Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése"

Átírás

1 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként magáról a megoldásról igen keveset tudunk, de a sík minden pontjában ismerjük a megoldásgörbe érintőjének meredekségét. Kalmár László, volt szegedi professzor, ezt találóan úgy szemléltette, minta a sík minden pontjában állna egy-egy közlekedési rendőr, akik jeleznék, ogy a ponton átaladó görbe milyen irányban aladat. És valóban, bevált gyakorlat a differenciálegyenletek tanulmányozása során, ogy megfelelő pontokban megrajzoljuk az érintők egy darabkáját, azzal a céllal, ogy a megoldások viselkedésére következtetessünk ezek alapján. A 5.. ábra az y = x és a y = x egyenesekre tengelyesen, azok metszéspontjára pedig középpontosan szimmetrikus. Az ábrát összevetve a 3.. ábrával, könnyen látató, ogy ábránk egyenes-darabkái egymást és az y = x egyenest az origóban érintő körök érintői. A asonlat annyira találó, ogy bizonyos rendszerek esetében valóban van leetőség ilyen közlekedési rendőrök elelyezésére. Természetesen inkább csak az indikátor szerepét töltik be, iszen nem ők mutatják meg, ogy merre aladatnak a görbék, sokkal inkább csak jelzik azok érintőinek irányát az adott pontban. 45

2 46 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése A dy dx = y x xy y x +xy 5.. ábra. differenciálegyenlet alapján rajzolató iránymező. 5.. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják.

3 5.. Egylépéses módszerek ábra. A vasreszelék rajzolata sokkal részletesebbenen jeleníti meg a mágneses erővonalakat. Gondoljunk csak a már általános iskolások által is ismert fizikai kísérletekre, amelyek bemutatásakor mágnestűket illetve vasreszeléket elyezünk egy rúdmágnes erőterébe. Az 5.. ábrán látató íránytűk állásából és az 5.3. ábra vasszemcséinek elrendeződésével létrejövő rajzolatból következtetetünk a mágneses erővonalak irányára. Az adott rendszer sajátságaitól függően más és más leetőséget találatunk a rendszer jellemzőinek bemutatására. A természetet járva megfigyeletjük, aogyan egy patak medrében élő vizinövények szára, levelei legalábbis azt mutatják, ogy milyen kölcsönatás van az áramló folyadék és a növény részei között. A szélcsatornában végzett áramlástani vizsgálatok esetében sokszor füsttel teszik látatóvá az áramló levegő útját. (Minta Kalmár professzor úr közlekedési rendőreit rávettük volna, ogy üljenek motorra és mutassák az utat.) Vajon megadatóe ennek a matamatikai megfelelője? 5.. Egylépéses módszerek Fölasználva a kezdetiérték-probléma geometriai jelentésében rejlő leetőséget, szemléltetetjük néány közelítő megoldás elvét. Bár a (3.8) egyenlet szolgál

4 48 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése a későbbiek alapjául a (3.9) feltétel mellett, az eljárások általánosítása könnyen elvégezető (3.) vonatkozásában is. Szükséges továbbá még azt is megjegyezni, ogy az alábbiakban csupán néány úgynevezett diszkrét módszer tárgyalására szorítkozunk, amelyek jellemző módon a megoldás közelítésére csak véges sok pontban adnak leetőséget, tetszőleges pontossággal. Geometriai értelemben teát a közelítő megoldások megadása ekvivalens egy P 0,P,...,P n pontsorozat megadásával, aol T (0 i n) és P 0 megfelel a kezdeti feltételnek. Ennek kapcsán adjunk meg továbbá egy R pozitív lépésközt, mely kifejezi az egymást követő és pontok első koordináinak különbségét. Egy diszkrét módszert k-lépéses módszernek nevezünk, a a következő közelítésez fölasználjuk az őt megelőző k, k+,..., közelítéseket is (i k). A továbbiakban náány egylépéses módszert (k = ) említünk egy leetséges szemléltetési módra koncentrálva Explicit Euler-módszer Az Euler-módszer a kezdetiérték feladatok numerikus megoldására alkalmazató legegyszerűbb eljárás. Az alapgondolat az, ogy a feladat (3.8) egyenletéből kiszámítató Ẋ(t 0), ami a keresett X(t) függvény deriváltjának értéke a t 0 elyen. Ez pontosan a keresett függvény görbéjének P 0 ( t0,x(t 0 ) ) pontjában rajzolató érintő a egyenes f(t 0,x 0 ) meredeksége. Ezen az egyenesen keressük meg azt a P pontot, aminek első koordinátája t 0 +. A pontsorozat következő, P elemének megatározásában P -nek ugyanaz a szerepe, mint korábban P 0 -nak volt P esetében. Általánosítva az előzőeket teát (t i,x i ) pont ismeretében a következő, (i > 0) közelítő pont koordinátáit t i = t i + x i = x i + k (5.) aol k = f(t i,x i ) szerint számítatjuk. Ezekre a továbbiakban az egyszerűség kedvéért numerikus módszer -ként fogunk ivatkozni, ott aol ez nem okoz félreértést. A továbbiakban megkülönböztetjük az X(t) függvény t i elyen vett X(t i ) elyettesítési értékét, a t i -ez tartozó közelítés x i értékétől. Erre azért van szükség, mert az i = 0 esettől eltekintve általában x i X(t i ), de x 0 = X(t 0 ) biztosan teljesül.

5 5.. Egylépéses módszerek 49 A fentieket vektorokkal szemléltetve az 5.4. ábra mutatja be. Ennek alapján elyvektorát megkapjuk, a elyvektoráoz ozzáadunk egy olyan a-val páruzamos vektort, melynek első koordinátája. Ennek pontosan megfelel a vektor. # ( ), k a t i t i 5.4. ábra. Euler-módszer egy lépésének szemléltetése vektorokkal Javított Euler-módszer Az Euler-módszernek már egy lépése is mivel az a egyenes egy pontját választjuk a közelítés következő pontjának elég jelentősen letéret a pontos megoldás görbéjéről. A további lépések során az ebből származó iba tovább almozódat. Az 5.4. ábra alapján következtetetünk arra, ogy a értékének csökkentésével ez mérsékelető, ami azonban csökkenti az eljárás atékonyságát.

6 50 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése Határozzuk meg most a következő, pontot a t i = t i + x i = x i + k b aol k a = f(t i,x i ) k b = f(t i +,x i + k a) (5.) összefüggések alapján. Az eljárás geometriai jelentését az 5.5. ábra szemlélteti. Először az Euler-módszernek megfelelően keressük meg a k a = f(t i, x i ) meredekségű a egyenesnek azt az A pontját, amelynek első koordinátája t i +. Az ábrán b jelöli az A ponton átaladó görbe érintőjét, melynek meredeksége k b. Ezt praktikusan úgy nyerjük, ogy A koordinátáit beelyettesítjük az f ( t, X(t) ) A a b t i t i 5.5. ábra. Javított Euler-módszer szemléltetése.

7 5.. Egylépéses módszerek 5 függvénybe. A következő lépésben atározzuk meg elyét úgy, ogy b P # i teljesüljön és első koordinátája t i legyen. A szimmetria miatt ez a megoldás általában pontosabb eredményt szolgáltat Runge Kutta-módszer Ez az eljárás szintén egy lépéses módszer. A t i = t i + x i = x i + 6 (k a + k b + k c + k d ) aol k a = f(t i, x i ) k b = f(t i +, x i + k a) k c = f(t i +,x i + k b) k d = f(t i +, x i + k c ) (5.3) szabályok a negyed rendű Runge Kutta-módszer egyik leetséges megadási módját jelentik. Összevetve az (5.) és az (5.3) összefüggéseket látató, ogy k a és k b értékét azonos módon származtatják. A javított Euler-módszerez képest azonban k b -t ami az A pontoz tartozó b érintő egyenes meredeksége fölasználjuk a B pont megatározásáoz, amelyre teljesül, ogy b P # i B és B első koordinátája t i +. Jelölje c a B pontba rajzolató érintőt, amelynek meredeksége (5.3) alapján k c. Ezt fölasználjuk a C pont megatározásáoz, amelyre teljesül, ogy c P # i C és C első koordinátája t i. Az itt rajzolató d érintő egyenes meredeksége pedig k d. A pontoz tartozó irányon kívül, a fenti módon megatározott A,B és C pontokban számítató meredekségeket a 5.7. ábrán látató módon veetjük figyelembe megatározásában.

8 5 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése c 6 b c B a b A d C t i t i 5.6. ábra. További pontok (A, B,C) kijelölése a negyed rendű Runge Kutta-módszerben. aol és Legyen teljesül. # = v + v + v 3 + v 4 a v ; b v ; c v 3 ; d v 4 ( ( ( ( ) v 6 ; 6 k a ), v 3 ; 3 k b ), v 3 3 ; 3 k c ), v 4 6 ; 6 k d 5.3. Közelítő módszerek ibája A fenti numerikus módszerek fontos jellemzője, ogy az egymást követő lépések sorozatán keresztül mekkora ibát almoznak föl. Egy módszer e n globális ibája

9 5.3. Közelítő módszerek ibája c v B a v v3 b A v 4 d C t i t i 5.7. ábra. A és a C pontokban számított meredekséget egyszeres, míg a A és a B-ben számítottakat pedig kétszeres súllyal vettük figyelembe. azt fejezi ki, ogy n lépés végreajtása után a módszerrel számított közelítő érték milyen mértékben tér el a függvény pontos értékétől. A továbbiakban a korábban tárgyalt árom módszert asonlítjuk össze ebből a szempontból egy kezdetiérték feladat kapcsán. Legyen adott az Ẋ(t) = λx(t); X(0) = (5.4) kezdetiérték feladat és a közelítést a [0; ] intervallumon végezzük. A feladat megoldása X(t) = e λt alakban adató meg. Ennek ismerete leetővé teszi azt, ogy a kezdeti feltételnek megfelelően a P 0 (0,) pontból kiinduló pontos megoldás görbéjéez az intervallum fölső atárán tartozó függvényértéket összeasonlítsuk a numerikus módszerek által, a fölső atáron

10 54 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése szolgáltatott közelítő értékekkel. Ezzek alapján számítató az eljárások e n globális ibája. Az e n értéke természetesen nem csak a közelítés módjától, anem a lépésköz nagyságától is függ. (A értékét a [0; ] intervallum n részre történő osztásávan állítjuk elő.) Hogy képet alkotassunk a lépésköz változtatásának szerepéről, mindárom közelítő módszer esetében többször is elvégezzük a közelítéseket úgy, ogy a lépésszámot az előző kétszeresére növeljük, azaz felére csökkentjük a lépésközt. e n X t n X n e n n ábra. Az Euler-módszer globális ibájának változása lépésköz függvényében. en e n X t n X n e n n ábra. A javított Euler-módszer globális ibájának változása lépésköz függvényében. en

11 5.3. Közelítő módszerek ibája 55 e n X t n X n e n n ábra. A Runge Kutta-módszer globális ibájának változása a lépésköz függvényében. en Az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok rendre az Euler-, a javított Euler- és a Runge Kutta-módszerek fölasználásával készültek a (5.4) kezdetiérték feladat közelítő megoldása során (λ = 4, 5). A táblázatok mindárom módszer esetében nyolc közelítő számítás eredményeit tartalmazzák, amelyeket a [0; ] intervallum egyre finomdó felosztásai mellett végeztünk. A közelítéseket mindárom esetben először = 0 lépésközzel végeztül (n = 0), és a következőben a értékét felére csökkentettük, azaz az osztópontok számát kétszeresére növeltük. Így a legutolsó számításokat már a = 80 értéke mellett végeztük. (Az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok első (n) és második () oszlopa.) Az egyes sorok teát a következőket tartalmazzák : n : a közelítő lépések száma, : a lépésköz nagysága az aktuális n lépésszám esetén, X(t n ) : a pontos függvényérték az intervallum végén ( X() ), X n : a közelítő érték az n. lépés után, az intervallum végén, e n : a közelítés globális ibája ( X(t n ) X n ), e n e : n az aktuális és az előző közelítés globális ibáinak ányadosa 3. Mindárom táblázatban megfigyelatő, ogy az X n oszlopának értékei egyre jobban közelítenek a pontos X() értékez az n növekedésével. Ez természetesen azt is jelenti, ogy a globális iba e n értéke is egyre csökken ezzel együtt. 3 Ez a ányados természetesen a táblázatok első soraiban nem értelmezető.

12 56 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése A továbbiakban a globális iba csökkenésének mértékére vonatkozóan szeretnénk megállapítást tenni. Érdekes azt is megfigyelni, ogy a fenti táblázatok utolsó oszlopainak en e n értékei ogyan változnak az n növekedésével. Ha figyelembe vesszük, ogy az 5.8. táblázatban az n = értéke esetén ebben az oszlopban 0, , illetve az 5.9. táblázatban ugyanitt 0, szerepelne, akkor megalapozottnak tünet az a feltevés, ogy az egyes táblázatokban az n növelésével az e n e n értékei, és 4 értékekez közelítenek. Egy numerikus módszert konvergensnek nevezünk az adott I intervallumon ( t n I), a lim 0 x n = X(t n ), azaz lim 0 e n = 0. Az előzőekből is látató, ogy a globális iba nagyságát a értéke jelentősen befolyásolja. Ugyanakkor az is nyilvánvaló, ogy a különböző módszerek globális ibái is másként viselkednek a értékének változtatásával. Az mondjuk, ogy a globális iba p-ed rendű, a megadató olyan r valós konstans, ogy teljesül. e n r p (5.5) Az előzőek leetőséget adnak a numerikus módszerek jellemzésére is, ugyanis p-ed rendűnek nevezünk egy numerikus módszert, a globális ibája p-ed rendű. Jelölje n az intervallum adott felosztásáoz tartozó lépésközt, teát esetünkben n n = teljesül. Ha a numerikus módszer konvergens, akkor a definíció szerint e n globális ibája 0-oz tart a felosztás finomításával. Ebből következik, ogy e n e n teljesül (minden n esetén), valamint szintén konvergens, a n. Hozzuk most az (5.5) összefüggést e n e n e n ( n ) p r alakúra, ami kifejezi, ogy minden lépésközöz találató olyan r valós szám, amelynél a fenti ányados nem nagyobb. Érdekes még azt is megfigyelni, ogyan változik

13 5.3. Közelítő módszerek ibája 57 a ányadosok értéke a lépésköz finomításával a különböző numerikus módszerek esetében. Azt mutatja be az 5.. táblázat és jóval szemléletesebb módon az 5.. ábra is, ogy nem túlságosan neéz feladat ilyen r számot találni. n Eulermódszer e n 6, , , , e n, 0 0, 75 0, 0, 30 0 javított Eulermódszer e n 6, , , , e n, 737 0, 705 0, 696 0, Runge Kuttamódszer e n, , , , e n 4, , 784 0, 783 0, táblázat. A en ( n) ányados változása a lépésköz csökkentésével. p A vizsgálatok során az elsőként alkalmazott lépésköz = 0 volt. Jelölje j annak a közelítő számításnak a sorszámát 4, amelyben a lépésköz j = 0 j volt. A fentiek alapján a lim j e j e j r ( j ) p = lim j r ( j ) p = p atárérték számítató és így összeasonlítatóvá válnak a numerikus módszerek a közelítés pontossága szempontjából. A fentiekkel látató módon összangban vannak az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok utolsó oszlopainak értékei, a p rendre, és 4. 4 Ez egyben az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok soraira értelmezető sorszámozás is egyben, a az 0-val kezdődik. Ugyanakkor n = 0 j is teljesül.

14 58 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése r j 5.. ábra. A en ( n) ányados változása a lépésköz csökkentésével Javított Euler-módszer esetében Prediktor-korrektor-módszerek Az explicit Euler-módszerez úgy is eljutatunk, a a (3.8) egyenlet bal oldalán az Ẋ(t) deriváltat a megfelelő differencia ányadossal elyettesítjük: Ezt az összefüggést X(t i ) X(t i ) Ẋ(t i ) = f ( t i,x(t i ) ) X(t i ) X(t i ) + f ( t i, X(t i ) ) alakra ozva t i és X(t i ) ismeretében fölasználatjuk X(t i ) értékének közelítésére. Lényegében ezt tettük az explicit Euler-módszer minden lépésében. Ha most a fentiekez asonló módon a (3.8) egyenlet segítségévek az Ẋ(t i) derivált értéket értelmezzük, akkor az összefüggés átrendezésével X(t i ) X(t i ) Ẋ(t i) = f ( t i,x(t i ) ) X(t i ) X(t i ) + f ( t i, X(t i ) )

15 5.4. Prediktor-korrektor-módszerek 59 nyerető. A pontos X(t i ), X(t i ) értékek elyébe az x i, x i közelítő értékeket írva, az alábbiak szerint értelmezetjük az implicit Euler módszert: x i = x i + f ( t i,x i ). Látató módon az egyenlőség mindkét oldalán szerepel a keresett x i érték. Ennek kifejezetőségét és így a módszer közvetlen asználatóságát az f-függvény atározza meg, és általában lineáris rendszerek esetében előnyös. e i 4 0 t i t i 5.. ábra. Implicit Euler-módszer (prediktor-korrektor-módszerben). Ha azonban a t i = t i + x [l+] i = x i + k aol k = f(t i,x [l] i ) (l = 0,,...) és x [0] i adott (5.6)

16 60 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése összefüggésnek megfelelően megadjuk a kezdő, x [0] i értéket az 5.. ábra szerinti módon, explicit Euler-módszerrel akkor néány iteráció 5 után x [l] i értékére az X(t i ) pontos értékét jobban közelítő értéket kapunk. Így egy olyan módszert nyertünk, amelyben a következő, x i közelítő érték megatározását egy explicit mószer segítségével kiválasztott értéket ( x [0] ) i, egy implicit módszer segítségável teszünk pontosabbá kellő számú iteratív lépés során. Az exlicit módszert prediktornak, míg az imlicit módszert korrektornak nevezzük. Ha a numerikus integrálás trapéz formulája alapján a [t i,t i ] mindkét végpontjáoz tartozó meredekség értékeket azonos súllyal vesszük figyelembe a következő közelítő pont megatározásáoz, a trapéz-módszer néven ismert implicit módszert kapjuk. Ennek korrektor-módszerként történő alkalmazása a e t i t i 5.3. ábra. Trapéz-módszer (prediktor-korrektor-módszerben). 5 Ez általában -3 iterációs lépést jelent.

17 5.4. Prediktor-korrektor-módszerek 6 t i = t i + x [l+] i = x i + k szabályok alapján történet. aol k = f(t i, x i ) + f(t i, x [l] (l = 0,,...) és x [0] i adott i ) (5.7) A 5.3. ábrán jól látató, ogy a trapéz-módszer korrektor módszerként való alkalmazása révén kevesebb iterációs lépés szükséges a következő, pont kijelöléséez közel azonos pontossággal. k t i x [k] i implicit Euler-módszer ( [k] d E ; P [k ] ) i x [k] i Trapéz-módszer ( [k] d t ;P [k ] i 0 0,40 0, , ,40 0, ,393 0,0538 0,6466 0,40 0, , ,30 0, ,40 0, , , , ,40 0,0064 0, , , ,40 0,3633 0,6068 0,563 0, ,40 0,87 0,9446 0,5373 0, ,40 0, ,7505 0, , ,40 0,3937 0,5754 0,5405 0, táblázat. A két módszerre épülő prediktor-korrektor módszer első néány iterációjának eredménye. ) Erre a 5.. táblázat adatai szolgálnak magyarázattal. A pontsorozatok konvergenciáját jellemezetjük az egymást követő pontok távolságainak d E ; P [k ] ) ( [k] i ( [k] és d t ;P [k ] ) i sorozatával. Látató, ogy az imlicit Euler-módszer esetében az egymást követő pontok távolsága közelítőleg lineárisan csökken, míg a Trapézmódszer esetében a távolságok a következő iterációs lépésben jó közelítéssel megfeleződnek. Ezek az összefüggések még szemléletesebben jelennek meg a táblázat adatai alapján készült 5.4. ábrán. (Az ábrán folytonos vonallal összekötött pontok jelölik a trapéz-módszerez tartozó, a 5.. táblázat utolsó oszlopában találató adatokat.)

18 6 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése d k 5.4. ábra. Implicit Euler-módszer és a trapéz-módszer konvergenciája (prediktor-korrektor-módszerben).

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása Differenciálegyenletek numerikus megoldása 2010, Pécsi Tudományegyetem Kollár Bálint (Utolsó változtatás: 2010. október 23.) Közönséges differenciálegyenleten olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban tehát attól függ, hogy x milyen értéket vesz fel. A függvényeket a közgazdaságtanban is a jól ismert derékszögû koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol a változók nevének megfelelõen általában a vízszintes

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) =

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője.

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

A 2007/2008. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából

A 2007/2008. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából Oktatási Hiatal A 007/008. tanéi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából II. kategória A dolgozatok elkészítéséez minden segédeszköz asználató. Megoldandó

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2005/2006 SZÁMÍTÁSTECHNIKA

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2005/2006 SZÁMÍTÁSTECHNIKA Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2005/2006 SZÁMÍTÁSTECHNIKA II. (regionális) forduló 2006. február 17... Helyszín fejbélyegzője Versenyző Pontszám Kódja Elérhető Elért Százalék. 100..

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 13. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát! Konduktometriás titrálás kiértékelése Excel program segítségével (Office 2007) Alapszint 1. A mérési adatokat írjuk be a táblázat egymás melletti oszlopaiba. Az első oszlopba kerül a fogyás, a másodikba

Részletesebben

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése 1 /11 (C) http://kgt.bme.hu/ A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése Varian 20.3-6. 21. fejezet Termelési és hasznossági függvény (ismétlés

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Modern fizika laboratórium

Modern fizika laboratórium Modern fizika laboratórium Röntgen-fluoreszcencia analízis Készítette: Básti József és Hagymási Imre 1. Bevezetés A röntgen-fluoreszcencia analízis (RFA) egy roncsolásmentes anyagvizsgálati módszer. Rövid

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Polimerek fizikai, mechanikai, termikus tulajdonságai

Polimerek fizikai, mechanikai, termikus tulajdonságai SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ANYAGISMERETI ÉS JÁRMŰGYÁRTÁSI TANSZÉK POLIMERTECHNIKA NGB_AJ050_1 Polimerek fizikai, mechanikai, termikus tulajdonságai DR Hargitai Hajnalka 2011.10.05. BURGERS FÉLE NÉGYPARAMÉTERES

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Köszönetnyilvánítás. 1. Az alapok 1

Tartalomjegyzék. Köszönetnyilvánítás. 1. Az alapok 1 Köszönetnyilvánítás Bevezetés Kinek szól a könyv? Elvárt előismeretek A könyv témája A könyv használata A megközelítés alapelvei Törekedjünk az egyszerűségre! Ne optimalizáljunk előre! Felhasználói interfészek

Részletesebben

A legrövidebb idő elve

A legrövidebb idő elve A legrövidebb idő elve Tekintsük a következő problémát. Egy ember valamilyen s távolságra áll egy tó egyenesnek tekintető partjától amikor észreveszi, ogy a tóban a part mentén l távolsággal feljebb, a

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó............................................... 6. GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS

Részletesebben

A matematikai modellalkotás folyamatáról

A matematikai modellalkotás folyamatáról Máté László A matematikai modellalkotás folyamatáról 1. A felsőoktatás tömegessé válása olyan problémákat vet fel a matematika oktatásában amelyek a matematikai ismeretszerzés folyamatának az átgondolására

Részletesebben

Megoldások 4. osztály

Megoldások 4. osztály Brenyó Mihály Pontszerző Matematikaverseny Megyei döntő 2015. február 14. Megoldások 4. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől,

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben