Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

Átírás

1 Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban Elméleti háttér Véges dierencia eljárások II A Poissonegyenlet approximációja dierenciasémával A diszkrét maximumelv A diszkrét Poissonegyenlet megoldása Harmadfajú peremfeltételek A Poissonegyenlet általános tartományban A többrácsos módszer Az alapötlet A simító iterációk Alapvet többrácsos algoritmusok A többrácsos iterációk m velet- és tárigénye A kétrácsos módszer konvergenciája Az egydimenziós eset A simítási és az approximációs tulajdonság A többrácsos módszer konvergenciája Nemlineáris egyenletek megoldása Befejez megjegyzések Dierencia-approximációk, kiegészítések A diszkrét Green-féle függvény becslése Változó együtthatójú dierenciáloperátorok Diszkrét beágyazási tételek Dierenciasémák L 2 -beli jobboldal esetén Dirac-féle δ-függvényt tartalmazó jobboldal Véges térfogat módszer Bevezetés A diszkretizáció levezetése A véges térfogat módszer háromszögek esetén

2 6 TARTALOMJEGYZÉK A véges térfogat módszer mátrixai Speciális kérdések A végeselem módszer II Bevezetés A peremfeltételekr l A variációs feladat megoldhatósága Véges elemek 2- és 3-dimenziós feladatokban A végeselem módszer pontossága Numerikus integrálás Algoritmusok Modellfeladat végeselem megoldása Végeselem és véges térfogat módszer Az izoparametrikus módszer Rácsszerkesztés A lineáris rendszerek megoldása Beágyazott végeselem terek A végeselem alapú többrácsos módszer konvergenciája A többrácsos módszer a szimmetrikus esetben Tartomány dekompozíciós és párhuzamos módszerek, bevezetés Alstruktúra-eljárás Dirichlet tartomány dekompozíciós módszer Elliptikus sajátérték feladatok Elméleti háttér A diszkrét Laplaceoperátor sajátérték feladata Gradiens módszerek az általánosított sajátérték feladat megoldására A RayleighRitz- és a Lánczosmódszer Összefoglalás Feladatok Parabolikus egyenletek Parabolikus egyenletek eredete Környezetvédelmi balesetek A BlackScholes egyenlet A h vezetési egyenlet Elméleti tudnivalók Néhány hasznos fogás A súlyozott dierenciaséma A súlyozott dierenciaséma A súlyozott dierenciaséma képlethibája

3 TARTALOMJEGYZÉK A súlyozott dierenciaséma stabilitása a szimmetrikus esetben A súlyozott dierenciaséma konvergenciája Más peremfeltételek A végeselem séma Pozitivitástartás, maximumelv, konvergencia a maximumnormában A tömegmátrix kiszámításáról Vizsgálatok Fouriermódszer segítségével Stabilitás a nemszimmetrikus esetben További súlyozott dierenciasémák Változó együtthatójú egyenletek Egydimenziós h vezetési egyenlet helyt l függ együtthatóval Id t l is függ együttható esete A h vezetési egyenlet hengerszimmetriában A h vezetési egyenlet gömbszimmetriában Nemlineáris parabolikus egyenletek Többdimenziós parabolikus egyenletek A kétdimenziós eset : PeacemanRachford módszer A PeacemanRachford módszer mint simító eljárás Kett nél több dimenziós parabolikus egyenletek megoldása Többdimenziós egyenletek többrácsos megoldása Variációs eljárás Szemidiszkretizáció Teljes diszkretizáció Összefoglalás Feladatok A NavierStokes egyenletek Bevezetés: zikai háttér Numerikus problémák, az áramfüggvény Az áramfüggvény peremértékei és létezése Az ω ψ-rendszer ω és p peremfeltételei Lassú áramlások számítása A véges térfogat módszer A központi dierenciaséma és az upwind-séma Egydimenziós konvekció-diúzió egyenlet Frjazinovapproximációja415

4 8 TARTALOMJEGYZÉK A kétdimenziós NavierStokes rendszer Frjazinovapproximációja A nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Nyeregpont feladatok Végeselem megoldás A variációs megfogalmazás A vegyes variációs feladat és megoldása A vegyes végeselem megoldás tulajdonságai A diszkrét inf-sup-feltétel Megjegyzések a végeselem módszer numerikus megvalósításához Összefoglalás Feladatok Hiperbolikus egyenletek Hiperbolikus egyenletek alkalmazásai Hiperbolikus egyenletekkel kapcsolatos feladatok További hiperbolikus feladatok Másodrend egyenletek : elméleti tudnivalók Az általános másodrend hiperbolikus egyenlet Az energiamegmaradási tétel Megoldási képlet konstans együtthatók esetén A hullámegyenlet approximációja Dierencia-approximáció Végeselem approximáció, és a szemidiszkretizáció pontossága Dierenciasémák stabilitása, konvergenciája Friedrichs-féle elv és CourantFriedrichsLewy feltétel A Neumann-féle stabilitási vizsgálat : szükséges stabilitási feltételek Elégséges stabilitási feltételek Példák a Neumann-féle stabilitási vizsgálatra Háromréteges sémák Szamarszkij-féle stabilitási vizsgálata Konvergencia vizsgálat Másodrend egyenletek numerikus megoldása Csillapított rezgések számítása, a távíróegyenlet Szuperpozíciós módszer Háromréteges sémák megoldása Els rend hiperbolikus egyenletek

5 TARTALOMJEGYZÉK A transzport-egyenlet és a lineáris hiperbolikus rendszerek A transzport-egyenlet dierencia-approximációja, lineáris homogén sémák Térben egydimenziós megmaradási rendszerek elméletér l Egydimenziós megmaradási rendszerek dierencia megoldása ENO-sémák Implicit sémák Többdimenziós hiperbolikus egyenletek megoldása Összefogalás Feladatok Kiegészít információk, jelölések III Irodalom III Tárgymutató III Címszavak jegyzéke Tételek, lemmák jegyzéke Pszeudokódos algoritmusok jegyzéke Táblázatok jegyzéke