(t)y(t) d y(t) Azaz minden egyes találkozási pontnál, a nyulak száma csökken, illetve a rókák száma "n ", azaz az egyed fejl dik a tápláléktól. Természetesen itt is gyelembe vehetünk még több paramétert, például, hogy a populációk növekedése milyen tényez kt l függ stb., amik tovább nehezítik az egyenlet megoldhatóságát. 9

11 2.5. A dierenciálegyenletek megoldhatósága Deníció. Kezdetiérték feltétel fogalma: Legyen y (t) = f(t, y(t)) egy dierenciálegyenlet. Legyen t 0 R, p 0 R n. Egy y megoldás teljesíti az y(t 0 ) = p 0 kezdeti feltételt, ha átmegy a (t 0, p 0 ) ponton Tétel. Egy kezdetiérték feladatnak létezik egyértelm megoldása, ha az f : R n+1 R n folytonos függvény a 2, 3,... n + 1 -edik változójában Lipschitz folytonos. Tehát a tételb l biztosan tudjuk, hogy az adott egyenlet megoldható, ám a differenciálegyenleteket kielégít megoldásfüggvények csak a legegyszer bb esetekben fejezhet k ki zárt alakban. Sok esetben szükségtelen is kiszámolni a konkrét megoldásokat, sokkal többet tudhatunk meg a folyamatokról, ha a megoldások kapcsolatait vizsgáljuk. Más esetben szükséges kiszámítani a megoldás konkrét értékeit. Mindkét feladatra számítógépes módszereket használnak, az els inkább kvalitatív, míg a második kvantitatív eredményt szolgáltat. A dierenciálegyenletek megoldási módszereit három nagy csoportba sorolhatjuk, és ebb l a három csoportból mindössze csak egy tartalmazza a pontos megoldások kiszámítását. 1. Analitikus megoldási módszerek Ezek a megoldási módszerek a dierenciálegyenlet pontos megoldásának kiszámítására alkalmasak. A probléma csak az, hogy a dierenciálegyenlteknek csupán egy kis szeletét adják azok a típusok, melyeknek ismerjük a megoldási módszerét, s t, ha ismerünk is ilyen módszert, a megoldás kiszámítása sok esetben igen költséges. Így más eszközöket kell keresnünk a megoldás kiszámításához, illetve közelítéséhez. 2. Kvázianalitikus módszerek Ebbe a kategóriába a Banach xponttételen alapuló iterációs megoldási módszerek tartoznak, ahol y (t) = f(t, y(t)) y(t 0 ) = y 0 10

12 kezdetiérték problémát a következ integrálegyenletté írjuk át: y(t) = y(t 0 ) + t t y (s)ds = y 0 + f(s, y(s))ds t 0 t 0 Ekkor a következ közelít módszerrel készítünk egy iterációs eljárást, azaz egy y 1, y 2... sorozatot, ahol az n + 1-edik tag a következ képpen néz ki: y n+1 (t) = y 0 (t) + t t 0 f(s, y n (s))ds Csakhogy a xpont közelít eljárást minden lépésben közelít integrálással kell kombinálni, ezért a megoldásunk végül nem egy intervallumon értelmezett függvény lesz, hanem ennek egy diszkretizált alakja. 3. Numerikus módszerek A numerikus módszerek már elég nagy csoportot ölelnek fel. Ezekr l részletesen olvashatunk a következ fejezetekben A megoldandó probléma: Legyen f : R n+1 R n, olyan folytonos függvény, mely a 2, 3,... n + 1 -edik változójában Lipschitz folytonos. Továbbá legyen u 0 R n vektor adott. Keressük meg azt az u : I R n dierenciálható függvényt, amelyre igaz, hogy u (t) = f(t, u(t)) (2.1) u(0) = u 0 (2.2) kezdeiérték feltétel mellett. 11

13 3. fejezet Numerikus módszerek A numerikus megoldási módszereknek két f bb osztálya van: az egy- és a többlépéses módszerek. Az alapvet különbség az, hogy az egylépéses módszerek csupán egy "lépcs t" használnak fel a már meglév n 1 darabból, azaz y n kiszámításához mindössze az y n 1 közelítést veszi segítségül. Ezzel szemben a többlépéses módszerek az n-edik közelítéshez legalább 2, és legfeljebb n 1 lépcs t használnak. Az alábbi fejezetekben az egylépéses numerikus módszerek struktúráját, el nyeit és hátrányait fogom bemutatni. Egy adott módszer attól lesz diszkrét, hogy a közelít megoldásokat véges sok pontban keressük. A numerikus módszerek esetében, egy adott [0, b] intervallum t 0 <... < t N ekvidisztáns felosztását tekintjük. Nézzük meg részletesen, hogyan is épül fel egy numerikus módszer. Legyen u (t) = f(t, u(t)) u(0) = u 0 kezdeiérték feltétellel. Koordinántánként felírva u i(t) = f i (t, u 1 (t),... u n (t)) u i (0) = u i0 Keressük az u(t) = [u 1 (t), u 2 (t)... u n (t)] vekort. Tegyük most fel, hogy n = 1, azaz u (t) = f(t, u(t)) f : R 2 R, és keressük az u(t) : I R függvényt. Deniáljunk egy rácshálófüggvényt! Legyen egy tetsz leges h > 0 esetén ω h := {t n = nh n = 0, 1... N}. 12

14 Ez lesz az úgy nevezett h lépésköz rácsháló. Deniáljunk az ω h rácshálón egy y h rácshálófüggvényt, és vezessük be a következ jelölést: y h (t n ) = y n, azaz, y n jelöli azt az értéket, ha a rácshálófüggvényünkbe behelyettesítjük a t n értéket. A cél az, hogy ezt az y n függvényt úgy válasszuk meg, hogy minél közelebb legyen u(t n )-hez, t n ω h -ra. Ez lesz a numerikus módszerek alapja A numerikus módszerek "jósága" A numerikus módszerek pontossága sok paramétert l függ. Az alábbiakban ezeket a tényez ket fogjuk vizsgálni A numerikus módszerek hibája Legyen u(t) az (2.1)(2.2) feladat pontos megoldása, t i pontban u(t i ), a továbbiakban jelöljük u i -vel. Hasonlóképpen, legyen y i a t i pontbeli közelít megoldása az (2.1)(2.2) feladatnak. A két érték közti eltérést, tehát a közelítés hibáját pedig nevezzük d i -nek. d i := y i u i, feltéve, hogy y i 1 = u i 1. Ezt nevezzük lokális vagy más néven diszkretizációs hibának. A lokális hiba, ahogy azt a neve is jelzi, azt mutatja meg, hogy egy lépés alatt mekkora hiba keletkezik. A globális hibát pedig deniáljuk úgy, hogy e i = y i u i, i = 1, 2...n, tehát itt már nem csak egy lépés alatt keletkez hibát, hanem n lépés alatt keletkez t vizsgálunk Numerikus módszerek konvergenciája Azt mondjuk, hogy egy numerikus módszer által el állított y h (t) rácsháló függvény sorozat, nomodó h lépésközök esetén konvergál az y(t) (2.1)(2.2) feladat megoldásához, a t I pontban, ha: t ω h, h-ra lim h 0 y h (t n ) y(t ) = 0, (t n = n h) 13

15 Általában a numerikus módszert konvergensnek nevezzük, ha konvergens minden t I pontban A konvergencia rendje y h (t n ) y(t ) = O(h p ), a konvergencia rendjének nevezzük, ezek szerint a numerikus módszer p-ed rendben konvergens Megjegyzés. A módszer akkor konvergens, ha lim h 0 e i = Megjegyzés. Egy numerikus módszer csak akkor "jó", ha a módszer konvergens. A konvegenciát két egyszer bben ellen rizhet tulajdonsággal lehet garantálni, ezek a 0-stabilitás és a konzisztencia Numerikus módszerek 0-stabilitása Egy numerikus módszer 0-stabil, ha K > 0, melyre e i K( e 0 + n j=1 d j ), i : 1 i N Numerikus módszerek konzisztenciája Azt mondjuk, hogy egy numerikus módszer p-ed rendben konzisztens, ha c > 0 konstans, melyre d i c h p Tétel. Ha egy numerikus módszer p-ed rendben konzisztens és 0-stabil, akkor p-ed rendben konvergens. A konvergencia általában nehezen megállapítható, hiszen kiszámításához szükséges tudni a globális hibát, és a globális hiba kiszámításához tudni kell a pontos megoldást. A megoldások nyílván nem állnak a rendelkezésünkre, hiszen akkor nem lenne szükség közelít megoldások kiszámítására. Mivel a konvergenciának kulcsfontosságú szerepe van, hiszen csak akkor "jó" egy adott numerikus módszer, ha az konvergens is, ezért valamilyen módon muszáj információt kapnunk a konvergenciáról. Egy adott módszer 0-stabilitásáról és konzisztenciájáról mindig van információnk, és e két adatból már dönthetünk a konvergenciáról is. 14

16 4. fejezet A legegyszer bb megoldások 4.1. Az explicit Euler módszer Ennek a módszernek az alapötlete igen egyszer. Nevezetesen: egy érint segítségével közelítjük a megoldást a következ képpen: Húzzuk be az y(0) = y 0 kezdetiérték érint jét, majd kössük össze egy tetsz leges t 1 ponttal, így megkapjuk az (x 1, y 1 ) pontot. Ezek után, ugyanezzel az eljárással, kapjuk meg (t 2, y 2 ),..., (t n, y n ) közelít pontokat. Azaz ha ezt felírjuk általánosan, akkor az ábrán látható Φ szög tangensét a következ képpen kaphatjuk meg: 15

17 4.1. ábra. Az explicit Euler módszer azaz tg(φ) = y i+1 y i t i+1 t i f(t i, y i ) = y i+1 y i t i+1 t i y i+1 = y i + f(t i, y i )(t i+1 t i ) ahol (t i+1 t i ) = h lépésközzel. Egy másik megközelítséb l: Legyen a [0, b] interval- 16

18 lum felosztása a következ : 0 = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b Legyen h i = t i t i 1 az i-edik lépésköz. Az egyenlet t n id pontbeli pontos megoldását jelöljük u(t n )-nel, és a t n id pontbeli közelít megoldását pedig y n -nel. A kezdeti érték problémánál, mindig tudjuk, hogy milyen értéket vesz fel a megoldás a t 0 id pontban. Ebben az esetben tegyük fel, hogy ismerjük a t n 1 id pontbeli y n 1 közelítést, és ebb l határozzuk meg a t n -beli y n közelítést. y n+1 y n h = f(t n, y n ) y(0) = y 0 átrendezve, tehát: y n+1 = y n + h f(t n, y n ). Ezt nevezzük explicit euler módszernek Példa Legyen y (t) = 3e t 0, 4y(t) y(0) = 5 y(3) =? h = 3 Helyettesítsünk be az Explicit Euler módszer egyenletébe: y 1 = 5 + f(0, 5) 3 y 1 = 5 + (3e 0 0, 4 5) 3 y 1 = 5 + (3 2) 3 = 8 Azonban az egyenlet pontos megoldása ebben az esetben 2,763, azaz a numerikus módszer lokiális hibája 5,237, ami igen nagy mérték hibát jelent. Próbáljuk meg a lépésköz csökkentésével, és a lépésszámok növelésével pontosítani a közelít megoldást. Legyen h = 1, 5 és közelítsük a megoldást két lépésben, el ször y(0) y(1, 5), majd y(1, 5) y(3)! 1.lépés x 0 = 0; y 0 = 5; h = 1, 5 17

19 y 1 = 5 + f(0, 5) 1, 5 y 1 = 5 + (3e 0 0, 4 5) 1, 5 y 1 = , 5 = 6, 5 = y(1, 5) 2. lépés x 1 = 1, 5; y 1 = 6, 5; h = 1, 5 y 2 = 6, 5 + f(1, 5; 6, 5) 1, 5 y 2 = 6, 5 + (3e 1,5 0, 4 6, 5) 1, 5 y 2 = 6, 5 + ( 1, 93061) 1, 5 = 3, 604 = y(3) Itt a pontos megoldástól való eltérés már mindössze 0,841, és ez az eredmény még tovább csökkenthet, a lépésköz csökkentésével, illetve a lépésszámok növelésével A hibaegyenlet Mivel y n a pontos megoldás közelítése, ezért felírhatjuk y n = u n + z n alakban, azaz pontos megoldás + hiba alakban. Helyettesítsük be ezt a formulát az explicit Euler módszer egyenletébe: u n+1 u n h z n+1 z n h u n+1 u n h + z n+1 z n h f(t n, u n + z n ) = 0 f(t n, u n ) + f(t n, u n ) f(t n, u n + z n ) + z n+1 z n h = u n+1 u n h = 0 + f(t n, u n ) f(t n, u n ) + f(t n, u n + z n ) Ez az úgynevezett hiba egyenlet, ami felírható Ψ n,1 + Ψ n,2 = 0 alakban, ahol Ψ n,1 = u n+1 u n h + f(t n, u n ), a lokális approximációs, vagy más néven reziduális hiba. Tehát, ha Ψ n,1 -be a pontos megoldást helyettesítjük be, akkor nyílvánvalóan 0- t kapunk. Így a lokális approximációs hiba azt fejezi ki, hogy az adott numerikus módszer milyen pontosan közelíti a folytonos (2.1)(2.2) feladatot. Ezek alapján pontosítsuk a konzisztencia denícióját: Deníció. Egy numerikus módszer konzisztens, azaz approximálja a folytonos feladatot, ha lim h 0 Ψ n,1 = 0 Nézzük meg, mit kapunk, ha Taylor sorba fejtjük az u(t n )-et. 18

20 Az explicit Euler módszer konzisztenciája Ψ n,1 = u n+1 u n h + f(t n, u n ) = Tudjuk, hogy a lépésköz hossza h, ezért t n+1 felírható t n + h alakban. u(t n ) u(t n ) + hu (t n ) h2 u (t n ) + O(h 3 ) h 1 2 hu (t n ) + O(h 2 ) + u (t n ) = A konzisztencia rendjére vonatkozó tétel alapján az explicit Euler módszer konzisztens és rendje Az Euler módszer lokális hibája Az i-edik lépésben elkövetett lokális hibát jelöljük d i -vel,amit nyílván a pontos és a közelít megoldás különbségeként fogunk meghatározni. d i = y i u i Fejtsük Taylor sorba u(t i 1 + h)-t! y i 1 = h f(t i 1, y i 1 ) u(t i ) u(t i 1 ) = h f(t i 1, u(t i 1 )) u(t i ) u(t i 1 ) = h f(t i 1, u(t i 1 )) u(t i 1 + h) u(t i 1 + h) = u(t i 1 ) + h u (t i 1 ) + h2 2 u (t i 1 ) O(h 3 ) Ezt behelyettesítve megkapjuk a módszer lokális hibáját: h 2 2 u (t i 1 ) + o(h 3 ) = h2 2 u (t i 1 ) + O(h 3 ) Azaz a lokális hiba másodrend, ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy a választott lépésköz zsugorításakor annak második hatványával zsugorodik a hibára adott fels becslés. 19

21 Az Euler módszer 0-stabilitása Ha e i (globális hiba) abszolút értékéhez létezik olyan K konstans, hogy a globális hiba abszolút értéke kisebb legyen, mint K( e 0 + n j=1 d j ), akkor a módszer 0- stabil. e i+1 = e i + h(f(t i, y(t i )) f(t i, y i )) + d j+1 e i+1 = e i + hα e i + d j+1 = = (1 + hα) e i + d j+1 (1 + hα)( e i 1 + hα e i 1 + d j ) + d j+1 e i+1 (1 + hα) e i + d i+1 (1 + hα) 2 e i 1 + (1 + hα)d j + d j+1... (1 + hα) i+1 e 0 + (1 + hα) i j d j+1 (1 + hα) k e hαk e tkα e αb i i+1 e αb e 0 + e αb d j+1 = e αb ( e 0 + d j ) j=0 j=1 Azaz K := e αb választással a módszer 0-stabil Megjegyzés. t k -val a k-adik osztópontot jelöltem A "jó" lépésköz megválasztása A lépésköz kiválasztása nagy szerepet tölt be a numerikus módszer pontosságában. Az adott egyenlet és a választott numerikus módszer azonban korlátozza a lépéshosszt illet választási lehet ségek számát. Így nemcsak megfelel lépésközr l, hanem megfelel numerikus módszerr l is beszélnünk kell, hiszen a módszert úgy kell megválasztanunk, hogy h lépésközre vonatkozó korlátozások száma és mértéke minimális legyen. Ezek a korlátok általában szoros összefüggésben állnak a numerikus módszer stabilitásával. 20

22 A teszt egyenlet Tekintsük azt az esetet, mikor az egyenlet y = Ay alakú, ahol A R nxn mátrix. Ha A diagonizálható, akkor ezt az egyenletet felírhatjuk az alábbi módon: w = Dw ahol D egy diagonális mátrix. Ha mindezt koordinátákra bontjuk, akkor a következ n ismeretlenes egyenletrendszert kapjuk: w 1 = d 1 w 1 w 2 = d 2 w 2. w n = d n w n Itt természetesen d i i-re a D diagonális mátrix sajátértékei. Ezt az egyenletrendszert reprezentáljuk a y = λy teszt egyenlettel, ugyanis csak akkor lesz az eredeti egyenlet stabil, ha az egyenletrendszer d i sajátértékére stabil a teszt egyenlet Abszolút stabilitás Ha tudjuk, hogy y(0) = c, ahol c > 0 konstans, akkor a teszt egyenlet pontos megoldása y(t n ) = ce λtn lenne. Ezek alapján három esetet különböztethetünk meg: ha Re(λ) > 0, akkor y(t) = ce Re(λ)t exponenciálisan növekszik t szerint. Ez egy instabilis helyzet. ha Re(λ) = 0, akkor a megoldás oszcillál. ha Re(λ) < 0, akkor y(t) exponenciálisan csökken, így a megoldások egyre közelednek egymáshoz. Ez egy asszimptotikusan stabil helyzet A-stabilitás Vizsgáljuk tovább a tesztegyenletet a harmadik esteben: y(t) = λy(t), ahol λ C megoldása 0-hoz tart t határesetben, (Re(λ) < 0). 21

23 Deníció. Egy numerikus módszer A-stabil, ha a teszt egyenletre alkalmazva rendelkezik a fenti tulajdonsággal, lépéshossztól függetlenül. Másképpen megfogalmazva: Legyen y(1) = 1 a kezdeti feltétel. Ha a tesztegyenletb l kapott y 1, y 2,... sorozatra lim n y n = 0, h-ra, akkor a módszer A-stabil. Ez egy nagyon er s feltétel. Az ilyen módszerek a gyakorlatban nem mutatnak stabilitási problémakat Az explicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A leírtak alapján már tudjuk, hogy egy módszernél fontos tulajdonság az A- stabilitás. Vizsgáljuk meg az explicit Euler módszert ebb l a szempontból. y n+1 = y n + h f(t n, y n ), y n+1 = y n + h λy n = (f(t, y) = λy) y n+1 = (1 + hλ)y n = (1 + hλ) 2 y n 1 =... = (1 + hλ) n y 0 Tehát, most azt kell megvizsgálnuk, hogy y n sorozat 0-hoz tart-e? y n+1 = (1 + hλ) n y 0 0 n Az alábbi állítás akkor igaz, ha 1 + hλ < 1, ez például valós λ-ra is megkötés: h < 2. Tehát az explicit Euler módszer nem A-stabil. λ 22

24 4.2. ábra. Az explicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A módszer hiányosságai A módszer nagy el nye, hogy nagyon egyszer, illetve a m veletigénye alacsony. Ám sajnos az explicit Euler módszer nyílván nem a "legjobb" közelít megoldást adja hiszen csak els rend vannak stabilitási problémái, azaz, nem A-stabil 4.2. Az implicit Euler módszer Nézzünk most az (2.1)(2.2) feladtra egy másik közelítési módszert. Írjuk fel u(t n )- et a következ alakban: u(t n ) = u(t n+1 h) alakban, és fejtsük Taylor sorba: u(t n+1 h) = u(t n+1 ) hu (t n+1 ) + O(h 2 ) azaz, u(t t+1 ) u ( t n ) h y n+1 y n h = u (t n+1 ) + O(h 2 ) = f(t n+1, u(t n+1 )) = f(t n+1, y n+1 ) y(0) = y 0 23

25 Az egyenletet rendezzük y n+1 -re, így megkapjuk az implicit Euler módszer általános alakját: y n+1 = y n hf(t n+1, y n+1 ) Nézzük meg, mit kapunk n = 0 behelyettesítésével: y 1 y 0 h = f(h, y 1 ) Így láthatjuk, hogy y n kiszámításához, egy általános nemlineáris algebrai egyenlet megoldása szükséges, melyre több módszert is ismerünk (például Newton iteráció). Ez a módszer ugyan költségesebb, mint a fent említett explicit Euler módszer, azonban sok szempontból praktikusabb annál Az implicit Euler módszer konzisztenciája Helyettesítsünk be a lokális approximációs hiba képletébe, majd fejtsük Taylor sorba u(t n+1 h)-t! Ψ n,1 = u(t n+1) u(t n+1 h) + u (t n+1 ) h = u(t n+1) (u(t n+1 ) hu (t n+1 )) + O(h 2 ) h = O(h) + u (t n+1 ) Az implicit Euler módszer is 1. rendben konzisztens, tehát nem sikerült az explicit formulánál pontosabb közelítést létrehozni, legalábbis a konzisztencia szempontjából. Nézzük meg mi a helyzet a stabilitási tartományával Az implicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A teszt egyenletb l megkapjuk, hogy y (t) = f(t, y(t)) = λy(t) Helyettesítsük be ezt az implicit Euler módszer n + 1-edik egyenletébe: y n+1 = y n + hλy n+1 y n+1 (1 + hλ) = y n 1 y n+1 = 1 hλ y n 24

26 Legyen z := hλ, így feltételként az 1 1 z < 1 egyenletet kapjuk. Ebb l már látható az implicit Euler módszer stabilitási tartománya: ha 1 < 1 z, azaz ha h > 0. Tehát az implicit Euler módszer A-stabil. Nézzük meg egy gyakorlati példán keresztül, hogy miért fontos szempont az A-stabilitás ábra. Az implicit Euler módszer stabilitási tartományát a satírozott területen kívüli rész jelöli Merev dierenciálegyenletek A merev dierenciálegyenletek és ezek megoldási módszerei egy elég nagy témát ölelnek fel ráadásul nincs általánosan elfogadott egzakt deníció, ezért csak néhány példával érzékeltetném, hogy mely esetekben beszélünk merev derenciálegyenletelr l: y = Ky + f(t), ahol y R m, K R mxm és "nagy" abszolútérték negatív sajátértéke, vagy y = f(t, y) és f Jacobi mátrixának létezik "nagy" abszolútérték negatív sajátértéke. Az ilyen típusú egyenleteknél nagy szerepet játszik, hogy a használni kívánt numerikus módszer A-stabil vagy nem. A továbbiakban nézzünk olyan módszereket, melyek alkalmasak a merev dierenciálegyenletek megoldására. 25

27 Példa Az alábbi egyenletet programozzuk le mindkét módszer szerint Matlab-ban! y (t) = 100(y(t) sin(t)) 4.4. ábra. Explicit Euler 26

28 4.5. ábra. Implicit Euler Láthatjuk, hogy a megadott merev dierenciálegyenletet, hogyan közelíti meg egy olyan módszer, mely A-stabil, és egy olyan, amelyik nem. A különbség szembet n Az implicit Euler módszer el nyei és hátrányai Az implicit módszer tehát stabilitását tekintve jobb az explicitnél, viszont ez még mindig csak egy els rend közelítés, így a következ lépésben próbáljunk meg olyan módszert keresni, amely legalább egy másodrend approximáció. 27

29 4.3. Szimmetrikus/ trapéz módszer Próbáljuk meg a következ t: vegyük az explicit és az implicit Euler módszer számtani közepét! y n+1 y n h = 1 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] y n+1 = y n + h 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] A szimmetrikus módszer konzisztenciája Ψ n,1 = u(t n+1) u(t n ) h [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] = = u(t n) + hu (t n ) + h2 2 u (t n ) + O(h 3 ) u(t n ) + 1 h 2 [u (t n ) + u(t n+1 )] = = u (t n ) h 2 u (t n ) + o(h 2 ) [u (t n ) + u (t n ) + hu (t n ) + O(h 2 )] = O(h 2 ) Tehát sikerült pontosabb módszerhez jutnunk, hiszen a trapéz módszer már 2. rendben konzisztens. Vizsgáljuk meg, hogy a stabilitási tartomány hogyan alakul ebben az esetben! A trapéz módszer abszolút stabilitási tartománya A szokásos módon helyettesítsünk be a teszt egyenlet alapján a szimmetrikus trapéz formulába. y n+1 = y n + h 2 (λy n + λy n+1 ) y n+1 = y n hλ(y n + y n+1 ) y n+1 = y n hλy n hλy n+1 ( hλ)y n = y n+1 (1 1 2 )hλy n+1 y n+1 = hλ hλy n Azaz a stabilitási tartomány a következ lesz: 2+z < z < 2 z. Ezt az 2 z egyenl tlenséget próbáljuk tovább alakítani, hogy z-re megoldást kapjunk. Írjuk fel 28

30 z := a + bi alakban, és oldjuk meg az egyenl tlenséget: ( 2 + a + bi ) 2 < ( 2 (a + bi) ) 2 (2 + a) 2 + b 2 < (2 a) 2 + b 2 Tehát,a < 0, így Re(z) < 0, azaz a trapéz módszer is A-stabil ábra. A szimmetrikus módszer stabilitási tartománya 29

31 5. fejezet Runge-Kutta típusú módszerek Vizsgáljuk meg újra a fent említett módszereket egy másik megközelítésb l, ahol a közelít eljárások alapját az úgynevezett kvadratúra formulák adják, vagyis dolgozzunk numerikus integrálokkal! 5.1. A kvadratúra formulák A Runge-Kutta módszerek ötletének alapját a kvadratúra formulák, azaz a numerikus integrálás szabályai adják. Nézzük meg, mit is jelent ez pontosan! Vegyünk egy [a,b] intervallumot, és készítsünk egy t 1, t 2,... t n ekvidisztáns felosztást. Az f függvény az [a, b] intervallumon felírhatjuk az n 1 darab részintervallum integráljának összegeként is, azaz: b f(t) = n ti+1 a i=1 t i f(t)dt Ez akkor hajtható végre, ha ismerjük a függvény [(t 1, f(t 1 )),..., (t n, f(t n ))] alappontjait. Ezeket a pontokat felhasználva el állítunk egy Lagrange interpolációs polinomot, mellyel közelítjük az eredeti függvényünket, majd ezt a polinomot integráljuk: L j (t) = t t i t j t i ω j = b a L j (t)dt 30

32 Végül a kapott értékeket szorozzuk f(t 1 ),... f(t n ) értékekkel, így megkapjuk f(t) közelít integrálját. b a f(t)dt n ω j f(t j ) Vegyük az y(t n ) y(t n 1 ) = t n t n 1 y (t)dt egyenletet. A görbe alatti területet approximálhatjuk bal (Explicit -Euler) és jobb (Implicit Euler) közelít integrálokkal. Ezek az els rend módszerek. j=1 Próbáljuk meg az explicit Euler módszert "nomítani"! Eddig y n kiszámításához csak az y n 1 értéket használtuk fel. Azonban ha felvennénk egy köztes pontot, például y (n 1)/2 -t, akkor elméletileg pontosabb megoldást kapnánk. Vizsgáljuk meg ezt az esetet. ỹ (n 1)/2 = y n 1 + h 2 f(t n 1, y n 1 ) y n = y n 1 + hf(t (n 1)/2, ỹ (n 1)/2 ) Ezt a módszert javított Euler módszernek nevezzük. Nézzük meg, hogy mennyivel közelíti jobban a pontos megoldást! A javított Euler módszer lokális hibája Ψ n,1 = y(t n) y(t n 1 ) h f(t n 1 ), y(t n 1 + h 2 f(t n 1, y(t n 1 ))) = y + h 2 y + h2 6 y (f + h 2 (f t + f y f) + h2 8 (f tt + 2f ty f + f yy f 2 )) + O(h 3 ) Tehát a módszer 2. rendben konzisztens, így valóban sikerült növelni a pontosságot. Ennek alapján próbáljunk meg minél magasabb rend módszereket létrehozni. Ehhez vezessük be az alábbi jelöléseket. k 1 :=f(t n, y n ) k 2 :=f(t n + 0, 5h, y n + 0, 5h k 1 ) y n+1 =y n + hk 2 31

33 A javított Euler módszer példájára, általánosítsuk ezt jelölést m lépésre. k 1 = f(t n, y n ) k 2 = f(t n + a 2 h, y n + hb 21 k 1 ) k 3 = f(t n + a 3 h, y n + h(b 31 k 1 + b 32 k 2 )). k m = f(t n + a m h, y n + h(b m1 k b m,m 1 k m 1 )) y n+1 = y n + h(c 1 k 1 + c 2 k c m k m ) Ez az úgynevezett általános m lépéses (explicit) Runge-Kutta módszer, melyet 1900 körül dolgozotak ki Karl Runge és Martin Kutta német matematikusok. A javított Euler módszernél láthattuk, hogy a "javítással" sikerült növelni a módszer rendjét. Itt az a 2,..., a m ; b ik ; és c 1,..., c m tetsz leges paraméterek, illetve (b ik )-k által el állított B mátrixot a Runge-Kutta módszer mátixának, a k -kat a módusainak, c i -ket pedig a mátrix súlyainak nevezzük. (Éppen ezért m i=1 c i = 1.) A Runge-Kutta formula lényege, hogy minél magasabb rend módszereket tudjunk létrehozni. Az adott módszerhez kapott konstansokat egy úgynevezett Butcher-tábla foglalja össze. (Butcher tableau, John C. Butcher neve után) a 2 b a 3 b 31 b a 4 b 41 b 42 b a m b m1 b m2 b m3... b m,m 1 c 1 c 2 c 3... c m Az egyszer ség kedvéért vezessük be az alábbi jelöléseket: y n+1 = y n + h φ(x n, y n, h) (5.1) m φ(x, y, h) = = c i k i (5.2) k i = f(t n + a i h, y n + i=1 m b ij k j ) (5.3) Megjegyzés. Ahhoz, hogy p-ed rend RK módszert kapjunk a a 2,..., a m ; b ik ; és c 1,..., c m együtthatókat úgy kell megválasztani, hogy a módszer lokális hibája 32 i=1

34 p + 1 rend legyen. Azaz, egy p-ed rend a következ egyenl ségnek kell teljesülnie: d(t, y, h) = u(t + h) u(t) hφ(t, y, h) = O(h p+1 ) Ahol d(t, y, h) a lokális hibát, u(t) pedig az egyenlet pontos megoldását jelöli. Els lépésként fejtsük Taylor sorba d(t, y, h)-t, u(t + h) u(t)-t, és φ(t, y, h)-t h szerint h = 0 pontban.(ahhoz, hogy az egyenl ség teljesüljön, az kell, hogy a d lokális hiba Taylor-sorának els p tagja t njön el.) i d d(t, y, h) = h i hi (5.4) i=1 u(t + h) = u(t) + hu (t) + h 2 u (t) 2! h p z(p) (t) p! + O(h p+1 ) (5.5) φ(t, y, h) = φ(t, y, 0) + hφ (t, y, h) + h2 2! φ (t, y, h) +... (5.6) + hp 1 (p 1)! φp 1 (t, y, h) + O(h p ) (5.7) Ahhoz, hogy a módszer p-ed rend legyen az szükséges, hogy p i d i=1 = 0 h i feltétel teljesüljön. Második lépésként szorozzuk be mindkét oldalt h-val. d(t, y, h) = hu (t) + h 2 u (t) 2! h p z(p) (t) p! φh(t, y, 0) h 2 φ (t, y, h)... d(x, y, 0) = h(u (t) φ(t, y, 0)) + h 2 ( 1 2 u (t) + O(h p+1 ) hp (p 1)! φ(p 1) (t, y, h) O(h p ) φ (t, y, 0)) h p ( 1 p! z(p) φ (p 1) (t, y, 0) + O(h p+1 ) Így egy p egyenletb l álló egyenletrendszert kapunk, mely megoldható, ha a i = p j=1 b ij Az RK módszerek 0-stabilitása A Runge-Kutta formulát az 5.1 egyenletben, olyan alakra hoztuk, mely nagyon hasonlít az explicit Euler módszerhez. Ennek alapján, hasonló levezetéssel megkaphatjuk, hogy a Runge-Kutta módszer 0-stabil. Természetesen most is beszélhetünk explicit és implicit módszerekr l. Nézzünk most mindkét esetre néhány példát! 33

35 5.2. Az implicit Runge-Kutta módszerek Az implicit és explicit módszerek közti legszembet n bb különbség, a Butcher tábla, hiszen implicit esetben a B mátrix nem feltétlenül alsó háromszög mátrix. Éppen ezért az implicit formulákat sokszor nevezik általános RK módszereknek Az implicit formula el nyei és hátrányai Az implicit módszer nagy hátránya, hogy a (4.3) egyenletrendszer egy nemlineáris rendszer lesz k i -kre, amit minden egyes lépésben iterációval kell megoldani, így a m veletigénye igen nagy. El nyei közül a két legjelent sebbet említeném meg: stabilitás tulajdonságuk Tétel. Minden p 1 számhoz létezik pontosan egy 2p-ed rend implicit Runge-Kutta módszer Az explicit Runge-Kutta formulák Deníció. Egy Runge-Kutta módszer explicit, ha b ik = 0; i < k. Ekkor a k i -k explicit módon számolhatóak Az els rend Runge-Kutta formulák Az els rend RK módszert fel tudom írni a következ alakban: φ(x, y, h) = c 1 k 1 = f(t, y), illetve az el z ek alapján u(t + h) u(t) = hu (t) + O(h 2 ). Ezek alapján írjuk fel az els rend módszerek lokális hibáját. d(t, y, h) = u(t + h) u(t) hφ(t, y, h) = hf(t, y) hc 1 + f(t, y) + O(h 2 ) = h(1 c 1 )f(t, y) + O(h 2 ) Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy c 1 = 1 választással kapunk els rend módszert, és ezt visszahelyettesítve a y n+1 = y n +hf(t n, y n ) formulát, azaz az explicit Euler módszert kapjuk. Ez ez egyetlen els rend (explicit) RK módszer. 34

36 A megoldhatóság feltételei A a i = p j=1 b ij feltétel mellett, minden p-ed rend formulának vannak csak rá vonatkozó feltételei is. Az els rend módszer pontosan akkor oldható meg, ha teljesül a ce = 1 (5.8) feltétel, ahol e az (1... 1) T vektort jelenti, c pedig a Butcher tábla c i elemib l álló vektor A másodrend Runge-Kutta formulák A másodrend Runge-Kutta formulák pontosan akkor oldhatók meg, ha teljesül az 5.7 feltétel, és c a = 1 2 (5.9) egyenl ség is. (Az a j elemekb l álló vektort jelöltük a-val.) Hasonlóképpen mint az els rend nél φ(t, y, h) = c 1 k 1 + c 2 k 2 = c 1 f(t, y) + c 2 f(t + a 2 h, y n + hb 21 f(t, y)) Ha Taylor sorba fejtjük k 2 -t, és d(t, y, h)-t, akkor megkapjuk h 0, h 1, h 2 együtthatóit. (A Taylor sorfejtés ebben az esetben igen hosszadalmas, ezért csak a megoldásokat írom le). b 1 = 0 1 c 1 c 2 f = 0 ( 1 2 c 2a 2 ) t f + ( 1 2 c 2b 21 ) y f = 0 Így a másodrend RK módszerre a következ együtthatókat kapjuk. a 1 = 0 a 2 = b 21 a 2 = 1 2c 2 c 1 + c 2 = 1 Látható, hogy az egyenletünk határozatlan, c 1, c 2 szabad paraméterek, így igen sok másodrend formula létrehozható. 35

37 Példák másodrend formulákra Harmadrend RK formulák A harmadrend RK formulák megoldhatóságának feltételei, az 5.7 és az 5.8 feltételek, tehát minden, ami az alacsonyabb rend formuláknál kellett és teljesülnie kell az ca 2 = 1 3 cba = 1 6 (5.10) (5.11) egyenleteknek is, ahol B a Butcher tábla b ij elemeib l álló mátrixa. Példák harmadrend formulákra: A klasszikus negyed rend Runge-Kutta formula A megoldhatóság feltételei természetesen az összes eddigi feltétel és az alábbiak együttes teljesülése: ca 3 = 1 4 cba 2 = 1 24 cabc = 1 8 (5.12) (5.13) (5.14) 36

38 A-val az a i értékekb l álló mxm-es diagonális mátrixot jelöltem. k 1 = f(t n, y n ) k 2 = f(t n + h 2, y n + h 2 k 1) k 3 = f(t n + h 2, y n + h 2 k 2) k 4 = f(t n + h, y n + hk 3 ) y n+1 = y n + h 6 [k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ] Ha jobban megnézzük ezt a módszert, akkor láthatjuk, hogy az y(t n ) y(t n 1 ) közelít integrál a Simpson formulával felírva közel hasonló eredményt ad: y(t n ) y(t n 1 ) h 6 (y (t n 1 ) + 4y (t (n 1)/2 ) + y (t n )) Ha összevetjük az els -, a másod-, a harmad-, és a negyed rend formulákat, akkor azt a hasonlóságot fedezhetjük fel, hogy p = 1, 2, 3, 4 rend formuláknál a módszerek lépésszáma is rendre m = 1, 2, 3, 4. Valójában a lépések számából nem következik a módszer rendje, amit már m = 5 lépés esetén is láthatunk. lépések száma módszer rendje Az explicit Runge-Kutta módszer abszolút stabilitási tartománya A Runge-Kutta módszerek családja széleskörben elterjedt közelítési eljárás, annak ellenére, hogy ezeknek a módszereknek is vannak stabilitási problémáik. Abszolút stabilitási tartományuk korlátos, így sajnos nem A-stabilak. 37

39 RK módszerek összehasonlítása Nézzük meg az alábbi példán keresztül, hogy milyen pontossággal közelít egy els -, egy másod-, illetve egy negyed rend Runge-Kutta formula: y (t) = 5t(y(t)) 2 + 5/t 1/(t 2 ), y(1) = ábra. Els rend RK formula 5.2. ábra. Másodrend RK formula 38

40 5.3. ábra. Negyedrend RK formula Els rend RK Másodrend RK Negyedrend RK maximális hiba 0, , ,

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása Differenciálegyenletek numerikus megoldása 2010, Pécsi Tudományegyetem Kollár Bálint (Utolsó változtatás: 2010. október 23.) Közönséges differenciálegyenleten olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) =

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY KÉZI CSABA Date: today. KÉZI CSABA ELŽSZÓ Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika II. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó............................................... 6. GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTEL NÉLKÜLI OPTIMALIZÁLÁS ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai

Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai BSc Szakdolgozat Készítette: Prikkel Anett Matematika BSc Matematikai elemz szakirány Témavezet :

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban tehát attól függ, hogy x milyen értéket vesz fel. A függvényeket a közgazdaságtanban is a jól ismert derékszögû koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol a változók nevének megfelelõen általában a vízszintes

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Félvezetk vizsgálata

Félvezetk vizsgálata Félvezetk vizsgálata jegyzkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetje: Böhönyei András Mérés dátuma: 010. március 4. Leadás dátuma: 010. március 17. Mérés célja A mérés célja a szilícium tulajdonságainak

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

növekedése a processzorok számának növekedésénél sokkal nagyobb mértékben nő (szuper gyorsítási effektus).

növekedése a processzorok számának növekedésénél sokkal nagyobb mértékben nő (szuper gyorsítási effektus). A beszámolás tárgyát képező kutatási program címe: Soft computing számítógépes realizálása számítógépes algoritmusokkal. A pályázat beadásának idejében a soft computing elnevezés három egymással összefüggő

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

4. Kartell két vállalat esetén

4. Kartell két vállalat esetén 4. Kartell két vállalat esetén 34 4. Kartell két vállalat esetén Ebben a fejezetben azzal az esettel foglalkozunk, amikor a piacot két vállalat uralja és ezek összejátszanak. A vállalatok együttműködését

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus Az szám Szakdolgozat Készítette: Csuka Anita Matematika Bsc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben