Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciálegyenletek numerikus megoldása"

Átírás

1 Differenciálegyenletek numerikus megoldása 2010, Pécsi Tudományegyetem Kollár Bálint (Utolsó változtatás: október 23.) Közönséges differenciálegyenleten olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy egyváltozós függvény, és az egyenletben ezen ismeretlen függvény különböző rendű deriváltjai szerepelnek, illetve egy- és többváltozós ismert (adott) függvények. A differenciálegyenlet rendje a benne szereplő ismeretlen függvény legmagasabb rendű deriváltjának a rendje. A differenciálegyenlet megoldásához kezdeti feltételekre van szükség, illetve másod- vagy magasabb rendű differenciálegyenleteknél peremfeltételeket is megadhatunk a kezdeti feltételek helyett. A differenciálegyenletek vagy differenciálegyenlet-rendszerek numerikus megoldását az a puszta tény motiválja, hogy a természetben előforduló valós problémákat leíró differenciálegyenletek (egyenletrendszerek) túlnyomó többsége analitikus formában nem megoldható, nincs a megoldásnak ismert zárt alakja. (Példának okáért gondolhatunk kaotikus rendszerekre.) A továbbiakban a differenciálegyenletek numerikus megoldásának néhány közkedvelt módját ismertetem. 1. Euler-módszer Az Euler-módszer a legegyszerűbb módszer differenciálegyenlet-rendszerek numerikus megoldására. A következő kezdeti feltételekkel adott differenciálegyenletet szeretnénk megoldani: dy(t) dt = f(t, y(t)), (1) y(t0) = y0. (2) (Azaz kíváncsiak vagyunk y(t ) értékére minden számunkra érdekes T időpillanatban úgy, hogy közben y(t ) kielégítse y(t = t0) = y0, azaz a (2) feltételt.) Megoldás: (1) mindkét oldalát integráljuk: T majd a Newton-Leibniz szabályt alkalmazzuk: ami átrendezés és (2) felhasználása után: t0 dy(t) T dt = f(t, y(t))dt, (3) dt t0 y(t ) y(t0) = y(t ) = y0 + T T t0 t0 f(t, y(t))dt, (4) f(t, y(t))dt. (5) Diszkretizáljuk az utolsó kifejezés jobb oldalán álló integrált (bontsuk véges t összegekre a t0-tól T -ig terjedő intevallumot)! T y(t ) = y0 + f(t, y(t)) t. (6) t=t0 1

2 Ne felejtsük el, hogy ez csak t 0 határesetben megy át (5) be. Elsőrendű Euler-módszer: Használjuk (6) kifejezést véges t értékek mellett. Mit is jelent ez a gyakorlatban? y(t) ismeretlen függvény kezdeti értékét ismerjük (2), (1) kifejezésbe írva a kezdeti értéket megkapjuk az ismeretlen függvény deriváltját ebben a kezdeti időpillanatban. A jobb oldali szumma tartalmaz ismeretlen tagokat is (hiszen függ y(t) olyan értékeitől amiket még nem ismerünk), de a szumma legelső tagja kiszámolható, ami a következő kifejezéshez vezet: y(t0 + t) = y0 + f(t0, y(t0)) t. (7) (Ha egy pillanatra visszaírjuk f(t, y(t)) helyére y(t) deriváltját (1)-ből, akkor a következőt kapjuk: y(t0 + t) = y0 + dy(t) dt t. (8) t=t0 Vegyük észre, hogy ez nem más mint egy Taylor-sorfejtés az első tagig! Ennek később még hasznát fogjuk venni.) Térjünk vissza (7) kifejezéshez. Ez a kifejezés már csupa ismert dolgot tartalmaz, tehát építőkőként használhatjuk és iteratív módon algoritmust írhatunk belőle, mely megoldja a kívánt feladatot! Minden egyes iterácíós lépésben pusztán az aktuális időpillanatban ismert függvény és derivált értéket kell felhasználnunk (az ilyen módszereket nevezzük egylépésesnek). Tehát az Euler-módszer egy tetszőleges lépése így írható: y(t + t) = y(t) + f(t, y(t)) t. (9) Az algoritmizálásban kevésbé jártasak kedvéért álljon itt egy lehetséges pszeudo-kód, mely megvalósítja az elsőrendű Euler-módszert. Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza f(t,y): y(t) ismeretlen függvény deriváltja t időpillanatban t0: kezdeti időpillanat (gyakorlatban célszerű 0-át választani) y0: kezdeti érték a kezdeti időpillanatban T: végső időpillanat Inicializálás: y := y0 t := t0 Eljárás: Ciklus amíg t < T y := y + f(t,y) * delta_t t := t + delta_t 2

3 2. Newton-féle mozgásegyenlet megoldása Feladat: adott a következő Newton-féle mozgásegyenlet ẍ(t) = 1 F (x, ẋ, t) m (10) x(t0) = x0 (11) ẋ(t0) = v0, (12) ahol a " " (pont) a fizikusok között elterjedt jelölés az idő szerinti deriválás rövid jelzésére. Oldjuk meg a feladatot elsőrendű Euler-módszer segítségével! Megoldás: Vegyük észre, hogy a Newton-féle mozgásegyenlet másodrendű. Az Euler-módszer mégis alkalmazható rá. Vezessünk be egy új változót (a sebességet) és bontsuk szét a differenciálegyenletet két elsőrendű csatolt differenciálegyenletre! v(t) = ẋ(t) (13) v(t) = 1 F (x, v, t) m (14) x(t0) = x0 (15) v(t0) = v0. (16) Majd a (9) kifejezés alapján lépésenként iteráljuk az egyenleteket, tehát x(t + t) = x(t) + v(t) t (17) v(t + t) = v(t) + 1 F (x, v, t) t, m (18) (19) természetesen az iteráció első lépéseben a (15) és (16) kezdeti feltételeket kell felhasználni. 3

4 Pszeudo-kód a Newton-féle mozgásegyenlet megoldásához elsőrendű Euler-módszerrel: Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza F(x,v,t): erőtörvény m: tömeg t0: kezdeti időpillanat (gyakorlatban célszerű 0-át választani) x0: kezdeti hely v0: kezdeti sebesség T: végső időpillanat Inicializálás: x := x0 v := v0 t := t0 Eljárás: Ciklus amíg t < T x_uj := x + v * delta_t v_uj := v + (1/m) * F(x,v,t) * delta_t v := v_uj x := x_uj t := t + delta_t Figyeljük meg, hogy a változók csak akkor kapják meg új értéküket, mikor már minden derivált kiértékelése megtörtént az előző időpillanatban érvényes értékekkel! Ez az Euler-módszer levezetéséből következő szabály, ha nem így csinálnánk az algoritmust, akkor az helytelen eredményt adna, illetve instabil lenne. 4

5 3. Peremérték feladatok megoldása A Newton-féle mozgásegyenlet megoldása már valós probléma, ráadásul másodrendű, tehát a kezdeti felételek helyett peremfeltételek is megadhatóak. E feladatok igen fontosak reális rendszereknél, rengeteg valós kérdést fel lehet tenni. (Pl.: Merre célozzunk egy ágyúval, hogy eltaláljuk vele az ellenség lőporraktárát.) Ezek a feladatok általában sokkal nehezebben oldhatóak meg és sokkal számításigényesebbek, mint a kezdetiérték feladatok. Egyáltalán azt is meg kell vizsgálni, hogy a feladatnak egyáltalán van-e megoldása adott peremfeltételek mellett. (Ha az ágyúnk 100 km-re van a céltól és csak pár grammnyi lőporunk van, akkor bajos megtalálni a megoldást - eltalálni a célt.) Nézzük meg a konkrét ágyús példánkant! Adott: ẍ(t) = 0 (20) ÿ(t) = g m (21) x(0) = 0 (22) y(0) = 0 (23) (ẋ(t0)) 2 + (ẏ(t0)) 2 = v0 (24) x(t) = c (25) y(t) = 0, (26) azaz a (0; 0) pontban állunk, az ágyúgolyó kezdősebessége v0, és a célpont a (c; 0) pontban tartózkodik, közegellenállas nincs, csak a gravitáció hat a golyóra. (Az egyszerűség kedvéért feltesszük hogy c pozitív.) Az előbbieket követve könnyen felírhatjuk az Euler-módszerrel való iteráció menetét, a kezdősebesség irányát azonban nem tudjuk - hiszen ennek a meghatározása lenne a feladatunk. Tudjuk, hogy az ágyúgolyónk legmesszebbre akkor repül, ha 45 fokban lőjük ki (a cél felé). Tehát indítsuk el az algoritmust a 45 foknak megfelelő kezdősebességből. Ha a golyónk nem éri el a célt - annál hamarabb leesik, akkor tudjuk, hogy a feladatnak nincs megoldása, az adott kezdősebesség mellett a golyót nem lehet eljuttatni a célig. Ha pont eltalálja (itt tegyük fel, hogy az eltalálás azt jelenti, hogy adott hibahatárnál - a cél méreténél - közelebb esik le), akkor szerencsénk van, végeztünk. Viszont valószínűbb, hogy messze túllőttünk a célon. Ilyenkor indul az igazi megoldás, keressük felező kereséssel meg az ideális szöget! Vegyünk fel két intervallum határt, kezdetben ez 0 és 45. Lőjük ki a golyót a két határ között középen elhelyezkedő számnak megfelelő szöggel (22,5 fok). Ha túllöttünk a célon, akkor a felső határt csökkentsük le az előző lövés szintjére, ha túl közel lövünk, akkor viszont az alsó határt emeljük az előző lövés szintjére. Majd újra a két határ közt félúton (átlag) lévő szöggel próbálkozzunk. Ismételjük ezt az eljárást addig, amíg hibahatáron belül el nem találjuk a célt! (Itt vegyük észre, hogy ennek az ágyúgolyós feladatnak két megoldása is lehet, tehát ha 45 foknál nagyobb szögek között keresünk, akkor is találhatunk olyan irányt, amikor a golyó eltalálja a célt - ez esetben egy nagyobb íven repülve.) 5

6 Az algoritmus pszeudo-kódja a következő: Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza g: gravitációs állandó m: tömeg c: célpont helye v0: kezdeti sebesség err: célpont helyének hibája Eljárás: vx := cos(45) * v0; vy := sin(45) * v0; x := 0 y := 0 t := 0 Ciklus amíg y >= 0 x_uj := x + vx * delta_t y_uj := y + vy * delta_t vx_uj := vx vy_uj := vy - (g/m) * delta_t x := x_uj y := y_uj vx := vx_uj vy := vy_uj t := t + delta_t Ha x-c < err akkor kiírat(45 fok), algoritmus vége Ha x < c akkor kiírat(a cél túl messze van), algoritmus vége fok_also := 0 fok_felso := 45 Ciklus amíg x-c > err vx := cos((fok_also + fok_felso) / 2) * v0; vy := sin((fok_also + fok_felso) / 2) * v0; x := 0 y := 0 t := 0 Ciklus amíg y >= 0 x_uj := x + vx * delta_t y_uj := y + vy * delta_t vx_uj := vx vy_uj := vy - (g/m) * delta_t x := x_uj y := y_uj vx := vx_uj vy := vy_uj 6

7 t := t + delta_t Ha x-c > err akkor Ha x > c akkor fok_felso := (fok_also + fok_felso) / 2 Ha c > x akkor fok_also := (fok_also + fok_felso) / 2 kiírat((fok_also + fok_felso) / 2 fok) Tudni kell azonban, hogy nem minden peremérték feladatot ilyen egyszerű megoldani. Kaotikus rendszereknél ez a módszer nem működik, ott általában nincs más megoldás, mint puszta erővel (brute force) a lehető legtöbb kezdőállapotot végignézni és megtalálni azt, ami nekünk megfelő. 4. Euler-módszer hibája Fejtsük Taylor-sorba az ismeretlen y(t) függvény megváltozását kis t idő alatt: y(t + t) = y(t) + dy(t ) dt t + 1 t 2 =t d 2 y(t ) dt 2 ( t) (27) t =t Vessük ezt össze a (9) kifejezéssel, azaz az elsőrendű Euler-módszer egy időlépésével. A Taylor-sorfejtés jól viselkedő függvények esetén egzakt, tehát becsülhetjük vele az Euler-módszer hibáját. Ha a két kifejezés különbségét vesszük, akkor minden kiesik, kivéve a másod- és magasabb rendű tagokat, tehát ebből láthatjuk, hogy az elsőrendű Euler-módszer lépésenként egy másodrendű hibát ejt! Az összlépésszám hibája tehát e másodrendű hibák összegével arányos, ami kellően nagyra tud nőni akár egyszerű rendszerek esetén is - a függvények tipikusan "felrobbannak" a rendszer összenergiája exponenciálisan elszáll tehát a gyakorlatban az elsőrendű Euler-módszert állatorvosi ló szerepén kívül másra nem használják. A továbbiakban az elsőrendű Euler-módszernél hatékonyabb módszereket mutatok be, melyek többnyire mentesek az ilyen veszélyektől, komolyabb számításokhoz is használhatóak. 5. Magasabb rendű Euler-módszerek Mint korábban láttuk, az elsőrendű Euler-módszer felfogható úgy, hogy egy ismeretlen y(t) függvény kis megváltozását a Taylor-sorfejtés első rendjéig közelítjük. Ha azonban több tagot is felhasználunk, akkor pontosabb lesz a közelítés, így jutunk el a magasabb rendű Euler-módszerekig. Ezek alapján könnyű belátni, hogy egy másodrendű Euler-módszer egy lépése így néz ki a harmadrendűé pedig y(t + t) = y(t) + f(t, y(t)) t + d f(t, y(t)) ( t) 2, (28) dt 2! y(t + t) = y(t) + f(t, y(t)) t + d f(t, y(t)) ( t) 2 + d2 f(t, y(t)) ( t) 3, (29) dt 2! dt 2 3! és így tovább. Felmerülhet a kérdés, hogy ha ez ilyen egyszerű, akkor miért nem állunk meg itt és használunk sokadrendű Euler-módszereket? A válasz abban rejlik, hogy f(t, y(t)) (azaz y(t) időderiváltjának) a deriváltjait is ki kell számítani, ezek a deriváltak pedig nagyon bonyolultak lehetnek (vagy nem is 7

8 tudjuk az erőtörvényt deriválni, mert nem ismerjük a zárt alakját - pl. csak mérési adataink vannak). A behelyettesítés rengeteg gépidőt elvehet, illetve a bonyolult kifejezések kiértékelése során rengeteg numerikus (kerekítési) hibát ejthetünk. Extrém esetben a Taylor-sorfejtés nem konvergál megfelelően, épp hogy romlik tőle a közelítés. A másik lehetőségünk hogy t-t minden határon túl csökkentjük. Ez egyrészt szélsőséges módon megnöveli a számításigényt, másrészt ha túl picire választjuk meg, akkor kerekítési gondok is felléphetnek: a számítógép véges pontossággal számol, ha egy túl nagy számhoz adunk egy túl picit (a változás egy pici t szorzó!) akkor értékes tizedesjegyeket veszthetünk, pont az áhított pontosságot rontva. Tehát láthatjuk, hogy más módszert kell találnunk, ha a pontosságot szeretnénk a sebességgel és a könnyű kiszámíthatósággal ötvözni. 6. Középpontos módszer (Midpoint method) A középpontos módszer a nevét onnan kapta, hogy egy adott időpillanatban nem az ott érvényes deriválttal lépünk, hanem a kívánt lépésköz felénél érvényes deriválttal: a keresett görbe meredekségét a lépés két végpontja között félútról válasszuk. Tehát: y(t + t) = y(t) + f(t + t t, y(t + )) t. (30) 2 2 A gond csupán az, hogy nem ismerjük f függvény értékét t + t/2 időpillanatban, csak t időpillanatban. Viszont közelíthetjük az értéket az elsőrendű Euler-módszerrel! Így a végeredmény: y(t + t) = y(t) + f(t + t 2 Hibaszámítás: Az előző kifejezést írjuk át Taylor-sorhoz hasonlító egyeszerűbb alakba Fejtsük sorba első rendig y(t + t 2 ) -t majd bontsuk ki a kifejezést t d y(t + y(t + t) = y(t) + dt y(t + t) = y(t) + d dt (, y(t) + f(t, y(t)) t) t. (31) 2 2 ) y(t) + d y(t) dt t. (32) ) t t, (33) 2 y(t + t) = y(t) + d y(t) t + d2 y(t) ( t) 2. (34) dt dt 2 2 Összevetve a kifejezést az ismeretlen függvény Taylor sorfejtésével láthatjuk, hogy másodrendig egzakt a középpontos módszer, a hibája harmadrendű. A középpontos módszer előnyei: több számítással jár mint az elsőrendű Euler, viszont másodrendű. A másodrendű Eulerhez képest azt nyerjük, hogy nem kell az ismeretlen függvény második deriváltját kiszámítani, elég az első deriváltat használni, így összességében elmondhatjuk hogy általában kevesebb számítást igényel. A módszer gyakorlatban már használható, ám komoly számításhoz még nem elegendő, viszont ahol a pontosság nem fontos, ott többnyire elfogadható stabilitással működik. 8

9 Pszeudo-kód a középpontos módszerhez: Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza f(t,y): y(t) ismeretlen függvény deriváltja t időpillanatban t0: kezdeti időpillanat (gyakorlatban célszerű 0-át választani) y0: kezdeti érték a kezdeti időpillanatban T: végső időpillanat Inicializálás: y := y0 t := t0 Eljárás: Ciklus amíg t < T k := y + f(t,y) * delta_t / 2 y := y + f(t + delta_t / 2, k) * delta_t t := t + delta_t 7. Runge-Kutta módszer A középpontos módszernél láthattuk az alapötletet: számoljunk kicsit többet, de csak az első deriváltat felhasználva, és ha a részeredményeket megfelelően súlyozva felhasznájuk, akkor ezzel kisebb hibát véthetünk, kevesebbet számolva. (Hivalatosan a középpontos módszer is a Runge-Kutta módszerek közé tartozik.) A legelterjedtebb és igen gyakran használt a negyedrendű Runge-Kutta módszer. Az alábbi segédderiváltakat kell hozzá kiszámolni (ebben a sorrendben): Ezekből számoljuk azt a meredekséget, mellyel végül lépünk: k 1 = f(t, y(t)) (35) k 2 = f(t + t t, y(t) k 1) (36) k 3 = f(t + t t, y(t) k 2) (37) k 4 = f(t + t, y(t) + tk 3 ). (38) y(t + t) = y(t) (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) t. (39) A módszer (mint ahogy a neve is mutatja) negyedrendig egzakt, tehát lépésenként csak egy ötödrendű hibát ejt. (A hibaszámítást a vállakozó kedvű olvasókra bízom.) Gyakorlatban ez a módszer stabil, megfelelően használva komoly, tudományosan elvárt pontosságú számítások is végezhetőek vele. Ennél magasabb rendű módszereket csak különösen fontos vagy szélsőségesen magas pontosságot igénylő helyeken használnak (űrkutatás, nemzetvédelem). 9

10 Pszeudo-kód a negyedrendű Runge-Kutta módszerhez Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza f(t,y): y(t) ismeretlen függvény deriváltja t időpillanatban t0: kezdeti időpillanat (gyakorlatban célszerű 0-át választani) y0: kezdeti érték a kezdeti időpillanatban T: végső időpillanat Inicializálás: y := y0 t := t0 Eljárás: Ciklus amíg t < T k1 := f(t,y) k2 := f(t + delta_t / 2, y(t) + delta_t / 2 * k1) k3 := f(t + delta_t / 2, y(t) + delta_t / 2 * k2) k4 := f(t + delta_t, y(t) + delta_t * k3) y := y + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) * delta_t / 6 t := t + delta_t 8. Adaptív lépéshosszváltoztatás Az Euler-módszer bevezetésénél egy integrált (5) diszkretizáltunk (6), de nem tettünk kikötést t lehetséges értékeire, pusztán feltettük, hogy kicsi. A pszeudo-kódokban is látható, hogy a legegyszerűbb megoldás az, ha apró, egyforma t intervallumokra bontjuk az integrálási időt. Ez egy természetes, intuitív feltevés, de kis gondolkodás után finomíthatjuk. A hibászámításoknál látható, hogy a hiba másodrendű, de t-ben és az ismeretlen függvény deriváltjában is másodrendű - a kettő szorzata adja a hiba nagy részét. Ha picit tovább gondolkodunk, ráérezhetünk hogy ez azt jelenti, hogy iteráció közben - tehát az algoritmus futása alatt - új t-ket választhatunk, feltéve hogy az ismeretlen függvény deriváltja (f(t, y(t))) kellően lassan változik! Példa: harmonikus rezgőmozgásnál a nyugalmi helyzete közelében a derivált keveset változik, hiszen a szinuszfüggvény lineárisan indul - a nyugalmi hely környezetében nagy t időkkel léphetünk. Ellenben a maximális amplitúdó közelében (a szinusz csúcsánál) a derivált gyorsan változik, itt apró t időket választhatunk - megtartva a kívánt pontosságot! Összességében elmondható, hogy az adaptív lépéshosszváltoztatás rengeteget gyorsíthat a numerikus rutinokon, miközben egy előre megadott pontossághatárt megtarthatunk. Hogy válasszuk ki az optimális új t lépéshosszt? Használjunk egyszerre egy alacsonyabb és egy magasabb rendű módszert! (Vagy ugyanazt a módszert két különböző t lépésközzel.) A hibát a kettő módszer eredményének különbségéből máris megkaphatjuk. Hasonlítsuk össze ezt a kívánt hibával, ha túl nagy a hibánk, akkor rövidítsük a lépésközt és kezdjük előlről a lépés számítását (azaz ne tegyük még meg a lépést). Ha túl kicsi a hibánk, akkor lépjünk a pontosabb módszerrel, de növeljük meg a lépésközt, ezzel feltéve (és bízva abban), hogy a derivált nem változik a következő lépésig túl sokat, tehát az új, nagyobb lépésköz a következő lépésben az elvárt hibán belül lesz! 10

11 Felhasznált irodalom Bronstejn, Musiol, Mühlig, Szemengyajev, Matematikai Kézikönyv, 8. kiadás (2004) Saját egyetemi jegyzet 11

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN KOVÁCS ZOLTÁN 1. Bevezetés A természeti jelenségeket sokszor differenciálegyenletekkel lehet leírni: a vizsgált mennyiség például

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok

Részletesebben

Megerősítéses tanulás 7. előadás

Megerősítéses tanulás 7. előadás Megerősítéses tanulás 7. előadás 1 Ismétlés: TD becslés s t -ben stratégia szerint lépek! a t, r t, s t+1 TD becslés: tulajdonképpen ezt mintavételezzük: 2 Akcióértékelő függvény számolása TD-vel még mindig

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. 1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Differenciál egyenletek

Differenciál egyenletek Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Peltier-elemek vizsgálata

Peltier-elemek vizsgálata Peltier-elemek vizsgálata Mérés helyszíne: Vegyész labor Mérés időpontja: 2012.02.20. 17:00-20:00 Mérés végrehatói: Budai Csaba Sánta Botond I. Seebeck együttható közvetlen kimérése Az adott P-N átmenetre

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma: 2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 17. Leadás dátuma: 2008. 10. 08. 1 1. Mérések ismertetése Az első részben egy téglalap keresztmetszetű

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét

Részletesebben

DELTA (Δ) ÉS DÉ (d) Hegedűs János Leőwey Klára Gimnázium, Pécs az ELTE Természettudományi Kar PhD hallgatója hegejanos@gmail.com

DELTA (Δ) ÉS DÉ (d) Hegedűs János Leőwey Klára Gimnázium, Pécs az ELTE Természettudományi Kar PhD hallgatója hegejanos@gmail.com DELTA (Δ) ÉS DÉ (d) Hegedűs János Leőwey Klára Gimnázium, Pécs az ELTE Természettudományi Kar PhD hallgatója hegejanos@gmail.com BEVEZETŐ PROBLÉMAFELVETÉS A diákoknak a sebesség szó hallatán kizárólag

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Fizika példák a döntőben

Fizika példák a döntőben Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén

Részletesebben

Kinematika 2016. február 12.

Kinematika 2016. február 12. Kinematika 2016. február 12. Kinematika feladatokat oldunk me, szamárháromszö helyett füvényvizsálattal. A szamárháromszöel az a baj, hoy a feladat meértése helyett valami szabály formális használatára

Részletesebben

3. Jelöljük meg a numerikus gyökkereső módszerekre vonatkozó egyedüli helyes kijelentést:

3. Jelöljük meg a numerikus gyökkereső módszerekre vonatkozó egyedüli helyes kijelentést: INFORMATICĂ PENTRU FIZICIENI 1. Egy mechanikai rendszerre vonatkozó Newtoni-mozgástörvényben megjelenő valamely paraméter nem pontos. Milyen típusú hibát eredményez az említett bizonytalanság az egyenlet

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Mikroszkóp vizsgálata és folyadék törésmutatójának mérése (8-as számú mérés) mérési jegyzõkönyv

Mikroszkóp vizsgálata és folyadék törésmutatójának mérése (8-as számú mérés) mérési jegyzõkönyv (-as számú mérés) mérési jegyzõkönyv Készítette:, II. éves fizikus... Beadás ideje:... / A mérés leírása: A mérés során egy mikroszkóp különbözõ nagyítású objektívjeinek nagyítását, ezek fókusztávolságát

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Mechatronika alapjai órai jegyzet

Mechatronika alapjai órai jegyzet - 1969-ben alakult ki a szó - Rendszerek és folyamatok, rendszertechnika - Automatika, szabályozás - számítástechnika Cd olvasó: Dia Mechatronika alapjai órai jegyzet Minden mechatronikai rendszer alapstruktúrája

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Jelek és rendszerek Gyakorlat_02. A gyakorlat célja megismerkedni a MATLAB Simulink mőködésével, filozófiájával.

Jelek és rendszerek Gyakorlat_02. A gyakorlat célja megismerkedni a MATLAB Simulink mőködésével, filozófiájával. A gyakorlat célja megismerkedni a MATLAB Simulink mőködésével, filozófiájával. A Szimulink programcsomag rendszerek analóg számítógépes modelljének szimulálására alkalmas grafikus programcsomag. Egy SIMULINK

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Kutatási beszámoló. 2015. február. Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése

Kutatási beszámoló. 2015. február. Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése Kutatási beszámoló 2015. február Gyüre Balázs BME Fizika tanszék Dr. Simon Ferenc csoportja Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése A TKI-Ferrit Fejlsztő és Gyártó Kft.-nek munkája

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I.

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I. : Intelligens Rendszerek Gyakorlata Neurális hálózatok I. dr. Kutor László http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/ir2.html IRG 3/1 Trend osztályozás Pnndemo.exe IRG 3/2 Hangulat azonosítás Happy.exe IRG 3/3

Részletesebben

C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika

C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika Dr. Schuster György 2011. június 16. C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika 2011. június 16. 1 / 15 Pointerek (mutatók) Pointerek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

4. Kartell két vállalat esetén

4. Kartell két vállalat esetén 4. Kartell két vállalat esetén 34 4. Kartell két vállalat esetén Ebben a fejezetben azzal az esettel foglalkozunk, amikor a piacot két vállalat uralja és ezek összejátszanak. A vállalatok együttműködését

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül

EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNY egyszerű deriválása logaritmikus differenciálás nélkül Mottók: - Aki tanít, az kétszeresen tanul. - Egy a valóság, ezer a ruhája. A logaritmikus differenciálás módszerét akkor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben