Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1"

Átírás

1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0, F(x 0 )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 az érintő x tengellyel vett metszéspontját. Ezután húzzuk meg az F(x) függvény (x 1, F(x 1 )) pontbeli érintőjét és jelölje x 2 az érintő x tengellyel vett metszéspontját Íly módon egy x 0, x 1, x 2, sorozatot nyerünk. X n+1 = x n F(x n )/F (x n ) (n = 0, 1, 2, ) Tétel: Tegyük fel, hogy x 0 és x* között F(x) kétszeresen differenciálható, F (x) 0, F (x) 0, valamint F(x 0 )*F (x 0 ) > 0. Ekkor a Newton módszer konvergens. Ha az x* gyököt a húr és a szelő-módszerekhez hasonlóan valamely intervallumba szorítjuk, akkor az intervallum azt a végpontját kell kezdeti közelítésnek választanunk, amelyre: F(x0)*F (x0)>0. A Taylor-formula alapján k>=0 esetén azt nyerjük, hogy: 0=F(x*)=F(xk)+F (xk)*(x*-xk)+(1/2)*f (ξ)*(x*-xk) 2 Valamint a: X k+1 = x k F(x k )/F (x k ) formulát átrendezve: 0=F(xk)+F (xk)*(xk+1-xk) adódik, amelyet kivonva a Taylor-formulából nyert egyenlőségből azt kapjuk hogy: 0=F (xk)*(x*-xk+1)+(1/2)*f (ξ)*(x*-xk) 2 formulát kapjuk. Feltéve, hogy az x* értékét és az (xk) sorozatot tartalmazó valamilyen intervallumba 0<m<= F (x) és M>= F (x),akkor az előbbi formula: ξk+1 <=M/2m* ξk 2 alakban írható fel. Mindkét oldalt megszorozva K=M/2m-el a dk=k*ξk mennyiségekre a dk+1<=dk 2 összefüggéshez jutunk. Feltéve, hogy x0 x* hoz olyan közel van, hogy d=d0<1, akkor teljes indukcióval könnyű belátni, hogy k>=0 esetén: dk+1<=d 2k+1

2 Ez az egyenlőtlenség a Newton Módszer hibabecslő formulája. Példaprogram: x*x*x-3*x*x-x+9 import math, os from abrazol import * rajzol(["(x*x*x)-3*(x*x)-x+9"],-5,5,60,20,["red"]) # a fuggveny def func1(x): return (x*x*x)-3*(x*x)-x+9; #elso derivalt def func2(x): return 3*x*x-6*x-1; #beolvasas x0=input("adja meg az intervallum kezdetet: ")*1.0 eps=input("adja meg a hibakorlatot: ")*1.0 nevezo=func2(x0) szamlalo=func1(x0) xe=x0-(szamlalo/nevezo) sz=1 while (abs(x0-xe)>eps): x0=xe szamlalo=func1(x0) nevezo=func2(x0) print sz print xe xe=x0-(szamlalo/nevezo) sz=sz+1 Hibabecslés: F(x)=x 3-3x 2 -x+9 F (x) = 3x 2-6x-1 >=8=m F (x) = 6x-6 <=18=M K=M/2m K=18/16=9/8 ξk=xk-x* dk=k*ξk d=(k*ξ0) 2k+1 x0=-2 x1=-1,609 ξ0=x0-x1= d0=(9/8)*-0,0391=-0, dk+1<=d 2k+1 d4<=(-0, ) 9 9/8* ξ5 <(-0, ) 9 Futási eredmény: x4-x* <8/9*(-0, ) 9 /usr/bin/python -u "/home/gajdosr/python/oldal/newton.py" Adja meg az intervallum kezdetet: -2 Adja meg a hibakorlatot:

3 Módosított Newton-módszer: A Newton-módszer esetében újabb közelítés számításakor f és f egy-egy függvényértékét kell kiszámolnunk! Az intervallum felezésnél, a húr- és a szelőmódszernél lépésenként csak f(xk) értékét kell számolnunk! Így a Newton-módszer műveletigénye nagyobb, mint a többi módszeré! Ha f a gyök környezetében alig változik, akkor nem vétünk hibát, ha a Newton formulába f (xk) helyett f (x0) értékét írjuk. Tehát e formulát írjuk át: Erre: Az így kapott formulát módosított Newton-módszernek nevezzük. Ezzel a módszer műveletigényét jelentősen lecsökkentjük, hiszen f értékét csak az iteráció megkezdésekor kell kiszámolnunk. Példa: Az x^3-3x^2-x+9 = 0 egyenlet valós gyökét a módosított Newton-módszerrel határozzuk meg. x0 = -2 választással f (x0) = lépést kell számolnunk a gyök 6 tizedesre való meghatározásához. A számítás eredményeit a táblázat ismerteti. import math, os from abrazol import * rajzol(["(x*x*x)-3*(x*x)-x+9"],-5,5,60,20,["red"]) def func1(x): return (x*x*x)-3*(x*x)-x+9; def func2(x): return 3*x*x-6*x-1; x0=input("kerem az intervallum kezdetet: ")*1.0 eps=input("kerem a hibakorlatot: ")*1.0 nevezo=func2(x0) szamlalo=func1(x0) xe=x0-(szamlalo/nevezo) lepessz=1 while (abs(x0-xe)>eps): x0=xe szamlalo=func1(x0) print lepessz print xe xe=x0-(szamlalo/nevezo) lepessz=lepessz+1 Forrás: Szidarovszky Ferenc Bevezetés a numerikus módszerekbe

4 Lagrange interpoláció: import math, os from abrazol import * n=input("adja meg az alappontok szamat:") xtomb=[ None ] * n ytomb=[ None ] * n tomb=[ None ]*(n+1) while(i<n): xtomb[i]=input("adja meg az x ertekkeszletet:")*1.0 ytomb[i]=input("adja meg az x-hez tartozo fv ertekeket:")*1.0 tomb[i]=xtomb[i],ytomb[i] print tomb x=input("hol kozelitse:") p= 0 s="" while(i<n): li=1 s+="+"+str(ytomb[i]) while(j<n): if i!=j: li=li*((x-xtomb[j])/(xtomb[i]-xtomb[j])) s+="*((x-"+str(xtomb[j])+")/("+str(xtomb[i])+"-"+str(xtomb[j] )+"))" p=p+ytomb[i]*li print "Az x-hez tartozo fuggvenyertek:",p #fv=raw_input("miyen fuggvenyt akar abrazolni:") eredmeny=x,p tomb[n]=eredmeny rajzol([s],1,150,1,5,["blue"],tomb)

5 Polinom interpoláció Függvényközelítések Azzal a kérdéssel foglalkozik, hogy a diszkrét pontokban adott függvényekhez hogyan lehet jól kezelhető, az adott pontokra minél jobban illeszkedő függvényeket konstruálni. A legkönnyebben kezelhető és a legkedvezőbb analitikus tulajdonságokat követő függvények a véges fokszámú polinomok, így a gyakorlati esetek nagy részében polinom közelítésekkel dolgozunk. Az adott pontokra való jó illeszkedésük szempontjából a polinomokkal való közelítések három típusát különböztetjük meg: 1. Interpoláció 2. A legkisebb négyzetek módszere 3. Csebisev-féle közelítés Az interpolációs polinomok az alappontokban ugyanazokat az értékeket veszik fel, mint az adott függvény, a legkisebb négyzetek és a Csebisev-féle közelítés módszerével nyert polinomok az alappontokban az adott függvényértékeknek csak közelítését adják. Interpoláció Az y=f(x) függvény értékkészlete legyen ismert az x 0, x 1,, x n pontsorozaton, azaz y 0 =f(x 0 ), y 1 =f(x 1 ),, y n =f(x n ) Az x 0, x 1,, x n pontsorozatot a továbbiakban interpolációs alappontoknak nevezzük. Az interpoláció célja, hogy olyan függvényt határozzunk meg, amely az [x 0 ; x n ] intervallumban közelítőleg megadja az alappontoktól eltérő helyeken is a függvényértékeket. Az eljárás lényege az, hogy az f(x) függvényt olyan F(x) függvénnyel közelítjük, amely az (x i ;y i ) (,1,, n) pontokban, az ún. kollokációs pontokban megegyezik f(x)-szel, azaz F(x i )=f(x i ) y i (,1,, n). Az F(x) függvény előállítására szolgáló eljárást interpolációnak, az F(x) függvényt pedig interpolációs függvénynek nevezzük. Az F(x) függvény p(x)-szel jelölt polinom. Polinom interpoláció A polinom interpoláció a lineáris interpoláció egy általános fajtája. Egy y=p(x) polinom meghatározását jelenti, mely keresztül megy a (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),,(x n,y n ) pontokon. Tehát adott n db pont ahol az egyes x i értékek mind különbözők, minden p(x i )=y i, (i eleme 0..n) és a polinom fokszáma legfeljebb n-1 lesz. A keresett p(x) polinomra minden esetben teljesülni kell a következő feltételeknek: 1. x i!=0, i eleme 0..n, 2. x i =x j akkor i=j, 3. a következő mátrix determinánsa nem 0 1, x 0, x 02,, x 0 n-1 1, x 1, x 12,, x 1 n-1 1, x n, x n2,, x n n-1

6 Ha ezek teljesülnek a következő egyenletrendszert kell megoldani (ez az ún. Vandermonde mátrix): A keresett polinom a következő alakban írható fel az a i -k ismeretében: import math, sys def mxprint(m): for i in range(size): for j in range(size): print m[i][j], print "" def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def mod(m1,m2,el): mke=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(mke)): for j in range(len(mke)): mke[i][j]=m1[i][j] mke[i][el]=m2[i] return mke def cramer(m1,m2): xi=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(m2)): xi[i]=mxdet(mod(m1,m2,i))/(mxdet(m1)*1.0) return xi

7 def fuggveny(x): i=1 ertek=p[0] while(i<db): ertek=ertek+(p[i]*x**i) return ertek db=input( "Kerem a koordinatak szamat: ") i=1 tx=[] ty=[] p=[] while(i<=db): print "Kerem a(z) ",i,". koordinata x erteket: " x=input() tx.append(x) print "Kerem a(z) ",i,". koordinata y erteket: " y=input() ty.append(y) while(i<db): x=tx[i] if x==0: print "A polinom interpolacio nem alkalmazhato" sys.exit(0) while(j<i): if(tx[j]==x): print "A polinom interpolacio nem alkalmazhato, 2 koordinata x erteke megegyezik!" sys.exit(0) m=[] while(i<db): x=tx[i] seged=[] while(j<db): seged.append(x**j) m.append(seged) if mxdet(m)==0: print "A matrix determinansa 0, a polinom interpolacio nem alkalmazhato" sys.exit(0) p=cramer(m, ty) print p keresett=input( "Kerem a keresett pont x koordinatajat: ") print fuggveny(keresett)

8 Az intervallumfelezés módszere import math def f(a): return a*a*a*a*a+2*a*a-0.5 def intfel(a,b): c=(a+b)/2.0 if ((abs(a-b)>1e-11)and(f(c)!=0)): if (f(c)*f(b)<0): return intfel(c,b) elif (f(c)*f(a)<0): return intfel(a,c) else: return c def intfel1(a,b): d=0 c=(a+b)/2.0 while((abs(a-b)>1e-11) and (f(c)!=0)): c=(a+b)/2.0 if (f(c)*f(b)<0): a=c elif (f(c)*f(a)<0): b=c d+=1 return d a=0 b=2 if (f(a)*f(b)<0): print "a kozelito megoldas :",intfel(a,b) print intfel1(a,b),"lepesben oldotta meg" else: print "Nemjo a megadott intervallum"

9 A legkisebb négyzetek módszere Eddig már két függvényközelítési módszerrel foglalkoztunk, a Lagrange polinomokkal és a Taylor polinomokkal. A Lagrange polinomoknál minden alappontban egy mérési eredményünk van (ami lehet valódi mérés eredménye, de lehet kiszámított függvényérték is) és megköveteljük azt, hogy a függvényt közelít? polinom a megadott alappontban a megadott értéket vegye fel. A Taylor polinomok esetében egy pontban a deriváltak értékét adjuk meg (illetve mérjük, ha ilyen mérést meg tudunk valósítani) és olyan polinomot konstruálunk, amelynek deriváltjai az adott pontban a megadott derivált értékek. A legkisebb négyzetek módszere a fenti módszerek egy általánosítása, ugyanis a gyakorlatban meg kell engednünk azt is, hogy egy függvényérték meghatározására több mérést is végezhessünk. Ekkor azonban nem köthetjük ki, hogy a közelítő függvény milyen értéket vegyen fel, hiszen a mérési eredmények rendszerint nem azonosak, így nincs is megadott függvényérték. A másik általánosítás abban lehetséges, hogy nem kell ragaszkodni a polinomokhoz, szinte minden függvényfajta előfordulhat illesztő függvényként. A legkisebb négyzetek módszerének általános megfogalmazása Tegyük fel, hogy egy f ( x, a1, a2,..., am ) egyelőre ismeretlen függvény értékére az x, 1 x2,... xs alappontokban méréseket végzünk. Ennek eredményeként az y = f x, a, a,... a ) j = 1, 2,..., s értékekre kapjuk az j ( j 1 2 n,...,,,...,,...,...,, mérési eredményeket. ( s1, s2,.., sk ) nem feltétlenül egyenlőek, vagyis nem minden pontban kell ugyanannyi mérést végezni (de lehet). A fő feladat az f ( x, a1, a2,..., am ) függvényben, amelynek alakja 2 ( 1) adott (pl. egy polinom, f ( x, a1, a2,..., am ) = a 1 + a x 2 + a x m a x ) az m a 1, a2,... am határozatlan együtthatók értékének meghatározása úgy, hogy az így kapott f függvény értékének eltérése a mérési értékektől az alappontokban a lehető legkisebb legyen. Az eltérést a függvényérték és a mérési értékek különbségének négyzetével mérjük. Így a kapott feladat egy többváltozós függvény szélsőértékének meghatározása. A négyzetes eltérést megadó függvény a következő: f x, a, a,..., a ) = ( 1 2 m.

10 Keresendő tehát az f ( x, a1, a2,..., am ) függvény minimumhelye, ahol változók az a 1, a2,... am paraméterek. A többváltozós függvények elméletéből tudjuk, hogy ott lehetnek szélsőérték helyek, ahol a függvény első parciális deriváltjai eltűnnek. Esetünkben ez a következő egyenletek teljesülését jelenti: = =... = A szélsőérték létezésének elégséges feltételeivel ilyen általánosan nem foglalkozunk. Abban az esetben, ha a meghatározandó függvény polinom vagy olyan függvény, amelyben az ismeretlen a j, j = 1,..., m paraméterek lineárisan fordulnak elő, lineáris legkisebb négyzetek módszeréről beszélünk. Ennek speciális esete, amellyel külön is foglalkozunk az, amikor f alakja f ( x, a1, a2 ) = a1 + a2 x vagyis a lineáris függvény, amelyet a statisztikában lineáris regressziónak neveznek. De ugyanebben az értelemben beszélhetünk parabolikus, harmadfokú,... stb. regresszióról is, ha az illesztésre használt függvény parabola, harmadfokú polinom, stb. Minden ilyen esetben a fenti megoldandó egyenletrendszer lineáris egyenletrendszer lesz. Nemlineáris regresszióról akkor beszélünk, ha az illesztendő függvény a meghatározandó paramétereket nemlineárisan tartalmazza. Ekkor a szükséges feltételeket megfogalmazó egyenletrendszer nemlineáris egyenletrendszer lesz. ### lnm.py # -*- coding: iso *- import math, os, sys n=input("az alappontok szßma:") xtomb=[ None ] * n ytomb=[ None ] * n tomb=[ None ]* n while(i<n): xtomb[i]=input("adja az alappontokat:")*1.0 ytomb[i]=input("adja meg az az alappontokhoz tartozˇ fřggvúnyúrtúkeket:")*1.0 tomb[i]=xtomb[i],ytomb[i] print tomb f=input("hanyadfok legyen a poiinom:") t=[ None ] * n while(i<n): t[i]=1 s=[ None ] * f u=[ None ] * f s[0]=n u[0]=0

11 while(i<n): u[0]=u[0]+ytomb[i] i=1 while(i<f): s[i]=0 u[i]=0 while(j<n): t[j]=t[j]*xtomb[j] s[i]=s[i]+t[j] u[i]=u[i]+t[j]*ytomb[j] i=n+1 b=[ None ] * len(u) while(i<2*f): while (j<n): t[j]=t[j]*xtomb[j] s[i]=s[i]+t[j] a=[ [ None ] * n ] *n while(i<len(u)): b[i]=u[i] while(j<len(s)-1): print s[i+j] a[i][j]=s[i+j] print a[i][j] print b[i] ### lnm2.py # -*- coding: iso *- import math, os, sys n=input("az alappontok szßma:") xtomb=[ None ] * n ytomb=[ None ] * n tomb=[ None ]* n while(i<n): xtomb[i]=input("adja az alappontokat:")*1.0 ytomb[i]=input("adja meg az az alappontokhoz tartozˇ fřggvúnyúrtúkeket:")*1.0 tomb[i]=xtomb[i],ytomb[i] print tomb f=input("hanyadfok legyen a poiinom:") while(i<f): k=0 while(k<n): k=k+1 k=0 q=[ [ None ] * n] * n p=[ [ None ] * n] * n while(k<n): q[0][k]=p[0][k] k=k+1 k=0 l=0 c=[ [ None ] * n] * n c[k][l]=0 u=0

12 while(l<k-1): c[k][l]=0 u=0 while(j<n): c[k][l]=c[k][l]+p[k][j] * q[l][j] u=u+q[l][j] * q[l][j] c[k][l]= -c[k][l] / u l=l+1 while(j<n): q[k][j]=p[k][j] l=0 while(l<k-1): q[k][j]=q[k][j]+c[k][l]* q[l][j] l=l+1 c=[ None ] * n while(i<f): c[i]=0 u=0 while(j<n): c[i]=c[i]+q[i][j] * y[j] u=u+q[i][j] * q[i][j] c[i]=c[i] / u print c[i]

13 Deteminans: from random import randrange def mxprint(m): for j in range(len(m)): print m[i][j], print "" def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def mkrandommatrix(rows,cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = randrange(20) return mk def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def main(): #matrix=([1,3,2,2],[-2,6,2,6],[3,6,2,5],[1,2,1,1]) #matrix=([-2,1,2,4,-1],[3,1,1,-4,5],[-6,6,7,6,11],[11,10,-13,-9,6],[3,- 5,5,3,-8]) matrix=([-2,1,2,4,-1,5],[3,1,1,-4,5,-6],[-6,6,7,6,11,7],[11,10,-13,-9,6,- 8],[3,-5,5,3,-8,9],[2,2,11,3,-4,3]) #matrix=mkrandommatrix(11,11) # print matrix print mxdet(matrix) main() #by:tgt

14 Inverz def mxprint(m): print "" for j in range(len(m)): print m[i][j] def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def invertal(m): m1=mkmatrix(len(m),len(m)) ejel=-1 for j in range(len(m)): m1[j][i]=(-1)*ejel*mxdet(delete(m,i,j)) ejel=-ejel for i in range(len(m1)): for j in range(len(m1)): m1[i][j]=m1[i][j]*1.00 m1[i][j]=m1[i][j]/mxdet(m) return m1 def main(): #matrix=([1,-1,2],[2,-1,3],[1,-2,4]) #matrix=([1,2,3],[1,4,0],[-1,1,-1]) matrix=([-2,1,2,4,-1],[3,1,1,-4,5],[-6,6,7,6,11],[11,10,-13,-9,6],[3,-5,5,3,- 8]) mxprint(invertal(matrix)) main() #by:tgt

15 Lineáris egyenletrendszer: def mxprint(m): print "" for j in range(len(m)): print m[i][j] def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def mod(m1,m2,el): mke=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(mke)): for j in range(len(mke)): mke[i][j]=m1[i][j] mke[i][el]=m2[i] return mke def cramer(m1,m2): xi=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(m2)): xi[i]=mxdet(mod(m1,m2,i))/(mxdet(m1)*1.0) return xi def main(): matrix1=([3,2,1],[5,0,3],[9,4,3]) matrix2=([1,2,3]) #matrix1=([1,3,2,2],[-2,6,2,6],[3,6,2,5],[1,2,1,1]) #matrix2=([1,2,3,4]) print cramer(matrix1,matrix2) main()

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó............................................... 6. GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS

Részletesebben

Partíció probléma rekurzíómemorizálással

Partíció probléma rekurzíómemorizálással Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Szakdolgozat Miskolci Egyetem Nemlineáris programozás Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Témavezető: Dr. Nagy Tamás egyetemi docens, Alkalmazott Matematikai Tanszék Miskolc,

Részletesebben

ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTEL NÉLKÜLI OPTIMALIZÁLÁS ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Állandó együtthatós lineáris rekurziók

Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1. fejezet Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1.1. A megoldás menete. Mese. Idézzük fel a Fibonacci-számokat! Az F n sorozatot a következő módon definiáltuk: legyen F 0 = 0, F 1 = 1, és F n+2 = F n+1

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem 13. előadás Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Statisztikai alapfogalmak Populáció, hisztogram, átlag, medián, szórás,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós

Részletesebben

SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKA VÁGÁS

SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKA VÁGÁS SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKA VÁGÁS FELADAT: Ha az alakzat nagyobb, mint a képtartomány, amelyben megjelenítendő, akkor a kívül eső részeket el kell hagyni, azaz az alakzatról le kell vágni, röviden szólva: az alakzatot

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Miskolci Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

növekedése a processzorok számának növekedésénél sokkal nagyobb mértékben nő (szuper gyorsítási effektus).

növekedése a processzorok számának növekedésénél sokkal nagyobb mértékben nő (szuper gyorsítási effektus). A beszámolás tárgyát képező kutatási program címe: Soft computing számítógépes realizálása számítógépes algoritmusokkal. A pályázat beadásának idejében a soft computing elnevezés három egymással összefüggő

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Korreláció és Regresszió (folytatás) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények

Korreláció és Regresszió (folytatás) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények Korreláció és Regresszió (folytatás) 12. elıadás (23-24. lecke) Logisztikus telítıdési függvény Több független változós regressziós függvények 23. lecke A logisztikus telítıdési függvény Több független

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 5. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) b) ( )( ) I. ( pont) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

4. Kartell két vállalat esetén

4. Kartell két vállalat esetén 4. Kartell két vállalat esetén 34 4. Kartell két vállalat esetén Ebben a fejezetben azzal az esettel foglalkozunk, amikor a piacot két vállalat uralja és ezek összejátszanak. A vállalatok együttműködését

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb 1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb #include main() { int a, b; printf( "a=" ); scanf( "%d", &a ); printf( "b=" ); scanf( "%d", &b ); if( a< b ) { inttmp = a; a =

Részletesebben

Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai

Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai BSc Szakdolgozat Készítette: Prikkel Anett Matematika BSc Matematikai elemz szakirány Témavezet :

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

SZÉLTURBINÁKAT TARTALMAZÓ MÉRLEGKÖRÖK KIEGYENLÍTŐ ENERGIA KÖLTSÉGEINEK MINIMALIZÁLÁSA

SZÉLTURBINÁKAT TARTALMAZÓ MÉRLEGKÖRÖK KIEGYENLÍTŐ ENERGIA KÖLTSÉGEINEK MINIMALIZÁLÁSA SZÉLTURBINÁKAT TARTALMAZÓ MÉRLEGKÖRÖK KIEGYENLÍTŐ ENERGIA KÖLTSÉGEINEK MINIMALIZÁLÁSA Varga László E.ON Hungária ZRt. Hirsch Tamás Országos Meteorológiai Szolgálat XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

A Newton és Gauss-Newton módszerek alkalmazása egyenletrendszerek megoldására és nemlineáris optimalizálásra

A Newton és Gauss-Newton módszerek alkalmazása egyenletrendszerek megoldására és nemlineáris optimalizálásra A Newton és Gauss-Newton módszerek alkalmazása egyenletrszerek megoldására és nemlineáris optimalizálásra Veress Krisztián veresskrisztian@gmail.com 2007. július 10. 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1.

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY KÉZI CSABA Date: today. KÉZI CSABA ELŽSZÓ Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika II. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben