Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése

Átírás

1 Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése Végeselem-módszer (rövid bevezető) Marcsa Dániel egyetemi tanársegéd Széchenyi István Egyetem Automatizálási Tanszék Elektromágneses Terek Laboratórium

2 Numerikus térszámítási módszerek Peremelem-módszer (BEM) ANSYS Maxwell Végeselem-módszer (FEM) FEMM ONELAB Véges differenciák módszere az időtartományban (FDTD) Momentum-módszer (MoM) COMSOL Multiphysics FEKO Távvezeték mátrix módszer (TLM) Hibrid módszerek (FEM-BEM) Mentor Graphics SolidWorks

3 Numerikus térszámítási módszerek Árnyékolás vizsgálata (EMC) Z s Z T incoming wave/field conducting layer 3

4 Numerikus térszámítási módszerek Csatolt feladatok Veszteség csökkentő szabályozó 4

5 Numerikus térszámítási módszerek Párhuzamosítás Nagy számításigényű feladatok megoldása sokprocesszoros környezetben. Tartomány dekompozíció EBE (element by element) FEM 5

6 Modellezési technikák és eszközei Ingyenes Kereskedelmi FEKO Lite pdnmesh Cedrat Flux(demo version) AGROSD Finite Element Method Magnetics FlexPDE(student version) NEC GMSH/GetDP MagNet(Infolytica trial version) Elmer QuickField (student version) Maxwell (ANSYS) HFSS (ANSYS) COMSOL Multiphysics (AC/DC, RF) CST Microwave Studio HFWorks OPERA-d, -3d (COBHAM) FLUX Matlab PDE Toolbox MagNet(Infolytica) QuickField Vector Field 6

7 Modellezési technikák és eszközei Bővebb információ: Ingyenes szimulációs szoftverek listája Kereskedelmi szoftverek listája Modellezési technikákról rövid leírás Néhány információ a szoftverekről 7

8 Numerikus térszámítás lépései Modell specifikációja Optimaliz zálás Diszkretizálás Asszemblálás Megoldás Utófeldolgozás Lineáris algebra Direkt megoldók Iteratív megoldók Ritka mátrix (sparse matrix) Veszteségek Nyomaték Sugárzási karakterisztika 8

9 r d Mit is jelent a diszkretizálás? π = r r sin ( π ) r 8 ( π ) π ( π ) K = r π = n r sin = n sin n n n n π Hiba e e e e-008 n = ; Hiba = ; while Hiba > e-6 PI Hiba = pi - PI; n = n + ; end format long; disp(pi); = n*sin(pi/n); 9

10 Véges differenciák módszere u x x u x u x x O x u x x u x u x x O x ( + ) = ( ) + + ( ) ( ) = ( ) + ( ) u = x u = x ( + ) ( ) u x x u x x u x u x x ( ) ( ) x Előretartó Hátratartó u u ( x + x) u( x) + u ( x x) ui+, j ui, j + u i, j = = u = x ( x) ( x) y ( y) u u + u i, j+ i, j i, j i,j+ Laplace-egyenlet i-,j x i,j i,j- y y x i+,j u u u = = x y u i, j ekvidisztáns felosztás Egy csomópont egyenlete a következő alakra egyszerűsödik: u + u + u + u = 4 i+, j i, j i, j+ i, j 0

11 Véges differenciák módszere Laplace-egyenlet megoldása Excel-ben : 0V 0V 0V A feladat egy négyzet, melynek az alsó lapját egy 00V feszültségű forrásra kapcsoltuk, a másik három oldalát pedig leföldeltük. Határozza meg a négyzetben a potenciál értékét 5x5-ös felbontás esetén. 00V Házi feladat: 50x50-es felbontás esetén meghatározni a négyzetben a potenciál értékét. A B C D E (C+A+B+B3)/4 (D+B+C+C3)/4 (E+C+D+D3)/ (C3+A3+B+B4)/4 (D3+B3+C+C4)/4 (E3+C3+D+D4)/ (C4+A4+B3+B5)/4 (D4+B4+C3+C5)/4 (E4+C4+D3+D5)/

12 Véges differenciák módszere Laplace-egyenlet megoldásának eredménye Excel-ben : FONTOS! Excel-ben be kell állítani a Közelítés engedélyezését, mert különben a körkörös hivatkozás miatt nem oldja meg a feladatot A B C D E ,4094 9, , ,7494 4,9994 8, , ,6789 4, Véges differenciákról bővebb információt magyarul például a Korszerű antennarendszer-tervezés 3. heti óravázlatában talál. maxwell.sze.hu/~kuczmann/korszeru_antenna/antenna_lap.htm

13 d L Végeselem-módszer D-s példa - síkkondenzátor Ha L (lemez hossza) >> d (fegyverzetek távolsága) Egydimenziós feladat U ε 0, ε r ρ U Elektrosztatika E = 0 D = ρ D = ε ε E 0 r E = ϕ ϕ ( ) 0 Két ismeretlen, az E x, D x helyett egy darab ismeretlen potenciál φ. 3

14 -gradφ + + Végeselem-módszer + gradφ D-s példa - síkkondenzátor D = ε ε ϕ ( ε ε r ϕ ) = ρ ε0ε r ϕ = ρ 0 r 0 E Laplace-Poisson-egyenlet D + Peremfeltételek ϕ ( x ) ( ) = 0 = 0, ϕ x = d = U - x=0 x=d x Ha egy ε van a feladatban ε ϕ = ϕ = ρ ε ε 0 r Az ε ugorhat, de a φ nem, ezért az anyaghatárokra mindig kell, hogy essen csomópont! ε ε Ha kettő ε van a feladatban ε φ =φ ε ε ϕ = ρ ε ϕ = ρ 4

15 Végeselem-módszer Súlyozott maradék elv Általában analitikus megoldás nem ismert, ezért approximáció kell. KÖZELÍTÉS SOHA NEM LEHET PONTOS! Ω ε ϕ ρ 0 MARADÉK!! ( ε ɶ ϕ ρ ) ( ) N dω = 0, ahol N = N x a súlyfüggvény A maradékot súlyozzuk, majd a hiba elkenése végett integráljuk a teljes Ω tartományra. u v N ε ϕ ɶ d Ω = N ρ dω Ω Ω db derivált Ω ɶ ( ɶ ) ( u v ) = u v + v u u v = u v u v N ε ϕ d Ω N ε ϕ d Ω = N ρ dω db derivált Ω Ω Ω v dω = v dγ Γ Gauss-Osztrogradszkij - formula ( ) 5

16 Gyenge alak Végeselem-módszer N ε ɶ ϕ dω N ε ɶ ϕ d Γ= N ρ dω Ω Γ Ω D-s példa - síkkondenzátor Eggyel csökkentettük a deriváltakat. Γ Ω Γ φ D Dirichlet-peremfeltétel ɶ ϕ = ϕ + N ϕ D i i i= D-s elsőfokú végeselem N N N N N N N N N N 0 e e e 3 e 4 d x végeselem x N i végeselem formafüggvény 6

17 Végeselem-módszer D-s elsőfokú végeselem N N A Dirichlet-peremfeltétel pontosan teljesül. ( ɶ N ) ɶ ϕ = ϕ + N ϕ = ϕ ϕ = ϕ + ϕ = ϕ D D D 4 D N 0 a peremen N 0 a peremen φ D φ x N N x ( ) ( ) ( ) N x = m x + b ( x) D-s lineáris formafüggvények N x = = m x + b N x = 0 = m x + b N = x x x x ( x) N N ( x) = ex = ex x x x ( ) ( ) ( ) N x = m x + b N x = 0 = m x + b N x = = m x + b N ( x) x x = x x ( x) N N ( x) = ex = ex x x x 7

18 Ω N ε ɶ ϕ d Ω = N ρ dω Végeselem-módszer Ω = D + Ni i i= ɶ ϕ ϕ ϕ D-s példa - síkkondenzátor φ D -t nem írjuk bele. N j ε Ni ϕi d Ω = N j ρ dω Ω i= Ω N j ε Ni d Ω ϕi = N j ρ dω i= Ω Ω Elemegyenlet N ϕ N ε [ N N ] d Ω = ρ dω N ϕ N Ω Ω A teljesen általános formula. Úgy célszerű, hogy mátrixos alakban legyen. Egy darab végeselem egyenlete. 0 e e e 3 e 4 d N N N N N N N N Általában szimmetrikus, és a főátlóban mindig pozitív értékek vannak. 8

19 φ Végeselem-módszer Asszemblálás φ φ 3 φ 4 φ 5 e e e 3 e x x x xx x x xx x x xx x x x K φ b φ φ 3 φ 4 φ 5 = b b 3 b 4 b 5 x = b Lineáris vagy linearizált egyenletrendszer. N N N N K R, x R, b R Analitikus megoldás ε ϕ = ρ ϕ = ϕ = ρ ε ϕ ρ = / x ε ϕ ρ = x + A / x ε ρ ϕ = x + Ax + B ε ϕ x = 0 = 0 = B ( ) ρ ϕ ( x = d ) = U = d + Ad ε U ρ A = + d d ε ρ U ρ ϕ ( x) = x + + d x ε d ε 9

20 Végeselem-módszer Peremfeltételek φ φ φ 3 φ 4 φ 5 φ =0V e e e 3 e x x x xx x x xx x x xx x x x φ b φ b φ 3 φ 4 φ 5 = b 3 b 4 b 5 φ 5 =U φ φ 5 = 0 U Matlab-ban K(,:) = K(,:) * 0; K(,) = ; b() = 0; K(5,:) = K(,:) * 0; K(5,5) = ; b(5) = U; 0

21 % Síkkondenzátor - Lineáris elemekkel clear clc %% Konstansok definiálása eps = 8.854e-*0; rho= e-; d = /000; U = 0; %% Végeselemrács készítése N = 5; X = 0:d/N:d; %% A K mátrix és a b vektor létrehozása K= zeros(n+); b= zeros(n+,); %% Asszemblálás for e = : N % Csomopont koordinátáinak beolvasása x = X(e); x = X(e+); % Gradiensek kiszámítása gn = -/ (x -x); gn = /(x -x); % Elemegyenletbõl a Ke mátrix és be vektor Ke = [gn; gn] * eps* [gn, gn] * (x -x); be = rho * [(x -x)/; (x -x)/]; Végeselem-módszer D-s példa síkkondenzátor Matlab script % K mátrix és a b vektor feltöltése az elemek Ke mátrixával % és be vektorával K(e,e) = K(e,e) + Ke(,); K(e,e+) = K(e,e+) + Ke(,); K(e+,e) = K(e+,e) + Ke(,); K(e+,e+) = K(e+,e+) + Ke(,); b(e) = b(e) + be(); b(e+) = b(e+) + be(); end %% Peremfeltétel K(,:) = K(,:) * 0; K(,) = ; b() = 0; K(N+,:) = K(,:) * 0; K(N+,N+) = ; b(n+) = U; %% Egyenletrendszer megoldása fi = K \ b; %% Megoldás ábrázolása plot(x, fi); hold on; %% Analitikus megoldás ábrázolása a_fi = -/*(rho/eps)*x.^+(u/d+(/)*(rho/eps)*d)*x; plot(x, a_fi,'ro');

22 Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése Kérdések Köszönöm a figyelmet! marcsad@sze.hu