Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest 2010

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 2 2. Dierenciálegyenletek A dierenciálegyenletek típusai A közönséges dierenciálegyenletek általános alakja A KDE típusai A dierenciálegyenletek stabilitása Stabilitási alapfogalmak Példa Dierenciálegyenletek a gyakorlatban Példa Példa A dierenciálegyenletek megoldhatósága A megoldandó probléma: Numerikus módszerek A numerikus módszerek "jósága" A numerikus módszerek hibája Numerikus módszerek konvergenciája A konvergencia rendje Numerikus módszerek 0-stabilitása Numerikus módszerek konzisztenciája A legegyszer bb megoldások Az explicit Euler módszer

3 Példa A hibaegyenlet Az explicit Euler módszer konzisztenciája Az Euler módszer lokális hibája Az Euler módszer 0-stabilitása A "jó" lépésköz megválasztása A teszt egyenlet Abszolút stabilitás A-stabilitás Az explicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A módszer hiányosságai Az implicit Euler módszer Az implicit Euler módszer konzisztenciája Az implicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya Merev dierenciálegyenletek Példa Az implicit Euler módszer el nyei és hátrányai Szimmetrikus/ trapéz módszer A szimmetrikus módszer konzisztenciája A trapéz módszer abszolút stabilitási tartománya Runge-Kutta típusú módszerek A kvadratúra formulák A javított Euler módszer lokális hibája Az RK módszerek 0-stabilitása Az implicit Runge-Kutta módszerek Az implicit formula el nyei és hátrányai Az explicit Runge-Kutta formulák Az els rend Runge-Kutta formulák A megoldhatóság feltételei A másodrend Runge-Kutta formulák Példák másodrend formulákra Harmadrend RK formulák A klasszikus negyed rend Runge-Kutta formula

4 Az explicit Runge-Kutta módszer abszolút stabilitási tartománya RK módszerek összehasonlítása Összefoglalás 38 3

5 1. fejezet Bevezet "Bár napjaink matematika könyveiben szinte hemzsegnek az absztrakt szimbólumok, ez azonban éppúgy nem jelenti a matematika lényegét, mint ahogy a zene valódi mibenléte sem a hangjegyek jelölésrendszerében keresend." Keith Devlin A témaválasztásban számomra fontos szerepe volt annak, hogy a matematika olyan területével foglalkozzak, mely közvetlen kapcsolatban áll a gyakorlati problémák megoldásával. A dierenciálegyenletek a tudomány szinte minden területén jelen vannak, ezért a megoldhatóságuk nagyon fontos szerepet tölt be mindennapjainkban. Ám a legtöbb esetben ezeket nem olyan egyszer kiszámítani. Ahogy az idézetben is szerepel, a matematika lényege az ehhez hasonló problémák megoldása, ennek ellenére a következ néhány oldal sem fog sz kölködni "absztrakt szimbólumokban". 4

6 2. fejezet Dierenciálegyenletek 2.1. A dierenciálegyenletek típusai Egy dierenciálegyenlet egy függvény és annak dierenciáltja közötti kapcsolatot mutatja meg. Ezek az összefüggések sok esetben a tudomány egyéb területein felmerül problémák matematikai modelljei. Ezek a modellek a gyakorlatban igen hasznosak, ám elég összetettek is ahhoz, hogy a megoldásuk egzakt legyen. Legyen szó zikai, biológiai, vagy közgazdaságtani problémáról, biztosan függenek az id t l, vagy esteleg egy másik változó paramétert l, tehát a dierenciálegyenletek olyan folyamatokat írnak le, melyek nem diszkrét lépésekben zajlanak. A dierenciálegyenleteknek két f típusa van, nevezetesen 1. Közönséges dierenciálegyenletek 2. Parciális dierenciálegyenletek A f különbség e két típus között az, hogy a közönséges dierenciálegyenletekben (KDE) az ismeretlen egyváltozós, a parciális dierenciálegyenletknél pedig többváltozós ismeretlent keresünk. A továbbiakban a közönséges dierenciálegyenletekkel fogunk foglalkozni A közönséges dierenciálegyenletek általános alakja Nézzük meg el ször az els rend explicit KDE általános alakját. 5

7 Megjegyzés. A dierenciálegyenlet rendje a legmagasabb derivált rendje. x (t) = f(t, x(t)) ahol f : R R n adott függvény, és az ismeretlenünk pedig x : R R n Deníció. Legyen F : R n+2 R függvény. Az n-ed rend közönséges dierenciálegyenlet általános alakja: F (t, x(t), x (t)... x (n) (t)) = 0 Legyen f : R n+1 R adott. Az n-ed rend explicit közönsége dierenciálegyenlet általános alakja x (n) (t) = f(t, x(t), x (t)... x (n 1) (t)) A KDE típusai A közönséges dierenciálegyenleteket két nagy csoportra oszthatjuk: lineáris és nemlineáris. Ez a megoldhatóság szempontjából igen fontos, hiszen a nemlineáris egyenletek pontos megoldására nincs bevett módszer, és a közelít megoldások kiszámítása is komplikáltabb. A lineáris dierenciálegyenletek újabb két nagy csoportra oszthatók. Legyen a lineáris els rend KDE általalános alakja: y (t) = A(t)y(t) + b(t) Két esetet küönböztetünk meg: 1. ha A(t) nem függ t-t l, azaz konstans, így az egyenlet állandó együtthatós 2. ha A(t) függ t-t l, azaz az egyenlet változó együtthatós Az els esetben létezik egzakt megoldási módszer, de legtöbbször csak nagy nehézségek árán tudjuk meghatározni a pontos megoldást. A második esetre nincs olyan bevett módszer, mellyel kiszámíthatnánk a pontos értékeket Megjegyzés. A dierenciálegyenlet típusa, és megoldhatóságának nehézsége, nyílván a közelít megoldások pontosságát is befolyásolja. 6

8 2.3. A dierenciálegyenletek stabilitása Stabilitási alapfogalmak A stabilitáselméleti alapfogalmak szemléltetésére tekintsük meg el ször az alábbi egyszer zikai példát. Képzeljünk el egy golyót az alábi 3 egyensúlyi helyzetben: 1. egy gödör alján 2. egy domb tetején 3. egy vízszintes sík felületen Mindhárom helyzetben egyensúlyban van a golyó (ha nem mozdítjuk meg, helyben marad), azonban ha kicsit elmozdítjuk, majd elengedjük, akkor mindhárom esetben más történik. Az els esetben a golyó visszagurul a gödör aljára. Ezt az egyensúlyi helyzetet nevezzük asszimptotikusan stabilisnak. A második esetben a golyó legurul a domboldalon, egyre jobban eltávolodik az eredeti helyzetét l. Ezt az egyensúlyi helyzetet nevezzük instabilisnak. A harmadik esetben a golyó ott marad az elmozdítás helyén, azaz nem tér vissza az eredeti helyzetébe, de nem is távolodik el onnan. Ezt az egyensúlyi helyzetet nevezzük stabilisnak. Nézzük meg egy példa segítségével, hogy mit is jelentenek ezek a fogalmak a dierenciáálegyenletek megoldásainak körében. 7

9 Példa Legyen y (t) = λy, dierenciálegyenlet, y(0) = y 0 kezdetiérték feltétetellel. Ha ezt az egyenltet integráljuk, akkor az y(t) = e λt y 0 egyenletet kapjuk megoldásként. Nézzük meg milyen egyensúlyi állapotok állnak fenn λ < 0, λ > 0, illetve λ = 0 esetekben. 1. λ < 0 esetben, ha t +, akkor a megoldás határétéke 0, így minden megoldás a 0 egyensúlyi ponthoz közeledik. Ez egy asszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzet. 2. λ > 0 esetben, ha t +, akkor a megoldás határértéke ±, azaz minden 0-tól különböz kezdetiérték feltételnek eleget tev megoldás távolodik 0 egyensúlyi ponttól. Ebben az estben az 0 egyensúlyi pont instabilis. 3. λ = 0 esetben a megoldások konstans függvények, azaz nem is közelednek és nem is távolodnak a 0 egyensúlyi ponttól, azaz a megoldás stabilis Dierenciálegyenletek a gyakorlatban A dierenciálegyenletek általában akkor jutnak szerephez, amikor olyan folyamatot próbálunk modellezni, mely nem diszkrét lépésekben zajlik (mint mondjuk egy sakkjátszma), hanem az id ben folyamatosan változnak az állapotjelz k értékei. Ilyen esetekben vagy meggyelések utalnak egy mennyiség és megváltozásának kapcsolatára, vagy feltételeznek egy elméleti relációt a jellemz k között. Például a természetben populációk növekedésének üteme általában függ magától a populáció nagyságától. Nézzünk egy ilyen példat a gyakorlatban Példa 1 Legyen x(t) a populáció mérete t id pontban. Most azt fogjuk megvizsgálni, hogy egy adott id intervallumban, milyen mértékkel n a populáció mérete: x(t + h) x(t) h x(t) a 8

10 Ebben a modellben nem számolunk a halálozással, csupán a szület utódok számát vesszük gyelembe. Az eltelt id t h-val jelöljük, a-val pedig annak a változásnak a mértékét (arányát), mely a növekv populáció következtében a szület utódok számának növekedését mutatja. A fenti egyenletet átrendezve az alábbi dierenciálegyenletet kapjuk x(t + h) x(t) = a x(t) h lim h 0 x (t) = a x(t) Tehát, ha ezt az egyenletet kiintegráljuk, akkor az alábbi megoldáshoz jutunk: x(t) = e at x 0 Ez az egyenlet azonban csak akkor ad reális eredményt, ha kis id intervallumokat vizsgálunk Ha hosszú távon szeretnénk populációs modelleket vizsgálni, akkor sajnos ennél egy jóval bonyulultabb egyenletre lesz szükségünk. Például, olyan a-t választunk arányossági tényez nek, mely függ x(t)-t l is. Például a = r (K x(t)), ahol r ismét egy arányossági tényez, K pedig az eltartó képesség, azaz, hogy egy adott terület egy adott populációnak hány tagját képes "eltartani". Sajnos az ilyen típusú egyenletek már jóval nagyobb m veletigénnyel bírnak, mint azt az el z egyszer példában láthattuk Példa 2 Ugyancsak a populáció növekedését leíró folyamat, az úgynevezett "róka-nyúl" modell, ahol már nem csak egy populáció nagyságánának a változását vizsgáljuk, hanem azt, hogy ha egy területen két különböz faj él, akkor hogyan alakul a populációk mérete. Jelöljük a rókák számát a t id pntban y(t)-vel, a nyulakét x(t)-vel, a, b, c, d számok pedig pozitív konstansok. x (t) = a x(t) b x(t)y(t) y (t) = c x(t)y(t) d y(t) Azaz minden egyes találkozási pontnál, a nyulak száma csökken, illetve a rókák száma "n ", azaz az egyed fejl dik a tápláléktól. Természetesen itt is gyelembe vehetünk még több paramétert, például, hogy a populációk növekedése milyen tényez kt l függ stb., amik tovább nehezítik az egyenlet megoldhatóságát. 9

11 2.5. A dierenciálegyenletek megoldhatósága Deníció. Kezdetiérték feltétel fogalma: Legyen y (t) = f(t, y(t)) egy dierenciálegyenlet. Legyen t 0 R, p 0 R n. Egy y megoldás teljesíti az y(t 0 ) = p 0 kezdeti feltételt, ha átmegy a (t 0, p 0 ) ponton Tétel. Egy kezdetiérték feladatnak létezik egyértelm megoldása, ha az f : R n+1 R n folytonos függvény a 2, 3,... n + 1 -edik változójában Lipschitz folytonos. Tehát a tételb l biztosan tudjuk, hogy az adott egyenlet megoldható, ám a differenciálegyenleteket kielégít megoldásfüggvények csak a legegyszer bb esetekben fejezhet k ki zárt alakban. Sok esetben szükségtelen is kiszámolni a konkrét megoldásokat, sokkal többet tudhatunk meg a folyamatokról, ha a megoldások kapcsolatait vizsgáljuk. Más esetben szükséges kiszámítani a megoldás konkrét értékeit. Mindkét feladatra számítógépes módszereket használnak, az els inkább kvalitatív, míg a második kvantitatív eredményt szolgáltat. A dierenciálegyenletek megoldási módszereit három nagy csoportba sorolhatjuk, és ebb l a három csoportból mindössze csak egy tartalmazza a pontos megoldások kiszámítását. 1. Analitikus megoldási módszerek Ezek a megoldási módszerek a dierenciálegyenlet pontos megoldásának kiszámítására alkalmasak. A probléma csak az, hogy a dierenciálegyenlteknek csupán egy kis szeletét adják azok a típusok, melyeknek ismerjük a megoldási módszerét, s t, ha ismerünk is ilyen módszert, a megoldás kiszámítása sok esetben igen költséges. Így más eszközöket kell keresnünk a megoldás kiszámításához, illetve közelítéséhez. 2. Kvázianalitikus módszerek Ebbe a kategóriába a Banach xponttételen alapuló iterációs megoldási módszerek tartoznak, ahol y (t) = f(t, y(t)) y(t 0 ) = y 0 10

12 kezdetiérték problémát a következ integrálegyenletté írjuk át: y(t) = y(t 0 ) + t t y (s)ds = y 0 + f(s, y(s))ds t 0 t 0 Ekkor a következ közelít módszerrel készítünk egy iterációs eljárást, azaz egy y 1, y 2... sorozatot, ahol az n + 1-edik tag a következ képpen néz ki: y n+1 (t) = y 0 (t) + t t 0 f(s, y n (s))ds Csakhogy a xpont közelít eljárást minden lépésben közelít integrálással kell kombinálni, ezért a megoldásunk végül nem egy intervallumon értelmezett függvény lesz, hanem ennek egy diszkretizált alakja. 3. Numerikus módszerek A numerikus módszerek már elég nagy csoportot ölelnek fel. Ezekr l részletesen olvashatunk a következ fejezetekben A megoldandó probléma: Legyen f : R n+1 R n, olyan folytonos függvény, mely a 2, 3,... n + 1 -edik változójában Lipschitz folytonos. Továbbá legyen u 0 R n vektor adott. Keressük meg azt az u : I R n dierenciálható függvényt, amelyre igaz, hogy u (t) = f(t, u(t)) (2.1) u(0) = u 0 (2.2) kezdeiérték feltétel mellett. 11

13 3. fejezet Numerikus módszerek A numerikus megoldási módszereknek két f bb osztálya van: az egy- és a többlépéses módszerek. Az alapvet különbség az, hogy az egylépéses módszerek csupán egy "lépcs t" használnak fel a már meglév n 1 darabból, azaz y n kiszámításához mindössze az y n 1 közelítést veszi segítségül. Ezzel szemben a többlépéses módszerek az n-edik közelítéshez legalább 2, és legfeljebb n 1 lépcs t használnak. Az alábbi fejezetekben az egylépéses numerikus módszerek struktúráját, el nyeit és hátrányait fogom bemutatni. Egy adott módszer attól lesz diszkrét, hogy a közelít megoldásokat véges sok pontban keressük. A numerikus módszerek esetében, egy adott [0, b] intervallum t 0 <... < t N ekvidisztáns felosztását tekintjük. Nézzük meg részletesen, hogyan is épül fel egy numerikus módszer. Legyen u (t) = f(t, u(t)) u(0) = u 0 kezdeiérték feltétellel. Koordinántánként felírva u i(t) = f i (t, u 1 (t),... u n (t)) u i (0) = u i0 Keressük az u(t) = [u 1 (t), u 2 (t)... u n (t)] vekort. Tegyük most fel, hogy n = 1, azaz u (t) = f(t, u(t)) f : R 2 R, és keressük az u(t) : I R függvényt. Deniáljunk egy rácshálófüggvényt! Legyen egy tetsz leges h > 0 esetén ω h := {t n = nh n = 0, 1... N}. 12

14 Ez lesz az úgy nevezett h lépésköz rácsháló. Deniáljunk az ω h rácshálón egy y h rácshálófüggvényt, és vezessük be a következ jelölést: y h (t n ) = y n, azaz, y n jelöli azt az értéket, ha a rácshálófüggvényünkbe behelyettesítjük a t n értéket. A cél az, hogy ezt az y n függvényt úgy válasszuk meg, hogy minél közelebb legyen u(t n )-hez, t n ω h -ra. Ez lesz a numerikus módszerek alapja A numerikus módszerek "jósága" A numerikus módszerek pontossága sok paramétert l függ. Az alábbiakban ezeket a tényez ket fogjuk vizsgálni A numerikus módszerek hibája Legyen u(t) az (2.1)(2.2) feladat pontos megoldása, t i pontban u(t i ), a továbbiakban jelöljük u i -vel. Hasonlóképpen, legyen y i a t i pontbeli közelít megoldása az (2.1)(2.2) feladatnak. A két érték közti eltérést, tehát a közelítés hibáját pedig nevezzük d i -nek. d i := y i u i, feltéve, hogy y i 1 = u i 1. Ezt nevezzük lokális vagy más néven diszkretizációs hibának. A lokális hiba, ahogy azt a neve is jelzi, azt mutatja meg, hogy egy lépés alatt mekkora hiba keletkezik. A globális hibát pedig deniáljuk úgy, hogy e i = y i u i, i = 1, 2...n, tehát itt már nem csak egy lépés alatt keletkez hibát, hanem n lépés alatt keletkez t vizsgálunk Numerikus módszerek konvergenciája Azt mondjuk, hogy egy numerikus módszer által el állított y h (t) rácsháló függvény sorozat, nomodó h lépésközök esetén konvergál az y(t) (2.1)(2.2) feladat megoldásához, a t I pontban, ha: t ω h, h-ra lim h 0 y h (t n ) y(t ) = 0, (t n = n h) 13

15 Általában a numerikus módszert konvergensnek nevezzük, ha konvergens minden t I pontban A konvergencia rendje y h (t n ) y(t ) = O(h p ), a konvergencia rendjének nevezzük, ezek szerint a numerikus módszer p-ed rendben konvergens Megjegyzés. A módszer akkor konvergens, ha lim h 0 e i = Megjegyzés. Egy numerikus módszer csak akkor "jó", ha a módszer konvergens. A konvegenciát két egyszer bben ellen rizhet tulajdonsággal lehet garantálni, ezek a 0-stabilitás és a konzisztencia Numerikus módszerek 0-stabilitása Egy numerikus módszer 0-stabil, ha K > 0, melyre e i K( e 0 + n j=1 d j ), i : 1 i N Numerikus módszerek konzisztenciája Azt mondjuk, hogy egy numerikus módszer p-ed rendben konzisztens, ha c > 0 konstans, melyre d i c h p Tétel. Ha egy numerikus módszer p-ed rendben konzisztens és 0-stabil, akkor p-ed rendben konvergens. A konvergencia általában nehezen megállapítható, hiszen kiszámításához szükséges tudni a globális hibát, és a globális hiba kiszámításához tudni kell a pontos megoldást. A megoldások nyílván nem állnak a rendelkezésünkre, hiszen akkor nem lenne szükség közelít megoldások kiszámítására. Mivel a konvergenciának kulcsfontosságú szerepe van, hiszen csak akkor "jó" egy adott numerikus módszer, ha az konvergens is, ezért valamilyen módon muszáj információt kapnunk a konvergenciáról. Egy adott módszer 0-stabilitásáról és konzisztenciájáról mindig van információnk, és e két adatból már dönthetünk a konvergenciáról is. 14

16 4. fejezet A legegyszer bb megoldások 4.1. Az explicit Euler módszer Ennek a módszernek az alapötlete igen egyszer. Nevezetesen: egy érint segítségével közelítjük a megoldást a következ képpen: Húzzuk be az y(0) = y 0 kezdetiérték érint jét, majd kössük össze egy tetsz leges t 1 ponttal, így megkapjuk az (x 1, y 1 ) pontot. Ezek után, ugyanezzel az eljárással, kapjuk meg (t 2, y 2 ),..., (t n, y n ) közelít pontokat. Azaz ha ezt felírjuk általánosan, akkor az ábrán látható Φ szög tangensét a következ képpen kaphatjuk meg: 15

17 4.1. ábra. Az explicit Euler módszer azaz tg(φ) = y i+1 y i t i+1 t i f(t i, y i ) = y i+1 y i t i+1 t i y i+1 = y i + f(t i, y i )(t i+1 t i ) ahol (t i+1 t i ) = h lépésközzel. Egy másik megközelítséb l: Legyen a [0, b] interval- 16

18 lum felosztása a következ : 0 = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b Legyen h i = t i t i 1 az i-edik lépésköz. Az egyenlet t n id pontbeli pontos megoldását jelöljük u(t n )-nel, és a t n id pontbeli közelít megoldását pedig y n -nel. A kezdeti érték problémánál, mindig tudjuk, hogy milyen értéket vesz fel a megoldás a t 0 id pontban. Ebben az esetben tegyük fel, hogy ismerjük a t n 1 id pontbeli y n 1 közelítést, és ebb l határozzuk meg a t n -beli y n közelítést. y n+1 y n h = f(t n, y n ) y(0) = y 0 átrendezve, tehát: y n+1 = y n + h f(t n, y n ). Ezt nevezzük explicit euler módszernek Példa Legyen y (t) = 3e t 0, 4y(t) y(0) = 5 y(3) =? h = 3 Helyettesítsünk be az Explicit Euler módszer egyenletébe: y 1 = 5 + f(0, 5) 3 y 1 = 5 + (3e 0 0, 4 5) 3 y 1 = 5 + (3 2) 3 = 8 Azonban az egyenlet pontos megoldása ebben az esetben 2,763, azaz a numerikus módszer lokiális hibája 5,237, ami igen nagy mérték hibát jelent. Próbáljuk meg a lépésköz csökkentésével, és a lépésszámok növelésével pontosítani a közelít megoldást. Legyen h = 1, 5 és közelítsük a megoldást két lépésben, el ször y(0) y(1, 5), majd y(1, 5) y(3)! 1.lépés x 0 = 0; y 0 = 5; h = 1, 5 17

19 y 1 = 5 + f(0, 5) 1, 5 y 1 = 5 + (3e 0 0, 4 5) 1, 5 y 1 = , 5 = 6, 5 = y(1, 5) 2. lépés x 1 = 1, 5; y 1 = 6, 5; h = 1, 5 y 2 = 6, 5 + f(1, 5; 6, 5) 1, 5 y 2 = 6, 5 + (3e 1,5 0, 4 6, 5) 1, 5 y 2 = 6, 5 + ( 1, 93061) 1, 5 = 3, 604 = y(3) Itt a pontos megoldástól való eltérés már mindössze 0,841, és ez az eredmény még tovább csökkenthet, a lépésköz csökkentésével, illetve a lépésszámok növelésével A hibaegyenlet Mivel y n a pontos megoldás közelítése, ezért felírhatjuk y n = u n + z n alakban, azaz pontos megoldás + hiba alakban. Helyettesítsük be ezt a formulát az explicit Euler módszer egyenletébe: u n+1 u n h z n+1 z n h u n+1 u n h + z n+1 z n h f(t n, u n + z n ) = 0 f(t n, u n ) + f(t n, u n ) f(t n, u n + z n ) + z n+1 z n h = u n+1 u n h = 0 + f(t n, u n ) f(t n, u n ) + f(t n, u n + z n ) Ez az úgynevezett hiba egyenlet, ami felírható Ψ n,1 + Ψ n,2 = 0 alakban, ahol Ψ n,1 = u n+1 u n h + f(t n, u n ), a lokális approximációs, vagy más néven reziduális hiba. Tehát, ha Ψ n,1 -be a pontos megoldást helyettesítjük be, akkor nyílvánvalóan 0- t kapunk. Így a lokális approximációs hiba azt fejezi ki, hogy az adott numerikus módszer milyen pontosan közelíti a folytonos (2.1)(2.2) feladatot. Ezek alapján pontosítsuk a konzisztencia denícióját: Deníció. Egy numerikus módszer konzisztens, azaz approximálja a folytonos feladatot, ha lim h 0 Ψ n,1 = 0 Nézzük meg, mit kapunk, ha Taylor sorba fejtjük az u(t n )-et. 18

20 Az explicit Euler módszer konzisztenciája Ψ n,1 = u n+1 u n h + f(t n, u n ) = Tudjuk, hogy a lépésköz hossza h, ezért t n+1 felírható t n + h alakban. u(t n ) u(t n ) + hu (t n ) h2 u (t n ) + O(h 3 ) h 1 2 hu (t n ) + O(h 2 ) + u (t n ) = A konzisztencia rendjére vonatkozó tétel alapján az explicit Euler módszer konzisztens és rendje Az Euler módszer lokális hibája Az i-edik lépésben elkövetett lokális hibát jelöljük d i -vel,amit nyílván a pontos és a közelít megoldás különbségeként fogunk meghatározni. d i = y i u i Fejtsük Taylor sorba u(t i 1 + h)-t! y i 1 = h f(t i 1, y i 1 ) u(t i ) u(t i 1 ) = h f(t i 1, u(t i 1 )) u(t i ) u(t i 1 ) = h f(t i 1, u(t i 1 )) u(t i 1 + h) u(t i 1 + h) = u(t i 1 ) + h u (t i 1 ) + h2 2 u (t i 1 ) O(h 3 ) Ezt behelyettesítve megkapjuk a módszer lokális hibáját: h 2 2 u (t i 1 ) + o(h 3 ) = h2 2 u (t i 1 ) + O(h 3 ) Azaz a lokális hiba másodrend, ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy a választott lépésköz zsugorításakor annak második hatványával zsugorodik a hibára adott fels becslés. 19

21 Az Euler módszer 0-stabilitása Ha e i (globális hiba) abszolút értékéhez létezik olyan K konstans, hogy a globális hiba abszolút értéke kisebb legyen, mint K( e 0 + n j=1 d j ), akkor a módszer 0- stabil. e i+1 = e i + h(f(t i, y(t i )) f(t i, y i )) + d j+1 e i+1 = e i + hα e i + d j+1 = = (1 + hα) e i + d j+1 (1 + hα)( e i 1 + hα e i 1 + d j ) + d j+1 e i+1 (1 + hα) e i + d i+1 (1 + hα) 2 e i 1 + (1 + hα)d j + d j+1... (1 + hα) i+1 e 0 + (1 + hα) i j d j+1 (1 + hα) k e hαk e tkα e αb i i+1 e αb e 0 + e αb d j+1 = e αb ( e 0 + d j ) j=0 j=1 Azaz K := e αb választással a módszer 0-stabil Megjegyzés. t k -val a k-adik osztópontot jelöltem A "jó" lépésköz megválasztása A lépésköz kiválasztása nagy szerepet tölt be a numerikus módszer pontosságában. Az adott egyenlet és a választott numerikus módszer azonban korlátozza a lépéshosszt illet választási lehet ségek számát. Így nemcsak megfelel lépésközr l, hanem megfelel numerikus módszerr l is beszélnünk kell, hiszen a módszert úgy kell megválasztanunk, hogy h lépésközre vonatkozó korlátozások száma és mértéke minimális legyen. Ezek a korlátok általában szoros összefüggésben állnak a numerikus módszer stabilitásával. 20

22 A teszt egyenlet Tekintsük azt az esetet, mikor az egyenlet y = Ay alakú, ahol A R nxn mátrix. Ha A diagonizálható, akkor ezt az egyenletet felírhatjuk az alábbi módon: w = Dw ahol D egy diagonális mátrix. Ha mindezt koordinátákra bontjuk, akkor a következ n ismeretlenes egyenletrendszert kapjuk: w 1 = d 1 w 1 w 2 = d 2 w 2. w n = d n w n Itt természetesen d i i-re a D diagonális mátrix sajátértékei. Ezt az egyenletrendszert reprezentáljuk a y = λy teszt egyenlettel, ugyanis csak akkor lesz az eredeti egyenlet stabil, ha az egyenletrendszer d i sajátértékére stabil a teszt egyenlet Abszolút stabilitás Ha tudjuk, hogy y(0) = c, ahol c > 0 konstans, akkor a teszt egyenlet pontos megoldása y(t n ) = ce λtn lenne. Ezek alapján három esetet különböztethetünk meg: ha Re(λ) > 0, akkor y(t) = ce Re(λ)t exponenciálisan növekszik t szerint. Ez egy instabilis helyzet. ha Re(λ) = 0, akkor a megoldás oszcillál. ha Re(λ) < 0, akkor y(t) exponenciálisan csökken, így a megoldások egyre közelednek egymáshoz. Ez egy asszimptotikusan stabil helyzet A-stabilitás Vizsgáljuk tovább a tesztegyenletet a harmadik esteben: y(t) = λy(t), ahol λ C megoldása 0-hoz tart t határesetben, (Re(λ) < 0). 21

23 Deníció. Egy numerikus módszer A-stabil, ha a teszt egyenletre alkalmazva rendelkezik a fenti tulajdonsággal, lépéshossztól függetlenül. Másképpen megfogalmazva: Legyen y(1) = 1 a kezdeti feltétel. Ha a tesztegyenletb l kapott y 1, y 2,... sorozatra lim n y n = 0, h-ra, akkor a módszer A-stabil. Ez egy nagyon er s feltétel. Az ilyen módszerek a gyakorlatban nem mutatnak stabilitási problémakat Az explicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A leírtak alapján már tudjuk, hogy egy módszernél fontos tulajdonság az A- stabilitás. Vizsgáljuk meg az explicit Euler módszert ebb l a szempontból. y n+1 = y n + h f(t n, y n ), y n+1 = y n + h λy n = (f(t, y) = λy) y n+1 = (1 + hλ)y n = (1 + hλ) 2 y n 1 =... = (1 + hλ) n y 0 Tehát, most azt kell megvizsgálnuk, hogy y n sorozat 0-hoz tart-e? y n+1 = (1 + hλ) n y 0 0 n Az alábbi állítás akkor igaz, ha 1 + hλ < 1, ez például valós λ-ra is megkötés: h < 2. Tehát az explicit Euler módszer nem A-stabil. λ 22

24 4.2. ábra. Az explicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A módszer hiányosságai A módszer nagy el nye, hogy nagyon egyszer, illetve a m veletigénye alacsony. Ám sajnos az explicit Euler módszer nyílván nem a "legjobb" közelít megoldást adja hiszen csak els rend vannak stabilitási problémái, azaz, nem A-stabil 4.2. Az implicit Euler módszer Nézzünk most az (2.1)(2.2) feladtra egy másik közelítési módszert. Írjuk fel u(t n )- et a következ alakban: u(t n ) = u(t n+1 h) alakban, és fejtsük Taylor sorba: u(t n+1 h) = u(t n+1 ) hu (t n+1 ) + O(h 2 ) azaz, u(t t+1 ) u ( t n ) h y n+1 y n h = u (t n+1 ) + O(h 2 ) = f(t n+1, u(t n+1 )) = f(t n+1, y n+1 ) y(0) = y 0 23

25 Az egyenletet rendezzük y n+1 -re, így megkapjuk az implicit Euler módszer általános alakját: y n+1 = y n hf(t n+1, y n+1 ) Nézzük meg, mit kapunk n = 0 behelyettesítésével: y 1 y 0 h = f(h, y 1 ) Így láthatjuk, hogy y n kiszámításához, egy általános nemlineáris algebrai egyenlet megoldása szükséges, melyre több módszert is ismerünk (például Newton iteráció). Ez a módszer ugyan költségesebb, mint a fent említett explicit Euler módszer, azonban sok szempontból praktikusabb annál Az implicit Euler módszer konzisztenciája Helyettesítsünk be a lokális approximációs hiba képletébe, majd fejtsük Taylor sorba u(t n+1 h)-t! Ψ n,1 = u(t n+1) u(t n+1 h) + u (t n+1 ) h = u(t n+1) (u(t n+1 ) hu (t n+1 )) + O(h 2 ) h = O(h) + u (t n+1 ) Az implicit Euler módszer is 1. rendben konzisztens, tehát nem sikerült az explicit formulánál pontosabb közelítést létrehozni, legalábbis a konzisztencia szempontjából. Nézzük meg mi a helyzet a stabilitási tartományával Az implicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A teszt egyenletb l megkapjuk, hogy y (t) = f(t, y(t)) = λy(t) Helyettesítsük be ezt az implicit Euler módszer n + 1-edik egyenletébe: y n+1 = y n + hλy n+1 y n+1 (1 + hλ) = y n 1 y n+1 = 1 hλ y n 24

26 Legyen z := hλ, így feltételként az 1 1 z < 1 egyenletet kapjuk. Ebb l már látható az implicit Euler módszer stabilitási tartománya: ha 1 < 1 z, azaz ha h > 0. Tehát az implicit Euler módszer A-stabil. Nézzük meg egy gyakorlati példán keresztül, hogy miért fontos szempont az A-stabilitás ábra. Az implicit Euler módszer stabilitási tartományát a satírozott területen kívüli rész jelöli Merev dierenciálegyenletek A merev dierenciálegyenletek és ezek megoldási módszerei egy elég nagy témát ölelnek fel ráadásul nincs általánosan elfogadott egzakt deníció, ezért csak néhány példával érzékeltetném, hogy mely esetekben beszélünk merev derenciálegyenletelr l: y = Ky + f(t), ahol y R m, K R mxm és "nagy" abszolútérték negatív sajátértéke, vagy y = f(t, y) és f Jacobi mátrixának létezik "nagy" abszolútérték negatív sajátértéke. Az ilyen típusú egyenleteknél nagy szerepet játszik, hogy a használni kívánt numerikus módszer A-stabil vagy nem. A továbbiakban nézzünk olyan módszereket, melyek alkalmasak a merev dierenciálegyenletek megoldására. 25

27 Példa Az alábbi egyenletet programozzuk le mindkét módszer szerint Matlab-ban! y (t) = 100(y(t) sin(t)) 4.4. ábra. Explicit Euler 26

28 4.5. ábra. Implicit Euler Láthatjuk, hogy a megadott merev dierenciálegyenletet, hogyan közelíti meg egy olyan módszer, mely A-stabil, és egy olyan, amelyik nem. A különbség szembet n Az implicit Euler módszer el nyei és hátrányai Az implicit módszer tehát stabilitását tekintve jobb az explicitnél, viszont ez még mindig csak egy els rend közelítés, így a következ lépésben próbáljunk meg olyan módszert keresni, amely legalább egy másodrend approximáció. 27

29 4.3. Szimmetrikus/ trapéz módszer Próbáljuk meg a következ t: vegyük az explicit és az implicit Euler módszer számtani közepét! y n+1 y n h = 1 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] y n+1 = y n + h 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] A szimmetrikus módszer konzisztenciája Ψ n,1 = u(t n+1) u(t n ) h [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] = = u(t n) + hu (t n ) + h2 2 u (t n ) + O(h 3 ) u(t n ) + 1 h 2 [u (t n ) + u(t n+1 )] = = u (t n ) h 2 u (t n ) + o(h 2 ) [u (t n ) + u (t n ) + hu (t n ) + O(h 2 )] = O(h 2 ) Tehát sikerült pontosabb módszerhez jutnunk, hiszen a trapéz módszer már 2. rendben konzisztens. Vizsgáljuk meg, hogy a stabilitási tartomány hogyan alakul ebben az esetben! A trapéz módszer abszolút stabilitási tartománya A szokásos módon helyettesítsünk be a teszt egyenlet alapján a szimmetrikus trapéz formulába. y n+1 = y n + h 2 (λy n + λy n+1 ) y n+1 = y n hλ(y n + y n+1 ) y n+1 = y n hλy n hλy n+1 ( hλ)y n = y n+1 (1 1 2 )hλy n+1 y n+1 = hλ hλy n Azaz a stabilitási tartomány a következ lesz: 2+z < z < 2 z. Ezt az 2 z egyenl tlenséget próbáljuk tovább alakítani, hogy z-re megoldást kapjunk. Írjuk fel 28

30 z := a + bi alakban, és oldjuk meg az egyenl tlenséget: ( 2 + a + bi ) 2 < ( 2 (a + bi) ) 2 (2 + a) 2 + b 2 < (2 a) 2 + b 2 Tehát,a < 0, így Re(z) < 0, azaz a trapéz módszer is A-stabil ábra. A szimmetrikus módszer stabilitási tartománya 29

31 5. fejezet Runge-Kutta típusú módszerek Vizsgáljuk meg újra a fent említett módszereket egy másik megközelítésb l, ahol a közelít eljárások alapját az úgynevezett kvadratúra formulák adják, vagyis dolgozzunk numerikus integrálokkal! 5.1. A kvadratúra formulák A Runge-Kutta módszerek ötletének alapját a kvadratúra formulák, azaz a numerikus integrálás szabályai adják. Nézzük meg, mit is jelent ez pontosan! Vegyünk egy [a,b] intervallumot, és készítsünk egy t 1, t 2,... t n ekvidisztáns felosztást. Az f függvény az [a, b] intervallumon felírhatjuk az n 1 darab részintervallum integráljának összegeként is, azaz: b f(t) = n ti+1 a i=1 t i f(t)dt Ez akkor hajtható végre, ha ismerjük a függvény [(t 1, f(t 1 )),..., (t n, f(t n ))] alappontjait. Ezeket a pontokat felhasználva el állítunk egy Lagrange interpolációs polinomot, mellyel közelítjük az eredeti függvényünket, majd ezt a polinomot integráljuk: L j (t) = t t i t j t i ω j = b a L j (t)dt 30

32 Végül a kapott értékeket szorozzuk f(t 1 ),... f(t n ) értékekkel, így megkapjuk f(t) közelít integrálját. b a f(t)dt n ω j f(t j ) Vegyük az y(t n ) y(t n 1 ) = t n t n 1 y (t)dt egyenletet. A görbe alatti területet approximálhatjuk bal (Explicit -Euler) és jobb (Implicit Euler) közelít integrálokkal. Ezek az els rend módszerek. j=1 Próbáljuk meg az explicit Euler módszert "nomítani"! Eddig y n kiszámításához csak az y n 1 értéket használtuk fel. Azonban ha felvennénk egy köztes pontot, például y (n 1)/2 -t, akkor elméletileg pontosabb megoldást kapnánk. Vizsgáljuk meg ezt az esetet. ỹ (n 1)/2 = y n 1 + h 2 f(t n 1, y n 1 ) y n = y n 1 + hf(t (n 1)/2, ỹ (n 1)/2 ) Ezt a módszert javított Euler módszernek nevezzük. Nézzük meg, hogy mennyivel közelíti jobban a pontos megoldást! A javított Euler módszer lokális hibája Ψ n,1 = y(t n) y(t n 1 ) h f(t n 1 ), y(t n 1 + h 2 f(t n 1, y(t n 1 ))) = y + h 2 y + h2 6 y (f + h 2 (f t + f y f) + h2 8 (f tt + 2f ty f + f yy f 2 )) + O(h 3 ) Tehát a módszer 2. rendben konzisztens, így valóban sikerült növelni a pontosságot. Ennek alapján próbáljunk meg minél magasabb rend módszereket létrehozni. Ehhez vezessük be az alábbi jelöléseket. k 1 :=f(t n, y n ) k 2 :=f(t n + 0, 5h, y n + 0, 5h k 1 ) y n+1 =y n + hk 2 31

33 A javított Euler módszer példájára, általánosítsuk ezt jelölést m lépésre. k 1 = f(t n, y n ) k 2 = f(t n + a 2 h, y n + hb 21 k 1 ) k 3 = f(t n + a 3 h, y n + h(b 31 k 1 + b 32 k 2 )). k m = f(t n + a m h, y n + h(b m1 k b m,m 1 k m 1 )) y n+1 = y n + h(c 1 k 1 + c 2 k c m k m ) Ez az úgynevezett általános m lépéses (explicit) Runge-Kutta módszer, melyet 1900 körül dolgozotak ki Karl Runge és Martin Kutta német matematikusok. A javított Euler módszernél láthattuk, hogy a "javítással" sikerült növelni a módszer rendjét. Itt az a 2,..., a m ; b ik ; és c 1,..., c m tetsz leges paraméterek, illetve (b ik )-k által el állított B mátrixot a Runge-Kutta módszer mátixának, a k -kat a módusainak, c i -ket pedig a mátrix súlyainak nevezzük. (Éppen ezért m i=1 c i = 1.) A Runge-Kutta formula lényege, hogy minél magasabb rend módszereket tudjunk létrehozni. Az adott módszerhez kapott konstansokat egy úgynevezett Butcher-tábla foglalja össze. (Butcher tableau, John C. Butcher neve után) a 2 b a 3 b 31 b a 4 b 41 b 42 b a m b m1 b m2 b m3... b m,m 1 c 1 c 2 c 3... c m Az egyszer ség kedvéért vezessük be az alábbi jelöléseket: y n+1 = y n + h φ(x n, y n, h) (5.1) m φ(x, y, h) = = c i k i (5.2) k i = f(t n + a i h, y n + i=1 m b ij k j ) (5.3) Megjegyzés. Ahhoz, hogy p-ed rend RK módszert kapjunk a a 2,..., a m ; b ik ; és c 1,..., c m együtthatókat úgy kell megválasztani, hogy a módszer lokális hibája 32 i=1

34 p + 1 rend legyen. Azaz, egy p-ed rend a következ egyenl ségnek kell teljesülnie: d(t, y, h) = u(t + h) u(t) hφ(t, y, h) = O(h p+1 ) Ahol d(t, y, h) a lokális hibát, u(t) pedig az egyenlet pontos megoldását jelöli. Els lépésként fejtsük Taylor sorba d(t, y, h)-t, u(t + h) u(t)-t, és φ(t, y, h)-t h szerint h = 0 pontban.(ahhoz, hogy az egyenl ség teljesüljön, az kell, hogy a d lokális hiba Taylor-sorának els p tagja t njön el.) i d d(t, y, h) = h i hi (5.4) i=1 u(t + h) = u(t) + hu (t) + h 2 u (t) 2! h p z(p) (t) p! + O(h p+1 ) (5.5) φ(t, y, h) = φ(t, y, 0) + hφ (t, y, h) + h2 2! φ (t, y, h) +... (5.6) + hp 1 (p 1)! φp 1 (t, y, h) + O(h p ) (5.7) Ahhoz, hogy a módszer p-ed rend legyen az szükséges, hogy p i d i=1 = 0 h i feltétel teljesüljön. Második lépésként szorozzuk be mindkét oldalt h-val. d(t, y, h) = hu (t) + h 2 u (t) 2! h p z(p) (t) p! φh(t, y, 0) h 2 φ (t, y, h)... d(x, y, 0) = h(u (t) φ(t, y, 0)) + h 2 ( 1 2 u (t) + O(h p+1 ) hp (p 1)! φ(p 1) (t, y, h) O(h p ) φ (t, y, 0)) h p ( 1 p! z(p) φ (p 1) (t, y, 0) + O(h p+1 ) Így egy p egyenletb l álló egyenletrendszert kapunk, mely megoldható, ha a i = p j=1 b ij Az RK módszerek 0-stabilitása A Runge-Kutta formulát az 5.1 egyenletben, olyan alakra hoztuk, mely nagyon hasonlít az explicit Euler módszerhez. Ennek alapján, hasonló levezetéssel megkaphatjuk, hogy a Runge-Kutta módszer 0-stabil. Természetesen most is beszélhetünk explicit és implicit módszerekr l. Nézzünk most mindkét esetre néhány példát! 33

35 5.2. Az implicit Runge-Kutta módszerek Az implicit és explicit módszerek közti legszembet n bb különbség, a Butcher tábla, hiszen implicit esetben a B mátrix nem feltétlenül alsó háromszög mátrix. Éppen ezért az implicit formulákat sokszor nevezik általános RK módszereknek Az implicit formula el nyei és hátrányai Az implicit módszer nagy hátránya, hogy a (4.3) egyenletrendszer egy nemlineáris rendszer lesz k i -kre, amit minden egyes lépésben iterációval kell megoldani, így a m veletigénye igen nagy. El nyei közül a két legjelent sebbet említeném meg: stabilitás tulajdonságuk Tétel. Minden p 1 számhoz létezik pontosan egy 2p-ed rend implicit Runge-Kutta módszer Az explicit Runge-Kutta formulák Deníció. Egy Runge-Kutta módszer explicit, ha b ik = 0; i < k. Ekkor a k i -k explicit módon számolhatóak Az els rend Runge-Kutta formulák Az els rend RK módszert fel tudom írni a következ alakban: φ(x, y, h) = c 1 k 1 = f(t, y), illetve az el z ek alapján u(t + h) u(t) = hu (t) + O(h 2 ). Ezek alapján írjuk fel az els rend módszerek lokális hibáját. d(t, y, h) = u(t + h) u(t) hφ(t, y, h) = hf(t, y) hc 1 + f(t, y) + O(h 2 ) = h(1 c 1 )f(t, y) + O(h 2 ) Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy c 1 = 1 választással kapunk els rend módszert, és ezt visszahelyettesítve a y n+1 = y n +hf(t n, y n ) formulát, azaz az explicit Euler módszert kapjuk. Ez ez egyetlen els rend (explicit) RK módszer. 34

36 A megoldhatóság feltételei A a i = p j=1 b ij feltétel mellett, minden p-ed rend formulának vannak csak rá vonatkozó feltételei is. Az els rend módszer pontosan akkor oldható meg, ha teljesül a ce = 1 (5.8) feltétel, ahol e az (1... 1) T vektort jelenti, c pedig a Butcher tábla c i elemib l álló vektor A másodrend Runge-Kutta formulák A másodrend Runge-Kutta formulák pontosan akkor oldhatók meg, ha teljesül az 5.7 feltétel, és c a = 1 2 (5.9) egyenl ség is. (Az a j elemekb l álló vektort jelöltük a-val.) Hasonlóképpen mint az els rend nél φ(t, y, h) = c 1 k 1 + c 2 k 2 = c 1 f(t, y) + c 2 f(t + a 2 h, y n + hb 21 f(t, y)) Ha Taylor sorba fejtjük k 2 -t, és d(t, y, h)-t, akkor megkapjuk h 0, h 1, h 2 együtthatóit. (A Taylor sorfejtés ebben az esetben igen hosszadalmas, ezért csak a megoldásokat írom le). b 1 = 0 1 c 1 c 2 f = 0 ( 1 2 c 2a 2 ) t f + ( 1 2 c 2b 21 ) y f = 0 Így a másodrend RK módszerre a következ együtthatókat kapjuk. a 1 = 0 a 2 = b 21 a 2 = 1 2c 2 c 1 + c 2 = 1 Látható, hogy az egyenletünk határozatlan, c 1, c 2 szabad paraméterek, így igen sok másodrend formula létrehozható. 35

37 Példák másodrend formulákra Harmadrend RK formulák A harmadrend RK formulák megoldhatóságának feltételei, az 5.7 és az 5.8 feltételek, tehát minden, ami az alacsonyabb rend formuláknál kellett és teljesülnie kell az ca 2 = 1 3 cba = 1 6 (5.10) (5.11) egyenleteknek is, ahol B a Butcher tábla b ij elemeib l álló mátrixa. Példák harmadrend formulákra: A klasszikus negyed rend Runge-Kutta formula A megoldhatóság feltételei természetesen az összes eddigi feltétel és az alábbiak együttes teljesülése: ca 3 = 1 4 cba 2 = 1 24 cabc = 1 8 (5.12) (5.13) (5.14) 36

38 A-val az a i értékekb l álló mxm-es diagonális mátrixot jelöltem. k 1 = f(t n, y n ) k 2 = f(t n + h 2, y n + h 2 k 1) k 3 = f(t n + h 2, y n + h 2 k 2) k 4 = f(t n + h, y n + hk 3 ) y n+1 = y n + h 6 [k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ] Ha jobban megnézzük ezt a módszert, akkor láthatjuk, hogy az y(t n ) y(t n 1 ) közelít integrál a Simpson formulával felírva közel hasonló eredményt ad: y(t n ) y(t n 1 ) h 6 (y (t n 1 ) + 4y (t (n 1)/2 ) + y (t n )) Ha összevetjük az els -, a másod-, a harmad-, és a negyed rend formulákat, akkor azt a hasonlóságot fedezhetjük fel, hogy p = 1, 2, 3, 4 rend formuláknál a módszerek lépésszáma is rendre m = 1, 2, 3, 4. Valójában a lépések számából nem következik a módszer rendje, amit már m = 5 lépés esetén is láthatunk. lépések száma módszer rendje Az explicit Runge-Kutta módszer abszolút stabilitási tartománya A Runge-Kutta módszerek családja széleskörben elterjedt közelítési eljárás, annak ellenére, hogy ezeknek a módszereknek is vannak stabilitási problémáik. Abszolút stabilitási tartományuk korlátos, így sajnos nem A-stabilak. 37

39 RK módszerek összehasonlítása Nézzük meg az alábbi példán keresztül, hogy milyen pontossággal közelít egy els -, egy másod-, illetve egy negyed rend Runge-Kutta formula: y (t) = 5t(y(t)) 2 + 5/t 1/(t 2 ), y(1) = ábra. Els rend RK formula 5.2. ábra. Másodrend RK formula 38

40 5.3. ábra. Negyedrend RK formula Els rend RK Másodrend RK Negyedrend RK maximális hiba 0, , ,

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt! NÉV: NEPTUN KÓD: Pénzügyi matematika Vizsgadolgozat I. RÉSZ Az ebben a részben feltett 4 kérdés közül legalább 3-ra kell hibátlan választ adni ahhoz, hogy a vizsga sikeres lehessen. Kett vagy kevesebb

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010 Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Dinamikai rendszerek, populációdinamika

Dinamikai rendszerek, populációdinamika Dinamikai rendszerek, populációdinamika Számítógépes szimulációk 1n4i11/1 Csabai István ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék 5.102 Email: csabaiθcomplex.elte.hu 2009 tavasz Dierenciálegyenletek a zikán

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN KOVÁCS ZOLTÁN 1. Bevezetés A természeti jelenségeket sokszor differenciálegyenletekkel lehet leírni: a vizsgált mennyiség például

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14 Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális

Részletesebben

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5. Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Numerikus módszerek. 9. előadás

Numerikus módszerek. 9. előadás Numerikus módszerek 9. előadás Differenciálegyenletek integrálási módszerei x k dx k dt = f x,t; k k ' k, k '=1,2,... M FELADAT: meghatározni x k t n x k, n egyenletes időlépés??? t n =t 0 n JELÖLÉS: f

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben