Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciálegyenletek numerikus megoldása"

Átírás

1 Differenciálegyenletek numerikus megoldása 2010, Pécsi Tudományegyetem Kollár Bálint (Utolsó változtatás: október 23.) Közönséges differenciálegyenleten olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy egyváltozós függvény, és az egyenletben ezen ismeretlen függvény különböző rendű deriváltjai szerepelnek, illetve egy- és többváltozós ismert (adott) függvények. A differenciálegyenlet rendje a benne szereplő ismeretlen függvény legmagasabb rendű deriváltjának a rendje. A differenciálegyenlet megoldásához kezdeti feltételekre van szükség, illetve másod- vagy magasabb rendű differenciálegyenleteknél peremfeltételeket is megadhatunk a kezdeti feltételek helyett. A differenciálegyenletek vagy differenciálegyenlet-rendszerek numerikus megoldását az a puszta tény motiválja, hogy a természetben előforduló valós problémákat leíró differenciálegyenletek (egyenletrendszerek) túlnyomó többsége analitikus formában nem megoldható, nincs a megoldásnak ismert zárt alakja. (Példának okáért gondolhatunk kaotikus rendszerekre.) A továbbiakban a differenciálegyenletek numerikus megoldásának néhány közkedvelt módját ismertetem. 1. Euler-módszer Az Euler-módszer a legegyszerűbb módszer differenciálegyenlet-rendszerek numerikus megoldására. A következő kezdeti feltételekkel adott differenciálegyenletet szeretnénk megoldani: dy(t) dt = f(t, y(t)), (1) y(t0) = y0. (2) (Azaz kíváncsiak vagyunk y(t ) értékére minden számunkra érdekes T időpillanatban úgy, hogy közben y(t ) kielégítse y(t = t0) = y0, azaz a (2) feltételt.) Megoldás: (1) mindkét oldalát integráljuk: T majd a Newton-Leibniz szabályt alkalmazzuk: ami átrendezés és (2) felhasználása után: t0 dy(t) T dt = f(t, y(t))dt, (3) dt t0 y(t ) y(t0) = y(t ) = y0 + T T t0 t0 f(t, y(t))dt, (4) f(t, y(t))dt. (5) Diszkretizáljuk az utolsó kifejezés jobb oldalán álló integrált (bontsuk véges t összegekre a t0-tól T -ig terjedő intevallumot)! T y(t ) = y0 + f(t, y(t)) t. (6) t=t0 1

2 Ne felejtsük el, hogy ez csak t 0 határesetben megy át (5) be. Elsőrendű Euler-módszer: Használjuk (6) kifejezést véges t értékek mellett. Mit is jelent ez a gyakorlatban? y(t) ismeretlen függvény kezdeti értékét ismerjük (2), (1) kifejezésbe írva a kezdeti értéket megkapjuk az ismeretlen függvény deriváltját ebben a kezdeti időpillanatban. A jobb oldali szumma tartalmaz ismeretlen tagokat is (hiszen függ y(t) olyan értékeitől amiket még nem ismerünk), de a szumma legelső tagja kiszámolható, ami a következő kifejezéshez vezet: y(t0 + t) = y0 + f(t0, y(t0)) t. (7) (Ha egy pillanatra visszaírjuk f(t, y(t)) helyére y(t) deriváltját (1)-ből, akkor a következőt kapjuk: y(t0 + t) = y0 + dy(t) dt t. (8) t=t0 Vegyük észre, hogy ez nem más mint egy Taylor-sorfejtés az első tagig! Ennek később még hasznát fogjuk venni.) Térjünk vissza (7) kifejezéshez. Ez a kifejezés már csupa ismert dolgot tartalmaz, tehát építőkőként használhatjuk és iteratív módon algoritmust írhatunk belőle, mely megoldja a kívánt feladatot! Minden egyes iterácíós lépésben pusztán az aktuális időpillanatban ismert függvény és derivált értéket kell felhasználnunk (az ilyen módszereket nevezzük egylépésesnek). Tehát az Euler-módszer egy tetszőleges lépése így írható: y(t + t) = y(t) + f(t, y(t)) t. (9) Az algoritmizálásban kevésbé jártasak kedvéért álljon itt egy lehetséges pszeudo-kód, mely megvalósítja az elsőrendű Euler-módszert. Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza f(t,y): y(t) ismeretlen függvény deriváltja t időpillanatban t0: kezdeti időpillanat (gyakorlatban célszerű 0-át választani) y0: kezdeti érték a kezdeti időpillanatban T: végső időpillanat Inicializálás: y := y0 t := t0 Eljárás: Ciklus amíg t < T y := y + f(t,y) * delta_t t := t + delta_t 2

3 2. Newton-féle mozgásegyenlet megoldása Feladat: adott a következő Newton-féle mozgásegyenlet ẍ(t) = 1 F (x, ẋ, t) m (10) x(t0) = x0 (11) ẋ(t0) = v0, (12) ahol a " " (pont) a fizikusok között elterjedt jelölés az idő szerinti deriválás rövid jelzésére. Oldjuk meg a feladatot elsőrendű Euler-módszer segítségével! Megoldás: Vegyük észre, hogy a Newton-féle mozgásegyenlet másodrendű. Az Euler-módszer mégis alkalmazható rá. Vezessünk be egy új változót (a sebességet) és bontsuk szét a differenciálegyenletet két elsőrendű csatolt differenciálegyenletre! v(t) = ẋ(t) (13) v(t) = 1 F (x, v, t) m (14) x(t0) = x0 (15) v(t0) = v0. (16) Majd a (9) kifejezés alapján lépésenként iteráljuk az egyenleteket, tehát x(t + t) = x(t) + v(t) t (17) v(t + t) = v(t) + 1 F (x, v, t) t, m (18) (19) természetesen az iteráció első lépéseben a (15) és (16) kezdeti feltételeket kell felhasználni. 3

4 Pszeudo-kód a Newton-féle mozgásegyenlet megoldásához elsőrendű Euler-módszerrel: Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza F(x,v,t): erőtörvény m: tömeg t0: kezdeti időpillanat (gyakorlatban célszerű 0-át választani) x0: kezdeti hely v0: kezdeti sebesség T: végső időpillanat Inicializálás: x := x0 v := v0 t := t0 Eljárás: Ciklus amíg t < T x_uj := x + v * delta_t v_uj := v + (1/m) * F(x,v,t) * delta_t v := v_uj x := x_uj t := t + delta_t Figyeljük meg, hogy a változók csak akkor kapják meg új értéküket, mikor már minden derivált kiértékelése megtörtént az előző időpillanatban érvényes értékekkel! Ez az Euler-módszer levezetéséből következő szabály, ha nem így csinálnánk az algoritmust, akkor az helytelen eredményt adna, illetve instabil lenne. 4

5 3. Peremérték feladatok megoldása A Newton-féle mozgásegyenlet megoldása már valós probléma, ráadásul másodrendű, tehát a kezdeti felételek helyett peremfeltételek is megadhatóak. E feladatok igen fontosak reális rendszereknél, rengeteg valós kérdést fel lehet tenni. (Pl.: Merre célozzunk egy ágyúval, hogy eltaláljuk vele az ellenség lőporraktárát.) Ezek a feladatok általában sokkal nehezebben oldhatóak meg és sokkal számításigényesebbek, mint a kezdetiérték feladatok. Egyáltalán azt is meg kell vizsgálni, hogy a feladatnak egyáltalán van-e megoldása adott peremfeltételek mellett. (Ha az ágyúnk 100 km-re van a céltól és csak pár grammnyi lőporunk van, akkor bajos megtalálni a megoldást - eltalálni a célt.) Nézzük meg a konkrét ágyús példánkant! Adott: ẍ(t) = 0 (20) ÿ(t) = g m (21) x(0) = 0 (22) y(0) = 0 (23) (ẋ(t0)) 2 + (ẏ(t0)) 2 = v0 (24) x(t) = c (25) y(t) = 0, (26) azaz a (0; 0) pontban állunk, az ágyúgolyó kezdősebessége v0, és a célpont a (c; 0) pontban tartózkodik, közegellenállas nincs, csak a gravitáció hat a golyóra. (Az egyszerűség kedvéért feltesszük hogy c pozitív.) Az előbbieket követve könnyen felírhatjuk az Euler-módszerrel való iteráció menetét, a kezdősebesség irányát azonban nem tudjuk - hiszen ennek a meghatározása lenne a feladatunk. Tudjuk, hogy az ágyúgolyónk legmesszebbre akkor repül, ha 45 fokban lőjük ki (a cél felé). Tehát indítsuk el az algoritmust a 45 foknak megfelelő kezdősebességből. Ha a golyónk nem éri el a célt - annál hamarabb leesik, akkor tudjuk, hogy a feladatnak nincs megoldása, az adott kezdősebesség mellett a golyót nem lehet eljuttatni a célig. Ha pont eltalálja (itt tegyük fel, hogy az eltalálás azt jelenti, hogy adott hibahatárnál - a cél méreténél - közelebb esik le), akkor szerencsénk van, végeztünk. Viszont valószínűbb, hogy messze túllőttünk a célon. Ilyenkor indul az igazi megoldás, keressük felező kereséssel meg az ideális szöget! Vegyünk fel két intervallum határt, kezdetben ez 0 és 45. Lőjük ki a golyót a két határ között középen elhelyezkedő számnak megfelelő szöggel (22,5 fok). Ha túllöttünk a célon, akkor a felső határt csökkentsük le az előző lövés szintjére, ha túl közel lövünk, akkor viszont az alsó határt emeljük az előző lövés szintjére. Majd újra a két határ közt félúton (átlag) lévő szöggel próbálkozzunk. Ismételjük ezt az eljárást addig, amíg hibahatáron belül el nem találjuk a célt! (Itt vegyük észre, hogy ennek az ágyúgolyós feladatnak két megoldása is lehet, tehát ha 45 foknál nagyobb szögek között keresünk, akkor is találhatunk olyan irányt, amikor a golyó eltalálja a célt - ez esetben egy nagyobb íven repülve.) 5

6 Az algoritmus pszeudo-kódja a következő: Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza g: gravitációs állandó m: tömeg c: célpont helye v0: kezdeti sebesség err: célpont helyének hibája Eljárás: vx := cos(45) * v0; vy := sin(45) * v0; x := 0 y := 0 t := 0 Ciklus amíg y >= 0 x_uj := x + vx * delta_t y_uj := y + vy * delta_t vx_uj := vx vy_uj := vy - (g/m) * delta_t x := x_uj y := y_uj vx := vx_uj vy := vy_uj t := t + delta_t Ha x-c < err akkor kiírat(45 fok), algoritmus vége Ha x < c akkor kiírat(a cél túl messze van), algoritmus vége fok_also := 0 fok_felso := 45 Ciklus amíg x-c > err vx := cos((fok_also + fok_felso) / 2) * v0; vy := sin((fok_also + fok_felso) / 2) * v0; x := 0 y := 0 t := 0 Ciklus amíg y >= 0 x_uj := x + vx * delta_t y_uj := y + vy * delta_t vx_uj := vx vy_uj := vy - (g/m) * delta_t x := x_uj y := y_uj vx := vx_uj vy := vy_uj 6

7 t := t + delta_t Ha x-c > err akkor Ha x > c akkor fok_felso := (fok_also + fok_felso) / 2 Ha c > x akkor fok_also := (fok_also + fok_felso) / 2 kiírat((fok_also + fok_felso) / 2 fok) Tudni kell azonban, hogy nem minden peremérték feladatot ilyen egyszerű megoldani. Kaotikus rendszereknél ez a módszer nem működik, ott általában nincs más megoldás, mint puszta erővel (brute force) a lehető legtöbb kezdőállapotot végignézni és megtalálni azt, ami nekünk megfelő. 4. Euler-módszer hibája Fejtsük Taylor-sorba az ismeretlen y(t) függvény megváltozását kis t idő alatt: y(t + t) = y(t) + dy(t ) dt t + 1 t 2 =t d 2 y(t ) dt 2 ( t) (27) t =t Vessük ezt össze a (9) kifejezéssel, azaz az elsőrendű Euler-módszer egy időlépésével. A Taylor-sorfejtés jól viselkedő függvények esetén egzakt, tehát becsülhetjük vele az Euler-módszer hibáját. Ha a két kifejezés különbségét vesszük, akkor minden kiesik, kivéve a másod- és magasabb rendű tagokat, tehát ebből láthatjuk, hogy az elsőrendű Euler-módszer lépésenként egy másodrendű hibát ejt! Az összlépésszám hibája tehát e másodrendű hibák összegével arányos, ami kellően nagyra tud nőni akár egyszerű rendszerek esetén is - a függvények tipikusan "felrobbannak" a rendszer összenergiája exponenciálisan elszáll tehát a gyakorlatban az elsőrendű Euler-módszert állatorvosi ló szerepén kívül másra nem használják. A továbbiakban az elsőrendű Euler-módszernél hatékonyabb módszereket mutatok be, melyek többnyire mentesek az ilyen veszélyektől, komolyabb számításokhoz is használhatóak. 5. Magasabb rendű Euler-módszerek Mint korábban láttuk, az elsőrendű Euler-módszer felfogható úgy, hogy egy ismeretlen y(t) függvény kis megváltozását a Taylor-sorfejtés első rendjéig közelítjük. Ha azonban több tagot is felhasználunk, akkor pontosabb lesz a közelítés, így jutunk el a magasabb rendű Euler-módszerekig. Ezek alapján könnyű belátni, hogy egy másodrendű Euler-módszer egy lépése így néz ki a harmadrendűé pedig y(t + t) = y(t) + f(t, y(t)) t + d f(t, y(t)) ( t) 2, (28) dt 2! y(t + t) = y(t) + f(t, y(t)) t + d f(t, y(t)) ( t) 2 + d2 f(t, y(t)) ( t) 3, (29) dt 2! dt 2 3! és így tovább. Felmerülhet a kérdés, hogy ha ez ilyen egyszerű, akkor miért nem állunk meg itt és használunk sokadrendű Euler-módszereket? A válasz abban rejlik, hogy f(t, y(t)) (azaz y(t) időderiváltjának) a deriváltjait is ki kell számítani, ezek a deriváltak pedig nagyon bonyolultak lehetnek (vagy nem is 7

8 tudjuk az erőtörvényt deriválni, mert nem ismerjük a zárt alakját - pl. csak mérési adataink vannak). A behelyettesítés rengeteg gépidőt elvehet, illetve a bonyolult kifejezések kiértékelése során rengeteg numerikus (kerekítési) hibát ejthetünk. Extrém esetben a Taylor-sorfejtés nem konvergál megfelelően, épp hogy romlik tőle a közelítés. A másik lehetőségünk hogy t-t minden határon túl csökkentjük. Ez egyrészt szélsőséges módon megnöveli a számításigényt, másrészt ha túl picire választjuk meg, akkor kerekítési gondok is felléphetnek: a számítógép véges pontossággal számol, ha egy túl nagy számhoz adunk egy túl picit (a változás egy pici t szorzó!) akkor értékes tizedesjegyeket veszthetünk, pont az áhított pontosságot rontva. Tehát láthatjuk, hogy más módszert kell találnunk, ha a pontosságot szeretnénk a sebességgel és a könnyű kiszámíthatósággal ötvözni. 6. Középpontos módszer (Midpoint method) A középpontos módszer a nevét onnan kapta, hogy egy adott időpillanatban nem az ott érvényes deriválttal lépünk, hanem a kívánt lépésköz felénél érvényes deriválttal: a keresett görbe meredekségét a lépés két végpontja között félútról válasszuk. Tehát: y(t + t) = y(t) + f(t + t t, y(t + )) t. (30) 2 2 A gond csupán az, hogy nem ismerjük f függvény értékét t + t/2 időpillanatban, csak t időpillanatban. Viszont közelíthetjük az értéket az elsőrendű Euler-módszerrel! Így a végeredmény: y(t + t) = y(t) + f(t + t 2 Hibaszámítás: Az előző kifejezést írjuk át Taylor-sorhoz hasonlító egyeszerűbb alakba Fejtsük sorba első rendig y(t + t 2 ) -t majd bontsuk ki a kifejezést t d y(t + y(t + t) = y(t) + dt y(t + t) = y(t) + d dt (, y(t) + f(t, y(t)) t) t. (31) 2 2 ) y(t) + d y(t) dt t. (32) ) t t, (33) 2 y(t + t) = y(t) + d y(t) t + d2 y(t) ( t) 2. (34) dt dt 2 2 Összevetve a kifejezést az ismeretlen függvény Taylor sorfejtésével láthatjuk, hogy másodrendig egzakt a középpontos módszer, a hibája harmadrendű. A középpontos módszer előnyei: több számítással jár mint az elsőrendű Euler, viszont másodrendű. A másodrendű Eulerhez képest azt nyerjük, hogy nem kell az ismeretlen függvény második deriváltját kiszámítani, elég az első deriváltat használni, így összességében elmondhatjuk hogy általában kevesebb számítást igényel. A módszer gyakorlatban már használható, ám komoly számításhoz még nem elegendő, viszont ahol a pontosság nem fontos, ott többnyire elfogadható stabilitással működik. 8

9 Pszeudo-kód a középpontos módszerhez: Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza f(t,y): y(t) ismeretlen függvény deriváltja t időpillanatban t0: kezdeti időpillanat (gyakorlatban célszerű 0-át választani) y0: kezdeti érték a kezdeti időpillanatban T: végső időpillanat Inicializálás: y := y0 t := t0 Eljárás: Ciklus amíg t < T k := y + f(t,y) * delta_t / 2 y := y + f(t + delta_t / 2, k) * delta_t t := t + delta_t 7. Runge-Kutta módszer A középpontos módszernél láthattuk az alapötletet: számoljunk kicsit többet, de csak az első deriváltat felhasználva, és ha a részeredményeket megfelelően súlyozva felhasznájuk, akkor ezzel kisebb hibát véthetünk, kevesebbet számolva. (Hivalatosan a középpontos módszer is a Runge-Kutta módszerek közé tartozik.) A legelterjedtebb és igen gyakran használt a negyedrendű Runge-Kutta módszer. Az alábbi segédderiváltakat kell hozzá kiszámolni (ebben a sorrendben): Ezekből számoljuk azt a meredekséget, mellyel végül lépünk: k 1 = f(t, y(t)) (35) k 2 = f(t + t t, y(t) k 1) (36) k 3 = f(t + t t, y(t) k 2) (37) k 4 = f(t + t, y(t) + tk 3 ). (38) y(t + t) = y(t) (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) t. (39) A módszer (mint ahogy a neve is mutatja) negyedrendig egzakt, tehát lépésenként csak egy ötödrendű hibát ejt. (A hibaszámítást a vállakozó kedvű olvasókra bízom.) Gyakorlatban ez a módszer stabil, megfelelően használva komoly, tudományosan elvárt pontosságú számítások is végezhetőek vele. Ennél magasabb rendű módszereket csak különösen fontos vagy szélsőségesen magas pontosságot igénylő helyeken használnak (űrkutatás, nemzetvédelem). 9

10 Pszeudo-kód a negyedrendű Runge-Kutta módszerhez Ismert paraméterek: delta_t: egy időlépés hossza f(t,y): y(t) ismeretlen függvény deriváltja t időpillanatban t0: kezdeti időpillanat (gyakorlatban célszerű 0-át választani) y0: kezdeti érték a kezdeti időpillanatban T: végső időpillanat Inicializálás: y := y0 t := t0 Eljárás: Ciklus amíg t < T k1 := f(t,y) k2 := f(t + delta_t / 2, y(t) + delta_t / 2 * k1) k3 := f(t + delta_t / 2, y(t) + delta_t / 2 * k2) k4 := f(t + delta_t, y(t) + delta_t * k3) y := y + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) * delta_t / 6 t := t + delta_t 8. Adaptív lépéshosszváltoztatás Az Euler-módszer bevezetésénél egy integrált (5) diszkretizáltunk (6), de nem tettünk kikötést t lehetséges értékeire, pusztán feltettük, hogy kicsi. A pszeudo-kódokban is látható, hogy a legegyszerűbb megoldás az, ha apró, egyforma t intervallumokra bontjuk az integrálási időt. Ez egy természetes, intuitív feltevés, de kis gondolkodás után finomíthatjuk. A hibászámításoknál látható, hogy a hiba másodrendű, de t-ben és az ismeretlen függvény deriváltjában is másodrendű - a kettő szorzata adja a hiba nagy részét. Ha picit tovább gondolkodunk, ráérezhetünk hogy ez azt jelenti, hogy iteráció közben - tehát az algoritmus futása alatt - új t-ket választhatunk, feltéve hogy az ismeretlen függvény deriváltja (f(t, y(t))) kellően lassan változik! Példa: harmonikus rezgőmozgásnál a nyugalmi helyzete közelében a derivált keveset változik, hiszen a szinuszfüggvény lineárisan indul - a nyugalmi hely környezetében nagy t időkkel léphetünk. Ellenben a maximális amplitúdó közelében (a szinusz csúcsánál) a derivált gyorsan változik, itt apró t időket választhatunk - megtartva a kívánt pontosságot! Összességében elmondható, hogy az adaptív lépéshosszváltoztatás rengeteget gyorsíthat a numerikus rutinokon, miközben egy előre megadott pontossághatárt megtarthatunk. Hogy válasszuk ki az optimális új t lépéshosszt? Használjunk egyszerre egy alacsonyabb és egy magasabb rendű módszert! (Vagy ugyanazt a módszert két különböző t lépésközzel.) A hibát a kettő módszer eredményének különbségéből máris megkaphatjuk. Hasonlítsuk össze ezt a kívánt hibával, ha túl nagy a hibánk, akkor rövidítsük a lépésközt és kezdjük előlről a lépés számítását (azaz ne tegyük még meg a lépést). Ha túl kicsi a hibánk, akkor lépjünk a pontosabb módszerrel, de növeljük meg a lépésközt, ezzel feltéve (és bízva abban), hogy a derivált nem változik a következő lépésig túl sokat, tehát az új, nagyobb lépésköz a következő lépésben az elvárt hibán belül lesz! 10

11 Felhasznált irodalom Bronstejn, Musiol, Mühlig, Szemengyajev, Matematikai Kézikönyv, 8. kiadás (2004) Saját egyetemi jegyzet 11

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

4. Kartell két vállalat esetén

4. Kartell két vállalat esetén 4. Kartell két vállalat esetén 34 4. Kartell két vállalat esetén Ebben a fejezetben azzal az esettel foglalkozunk, amikor a piacot két vállalat uralja és ezek összejátszanak. A vállalatok együttműködését

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I.

Intelligens Rendszerek Gyakorlata. Neurális hálózatok I. : Intelligens Rendszerek Gyakorlata Neurális hálózatok I. dr. Kutor László http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/ir2.html IRG 3/1 Trend osztályozás Pnndemo.exe IRG 3/2 Hangulat azonosítás Happy.exe IRG 3/3

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

növekedése a processzorok számának növekedésénél sokkal nagyobb mértékben nő (szuper gyorsítási effektus).

növekedése a processzorok számának növekedésénél sokkal nagyobb mértékben nő (szuper gyorsítási effektus). A beszámolás tárgyát képező kutatási program címe: Soft computing számítógépes realizálása számítógépes algoritmusokkal. A pályázat beadásának idejében a soft computing elnevezés három egymással összefüggő

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban tehát attól függ, hogy x milyen értéket vesz fel. A függvényeket a közgazdaságtanban is a jól ismert derékszögû koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol a változók nevének megfelelõen általában a vízszintes

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

Wien-hidas oszcillátor mérése (I. szint)

Wien-hidas oszcillátor mérése (I. szint) Wien-hidas oszcillátor mérése () A Wien-hidas oszcillátor az egyik leggyakrabban alkalmazott szinuszos rezgéskeltő áramkör, melyet egyszerűen kivitelezhető hangolhatóságának, kedvező amplitúdó- és frekvenciastabilitásának

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Mérd fel magad könnyedén!

Mérd fel magad könnyedén! Mérd fel magad könnyedén! 1. Töltsük ki arab számokkal a kipontozott helyeket úgy, hogy igaz legyen az alábbi mondat: Ebben a mondatban... db 1-es,... db 2-es,... db 3-as,... db 4-es,... db 5-ös,... db

Részletesebben

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra 1 A kvadratrixról A kvadratrix más néven triszektrix nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/kvadratrix#mediaviewer/file:quadratrix_animation.gif

Részletesebben

Pere Balázs. a fizikában

Pere Balázs. a fizikában Pere Balázs Variációs elvek és módszerek a fizikában Győr, 1998 2 3 Tartalomjegyzék Előszó 5 1. Variációszámítás 7 1.1. A brachisztochron-probléma................... 7 1.2. A legegyszerűbb variációs probléma...............

Részletesebben

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter Programozási tételek Dr. Iványi Péter 1 Programozási tételek A programozási tételek olyan általános algoritmusok, melyekkel programozás során gyakran találkozunk. Az algoritmusok általában számsorozatokkal,

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

A mintavételezéses mérések alapjai

A mintavételezéses mérések alapjai A mintavételezéses mérések alapjai Sok mérési feladat során egy fizikai mennyiség időbeli változását kell meghatároznunk. Ha a folyamat lassan változik, akkor adott időpillanatokban elvégzett méréssel

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Debreceni Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Nemzeti Fejlesztési Ügynökség

Részletesebben

Sportági teljesítmény diagnosztika, méréseredmények feldolgozása, alkalmazása az edzéstervezés folyamatában.

Sportági teljesítmény diagnosztika, méréseredmények feldolgozása, alkalmazása az edzéstervezés folyamatában. Sportági teljesítmény diagnosztika, méréseredmények feldolgozása, alkalmazása az edzéstervezés folyamatában. Új technológia a kajak-kenu sportban: ArguStress Sport-Pro Kayak - Általános cél Folyamatosan

Részletesebben

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

Félvezetk vizsgálata

Félvezetk vizsgálata Félvezetk vizsgálata jegyzkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetje: Böhönyei András Mérés dátuma: 010. március 4. Leadás dátuma: 010. március 17. Mérés célja A mérés célja a szilícium tulajdonságainak

Részletesebben

Merev testek mechanikája. Szécsi László

Merev testek mechanikája. Szécsi László Merev testek mechanikája Szécsi László Animáció időfüggés a virtuális világmodellünkben bármely érték lehet időben változó legjellemzőbb: a modell transzformáció időfüggése mozgó tárgyak módszerek az időfüggés

Részletesebben

QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése

QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése QualcoDuna jártassági vizsgálatok - A 2014. évi program rövid ismertetése Szegény Zsigmond WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft., Jártassági Vizsgálati Osztály szegeny.zsigmond@qualcoduna.hu 2014.01.21. 2013.

Részletesebben

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Rikker Tamás tudományos igazgató WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft. 2013. január 17. Kis történelem 1920-as években, a Bell Laboratórium telefonjainak

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.

Részletesebben

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát! Konduktometriás titrálás kiértékelése Excel program segítségével (Office 2007) Alapszint 1. A mérési adatokat írjuk be a táblázat egymás melletti oszlopaiba. Az első oszlopba kerül a fogyás, a másodikba

Részletesebben

38. A gráfalgoritmusok alkalmazása

38. A gráfalgoritmusok alkalmazása 38. A gráfalgoritmusok alkalmazása Állapotok és átmenetek A gráf adattípus nagyon sokféle feladat megoldásánál alkalmazható. Rejtvények, játékok, közlekedési és szállítási problémák, stratégiai feladatok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

ASTER motorok. Felszerelési és használati utasítás

ASTER motorok. Felszerelési és használati utasítás 1. oldal ASTER motorok Felszerelési és használati utasítás A leírás fontossági és bonyolultsági sorrendben tartalmazza a készülékre vonatkozó elméleti és gyakorlati ismereteket. A gyakorlati lépések képpel

Részletesebben

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) =

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az együttfutásról általában, és konkrétan 2.

Az együttfutásról általában, és konkrétan 2. Az együttfutásról általában, és konkrétan 2. Az első részben áttekintettük azt, hogy milyen számítási eljárás szükséges ahhoz, hogy egy szuperheterodin készülék rezgőköreit optimálisan tudjuk megméretezni.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben