NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó"

Átírás

1 FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright

2 Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart a kezében, vagy néz a számítógépe képerny jén. E jegyzetet a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen illetve az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tartott numerikus módszerek kurzusainkhoz írtuk. Az írás során mindvégig azt vettük gyelembe, hogy a jegyzet segítségével hallgatóink alapos ismereteket tudjanak elsajátítani a tárgy témájában és egyben eredményesebben tudjanak felkészülni a vizsgákra. A jegyzet elején összefoglaljuk a szükséges el ismereteket. Ezután a matematikai modellalkotással foglalkozunk, részletesen kitérve a számítógépes számábrázolásra és az ebb l ered hibákra. Ezután a klasszikus numerikus analízis egyes fejezeteit vesszük sorra: numerikus lineáris algebra, polinominterpoláció, numerikus deriválás és integrálás, közönséges dierenciálegyenletek kezdetiés peremérték-feladatai. A jegyzetet a parciális dierenciálegyenletek véges dierenciás megoldásainak bemutatásával zárjuk. A jegyzetbe nem akartunk több dolgot belezsúfolni, mint amir l egy két féléves kurzus során az el adásokon is szó lehet, de igyekeztünk azért az érdekl d hallgatóknak is kitekintést nyújtani az el adások anyagán túlmutató elméletek felvillantásával vagy az ezeket tárgyaló irodalom megadásával. Mivel ez a jegyzet elektronikus formában lesz elérhet, így kihasználtuk azokat a lehet ségeket is, amiket az elektronikus forma megenged. Így számos helyen megadtunk internethivatkozásokat valamilyen szemléltet programhoz, b vebb leíráshoz vagy életrajzhoz. Kulcsszavak: numerikus módszerek, numerikus lineáris algebra, numerikus deriválás és integrálás, interpoláció, dierenciálegyenletek numerikus megoldása

3 Támogatás: Készült a TÁMOP /2/A/KMR számú, a Természettudományos (matematika és zika) képzés a m szaki és informatikai fels oktatásban cím projekt keretében. Készült: a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Szakmai felel s vezet : Ferenczi Miklós Lektorálta: Havasi Ágnes Az elektronikus kiadást el készítette: Horváth Róbert Címlap grakai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert Copyright: , Faragó István, ELTE, Horváth Róbert, BME A terminusai: A szerz nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthet, megjelentethet és el adható, de nem módosítható. Második, javított kiadás, 2013

4

5 Tartalomjegyzék 1. El ismeretek Vektorterek Valós és komplex vektorterek Normált terek Euklideszi terek Mátrixok Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Diagonalizálhatóság Normák és sajátértékek M-mátrixok Sorozatok és függvények konvergenciájának jellemzése Sorozatok konvergenciasebessége Függvények konvergenciavizsgálata A MATLAB programcsomag A fejezettel kapcsolatos MATLAB parancsok Feladatok Modellalkotás és hibaforrásai Modellalkotás A modellalkotás hibaforrásai A hiba mérése Feladatok kondicionáltsága Gépi számábrázolás és következményei A fejezettel kapcsolatos MATLAB parancsok Feladatok Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszerek kondicionáltsága Gauss-módszer LU-felbontás F elemkiválasztás, általános LU-felbontás, Cholesky-felbontás F elemkiválasztás Általános LU-felbontás Cholesky-felbontás Lineáris egyenletrendszerek klasszikus iterációs megoldása Jacobi-iteráció GaussSeidel-iteráció Relaxációs módszerek Iterációs módszerek konvergenciája Leállási feltételek Variációs módszerek

6 2 Tartalomjegyzék Gradiens-módszer Konjugált gradiens-módszer A QR-felbontás QR-felbontás Householder-tükrözésekkel QR-felbontás Givens-forgatásokkal Túlhatározott rendszerek megoldása Megoldás a normálegyenlet segítségével Megoldás a QR-felbontás segítségével Lineáris egyenletrendszerek megoldása a MATLAB-ban Feladatok Sajátérték-feladatok numerikus megoldása Sajátérték-feladatok kondicionáltsága A sajátértékeket egyenként közelít eljárások A hatványmódszer Inverz iteráció Rayleigh-hányados iteráció Deációs eljárások Householder-deáció Rangdeáció Blokk háromszögmátrix deáció A sajátértékeket egyszerre közelít eljárások A Jacobi-módszer QR-iteráció Sajátértékszámítás a MATLAB-ban Feladatok Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldása Nemlineáris egyenletek A gyökök elkülönítése Nemlineáris egyenletek megoldásának kondicionáltsága Geometriai módszerek Intervallumfelezési módszer Húrmódszer Szel módszer Newton-módszer Fixpont-iterációk Aitken-gyorsítás Mintafeladat Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása Feladatok Interpolációs feladatok Globális polinominterpoláció Az interpolációs polinom Lagrange-féle el állítása A baricentrikus interpolációs formula Az interpolációs polinom el állítása Newton-féle osztott dierenciákkal Az interpolációs hiba Interpoláció Csebisev-alappontokon Hermite-interpoláció

7 Tartalomjegyzék Szakaszonként polinomiális interpoláció Szakaszonként lineáris interpoláció Szakaszonként kvadratikus interpoláció Szakaszonként harmadfokú interpoláció Trigonometrikus interpoláció Gyors Fourier-transzformáció Közelítés legkisebb négyzetek értelemben Interpolációs feladatok megoldása a MATLAB-ban Feladatok Numerikus deriválás A numerikus deriválás alapfeladata Az els derivált közelítése A második derivált közelítése A deriváltak másfajta közelítései Lépéstávolság-dilemma Feladatok Numerikus integrálás A numerikus integrálás alapfeladata NewtonCotes-féle kvadratúraformulák Összetett kvadratúraformulák Összetett trapézformula Összetett érint formula Összetett Simpson-formula Romberg-módszer Gauss-kvadratúra Numerikus integrálási eljárások a MATLAB-ban Feladatok A kezdetiérték-feladatok numerikus módszerei Bevezetés A közönséges dierenciálegyenletek kezdetiérték-feladata Egylépéses módszerek Taylor-sorba fejtéses módszer Néhány nevezetes egylépéses módszer Az explicit Euler-módszer Az implicit Euler-módszer A CrankNicolson-módszer Az általános alakú egylépéses módszerek alapfogalmai és pontbeli konvergenciája Az egylépéses módszerek pontbeli konvergenciája A RungeKutta típusú módszerek A másodrend RungeKutta típusú módszerek A magasabb rend RungeKutta típusú módszerek Az implicit Runge-Kutta típusú módszerek Az egylépéses módszerek egy tesztfeladaton A többlépéses módszerek A lineáris többlépéses módszer általános alakja és rendje A kezdeti értékek megválasztása és a módszer konvergenciája

8 4 Tartalomjegyzék Adams-típusú módszerek Retrográd dierencia módszerek A lineáris és a merev rendszerek numerikus megoldása A kezdetiérték-feladatok numerikus megoldása MATLAB segítségével Feladatok A peremérték-feladatok numerikus módszerei Bevezetés Peremértékfeladatok megoldása véges dierenciákkal A véges dierenciás séma felépítése A véges dierenciás séma megoldhatósága és tulajdonságai A véges dierenciás módszer konvergenciája Összefoglalás A közönséges dierenciálegyenletek peremérték-feladatának megoldhatósága A lineáris peremérték-feladat megoldhatósága A peremérték-feladat numerikus megoldása Cauchy-feladatra való visszavezetéssel A belövéses módszer Lineáris peremérték-feladatok numerikus megoldása A peremérték-feladat numerikus megoldása véges dierenciák módszerével Véges dierenciás approximáció Az általános alakú peremérték-feladat megoldása a véges dierenciák módszerével A lineáris peremérték-feladatok approximációja a véges dierenciák módszerével A lineáris peremérték-feladatok numerikus megoldásának általános vizsgálata A lineáris peremérték-feladatok M-mátrixokkal A diszkrét maximumelv és következményei A peremérték-feladatok numerikus megoldása MATLAB segítségével A modellfeladat: stacionárius h eloszlás homogén vezetékben A tesztfeladat numerikus megoldása MATLAB segítségével Feladatok A parciális dierenciálegyenletek numerikus módszerei A parciális dierenciálegyenletek alapfogalmai Lineáris, másodrend, elliptikus parciális differenciálegyenletek A Laplace-egyenlet analitikus megoldása egységnégyzeten Elliptikus egyenletek közelít megoldása véges dierenciák módszerével Általános kit zés és az alaptétel Az elliptikus feladatok numerikus közelítésének konvergenciája A numerikus módszer realizálásának algoritmusa Lineáris, másodrend, parabolikus parciális differenciálegyenletek Az egydimenziós h vezetési egyenlet analitikus megoldása A h vezetési feladat numerikus megoldása véges dierenciák módszerével A véges dierenciás közelítés konvergenciája A numerikus módszer realizálásának algoritmusa Egy másik véges dierenciás séma és vizsgálata Általánosítás és magasabb rend módszerek A parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldása MATLAB segítségével A Poisson-egyenlet megoldása els (Dirichlet-féle) peremfeltétellel

9 Tartalomjegyzék A h vezetési egyenlet megoldása véges dierenciák módszerével Feladatok Tárgymutató 395 Irodalomjegyzék 397

10

11 El szó Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart a kezében vagy néz a számítógépe képerny jén. E jegyzetet a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen illetve az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tartott numerikus módszerek kurzusainkhoz írtuk. Az írás során mindvégig azt vettük gyelembe, hogy a jegyzet segítségével hallgatóink alapos ismereteket tudjanak elsajátítani a tárgy témájában és egyben eredményesebben tudjanak felkészülni a vizsgákra. Ezt a célt szolgálják a magyarázó ábrák, a szemléltet példák, az ellen rz kérdések, a gyakorló feladatok és a jegyzet végén található szószedet is. A jegyzetbe nem akartunk több dolgot belezsúfolni, mint amir l egy két féléves kurzus során az el adásokon is szó lehet, de igyekeztünk azért az érdekl d hallgatóknak is kitekintést nyújtani az el adások anyagán túlmutató elméletek felvillantásával vagy az ezeket tárgyaló irodalom megadásával. A jegyzetben a deníciókat és tételeket vastag vonallal emeltük ki. Azokat a példákat, amelyek a jobb megértést segítik bekeretezve közöljük. Szintén bekeretezve szedtük az egyes algoritmusokat és programrészleteket. A bizonyítások végét, a példák és megjegyzések végét pedig jel zárja. A deníciók, a tételek, a következmények és a megjegyzések fejezetenként folytonosan sorszámozódnak. A fontosabb fogalmakat d lt bet vel szedtük. Általában ezek kerültek a szószedetbe is. Mivel ez a jegyzet elektronikus formában lesz elérhet, így kihasználtuk azokat a lehet ségeket is, amiket az elektronikus forma megenged. Így számos helyen megadtunk internethivatkozásokat valamilyen szemléltet programhoz, b vebb leíráshoz vagy életrajzhoz. Természetesen mivel ezek internetes tartalmak, a jöv ben változhatnak és elérhetetlenné is válhatnak. A képletekre, tételekre vagy a szószedetbeli elemekre való hiperhivatkozások a pdf fájlban egy kattintással elérhet k, majd az ALT+ billenty vel visszatérhetünk ez eredeti olvasási helyhez. Köszönet illeti hallgatóinkat, akik az elmúlt félévek során alaposan átnézték a jegyzet korábbi változatait, megjegyzéseikkel hozzájárultak az anyag kialakulásához és végleges formába öntéséhez, és a korábbi változatokban lév hibákra felhívták gyelmünket. Köszönet illeti Dr. Havasi Ágnest értékes javaslataiért, aki a t le megszokott alapossággal nézte át a kéziratot. A jegyzet a TÁMOP /2/A/KMR: Természettudományos (matematika és zika) képzés a m szaki és informatikai fels oktatásban pályázat támogatásával jött létre. Budapest, január A Szerz k Nagyon köszönjük mindenkinek, hogy megosztotta velünk észrevételeit és javaslatait a jegyzettel kapcsolatban a hibabejelent oldalon. A második, javított kiadásban már gyelembe vettük ezeket. Budapest, augusztus A Szerz k 7

12

13 1. El ismeretek Ebben a fejezetben azokat az el ismereteket gy jtjük össze, amik nem tartoznak szorosan a numerikus módszerek tárgy témaköréhez, de ismeretük elengedhetetlen lesz a kés bbiekben. Ezek az ismeretek f leg a lineáris algebra és a funkcionálanalízis tárgyhoz tartoznak. Bevezetjük a vektor- és mátrixnorma fogalmát, igazoljuk a Banach-féle xponttételt, ismertetjük a GramSchmidt-féle ortogonalizációs eljárást, felsorolunk néhány nevezetes mátrixtípust és megvizsgáljuk a tulajdonságaikat. Szó lesz még a mátrixok sajátértékeir l és sajátvektorairól, ezek normákkal való kapcsolatáról, az M-mátrixokról ill. a diagonalizálható mátrixokról. Összehasonlítjuk a sorozatok és függvények konvergenciasebességét. A fejezetet a MATLAB programcsomag bemutatásával zárjuk. Azok a hallgatók, akik tanultak lineáris algebrát és funkcionálanalízist e fejezet nagy részét átugorhatják az olvasás során. Bár a jelölések megismerésének érdekében érdemes minden fejezetet átszaladni, nekik csak a Gersgorin-tételt ( tétel), a Banach-féle xponttételt ( tétel), a normák és sajátértékek kapcsolatáról szóló fejezetet, az M-mátrixokról szóló fejezetet és a konvergenciasebességr l szóló 1.3. fejezetet érdemes alaposan átnézni Vektorterek Valós és komplex vektorterek Jelentse a továbbiakban K vagy a valós számok (R) vagy a komplex számok (C) testjét deníció. Egy V halmazt (K = R esetén valós, K = C estén komplex) vektortérnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy összeadás és egy számmal való szorzás m velet az alábbi tulajdonságokkal: 1. x + y = y + x, x, y V, 2. (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z V, 3. o V, x + o = x, x V, 4. x V, ˆx V, x + ˆx = o, 5. 1 x = x, x V, 6. α(x + y) = αx + αy, x, y V, α K, 7. (α + β)x = αx + βx, x V, α, β K, 8. α(βx) = (αβ)x, x V, α, β K. 9

14 10 1. El ismeretek A vektortér fenti axiómáiból könnyen nyerhet k az alábbi tulajdonságok: 0 x = o minden x V esetén, α o = o minden α K esetén és ˆx = ( 1) x minden x V esetén. Ez utóbbi tulajdonság alapján az x y különbségen az x + ( 1) y összeget értjük. Valós vektorteret alkotnak pl. a sík és a tér helyvektorai, az n-elem valós oszlopvektorok halmaza (R n ), az m-szer n-es valós mátrixok halmaza (R m n ), az [a, b] intervallumon folytonos függvények halmaza (C[a, b]), az [a, b] intervallumon legalább k-szor folytonosan deriválható függvények halmaza (C k [a, b]), a valós együtthatós polinomok halmaza (P ), a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós polinomok halmaza (P n ) és ezek [a, b] intervallumra vonatkozó leszorításai (P [a, b], P n [a, b]) a szokásos m veletek esetén 1. Komplex vektorteret alkotnak pl. az n-elem komplex oszlopvektorok halmaza (C n ) és az m-szer n-es komplex mátrixok halmaza (C m n ). Ebben a fejezetben jelentsen a továbbiakban V egy adott (valós vagy komplex) vektorteret. V elemeit általánosan vektoroknak hívjuk deníció. Egy x V vektort az x 1,..., x k V vektorok lineáris kombinációjának hívunk, ha vannak olyan α 1,..., α k K konstansok, hogy x = α 1 x α k x k deníció. Egy V vektortér egy W részhalmazát a vektortér egy alterének hívjuk, ha W maga is vektortér a V -beli m veletekre nézve. Például a legfeljebb harmadfokú polinomok vektorterében a legfeljebb másodfokú polinomok alteret alkotnak. Jelölje lin(x 1, x 2,..., x n ) az x 1, x 2,..., x n V vektorok összes lineáris kombinációjának halmazát. Ekkor lin(x 1, x 2,..., x n ) a V vektortér egy altere lesz a V -beli m veletekre nézve deníció. Az x 1,..., x k V vektorrendszert lineárisan függetlennek mondjuk, ha az α 1 x 1 + +α k x k = o egyenl ségb l α i = 0 (i = 1,..., k) következik. Végtelen sok vektorból álló vektorrendszert akkor hívunk lineárisan függetlennek, ha bármely véges részhalmaza lineárisan független vektorokat tartalmaz. A nem lineárisan független vektorrendszereket lineárisan összefügg rendszereknek hívjuk deníció. Egy vektorrendszert a V vektortér bázisának hívunk, ha lineárisan független, és V minden eleme el állítható a vektorrendszer elemeinek lineáris kombinációjaként. Bázisvektorok lineáris kombinációjaként minden V -beli vektor pontosan egyféleképpen írható fel. Ha V -nek van véges sok elemb l álló bázisa, akkor V -t véges dimenziós vektortérnek hívjuk. Egy véges dimenziós vektortér minden bázisának egyforma az elemszáma. Ez a vektortér dimenziója. 1 A jegyzetben használt vektorokkal és mátrixokkal kapcsolatos jelöléseket és elnevezéseket az 1.2. fejezetben foglaltuk össze.

15 1.1. Vektorterek Normált terek deníció. A (V, ) párt normált térnek hívjuk, ha V egy vektortér, és : V R egy adott függvény, ún. norma, az alábbi tulajdonságokkal: 1. x = 0 x = o, 2. αx = α x, x V, α K, 3. x + y x + y, x, y V (háromszög-egyenl tlenség). Mivel a sík- ill. a térvektorok vektorterében a vektorok hossza normát ad meg, ezért általánosan is szokás egy vektor normáját a vektor hosszának nevezni megjegyzés. Könnyen igazolható, hogy a norma csak nemnegatív értéket vehet fel. Vizsgáljuk ugyanis egy tetsz leges x elem esetén az x x értéket! A norma második és harmadik tulajdonságát felhasználva azt kapjuk, hogy amib l következik az állítás. 0 = o = x x x + x = 2 x, Most felsorolunk néhány fontos példát normált terekre. A sík és a tér helyvektorai, ha a v norma a vektor szokásos hossza. A K n vektortér, ha egy x = [x 1,..., x n ] T vektor esetén a normát pl. az x p = p x 1 p + + x n p képlettel értelmezzük p = 1, 2,... esetén. A leggyakrabban használt normák ezek közül az 1-es vagy oktaédernorma x 1 = x x n és a 2-es vagy euklideszi norma x 2 = x x n 2, valamint a p határátmenettel nyert, -nel jelölt maximumnorma x = max{ x 1,..., x n }. A K n vektortéren megadott normákat vektornormáknak A C[a, b] vektortér, ha a normát pl. az hívjuk. f C[a,b] = max x [a,b] { f(x) } módon értelmezzük (maximumnorma), amely tulajdonképpen a függvénygrakon x-tengelyt l mért legnagyobb eltérésének nagyságát adja meg.

16 12 1. El ismeretek A K m n vektortér, ha a normát egy A = [a ij ] K m n mátrix esetén az A = max { a ij } i=1,...,m; j=1,...,n képlettel értelmezzük. A K m n vektortéren megadott normákat mátrixnormáknak hívjuk. Kés bb majd látni fogunk más fontos mátrixnormákat is. A norma alkalmas arra, hogy mérjük két folytonos függvény, két vektor vagy két mátrix "távolságát". Így mérni tudjuk, hogy pl. egy lineáris egyenletrendszer közelít megoldása "milyen messze" van a pontos megoldástól. A távolság segítségével konvergenciát is deniálhatunk deníció. Az x, y (V, ) vektorok távolságán az x y számot értjük. A távolság elnevezés jogosságát az alábbi tétel mutatja tétel. A fent deniált távolságra teljesülnek az alábbi tulajdonságok: 1. x y 0, x, y (V, ), x y = 0 x = y, 2. x y = y x, x, y (V, ), 3. x y x z + z y, x, y, z (V, ) (háromszög-egyenl tlenség). A háromszög-egyenl tlenség közvetlen következménye az alábbi tétel, ami azt mutatja, hogy két vektor normájának eltérése tetsz legesen kicsi lehet, ha a két vektor távolságát elegend en kicsinek választjuk tétel. Egy (V, ) normált térben x y x y minden x, y (V, ) esetén. Bizonyítás. Alkalmazzuk kétféleképpen a háromszög-egyenl tlenséget: y = (y x) + x y x + x, x = (x y) + y x y + y. Az els egyenl tlenségb l kapjuk, hogy y x y x, a másikból pedig hogy x y x y. Az utóbbi egyenl séget az y x y x alakba írva a két egyenl ség együttesen a y x y x y x alakot ölti, ami a bizonyítandó állítással ekvivalens deníció. Azt mondjuk, hogy az {x k } (V, ) sorozat tart az x (V, ) elemhez (konvergens), ha az { x k x } valós számsorozat nullához tart. Jelölés: x k x. Az x vektort a sorozat határértékének hívjuk. Könnyen igazolható, hogy a határérték egyértelm.

17 1.1. Vektorterek deníció. Azt mondjuk, hogy egy H (V, ) halmaz zárt, ha minden olyan {x k } H sorozatra, amely tart valamilyen x (V, ) elemhez, igaz, hogy x H. Egy H (V, ) halmaz nyílt, ha komplementere zárt deníció. Egy V vektortéren értelmezett és normákat ekvivalensnek nevezzük, ha vannak olyan c 1, c 2 > 0 konstansok, melyekre c 1 x x c 2 x, x V. Könnyen látható, hogy a normák ekvivalenciája ekvivalencia-reláció, azaz reexív, szimmetrikus és tranzitív. Ekvivalens normák ugyanazt a konvergenciát deniálják. Ez azt jelenti, hogy ha egy sorozat az egyik normában tart egy adott elemhez, akkor a másik normában is ahhoz az elemhez fog tartani. A kés bbiekben többször alkalmazzuk majd az alábbi tételt tétel. Véges dimenziós vektorterekben minden norma ekvivalens. Bizonyítás. Legyen V egy véges dimenziós vektortér a v 1,..., v n bázissal. Ebben a vektortérben minden x vektor egyértelm en írható fel x = n k=1 α kv k alakban, ahol az α k együtthatók K-beli egyértelm en meghatározott konstansok. Ekkor a vektortérben a µ(x) = n k=1 α k 2 függvény normát deniál ( feladat). Legyen egy tetsz leges norma az adott V vektortéren. A tétel igazolásához elegend megmutatnunk, hogy és µ ekvivalens normák, mert a normák tranzitivitása miatt így bármely két norma ekvivalens lesz. Legyen x egy tetsz leges V -beli vektor. Ekkor n n x = α k v k α k v k n α k 2 n v k 2 = c 2 µ(x), k=1 k=1 ahol c 2 = n k=1 v k 2 egy, az x vektortól független konstans. Az utolsó becslésnél a Cauchy Schwarz-egyenl tlenséget használtuk. Így a norma felülr l becsülhet a µ norma konstansszorosával. Az alsó becsléshez tekintsük az euklideszi normával ellátott K n teret, melyen deniáljuk az f : (K n, 2 ) R, f(χ) = f(χ 1,..., χ n ) = n k=1 χ kv k függvényt. Ez a függvény folytonos, ugyanis az tétel alapján tetsz leges γ = (γ 1,..., γ n ), β = (β 1,..., β n ) K n vektorok esetén n n n f(γ) f(β) = γ k v k β k v k (γ k β k )v k c 2 γ β 2. k=1 Mivel az f függvény tehát folytonos, így a k=1 k=1 k=1 G = {χ K n χ 2 = 1} korlátos és zárt gömbhéjon van legkisebb értéke. Legyen ez a legkisebb érték f. Az f érték nyilvánvalóan nagyobb nullánál, hiszen különben a v 1,..., v n vektorok nem lennének függetlenek. k=1

18 14 1. El ismeretek Mivel x o esetén µ(x/µ(x)) = 1, ezért x/µ(x) f, amib l következik, hogy x f µ(x). Ez mutatja, hogy c 1 = f megfelel választás. Ezt akartuk megmutatni deníció. Azt mondjuk, hogy az {x k } (V, ) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε > 0 számhoz van olyan M N szám, melyre x n x m < ε minden n, m M esetén tétel. Minden (V, ) normált térbeli konvergens sorozat Cauchy-sorozat. A tétel megfordítása nem igaz deníció. Azt mondjuk, hogy a (V, ) normált tér Banach 2 -tér, ha minden (V, )-beli Cauchy-sorozat konvergens sorozat is egyben. A normált terekre korábban felsorolt példák egyben példák Banach-terekre is. Tehát pl. R n Banach-tér a felsorolt normákkal, és mivel ezen a vektortéren minden norma ekvivalens, ezért bármilyen más normával is. Ugyanakkor nem minden normált tér Banach-tér. Ha a C[a, b] vektortéren a normát az f = b f(x) dx módon deniáljuk, akkor az így nyert normált tér nem a lesz Banach-tér. Most igazoljuk azt a tételt, amely a kés bbi iterációs eljárások konvergenciáját fogja majd biztosítani tétel. (Banach-féle xponttétel) Legyen (V, ) egy Banach-tér, és H (V, ) egy tetsz leges nem üres zárt részhalmaz. Tegyük fel, hogy az F : H H leképezés kontrakció, azaz van olyan 0 q < 1 valós szám, mellyel F (x) F (y) q x y bármely x, y H elemek esetén. Ekkor F-nek egyértelm en létezik xpontja H-ban, azaz egy olyan x H elem, mellyel F (x ) = x. Tetsz leges x 0 H kezd elemmel az x k+1 = F (x k ) módon el állított sorozat x -hoz tart. Érvényes az becslés. x x m qm 1 q x 1 x 0 (1.1.1) 2 Stefan Banach (1892 (Lvov)-1945), lengyel matematikus. A modern funkcionálanalízis megalapítója. Eredményei jelent sen hozzájárultak a topologikus vektorterek, a mértékelmélet, az integrálás és az ortogonális sorok elméletéhez is. Részletes angol nyelv életrajz található pl. az Banach.html oldalon.

19 1.1. Vektorterek 15 Bizonyítás. Tekintsük egy tetsz leges x 0 H elem esetén az x k+1 = F (x k ) rekurzióval de- niált sorozatot, melynek nyilvánvalóan mindegyik eleme H-ban található. Ekkor a kontrakciós tulajdonság miatt x k+1 x k = F (x k ) F (x k 1 ) q x k x k 1... q k x 1 x 0. Tetsz leges két n > m természetes szám esetén x n x m = x n x n 1 + x n 1 x n x m+1 x m x n x n 1 + x n 1 x n x m+1 x m q n 1 x 1 x 0 + q n 2 x 1 x q m x 1 x 0 = (q n 1 + q n q m ) x 1 x 0 = (q n m 1 + q n m )q m x 1 x 0 = qn m 1 q m x 1 x 0 qm q 1 1 q x 1 x 0. Ez mutatja, hogy {x k } egy H-beli Cauchy-sorozat, hiszen 0 q < 1, és ε > 0 esetén ln(ε(1 q)/ x1 x 0 ) M = ln q (1.1.2) jó választás. Mivel Banach-terekben minden Cauchy-sorozat konvergens, ezért létezik olyan x (V, ), melyre x k x. H zártsága miatt x H is igaz. Most azt fogjuk igazolni, hogy x xpontja F-nek. Ha x 1 = x 0, akkor ez nyilvánvaló. Mivel F (x ) x k+1 = F (x ) F (x k ) q x x k 0 (k ), ezért x k+1 F (x ). Mivel x k+1 x is igaz, így a határérték egyértelm ségéb l következik, hogy F (x ) = x. Az egyértelm ség igazolásához indirekt módon feltételezzük, hogy van legalább két különböz xpont: x és x. Ekkor x x = F (x ) F (x ) q x x, ami nyilván csak úgy lehet (q < 1), ha x = x, ami ellentmondás. Az állítás harmadik részében szerepl becslés úgy igazolható, hogy az n indexszel végtelenhez tartunk az (1.1.2) becslésben. A tételben természetesen H lehet a teljes (V, ) normált tér is. Vegyük észre, hogy a tétel második állítása gyakorlati útmutatást is ad arra, hogy a xpontot hogy kell megkeresnünk. A harmadik részben szerepl becslés pedig a xponthoz tartó sorozat els két elemének távolságával és a q konstanssal ad fels becslést arra, hogy a sorozat m-edik eleme milyen messze van a határértékét l. Vegyük észre azt is, hogy az {x k } sorozat kezd eleme tetsz leges volt, így az x xpont tetsz leges H-beli kezd elemr l induló iterációs sorozat határértékeként el állítható deníció. Egy F : (V 1, ) (V 2, ) leképezés folytonos az x (V 1, ) pontban, ha minden {x k } (V 1, ) sorozatra, melyre x k x, következik, hogy F (x k ) F (x ) (V 2, )-ben. F folytonos, ha minden x (V 1, ) pontban folytonos. Fontos példa, hogy az F : (V, ) (R,. ), F (x) = x folytonos leképezés, hiszen tetsz leges x k x (V, )-beli sorozat esetén minden k indexre igaz, hogy x k x x k x ( tétel), azaz x k x.

20 16 1. El ismeretek deníció. Egy F : (V 1, ) (V 2, ) leképezés korlátos, ha van olyan K R + 0 F (x) K x minden x (V 1, ) esetén. szám, melyre deníció. Egy F : (V 1, ) (V 2, ) leképezést lineáris operátornak nevezünk, ha F (αx + βy) = αf (x) + βf (y) minden x, y (V 1, ), α, β K esetén tétel. Lineáris operátorokra a folytonosság és a korlátosság ekvivalens tulajdonságok. Ha egy lineáris operátor folytonos egy pontban, akkor folytonos (V 1, ) minden pontjában. Jelölje B(V 1, V 2 ) az összes korlátos L : (V 1, ) (V 2, ) lineáris operátor vektorterét, ahol a m veleteket az módon értelmezzük tétel. Az (L 1 + L 2 )(x) = L 1 (x) + L 2 (x), (αl)(x) = α L(x) L(x) L := sup x o x (a korlátosság miatt jól deniált) hozzárendelés normát ad meg a B(V 1, V 2 ) vektortéren, így B(V 1, V 2 ) normált tér. (Ha V 2 Banach-tér, akkor B(V 1, V 2 ) is Banach-tér.) Alkalmazzuk az el z tételt az L : (K n, ) (K m, ), L(x) = Ax lineáris leképezésre, ahol A K m n. A normák ekvivalenciája miatt ( tétel) az L leképezés folytonos, azaz korlátos. Ekkor az el z tételt alkalmazva az Ax A := L = sup (1.1.3) x 0 x hozzárendelés mátrixnormát ad meg. A vektornormákból a fenti képlettel származtatott mátrixnormákat indukált normáknak hívjuk tétel. Tegyük fel, hogy a K n és K m normált terekben is ugyanazt a vektornormát használjuk. Ekkor a korábban megismert vektornormák az alábbi mátrixnormákat indukálják: Oktaédernorma (p = 1): A 1 = max j=1,...,n m i=1 a ij (oszlopösszegnorma), Maximumnorma (p = ): n A = max i=1,...,m j=1 a ij (sorösszegnorma), Euklideszi norma (p = 2): A 2 = ϱ(a H A), ahol ϱ az A mátrix spektrálsugara, és A H az A mátrix transzponált konjugáltja.

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Matematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak

Matematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak Matematika Plus építőmérnök hallgatóknak Simon Károly.5. Tartalomjegyzék. I. előadás 3.. Kiegészítés az A-ben tanultakhoz: Determináns....... 3... Elemi sor transzformációk hatása a determinánsra:. 5...

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben