Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1"

Átírás

1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0, F(x 0 )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 az érintő x tengellyel vett metszéspontját. Ezután húzzuk meg az F(x) függvény (x 1, F(x 1 )) pontbeli érintőjét és jelölje x 2 az érintő x tengellyel vett metszéspontját Íly módon egy x 0, x 1, x 2, sorozatot nyerünk. X n+1 = x n F(x n )/F (x n ) (n = 0, 1, 2, ) Tétel: Tegyük fel, hogy x 0 és x* között F(x) kétszeresen differenciálható, F (x) 0, F (x) 0, valamint F(x 0 )*F (x 0 ) > 0. Ekkor a Newton módszer konvergens. Ha az x* gyököt a húr és a szelő-módszerekhez hasonlóan valamely intervallumba szorítjuk, akkor az intervallum azt a végpontját kell kezdeti közelítésnek választanunk, amelyre: F(x0)*F (x0)>0. A Taylor-formula alapján k>=0 esetén azt nyerjük, hogy: 0=F(x*)=F(xk)+F (xk)*(x*-xk)+(1/2)*f (ξ)*(x*-xk) 2 Valamint a: X k+1 = x k F(x k )/F (x k ) formulát átrendezve: 0=F(xk)+F (xk)*(xk+1-xk) adódik, amelyet kivonva a Taylor-formulából nyert egyenlőségből azt kapjuk hogy: 0=F (xk)*(x*-xk+1)+(1/2)*f (ξ)*(x*-xk) 2 formulát kapjuk. Feltéve, hogy az x* értékét és az (xk) sorozatot tartalmazó valamilyen intervallumba 0<m<= F (x) és M>= F (x),akkor az előbbi formula: ξk+1 <=M/2m* ξk 2 alakban írható fel. Mindkét oldalt megszorozva K=M/2m-el a dk=k*ξk mennyiségekre a dk+1<=dk 2 összefüggéshez jutunk. Feltéve, hogy x0 x* hoz olyan közel van, hogy d=d0<1, akkor teljes indukcióval könnyű belátni, hogy k>=0 esetén: dk+1<=d 2k+1

2 Ez az egyenlőtlenség a Newton Módszer hibabecslő formulája. Példaprogram: x*x*x-3*x*x-x+9 import math, os from abrazol import * rajzol(["(x*x*x)-3*(x*x)-x+9"],-5,5,60,20,["red"]) # a fuggveny def func1(x): return (x*x*x)-3*(x*x)-x+9; #elso derivalt def func2(x): return 3*x*x-6*x-1; #beolvasas x0=input("adja meg az intervallum kezdetet: ")*1.0 eps=input("adja meg a hibakorlatot: ")*1.0 nevezo=func2(x0) szamlalo=func1(x0) xe=x0-(szamlalo/nevezo) sz=1 while (abs(x0-xe)>eps): x0=xe szamlalo=func1(x0) nevezo=func2(x0) print sz print xe xe=x0-(szamlalo/nevezo) sz=sz+1 Hibabecslés: F(x)=x 3-3x 2 -x+9 F (x) = 3x 2-6x-1 >=8=m F (x) = 6x-6 <=18=M K=M/2m K=18/16=9/8 ξk=xk-x* dk=k*ξk d=(k*ξ0) 2k+1 x0=-2 x1=-1,609 ξ0=x0-x1= d0=(9/8)*-0,0391=-0, dk+1<=d 2k+1 d4<=(-0, ) 9 9/8* ξ5 <(-0, ) 9 Futási eredmény: x4-x* <8/9*(-0, ) 9 /usr/bin/python -u "/home/gajdosr/python/oldal/newton.py" Adja meg az intervallum kezdetet: -2 Adja meg a hibakorlatot:

3 Módosított Newton-módszer: A Newton-módszer esetében újabb közelítés számításakor f és f egy-egy függvényértékét kell kiszámolnunk! Az intervallum felezésnél, a húr- és a szelőmódszernél lépésenként csak f(xk) értékét kell számolnunk! Így a Newton-módszer műveletigénye nagyobb, mint a többi módszeré! Ha f a gyök környezetében alig változik, akkor nem vétünk hibát, ha a Newton formulába f (xk) helyett f (x0) értékét írjuk. Tehát e formulát írjuk át: Erre: Az így kapott formulát módosított Newton-módszernek nevezzük. Ezzel a módszer műveletigényét jelentősen lecsökkentjük, hiszen f értékét csak az iteráció megkezdésekor kell kiszámolnunk. Példa: Az x^3-3x^2-x+9 = 0 egyenlet valós gyökét a módosított Newton-módszerrel határozzuk meg. x0 = -2 választással f (x0) = lépést kell számolnunk a gyök 6 tizedesre való meghatározásához. A számítás eredményeit a táblázat ismerteti. import math, os from abrazol import * rajzol(["(x*x*x)-3*(x*x)-x+9"],-5,5,60,20,["red"]) def func1(x): return (x*x*x)-3*(x*x)-x+9; def func2(x): return 3*x*x-6*x-1; x0=input("kerem az intervallum kezdetet: ")*1.0 eps=input("kerem a hibakorlatot: ")*1.0 nevezo=func2(x0) szamlalo=func1(x0) xe=x0-(szamlalo/nevezo) lepessz=1 while (abs(x0-xe)>eps): x0=xe szamlalo=func1(x0) print lepessz print xe xe=x0-(szamlalo/nevezo) lepessz=lepessz+1 Forrás: Szidarovszky Ferenc Bevezetés a numerikus módszerekbe

4 Lagrange interpoláció: import math, os from abrazol import * n=input("adja meg az alappontok szamat:") xtomb=[ None ] * n ytomb=[ None ] * n tomb=[ None ]*(n+1) while(i<n): xtomb[i]=input("adja meg az x ertekkeszletet:")*1.0 ytomb[i]=input("adja meg az x-hez tartozo fv ertekeket:")*1.0 tomb[i]=xtomb[i],ytomb[i] print tomb x=input("hol kozelitse:") p= 0 s="" while(i<n): li=1 s+="+"+str(ytomb[i]) while(j<n): if i!=j: li=li*((x-xtomb[j])/(xtomb[i]-xtomb[j])) s+="*((x-"+str(xtomb[j])+")/("+str(xtomb[i])+"-"+str(xtomb[j] )+"))" p=p+ytomb[i]*li print "Az x-hez tartozo fuggvenyertek:",p #fv=raw_input("miyen fuggvenyt akar abrazolni:") eredmeny=x,p tomb[n]=eredmeny rajzol([s],1,150,1,5,["blue"],tomb)

5 Polinom interpoláció Függvényközelítések Azzal a kérdéssel foglalkozik, hogy a diszkrét pontokban adott függvényekhez hogyan lehet jól kezelhető, az adott pontokra minél jobban illeszkedő függvényeket konstruálni. A legkönnyebben kezelhető és a legkedvezőbb analitikus tulajdonságokat követő függvények a véges fokszámú polinomok, így a gyakorlati esetek nagy részében polinom közelítésekkel dolgozunk. Az adott pontokra való jó illeszkedésük szempontjából a polinomokkal való közelítések három típusát különböztetjük meg: 1. Interpoláció 2. A legkisebb négyzetek módszere 3. Csebisev-féle közelítés Az interpolációs polinomok az alappontokban ugyanazokat az értékeket veszik fel, mint az adott függvény, a legkisebb négyzetek és a Csebisev-féle közelítés módszerével nyert polinomok az alappontokban az adott függvényértékeknek csak közelítését adják. Interpoláció Az y=f(x) függvény értékkészlete legyen ismert az x 0, x 1,, x n pontsorozaton, azaz y 0 =f(x 0 ), y 1 =f(x 1 ),, y n =f(x n ) Az x 0, x 1,, x n pontsorozatot a továbbiakban interpolációs alappontoknak nevezzük. Az interpoláció célja, hogy olyan függvényt határozzunk meg, amely az [x 0 ; x n ] intervallumban közelítőleg megadja az alappontoktól eltérő helyeken is a függvényértékeket. Az eljárás lényege az, hogy az f(x) függvényt olyan F(x) függvénnyel közelítjük, amely az (x i ;y i ) (,1,, n) pontokban, az ún. kollokációs pontokban megegyezik f(x)-szel, azaz F(x i )=f(x i ) y i (,1,, n). Az F(x) függvény előállítására szolgáló eljárást interpolációnak, az F(x) függvényt pedig interpolációs függvénynek nevezzük. Az F(x) függvény p(x)-szel jelölt polinom. Polinom interpoláció A polinom interpoláció a lineáris interpoláció egy általános fajtája. Egy y=p(x) polinom meghatározását jelenti, mely keresztül megy a (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),,(x n,y n ) pontokon. Tehát adott n db pont ahol az egyes x i értékek mind különbözők, minden p(x i )=y i, (i eleme 0..n) és a polinom fokszáma legfeljebb n-1 lesz. A keresett p(x) polinomra minden esetben teljesülni kell a következő feltételeknek: 1. x i!=0, i eleme 0..n, 2. x i =x j akkor i=j, 3. a következő mátrix determinánsa nem 0 1, x 0, x 02,, x 0 n-1 1, x 1, x 12,, x 1 n-1 1, x n, x n2,, x n n-1

6 Ha ezek teljesülnek a következő egyenletrendszert kell megoldani (ez az ún. Vandermonde mátrix): A keresett polinom a következő alakban írható fel az a i -k ismeretében: import math, sys def mxprint(m): for i in range(size): for j in range(size): print m[i][j], print "" def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def mod(m1,m2,el): mke=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(mke)): for j in range(len(mke)): mke[i][j]=m1[i][j] mke[i][el]=m2[i] return mke def cramer(m1,m2): xi=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(m2)): xi[i]=mxdet(mod(m1,m2,i))/(mxdet(m1)*1.0) return xi

7 def fuggveny(x): i=1 ertek=p[0] while(i<db): ertek=ertek+(p[i]*x**i) return ertek db=input( "Kerem a koordinatak szamat: ") i=1 tx=[] ty=[] p=[] while(i<=db): print "Kerem a(z) ",i,". koordinata x erteket: " x=input() tx.append(x) print "Kerem a(z) ",i,". koordinata y erteket: " y=input() ty.append(y) while(i<db): x=tx[i] if x==0: print "A polinom interpolacio nem alkalmazhato" sys.exit(0) while(j<i): if(tx[j]==x): print "A polinom interpolacio nem alkalmazhato, 2 koordinata x erteke megegyezik!" sys.exit(0) m=[] while(i<db): x=tx[i] seged=[] while(j<db): seged.append(x**j) m.append(seged) if mxdet(m)==0: print "A matrix determinansa 0, a polinom interpolacio nem alkalmazhato" sys.exit(0) p=cramer(m, ty) print p keresett=input( "Kerem a keresett pont x koordinatajat: ") print fuggveny(keresett)

8 Az intervallumfelezés módszere import math def f(a): return a*a*a*a*a+2*a*a-0.5 def intfel(a,b): c=(a+b)/2.0 if ((abs(a-b)>1e-11)and(f(c)!=0)): if (f(c)*f(b)<0): return intfel(c,b) elif (f(c)*f(a)<0): return intfel(a,c) else: return c def intfel1(a,b): d=0 c=(a+b)/2.0 while((abs(a-b)>1e-11) and (f(c)!=0)): c=(a+b)/2.0 if (f(c)*f(b)<0): a=c elif (f(c)*f(a)<0): b=c d+=1 return d a=0 b=2 if (f(a)*f(b)<0): print "a kozelito megoldas :",intfel(a,b) print intfel1(a,b),"lepesben oldotta meg" else: print "Nemjo a megadott intervallum"

9 A legkisebb négyzetek módszere Eddig már két függvényközelítési módszerrel foglalkoztunk, a Lagrange polinomokkal és a Taylor polinomokkal. A Lagrange polinomoknál minden alappontban egy mérési eredményünk van (ami lehet valódi mérés eredménye, de lehet kiszámított függvényérték is) és megköveteljük azt, hogy a függvényt közelít? polinom a megadott alappontban a megadott értéket vegye fel. A Taylor polinomok esetében egy pontban a deriváltak értékét adjuk meg (illetve mérjük, ha ilyen mérést meg tudunk valósítani) és olyan polinomot konstruálunk, amelynek deriváltjai az adott pontban a megadott derivált értékek. A legkisebb négyzetek módszere a fenti módszerek egy általánosítása, ugyanis a gyakorlatban meg kell engednünk azt is, hogy egy függvényérték meghatározására több mérést is végezhessünk. Ekkor azonban nem köthetjük ki, hogy a közelítő függvény milyen értéket vegyen fel, hiszen a mérési eredmények rendszerint nem azonosak, így nincs is megadott függvényérték. A másik általánosítás abban lehetséges, hogy nem kell ragaszkodni a polinomokhoz, szinte minden függvényfajta előfordulhat illesztő függvényként. A legkisebb négyzetek módszerének általános megfogalmazása Tegyük fel, hogy egy f ( x, a1, a2,..., am ) egyelőre ismeretlen függvény értékére az x, 1 x2,... xs alappontokban méréseket végzünk. Ennek eredményeként az y = f x, a, a,... a ) j = 1, 2,..., s értékekre kapjuk az j ( j 1 2 n,...,,,...,,...,...,, mérési eredményeket. ( s1, s2,.., sk ) nem feltétlenül egyenlőek, vagyis nem minden pontban kell ugyanannyi mérést végezni (de lehet). A fő feladat az f ( x, a1, a2,..., am ) függvényben, amelynek alakja 2 ( 1) adott (pl. egy polinom, f ( x, a1, a2,..., am ) = a 1 + a x 2 + a x m a x ) az m a 1, a2,... am határozatlan együtthatók értékének meghatározása úgy, hogy az így kapott f függvény értékének eltérése a mérési értékektől az alappontokban a lehető legkisebb legyen. Az eltérést a függvényérték és a mérési értékek különbségének négyzetével mérjük. Így a kapott feladat egy többváltozós függvény szélsőértékének meghatározása. A négyzetes eltérést megadó függvény a következő: f x, a, a,..., a ) = ( 1 2 m.

10 Keresendő tehát az f ( x, a1, a2,..., am ) függvény minimumhelye, ahol változók az a 1, a2,... am paraméterek. A többváltozós függvények elméletéből tudjuk, hogy ott lehetnek szélsőérték helyek, ahol a függvény első parciális deriváltjai eltűnnek. Esetünkben ez a következő egyenletek teljesülését jelenti: = =... = A szélsőérték létezésének elégséges feltételeivel ilyen általánosan nem foglalkozunk. Abban az esetben, ha a meghatározandó függvény polinom vagy olyan függvény, amelyben az ismeretlen a j, j = 1,..., m paraméterek lineárisan fordulnak elő, lineáris legkisebb négyzetek módszeréről beszélünk. Ennek speciális esete, amellyel külön is foglalkozunk az, amikor f alakja f ( x, a1, a2 ) = a1 + a2 x vagyis a lineáris függvény, amelyet a statisztikában lineáris regressziónak neveznek. De ugyanebben az értelemben beszélhetünk parabolikus, harmadfokú,... stb. regresszióról is, ha az illesztésre használt függvény parabola, harmadfokú polinom, stb. Minden ilyen esetben a fenti megoldandó egyenletrendszer lineáris egyenletrendszer lesz. Nemlineáris regresszióról akkor beszélünk, ha az illesztendő függvény a meghatározandó paramétereket nemlineárisan tartalmazza. Ekkor a szükséges feltételeket megfogalmazó egyenletrendszer nemlineáris egyenletrendszer lesz. ### lnm.py # -*- coding: iso *- import math, os, sys n=input("az alappontok szßma:") xtomb=[ None ] * n ytomb=[ None ] * n tomb=[ None ]* n while(i<n): xtomb[i]=input("adja az alappontokat:")*1.0 ytomb[i]=input("adja meg az az alappontokhoz tartozˇ fřggvúnyúrtúkeket:")*1.0 tomb[i]=xtomb[i],ytomb[i] print tomb f=input("hanyadfok legyen a poiinom:") t=[ None ] * n while(i<n): t[i]=1 s=[ None ] * f u=[ None ] * f s[0]=n u[0]=0

11 while(i<n): u[0]=u[0]+ytomb[i] i=1 while(i<f): s[i]=0 u[i]=0 while(j<n): t[j]=t[j]*xtomb[j] s[i]=s[i]+t[j] u[i]=u[i]+t[j]*ytomb[j] i=n+1 b=[ None ] * len(u) while(i<2*f): while (j<n): t[j]=t[j]*xtomb[j] s[i]=s[i]+t[j] a=[ [ None ] * n ] *n while(i<len(u)): b[i]=u[i] while(j<len(s)-1): print s[i+j] a[i][j]=s[i+j] print a[i][j] print b[i] ### lnm2.py # -*- coding: iso *- import math, os, sys n=input("az alappontok szßma:") xtomb=[ None ] * n ytomb=[ None ] * n tomb=[ None ]* n while(i<n): xtomb[i]=input("adja az alappontokat:")*1.0 ytomb[i]=input("adja meg az az alappontokhoz tartozˇ fřggvúnyúrtúkeket:")*1.0 tomb[i]=xtomb[i],ytomb[i] print tomb f=input("hanyadfok legyen a poiinom:") while(i<f): k=0 while(k<n): k=k+1 k=0 q=[ [ None ] * n] * n p=[ [ None ] * n] * n while(k<n): q[0][k]=p[0][k] k=k+1 k=0 l=0 c=[ [ None ] * n] * n c[k][l]=0 u=0

12 while(l<k-1): c[k][l]=0 u=0 while(j<n): c[k][l]=c[k][l]+p[k][j] * q[l][j] u=u+q[l][j] * q[l][j] c[k][l]= -c[k][l] / u l=l+1 while(j<n): q[k][j]=p[k][j] l=0 while(l<k-1): q[k][j]=q[k][j]+c[k][l]* q[l][j] l=l+1 c=[ None ] * n while(i<f): c[i]=0 u=0 while(j<n): c[i]=c[i]+q[i][j] * y[j] u=u+q[i][j] * q[i][j] c[i]=c[i] / u print c[i]

13 Deteminans: from random import randrange def mxprint(m): for j in range(len(m)): print m[i][j], print "" def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def mkrandommatrix(rows,cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = randrange(20) return mk def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def main(): #matrix=([1,3,2,2],[-2,6,2,6],[3,6,2,5],[1,2,1,1]) #matrix=([-2,1,2,4,-1],[3,1,1,-4,5],[-6,6,7,6,11],[11,10,-13,-9,6],[3,- 5,5,3,-8]) matrix=([-2,1,2,4,-1,5],[3,1,1,-4,5,-6],[-6,6,7,6,11,7],[11,10,-13,-9,6,- 8],[3,-5,5,3,-8,9],[2,2,11,3,-4,3]) #matrix=mkrandommatrix(11,11) # print matrix print mxdet(matrix) main() #by:tgt

14 Inverz def mxprint(m): print "" for j in range(len(m)): print m[i][j] def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def invertal(m): m1=mkmatrix(len(m),len(m)) ejel=-1 for j in range(len(m)): m1[j][i]=(-1)*ejel*mxdet(delete(m,i,j)) ejel=-ejel for i in range(len(m1)): for j in range(len(m1)): m1[i][j]=m1[i][j]*1.00 m1[i][j]=m1[i][j]/mxdet(m) return m1 def main(): #matrix=([1,-1,2],[2,-1,3],[1,-2,4]) #matrix=([1,2,3],[1,4,0],[-1,1,-1]) matrix=([-2,1,2,4,-1],[3,1,1,-4,5],[-6,6,7,6,11],[11,10,-13,-9,6],[3,-5,5,3,- 8]) mxprint(invertal(matrix)) main() #by:tgt

15 Lineáris egyenletrendszer: def mxprint(m): print "" for j in range(len(m)): print m[i][j] def mkmatrix(rows, cols): mk = [ None ] * rows for i in range(rows): mk[i] = [0] * cols for j in range(cols): mk[i][j] = 0 return mk def mxdet(m): ejel=-1 ret=0 if (len(m)==2): ret=(m[0][0]*m[1][1])-(m[1][0]*m[0][1]) else: ret=ret+(-1)*ejel*m[0][i]*(mxdet(delete(m,0,i))); ejel=-ejel return ret def delete(mx,sor,oszlop): m=mkmatrix(len(mx)-1,len(mx)-1) sorindex=-1 for i in range(len(mx)): if(i!=sor): sorindex+=1 oszlopindex=-1 for j in range(len(mx)): if(j!=oszlop): oszlopindex+=1 m[sorindex][oszlopindex]=mx[i][j] return m def mod(m1,m2,el): mke=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(mke)): for j in range(len(mke)): mke[i][j]=m1[i][j] mke[i][el]=m2[i] return mke def cramer(m1,m2): xi=mkmatrix(len(m2),len(m2)) for i in range(len(m2)): xi[i]=mxdet(mod(m1,m2,i))/(mxdet(m1)*1.0) return xi def main(): matrix1=([3,2,1],[5,0,3],[9,4,3]) matrix2=([1,2,3]) #matrix1=([1,3,2,2],[-2,6,2,6],[3,6,2,5],[1,2,1,1]) #matrix2=([1,2,3,4]) print cramer(matrix1,matrix2) main()

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2

Részletesebben

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16 Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris

Részletesebben

MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK

MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció

Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján

Részletesebben

alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:

alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz: 1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Polinomok, Lagrange interpoláció

Polinomok, Lagrange interpoláció Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok

Részletesebben

Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4

Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4 Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Numerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok

Numerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Numerikus Matematika

Numerikus Matematika Numerikus Matematika Baran Ágnes Gyakorlat Interpoláció Baran Ágnes Numerikus Matematika 6.-7. Gyakorlat 1 / 40 Lagrange-interpoláció Példa Határozzuk meg a ( 2, 5), ( 1, 3), (0, 1), (2, 15) pontokra illeszkedő

Részletesebben

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Numerikus módszerek beugró kérdések

Numerikus módszerek beugró kérdések 1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

1 Lebegőpontos számábrázolás

1 Lebegőpontos számábrázolás Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs

Részletesebben

Numerikus integrálás

Numerikus integrálás Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Eddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük

Eddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük Interpolációs polinom együtthatói Eddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük Ez jó, ha kevés x-re kell kiértékelni Ha sok ismeretlen f (x)-et keresünk, akkor jobb kiszámolni az együtthatókat,

Részletesebben

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Végeselem modellezés alapjai 1. óra Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,

Részletesebben

Konjugált gradiens módszer

Konjugált gradiens módszer Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

Nemlineáris programozás 2.

Nemlineáris programozás 2. Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 3. Hibaszámítás, lineáris regresszió Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Hibaszámítás Hibák fajtái, definíciók Abszolút, relatív, öröklött

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

1. Görbe illesztés a legkisebb négyzetek módszerével

1. Görbe illesztés a legkisebb négyzetek módszerével 1 GÖRBE ILLESZTÉS A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERÉVEL 1. Görbe illesztés a legkisebb négyzetek módszerével Az el z gyakorlaton megismerkedtünk a korrelációs együttható fogalmával és számítási módjával. A

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

Diszkréten mintavételezett függvények

Diszkréten mintavételezett függvények Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása április 15.

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása április 15. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása 2014. április 15. Nemlineáris egyenletrendszerek Az egyenletrendszer a következő formában adott: f i (x 1, x 2,..., x M ) = 0 i = 1...N az f i függvények az x j

Részletesebben

Baran Ágnes. Gyakorlat Numerikus matematika. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 79

Baran Ágnes. Gyakorlat Numerikus matematika. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 79 Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Numerikus matematika Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 9.-13. Gyakorlat 1 / 79 Lebegőpontos számok Példa a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 esetén mi lesz

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Függvények közelítése

Függvények közelítése Függvények közelítése Szakdolgozat Sáfrányos Anita Matematika BSC, Matematika elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit, Műszaki gazdasági tanár Analízis Tanszék Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi

Részletesebben

Tétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája:

Tétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája: 1. A lebegpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl) fogalma,

Részletesebben

Normák, kondíciószám

Normák, kondíciószám Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Interpolációs eljárások

Interpolációs eljárások Interpolációs eljárások Szakdolgozat Írta: Baloghné Koterla Orsolya Matematika BSc szak - elemző szakirány Témavezető: Svantnerné Sebestyén Gabriella doktorandusz Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben