Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése"

Átírás

1 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként magáról a megoldásról igen keveset tudunk, de a sík minden pontjában ismerjük a megoldásgörbe érintőjének meredekségét. Kalmár László, volt szegedi professzor, ezt találóan úgy szemléltette, minta a sík minden pontjában állna egy-egy közlekedési rendőr, akik jeleznék, ogy a ponton átaladó görbe milyen irányban aladat. És valóban, bevált gyakorlat a differenciálegyenletek tanulmányozása során, ogy megfelelő pontokban megrajzoljuk az érintők egy darabkáját, azzal a céllal, ogy a megoldások viselkedésére következtetessünk ezek alapján. A 5.. ábra az y = x és a y = x egyenesekre tengelyesen, azok metszéspontjára pedig középpontosan szimmetrikus. Az ábrát összevetve a 3.. ábrával, könnyen látató, ogy ábránk egyenes-darabkái egymást és az y = x egyenest az origóban érintő körök érintői. A asonlat annyira találó, ogy bizonyos rendszerek esetében valóban van leetőség ilyen közlekedési rendőrök elelyezésére. Természetesen inkább csak az indikátor szerepét töltik be, iszen nem ők mutatják meg, ogy merre aladatnak a görbék, sokkal inkább csak jelzik azok érintőinek irányát az adott pontban. 45

2 46 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése A dy dx = y x xy y x +xy 5.. ábra. differenciálegyenlet alapján rajzolató iránymező. 5.. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják.

3 5.. Egylépéses módszerek ábra. A vasreszelék rajzolata sokkal részletesebbenen jeleníti meg a mágneses erővonalakat. Gondoljunk csak a már általános iskolások által is ismert fizikai kísérletekre, amelyek bemutatásakor mágnestűket illetve vasreszeléket elyezünk egy rúdmágnes erőterébe. Az 5.. ábrán látató íránytűk állásából és az 5.3. ábra vasszemcséinek elrendeződésével létrejövő rajzolatból következtetetünk a mágneses erővonalak irányára. Az adott rendszer sajátságaitól függően más és más leetőséget találatunk a rendszer jellemzőinek bemutatására. A természetet járva megfigyeletjük, aogyan egy patak medrében élő vizinövények szára, levelei legalábbis azt mutatják, ogy milyen kölcsönatás van az áramló folyadék és a növény részei között. A szélcsatornában végzett áramlástani vizsgálatok esetében sokszor füsttel teszik látatóvá az áramló levegő útját. (Minta Kalmár professzor úr közlekedési rendőreit rávettük volna, ogy üljenek motorra és mutassák az utat.) Vajon megadatóe ennek a matamatikai megfelelője? 5.. Egylépéses módszerek Fölasználva a kezdetiérték-probléma geometriai jelentésében rejlő leetőséget, szemléltetetjük néány közelítő megoldás elvét. Bár a (3.8) egyenlet szolgál

4 48 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése a későbbiek alapjául a (3.9) feltétel mellett, az eljárások általánosítása könnyen elvégezető (3.) vonatkozásában is. Szükséges továbbá még azt is megjegyezni, ogy az alábbiakban csupán néány úgynevezett diszkrét módszer tárgyalására szorítkozunk, amelyek jellemző módon a megoldás közelítésére csak véges sok pontban adnak leetőséget, tetszőleges pontossággal. Geometriai értelemben teát a közelítő megoldások megadása ekvivalens egy P 0,P,...,P n pontsorozat megadásával, aol T (0 i n) és P 0 megfelel a kezdeti feltételnek. Ennek kapcsán adjunk meg továbbá egy R pozitív lépésközt, mely kifejezi az egymást követő és pontok első koordináinak különbségét. Egy diszkrét módszert k-lépéses módszernek nevezünk, a a következő közelítésez fölasználjuk az őt megelőző k, k+,..., közelítéseket is (i k). A továbbiakban náány egylépéses módszert (k = ) említünk egy leetséges szemléltetési módra koncentrálva Explicit Euler-módszer Az Euler-módszer a kezdetiérték feladatok numerikus megoldására alkalmazató legegyszerűbb eljárás. Az alapgondolat az, ogy a feladat (3.8) egyenletéből kiszámítató Ẋ(t 0), ami a keresett X(t) függvény deriváltjának értéke a t 0 elyen. Ez pontosan a keresett függvény görbéjének P 0 ( t0,x(t 0 ) ) pontjában rajzolató érintő a egyenes f(t 0,x 0 ) meredeksége. Ezen az egyenesen keressük meg azt a P pontot, aminek első koordinátája t 0 +. A pontsorozat következő, P elemének megatározásában P -nek ugyanaz a szerepe, mint korábban P 0 -nak volt P esetében. Általánosítva az előzőeket teát (t i,x i ) pont ismeretében a következő, (i > 0) közelítő pont koordinátáit t i = t i + x i = x i + k (5.) aol k = f(t i,x i ) szerint számítatjuk. Ezekre a továbbiakban az egyszerűség kedvéért numerikus módszer -ként fogunk ivatkozni, ott aol ez nem okoz félreértést. A továbbiakban megkülönböztetjük az X(t) függvény t i elyen vett X(t i ) elyettesítési értékét, a t i -ez tartozó közelítés x i értékétől. Erre azért van szükség, mert az i = 0 esettől eltekintve általában x i X(t i ), de x 0 = X(t 0 ) biztosan teljesül.

5 5.. Egylépéses módszerek 49 A fentieket vektorokkal szemléltetve az 5.4. ábra mutatja be. Ennek alapján elyvektorát megkapjuk, a elyvektoráoz ozzáadunk egy olyan a-val páruzamos vektort, melynek első koordinátája. Ennek pontosan megfelel a vektor. # ( ), k a t i t i 5.4. ábra. Euler-módszer egy lépésének szemléltetése vektorokkal Javított Euler-módszer Az Euler-módszernek már egy lépése is mivel az a egyenes egy pontját választjuk a közelítés következő pontjának elég jelentősen letéret a pontos megoldás görbéjéről. A további lépések során az ebből származó iba tovább almozódat. Az 5.4. ábra alapján következtetetünk arra, ogy a értékének csökkentésével ez mérsékelető, ami azonban csökkenti az eljárás atékonyságát.

6 50 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése Határozzuk meg most a következő, pontot a t i = t i + x i = x i + k b aol k a = f(t i,x i ) k b = f(t i +,x i + k a) (5.) összefüggések alapján. Az eljárás geometriai jelentését az 5.5. ábra szemlélteti. Először az Euler-módszernek megfelelően keressük meg a k a = f(t i, x i ) meredekségű a egyenesnek azt az A pontját, amelynek első koordinátája t i +. Az ábrán b jelöli az A ponton átaladó görbe érintőjét, melynek meredeksége k b. Ezt praktikusan úgy nyerjük, ogy A koordinátáit beelyettesítjük az f ( t, X(t) ) A a b t i t i 5.5. ábra. Javított Euler-módszer szemléltetése.

7 5.. Egylépéses módszerek 5 függvénybe. A következő lépésben atározzuk meg elyét úgy, ogy b P # i teljesüljön és első koordinátája t i legyen. A szimmetria miatt ez a megoldás általában pontosabb eredményt szolgáltat Runge Kutta-módszer Ez az eljárás szintén egy lépéses módszer. A t i = t i + x i = x i + 6 (k a + k b + k c + k d ) aol k a = f(t i, x i ) k b = f(t i +, x i + k a) k c = f(t i +,x i + k b) k d = f(t i +, x i + k c ) (5.3) szabályok a negyed rendű Runge Kutta-módszer egyik leetséges megadási módját jelentik. Összevetve az (5.) és az (5.3) összefüggéseket látató, ogy k a és k b értékét azonos módon származtatják. A javított Euler-módszerez képest azonban k b -t ami az A pontoz tartozó b érintő egyenes meredeksége fölasználjuk a B pont megatározásáoz, amelyre teljesül, ogy b P # i B és B első koordinátája t i +. Jelölje c a B pontba rajzolató érintőt, amelynek meredeksége (5.3) alapján k c. Ezt fölasználjuk a C pont megatározásáoz, amelyre teljesül, ogy c P # i C és C első koordinátája t i. Az itt rajzolató d érintő egyenes meredeksége pedig k d. A pontoz tartozó irányon kívül, a fenti módon megatározott A,B és C pontokban számítató meredekségeket a 5.7. ábrán látató módon veetjük figyelembe megatározásában.

8 5 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése c 6 b c B a b A d C t i t i 5.6. ábra. További pontok (A, B,C) kijelölése a negyed rendű Runge Kutta-módszerben. aol és Legyen teljesül. # = v + v + v 3 + v 4 a v ; b v ; c v 3 ; d v 4 ( ( ( ( ) v 6 ; 6 k a ), v 3 ; 3 k b ), v 3 3 ; 3 k c ), v 4 6 ; 6 k d 5.3. Közelítő módszerek ibája A fenti numerikus módszerek fontos jellemzője, ogy az egymást követő lépések sorozatán keresztül mekkora ibát almoznak föl. Egy módszer e n globális ibája

9 5.3. Közelítő módszerek ibája c v B a v v3 b A v 4 d C t i t i 5.7. ábra. A és a C pontokban számított meredekséget egyszeres, míg a A és a B-ben számítottakat pedig kétszeres súllyal vettük figyelembe. azt fejezi ki, ogy n lépés végreajtása után a módszerrel számított közelítő érték milyen mértékben tér el a függvény pontos értékétől. A továbbiakban a korábban tárgyalt árom módszert asonlítjuk össze ebből a szempontból egy kezdetiérték feladat kapcsán. Legyen adott az Ẋ(t) = λx(t); X(0) = (5.4) kezdetiérték feladat és a közelítést a [0; ] intervallumon végezzük. A feladat megoldása X(t) = e λt alakban adató meg. Ennek ismerete leetővé teszi azt, ogy a kezdeti feltételnek megfelelően a P 0 (0,) pontból kiinduló pontos megoldás görbéjéez az intervallum fölső atárán tartozó függvényértéket összeasonlítsuk a numerikus módszerek által, a fölső atáron

10 54 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése szolgáltatott közelítő értékekkel. Ezzek alapján számítató az eljárások e n globális ibája. Az e n értéke természetesen nem csak a közelítés módjától, anem a lépésköz nagyságától is függ. (A értékét a [0; ] intervallum n részre történő osztásávan állítjuk elő.) Hogy képet alkotassunk a lépésköz változtatásának szerepéről, mindárom közelítő módszer esetében többször is elvégezzük a közelítéseket úgy, ogy a lépésszámot az előző kétszeresére növeljük, azaz felére csökkentjük a lépésközt. e n X t n X n e n n ábra. Az Euler-módszer globális ibájának változása lépésköz függvényében. en e n X t n X n e n n ábra. A javított Euler-módszer globális ibájának változása lépésköz függvényében. en

11 5.3. Közelítő módszerek ibája 55 e n X t n X n e n n ábra. A Runge Kutta-módszer globális ibájának változása a lépésköz függvényében. en Az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok rendre az Euler-, a javított Euler- és a Runge Kutta-módszerek fölasználásával készültek a (5.4) kezdetiérték feladat közelítő megoldása során (λ = 4, 5). A táblázatok mindárom módszer esetében nyolc közelítő számítás eredményeit tartalmazzák, amelyeket a [0; ] intervallum egyre finomdó felosztásai mellett végeztünk. A közelítéseket mindárom esetben először = 0 lépésközzel végeztül (n = 0), és a következőben a értékét felére csökkentettük, azaz az osztópontok számát kétszeresére növeltük. Így a legutolsó számításokat már a = 80 értéke mellett végeztük. (Az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok első (n) és második () oszlopa.) Az egyes sorok teát a következőket tartalmazzák : n : a közelítő lépések száma, : a lépésköz nagysága az aktuális n lépésszám esetén, X(t n ) : a pontos függvényérték az intervallum végén ( X() ), X n : a közelítő érték az n. lépés után, az intervallum végén, e n : a közelítés globális ibája ( X(t n ) X n ), e n e : n az aktuális és az előző közelítés globális ibáinak ányadosa 3. Mindárom táblázatban megfigyelatő, ogy az X n oszlopának értékei egyre jobban közelítenek a pontos X() értékez az n növekedésével. Ez természetesen azt is jelenti, ogy a globális iba e n értéke is egyre csökken ezzel együtt. 3 Ez a ányados természetesen a táblázatok első soraiban nem értelmezető.

12 56 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése A továbbiakban a globális iba csökkenésének mértékére vonatkozóan szeretnénk megállapítást tenni. Érdekes azt is megfigyelni, ogy a fenti táblázatok utolsó oszlopainak en e n értékei ogyan változnak az n növekedésével. Ha figyelembe vesszük, ogy az 5.8. táblázatban az n = értéke esetén ebben az oszlopban 0, , illetve az 5.9. táblázatban ugyanitt 0, szerepelne, akkor megalapozottnak tünet az a feltevés, ogy az egyes táblázatokban az n növelésével az e n e n értékei, és 4 értékekez közelítenek. Egy numerikus módszert konvergensnek nevezünk az adott I intervallumon ( t n I), a lim 0 x n = X(t n ), azaz lim 0 e n = 0. Az előzőekből is látató, ogy a globális iba nagyságát a értéke jelentősen befolyásolja. Ugyanakkor az is nyilvánvaló, ogy a különböző módszerek globális ibái is másként viselkednek a értékének változtatásával. Az mondjuk, ogy a globális iba p-ed rendű, a megadató olyan r valós konstans, ogy teljesül. e n r p (5.5) Az előzőek leetőséget adnak a numerikus módszerek jellemzésére is, ugyanis p-ed rendűnek nevezünk egy numerikus módszert, a globális ibája p-ed rendű. Jelölje n az intervallum adott felosztásáoz tartozó lépésközt, teát esetünkben n n = teljesül. Ha a numerikus módszer konvergens, akkor a definíció szerint e n globális ibája 0-oz tart a felosztás finomításával. Ebből következik, ogy e n e n teljesül (minden n esetén), valamint szintén konvergens, a n. Hozzuk most az (5.5) összefüggést e n e n e n ( n ) p r alakúra, ami kifejezi, ogy minden lépésközöz találató olyan r valós szám, amelynél a fenti ányados nem nagyobb. Érdekes még azt is megfigyelni, ogyan változik

13 5.3. Közelítő módszerek ibája 57 a ányadosok értéke a lépésköz finomításával a különböző numerikus módszerek esetében. Azt mutatja be az 5.. táblázat és jóval szemléletesebb módon az 5.. ábra is, ogy nem túlságosan neéz feladat ilyen r számot találni. n Eulermódszer e n 6, , , , e n, 0 0, 75 0, 0, 30 0 javított Eulermódszer e n 6, , , , e n, 737 0, 705 0, 696 0, Runge Kuttamódszer e n, , , , e n 4, , 784 0, 783 0, táblázat. A en ( n) ányados változása a lépésköz csökkentésével. p A vizsgálatok során az elsőként alkalmazott lépésköz = 0 volt. Jelölje j annak a közelítő számításnak a sorszámát 4, amelyben a lépésköz j = 0 j volt. A fentiek alapján a lim j e j e j r ( j ) p = lim j r ( j ) p = p atárérték számítató és így összeasonlítatóvá válnak a numerikus módszerek a közelítés pontossága szempontjából. A fentiekkel látató módon összangban vannak az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok utolsó oszlopainak értékei, a p rendre, és 4. 4 Ez egyben az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok soraira értelmezető sorszámozás is egyben, a az 0-val kezdődik. Ugyanakkor n = 0 j is teljesül.

14 58 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése r j 5.. ábra. A en ( n) ányados változása a lépésköz csökkentésével Javított Euler-módszer esetében Prediktor-korrektor-módszerek Az explicit Euler-módszerez úgy is eljutatunk, a a (3.8) egyenlet bal oldalán az Ẋ(t) deriváltat a megfelelő differencia ányadossal elyettesítjük: Ezt az összefüggést X(t i ) X(t i ) Ẋ(t i ) = f ( t i,x(t i ) ) X(t i ) X(t i ) + f ( t i, X(t i ) ) alakra ozva t i és X(t i ) ismeretében fölasználatjuk X(t i ) értékének közelítésére. Lényegében ezt tettük az explicit Euler-módszer minden lépésében. Ha most a fentiekez asonló módon a (3.8) egyenlet segítségévek az Ẋ(t i) derivált értéket értelmezzük, akkor az összefüggés átrendezésével X(t i ) X(t i ) Ẋ(t i) = f ( t i,x(t i ) ) X(t i ) X(t i ) + f ( t i, X(t i ) )

15 5.4. Prediktor-korrektor-módszerek 59 nyerető. A pontos X(t i ), X(t i ) értékek elyébe az x i, x i közelítő értékeket írva, az alábbiak szerint értelmezetjük az implicit Euler módszert: x i = x i + f ( t i,x i ). Látató módon az egyenlőség mindkét oldalán szerepel a keresett x i érték. Ennek kifejezetőségét és így a módszer közvetlen asználatóságát az f-függvény atározza meg, és általában lineáris rendszerek esetében előnyös. e i 4 0 t i t i 5.. ábra. Implicit Euler-módszer (prediktor-korrektor-módszerben). Ha azonban a t i = t i + x [l+] i = x i + k aol k = f(t i,x [l] i ) (l = 0,,...) és x [0] i adott (5.6)

16 60 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése összefüggésnek megfelelően megadjuk a kezdő, x [0] i értéket az 5.. ábra szerinti módon, explicit Euler-módszerrel akkor néány iteráció 5 után x [l] i értékére az X(t i ) pontos értékét jobban közelítő értéket kapunk. Így egy olyan módszert nyertünk, amelyben a következő, x i közelítő érték megatározását egy explicit mószer segítségével kiválasztott értéket ( x [0] ) i, egy implicit módszer segítségável teszünk pontosabbá kellő számú iteratív lépés során. Az exlicit módszert prediktornak, míg az imlicit módszert korrektornak nevezzük. Ha a numerikus integrálás trapéz formulája alapján a [t i,t i ] mindkét végpontjáoz tartozó meredekség értékeket azonos súllyal vesszük figyelembe a következő közelítő pont megatározásáoz, a trapéz-módszer néven ismert implicit módszert kapjuk. Ennek korrektor-módszerként történő alkalmazása a e t i t i 5.3. ábra. Trapéz-módszer (prediktor-korrektor-módszerben). 5 Ez általában -3 iterációs lépést jelent.

17 5.4. Prediktor-korrektor-módszerek 6 t i = t i + x [l+] i = x i + k szabályok alapján történet. aol k = f(t i, x i ) + f(t i, x [l] (l = 0,,...) és x [0] i adott i ) (5.7) A 5.3. ábrán jól látató, ogy a trapéz-módszer korrektor módszerként való alkalmazása révén kevesebb iterációs lépés szükséges a következő, pont kijelöléséez közel azonos pontossággal. k t i x [k] i implicit Euler-módszer ( [k] d E ; P [k ] ) i x [k] i Trapéz-módszer ( [k] d t ;P [k ] i 0 0,40 0, , ,40 0, ,393 0,0538 0,6466 0,40 0, , ,30 0, ,40 0, , , , ,40 0,0064 0, , , ,40 0,3633 0,6068 0,563 0, ,40 0,87 0,9446 0,5373 0, ,40 0, ,7505 0, , ,40 0,3937 0,5754 0,5405 0, táblázat. A két módszerre épülő prediktor-korrektor módszer első néány iterációjának eredménye. ) Erre a 5.. táblázat adatai szolgálnak magyarázattal. A pontsorozatok konvergenciáját jellemezetjük az egymást követő pontok távolságainak d E ; P [k ] ) ( [k] i ( [k] és d t ;P [k ] ) i sorozatával. Látató, ogy az imlicit Euler-módszer esetében az egymást követő pontok távolsága közelítőleg lineárisan csökken, míg a Trapézmódszer esetében a távolságok a következő iterációs lépésben jó közelítéssel megfeleződnek. Ezek az összefüggések még szemléletesebben jelennek meg a táblázat adatai alapján készült 5.4. ábrán. (Az ábrán folytonos vonallal összekötött pontok jelölik a trapéz-módszerez tartozó, a 5.. táblázat utolsó oszlopában találató adatokat.)

18 6 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése d k 5.4. ábra. Implicit Euler-módszer és a trapéz-módszer konvergenciája (prediktor-korrektor-módszerben).

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN KOVÁCS ZOLTÁN 1. Bevezetés A természeti jelenségeket sokszor differenciálegyenletekkel lehet leírni: a vizsgált mennyiség például

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia Értékelés: A beadás dátuma: 28. május 13. A mérést végezte: 1/5 A mérés célja A mérés célja az

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós

Részletesebben

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Analóg-digitál átalakítók (A/D konverterek)

Analóg-digitál átalakítók (A/D konverterek) 9. Laboratóriumi gyakorlat Analóg-digitál átalakítók (A/D konverterek) 1. A gyakorlat célja: Bemutatjuk egy sorozatos közelítés elvén működő A/D átalakító tömbvázlatát és elvi kapcsolási rajzát. Tanulmányozzuk

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 25. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK 2007. május 25. 8:00 KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Mikroszkóp vizsgálata és folyadék törésmutatójának mérése (8-as számú mérés) mérési jegyzõkönyv

Mikroszkóp vizsgálata és folyadék törésmutatójának mérése (8-as számú mérés) mérési jegyzõkönyv (-as számú mérés) mérési jegyzõkönyv Készítette:, II. éves fizikus... Beadás ideje:... / A mérés leírása: A mérés során egy mikroszkóp különbözõ nagyítású objektívjeinek nagyítását, ezek fókusztávolságát

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése

2. Rugalmas állandók mérése 2. Rugalmas állandók mérése Klasszikus fizika laboratórium Mérési jegyzőkönyv Mérést végezte: Vitkóczi Fanni Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2012. 12. 15. I. A mérés célja: Két anyag Young-modulusának

Részletesebben

Megerősítéses tanulás 7. előadás

Megerősítéses tanulás 7. előadás Megerősítéses tanulás 7. előadás 1 Ismétlés: TD becslés s t -ben stratégia szerint lépek! a t, r t, s t+1 TD becslés: tulajdonképpen ezt mintavételezzük: 2 Akcióértékelő függvény számolása TD-vel még mindig

Részletesebben

Mágneses mező jellemzése

Mágneses mező jellemzése pólusok dipólus mező mező jellemzése vonalak pólusok dipólus mező kölcsönhatás A mágnesek egymásra és a vastárgyakra erőhatást fejtenek ki. vonalak vonzó és taszító erő pólusok dipólus mező pólusok északi

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása Differenciálegyenletek numerikus megoldása 2010, Pécsi Tudományegyetem Kollár Bálint (Utolsó változtatás: 2010. október 23.) Közönséges differenciálegyenleten olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Reakciókinetika és katalízis

Reakciókinetika és katalízis Reakciókinetika és katalízis 14. előadás: Enzimkatalízis 1/24 Alapfogalmak Enzim: Olyan egyszerű vagy összetett fehérjék, amelyek az élő szervezetekben végbemenő reakciók katalizátorai. Szubsztrát: A reakcióban

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június Vázlat 1

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Kutatási beszámoló. 2015. február. Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése

Kutatási beszámoló. 2015. február. Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése Kutatási beszámoló 2015. február Gyüre Balázs BME Fizika tanszék Dr. Simon Ferenc csoportja Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése A TKI-Ferrit Fejlsztő és Gyártó Kft.-nek munkája

Részletesebben

Differenciál egyenletek

Differenciál egyenletek Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Mágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja

Mágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Mágneses erőtér Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Magnetosztatikai mező: nyugvó állandó mágnesek és egyenáramok időben

Részletesebben

ESR-spektrumok különbözı kísérleti körülmények között A számítógépes értékelés alapjai anizotróp kölcsönhatási tenzorok esetén

ESR-spektrumok különbözı kísérleti körülmények között A számítógépes értékelés alapjai anizotróp kölcsönhatási tenzorok esetén ESR-spektrumok különbözı kísérleti körülmények között A számítógépes értékelés alapjai anizotróp kölcsönhatási tenzorok esetén A paraméterek anizotrópiája egykristályok rögzített tengely körüli forgatásakor

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben