*** Munka példány 1.0 *** Waltham D.: Matematika: Egy egyszerű eszköz geológusoknak 1. Differenciál kalkulus

Átírás

1 *** Munka példány 1.0 *** Waltham D.: Matematika: Egy egyszerű eszköz geológusoknak 1 1. Bevezetés Differenciál kalkulus A kalkulustól, amelyet a XVII. században Newton és tőle függetlenül Leibniz fedezett fel, számítjuk a felsőbb matematika kezdetét, ennek ellenére az alapvető matematikai számítások a kalkulusban nagyon egyszerűek. Az igazi nehézség a kalkulussal nem az: Hogyan kell ezt csinálni?, hanem az: Hogy használjuk egy adott probléma megoldására?. Első látásra további nehézséget jelent a kalkulus eddigiektől eltérő jelölésrendszere. A matematikai kifejezések jelentősen eltérnek a korábbi matematikai tanulmányainkban használtaktól és ez a megértést kezdetben erősen akadályozza. Másképpen fogalmazva a számításokat a kalkulusban könnyű elvégezni, ha elsajátítottuk a különös jelölésrendszerét, de ez csak egy korlátozott tudást jelent mindaddig, míg nincs meg az az általános matematikai szemléletünk, amellyel valós problémákat tudunk megoldani. 2. A geológiai folyamatok változásának mértéke A geológia folyamat-központú tárgy. Egy geológiai megfigyelés általában megmagyarázható különböző fizikai, kémiai és biológiai folyamatok egymásrahatásával. Az eltemetődés pl. olyan folyamat, melynek során az üledék kémiailag alakul át a nyomás és a hőmérséklet megváltozásával. A talajlakók járatásása olyan biológiai tevékenység, amely az üledék legfölső kb. 1 méteres rétegének keveredését eredményezi. Két konvergens tektonikai lemez ütközése hegyláncokat formál. A közös ezekben a folyamatokban az, hogy változásuknak kifejezhető mértéke van. Az eltemetődés lehet pl. 1m/1000 év, a biológiai átkeverés történhet pl. úgy, hogy évente a felső szint 10%-át dolgozzák át a talajlakók. A lemez-közeledés mértéke általánosan néhány centiméter/év. A változás mértékét minden eddigi példánkban egy bizonyos nagyságú időtartam függvényében fejeztük ki, pl. 1 m/1000 év üledékképződés; 10%/év keveredés vagy 3 cm/év lemezkonvergencia. A kőzet tömörödése az eltemetődés során kifejezhető a porozitás éves csökkenésével (pl. 0.1 % porozitás-csökkenés / év). A legtöbb esetben azonban hasznosabb, ha a tömörödést a porozitás csökkenésével az eltemetődés mértékében fejezzük ki, pl. egy tipikus érték lehet a 12 %-os porozitás-csökkenés 1 km-es eltemetődés következtében. Ebben az esetben a porozitás változásának mértékét egy adott távolság függvényében fejeztük ki. Az elvünk alapja az, hogy megfigyeljük egy mennyiség változásának mértékét (pl. porozitás) egy másik mennyiség (pl. eltemetődés mélysége) változásának függvényében. A legfőbb nehézség a legtöbb folyamatnál az, hogy a változás mértéke nem állandó. Pl. a porozitás csökkenése az első 1 km-es eltemetődésnél lehet 12 %, de további 1 km-es eltemetődés már lehetséges, hogy csak 5 %-os porozitás-csökkenést eredményez. Ebben a példában a porozitás-csökkenés mértéke nagyobb a felszín közelében, mint mélyebben. A felszínközeli réteg biológiai tevékenység okozta átkeverése pl. nagyobb sebességgel történik nyáron, mint télen, így ennek a folyamatnak a változási rátája sem állandó. 1 Waltham D.: Mathematics: A simple tool for geologists. Chapman & Hall. London. p. 189 Ford.: Szatmári József

2 Hogy elkerüljük ezt a nehézséget, a változás mértékét a pillanatnyi változással fejezzük ki. Pl. a porozitás csökkenésének rátája a felszínen lehet 40% / km. Ez azt jelentené, hogy ha csökkenés mértéke konstans, akkor az 1 km-es eltemetődés után is 40% a porozitáscsökkenés, míg valójában tudjuk, hogy az eltemetődés mélységével a porozitás-csökkenés egyre kisebb lesz, vagyis valószínűleg 1 km-es eltemetődésnél ez az érték lényegesen kisebb, mint 40 %. Még szemléletesebb példa az autó pillanatnyi sebessége. Ha 50 km/óra a sebességünk, akkor 1 óra alatt 50 km-re távolodnánk el a kiindulási pontunktól, ha állandó sebességgel haladhatnánk. A valóságban viszont 1 óra alatt nem feltétlenül 50 km-t haladunk bár a pillanatnyi sebességünk 50 km/h, mert 5 perc múlva már lehet, hogy egy reménytelen közlekedési dugóban fogunk ácsorogni. A kalkulus olyan matematikai eszközök összessége, amelyek lehetővé teszik számunkra azon folyamatok vizsgálatát, amelyek változásának mértéke nem állandó. Mivel a valóságos folyamatok legtöbbjénél ez az eset áll fenn, a kalkulus esszenciális része az alkalmazott matematikának. Konkrétan itt a differenciál kalkulus az az eszköz, amellyel egy adott folyamat pillanatnyi változásának mértékét határozhatjuk meg. 3. A változás mértékének grafikus meghatározása Mielőtt továbblépnénk a differenciális kalkulus használata felé, nézzünk néhány egyszerűbb megoldási alternatívát. Ezek segítségével meghatározunk néhány fontos fogalmat, valamint ez egy viszonylag egyszerű módja a kalkulusban használatos jelölések bevezetésének. Az 1. ábrán a porozitást jelölje: φ, a mélységet z. 1. ábra A porozitás változása a mélység függvényében. A porozitáscsökkenés pillanatnyi értékét 500 m-es mélységnél az AB-vel jelölt szakasz egyenesének meredeksége adja. Az ábráról leolvasható, hogy kezdetben a porozitás csökkenése nagyon gyors ütemű, majd egyre lassul a mélység növekedésével. A grafikonon ez úgy jelenik meg, hogy kezdetben (balról) a görbe nagyon meredek, majd fokozatosan csökken a meredeksége, laposabbá válik (jobbra haladva). A porozitás az első 100 m eltemetési mélységen 7%-ot csökken, míg az 1300 m-es mélységtől kezdődő 100 m-es további eltemetődésnél már csak kb. 0.5%-ot csökken. Ezek alapján mit mondhatunk a porozitás-csökkenés pillanatnyi mértékéről 500 m-es mélységnél? Hogy ezt meghatározzuk a z = 500 pontban húzzunk érintőt a görbéhez. Az érintő egy egyenes vonal, amely egy és csak egy pontban érinti a görbét. A változás pillanatnyi értéke, amit meg akarunk adni, egyszerűen ebben a pontban az érintő meredeksége.

3 Az 1. ábra porozitás/mélység simított görbéjét az alábbi értékek alapján rajzoltuk meg: Mélység (km) Porozitás (%) Ha milliméter-papíron ábrázoljuk az értékpárokat és kapott pontokra egy simított görbét illesztünk, akkor a z=500 pontban a görbe érintőjének meredekségét kiszámíthatjuk. Most, hogy meghatároztuk a meredekséget egy adott mélységben, számos további mélységben is megtehetjük ezt (amelyhez a későbbiekben részletezésre kerülő pontosabb számítási eljárást használtunk), melynek eredménye az alábbi táblázatban található: Mélység (km) Porozitás (%) Meredekség (% km -1 ) ábra Az 1. ábra grafikonjának meredekségei a mélység függvényében. Pl. a 700 m-es mélységnél a meredekség kb. 20% km -1. A meredekség értékei maguk is ábrázolhatók a mélység függvényében (2. ábra). Ezt a függvényt nevezzük az 1. ábrán kapott függvény deriváltjának. Fontos megjegyezni, hogy a görbe meredekségei további görbét határoznak meg és nem egyetlen számot.

4 4. Az y=x 2 deriváltjának algebrai meghatározása Az előző fejezetben megismert grafikai megoldással az a probléma, hogy lassú és a deriváltat nem elég pontosan határozza meg. Egy függvény deriváltjának megadására léteznek azonban a grafikusnál lényegesen egzaktabb módszerek. Az egyik lehetőség az, hogy algebrai úton határozzuk meg az érintő meredekségét. A 3 ábra az y=x 2 függvényre mutatja be a módszert. Három pontot: A, B és C jelöltünk be a görbén. A 3(b) ábrán látható, hogy az A és B pontok egyenesének meredeksége közelebb van az érintő meredekségéhez, mint az A és C pontok egyenesének meredeksége. Ebből látható, hogy az érintő meredekségét annál pontosabban tudjuk megbecsülni, minél közelebb esik egymáshoz a görbén az A és B pont. 3. ábra Algebrai módszer az y=x 2 függvény deriváltjának meghatározására A 3(c) ábrát tekintve, ha B-t közelítjük A ponthoz a görbén, akkor a B-hez tartozó x érték csak kevéssel ( x)-szel tér el a A-hoz tartozó x értéktől. Ugyanígy B pont y értéke kis mértékben ( y)-nal tér el A pont y értékétől. Azt is mondhatjuk, hogy ha A pont koordinátái (x,y), akkor B pont koordinátái (x+ x, y+ y). Ezt felhasználva AB egyenesének meredekségére kapjuk, hogy Meredekség = y/ x. Mivel B pont szintén az y=x 2 függvény görbéjén van, ezért

5 y+ y = (x+ x) 2. A jobb oldalon elvégezve a négyzetre emelést: y+ y = x 2 + 2x x + ( x) 2. Behelyettesítve az y=x 2 -et és kivonva mindkét oldalból x 2 -et kapjuk, hogy y = 2x x + ( x) 2. Mivel a y/ x kifejezéssel adott meredekségre van szükségünk, ezért x-szel leosztva a y/ x = 2x + x összefüggést kapjuk, ami az AB egyenesének meredekségét adja. Ezzel szemben a görbe A ponthoz tartozó érintőjének meredekségét szeretnénk tudni. Képzeljük el, hogy a B pont végtelenül közel esik az A ponthoz. Ez azt jelenti, hogy a távolság közöttük elképzelhetetlenül kicsi, de mégsem esik egybe a két pont. Ekkor azt mondjuk, hogy x tart a nullához ( x 0) és AB egyenesének meredeksége tart az érintő meredekségéhez A pontban. Mivel x 0, az előző egyenletet alakja a következő lesz: dy/dx = 2x ahol a dy/dx alakot használjuk az érintő meredekségének jelölésére és a jobb oldalon a x-et elhagyjuk, hiszen értéke minden határon túl a zérushoz tart. Most, hogy ismerjük a meredekség kiszámításának algebrai összefüggését, a görbe bármely pontjában meg tudjuk mondani az értékét, pl. x = 10 pontban y = x 2 = 10 2 = 100 Meredekség = dy/dx = 2x = 2 x 10 = 20. Az előzőekben bemutatott deriválási módszer alapján az a legfontosabb, hogy megértsük: a kalkulus az eredményeit az egymástól minden határon túl vagy végtelenül kis mértékben különböző (különbség = differencia) mennyiségek vizsgálatából nyeri. Ez az, amiért differenciál kalkulusnak nevezzük a matematika ezen ágát és a fenti eljárást differenciálásnak. Ha a φ porozitás a z mélység függvényében adott, akkor a függvény meredekségét a dφ/dz függvény adja meg, amelyet φ függvény differenciálásával kapunk.

6 5. Magasabbrendű deriváltak A differenciálással előállítunk egy új függvényt, amely az eredeti függvény meredekségfüggvénye. Nyilvánvalóan lehetséges az eredményt újra differenciálni, amellyel előállítjuk a meredekségfüggvény meredekségét (4. ábra). D 4. ábra A függvény (a) és az első (b), valamint a második (c) deriváltja A 4(a) ábrán ábrázolt függvény deriváltfüggvényét mutatja a (b) ábra és a (c) ábrán látható a (b) függvény deriváltfüggvényének grafikonja. A B-vel jelölt szaggatott vonalat végigkövetve a három ábrán azt látjuk, hogy az eredeti függvényt egy olyan pontban metszi, ahol az csökkenő (negatív meredekségű), ezért a (b) ábrán a derivált függvényt negatív értéknél metszi. Így a (b) függvény maga is csökkenő, tehát az ő deriváltja is negatív, amit a (c) ábrán látható függvény B-vel való metszése is mutat. Az A és C szaggatott vonalak az (a) függvényt az ún. lokális maximum és minimum értékeknél metszik. A (b) derivált függvény grafikonját az A és a C is a zérus értékű helynél metszi. Az A esetében a derivált értéke a zérushely előtt pozitív, míg utána negatív (maximum hely), illetve C esetében a zérushely előtt negatív, míg utána pozitív (minimum hely). A D szaggatott vonal a (c) ábrán a második derivált függvényt annak zérushelyénél metszi, amely a (b) első derivált függvény lokális

7 minimumát jelzi, valamint az (a) eredeti függvényt annak konvex (domború) és konkáv (homorú) szakaszának találkozásánál metszi, amelyet inflexiós pontnak nevezünk. A legnagyobb problémát a magasabbrendű deriváltaknál a jelölés jelenti. Pl. az y = x 2 függvény első deriváltját dy/dx = 2x jelöli, a második deriváltat d 2 y/dx 2, míg a magasabbrendű deriváltakat sorra d 3 y/dx 3, d 4 y/dx 4, stb.