NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó"

Átírás

1 FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright

2 Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart a kezében, vagy néz a számítógépe képerny jén. E jegyzetet a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen illetve az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tartott numerikus módszerek kurzusainkhoz írtuk. Az írás során mindvégig azt vettük gyelembe, hogy a jegyzet segítségével hallgatóink alapos ismereteket tudjanak elsajátítani a tárgy témájában és egyben eredményesebben tudjanak felkészülni a vizsgákra. A jegyzet elején összefoglaljuk a szükséges el ismereteket. Ezután a matematikai modellalkotással foglalkozunk, részletesen kitérve a számítógépes számábrázolásra és az ebb l ered hibákra. Ezután a klasszikus numerikus analízis egyes fejezeteit vesszük sorra: numerikus lineáris algebra, polinominterpoláció, numerikus deriválás és integrálás, közönséges dierenciálegyenletek kezdetiés peremérték-feladatai. A jegyzetet a parciális dierenciálegyenletek véges dierenciás megoldásainak bemutatásával zárjuk. A jegyzetbe nem akartunk több dolgot belezsúfolni, mint amir l egy két féléves kurzus során az el adásokon is szó lehet, de igyekeztünk azért az érdekl d hallgatóknak is kitekintést nyújtani az el adások anyagán túlmutató elméletek felvillantásával vagy az ezeket tárgyaló irodalom megadásával. Mivel ez a jegyzet elektronikus formában lesz elérhet, így kihasználtuk azokat a lehet ségeket is, amiket az elektronikus forma megenged. Így számos helyen megadtunk internethivatkozásokat valamilyen szemléltet programhoz, b vebb leíráshoz vagy életrajzhoz. Kulcsszavak: numerikus módszerek, numerikus lineáris algebra, numerikus deriválás és integrálás, interpoláció, dierenciálegyenletek numerikus megoldása

3 Támogatás: Készült a TÁMOP /2/A/KMR számú, a Természettudományos (matematika és zika) képzés a m szaki és informatikai fels oktatásban cím projekt keretében. Készült: a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Szakmai felel s vezet : Ferenczi Miklós Lektorálta: Havasi Ágnes Az elektronikus kiadást el készítette: Horváth Róbert Címlap grakai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert Copyright: , Faragó István, ELTE, Horváth Róbert, BME A terminusai: A szerz nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthet, megjelentethet és el adható, de nem módosítható. Második, javított kiadás, 2013

4

5 Tartalomjegyzék 1. El ismeretek Vektorterek Valós és komplex vektorterek Normált terek Euklideszi terek Mátrixok Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Diagonalizálhatóság Normák és sajátértékek M-mátrixok Sorozatok és függvények konvergenciájának jellemzése Sorozatok konvergenciasebessége Függvények konvergenciavizsgálata A MATLAB programcsomag A fejezettel kapcsolatos MATLAB parancsok Feladatok Modellalkotás és hibaforrásai Modellalkotás A modellalkotás hibaforrásai A hiba mérése Feladatok kondicionáltsága Gépi számábrázolás és következményei A fejezettel kapcsolatos MATLAB parancsok Feladatok Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszerek kondicionáltsága Gauss-módszer LU-felbontás F elemkiválasztás, általános LU-felbontás, Cholesky-felbontás F elemkiválasztás Általános LU-felbontás Cholesky-felbontás Lineáris egyenletrendszerek klasszikus iterációs megoldása Jacobi-iteráció GaussSeidel-iteráció Relaxációs módszerek Iterációs módszerek konvergenciája Leállási feltételek Variációs módszerek

6 2 Tartalomjegyzék Gradiens-módszer Konjugált gradiens-módszer A QR-felbontás QR-felbontás Householder-tükrözésekkel QR-felbontás Givens-forgatásokkal Túlhatározott rendszerek megoldása Megoldás a normálegyenlet segítségével Megoldás a QR-felbontás segítségével Lineáris egyenletrendszerek megoldása a MATLAB-ban Feladatok Sajátérték-feladatok numerikus megoldása Sajátérték-feladatok kondicionáltsága A sajátértékeket egyenként közelít eljárások A hatványmódszer Inverz iteráció Rayleigh-hányados iteráció Deációs eljárások Householder-deáció Rangdeáció Blokk háromszögmátrix deáció A sajátértékeket egyszerre közelít eljárások A Jacobi-módszer QR-iteráció Sajátértékszámítás a MATLAB-ban Feladatok Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldása Nemlineáris egyenletek A gyökök elkülönítése Nemlineáris egyenletek megoldásának kondicionáltsága Geometriai módszerek Intervallumfelezési módszer Húrmódszer Szel módszer Newton-módszer Fixpont-iterációk Aitken-gyorsítás Mintafeladat Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása Feladatok Interpolációs feladatok Globális polinominterpoláció Az interpolációs polinom Lagrange-féle el állítása A baricentrikus interpolációs formula Az interpolációs polinom el állítása Newton-féle osztott dierenciákkal Az interpolációs hiba Interpoláció Csebisev-alappontokon Hermite-interpoláció

7 Tartalomjegyzék Szakaszonként polinomiális interpoláció Szakaszonként lineáris interpoláció Szakaszonként kvadratikus interpoláció Szakaszonként harmadfokú interpoláció Trigonometrikus interpoláció Gyors Fourier-transzformáció Közelítés legkisebb négyzetek értelemben Interpolációs feladatok megoldása a MATLAB-ban Feladatok Numerikus deriválás A numerikus deriválás alapfeladata Az els derivált közelítése A második derivált közelítése A deriváltak másfajta közelítései Lépéstávolság-dilemma Feladatok Numerikus integrálás A numerikus integrálás alapfeladata NewtonCotes-féle kvadratúraformulák Összetett kvadratúraformulák Összetett trapézformula Összetett érint formula Összetett Simpson-formula Romberg-módszer Gauss-kvadratúra Numerikus integrálási eljárások a MATLAB-ban Feladatok A kezdetiérték-feladatok numerikus módszerei Bevezetés A közönséges dierenciálegyenletek kezdetiérték-feladata Egylépéses módszerek Taylor-sorba fejtéses módszer Néhány nevezetes egylépéses módszer Az explicit Euler-módszer Az implicit Euler-módszer A CrankNicolson-módszer Az általános alakú egylépéses módszerek alapfogalmai és pontbeli konvergenciája Az egylépéses módszerek pontbeli konvergenciája A RungeKutta típusú módszerek A másodrend RungeKutta típusú módszerek A magasabb rend RungeKutta típusú módszerek Az implicit Runge-Kutta típusú módszerek Az egylépéses módszerek egy tesztfeladaton A többlépéses módszerek A lineáris többlépéses módszer általános alakja és rendje A kezdeti értékek megválasztása és a módszer konvergenciája

8 4 Tartalomjegyzék Adams-típusú módszerek Retrográd dierencia módszerek A lineáris és a merev rendszerek numerikus megoldása A kezdetiérték-feladatok numerikus megoldása MATLAB segítségével Feladatok A peremérték-feladatok numerikus módszerei Bevezetés Peremértékfeladatok megoldása véges dierenciákkal A véges dierenciás séma felépítése A véges dierenciás séma megoldhatósága és tulajdonságai A véges dierenciás módszer konvergenciája Összefoglalás A közönséges dierenciálegyenletek peremérték-feladatának megoldhatósága A lineáris peremérték-feladat megoldhatósága A peremérték-feladat numerikus megoldása Cauchy-feladatra való visszavezetéssel A belövéses módszer Lineáris peremérték-feladatok numerikus megoldása A peremérték-feladat numerikus megoldása véges dierenciák módszerével Véges dierenciás approximáció Az általános alakú peremérték-feladat megoldása a véges dierenciák módszerével A lineáris peremérték-feladatok approximációja a véges dierenciák módszerével A lineáris peremérték-feladatok numerikus megoldásának általános vizsgálata A lineáris peremérték-feladatok M-mátrixokkal A diszkrét maximumelv és következményei A peremérték-feladatok numerikus megoldása MATLAB segítségével A modellfeladat: stacionárius h eloszlás homogén vezetékben A tesztfeladat numerikus megoldása MATLAB segítségével Feladatok A parciális dierenciálegyenletek numerikus módszerei A parciális dierenciálegyenletek alapfogalmai Lineáris, másodrend, elliptikus parciális differenciálegyenletek A Laplace-egyenlet analitikus megoldása egységnégyzeten Elliptikus egyenletek közelít megoldása véges dierenciák módszerével Általános kit zés és az alaptétel Az elliptikus feladatok numerikus közelítésének konvergenciája A numerikus módszer realizálásának algoritmusa Lineáris, másodrend, parabolikus parciális differenciálegyenletek Az egydimenziós h vezetési egyenlet analitikus megoldása A h vezetési feladat numerikus megoldása véges dierenciák módszerével A véges dierenciás közelítés konvergenciája A numerikus módszer realizálásának algoritmusa Egy másik véges dierenciás séma és vizsgálata Általánosítás és magasabb rend módszerek A parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldása MATLAB segítségével A Poisson-egyenlet megoldása els (Dirichlet-féle) peremfeltétellel

9 Tartalomjegyzék A h vezetési egyenlet megoldása véges dierenciák módszerével Feladatok Tárgymutató 395 Irodalomjegyzék 397

10

11 El szó Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart a kezében vagy néz a számítógépe képerny jén. E jegyzetet a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen illetve az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tartott numerikus módszerek kurzusainkhoz írtuk. Az írás során mindvégig azt vettük gyelembe, hogy a jegyzet segítségével hallgatóink alapos ismereteket tudjanak elsajátítani a tárgy témájában és egyben eredményesebben tudjanak felkészülni a vizsgákra. Ezt a célt szolgálják a magyarázó ábrák, a szemléltet példák, az ellen rz kérdések, a gyakorló feladatok és a jegyzet végén található szószedet is. A jegyzetbe nem akartunk több dolgot belezsúfolni, mint amir l egy két féléves kurzus során az el adásokon is szó lehet, de igyekeztünk azért az érdekl d hallgatóknak is kitekintést nyújtani az el adások anyagán túlmutató elméletek felvillantásával vagy az ezeket tárgyaló irodalom megadásával. A jegyzetben a deníciókat és tételeket vastag vonallal emeltük ki. Azokat a példákat, amelyek a jobb megértést segítik bekeretezve közöljük. Szintén bekeretezve szedtük az egyes algoritmusokat és programrészleteket. A bizonyítások végét, a példák és megjegyzések végét pedig jel zárja. A deníciók, a tételek, a következmények és a megjegyzések fejezetenként folytonosan sorszámozódnak. A fontosabb fogalmakat d lt bet vel szedtük. Általában ezek kerültek a szószedetbe is. Mivel ez a jegyzet elektronikus formában lesz elérhet, így kihasználtuk azokat a lehet ségeket is, amiket az elektronikus forma megenged. Így számos helyen megadtunk internethivatkozásokat valamilyen szemléltet programhoz, b vebb leíráshoz vagy életrajzhoz. Természetesen mivel ezek internetes tartalmak, a jöv ben változhatnak és elérhetetlenné is válhatnak. A képletekre, tételekre vagy a szószedetbeli elemekre való hiperhivatkozások a pdf fájlban egy kattintással elérhet k, majd az ALT+ billenty vel visszatérhetünk ez eredeti olvasási helyhez. Köszönet illeti hallgatóinkat, akik az elmúlt félévek során alaposan átnézték a jegyzet korábbi változatait, megjegyzéseikkel hozzájárultak az anyag kialakulásához és végleges formába öntéséhez, és a korábbi változatokban lév hibákra felhívták gyelmünket. Köszönet illeti Dr. Havasi Ágnest értékes javaslataiért, aki a t le megszokott alapossággal nézte át a kéziratot. A jegyzet a TÁMOP /2/A/KMR: Természettudományos (matematika és zika) képzés a m szaki és informatikai fels oktatásban pályázat támogatásával jött létre. Budapest, január A Szerz k Nagyon köszönjük mindenkinek, hogy megosztotta velünk észrevételeit és javaslatait a jegyzettel kapcsolatban a hibabejelent oldalon. A második, javított kiadásban már gyelembe vettük ezeket. Budapest, augusztus A Szerz k 7

12

13 1. El ismeretek Ebben a fejezetben azokat az el ismereteket gy jtjük össze, amik nem tartoznak szorosan a numerikus módszerek tárgy témaköréhez, de ismeretük elengedhetetlen lesz a kés bbiekben. Ezek az ismeretek f leg a lineáris algebra és a funkcionálanalízis tárgyhoz tartoznak. Bevezetjük a vektor- és mátrixnorma fogalmát, igazoljuk a Banach-féle xponttételt, ismertetjük a GramSchmidt-féle ortogonalizációs eljárást, felsorolunk néhány nevezetes mátrixtípust és megvizsgáljuk a tulajdonságaikat. Szó lesz még a mátrixok sajátértékeir l és sajátvektorairól, ezek normákkal való kapcsolatáról, az M-mátrixokról ill. a diagonalizálható mátrixokról. Összehasonlítjuk a sorozatok és függvények konvergenciasebességét. A fejezetet a MATLAB programcsomag bemutatásával zárjuk. Azok a hallgatók, akik tanultak lineáris algebrát és funkcionálanalízist e fejezet nagy részét átugorhatják az olvasás során. Bár a jelölések megismerésének érdekében érdemes minden fejezetet átszaladni, nekik csak a Gersgorin-tételt ( tétel), a Banach-féle xponttételt ( tétel), a normák és sajátértékek kapcsolatáról szóló fejezetet, az M-mátrixokról szóló fejezetet és a konvergenciasebességr l szóló 1.3. fejezetet érdemes alaposan átnézni Vektorterek Valós és komplex vektorterek Jelentse a továbbiakban K vagy a valós számok (R) vagy a komplex számok (C) testjét deníció. Egy V halmazt (K = R esetén valós, K = C estén komplex) vektortérnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy összeadás és egy számmal való szorzás m velet az alábbi tulajdonságokkal: 1. x + y = y + x, x, y V, 2. (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z V, 3. o V, x + o = x, x V, 4. x V, ˆx V, x + ˆx = o, 5. 1 x = x, x V, 6. α(x + y) = αx + αy, x, y V, α K, 7. (α + β)x = αx + βx, x V, α, β K, 8. α(βx) = (αβ)x, x V, α, β K. 9

14 10 1. El ismeretek A vektortér fenti axiómáiból könnyen nyerhet k az alábbi tulajdonságok: 0 x = o minden x V esetén, α o = o minden α K esetén és ˆx = ( 1) x minden x V esetén. Ez utóbbi tulajdonság alapján az x y különbségen az x + ( 1) y összeget értjük. Valós vektorteret alkotnak pl. a sík és a tér helyvektorai, az n-elem valós oszlopvektorok halmaza (R n ), az m-szer n-es valós mátrixok halmaza (R m n ), az [a, b] intervallumon folytonos függvények halmaza (C[a, b]), az [a, b] intervallumon legalább k-szor folytonosan deriválható függvények halmaza (C k [a, b]), a valós együtthatós polinomok halmaza (P ), a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós polinomok halmaza (P n ) és ezek [a, b] intervallumra vonatkozó leszorításai (P [a, b], P n [a, b]) a szokásos m veletek esetén 1. Komplex vektorteret alkotnak pl. az n-elem komplex oszlopvektorok halmaza (C n ) és az m-szer n-es komplex mátrixok halmaza (C m n ). Ebben a fejezetben jelentsen a továbbiakban V egy adott (valós vagy komplex) vektorteret. V elemeit általánosan vektoroknak hívjuk deníció. Egy x V vektort az x 1,..., x k V vektorok lineáris kombinációjának hívunk, ha vannak olyan α 1,..., α k K konstansok, hogy x = α 1 x α k x k deníció. Egy V vektortér egy W részhalmazát a vektortér egy alterének hívjuk, ha W maga is vektortér a V -beli m veletekre nézve. Például a legfeljebb harmadfokú polinomok vektorterében a legfeljebb másodfokú polinomok alteret alkotnak. Jelölje lin(x 1, x 2,..., x n ) az x 1, x 2,..., x n V vektorok összes lineáris kombinációjának halmazát. Ekkor lin(x 1, x 2,..., x n ) a V vektortér egy altere lesz a V -beli m veletekre nézve deníció. Az x 1,..., x k V vektorrendszert lineárisan függetlennek mondjuk, ha az α 1 x 1 + +α k x k = o egyenl ségb l α i = 0 (i = 1,..., k) következik. Végtelen sok vektorból álló vektorrendszert akkor hívunk lineárisan függetlennek, ha bármely véges részhalmaza lineárisan független vektorokat tartalmaz. A nem lineárisan független vektorrendszereket lineárisan összefügg rendszereknek hívjuk deníció. Egy vektorrendszert a V vektortér bázisának hívunk, ha lineárisan független, és V minden eleme el állítható a vektorrendszer elemeinek lineáris kombinációjaként. Bázisvektorok lineáris kombinációjaként minden V -beli vektor pontosan egyféleképpen írható fel. Ha V -nek van véges sok elemb l álló bázisa, akkor V -t véges dimenziós vektortérnek hívjuk. Egy véges dimenziós vektortér minden bázisának egyforma az elemszáma. Ez a vektortér dimenziója. 1 A jegyzetben használt vektorokkal és mátrixokkal kapcsolatos jelöléseket és elnevezéseket az 1.2. fejezetben foglaltuk össze.

15 1.1. Vektorterek Normált terek deníció. A (V, ) párt normált térnek hívjuk, ha V egy vektortér, és : V R egy adott függvény, ún. norma, az alábbi tulajdonságokkal: 1. x = 0 x = o, 2. αx = α x, x V, α K, 3. x + y x + y, x, y V (háromszög-egyenl tlenség). Mivel a sík- ill. a térvektorok vektorterében a vektorok hossza normát ad meg, ezért általánosan is szokás egy vektor normáját a vektor hosszának nevezni megjegyzés. Könnyen igazolható, hogy a norma csak nemnegatív értéket vehet fel. Vizsgáljuk ugyanis egy tetsz leges x elem esetén az x x értéket! A norma második és harmadik tulajdonságát felhasználva azt kapjuk, hogy amib l következik az állítás. 0 = o = x x x + x = 2 x, Most felsorolunk néhány fontos példát normált terekre. A sík és a tér helyvektorai, ha a v norma a vektor szokásos hossza. A K n vektortér, ha egy x = [x 1,..., x n ] T vektor esetén a normát pl. az x p = p x 1 p + + x n p képlettel értelmezzük p = 1, 2,... esetén. A leggyakrabban használt normák ezek közül az 1-es vagy oktaédernorma x 1 = x x n és a 2-es vagy euklideszi norma x 2 = x x n 2, valamint a p határátmenettel nyert, -nel jelölt maximumnorma x = max{ x 1,..., x n }. A K n vektortéren megadott normákat vektornormáknak A C[a, b] vektortér, ha a normát pl. az hívjuk. f C[a,b] = max x [a,b] { f(x) } módon értelmezzük (maximumnorma), amely tulajdonképpen a függvénygrakon x-tengelyt l mért legnagyobb eltérésének nagyságát adja meg.

16 12 1. El ismeretek A K m n vektortér, ha a normát egy A = [a ij ] K m n mátrix esetén az A = max { a ij } i=1,...,m; j=1,...,n képlettel értelmezzük. A K m n vektortéren megadott normákat mátrixnormáknak hívjuk. Kés bb majd látni fogunk más fontos mátrixnormákat is. A norma alkalmas arra, hogy mérjük két folytonos függvény, két vektor vagy két mátrix "távolságát". Így mérni tudjuk, hogy pl. egy lineáris egyenletrendszer közelít megoldása "milyen messze" van a pontos megoldástól. A távolság segítségével konvergenciát is deniálhatunk deníció. Az x, y (V, ) vektorok távolságán az x y számot értjük. A távolság elnevezés jogosságát az alábbi tétel mutatja tétel. A fent deniált távolságra teljesülnek az alábbi tulajdonságok: 1. x y 0, x, y (V, ), x y = 0 x = y, 2. x y = y x, x, y (V, ), 3. x y x z + z y, x, y, z (V, ) (háromszög-egyenl tlenség). A háromszög-egyenl tlenség közvetlen következménye az alábbi tétel, ami azt mutatja, hogy két vektor normájának eltérése tetsz legesen kicsi lehet, ha a két vektor távolságát elegend en kicsinek választjuk tétel. Egy (V, ) normált térben x y x y minden x, y (V, ) esetén. Bizonyítás. Alkalmazzuk kétféleképpen a háromszög-egyenl tlenséget: y = (y x) + x y x + x, x = (x y) + y x y + y. Az els egyenl tlenségb l kapjuk, hogy y x y x, a másikból pedig hogy x y x y. Az utóbbi egyenl séget az y x y x alakba írva a két egyenl ség együttesen a y x y x y x alakot ölti, ami a bizonyítandó állítással ekvivalens deníció. Azt mondjuk, hogy az {x k } (V, ) sorozat tart az x (V, ) elemhez (konvergens), ha az { x k x } valós számsorozat nullához tart. Jelölés: x k x. Az x vektort a sorozat határértékének hívjuk. Könnyen igazolható, hogy a határérték egyértelm.

17 1.1. Vektorterek deníció. Azt mondjuk, hogy egy H (V, ) halmaz zárt, ha minden olyan {x k } H sorozatra, amely tart valamilyen x (V, ) elemhez, igaz, hogy x H. Egy H (V, ) halmaz nyílt, ha komplementere zárt deníció. Egy V vektortéren értelmezett és normákat ekvivalensnek nevezzük, ha vannak olyan c 1, c 2 > 0 konstansok, melyekre c 1 x x c 2 x, x V. Könnyen látható, hogy a normák ekvivalenciája ekvivalencia-reláció, azaz reexív, szimmetrikus és tranzitív. Ekvivalens normák ugyanazt a konvergenciát deniálják. Ez azt jelenti, hogy ha egy sorozat az egyik normában tart egy adott elemhez, akkor a másik normában is ahhoz az elemhez fog tartani. A kés bbiekben többször alkalmazzuk majd az alábbi tételt tétel. Véges dimenziós vektorterekben minden norma ekvivalens. Bizonyítás. Legyen V egy véges dimenziós vektortér a v 1,..., v n bázissal. Ebben a vektortérben minden x vektor egyértelm en írható fel x = n k=1 α kv k alakban, ahol az α k együtthatók K-beli egyértelm en meghatározott konstansok. Ekkor a vektortérben a µ(x) = n k=1 α k 2 függvény normát deniál ( feladat). Legyen egy tetsz leges norma az adott V vektortéren. A tétel igazolásához elegend megmutatnunk, hogy és µ ekvivalens normák, mert a normák tranzitivitása miatt így bármely két norma ekvivalens lesz. Legyen x egy tetsz leges V -beli vektor. Ekkor n n x = α k v k α k v k n α k 2 n v k 2 = c 2 µ(x), k=1 k=1 ahol c 2 = n k=1 v k 2 egy, az x vektortól független konstans. Az utolsó becslésnél a Cauchy Schwarz-egyenl tlenséget használtuk. Így a norma felülr l becsülhet a µ norma konstansszorosával. Az alsó becsléshez tekintsük az euklideszi normával ellátott K n teret, melyen deniáljuk az f : (K n, 2 ) R, f(χ) = f(χ 1,..., χ n ) = n k=1 χ kv k függvényt. Ez a függvény folytonos, ugyanis az tétel alapján tetsz leges γ = (γ 1,..., γ n ), β = (β 1,..., β n ) K n vektorok esetén n n n f(γ) f(β) = γ k v k β k v k (γ k β k )v k c 2 γ β 2. k=1 Mivel az f függvény tehát folytonos, így a k=1 k=1 k=1 G = {χ K n χ 2 = 1} korlátos és zárt gömbhéjon van legkisebb értéke. Legyen ez a legkisebb érték f. Az f érték nyilvánvalóan nagyobb nullánál, hiszen különben a v 1,..., v n vektorok nem lennének függetlenek. k=1

18 14 1. El ismeretek Mivel x o esetén µ(x/µ(x)) = 1, ezért x/µ(x) f, amib l következik, hogy x f µ(x). Ez mutatja, hogy c 1 = f megfelel választás. Ezt akartuk megmutatni deníció. Azt mondjuk, hogy az {x k } (V, ) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε > 0 számhoz van olyan M N szám, melyre x n x m < ε minden n, m M esetén tétel. Minden (V, ) normált térbeli konvergens sorozat Cauchy-sorozat. A tétel megfordítása nem igaz deníció. Azt mondjuk, hogy a (V, ) normált tér Banach 2 -tér, ha minden (V, )-beli Cauchy-sorozat konvergens sorozat is egyben. A normált terekre korábban felsorolt példák egyben példák Banach-terekre is. Tehát pl. R n Banach-tér a felsorolt normákkal, és mivel ezen a vektortéren minden norma ekvivalens, ezért bármilyen más normával is. Ugyanakkor nem minden normált tér Banach-tér. Ha a C[a, b] vektortéren a normát az f = b f(x) dx módon deniáljuk, akkor az így nyert normált tér nem a lesz Banach-tér. Most igazoljuk azt a tételt, amely a kés bbi iterációs eljárások konvergenciáját fogja majd biztosítani tétel. (Banach-féle xponttétel) Legyen (V, ) egy Banach-tér, és H (V, ) egy tetsz leges nem üres zárt részhalmaz. Tegyük fel, hogy az F : H H leképezés kontrakció, azaz van olyan 0 q < 1 valós szám, mellyel F (x) F (y) q x y bármely x, y H elemek esetén. Ekkor F-nek egyértelm en létezik xpontja H-ban, azaz egy olyan x H elem, mellyel F (x ) = x. Tetsz leges x 0 H kezd elemmel az x k+1 = F (x k ) módon el állított sorozat x -hoz tart. Érvényes az becslés. x x m qm 1 q x 1 x 0 (1.1.1) 2 Stefan Banach (1892 (Lvov)-1945), lengyel matematikus. A modern funkcionálanalízis megalapítója. Eredményei jelent sen hozzájárultak a topologikus vektorterek, a mértékelmélet, az integrálás és az ortogonális sorok elméletéhez is. Részletes angol nyelv életrajz található pl. az Banach.html oldalon.

19 1.1. Vektorterek 15 Bizonyítás. Tekintsük egy tetsz leges x 0 H elem esetén az x k+1 = F (x k ) rekurzióval de- niált sorozatot, melynek nyilvánvalóan mindegyik eleme H-ban található. Ekkor a kontrakciós tulajdonság miatt x k+1 x k = F (x k ) F (x k 1 ) q x k x k 1... q k x 1 x 0. Tetsz leges két n > m természetes szám esetén x n x m = x n x n 1 + x n 1 x n x m+1 x m x n x n 1 + x n 1 x n x m+1 x m q n 1 x 1 x 0 + q n 2 x 1 x q m x 1 x 0 = (q n 1 + q n q m ) x 1 x 0 = (q n m 1 + q n m )q m x 1 x 0 = qn m 1 q m x 1 x 0 qm q 1 1 q x 1 x 0. Ez mutatja, hogy {x k } egy H-beli Cauchy-sorozat, hiszen 0 q < 1, és ε > 0 esetén ln(ε(1 q)/ x1 x 0 ) M = ln q (1.1.2) jó választás. Mivel Banach-terekben minden Cauchy-sorozat konvergens, ezért létezik olyan x (V, ), melyre x k x. H zártsága miatt x H is igaz. Most azt fogjuk igazolni, hogy x xpontja F-nek. Ha x 1 = x 0, akkor ez nyilvánvaló. Mivel F (x ) x k+1 = F (x ) F (x k ) q x x k 0 (k ), ezért x k+1 F (x ). Mivel x k+1 x is igaz, így a határérték egyértelm ségéb l következik, hogy F (x ) = x. Az egyértelm ség igazolásához indirekt módon feltételezzük, hogy van legalább két különböz xpont: x és x. Ekkor x x = F (x ) F (x ) q x x, ami nyilván csak úgy lehet (q < 1), ha x = x, ami ellentmondás. Az állítás harmadik részében szerepl becslés úgy igazolható, hogy az n indexszel végtelenhez tartunk az (1.1.2) becslésben. A tételben természetesen H lehet a teljes (V, ) normált tér is. Vegyük észre, hogy a tétel második állítása gyakorlati útmutatást is ad arra, hogy a xpontot hogy kell megkeresnünk. A harmadik részben szerepl becslés pedig a xponthoz tartó sorozat els két elemének távolságával és a q konstanssal ad fels becslést arra, hogy a sorozat m-edik eleme milyen messze van a határértékét l. Vegyük észre azt is, hogy az {x k } sorozat kezd eleme tetsz leges volt, így az x xpont tetsz leges H-beli kezd elemr l induló iterációs sorozat határértékeként el állítható deníció. Egy F : (V 1, ) (V 2, ) leképezés folytonos az x (V 1, ) pontban, ha minden {x k } (V 1, ) sorozatra, melyre x k x, következik, hogy F (x k ) F (x ) (V 2, )-ben. F folytonos, ha minden x (V 1, ) pontban folytonos. Fontos példa, hogy az F : (V, ) (R,. ), F (x) = x folytonos leképezés, hiszen tetsz leges x k x (V, )-beli sorozat esetén minden k indexre igaz, hogy x k x x k x ( tétel), azaz x k x.

20 16 1. El ismeretek deníció. Egy F : (V 1, ) (V 2, ) leképezés korlátos, ha van olyan K R + 0 F (x) K x minden x (V 1, ) esetén. szám, melyre deníció. Egy F : (V 1, ) (V 2, ) leképezést lineáris operátornak nevezünk, ha F (αx + βy) = αf (x) + βf (y) minden x, y (V 1, ), α, β K esetén tétel. Lineáris operátorokra a folytonosság és a korlátosság ekvivalens tulajdonságok. Ha egy lineáris operátor folytonos egy pontban, akkor folytonos (V 1, ) minden pontjában. Jelölje B(V 1, V 2 ) az összes korlátos L : (V 1, ) (V 2, ) lineáris operátor vektorterét, ahol a m veleteket az módon értelmezzük tétel. Az (L 1 + L 2 )(x) = L 1 (x) + L 2 (x), (αl)(x) = α L(x) L(x) L := sup x o x (a korlátosság miatt jól deniált) hozzárendelés normát ad meg a B(V 1, V 2 ) vektortéren, így B(V 1, V 2 ) normált tér. (Ha V 2 Banach-tér, akkor B(V 1, V 2 ) is Banach-tér.) Alkalmazzuk az el z tételt az L : (K n, ) (K m, ), L(x) = Ax lineáris leképezésre, ahol A K m n. A normák ekvivalenciája miatt ( tétel) az L leképezés folytonos, azaz korlátos. Ekkor az el z tételt alkalmazva az Ax A := L = sup (1.1.3) x 0 x hozzárendelés mátrixnormát ad meg. A vektornormákból a fenti képlettel származtatott mátrixnormákat indukált normáknak hívjuk tétel. Tegyük fel, hogy a K n és K m normált terekben is ugyanazt a vektornormát használjuk. Ekkor a korábban megismert vektornormák az alábbi mátrixnormákat indukálják: Oktaédernorma (p = 1): A 1 = max j=1,...,n m i=1 a ij (oszlopösszegnorma), Maximumnorma (p = ): n A = max i=1,...,m j=1 a ij (sorösszegnorma), Euklideszi norma (p = 2): A 2 = ϱ(a H A), ahol ϱ az A mátrix spektrálsugara, és A H az A mátrix transzponált konjugáltja.

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14 Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1 Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix

Részletesebben

Numerikus módszerek példatár

Numerikus módszerek példatár Numerikus módszerek példatár Faragó István, Fekete Imre, Horváth Róbert 2013. június Tartalomjegyzék El szó 5 Feladatok 9 1. El ismeretek 9 1.1. Képletek, összefüggések............................ 9 1.2.

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

1. A vektor és a vektortér fogalma

1. A vektor és a vektortér fogalma 1. A vektor és a vektortér fogalma Célunk: a vektor és a vektortér fogalmának minél tágabb értelmezése. Ez azért hasznos, mert így a síkvektorok körében használatos egyes fogalmak és tételek átvihet k

Részletesebben

NÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J.

NÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J. NÉVMUTATÓ Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J., 155 157 Cauchy, A. L., 155 157 Cayley, A., 272, 327 Codenotti, B., 93 Cramer,

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010 Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben