Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése"

Átírás

1 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként magáról a megoldásról igen keveset tudunk, de a sík minden pontjában ismerjük a megoldásgörbe érintőjének meredekségét. Kalmár László, volt szegedi professzor, ezt találóan úgy szemléltette, minta a sík minden pontjában állna egy-egy közlekedési rendőr, akik jeleznék, ogy a ponton átaladó görbe milyen irányban aladat. És valóban, bevált gyakorlat a differenciálegyenletek tanulmányozása során, ogy megfelelő pontokban megrajzoljuk az érintők egy darabkáját, azzal a céllal, ogy a megoldások viselkedésére következtetessünk ezek alapján. A 5.. ábra az y = x és a y = x egyenesekre tengelyesen, azok metszéspontjára pedig középpontosan szimmetrikus. Az ábrát összevetve a 3.. ábrával, könnyen látató, ogy ábránk egyenes-darabkái egymást és az y = x egyenest az origóban érintő körök érintői. A asonlat annyira találó, ogy bizonyos rendszerek esetében valóban van leetőség ilyen közlekedési rendőrök elelyezésére. Természetesen inkább csak az indikátor szerepét töltik be, iszen nem ők mutatják meg, ogy merre aladatnak a görbék, sokkal inkább csak jelzik azok érintőinek irányát az adott pontban. 45

2 46 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése A dy dx = y x xy y x +xy 5.. ábra. differenciálegyenlet alapján rajzolató iránymező. 5.. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják.

3 5.. Egylépéses módszerek ábra. A vasreszelék rajzolata sokkal részletesebbenen jeleníti meg a mágneses erővonalakat. Gondoljunk csak a már általános iskolások által is ismert fizikai kísérletekre, amelyek bemutatásakor mágnestűket illetve vasreszeléket elyezünk egy rúdmágnes erőterébe. Az 5.. ábrán látató íránytűk állásából és az 5.3. ábra vasszemcséinek elrendeződésével létrejövő rajzolatból következtetetünk a mágneses erővonalak irányára. Az adott rendszer sajátságaitól függően más és más leetőséget találatunk a rendszer jellemzőinek bemutatására. A természetet járva megfigyeletjük, aogyan egy patak medrében élő vizinövények szára, levelei legalábbis azt mutatják, ogy milyen kölcsönatás van az áramló folyadék és a növény részei között. A szélcsatornában végzett áramlástani vizsgálatok esetében sokszor füsttel teszik látatóvá az áramló levegő útját. (Minta Kalmár professzor úr közlekedési rendőreit rávettük volna, ogy üljenek motorra és mutassák az utat.) Vajon megadatóe ennek a matamatikai megfelelője? 5.. Egylépéses módszerek Fölasználva a kezdetiérték-probléma geometriai jelentésében rejlő leetőséget, szemléltetetjük néány közelítő megoldás elvét. Bár a (3.8) egyenlet szolgál

4 48 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése a későbbiek alapjául a (3.9) feltétel mellett, az eljárások általánosítása könnyen elvégezető (3.) vonatkozásában is. Szükséges továbbá még azt is megjegyezni, ogy az alábbiakban csupán néány úgynevezett diszkrét módszer tárgyalására szorítkozunk, amelyek jellemző módon a megoldás közelítésére csak véges sok pontban adnak leetőséget, tetszőleges pontossággal. Geometriai értelemben teát a közelítő megoldások megadása ekvivalens egy P 0,P,...,P n pontsorozat megadásával, aol T (0 i n) és P 0 megfelel a kezdeti feltételnek. Ennek kapcsán adjunk meg továbbá egy R pozitív lépésközt, mely kifejezi az egymást követő és pontok első koordináinak különbségét. Egy diszkrét módszert k-lépéses módszernek nevezünk, a a következő közelítésez fölasználjuk az őt megelőző k, k+,..., közelítéseket is (i k). A továbbiakban náány egylépéses módszert (k = ) említünk egy leetséges szemléltetési módra koncentrálva Explicit Euler-módszer Az Euler-módszer a kezdetiérték feladatok numerikus megoldására alkalmazató legegyszerűbb eljárás. Az alapgondolat az, ogy a feladat (3.8) egyenletéből kiszámítató Ẋ(t 0), ami a keresett X(t) függvény deriváltjának értéke a t 0 elyen. Ez pontosan a keresett függvény görbéjének P 0 ( t0,x(t 0 ) ) pontjában rajzolató érintő a egyenes f(t 0,x 0 ) meredeksége. Ezen az egyenesen keressük meg azt a P pontot, aminek első koordinátája t 0 +. A pontsorozat következő, P elemének megatározásában P -nek ugyanaz a szerepe, mint korábban P 0 -nak volt P esetében. Általánosítva az előzőeket teát (t i,x i ) pont ismeretében a következő, (i > 0) közelítő pont koordinátáit t i = t i + x i = x i + k (5.) aol k = f(t i,x i ) szerint számítatjuk. Ezekre a továbbiakban az egyszerűség kedvéért numerikus módszer -ként fogunk ivatkozni, ott aol ez nem okoz félreértést. A továbbiakban megkülönböztetjük az X(t) függvény t i elyen vett X(t i ) elyettesítési értékét, a t i -ez tartozó közelítés x i értékétől. Erre azért van szükség, mert az i = 0 esettől eltekintve általában x i X(t i ), de x 0 = X(t 0 ) biztosan teljesül.

5 5.. Egylépéses módszerek 49 A fentieket vektorokkal szemléltetve az 5.4. ábra mutatja be. Ennek alapján elyvektorát megkapjuk, a elyvektoráoz ozzáadunk egy olyan a-val páruzamos vektort, melynek első koordinátája. Ennek pontosan megfelel a vektor. # ( ), k a t i t i 5.4. ábra. Euler-módszer egy lépésének szemléltetése vektorokkal Javított Euler-módszer Az Euler-módszernek már egy lépése is mivel az a egyenes egy pontját választjuk a közelítés következő pontjának elég jelentősen letéret a pontos megoldás görbéjéről. A további lépések során az ebből származó iba tovább almozódat. Az 5.4. ábra alapján következtetetünk arra, ogy a értékének csökkentésével ez mérsékelető, ami azonban csökkenti az eljárás atékonyságát.

6 50 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése Határozzuk meg most a következő, pontot a t i = t i + x i = x i + k b aol k a = f(t i,x i ) k b = f(t i +,x i + k a) (5.) összefüggések alapján. Az eljárás geometriai jelentését az 5.5. ábra szemlélteti. Először az Euler-módszernek megfelelően keressük meg a k a = f(t i, x i ) meredekségű a egyenesnek azt az A pontját, amelynek első koordinátája t i +. Az ábrán b jelöli az A ponton átaladó görbe érintőjét, melynek meredeksége k b. Ezt praktikusan úgy nyerjük, ogy A koordinátáit beelyettesítjük az f ( t, X(t) ) A a b t i t i 5.5. ábra. Javított Euler-módszer szemléltetése.

7 5.. Egylépéses módszerek 5 függvénybe. A következő lépésben atározzuk meg elyét úgy, ogy b P # i teljesüljön és első koordinátája t i legyen. A szimmetria miatt ez a megoldás általában pontosabb eredményt szolgáltat Runge Kutta-módszer Ez az eljárás szintén egy lépéses módszer. A t i = t i + x i = x i + 6 (k a + k b + k c + k d ) aol k a = f(t i, x i ) k b = f(t i +, x i + k a) k c = f(t i +,x i + k b) k d = f(t i +, x i + k c ) (5.3) szabályok a negyed rendű Runge Kutta-módszer egyik leetséges megadási módját jelentik. Összevetve az (5.) és az (5.3) összefüggéseket látató, ogy k a és k b értékét azonos módon származtatják. A javított Euler-módszerez képest azonban k b -t ami az A pontoz tartozó b érintő egyenes meredeksége fölasználjuk a B pont megatározásáoz, amelyre teljesül, ogy b P # i B és B első koordinátája t i +. Jelölje c a B pontba rajzolató érintőt, amelynek meredeksége (5.3) alapján k c. Ezt fölasználjuk a C pont megatározásáoz, amelyre teljesül, ogy c P # i C és C első koordinátája t i. Az itt rajzolató d érintő egyenes meredeksége pedig k d. A pontoz tartozó irányon kívül, a fenti módon megatározott A,B és C pontokban számítató meredekségeket a 5.7. ábrán látató módon veetjük figyelembe megatározásában.

8 5 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése c 6 b c B a b A d C t i t i 5.6. ábra. További pontok (A, B,C) kijelölése a negyed rendű Runge Kutta-módszerben. aol és Legyen teljesül. # = v + v + v 3 + v 4 a v ; b v ; c v 3 ; d v 4 ( ( ( ( ) v 6 ; 6 k a ), v 3 ; 3 k b ), v 3 3 ; 3 k c ), v 4 6 ; 6 k d 5.3. Közelítő módszerek ibája A fenti numerikus módszerek fontos jellemzője, ogy az egymást követő lépések sorozatán keresztül mekkora ibát almoznak föl. Egy módszer e n globális ibája

9 5.3. Közelítő módszerek ibája c v B a v v3 b A v 4 d C t i t i 5.7. ábra. A és a C pontokban számított meredekséget egyszeres, míg a A és a B-ben számítottakat pedig kétszeres súllyal vettük figyelembe. azt fejezi ki, ogy n lépés végreajtása után a módszerrel számított közelítő érték milyen mértékben tér el a függvény pontos értékétől. A továbbiakban a korábban tárgyalt árom módszert asonlítjuk össze ebből a szempontból egy kezdetiérték feladat kapcsán. Legyen adott az Ẋ(t) = λx(t); X(0) = (5.4) kezdetiérték feladat és a közelítést a [0; ] intervallumon végezzük. A feladat megoldása X(t) = e λt alakban adató meg. Ennek ismerete leetővé teszi azt, ogy a kezdeti feltételnek megfelelően a P 0 (0,) pontból kiinduló pontos megoldás görbéjéez az intervallum fölső atárán tartozó függvényértéket összeasonlítsuk a numerikus módszerek által, a fölső atáron

10 54 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése szolgáltatott közelítő értékekkel. Ezzek alapján számítató az eljárások e n globális ibája. Az e n értéke természetesen nem csak a közelítés módjától, anem a lépésköz nagyságától is függ. (A értékét a [0; ] intervallum n részre történő osztásávan állítjuk elő.) Hogy képet alkotassunk a lépésköz változtatásának szerepéről, mindárom közelítő módszer esetében többször is elvégezzük a közelítéseket úgy, ogy a lépésszámot az előző kétszeresére növeljük, azaz felére csökkentjük a lépésközt. e n X t n X n e n n ábra. Az Euler-módszer globális ibájának változása lépésköz függvényében. en e n X t n X n e n n ábra. A javított Euler-módszer globális ibájának változása lépésköz függvényében. en

11 5.3. Közelítő módszerek ibája 55 e n X t n X n e n n ábra. A Runge Kutta-módszer globális ibájának változása a lépésköz függvényében. en Az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok rendre az Euler-, a javított Euler- és a Runge Kutta-módszerek fölasználásával készültek a (5.4) kezdetiérték feladat közelítő megoldása során (λ = 4, 5). A táblázatok mindárom módszer esetében nyolc közelítő számítás eredményeit tartalmazzák, amelyeket a [0; ] intervallum egyre finomdó felosztásai mellett végeztünk. A közelítéseket mindárom esetben először = 0 lépésközzel végeztül (n = 0), és a következőben a értékét felére csökkentettük, azaz az osztópontok számát kétszeresére növeltük. Így a legutolsó számításokat már a = 80 értéke mellett végeztük. (Az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok első (n) és második () oszlopa.) Az egyes sorok teát a következőket tartalmazzák : n : a közelítő lépések száma, : a lépésköz nagysága az aktuális n lépésszám esetén, X(t n ) : a pontos függvényérték az intervallum végén ( X() ), X n : a közelítő érték az n. lépés után, az intervallum végén, e n : a közelítés globális ibája ( X(t n ) X n ), e n e : n az aktuális és az előző közelítés globális ibáinak ányadosa 3. Mindárom táblázatban megfigyelatő, ogy az X n oszlopának értékei egyre jobban közelítenek a pontos X() értékez az n növekedésével. Ez természetesen azt is jelenti, ogy a globális iba e n értéke is egyre csökken ezzel együtt. 3 Ez a ányados természetesen a táblázatok első soraiban nem értelmezető.

12 56 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése A továbbiakban a globális iba csökkenésének mértékére vonatkozóan szeretnénk megállapítást tenni. Érdekes azt is megfigyelni, ogy a fenti táblázatok utolsó oszlopainak en e n értékei ogyan változnak az n növekedésével. Ha figyelembe vesszük, ogy az 5.8. táblázatban az n = értéke esetén ebben az oszlopban 0, , illetve az 5.9. táblázatban ugyanitt 0, szerepelne, akkor megalapozottnak tünet az a feltevés, ogy az egyes táblázatokban az n növelésével az e n e n értékei, és 4 értékekez közelítenek. Egy numerikus módszert konvergensnek nevezünk az adott I intervallumon ( t n I), a lim 0 x n = X(t n ), azaz lim 0 e n = 0. Az előzőekből is látató, ogy a globális iba nagyságát a értéke jelentősen befolyásolja. Ugyanakkor az is nyilvánvaló, ogy a különböző módszerek globális ibái is másként viselkednek a értékének változtatásával. Az mondjuk, ogy a globális iba p-ed rendű, a megadató olyan r valós konstans, ogy teljesül. e n r p (5.5) Az előzőek leetőséget adnak a numerikus módszerek jellemzésére is, ugyanis p-ed rendűnek nevezünk egy numerikus módszert, a globális ibája p-ed rendű. Jelölje n az intervallum adott felosztásáoz tartozó lépésközt, teát esetünkben n n = teljesül. Ha a numerikus módszer konvergens, akkor a definíció szerint e n globális ibája 0-oz tart a felosztás finomításával. Ebből következik, ogy e n e n teljesül (minden n esetén), valamint szintén konvergens, a n. Hozzuk most az (5.5) összefüggést e n e n e n ( n ) p r alakúra, ami kifejezi, ogy minden lépésközöz találató olyan r valós szám, amelynél a fenti ányados nem nagyobb. Érdekes még azt is megfigyelni, ogyan változik

13 5.3. Közelítő módszerek ibája 57 a ányadosok értéke a lépésköz finomításával a különböző numerikus módszerek esetében. Azt mutatja be az 5.. táblázat és jóval szemléletesebb módon az 5.. ábra is, ogy nem túlságosan neéz feladat ilyen r számot találni. n Eulermódszer e n 6, , , , e n, 0 0, 75 0, 0, 30 0 javított Eulermódszer e n 6, , , , e n, 737 0, 705 0, 696 0, Runge Kuttamódszer e n, , , , e n 4, , 784 0, 783 0, táblázat. A en ( n) ányados változása a lépésköz csökkentésével. p A vizsgálatok során az elsőként alkalmazott lépésköz = 0 volt. Jelölje j annak a közelítő számításnak a sorszámát 4, amelyben a lépésköz j = 0 j volt. A fentiek alapján a lim j e j e j r ( j ) p = lim j r ( j ) p = p atárérték számítató és így összeasonlítatóvá válnak a numerikus módszerek a közelítés pontossága szempontjából. A fentiekkel látató módon összangban vannak az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok utolsó oszlopainak értékei, a p rendre, és 4. 4 Ez egyben az 5.8., 5.9. és az 5.0. táblázatok soraira értelmezető sorszámozás is egyben, a az 0-val kezdődik. Ugyanakkor n = 0 j is teljesül.

14 58 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése r j 5.. ábra. A en ( n) ányados változása a lépésköz csökkentésével Javított Euler-módszer esetében Prediktor-korrektor-módszerek Az explicit Euler-módszerez úgy is eljutatunk, a a (3.8) egyenlet bal oldalán az Ẋ(t) deriváltat a megfelelő differencia ányadossal elyettesítjük: Ezt az összefüggést X(t i ) X(t i ) Ẋ(t i ) = f ( t i,x(t i ) ) X(t i ) X(t i ) + f ( t i, X(t i ) ) alakra ozva t i és X(t i ) ismeretében fölasználatjuk X(t i ) értékének közelítésére. Lényegében ezt tettük az explicit Euler-módszer minden lépésében. Ha most a fentiekez asonló módon a (3.8) egyenlet segítségévek az Ẋ(t i) derivált értéket értelmezzük, akkor az összefüggés átrendezésével X(t i ) X(t i ) Ẋ(t i) = f ( t i,x(t i ) ) X(t i ) X(t i ) + f ( t i, X(t i ) )

15 5.4. Prediktor-korrektor-módszerek 59 nyerető. A pontos X(t i ), X(t i ) értékek elyébe az x i, x i közelítő értékeket írva, az alábbiak szerint értelmezetjük az implicit Euler módszert: x i = x i + f ( t i,x i ). Látató módon az egyenlőség mindkét oldalán szerepel a keresett x i érték. Ennek kifejezetőségét és így a módszer közvetlen asználatóságát az f-függvény atározza meg, és általában lineáris rendszerek esetében előnyös. e i 4 0 t i t i 5.. ábra. Implicit Euler-módszer (prediktor-korrektor-módszerben). Ha azonban a t i = t i + x [l+] i = x i + k aol k = f(t i,x [l] i ) (l = 0,,...) és x [0] i adott (5.6)

16 60 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése összefüggésnek megfelelően megadjuk a kezdő, x [0] i értéket az 5.. ábra szerinti módon, explicit Euler-módszerrel akkor néány iteráció 5 után x [l] i értékére az X(t i ) pontos értékét jobban közelítő értéket kapunk. Így egy olyan módszert nyertünk, amelyben a következő, x i közelítő érték megatározását egy explicit mószer segítségével kiválasztott értéket ( x [0] ) i, egy implicit módszer segítségável teszünk pontosabbá kellő számú iteratív lépés során. Az exlicit módszert prediktornak, míg az imlicit módszert korrektornak nevezzük. Ha a numerikus integrálás trapéz formulája alapján a [t i,t i ] mindkét végpontjáoz tartozó meredekség értékeket azonos súllyal vesszük figyelembe a következő közelítő pont megatározásáoz, a trapéz-módszer néven ismert implicit módszert kapjuk. Ennek korrektor-módszerként történő alkalmazása a e t i t i 5.3. ábra. Trapéz-módszer (prediktor-korrektor-módszerben). 5 Ez általában -3 iterációs lépést jelent.

17 5.4. Prediktor-korrektor-módszerek 6 t i = t i + x [l+] i = x i + k szabályok alapján történet. aol k = f(t i, x i ) + f(t i, x [l] (l = 0,,...) és x [0] i adott i ) (5.7) A 5.3. ábrán jól látató, ogy a trapéz-módszer korrektor módszerként való alkalmazása révén kevesebb iterációs lépés szükséges a következő, pont kijelöléséez közel azonos pontossággal. k t i x [k] i implicit Euler-módszer ( [k] d E ; P [k ] ) i x [k] i Trapéz-módszer ( [k] d t ;P [k ] i 0 0,40 0, , ,40 0, ,393 0,0538 0,6466 0,40 0, , ,30 0, ,40 0, , , , ,40 0,0064 0, , , ,40 0,3633 0,6068 0,563 0, ,40 0,87 0,9446 0,5373 0, ,40 0, ,7505 0, , ,40 0,3937 0,5754 0,5405 0, táblázat. A két módszerre épülő prediktor-korrektor módszer első néány iterációjának eredménye. ) Erre a 5.. táblázat adatai szolgálnak magyarázattal. A pontsorozatok konvergenciáját jellemezetjük az egymást követő pontok távolságainak d E ; P [k ] ) ( [k] i ( [k] és d t ;P [k ] ) i sorozatával. Látató, ogy az imlicit Euler-módszer esetében az egymást követő pontok távolsága közelítőleg lineárisan csökken, míg a Trapézmódszer esetében a távolságok a következő iterációs lépésben jó közelítéssel megfeleződnek. Ezek az összefüggések még szemléletesebben jelennek meg a táblázat adatai alapján készült 5.4. ábrán. (Az ábrán folytonos vonallal összekötött pontok jelölik a trapéz-módszerez tartozó, a 5.. táblázat utolsó oszlopában találató adatokat.)

18 6 5. Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése d k 5.4. ábra. Implicit Euler-módszer és a trapéz-módszer konvergenciája (prediktor-korrektor-módszerben).

5.2. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják.

5.2. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják. 8 5. Néány közelítő megoldás geometrii szemléltetése A dy dx = y2 x 2 2xy y 2 x 2 +2xy 5.1. ábr. differenciálegyenlet lpján rjzoltó iránymező. 5.2. ábr. A mágnestűk rúdmágnes erőterében z erővonlk irányát

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Gyakorló példa vízlépcső-terv fő adatai a Duna egy közepes mellékfolyójára

Gyakorló példa vízlépcső-terv fő adatai a Duna egy közepes mellékfolyójára Gyakorló példa vízlépcső-terv fő adatai a Duna egy közepes mellékfolyójára Adatok Magyarország, illetve a Kárpát-medence folyóinak vízsebességéről, vízozamáról, eséséről már több, mint éve ozzáféretőek,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Numerikus módszerek. 9. előadás

Numerikus módszerek. 9. előadás Numerikus módszerek 9. előadás Differenciálegyenletek integrálási módszerei x k dx k dt = f x,t; k k ' k, k '=1,2,... M FELADAT: meghatározni x k t n x k, n egyenletes időlépés??? t n =t 0 n JELÖLÉS: f

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez 1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben

Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 14. Határozzuk meg a nyírásból adódó csúsztatófeszültség

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

1. A vállalat. 1.1 Termelés

1. A vállalat. 1.1 Termelés II. RÉSZ 69 1. A vállalat Korábbi fejezetekben már szóba került az, hogy különböző gazdasági szereplők tevékenykednek. Ezek közül az előző részben azt vizsgáltuk meg, hogy egy fogyasztó hogyan hozza meg

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

Anyagismeret a gyakorlatban (BMEGEPTAGA0) KEMÉNYSÉGMÉRÉS

Anyagismeret a gyakorlatban (BMEGEPTAGA0) KEMÉNYSÉGMÉRÉS Anyagismeret a gyakorlatban (BMEGEPTAGA0) KEMÉNYSÉGMÉRÉS Elméleti áttekintés Az anyag képlékeny alakváltozással, különösen valamely mérőszerszám beatolásával, szembeni ellenállását keménységnek nevezzük.

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA 26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

I. Gondolkodási műveletek

I. Gondolkodási műveletek I. Gondolkodási műveletek 1. Halmazok 1.1. A halmaz mint alapfogalom A halmaz és annak eleme a matematikában alapfogalmak, azaz nem definiáljuk őket. Akkor mondhatjuk, hogy adott tulajdonságú dolgok együttese,

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN KOVÁCS ZOLTÁN 1. Bevezetés A természeti jelenségeket sokszor differenciálegyenletekkel lehet leírni: a vizsgált mennyiség például

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29. A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI. 1. Bevezetés

TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI. 1. Bevezetés TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Dr. Goda Tibor egyetemi docens Gép- és Terméktervezés Tanszék 1. Bevezetés 1.1. A végeselem módszer alapjai - diszkretizáció, - szerkezet felbontása kicsi szabályos elemekre

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia Értékelés: A beadás dátuma: 28. május 13. A mérést végezte: 1/5 A mérés célja A mérés célja az

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

MATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás

MATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás MATLAB 6. gyakorlat Integrálás folytatás, gyakorlás Menetrend Kis ZH Példák integrálásra Kérdések, gyakorlás pdf Kis ZH Numerikus integrálás (ismétlés) A deriváláshoz hasonlóan lehet vektorértékek és megadott

Részletesebben

Termék modell. Definíció:

Termék modell. Definíció: Definíció: Termék modell Összetett, többfunkciós, integrált modell (számítógépes reprezentáció) amely leír egy műszaki objektumot annak különböző életfázis szakaszaiban: tervezés, gyártás, szerelés, szervízelés,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5. Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben