Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest 2010

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 2 2. Dierenciálegyenletek A dierenciálegyenletek típusai A közönséges dierenciálegyenletek általános alakja A KDE típusai A dierenciálegyenletek stabilitása Stabilitási alapfogalmak Példa Dierenciálegyenletek a gyakorlatban Példa Példa A dierenciálegyenletek megoldhatósága A megoldandó probléma: Numerikus módszerek A numerikus módszerek "jósága" A numerikus módszerek hibája Numerikus módszerek konvergenciája A konvergencia rendje Numerikus módszerek 0-stabilitása Numerikus módszerek konzisztenciája A legegyszer bb megoldások Az explicit Euler módszer

3 Példa A hibaegyenlet Az explicit Euler módszer konzisztenciája Az Euler módszer lokális hibája Az Euler módszer 0-stabilitása A "jó" lépésköz megválasztása A teszt egyenlet Abszolút stabilitás A-stabilitás Az explicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A módszer hiányosságai Az implicit Euler módszer Az implicit Euler módszer konzisztenciája Az implicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya Merev dierenciálegyenletek Példa Az implicit Euler módszer el nyei és hátrányai Szimmetrikus/ trapéz módszer A szimmetrikus módszer konzisztenciája A trapéz módszer abszolút stabilitási tartománya Runge-Kutta típusú módszerek A kvadratúra formulák A javított Euler módszer lokális hibája Az RK módszerek 0-stabilitása Az implicit Runge-Kutta módszerek Az implicit formula el nyei és hátrányai Az explicit Runge-Kutta formulák Az els rend Runge-Kutta formulák A megoldhatóság feltételei A másodrend Runge-Kutta formulák Példák másodrend formulákra Harmadrend RK formulák A klasszikus negyed rend Runge-Kutta formula

4 Az explicit Runge-Kutta módszer abszolút stabilitási tartománya RK módszerek összehasonlítása Összefoglalás 38 3

5 1. fejezet Bevezet "Bár napjaink matematika könyveiben szinte hemzsegnek az absztrakt szimbólumok, ez azonban éppúgy nem jelenti a matematika lényegét, mint ahogy a zene valódi mibenléte sem a hangjegyek jelölésrendszerében keresend." Keith Devlin A témaválasztásban számomra fontos szerepe volt annak, hogy a matematika olyan területével foglalkozzak, mely közvetlen kapcsolatban áll a gyakorlati problémák megoldásával. A dierenciálegyenletek a tudomány szinte minden területén jelen vannak, ezért a megoldhatóságuk nagyon fontos szerepet tölt be mindennapjainkban. Ám a legtöbb esetben ezeket nem olyan egyszer kiszámítani. Ahogy az idézetben is szerepel, a matematika lényege az ehhez hasonló problémák megoldása, ennek ellenére a következ néhány oldal sem fog sz kölködni "absztrakt szimbólumokban". 4

6 2. fejezet Dierenciálegyenletek 2.1. A dierenciálegyenletek típusai Egy dierenciálegyenlet egy függvény és annak dierenciáltja közötti kapcsolatot mutatja meg. Ezek az összefüggések sok esetben a tudomány egyéb területein felmerül problémák matematikai modelljei. Ezek a modellek a gyakorlatban igen hasznosak, ám elég összetettek is ahhoz, hogy a megoldásuk egzakt legyen. Legyen szó zikai, biológiai, vagy közgazdaságtani problémáról, biztosan függenek az id t l, vagy esteleg egy másik változó paramétert l, tehát a dierenciálegyenletek olyan folyamatokat írnak le, melyek nem diszkrét lépésekben zajlanak. A dierenciálegyenleteknek két f típusa van, nevezetesen 1. Közönséges dierenciálegyenletek 2. Parciális dierenciálegyenletek A f különbség e két típus között az, hogy a közönséges dierenciálegyenletekben (KDE) az ismeretlen egyváltozós, a parciális dierenciálegyenletknél pedig többváltozós ismeretlent keresünk. A továbbiakban a közönséges dierenciálegyenletekkel fogunk foglalkozni A közönséges dierenciálegyenletek általános alakja Nézzük meg el ször az els rend explicit KDE általános alakját. 5

7 Megjegyzés. A dierenciálegyenlet rendje a legmagasabb derivált rendje. x (t) = f(t, x(t)) ahol f : R R n adott függvény, és az ismeretlenünk pedig x : R R n Deníció. Legyen F : R n+2 R függvény. Az n-ed rend közönséges dierenciálegyenlet általános alakja: F (t, x(t), x (t)... x (n) (t)) = 0 Legyen f : R n+1 R adott. Az n-ed rend explicit közönsége dierenciálegyenlet általános alakja x (n) (t) = f(t, x(t), x (t)... x (n 1) (t)) A KDE típusai A közönséges dierenciálegyenleteket két nagy csoportra oszthatjuk: lineáris és nemlineáris. Ez a megoldhatóság szempontjából igen fontos, hiszen a nemlineáris egyenletek pontos megoldására nincs bevett módszer, és a közelít megoldások kiszámítása is komplikáltabb. A lineáris dierenciálegyenletek újabb két nagy csoportra oszthatók. Legyen a lineáris els rend KDE általalános alakja: y (t) = A(t)y(t) + b(t) Két esetet küönböztetünk meg: 1. ha A(t) nem függ t-t l, azaz konstans, így az egyenlet állandó együtthatós 2. ha A(t) függ t-t l, azaz az egyenlet változó együtthatós Az els esetben létezik egzakt megoldási módszer, de legtöbbször csak nagy nehézségek árán tudjuk meghatározni a pontos megoldást. A második esetre nincs olyan bevett módszer, mellyel kiszámíthatnánk a pontos értékeket Megjegyzés. A dierenciálegyenlet típusa, és megoldhatóságának nehézsége, nyílván a közelít megoldások pontosságát is befolyásolja. 6

8 2.3. A dierenciálegyenletek stabilitása Stabilitási alapfogalmak A stabilitáselméleti alapfogalmak szemléltetésére tekintsük meg el ször az alábbi egyszer zikai példát. Képzeljünk el egy golyót az alábi 3 egyensúlyi helyzetben: 1. egy gödör alján 2. egy domb tetején 3. egy vízszintes sík felületen Mindhárom helyzetben egyensúlyban van a golyó (ha nem mozdítjuk meg, helyben marad), azonban ha kicsit elmozdítjuk, majd elengedjük, akkor mindhárom esetben más történik. Az els esetben a golyó visszagurul a gödör aljára. Ezt az egyensúlyi helyzetet nevezzük asszimptotikusan stabilisnak. A második esetben a golyó legurul a domboldalon, egyre jobban eltávolodik az eredeti helyzetét l. Ezt az egyensúlyi helyzetet nevezzük instabilisnak. A harmadik esetben a golyó ott marad az elmozdítás helyén, azaz nem tér vissza az eredeti helyzetébe, de nem is távolodik el onnan. Ezt az egyensúlyi helyzetet nevezzük stabilisnak. Nézzük meg egy példa segítségével, hogy mit is jelentenek ezek a fogalmak a dierenciáálegyenletek megoldásainak körében. 7

9 Példa Legyen y (t) = λy, dierenciálegyenlet, y(0) = y 0 kezdetiérték feltétetellel. Ha ezt az egyenltet integráljuk, akkor az y(t) = e λt y 0 egyenletet kapjuk megoldásként. Nézzük meg milyen egyensúlyi állapotok állnak fenn λ < 0, λ > 0, illetve λ = 0 esetekben. 1. λ < 0 esetben, ha t +, akkor a megoldás határétéke 0, így minden megoldás a 0 egyensúlyi ponthoz közeledik. Ez egy asszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzet. 2. λ > 0 esetben, ha t +, akkor a megoldás határértéke ±, azaz minden 0-tól különböz kezdetiérték feltételnek eleget tev megoldás távolodik 0 egyensúlyi ponttól. Ebben az estben az 0 egyensúlyi pont instabilis. 3. λ = 0 esetben a megoldások konstans függvények, azaz nem is közelednek és nem is távolodnak a 0 egyensúlyi ponttól, azaz a megoldás stabilis Dierenciálegyenletek a gyakorlatban A dierenciálegyenletek általában akkor jutnak szerephez, amikor olyan folyamatot próbálunk modellezni, mely nem diszkrét lépésekben zajlik (mint mondjuk egy sakkjátszma), hanem az id ben folyamatosan változnak az állapotjelz k értékei. Ilyen esetekben vagy meggyelések utalnak egy mennyiség és megváltozásának kapcsolatára, vagy feltételeznek egy elméleti relációt a jellemz k között. Például a természetben populációk növekedésének üteme általában függ magától a populáció nagyságától. Nézzünk egy ilyen példat a gyakorlatban Példa 1 Legyen x(t) a populáció mérete t id pontban. Most azt fogjuk megvizsgálni, hogy egy adott id intervallumban, milyen mértékkel n a populáció mérete: x(t + h) x(t) h x(t) a 8

10 Ebben a modellben nem számolunk a halálozással, csupán a szület utódok számát vesszük gyelembe. Az eltelt id t h-val jelöljük, a-val pedig annak a változásnak a mértékét (arányát), mely a növekv populáció következtében a szület utódok számának növekedését mutatja. A fenti egyenletet átrendezve az alábbi dierenciálegyenletet kapjuk x(t + h) x(t) = a x(t) h lim h 0 x (t) = a x(t) Tehát, ha ezt az egyenletet kiintegráljuk, akkor az alábbi megoldáshoz jutunk: x(t) = e at x 0 Ez az egyenlet azonban csak akkor ad reális eredményt, ha kis id intervallumokat vizsgálunk Ha hosszú távon szeretnénk populációs modelleket vizsgálni, akkor sajnos ennél egy jóval bonyulultabb egyenletre lesz szükségünk. Például, olyan a-t választunk arányossági tényez nek, mely függ x(t)-t l is. Például a = r (K x(t)), ahol r ismét egy arányossági tényez, K pedig az eltartó képesség, azaz, hogy egy adott terület egy adott populációnak hány tagját képes "eltartani". Sajnos az ilyen típusú egyenletek már jóval nagyobb m veletigénnyel bírnak, mint azt az el z egyszer példában láthattuk Példa 2 Ugyancsak a populáció növekedését leíró folyamat, az úgynevezett "róka-nyúl" modell, ahol már nem csak egy populáció nagyságánának a változását vizsgáljuk, hanem azt, hogy ha egy területen két különböz faj él, akkor hogyan alakul a populációk mérete. Jelöljük a rókák számát a t id pntban y(t)-vel, a nyulakét x(t)-vel, a, b, c, d számok pedig pozitív konstansok. x (t) = a x(t) b x(t)y(t) y (t) = c x(t)y(t) d y(t) Azaz minden egyes találkozási pontnál, a nyulak száma csökken, illetve a rókák száma "n ", azaz az egyed fejl dik a tápláléktól. Természetesen itt is gyelembe vehetünk még több paramétert, például, hogy a populációk növekedése milyen tényez kt l függ stb., amik tovább nehezítik az egyenlet megoldhatóságát. 9

11 2.5. A dierenciálegyenletek megoldhatósága Deníció. Kezdetiérték feltétel fogalma: Legyen y (t) = f(t, y(t)) egy dierenciálegyenlet. Legyen t 0 R, p 0 R n. Egy y megoldás teljesíti az y(t 0 ) = p 0 kezdeti feltételt, ha átmegy a (t 0, p 0 ) ponton Tétel. Egy kezdetiérték feladatnak létezik egyértelm megoldása, ha az f : R n+1 R n folytonos függvény a 2, 3,... n + 1 -edik változójában Lipschitz folytonos. Tehát a tételb l biztosan tudjuk, hogy az adott egyenlet megoldható, ám a differenciálegyenleteket kielégít megoldásfüggvények csak a legegyszer bb esetekben fejezhet k ki zárt alakban. Sok esetben szükségtelen is kiszámolni a konkrét megoldásokat, sokkal többet tudhatunk meg a folyamatokról, ha a megoldások kapcsolatait vizsgáljuk. Más esetben szükséges kiszámítani a megoldás konkrét értékeit. Mindkét feladatra számítógépes módszereket használnak, az els inkább kvalitatív, míg a második kvantitatív eredményt szolgáltat. A dierenciálegyenletek megoldási módszereit három nagy csoportba sorolhatjuk, és ebb l a három csoportból mindössze csak egy tartalmazza a pontos megoldások kiszámítását. 1. Analitikus megoldási módszerek Ezek a megoldási módszerek a dierenciálegyenlet pontos megoldásának kiszámítására alkalmasak. A probléma csak az, hogy a dierenciálegyenlteknek csupán egy kis szeletét adják azok a típusok, melyeknek ismerjük a megoldási módszerét, s t, ha ismerünk is ilyen módszert, a megoldás kiszámítása sok esetben igen költséges. Így más eszközöket kell keresnünk a megoldás kiszámításához, illetve közelítéséhez. 2. Kvázianalitikus módszerek Ebbe a kategóriába a Banach xponttételen alapuló iterációs megoldási módszerek tartoznak, ahol y (t) = f(t, y(t)) y(t 0 ) = y 0 10

12 kezdetiérték problémát a következ integrálegyenletté írjuk át: y(t) = y(t 0 ) + t t y (s)ds = y 0 + f(s, y(s))ds t 0 t 0 Ekkor a következ közelít módszerrel készítünk egy iterációs eljárást, azaz egy y 1, y 2... sorozatot, ahol az n + 1-edik tag a következ képpen néz ki: y n+1 (t) = y 0 (t) + t t 0 f(s, y n (s))ds Csakhogy a xpont közelít eljárást minden lépésben közelít integrálással kell kombinálni, ezért a megoldásunk végül nem egy intervallumon értelmezett függvény lesz, hanem ennek egy diszkretizált alakja. 3. Numerikus módszerek A numerikus módszerek már elég nagy csoportot ölelnek fel. Ezekr l részletesen olvashatunk a következ fejezetekben A megoldandó probléma: Legyen f : R n+1 R n, olyan folytonos függvény, mely a 2, 3,... n + 1 -edik változójában Lipschitz folytonos. Továbbá legyen u 0 R n vektor adott. Keressük meg azt az u : I R n dierenciálható függvényt, amelyre igaz, hogy u (t) = f(t, u(t)) (2.1) u(0) = u 0 (2.2) kezdeiérték feltétel mellett. 11

13 3. fejezet Numerikus módszerek A numerikus megoldási módszereknek két f bb osztálya van: az egy- és a többlépéses módszerek. Az alapvet különbség az, hogy az egylépéses módszerek csupán egy "lépcs t" használnak fel a már meglév n 1 darabból, azaz y n kiszámításához mindössze az y n 1 közelítést veszi segítségül. Ezzel szemben a többlépéses módszerek az n-edik közelítéshez legalább 2, és legfeljebb n 1 lépcs t használnak. Az alábbi fejezetekben az egylépéses numerikus módszerek struktúráját, el nyeit és hátrányait fogom bemutatni. Egy adott módszer attól lesz diszkrét, hogy a közelít megoldásokat véges sok pontban keressük. A numerikus módszerek esetében, egy adott [0, b] intervallum t 0 <... < t N ekvidisztáns felosztását tekintjük. Nézzük meg részletesen, hogyan is épül fel egy numerikus módszer. Legyen u (t) = f(t, u(t)) u(0) = u 0 kezdeiérték feltétellel. Koordinántánként felírva u i(t) = f i (t, u 1 (t),... u n (t)) u i (0) = u i0 Keressük az u(t) = [u 1 (t), u 2 (t)... u n (t)] vekort. Tegyük most fel, hogy n = 1, azaz u (t) = f(t, u(t)) f : R 2 R, és keressük az u(t) : I R függvényt. Deniáljunk egy rácshálófüggvényt! Legyen egy tetsz leges h > 0 esetén ω h := {t n = nh n = 0, 1... N}. 12

14 Ez lesz az úgy nevezett h lépésköz rácsháló. Deniáljunk az ω h rácshálón egy y h rácshálófüggvényt, és vezessük be a következ jelölést: y h (t n ) = y n, azaz, y n jelöli azt az értéket, ha a rácshálófüggvényünkbe behelyettesítjük a t n értéket. A cél az, hogy ezt az y n függvényt úgy válasszuk meg, hogy minél közelebb legyen u(t n )-hez, t n ω h -ra. Ez lesz a numerikus módszerek alapja A numerikus módszerek "jósága" A numerikus módszerek pontossága sok paramétert l függ. Az alábbiakban ezeket a tényez ket fogjuk vizsgálni A numerikus módszerek hibája Legyen u(t) az (2.1)(2.2) feladat pontos megoldása, t i pontban u(t i ), a továbbiakban jelöljük u i -vel. Hasonlóképpen, legyen y i a t i pontbeli közelít megoldása az (2.1)(2.2) feladatnak. A két érték közti eltérést, tehát a közelítés hibáját pedig nevezzük d i -nek. d i := y i u i, feltéve, hogy y i 1 = u i 1. Ezt nevezzük lokális vagy más néven diszkretizációs hibának. A lokális hiba, ahogy azt a neve is jelzi, azt mutatja meg, hogy egy lépés alatt mekkora hiba keletkezik. A globális hibát pedig deniáljuk úgy, hogy e i = y i u i, i = 1, 2...n, tehát itt már nem csak egy lépés alatt keletkez hibát, hanem n lépés alatt keletkez t vizsgálunk Numerikus módszerek konvergenciája Azt mondjuk, hogy egy numerikus módszer által el állított y h (t) rácsháló függvény sorozat, nomodó h lépésközök esetén konvergál az y(t) (2.1)(2.2) feladat megoldásához, a t I pontban, ha: t ω h, h-ra lim h 0 y h (t n ) y(t ) = 0, (t n = n h) 13

15 Általában a numerikus módszert konvergensnek nevezzük, ha konvergens minden t I pontban A konvergencia rendje y h (t n ) y(t ) = O(h p ), a konvergencia rendjének nevezzük, ezek szerint a numerikus módszer p-ed rendben konvergens Megjegyzés. A módszer akkor konvergens, ha lim h 0 e i = Megjegyzés. Egy numerikus módszer csak akkor "jó", ha a módszer konvergens. A konvegenciát két egyszer bben ellen rizhet tulajdonsággal lehet garantálni, ezek a 0-stabilitás és a konzisztencia Numerikus módszerek 0-stabilitása Egy numerikus módszer 0-stabil, ha K > 0, melyre e i K( e 0 + n j=1 d j ), i : 1 i N Numerikus módszerek konzisztenciája Azt mondjuk, hogy egy numerikus módszer p-ed rendben konzisztens, ha c > 0 konstans, melyre d i c h p Tétel. Ha egy numerikus módszer p-ed rendben konzisztens és 0-stabil, akkor p-ed rendben konvergens. A konvergencia általában nehezen megállapítható, hiszen kiszámításához szükséges tudni a globális hibát, és a globális hiba kiszámításához tudni kell a pontos megoldást. A megoldások nyílván nem állnak a rendelkezésünkre, hiszen akkor nem lenne szükség közelít megoldások kiszámítására. Mivel a konvergenciának kulcsfontosságú szerepe van, hiszen csak akkor "jó" egy adott numerikus módszer, ha az konvergens is, ezért valamilyen módon muszáj információt kapnunk a konvergenciáról. Egy adott módszer 0-stabilitásáról és konzisztenciájáról mindig van információnk, és e két adatból már dönthetünk a konvergenciáról is. 14

16 4. fejezet A legegyszer bb megoldások 4.1. Az explicit Euler módszer Ennek a módszernek az alapötlete igen egyszer. Nevezetesen: egy érint segítségével közelítjük a megoldást a következ képpen: Húzzuk be az y(0) = y 0 kezdetiérték érint jét, majd kössük össze egy tetsz leges t 1 ponttal, így megkapjuk az (x 1, y 1 ) pontot. Ezek után, ugyanezzel az eljárással, kapjuk meg (t 2, y 2 ),..., (t n, y n ) közelít pontokat. Azaz ha ezt felírjuk általánosan, akkor az ábrán látható Φ szög tangensét a következ képpen kaphatjuk meg: 15

17 4.1. ábra. Az explicit Euler módszer azaz tg(φ) = y i+1 y i t i+1 t i f(t i, y i ) = y i+1 y i t i+1 t i y i+1 = y i + f(t i, y i )(t i+1 t i ) ahol (t i+1 t i ) = h lépésközzel. Egy másik megközelítséb l: Legyen a [0, b] interval- 16

18 lum felosztása a következ : 0 = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b Legyen h i = t i t i 1 az i-edik lépésköz. Az egyenlet t n id pontbeli pontos megoldását jelöljük u(t n )-nel, és a t n id pontbeli közelít megoldását pedig y n -nel. A kezdeti érték problémánál, mindig tudjuk, hogy milyen értéket vesz fel a megoldás a t 0 id pontban. Ebben az esetben tegyük fel, hogy ismerjük a t n 1 id pontbeli y n 1 közelítést, és ebb l határozzuk meg a t n -beli y n közelítést. y n+1 y n h = f(t n, y n ) y(0) = y 0 átrendezve, tehát: y n+1 = y n + h f(t n, y n ). Ezt nevezzük explicit euler módszernek Példa Legyen y (t) = 3e t 0, 4y(t) y(0) = 5 y(3) =? h = 3 Helyettesítsünk be az Explicit Euler módszer egyenletébe: y 1 = 5 + f(0, 5) 3 y 1 = 5 + (3e 0 0, 4 5) 3 y 1 = 5 + (3 2) 3 = 8 Azonban az egyenlet pontos megoldása ebben az esetben 2,763, azaz a numerikus módszer lokiális hibája 5,237, ami igen nagy mérték hibát jelent. Próbáljuk meg a lépésköz csökkentésével, és a lépésszámok növelésével pontosítani a közelít megoldást. Legyen h = 1, 5 és közelítsük a megoldást két lépésben, el ször y(0) y(1, 5), majd y(1, 5) y(3)! 1.lépés x 0 = 0; y 0 = 5; h = 1, 5 17

19 y 1 = 5 + f(0, 5) 1, 5 y 1 = 5 + (3e 0 0, 4 5) 1, 5 y 1 = , 5 = 6, 5 = y(1, 5) 2. lépés x 1 = 1, 5; y 1 = 6, 5; h = 1, 5 y 2 = 6, 5 + f(1, 5; 6, 5) 1, 5 y 2 = 6, 5 + (3e 1,5 0, 4 6, 5) 1, 5 y 2 = 6, 5 + ( 1, 93061) 1, 5 = 3, 604 = y(3) Itt a pontos megoldástól való eltérés már mindössze 0,841, és ez az eredmény még tovább csökkenthet, a lépésköz csökkentésével, illetve a lépésszámok növelésével A hibaegyenlet Mivel y n a pontos megoldás közelítése, ezért felírhatjuk y n = u n + z n alakban, azaz pontos megoldás + hiba alakban. Helyettesítsük be ezt a formulát az explicit Euler módszer egyenletébe: u n+1 u n h z n+1 z n h u n+1 u n h + z n+1 z n h f(t n, u n + z n ) = 0 f(t n, u n ) + f(t n, u n ) f(t n, u n + z n ) + z n+1 z n h = u n+1 u n h = 0 + f(t n, u n ) f(t n, u n ) + f(t n, u n + z n ) Ez az úgynevezett hiba egyenlet, ami felírható Ψ n,1 + Ψ n,2 = 0 alakban, ahol Ψ n,1 = u n+1 u n h + f(t n, u n ), a lokális approximációs, vagy más néven reziduális hiba. Tehát, ha Ψ n,1 -be a pontos megoldást helyettesítjük be, akkor nyílvánvalóan 0- t kapunk. Így a lokális approximációs hiba azt fejezi ki, hogy az adott numerikus módszer milyen pontosan közelíti a folytonos (2.1)(2.2) feladatot. Ezek alapján pontosítsuk a konzisztencia denícióját: Deníció. Egy numerikus módszer konzisztens, azaz approximálja a folytonos feladatot, ha lim h 0 Ψ n,1 = 0 Nézzük meg, mit kapunk, ha Taylor sorba fejtjük az u(t n )-et. 18

20 Az explicit Euler módszer konzisztenciája Ψ n,1 = u n+1 u n h + f(t n, u n ) = Tudjuk, hogy a lépésköz hossza h, ezért t n+1 felírható t n + h alakban. u(t n ) u(t n ) + hu (t n ) h2 u (t n ) + O(h 3 ) h 1 2 hu (t n ) + O(h 2 ) + u (t n ) = A konzisztencia rendjére vonatkozó tétel alapján az explicit Euler módszer konzisztens és rendje Az Euler módszer lokális hibája Az i-edik lépésben elkövetett lokális hibát jelöljük d i -vel,amit nyílván a pontos és a közelít megoldás különbségeként fogunk meghatározni. d i = y i u i Fejtsük Taylor sorba u(t i 1 + h)-t! y i 1 = h f(t i 1, y i 1 ) u(t i ) u(t i 1 ) = h f(t i 1, u(t i 1 )) u(t i ) u(t i 1 ) = h f(t i 1, u(t i 1 )) u(t i 1 + h) u(t i 1 + h) = u(t i 1 ) + h u (t i 1 ) + h2 2 u (t i 1 ) O(h 3 ) Ezt behelyettesítve megkapjuk a módszer lokális hibáját: h 2 2 u (t i 1 ) + o(h 3 ) = h2 2 u (t i 1 ) + O(h 3 ) Azaz a lokális hiba másodrend, ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy a választott lépésköz zsugorításakor annak második hatványával zsugorodik a hibára adott fels becslés. 19

21 Az Euler módszer 0-stabilitása Ha e i (globális hiba) abszolút értékéhez létezik olyan K konstans, hogy a globális hiba abszolút értéke kisebb legyen, mint K( e 0 + n j=1 d j ), akkor a módszer 0- stabil. e i+1 = e i + h(f(t i, y(t i )) f(t i, y i )) + d j+1 e i+1 = e i + hα e i + d j+1 = = (1 + hα) e i + d j+1 (1 + hα)( e i 1 + hα e i 1 + d j ) + d j+1 e i+1 (1 + hα) e i + d i+1 (1 + hα) 2 e i 1 + (1 + hα)d j + d j+1... (1 + hα) i+1 e 0 + (1 + hα) i j d j+1 (1 + hα) k e hαk e tkα e αb i i+1 e αb e 0 + e αb d j+1 = e αb ( e 0 + d j ) j=0 j=1 Azaz K := e αb választással a módszer 0-stabil Megjegyzés. t k -val a k-adik osztópontot jelöltem A "jó" lépésköz megválasztása A lépésköz kiválasztása nagy szerepet tölt be a numerikus módszer pontosságában. Az adott egyenlet és a választott numerikus módszer azonban korlátozza a lépéshosszt illet választási lehet ségek számát. Így nemcsak megfelel lépésközr l, hanem megfelel numerikus módszerr l is beszélnünk kell, hiszen a módszert úgy kell megválasztanunk, hogy h lépésközre vonatkozó korlátozások száma és mértéke minimális legyen. Ezek a korlátok általában szoros összefüggésben állnak a numerikus módszer stabilitásával. 20

22 A teszt egyenlet Tekintsük azt az esetet, mikor az egyenlet y = Ay alakú, ahol A R nxn mátrix. Ha A diagonizálható, akkor ezt az egyenletet felírhatjuk az alábbi módon: w = Dw ahol D egy diagonális mátrix. Ha mindezt koordinátákra bontjuk, akkor a következ n ismeretlenes egyenletrendszert kapjuk: w 1 = d 1 w 1 w 2 = d 2 w 2. w n = d n w n Itt természetesen d i i-re a D diagonális mátrix sajátértékei. Ezt az egyenletrendszert reprezentáljuk a y = λy teszt egyenlettel, ugyanis csak akkor lesz az eredeti egyenlet stabil, ha az egyenletrendszer d i sajátértékére stabil a teszt egyenlet Abszolút stabilitás Ha tudjuk, hogy y(0) = c, ahol c > 0 konstans, akkor a teszt egyenlet pontos megoldása y(t n ) = ce λtn lenne. Ezek alapján három esetet különböztethetünk meg: ha Re(λ) > 0, akkor y(t) = ce Re(λ)t exponenciálisan növekszik t szerint. Ez egy instabilis helyzet. ha Re(λ) = 0, akkor a megoldás oszcillál. ha Re(λ) < 0, akkor y(t) exponenciálisan csökken, így a megoldások egyre közelednek egymáshoz. Ez egy asszimptotikusan stabil helyzet A-stabilitás Vizsgáljuk tovább a tesztegyenletet a harmadik esteben: y(t) = λy(t), ahol λ C megoldása 0-hoz tart t határesetben, (Re(λ) < 0). 21

23 Deníció. Egy numerikus módszer A-stabil, ha a teszt egyenletre alkalmazva rendelkezik a fenti tulajdonsággal, lépéshossztól függetlenül. Másképpen megfogalmazva: Legyen y(1) = 1 a kezdeti feltétel. Ha a tesztegyenletb l kapott y 1, y 2,... sorozatra lim n y n = 0, h-ra, akkor a módszer A-stabil. Ez egy nagyon er s feltétel. Az ilyen módszerek a gyakorlatban nem mutatnak stabilitási problémakat Az explicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A leírtak alapján már tudjuk, hogy egy módszernél fontos tulajdonság az A- stabilitás. Vizsgáljuk meg az explicit Euler módszert ebb l a szempontból. y n+1 = y n + h f(t n, y n ), y n+1 = y n + h λy n = (f(t, y) = λy) y n+1 = (1 + hλ)y n = (1 + hλ) 2 y n 1 =... = (1 + hλ) n y 0 Tehát, most azt kell megvizsgálnuk, hogy y n sorozat 0-hoz tart-e? y n+1 = (1 + hλ) n y 0 0 n Az alábbi állítás akkor igaz, ha 1 + hλ < 1, ez például valós λ-ra is megkötés: h < 2. Tehát az explicit Euler módszer nem A-stabil. λ 22

24 4.2. ábra. Az explicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A módszer hiányosságai A módszer nagy el nye, hogy nagyon egyszer, illetve a m veletigénye alacsony. Ám sajnos az explicit Euler módszer nyílván nem a "legjobb" közelít megoldást adja hiszen csak els rend vannak stabilitási problémái, azaz, nem A-stabil 4.2. Az implicit Euler módszer Nézzünk most az (2.1)(2.2) feladtra egy másik közelítési módszert. Írjuk fel u(t n )- et a következ alakban: u(t n ) = u(t n+1 h) alakban, és fejtsük Taylor sorba: u(t n+1 h) = u(t n+1 ) hu (t n+1 ) + O(h 2 ) azaz, u(t t+1 ) u ( t n ) h y n+1 y n h = u (t n+1 ) + O(h 2 ) = f(t n+1, u(t n+1 )) = f(t n+1, y n+1 ) y(0) = y 0 23

25 Az egyenletet rendezzük y n+1 -re, így megkapjuk az implicit Euler módszer általános alakját: y n+1 = y n hf(t n+1, y n+1 ) Nézzük meg, mit kapunk n = 0 behelyettesítésével: y 1 y 0 h = f(h, y 1 ) Így láthatjuk, hogy y n kiszámításához, egy általános nemlineáris algebrai egyenlet megoldása szükséges, melyre több módszert is ismerünk (például Newton iteráció). Ez a módszer ugyan költségesebb, mint a fent említett explicit Euler módszer, azonban sok szempontból praktikusabb annál Az implicit Euler módszer konzisztenciája Helyettesítsünk be a lokális approximációs hiba képletébe, majd fejtsük Taylor sorba u(t n+1 h)-t! Ψ n,1 = u(t n+1) u(t n+1 h) + u (t n+1 ) h = u(t n+1) (u(t n+1 ) hu (t n+1 )) + O(h 2 ) h = O(h) + u (t n+1 ) Az implicit Euler módszer is 1. rendben konzisztens, tehát nem sikerült az explicit formulánál pontosabb közelítést létrehozni, legalábbis a konzisztencia szempontjából. Nézzük meg mi a helyzet a stabilitási tartományával Az implicit Euler módszer abszolút stabilitási tartománya A teszt egyenletb l megkapjuk, hogy y (t) = f(t, y(t)) = λy(t) Helyettesítsük be ezt az implicit Euler módszer n + 1-edik egyenletébe: y n+1 = y n + hλy n+1 y n+1 (1 + hλ) = y n 1 y n+1 = 1 hλ y n 24

26 Legyen z := hλ, így feltételként az 1 1 z < 1 egyenletet kapjuk. Ebb l már látható az implicit Euler módszer stabilitási tartománya: ha 1 < 1 z, azaz ha h > 0. Tehát az implicit Euler módszer A-stabil. Nézzük meg egy gyakorlati példán keresztül, hogy miért fontos szempont az A-stabilitás ábra. Az implicit Euler módszer stabilitási tartományát a satírozott területen kívüli rész jelöli Merev dierenciálegyenletek A merev dierenciálegyenletek és ezek megoldási módszerei egy elég nagy témát ölelnek fel ráadásul nincs általánosan elfogadott egzakt deníció, ezért csak néhány példával érzékeltetném, hogy mely esetekben beszélünk merev derenciálegyenletelr l: y = Ky + f(t), ahol y R m, K R mxm és "nagy" abszolútérték negatív sajátértéke, vagy y = f(t, y) és f Jacobi mátrixának létezik "nagy" abszolútérték negatív sajátértéke. Az ilyen típusú egyenleteknél nagy szerepet játszik, hogy a használni kívánt numerikus módszer A-stabil vagy nem. A továbbiakban nézzünk olyan módszereket, melyek alkalmasak a merev dierenciálegyenletek megoldására. 25

27 Példa Az alábbi egyenletet programozzuk le mindkét módszer szerint Matlab-ban! y (t) = 100(y(t) sin(t)) 4.4. ábra. Explicit Euler 26

28 4.5. ábra. Implicit Euler Láthatjuk, hogy a megadott merev dierenciálegyenletet, hogyan közelíti meg egy olyan módszer, mely A-stabil, és egy olyan, amelyik nem. A különbség szembet n Az implicit Euler módszer el nyei és hátrányai Az implicit módszer tehát stabilitását tekintve jobb az explicitnél, viszont ez még mindig csak egy els rend közelítés, így a következ lépésben próbáljunk meg olyan módszert keresni, amely legalább egy másodrend approximáció. 27

29 4.3. Szimmetrikus/ trapéz módszer Próbáljuk meg a következ t: vegyük az explicit és az implicit Euler módszer számtani közepét! y n+1 y n h = 1 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] y n+1 = y n + h 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] A szimmetrikus módszer konzisztenciája Ψ n,1 = u(t n+1) u(t n ) h [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] = = u(t n) + hu (t n ) + h2 2 u (t n ) + O(h 3 ) u(t n ) + 1 h 2 [u (t n ) + u(t n+1 )] = = u (t n ) h 2 u (t n ) + o(h 2 ) [u (t n ) + u (t n ) + hu (t n ) + O(h 2 )] = O(h 2 ) Tehát sikerült pontosabb módszerhez jutnunk, hiszen a trapéz módszer már 2. rendben konzisztens. Vizsgáljuk meg, hogy a stabilitási tartomány hogyan alakul ebben az esetben! A trapéz módszer abszolút stabilitási tartománya A szokásos módon helyettesítsünk be a teszt egyenlet alapján a szimmetrikus trapéz formulába. y n+1 = y n + h 2 (λy n + λy n+1 ) y n+1 = y n hλ(y n + y n+1 ) y n+1 = y n hλy n hλy n+1 ( hλ)y n = y n+1 (1 1 2 )hλy n+1 y n+1 = hλ hλy n Azaz a stabilitási tartomány a következ lesz: 2+z < z < 2 z. Ezt az 2 z egyenl tlenséget próbáljuk tovább alakítani, hogy z-re megoldást kapjunk. Írjuk fel 28

30 z := a + bi alakban, és oldjuk meg az egyenl tlenséget: ( 2 + a + bi ) 2 < ( 2 (a + bi) ) 2 (2 + a) 2 + b 2 < (2 a) 2 + b 2 Tehát,a < 0, így Re(z) < 0, azaz a trapéz módszer is A-stabil ábra. A szimmetrikus módszer stabilitási tartománya 29

31 5. fejezet Runge-Kutta típusú módszerek Vizsgáljuk meg újra a fent említett módszereket egy másik megközelítésb l, ahol a közelít eljárások alapját az úgynevezett kvadratúra formulák adják, vagyis dolgozzunk numerikus integrálokkal! 5.1. A kvadratúra formulák A Runge-Kutta módszerek ötletének alapját a kvadratúra formulák, azaz a numerikus integrálás szabályai adják. Nézzük meg, mit is jelent ez pontosan! Vegyünk egy [a,b] intervallumot, és készítsünk egy t 1, t 2,... t n ekvidisztáns felosztást. Az f függvény az [a, b] intervallumon felírhatjuk az n 1 darab részintervallum integráljának összegeként is, azaz: b f(t) = n ti+1 a i=1 t i f(t)dt Ez akkor hajtható végre, ha ismerjük a függvény [(t 1, f(t 1 )),..., (t n, f(t n ))] alappontjait. Ezeket a pontokat felhasználva el állítunk egy Lagrange interpolációs polinomot, mellyel közelítjük az eredeti függvényünket, majd ezt a polinomot integráljuk: L j (t) = t t i t j t i ω j = b a L j (t)dt 30

32 Végül a kapott értékeket szorozzuk f(t 1 ),... f(t n ) értékekkel, így megkapjuk f(t) közelít integrálját. b a f(t)dt n ω j f(t j ) Vegyük az y(t n ) y(t n 1 ) = t n t n 1 y (t)dt egyenletet. A görbe alatti területet approximálhatjuk bal (Explicit -Euler) és jobb (Implicit Euler) közelít integrálokkal. Ezek az els rend módszerek. j=1 Próbáljuk meg az explicit Euler módszert "nomítani"! Eddig y n kiszámításához csak az y n 1 értéket használtuk fel. Azonban ha felvennénk egy köztes pontot, például y (n 1)/2 -t, akkor elméletileg pontosabb megoldást kapnánk. Vizsgáljuk meg ezt az esetet. ỹ (n 1)/2 = y n 1 + h 2 f(t n 1, y n 1 ) y n = y n 1 + hf(t (n 1)/2, ỹ (n 1)/2 ) Ezt a módszert javított Euler módszernek nevezzük. Nézzük meg, hogy mennyivel közelíti jobban a pontos megoldást! A javított Euler módszer lokális hibája Ψ n,1 = y(t n) y(t n 1 ) h f(t n 1 ), y(t n 1 + h 2 f(t n 1, y(t n 1 ))) = y + h 2 y + h2 6 y (f + h 2 (f t + f y f) + h2 8 (f tt + 2f ty f + f yy f 2 )) + O(h 3 ) Tehát a módszer 2. rendben konzisztens, így valóban sikerült növelni a pontosságot. Ennek alapján próbáljunk meg minél magasabb rend módszereket létrehozni. Ehhez vezessük be az alábbi jelöléseket. k 1 :=f(t n, y n ) k 2 :=f(t n + 0, 5h, y n + 0, 5h k 1 ) y n+1 =y n + hk 2 31

33 A javított Euler módszer példájára, általánosítsuk ezt jelölést m lépésre. k 1 = f(t n, y n ) k 2 = f(t n + a 2 h, y n + hb 21 k 1 ) k 3 = f(t n + a 3 h, y n + h(b 31 k 1 + b 32 k 2 )). k m = f(t n + a m h, y n + h(b m1 k b m,m 1 k m 1 )) y n+1 = y n + h(c 1 k 1 + c 2 k c m k m ) Ez az úgynevezett általános m lépéses (explicit) Runge-Kutta módszer, melyet 1900 körül dolgozotak ki Karl Runge és Martin Kutta német matematikusok. A javított Euler módszernél láthattuk, hogy a "javítással" sikerült növelni a módszer rendjét. Itt az a 2,..., a m ; b ik ; és c 1,..., c m tetsz leges paraméterek, illetve (b ik )-k által el állított B mátrixot a Runge-Kutta módszer mátixának, a k -kat a módusainak, c i -ket pedig a mátrix súlyainak nevezzük. (Éppen ezért m i=1 c i = 1.) A Runge-Kutta formula lényege, hogy minél magasabb rend módszereket tudjunk létrehozni. Az adott módszerhez kapott konstansokat egy úgynevezett Butcher-tábla foglalja össze. (Butcher tableau, John C. Butcher neve után) a 2 b a 3 b 31 b a 4 b 41 b 42 b a m b m1 b m2 b m3... b m,m 1 c 1 c 2 c 3... c m Az egyszer ség kedvéért vezessük be az alábbi jelöléseket: y n+1 = y n + h φ(x n, y n, h) (5.1) m φ(x, y, h) = = c i k i (5.2) k i = f(t n + a i h, y n + i=1 m b ij k j ) (5.3) Megjegyzés. Ahhoz, hogy p-ed rend RK módszert kapjunk a a 2,..., a m ; b ik ; és c 1,..., c m együtthatókat úgy kell megválasztani, hogy a módszer lokális hibája 32 i=1

34 p + 1 rend legyen. Azaz, egy p-ed rend a következ egyenl ségnek kell teljesülnie: d(t, y, h) = u(t + h) u(t) hφ(t, y, h) = O(h p+1 ) Ahol d(t, y, h) a lokális hibát, u(t) pedig az egyenlet pontos megoldását jelöli. Els lépésként fejtsük Taylor sorba d(t, y, h)-t, u(t + h) u(t)-t, és φ(t, y, h)-t h szerint h = 0 pontban.(ahhoz, hogy az egyenl ség teljesüljön, az kell, hogy a d lokális hiba Taylor-sorának els p tagja t njön el.) i d d(t, y, h) = h i hi (5.4) i=1 u(t + h) = u(t) + hu (t) + h 2 u (t) 2! h p z(p) (t) p! + O(h p+1 ) (5.5) φ(t, y, h) = φ(t, y, 0) + hφ (t, y, h) + h2 2! φ (t, y, h) +... (5.6) + hp 1 (p 1)! φp 1 (t, y, h) + O(h p ) (5.7) Ahhoz, hogy a módszer p-ed rend legyen az szükséges, hogy p i d i=1 = 0 h i feltétel teljesüljön. Második lépésként szorozzuk be mindkét oldalt h-val. d(t, y, h) = hu (t) + h 2 u (t) 2! h p z(p) (t) p! φh(t, y, 0) h 2 φ (t, y, h)... d(x, y, 0) = h(u (t) φ(t, y, 0)) + h 2 ( 1 2 u (t) + O(h p+1 ) hp (p 1)! φ(p 1) (t, y, h) O(h p ) φ (t, y, 0)) h p ( 1 p! z(p) φ (p 1) (t, y, 0) + O(h p+1 ) Így egy p egyenletb l álló egyenletrendszert kapunk, mely megoldható, ha a i = p j=1 b ij Az RK módszerek 0-stabilitása A Runge-Kutta formulát az 5.1 egyenletben, olyan alakra hoztuk, mely nagyon hasonlít az explicit Euler módszerhez. Ennek alapján, hasonló levezetéssel megkaphatjuk, hogy a Runge-Kutta módszer 0-stabil. Természetesen most is beszélhetünk explicit és implicit módszerekr l. Nézzünk most mindkét esetre néhány példát! 33

35 5.2. Az implicit Runge-Kutta módszerek Az implicit és explicit módszerek közti legszembet n bb különbség, a Butcher tábla, hiszen implicit esetben a B mátrix nem feltétlenül alsó háromszög mátrix. Éppen ezért az implicit formulákat sokszor nevezik általános RK módszereknek Az implicit formula el nyei és hátrányai Az implicit módszer nagy hátránya, hogy a (4.3) egyenletrendszer egy nemlineáris rendszer lesz k i -kre, amit minden egyes lépésben iterációval kell megoldani, így a m veletigénye igen nagy. El nyei közül a két legjelent sebbet említeném meg: stabilitás tulajdonságuk Tétel. Minden p 1 számhoz létezik pontosan egy 2p-ed rend implicit Runge-Kutta módszer Az explicit Runge-Kutta formulák Deníció. Egy Runge-Kutta módszer explicit, ha b ik = 0; i < k. Ekkor a k i -k explicit módon számolhatóak Az els rend Runge-Kutta formulák Az els rend RK módszert fel tudom írni a következ alakban: φ(x, y, h) = c 1 k 1 = f(t, y), illetve az el z ek alapján u(t + h) u(t) = hu (t) + O(h 2 ). Ezek alapján írjuk fel az els rend módszerek lokális hibáját. d(t, y, h) = u(t + h) u(t) hφ(t, y, h) = hf(t, y) hc 1 + f(t, y) + O(h 2 ) = h(1 c 1 )f(t, y) + O(h 2 ) Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy c 1 = 1 választással kapunk els rend módszert, és ezt visszahelyettesítve a y n+1 = y n +hf(t n, y n ) formulát, azaz az explicit Euler módszert kapjuk. Ez ez egyetlen els rend (explicit) RK módszer. 34

36 A megoldhatóság feltételei A a i = p j=1 b ij feltétel mellett, minden p-ed rend formulának vannak csak rá vonatkozó feltételei is. Az els rend módszer pontosan akkor oldható meg, ha teljesül a ce = 1 (5.8) feltétel, ahol e az (1... 1) T vektort jelenti, c pedig a Butcher tábla c i elemib l álló vektor A másodrend Runge-Kutta formulák A másodrend Runge-Kutta formulák pontosan akkor oldhatók meg, ha teljesül az 5.7 feltétel, és c a = 1 2 (5.9) egyenl ség is. (Az a j elemekb l álló vektort jelöltük a-val.) Hasonlóképpen mint az els rend nél φ(t, y, h) = c 1 k 1 + c 2 k 2 = c 1 f(t, y) + c 2 f(t + a 2 h, y n + hb 21 f(t, y)) Ha Taylor sorba fejtjük k 2 -t, és d(t, y, h)-t, akkor megkapjuk h 0, h 1, h 2 együtthatóit. (A Taylor sorfejtés ebben az esetben igen hosszadalmas, ezért csak a megoldásokat írom le). b 1 = 0 1 c 1 c 2 f = 0 ( 1 2 c 2a 2 ) t f + ( 1 2 c 2b 21 ) y f = 0 Így a másodrend RK módszerre a következ együtthatókat kapjuk. a 1 = 0 a 2 = b 21 a 2 = 1 2c 2 c 1 + c 2 = 1 Látható, hogy az egyenletünk határozatlan, c 1, c 2 szabad paraméterek, így igen sok másodrend formula létrehozható. 35

37 Példák másodrend formulákra Harmadrend RK formulák A harmadrend RK formulák megoldhatóságának feltételei, az 5.7 és az 5.8 feltételek, tehát minden, ami az alacsonyabb rend formuláknál kellett és teljesülnie kell az ca 2 = 1 3 cba = 1 6 (5.10) (5.11) egyenleteknek is, ahol B a Butcher tábla b ij elemeib l álló mátrixa. Példák harmadrend formulákra: A klasszikus negyed rend Runge-Kutta formula A megoldhatóság feltételei természetesen az összes eddigi feltétel és az alábbiak együttes teljesülése: ca 3 = 1 4 cba 2 = 1 24 cabc = 1 8 (5.12) (5.13) (5.14) 36

38 A-val az a i értékekb l álló mxm-es diagonális mátrixot jelöltem. k 1 = f(t n, y n ) k 2 = f(t n + h 2, y n + h 2 k 1) k 3 = f(t n + h 2, y n + h 2 k 2) k 4 = f(t n + h, y n + hk 3 ) y n+1 = y n + h 6 [k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ] Ha jobban megnézzük ezt a módszert, akkor láthatjuk, hogy az y(t n ) y(t n 1 ) közelít integrál a Simpson formulával felírva közel hasonló eredményt ad: y(t n ) y(t n 1 ) h 6 (y (t n 1 ) + 4y (t (n 1)/2 ) + y (t n )) Ha összevetjük az els -, a másod-, a harmad-, és a negyed rend formulákat, akkor azt a hasonlóságot fedezhetjük fel, hogy p = 1, 2, 3, 4 rend formuláknál a módszerek lépésszáma is rendre m = 1, 2, 3, 4. Valójában a lépések számából nem következik a módszer rendje, amit már m = 5 lépés esetén is láthatunk. lépések száma módszer rendje Az explicit Runge-Kutta módszer abszolút stabilitási tartománya A Runge-Kutta módszerek családja széleskörben elterjedt közelítési eljárás, annak ellenére, hogy ezeknek a módszereknek is vannak stabilitási problémáik. Abszolút stabilitási tartományuk korlátos, így sajnos nem A-stabilak. 37

39 RK módszerek összehasonlítása Nézzük meg az alábbi példán keresztül, hogy milyen pontossággal közelít egy els -, egy másod-, illetve egy negyed rend Runge-Kutta formula: y (t) = 5t(y(t)) 2 + 5/t 1/(t 2 ), y(1) = ábra. Els rend RK formula 5.2. ábra. Másodrend RK formula 38

40 5.3. ábra. Negyedrend RK formula Els rend RK Másodrend RK Negyedrend RK maximális hiba 0, , ,

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN KOVÁCS ZOLTÁN 1. Bevezetés A természeti jelenségeket sokszor differenciálegyenletekkel lehet leírni: a vizsgált mennyiség például

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása Differenciálegyenletek numerikus megoldása 2010, Pécsi Tudományegyetem Kollár Bálint (Utolsó változtatás: 2010. október 23.) Közönséges differenciálegyenleten olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Hegesztési folyamatok és jelenségek véges-elemes modellezése

Hegesztési folyamatok és jelenségek véges-elemes modellezése Hegesztési folyamatok és jelenségek véges-elemes modellezése Készítette: Pogonyi Tibor Konzulens: Dr. Palotás Béla DUNAÚJVÁROSI FŐISKOLA MŰSZAKI INTÉZET Gépészeti Tanszék 2012. 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...

Részletesebben

Számítógépes geometria (mester kurzus)

Számítógépes geometria (mester kurzus) 2010 sz, Debreceni Egyetem Csuklós szerkezetek animációja (Kép 1985-b l: Tony de Peltrie) Csontváz-modellek Csuklós szerkezet (robotkar) A robotkar részei: csuklók (joints) rotációs prizmatikus (transzlációs)

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) =

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Differenciálegyenletek a hétköznapokban

Differenciálegyenletek a hétköznapokban Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell . Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL NÉPESSÉGTUDOMÁNYI KUTATÓ INTÉZET KUTATÁSI JELENTÉSEI 51.

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL NÉPESSÉGTUDOMÁNYI KUTATÓ INTÉZET KUTATÁSI JELENTÉSEI 51. KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL NÉPESSÉGTUDOMÁNYI KUTATÓ INTÉZET KUTATÁSI JELENTÉSEI 51. KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL NÉPESSÉGTUDOMÁNYI KUTATÓ INTÉZET Igazgató: Dr. Miltényi Károly ISSN 0236-736-X írta:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben