Numerikus módszerek. 9. előadás

Átírás

1 Numerikus módszerek 9. előadás

2 Differenciálegyenletek integrálási módszerei x k dx k dt = f x,t; k k ' k, k '=1,2,... M FELADAT: meghatározni x k t n x k, n egyenletes időlépés??? t n =t 0 n JELÖLÉS: f k x i, n,t n f k,n erő tényező DISZKRETIZÁLÁS: az intervallum melyik pontjában számoljuk az erő tagot?

3 Az Euler módszer előre irányú diszkretizálás: x n = x n O = f x n,t n f x n, t n O 2 lokális hiba N 2 = T 2 =O globális hiba:!!!! sérülnek a megmaradási törvények!!! pontosság, stabilitás számítási hatékonyság Számítási szempontból a legegyszerűbb módszer, de nem alkalmas fizikai problémák tanulmányozására. Önmagában SOSEM használjuk!!!!

4 Kétlépéses módszer másodrendű sorfejtés: ẋ n 1 x 2 n 2 O 3 f n 1 2 f n 2 O 3 hátrafele irányú diszkretizálás 3 2 f n 1 2 f n 1O 3 ismerni kell x 0 és x 1 -et a módszer nem önindítós, más módszerrel kell beindítani

5 Taylor sorok módszere f x f t ha a és parciális deriváltak analitikusan kiszámolhatók f n f 2 n 2 O 3, f n df dt = f x x n f t a deriváltak a t n pillanatban vannak f n f x x n,t n f n f t x n, t n 2 2 O3 általában a parciális deriváltak számítása nem praktikus!!!

6 Négylépéses Adams-Bashforth módszer negyedrendű sorfejtésből indulunk ki: x n 1 f n f 2 n 2 f 3 4 n 6 f n 24 O 5 deriváltak kiszámítása: polinomiális interpoláció f n-3, f n-2, f n-1, f n pontokon keresztül f t= t t2 t3 6 3 f n t t2 t3 2 3 f n 1 t tt3 t t t2 f 2 3 n 2 f 6 2 n 3 O 4 f-et sorbafejtjük t n körül t~δ kis értékekre beazonosítjuk a megfelelő rendű tagok együtthatóit f = f n f n t d n 2 t 2 f n 6 t3 O 4 x n 1 55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 24 O5

7 Runge-Kutta módszerek centrális diszkretizálása ẋ-nak az intervallum közepén f x 1 n nem ismerjük x n 1 2 -et, hogyan számoljuk ki az f-et??? 2, t n 1 2 O3 Euler módszerrel: x = x n 1 n f n 2 2 f x n 1 2, t n 1 2 = f x n f n 2, t n 1 2 O3 RK2 k 1 = f n ; k 2 = f x n k 1 2,t n 1 2 ; k 2 O 3 RK4 k 1 = f n ; k 2 = f x n k 1 2,t n 1 2 ; k 3= f x n k 2 2,t n 1 2 ; k 4 = f x n k 3,t ; 1 6 k k k k 4O 5

8 Implicit módszerek eredendően stabil módszerek, de sokkal nehézkesebbek számítási szempontból explicit módszerek: az x n+1 kiszámításához az összes információ explicit módon a rekurzióban található; implicit módszerek: az információk egy része implicit módon az erő tagban van elrejtve. PÉLDÁK: = x n f, t n1 2 [ f x n,t n f x n 1, t n1 ] a rekurzió nemlineáris!!! iteratív módszereket használunk: megbecsüljük valahogy az x n+1 -et, ezzel számolunk egy jobb becslést és ismételjük az iterációt

9 Prediktor-korrektor módszerek explicit módszerrel megbecsüljük az x n+1 -et javítjuk az értéket egy hasonló rendű implicit módszerrel intervallum széle intervallum belseje PREDIKTOR: KORREKTOR: negyedrendű Adams-Bashforth módszer négylépéses Adams-Molton módszer BECSLÉS x n 1 55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 24 O5 KORREKCIÓ x n 1 9 f n1 19 f n 5 f n 1 f n 2 24 O5

10 Szinkronizálódások tanulmányozása Szinkronizáció a természetben oszcillátorok Nagyon gyakori jelenség... ingaórák szinkronizálódása (Huygens, 1667) tűzlegyek dél-kelet Ázsiában (J. Buck, Sci. Am., May 1976) pacemaker sejtek a szívizomban (C. Peskin, Mathematical Aspects of Heart Physiology, New York, 1975) tücskök csiriplése (E. Sismondo; Science 249, 55,1990) oszcilláló kémiai reakciók (J. Neu, SIAM J. Appl. Math. 38, 305,1980) kapcsolt Josephson átmenetek hálózata (P. Hadley et al.; Phys. Rev. B, 38, 8712, 1988) neuron sejtek az agyban (J. Hopfield, Nature 376, 33,1995) egymás mellett járó emberek léptei (lásd Holt költok társasága ) együtt élő nők menstruációs ciklusának a szinkronizációja

11 A Kuramoto modell tekintünk N darab oszcillátort fázis saját frekvencia egyetlen nem csatolt oszcillátormozgásegyenlete: két oszcillátor szinkronizált,ha fáziskülönbségük a π páros számű többszöröse csatolt oszcillátor-rendszer egyenlete: d i dt = i rendparaméter: r= 1 N i cos i i sin i pl. Adams-Molton módszerrel integráljuk Szinkronizált és nem szinkronizált fázisok jelenléte (fázisátalakulás) K c kritikus csatolás K<K c : r=0 (a szinkronizáció teljes hiánya) K>K c : r>0 (parciális szinkronizáció) K-> : r=1 (teljes szinkronizáció) másodfajú fázisátalakulás