NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

Átírás

1 FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright

2 Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart a kezében, vagy néz a számítógépe képerny jén. E jegyzetet a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen illetve az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tartott numerikus módszerek kurzusainkhoz írtuk. Az írás során mindvégig azt vettük gyelembe, hogy a jegyzet segítségével hallgatóink alapos ismereteket tudjanak elsajátítani a tárgy témájában és egyben eredményesebben tudjanak felkészülni a vizsgákra. A jegyzet elején összefoglaljuk a szükséges el ismereteket. Ezután a matematikai modellalkotással foglalkozunk, részletesen kitérve a számítógépes számábrázolásra és az ebb l ered hibákra. Ezután a klasszikus numerikus analízis egyes fejezeteit vesszük sorra: numerikus lineáris algebra, polinominterpoláció, numerikus deriválás és integrálás, közönséges dierenciálegyenletek kezdetiés peremérték-feladatai. A jegyzetet a parciális dierenciálegyenletek véges dierenciás megoldásainak bemutatásával zárjuk. A jegyzetbe nem akartunk több dolgot belezsúfolni, mint amir l egy két féléves kurzus során az el adásokon is szó lehet, de igyekeztünk azért az érdekl d hallgatóknak is kitekintést nyújtani az el adások anyagán túlmutató elméletek felvillantásával vagy az ezeket tárgyaló irodalom megadásával. Mivel ez a jegyzet elektronikus formában lesz elérhet, így kihasználtuk azokat a lehet ségeket is, amiket az elektronikus forma megenged. Így számos helyen megadtunk internethivatkozásokat valamilyen szemléltet programhoz, b vebb leíráshoz vagy életrajzhoz. Kulcsszavak: numerikus módszerek, numerikus lineáris algebra, numerikus deriválás és integrálás, interpoláció, dierenciálegyenletek numerikus megoldása

3 Támogatás: Készült a TÁMOP /2/A/KMR számú, a Természettudományos (matematika és zika) képzés a m szaki és informatikai fels oktatásban cím projekt keretében. Készült: a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Szakmai felel s vezet : Ferenczi Miklós Lektorálta: Havasi Ágnes Az elektronikus kiadást el készítette: Horváth Róbert Címlap grakai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert Copyright: , Faragó István, ELTE, Horváth Róbert, BME A terminusai: A szerz nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthet, megjelentethet és el adható, de nem módosítható. Második, javított kiadás, 2013

4

5 Tartalomjegyzék 1. El ismeretek Vektorterek Valós és komplex vektorterek Normált terek Euklideszi terek Mátrixok Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Diagonalizálhatóság Normák és sajátértékek M-mátrixok Sorozatok és függvények konvergenciájának jellemzése Sorozatok konvergenciasebessége Függvények konvergenciavizsgálata A MATLAB programcsomag A fejezettel kapcsolatos MATLAB parancsok Feladatok Modellalkotás és hibaforrásai Modellalkotás A modellalkotás hibaforrásai A hiba mérése Feladatok kondicionáltsága Gépi számábrázolás és következményei A fejezettel kapcsolatos MATLAB parancsok Feladatok Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszerek kondicionáltsága Gauss-módszer LU-felbontás F elemkiválasztás, általános LU-felbontás, Cholesky-felbontás F elemkiválasztás Általános LU-felbontás Cholesky-felbontás Lineáris egyenletrendszerek klasszikus iterációs megoldása Jacobi-iteráció GaussSeidel-iteráció Relaxációs módszerek Iterációs módszerek konvergenciája Leállási feltételek Variációs módszerek

6 2 Tartalomjegyzék Gradiens-módszer Konjugált gradiens-módszer A QR-felbontás QR-felbontás Householder-tükrözésekkel QR-felbontás Givens-forgatásokkal Túlhatározott rendszerek megoldása Megoldás a normálegyenlet segítségével Megoldás a QR-felbontás segítségével Lineáris egyenletrendszerek megoldása a MATLAB-ban Feladatok Sajátérték-feladatok numerikus megoldása Sajátérték-feladatok kondicionáltsága A sajátértékeket egyenként közelít eljárások A hatványmódszer Inverz iteráció Rayleigh-hányados iteráció Deációs eljárások Householder-deáció Rangdeáció Blokk háromszögmátrix deáció A sajátértékeket egyszerre közelít eljárások A Jacobi-módszer QR-iteráció Sajátértékszámítás a MATLAB-ban Feladatok Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldása Nemlineáris egyenletek A gyökök elkülönítése Nemlineáris egyenletek megoldásának kondicionáltsága Geometriai módszerek Intervallumfelezési módszer Húrmódszer Szel módszer Newton-módszer Fixpont-iterációk Aitken-gyorsítás Mintafeladat Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása Feladatok Interpolációs feladatok Globális polinominterpoláció Az interpolációs polinom Lagrange-féle el állítása A baricentrikus interpolációs formula Az interpolációs polinom el állítása Newton-féle osztott dierenciákkal Az interpolációs hiba Interpoláció Csebisev-alappontokon Hermite-interpoláció

7 Tartalomjegyzék Szakaszonként polinomiális interpoláció Szakaszonként lineáris interpoláció Szakaszonként kvadratikus interpoláció Szakaszonként harmadfokú interpoláció Trigonometrikus interpoláció Gyors Fourier-transzformáció Közelítés legkisebb négyzetek értelemben Interpolációs feladatok megoldása a MATLAB-ban Feladatok Numerikus deriválás A numerikus deriválás alapfeladata Az els derivált közelítése A második derivált közelítése A deriváltak másfajta közelítései Lépéstávolság-dilemma Feladatok Numerikus integrálás A numerikus integrálás alapfeladata NewtonCotes-féle kvadratúraformulák Összetett kvadratúraformulák Összetett trapézformula Összetett érint formula Összetett Simpson-formula Romberg-módszer Gauss-kvadratúra Numerikus integrálási eljárások a MATLAB-ban Feladatok A kezdetiérték-feladatok numerikus módszerei Bevezetés A közönséges dierenciálegyenletek kezdetiérték-feladata Egylépéses módszerek Taylor-sorba fejtéses módszer Néhány nevezetes egylépéses módszer Az explicit Euler-módszer Az implicit Euler-módszer A CrankNicolson-módszer Az általános alakú egylépéses módszerek alapfogalmai és pontbeli konvergenciája Az egylépéses módszerek pontbeli konvergenciája A RungeKutta típusú módszerek A másodrend RungeKutta típusú módszerek A magasabb rend RungeKutta típusú módszerek Az implicit Runge-Kutta típusú módszerek Az egylépéses módszerek egy tesztfeladaton A többlépéses módszerek A lineáris többlépéses módszer általános alakja és rendje A kezdeti értékek megválasztása és a módszer konvergenciája

8 4 Tartalomjegyzék Adams-típusú módszerek Retrográd dierencia módszerek A lineáris és a merev rendszerek numerikus megoldása A kezdetiérték-feladatok numerikus megoldása MATLAB segítségével Feladatok A peremérték-feladatok numerikus módszerei Bevezetés Peremértékfeladatok megoldása véges dierenciákkal A véges dierenciás séma felépítése A véges dierenciás séma megoldhatósága és tulajdonságai A véges dierenciás módszer konvergenciája Összefoglalás A közönséges dierenciálegyenletek peremérték-feladatának megoldhatósága A lineáris peremérték-feladat megoldhatósága A peremérték-feladat numerikus megoldása Cauchy-feladatra való visszavezetéssel A belövéses módszer Lineáris peremérték-feladatok numerikus megoldása A peremérték-feladat numerikus megoldása véges dierenciák módszerével Véges dierenciás approximáció Az általános alakú peremérték-feladat megoldása a véges dierenciák módszerével A lineáris peremérték-feladatok approximációja a véges dierenciák módszerével A lineáris peremérték-feladatok numerikus megoldásának általános vizsgálata A lineáris peremérték-feladatok M-mátrixokkal A diszkrét maximumelv és következményei A peremérték-feladatok numerikus megoldása MATLAB segítségével A modellfeladat: stacionárius h eloszlás homogén vezetékben A tesztfeladat numerikus megoldása MATLAB segítségével Feladatok A parciális dierenciálegyenletek numerikus módszerei A parciális dierenciálegyenletek alapfogalmai Lineáris, másodrend, elliptikus parciális differenciálegyenletek A Laplace-egyenlet analitikus megoldása egységnégyzeten Elliptikus egyenletek közelít megoldása véges dierenciák módszerével Általános kit zés és az alaptétel Az elliptikus feladatok numerikus közelítésének konvergenciája A numerikus módszer realizálásának algoritmusa Lineáris, másodrend, parabolikus parciális differenciálegyenletek Az egydimenziós h vezetési egyenlet analitikus megoldása A h vezetési feladat numerikus megoldása véges dierenciák módszerével A véges dierenciás közelítés konvergenciája A numerikus módszer realizálásának algoritmusa Egy másik véges dierenciás séma és vizsgálata Általánosítás és magasabb rend módszerek A parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldása MATLAB segítségével A Poisson-egyenlet megoldása els (Dirichlet-féle) peremfeltétellel

9 Tartalomjegyzék A h vezetési egyenlet megoldása véges dierenciák módszerével Feladatok Tárgymutató 395 Irodalomjegyzék 397

10

11 El szó Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart a kezében vagy néz a számítógépe képerny jén. E jegyzetet a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen illetve az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tartott numerikus módszerek kurzusainkhoz írtuk. Az írás során mindvégig azt vettük gyelembe, hogy a jegyzet segítségével hallgatóink alapos ismereteket tudjanak elsajátítani a tárgy témájában és egyben eredményesebben tudjanak felkészülni a vizsgákra. Ezt a célt szolgálják a magyarázó ábrák, a szemléltet példák, az ellen rz kérdések, a gyakorló feladatok és a jegyzet végén található szószedet is. A jegyzetbe nem akartunk több dolgot belezsúfolni, mint amir l egy két féléves kurzus során az el adásokon is szó lehet, de igyekeztünk azért az érdekl d hallgatóknak is kitekintést nyújtani az el adások anyagán túlmutató elméletek felvillantásával vagy az ezeket tárgyaló irodalom megadásával. A jegyzetben a deníciókat és tételeket vastag vonallal emeltük ki. Azokat a példákat, amelyek a jobb megértést segítik bekeretezve közöljük. Szintén bekeretezve szedtük az egyes algoritmusokat és programrészleteket. A bizonyítások végét, a példák és megjegyzések végét pedig jel zárja. A deníciók, a tételek, a következmények és a megjegyzések fejezetenként folytonosan sorszámozódnak. A fontosabb fogalmakat d lt bet vel szedtük. Általában ezek kerültek a szószedetbe is. Mivel ez a jegyzet elektronikus formában lesz elérhet, így kihasználtuk azokat a lehet ségeket is, amiket az elektronikus forma megenged. Így számos helyen megadtunk internethivatkozásokat valamilyen szemléltet programhoz, b vebb leíráshoz vagy életrajzhoz. Természetesen mivel ezek internetes tartalmak, a jöv ben változhatnak és elérhetetlenné is válhatnak. A képletekre, tételekre vagy a szószedetbeli elemekre való hiperhivatkozások a pdf fájlban egy kattintással elérhet k, majd az ALT+ billenty vel visszatérhetünk ez eredeti olvasási helyhez. Köszönet illeti hallgatóinkat, akik az elmúlt félévek során alaposan átnézték a jegyzet korábbi változatait, megjegyzéseikkel hozzájárultak az anyag kialakulásához és végleges formába öntéséhez, és a korábbi változatokban lév hibákra felhívták gyelmünket. Köszönet illeti Dr. Havasi Ágnest értékes javaslataiért, aki a t le megszokott alapossággal nézte át a kéziratot. A jegyzet a TÁMOP /2/A/KMR: Természettudományos (matematika és zika) képzés a m szaki és informatikai fels oktatásban pályázat támogatásával jött létre. Budapest, január A Szerz k Nagyon köszönjük mindenkinek, hogy megosztotta velünk észrevételeit és javaslatait a jegyzettel kapcsolatban a hibabejelent oldalon. A második, javított kiadásban már gyelembe vettük ezeket. Budapest, augusztus A Szerz k 7

12

13 1. El ismeretek Ebben a fejezetben azokat az el ismereteket gy jtjük össze, amik nem tartoznak szorosan a numerikus módszerek tárgy témaköréhez, de ismeretük elengedhetetlen lesz a kés bbiekben. Ezek az ismeretek f leg a lineáris algebra és a funkcionálanalízis tárgyhoz tartoznak. Bevezetjük a vektor- és mátrixnorma fogalmát, igazoljuk a Banach-féle xponttételt, ismertetjük a GramSchmidt-féle ortogonalizációs eljárást, felsorolunk néhány nevezetes mátrixtípust és megvizsgáljuk a tulajdonságaikat. Szó lesz még a mátrixok sajátértékeir l és sajátvektorairól, ezek normákkal való kapcsolatáról, az M-mátrixokról ill. a diagonalizálható mátrixokról. Összehasonlítjuk a sorozatok és függvények konvergenciasebességét. A fejezetet a MATLAB programcsomag bemutatásával zárjuk. Azok a hallgatók, akik tanultak lineáris algebrát és funkcionálanalízist e fejezet nagy részét átugorhatják az olvasás során. Bár a jelölések megismerésének érdekében érdemes minden fejezetet átszaladni, nekik csak a Gersgorin-tételt ( tétel), a Banach-féle xponttételt ( tétel), a normák és sajátértékek kapcsolatáról szóló fejezetet, az M-mátrixokról szóló fejezetet és a konvergenciasebességr l szóló 1.3. fejezetet érdemes alaposan átnézni Vektorterek Valós és komplex vektorterek Jelentse a továbbiakban K vagy a valós számok (R) vagy a komplex számok (C) testjét deníció. Egy V halmazt (K = R esetén valós, K = C estén komplex) vektortérnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy összeadás és egy számmal való szorzás m velet az alábbi tulajdonságokkal: 1. x + y = y + x, x, y V, 2. (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z V, 3. o V, x + o = x, x V, 4. x V, ˆx V, x + ˆx = o, 5. 1 x = x, x V, 6. α(x + y) = αx + αy, x, y V, α K, 7. (α + β)x = αx + βx, x V, α, β K, 8. α(βx) = (αβ)x, x V, α, β K. 9

14 10 1. El ismeretek A vektortér fenti axiómáiból könnyen nyerhet k az alábbi tulajdonságok: 0 x = o minden x V esetén, α o = o minden α K esetén és ˆx = ( 1) x minden x V esetén. Ez utóbbi tulajdonság alapján az x y különbségen az x + ( 1) y összeget értjük. Valós vektorteret alkotnak pl. a sík és a tér helyvektorai, az n-elem valós oszlopvektorok halmaza (R n ), az m-szer n-es valós mátrixok halmaza (R m n ), az [a, b] intervallumon folytonos függvények halmaza (C[a, b]), az [a, b] intervallumon legalább k-szor folytonosan deriválható függvények halmaza (C k [a, b]), a valós együtthatós polinomok halmaza (P ), a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós polinomok halmaza (P n ) és ezek [a, b] intervallumra vonatkozó leszorításai (P [a, b], P n [a, b]) a szokásos m veletek esetén 1. Komplex vektorteret alkotnak pl. az n-elem komplex oszlopvektorok halmaza (C n ) és az m-szer n-es komplex mátrixok halmaza (C m n ). Ebben a fejezetben jelentsen a továbbiakban V egy adott (valós vagy komplex) vektorteret. V elemeit általánosan vektoroknak hívjuk deníció. Egy x V vektort az x 1,..., x k V vektorok lineáris kombinációjának hívunk, ha vannak olyan α 1,..., α k K konstansok, hogy x = α 1 x α k x k deníció. Egy V vektortér egy W részhalmazát a vektortér egy alterének hívjuk, ha W maga is vektortér a V -beli m veletekre nézve. Például a legfeljebb harmadfokú polinomok vektorterében a legfeljebb másodfokú polinomok alteret alkotnak. Jelölje lin(x 1, x 2,..., x n ) az x 1, x 2,..., x n V vektorok összes lineáris kombinációjának halmazát. Ekkor lin(x 1, x 2,..., x n ) a V vektortér egy altere lesz a V -beli m veletekre nézve deníció. Az x 1,..., x k V vektorrendszert lineárisan függetlennek mondjuk, ha az α 1 x 1 + +α k x k = o egyenl ségb l α i = 0 (i = 1,..., k) következik. Végtelen sok vektorból álló vektorrendszert akkor hívunk lineárisan függetlennek, ha bármely véges részhalmaza lineárisan független vektorokat tartalmaz. A nem lineárisan független vektorrendszereket lineárisan összefügg rendszereknek hívjuk deníció. Egy vektorrendszert a V vektortér bázisának hívunk, ha lineárisan független, és V minden eleme el állítható a vektorrendszer elemeinek lineáris kombinációjaként. Bázisvektorok lineáris kombinációjaként minden V -beli vektor pontosan egyféleképpen írható fel. Ha V -nek van véges sok elemb l álló bázisa, akkor V -t véges dimenziós vektortérnek hívjuk. Egy véges dimenziós vektortér minden bázisának egyforma az elemszáma. Ez a vektortér dimenziója. 1 A jegyzetben használt vektorokkal és mátrixokkal kapcsolatos jelöléseket és elnevezéseket az 1.2. fejezetben foglaltuk össze.

15 1.1. Vektorterek Normált terek deníció. A (V, ) párt normált térnek hívjuk, ha V egy vektortér, és : V R egy adott függvény, ún. norma, az alábbi tulajdonságokkal: 1. x = 0 x = o, 2. αx = α x, x V, α K, 3. x + y x + y, x, y V (háromszög-egyenl tlenség). Mivel a sík- ill. a térvektorok vektorterében a vektorok hossza normát ad meg, ezért általánosan is szokás egy vektor normáját a vektor hosszának nevezni megjegyzés. Könnyen igazolható, hogy a norma csak nemnegatív értéket vehet fel. Vizsgáljuk ugyanis egy tetsz leges x elem esetén az x x értéket! A norma második és harmadik tulajdonságát felhasználva azt kapjuk, hogy amib l következik az állítás. 0 = o = x x x + x = 2 x, Most felsorolunk néhány fontos példát normált terekre. A sík és a tér helyvektorai, ha a v norma a vektor szokásos hossza. A K n vektortér, ha egy x = [x 1,..., x n ] T vektor esetén a normát pl. az x p = p x 1 p + + x n p képlettel értelmezzük p = 1, 2,... esetén. A leggyakrabban használt normák ezek közül az 1-es vagy oktaédernorma x 1 = x x n és a 2-es vagy euklideszi norma x 2 = x x n 2, valamint a p határátmenettel nyert, -nel jelölt maximumnorma x = max{ x 1,..., x n }. A K n vektortéren megadott normákat vektornormáknak A C[a, b] vektortér, ha a normát pl. az hívjuk. f C[a,b] = max x [a,b] { f(x) } módon értelmezzük (maximumnorma), amely tulajdonképpen a függvénygrakon x-tengelyt l mért legnagyobb eltérésének nagyságát adja meg.

16 12 1. El ismeretek A K m n vektortér, ha a normát egy A = [a ij ] K m n mátrix esetén az A = max { a ij } i=1,...,m; j=1,...,n képlettel értelmezzük. A K m n vektortéren megadott normákat mátrixnormáknak hívjuk. Kés bb majd látni fogunk más fontos mátrixnormákat is. A norma alkalmas arra, hogy mérjük két folytonos függvény, két vektor vagy két mátrix "távolságát". Így mérni tudjuk, hogy pl. egy lineáris egyenletrendszer közelít megoldása "milyen messze" van a pontos megoldástól. A távolság segítségével konvergenciát is deniálhatunk deníció. Az x, y (V, ) vektorok távolságán az x y számot értjük. A távolság elnevezés jogosságát az alábbi tétel mutatja tétel. A fent deniált távolságra teljesülnek az alábbi tulajdonságok: 1. x y 0, x, y (V, ), x y = 0 x = y, 2. x y = y x, x, y (V, ), 3. x y x z + z y, x, y, z (V, ) (háromszög-egyenl tlenség). A háromszög-egyenl tlenség közvetlen következménye az alábbi tétel, ami azt mutatja, hogy két vektor normájának eltérése tetsz legesen kicsi lehet, ha a két vektor távolságát elegend en kicsinek választjuk tétel. Egy (V, ) normált térben x y x y minden x, y (V, ) esetén. Bizonyítás. Alkalmazzuk kétféleképpen a háromszög-egyenl tlenséget: y = (y x) + x y x + x, x = (x y) + y x y + y. Az els egyenl tlenségb l kapjuk, hogy y x y x, a másikból pedig hogy x y x y. Az utóbbi egyenl séget az y x y x alakba írva a két egyenl ség együttesen a y x y x y x alakot ölti, ami a bizonyítandó állítással ekvivalens deníció. Azt mondjuk, hogy az {x k } (V, ) sorozat tart az x (V, ) elemhez (konvergens), ha az { x k x } valós számsorozat nullához tart. Jelölés: x k x. Az x vektort a sorozat határértékének hívjuk. Könnyen igazolható, hogy a határérték egyértelm.

17 1.1. Vektorterek deníció. Azt mondjuk, hogy egy H (V, ) halmaz zárt, ha minden olyan {x k } H sorozatra, amely tart valamilyen x (V, ) elemhez, igaz, hogy x H. Egy H (V, ) halmaz nyílt, ha komplementere zárt deníció. Egy V vektortéren értelmezett és normákat ekvivalensnek nevezzük, ha vannak olyan c 1, c 2 > 0 konstansok, melyekre c 1 x x c 2 x, x V. Könnyen látható, hogy a normák ekvivalenciája ekvivalencia-reláció, azaz reexív, szimmetrikus és tranzitív. Ekvivalens normák ugyanazt a konvergenciát deniálják. Ez azt jelenti, hogy ha egy sorozat az egyik normában tart egy adott elemhez, akkor a másik normában is ahhoz az elemhez fog tartani. A kés bbiekben többször alkalmazzuk majd az alábbi tételt tétel. Véges dimenziós vektorterekben minden norma ekvivalens. Bizonyítás. Legyen V egy véges dimenziós vektortér a v 1,..., v n bázissal. Ebben a vektortérben minden x vektor egyértelm en írható fel x = n k=1 α kv k alakban, ahol az α k együtthatók K-beli egyértelm en meghatározott konstansok. Ekkor a vektortérben a µ(x) = n k=1 α k 2 függvény normát deniál ( feladat). Legyen egy tetsz leges norma az adott V vektortéren. A tétel igazolásához elegend megmutatnunk, hogy és µ ekvivalens normák, mert a normák tranzitivitása miatt így bármely két norma ekvivalens lesz. Legyen x egy tetsz leges V -beli vektor. Ekkor n n x = α k v k α k v k n α k 2 n v k 2 = c 2 µ(x), k=1 k=1 ahol c 2 = n k=1 v k 2 egy, az x vektortól független konstans. Az utolsó becslésnél a Cauchy Schwarz-egyenl tlenséget használtuk. Így a norma felülr l becsülhet a µ norma konstansszorosával. Az alsó becsléshez tekintsük az euklideszi normával ellátott K n teret, melyen deniáljuk az f : (K n, 2 ) R, f(χ) = f(χ 1,..., χ n ) = n k=1 χ kv k függvényt. Ez a függvény folytonos, ugyanis az tétel alapján tetsz leges γ = (γ 1,..., γ n ), β = (β 1,..., β n ) K n vektorok esetén n n n f(γ) f(β) = γ k v k β k v k (γ k β k )v k c 2 γ β 2. k=1 Mivel az f függvény tehát folytonos, így a k=1 k=1 k=1 G = {χ K n χ 2 = 1} korlátos és zárt gömbhéjon van legkisebb értéke. Legyen ez a legkisebb érték f. Az f érték nyilvánvalóan nagyobb nullánál, hiszen különben a v 1,..., v n vektorok nem lennének függetlenek. k=1

18 14 1. El ismeretek Mivel x o esetén µ(x/µ(x)) = 1, ezért x/µ(x) f, amib l következik, hogy x f µ(x). Ez mutatja, hogy c 1 = f megfelel választás. Ezt akartuk megmutatni deníció. Azt mondjuk, hogy az {x k } (V, ) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε > 0 számhoz van olyan M N szám, melyre x n x m < ε minden n, m M esetén tétel. Minden (V, ) normált térbeli konvergens sorozat Cauchy-sorozat. A tétel megfordítása nem igaz deníció. Azt mondjuk, hogy a (V, ) normált tér Banach 2 -tér, ha minden (V, )-beli Cauchy-sorozat konvergens sorozat is egyben. A normált terekre korábban felsorolt példák egyben példák Banach-terekre is. Tehát pl. R n Banach-tér a felsorolt normákkal, és mivel ezen a vektortéren minden norma ekvivalens, ezért bármilyen más normával is. Ugyanakkor nem minden normált tér Banach-tér. Ha a C[a, b] vektortéren a normát az f = b f(x) dx módon deniáljuk, akkor az így nyert normált tér nem a lesz Banach-tér. Most igazoljuk azt a tételt, amely a kés bbi iterációs eljárások konvergenciáját fogja majd biztosítani tétel. (Banach-féle xponttétel) Legyen (V, ) egy Banach-tér, és H (V, ) egy tetsz leges nem üres zárt részhalmaz. Tegyük fel, hogy az F : H H leképezés kontrakció, azaz van olyan 0 q < 1 valós szám, mellyel F (x) F (y) q x y bármely x, y H elemek esetén. Ekkor F-nek egyértelm en létezik xpontja H-ban, azaz egy olyan x H elem, mellyel F (x ) = x. Tetsz leges x 0 H kezd elemmel az x k+1 = F (x k ) módon el állított sorozat x -hoz tart. Érvényes az becslés. x x m qm 1 q x 1 x 0 (1.1.1) 2 Stefan Banach (1892 (Lvov)-1945), lengyel matematikus. A modern funkcionálanalízis megalapítója. Eredményei jelent sen hozzájárultak a topologikus vektorterek, a mértékelmélet, az integrálás és az ortogonális sorok elméletéhez is. Részletes angol nyelv életrajz található pl. az Banach.html oldalon.

19 1.1. Vektorterek 15 Bizonyítás. Tekintsük egy tetsz leges x 0 H elem esetén az x k+1 = F (x k ) rekurzióval de- niált sorozatot, melynek nyilvánvalóan mindegyik eleme H-ban található. Ekkor a kontrakciós tulajdonság miatt x k+1 x k = F (x k ) F (x k 1 ) q x k x k 1... q k x 1 x 0. Tetsz leges két n > m természetes szám esetén x n x m = x n x n 1 + x n 1 x n x m+1 x m x n x n 1 + x n 1 x n x m+1 x m q n 1 x 1 x 0 + q n 2 x 1 x q m x 1 x 0 = (q n 1 + q n q m ) x 1 x 0 = (q n m 1 + q n m )q m x 1 x 0 = qn m 1 q m x 1 x 0 qm q 1 1 q x 1 x 0. Ez mutatja, hogy {x k } egy H-beli Cauchy-sorozat, hiszen 0 q < 1, és ε > 0 esetén ln(ε(1 q)/ x1 x 0 ) M = ln q (1.1.2) jó választás. Mivel Banach-terekben minden Cauchy-sorozat konvergens, ezért létezik olyan x (V, ), melyre x k x. H zártsága miatt x H is igaz. Most azt fogjuk igazolni, hogy x xpontja F-nek. Ha x 1 = x 0, akkor ez nyilvánvaló. Mivel F (x ) x k+1 = F (x ) F (x k ) q x x k 0 (k ), ezért x k+1 F (x ). Mivel x k+1 x is igaz, így a határérték egyértelm ségéb l következik, hogy F (x ) = x. Az egyértelm ség igazolásához indirekt módon feltételezzük, hogy van legalább két különböz xpont: x és x. Ekkor x x = F (x ) F (x ) q x x, ami nyilván csak úgy lehet (q < 1), ha x = x, ami ellentmondás. Az állítás harmadik részében szerepl becslés úgy igazolható, hogy az n indexszel végtelenhez tartunk az (1.1.2) becslésben. A tételben természetesen H lehet a teljes (V, ) normált tér is. Vegyük észre, hogy a tétel második állítása gyakorlati útmutatást is ad arra, hogy a xpontot hogy kell megkeresnünk. A harmadik részben szerepl becslés pedig a xponthoz tartó sorozat els két elemének távolságával és a q konstanssal ad fels becslést arra, hogy a sorozat m-edik eleme milyen messze van a határértékét l. Vegyük észre azt is, hogy az {x k } sorozat kezd eleme tetsz leges volt, így az x xpont tetsz leges H-beli kezd elemr l induló iterációs sorozat határértékeként el állítható deníció. Egy F : (V 1, ) (V 2, ) leképezés folytonos az x (V 1, ) pontban, ha minden {x k } (V 1, ) sorozatra, melyre x k x, következik, hogy F (x k ) F (x ) (V 2, )-ben. F folytonos, ha minden x (V 1, ) pontban folytonos. Fontos példa, hogy az F : (V, ) (R,. ), F (x) = x folytonos leképezés, hiszen tetsz leges x k x (V, )-beli sorozat esetén minden k indexre igaz, hogy x k x x k x ( tétel), azaz x k x.

20 16 1. El ismeretek deníció. Egy F : (V 1, ) (V 2, ) leképezés korlátos, ha van olyan K R + 0 F (x) K x minden x (V 1, ) esetén. szám, melyre deníció. Egy F : (V 1, ) (V 2, ) leképezést lineáris operátornak nevezünk, ha F (αx + βy) = αf (x) + βf (y) minden x, y (V 1, ), α, β K esetén tétel. Lineáris operátorokra a folytonosság és a korlátosság ekvivalens tulajdonságok. Ha egy lineáris operátor folytonos egy pontban, akkor folytonos (V 1, ) minden pontjában. Jelölje B(V 1, V 2 ) az összes korlátos L : (V 1, ) (V 2, ) lineáris operátor vektorterét, ahol a m veleteket az módon értelmezzük tétel. Az (L 1 + L 2 )(x) = L 1 (x) + L 2 (x), (αl)(x) = α L(x) L(x) L := sup x o x (a korlátosság miatt jól deniált) hozzárendelés normát ad meg a B(V 1, V 2 ) vektortéren, így B(V 1, V 2 ) normált tér. (Ha V 2 Banach-tér, akkor B(V 1, V 2 ) is Banach-tér.) Alkalmazzuk az el z tételt az L : (K n, ) (K m, ), L(x) = Ax lineáris leképezésre, ahol A K m n. A normák ekvivalenciája miatt ( tétel) az L leképezés folytonos, azaz korlátos. Ekkor az el z tételt alkalmazva az Ax A := L = sup (1.1.3) x 0 x hozzárendelés mátrixnormát ad meg. A vektornormákból a fenti képlettel származtatott mátrixnormákat indukált normáknak hívjuk tétel. Tegyük fel, hogy a K n és K m normált terekben is ugyanazt a vektornormát használjuk. Ekkor a korábban megismert vektornormák az alábbi mátrixnormákat indukálják: Oktaédernorma (p = 1): A 1 = max j=1,...,n m i=1 a ij (oszlopösszegnorma), Maximumnorma (p = ): n A = max i=1,...,m j=1 a ij (sorösszegnorma), Euklideszi norma (p = 2): A 2 = ϱ(a H A), ahol ϱ az A mátrix spektrálsugara, és A H az A mátrix transzponált konjugáltja.