Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1
|
|
- János Magyar
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0, F(x 0 )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 az érintő x tengellyel vett metszéspontját. Ezután húzzuk meg az F(x) függvény (x 1, F(x 1 )) pontbeli érintőjét és jelölje x 2 az érintő x tengellyel vett metszéspontját Íly módon egy x 0, x 1, x 2, sorozatot nyerünk. X n+1 = x n F(x n )/F (x n ) (n = 0, 1, 2, ) Tétel: Tegyük fel, hogy x 0 és x* között F(x) kétszeresen differenciálható, F (x) 0, F (x) 0, valamint F(x 0 )*F (x 0 ) > 0. Ekkor a Newton módszer konvergens. Ha az x* gyököt a húr és a szelő-módszerekhez hasonlóan valamely intervallumba szorítjuk, akkor az intervallum azt a végpontját kell kezdeti közelítésnek választanunk, amelyre: F(x0)*F (x0)>0. A Taylor-formula alapján k>=0 esetén azt nyerjük, hogy: 0=F(x*)=F(xk)+F (xk)*(x*-xk)+(1/2)*f (ξ)*(x*-xk) 2 Valamint a: X k+1 = x k F(x k )/F (x k ) formulát átrendezve: 0=F(xk)+F (xk)*(xk+1-xk) adódik, amelyet kivonva a Taylor-formulából nyert egyenlőségből azt kapjuk hogy: 0=F (xk)*(x*-xk+1)+(1/2)*f (ξ)*(x*-xk) 2 formulát kapjuk. Feltéve, hogy az x* értékét és az (xk) sorozatot tartalmazó valamilyen intervallumba 0<m<= F (x) és M>= F (x),akkor az előbbi formula: ξk+1 <=M/2m* ξk 2 alakban írható fel. Mindkét oldalt megszorozva K=M/2m-el a dk=k*ξk mennyiségekre a dk+1<=dk 2 összefüggéshez jutunk. Feltéve, hogy x0 x* hoz olyan közel van, hogy d=d0<1, akkor teljes indukcióval könnyű belátni, hogy k>=0 esetén: dk+1<=d 2k+1
2 Ez az egyenlőtlenség a Newton Módszer hibabecslő formulája. Példaprogram: x*x*x-3*x*x-x+9 import math, os from abrazol import * rajzol(["(x*x*x)-3*(x*x)-x+9"],-5,5,60,20,["red"]) # a fuggveny def func1(x): return (x*x*x)-3*(x*x)-x+9; #elso derivalt def func2(x): return 3*x*x-6*x-1; #beolvasas x0=input("adja meg az intervallum kezdetet: ")*1.0 eps=input("adja meg a hibakorlatot: ")*1.0 nevezo=func2(x0) szamlalo=func1(x0) xe=x0-(szamlalo/nevezo) sz=1 while (abs(x0-xe)>eps): x0=xe szamlalo=func1(x0) nevezo=func2(x0) print sz print xe xe=x0-(szamlalo/nevezo) sz=sz+1 Hibabecslés: F(x)=x 3-3x 2 -x+9 F (x) = 3x 2-6x-1 >=8=m F (x) = 6x-6 <=18=M K=M/2m K=18/16=9/8 ξk=xk-x* dk=k*ξk d=(k*ξ0) 2k+1 x0=-2 x1=-1,609 ξ0=x0-x1= d0=(9/8)*-0,0391=-0, dk+1<=d 2k+1 d4<=(-0, ) 9 9/8* ξ5 <(-0, ) 9 Futási eredmény: x4-x* <8/9*(-0, ) 9 /usr/bin/python -u "/home/gajdosr/python/oldal/newton.py" Adja meg az intervallum kezdetet: -2 Adja meg a hibakorlatot:
3 Módosított Newton-módszer: A Newton-módszer esetében újabb közelítés számításakor f és f egy-egy függvényértékét kell kiszámolnunk! Az intervallum felezésnél, a húr- és a szelőmódszernél lépésenként csak f(xk) értékét kell számolnunk! Így a Newton-módszer műveletigénye nagyobb, mint a többi módszeré! Ha f a gyök környezetében alig változik, akkor nem vétünk hibát, ha a Newton formulába f (xk) helyett f (x0) értékét írjuk. Tehát e formulát írjuk át: Erre: Az így kapott formulát módosított Newton-módszernek nevezzük. Ezzel a módszer műveletigényét jelentősen lecsökkentjük, hiszen f értékét csak az iteráció megkezdésekor kell kiszámolnunk. Példa: Az x^3-3x^2-x+9 = 0 egyenlet valós gyökét a módosított Newton-módszerrel határozzuk meg. x0 = -2 választással f (x0) = lépést kell számolnunk a gyök 6 tizedesre való meghatározásához. A számítás eredményeit a táblázat ismerteti. import math, os from abrazol import * rajzol(["(x*x*x)-3*(x*x)-x+9"],-5,5,60,20,["red"]) def func1(x): return (x*x*x)-3*(x*x)-x+9; def func2(x): return 3*x*x-6*x-1; x0=input("kerem az intervallum kezdetet: ")*1.0 eps=input("kerem a hibakorlatot: ")*1.0 nevezo=func2(x0) szamlalo=func1(x0) xe=x0-(szamlalo/nevezo) lepessz=1 while (abs(x0-xe)>eps): x0=xe szamlalo=func1(x0) print lepessz print xe xe=x0-(szamlalo/nevezo) lepessz=lepessz+1 Forrás: Szidarovszky Ferenc Bevezetés a numerikus módszerekbe
4 Lagrange interpoláció: import math, os from abrazol import * n=input("adja meg az alappontok szamat:") xtomb=[ None ] * n ytomb=[ None ] * n tomb=[ None ]*(n+1) while(i<n): xtomb[i]=input("adja meg az x ertekkeszletet:")*1.0 ytomb[i]=input("adja meg az x-hez tartozo fv ertekeket:")*1.0 tomb[i]=xtomb[i],ytomb[i] print tomb x=input("hol kozelitse:") p= 0 s="" while(i<n): li=1 s+="+"+str(ytomb[i]) while(j<n): if i!=j: li=li*((x-xtomb[j])/(xtomb[i]-xtomb[j])) s+="*((x-"+str(xtomb[j])+")/("+str(xtomb[i])+"-"+str(xtomb[j] )+"))" p=p+ytomb[i]*li print "Az x-hez tartozo fuggvenyertek:",p #fv=raw_input("miyen fuggvenyt akar abrazolni:") eredmeny=x,p tomb[n]=eredmeny rajzol([s],1,150,1,5,["blue"],tomb)
5 Polinom interpoláció Függvényközelítések Azzal a kérdéssel foglalkozik, hogy a diszkrét pontokban adott függvényekhez hogyan lehet jól kezelhető, az adott pontokra minél jobban illeszkedő függvényeket konstruálni. A legkönnyebben kezelhető és a legkedvezőbb analitikus tulajdonságokat követő függvények a véges fokszámú polinomok, így a gyakorlati esetek nagy részében polinom közelítésekkel dolgozunk. Az adott pontokra való jó illeszkedésük szempontjából a polinomokkal való közelítések három típusát különböztetjük meg: 1. Interpoláció 2. A legkisebb négyzetek módszere 3. Csebisev-féle közelítés Az interpolációs polinomok az alappontokban ugyanazokat az értékeket veszik fel, mint az adott függvény, a legkisebb négyzetek és a Csebisev-féle közelítés módszerével nyert polinomok az alappontokban az adott függvényértékeknek csak közelítését adják. Interpoláció Az y=f(x) függvény értékkészlete legyen ismert az x 0, x 1,, x n pontsorozaton, azaz y 0 =f(x 0 ), y 1 =f(x 1 ),, y n =f(x n ) Az x 0, x 1,, x n pontsorozatot a továbbiakban interpolációs alappontoknak nevezzük. Az interpoláció célja, hogy olyan függvényt határozzunk meg, amely az [x 0 ; x n ] intervallumban közelítőleg megadja az alappontoktól eltérő helyeken is a függvényértékeket. Az eljárás lényege az, hogy az f(x) függvényt olyan F(x) függvénnyel közelítjük, amely az (x i ;y i ) (,1,, n) pontokban, az ún. kollokációs pontokban megegyezik f(x)-szel, azaz F(x i )=f(x i ) y i (,1,, n). Az F(x) függvény előállítására szolgáló eljárást interpolációnak, az F(x) függvényt pedig interpolációs függvénynek nevezzük. Az F(x) függvény p(x)-szel jelölt polinom. Polinom interpoláció A polinom interpoláció a lineáris interpoláció egy általános fajtája. Egy y=p(x) polinom meghatározását jelenti, mely keresztül megy a (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),,(x n,y n ) pontokon. Tehát adott n db pont ahol az egyes x i értékek mind különbözők, minden p(x i )=y i, (i eleme 0..n) és a polinom fokszáma legfeljebb n-1 lesz. A keresett p(x) polinomra minden esetben teljesülni kell a következő feltételeknek: 1. x i!=0, i eleme 0..n, 2. x i =x j akkor i=j, 3. a következő mátrix determinánsa nem 0 1, x 0, x 02,, x 0 n-1 1, x 1, x 12,, x 1 n-1 1, x n, x n2,, x n n-1
6 Ha ezek teljesülnek a következő egyenletrendszert kell megoldani (ez az ún. Vandermonde mátrix): A keresett polinom a következő alakban írható fel az a i -k ismeretében: import math, sys def mxprint(m): for i in range(size): for j in range(size): print m[i][j], print "" def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def mod(m1,m2,el): mke=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(mke)): for j in range(len(mke)): mke[i][j]=m1[i][j] mke[i][el]=m2[i] return mke def cramer(m1,m2): xi=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(m2)): xi[i]=mxdet(mod(m1,m2,i))/(mxdet(m1)*1.0) return xi
7 def fuggveny(x): i=1 ertek=p[0] while(i<db): ertek=ertek+(p[i]*x**i) return ertek db=input( "Kerem a koordinatak szamat: ") i=1 tx=[] ty=[] p=[] while(i<=db): print "Kerem a(z) ",i,". koordinata x erteket: " x=input() tx.append(x) print "Kerem a(z) ",i,". koordinata y erteket: " y=input() ty.append(y) while(i<db): x=tx[i] if x==0: print "A polinom interpolacio nem alkalmazhato" sys.exit(0) while(j<i): if(tx[j]==x): print "A polinom interpolacio nem alkalmazhato, 2 koordinata x erteke megegyezik!" sys.exit(0) m=[] while(i<db): x=tx[i] seged=[] while(j<db): seged.append(x**j) m.append(seged) if mxdet(m)==0: print "A matrix determinansa 0, a polinom interpolacio nem alkalmazhato" sys.exit(0) p=cramer(m, ty) print p keresett=input( "Kerem a keresett pont x koordinatajat: ") print fuggveny(keresett)
8 Az intervallumfelezés módszere import math def f(a): return a*a*a*a*a+2*a*a-0.5 def intfel(a,b): c=(a+b)/2.0 if ((abs(a-b)>1e-11)and(f(c)!=0)): if (f(c)*f(b)<0): return intfel(c,b) elif (f(c)*f(a)<0): return intfel(a,c) else: return c def intfel1(a,b): d=0 c=(a+b)/2.0 while((abs(a-b)>1e-11) and (f(c)!=0)): c=(a+b)/2.0 if (f(c)*f(b)<0): a=c elif (f(c)*f(a)<0): b=c d+=1 return d a=0 b=2 if (f(a)*f(b)<0): print "a kozelito megoldas :",intfel(a,b) print intfel1(a,b),"lepesben oldotta meg" else: print "Nemjo a megadott intervallum"
9 A legkisebb négyzetek módszere Eddig már két függvényközelítési módszerrel foglalkoztunk, a Lagrange polinomokkal és a Taylor polinomokkal. A Lagrange polinomoknál minden alappontban egy mérési eredményünk van (ami lehet valódi mérés eredménye, de lehet kiszámított függvényérték is) és megköveteljük azt, hogy a függvényt közelít? polinom a megadott alappontban a megadott értéket vegye fel. A Taylor polinomok esetében egy pontban a deriváltak értékét adjuk meg (illetve mérjük, ha ilyen mérést meg tudunk valósítani) és olyan polinomot konstruálunk, amelynek deriváltjai az adott pontban a megadott derivált értékek. A legkisebb négyzetek módszere a fenti módszerek egy általánosítása, ugyanis a gyakorlatban meg kell engednünk azt is, hogy egy függvényérték meghatározására több mérést is végezhessünk. Ekkor azonban nem köthetjük ki, hogy a közelítő függvény milyen értéket vegyen fel, hiszen a mérési eredmények rendszerint nem azonosak, így nincs is megadott függvényérték. A másik általánosítás abban lehetséges, hogy nem kell ragaszkodni a polinomokhoz, szinte minden függvényfajta előfordulhat illesztő függvényként. A legkisebb négyzetek módszerének általános megfogalmazása Tegyük fel, hogy egy f ( x, a1, a2,..., am ) egyelőre ismeretlen függvény értékére az x, 1 x2,... xs alappontokban méréseket végzünk. Ennek eredményeként az y = f x, a, a,... a ) j = 1, 2,..., s értékekre kapjuk az j ( j 1 2 n,...,,,...,,...,...,, mérési eredményeket. ( s1, s2,.., sk ) nem feltétlenül egyenlőek, vagyis nem minden pontban kell ugyanannyi mérést végezni (de lehet). A fő feladat az f ( x, a1, a2,..., am ) függvényben, amelynek alakja 2 ( 1) adott (pl. egy polinom, f ( x, a1, a2,..., am ) = a 1 + a x 2 + a x m a x ) az m a 1, a2,... am határozatlan együtthatók értékének meghatározása úgy, hogy az így kapott f függvény értékének eltérése a mérési értékektől az alappontokban a lehető legkisebb legyen. Az eltérést a függvényérték és a mérési értékek különbségének négyzetével mérjük. Így a kapott feladat egy többváltozós függvény szélsőértékének meghatározása. A négyzetes eltérést megadó függvény a következő: f x, a, a,..., a ) = ( 1 2 m.
10 Keresendő tehát az f ( x, a1, a2,..., am ) függvény minimumhelye, ahol változók az a 1, a2,... am paraméterek. A többváltozós függvények elméletéből tudjuk, hogy ott lehetnek szélsőérték helyek, ahol a függvény első parciális deriváltjai eltűnnek. Esetünkben ez a következő egyenletek teljesülését jelenti: = =... = A szélsőérték létezésének elégséges feltételeivel ilyen általánosan nem foglalkozunk. Abban az esetben, ha a meghatározandó függvény polinom vagy olyan függvény, amelyben az ismeretlen a j, j = 1,..., m paraméterek lineárisan fordulnak elő, lineáris legkisebb négyzetek módszeréről beszélünk. Ennek speciális esete, amellyel külön is foglalkozunk az, amikor f alakja f ( x, a1, a2 ) = a1 + a2 x vagyis a lineáris függvény, amelyet a statisztikában lineáris regressziónak neveznek. De ugyanebben az értelemben beszélhetünk parabolikus, harmadfokú,... stb. regresszióról is, ha az illesztésre használt függvény parabola, harmadfokú polinom, stb. Minden ilyen esetben a fenti megoldandó egyenletrendszer lineáris egyenletrendszer lesz. Nemlineáris regresszióról akkor beszélünk, ha az illesztendő függvény a meghatározandó paramétereket nemlineárisan tartalmazza. Ekkor a szükséges feltételeket megfogalmazó egyenletrendszer nemlineáris egyenletrendszer lesz. ### lnm.py # -*- coding: iso *- import math, os, sys n=input("az alappontok szßma:") xtomb=[ None ] * n ytomb=[ None ] * n tomb=[ None ]* n while(i<n): xtomb[i]=input("adja az alappontokat:")*1.0 ytomb[i]=input("adja meg az az alappontokhoz tartozˇ fřggvúnyúrtúkeket:")*1.0 tomb[i]=xtomb[i],ytomb[i] print tomb f=input("hanyadfok legyen a poiinom:") t=[ None ] * n while(i<n): t[i]=1 s=[ None ] * f u=[ None ] * f s[0]=n u[0]=0
11 while(i<n): u[0]=u[0]+ytomb[i] i=1 while(i<f): s[i]=0 u[i]=0 while(j<n): t[j]=t[j]*xtomb[j] s[i]=s[i]+t[j] u[i]=u[i]+t[j]*ytomb[j] i=n+1 b=[ None ] * len(u) while(i<2*f): while (j<n): t[j]=t[j]*xtomb[j] s[i]=s[i]+t[j] a=[ [ None ] * n ] *n while(i<len(u)): b[i]=u[i] while(j<len(s)-1): print s[i+j] a[i][j]=s[i+j] print a[i][j] print b[i] ### lnm2.py # -*- coding: iso *- import math, os, sys n=input("az alappontok szßma:") xtomb=[ None ] * n ytomb=[ None ] * n tomb=[ None ]* n while(i<n): xtomb[i]=input("adja az alappontokat:")*1.0 ytomb[i]=input("adja meg az az alappontokhoz tartozˇ fřggvúnyúrtúkeket:")*1.0 tomb[i]=xtomb[i],ytomb[i] print tomb f=input("hanyadfok legyen a poiinom:") while(i<f): k=0 while(k<n): k=k+1 k=0 q=[ [ None ] * n] * n p=[ [ None ] * n] * n while(k<n): q[0][k]=p[0][k] k=k+1 k=0 l=0 c=[ [ None ] * n] * n c[k][l]=0 u=0
12 while(l<k-1): c[k][l]=0 u=0 while(j<n): c[k][l]=c[k][l]+p[k][j] * q[l][j] u=u+q[l][j] * q[l][j] c[k][l]= -c[k][l] / u l=l+1 while(j<n): q[k][j]=p[k][j] l=0 while(l<k-1): q[k][j]=q[k][j]+c[k][l]* q[l][j] l=l+1 c=[ None ] * n while(i<f): c[i]=0 u=0 while(j<n): c[i]=c[i]+q[i][j] * y[j] u=u+q[i][j] * q[i][j] c[i]=c[i] / u print c[i]
13 Deteminans: from random import randrange def mxprint(m): for j in range(len(m)): print m[i][j], print "" def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def mkrandommatrix(rows,cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = randrange(20) return mk def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def main(): #matrix=([1,3,2,2],[-2,6,2,6],[3,6,2,5],[1,2,1,1]) #matrix=([-2,1,2,4,-1],[3,1,1,-4,5],[-6,6,7,6,11],[11,10,-13,-9,6],[3,- 5,5,3,-8]) matrix=([-2,1,2,4,-1,5],[3,1,1,-4,5,-6],[-6,6,7,6,11,7],[11,10,-13,-9,6,- 8],[3,-5,5,3,-8,9],[2,2,11,3,-4,3]) #matrix=mkrandommatrix(11,11) # print matrix print mxdet(matrix) main() #by:tgt
14 Inverz def mxprint(m): print "" for j in range(len(m)): print m[i][j] def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def invertal(m): m1=mkmatrix(len(m),len(m)) ejel=-1 for j in range(len(m)): m1[j][i]=(-1)*ejel*mxdet(delete(m,i,j)) ejel=-ejel for i in range(len(m1)): for j in range(len(m1)): m1[i][j]=m1[i][j]*1.00 m1[i][j]=m1[i][j]/mxdet(m) return m1 def main(): #matrix=([1,-1,2],[2,-1,3],[1,-2,4]) #matrix=([1,2,3],[1,4,0],[-1,1,-1]) matrix=([-2,1,2,4,-1],[3,1,1,-4,5],[-6,6,7,6,11],[11,10,-13,-9,6],[3,-5,5,3,- 8]) mxprint(invertal(matrix)) main() #by:tgt
15 Lineáris egyenletrendszer: def mxprint(m): print "" for j in range(len(m)): print m[i][j] def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def mod(m1,m2,el): mke=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(mke)): for j in range(len(mke)): mke[i][j]=m1[i][j] mke[i][el]=m2[i] return mke def cramer(m1,m2): xi=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(m2)): xi[i]=mxdet(mod(m1,m2,i))/(mxdet(m1)*1.0) return xi def main(): matrix1=([3,2,1],[5,0,3],[9,4,3]) matrix2=([1,2,3]) #matrix1=([1,3,2,2],[-2,6,2,6],[3,6,2,5],[1,2,1,1]) #matrix2=([1,2,3,4]) print cramer(matrix1,matrix2) main()
LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenMÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenLegkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
Részletesebbenalakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:
1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenPolinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenNumerikus Matematika
Numerikus Matematika Baran Ágnes Gyakorlat Interpoláció Baran Ágnes Numerikus Matematika 6.-7. Gyakorlat 1 / 40 Lagrange-interpoláció Példa Határozzuk meg a ( 2, 5), ( 1, 3), (0, 1), (2, 15) pontokra illeszkedő
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenNumerikus integrálás
Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.
Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok
RészletesebbenEddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük
Interpolációs polinom együtthatói Eddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük Ez jó, ha kevés x-re kell kiértékelni Ha sok ismeretlen f (x)-et keresünk, akkor jobb kiszámolni az együtthatókat,
RészletesebbenYBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat
Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 3. Hibaszámítás, lineáris regresszió Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Hibaszámítás Hibák fajtái, definíciók Abszolút, relatív, öröklött
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenSzélsőérték-számítás
Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenMatematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév
Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenNumerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.
YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
Részletesebben1. Görbe illesztés a legkisebb négyzetek módszerével
1 GÖRBE ILLESZTÉS A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERÉVEL 1. Görbe illesztés a legkisebb négyzetek módszerével Az el z gyakorlaton megismerkedtünk a korrelációs együttható fogalmával és számítási módjával. A
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
RészletesebbenDiszkréten mintavételezett függvények
Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenNemlineáris egyenletrendszerek megoldása április 15.
Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása 2014. április 15. Nemlineáris egyenletrendszerek Az egyenletrendszer a következő formában adott: f i (x 1, x 2,..., x M ) = 0 i = 1...N az f i függvények az x j
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Numerikus matematika. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 79
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Numerikus matematika Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 9.-13. Gyakorlat 1 / 79 Lebegőpontos számok Példa a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 esetén mi lesz
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenFüggvények közelítése
Függvények közelítése Szakdolgozat Sáfrányos Anita Matematika BSC, Matematika elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit, Műszaki gazdasági tanár Analízis Tanszék Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi
RészletesebbenTétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája:
1. A lebegpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl) fogalma,
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenInterpolációs eljárások
Interpolációs eljárások Szakdolgozat Írta: Baloghné Koterla Orsolya Matematika BSc szak - elemző szakirány Témavezető: Svantnerné Sebestyén Gabriella doktorandusz Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
Részletesebben