Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,"

Dávid Zsolt Gulyás
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Gauss Jordan-elimináció Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: ahol A négyzetes mátrix. A x = b, A Gauss Jordan-elimináció tulajdonképpen az általános iskolában tanult módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására. Egyszerre álĺıtja elő az egyenletrendszer megoldását, és adja meg az A mátrix inverzét. Numerikusan legalább annyira stabil, mint más eljárás, főleg teljes pivotolás 1 esetén 1 pivot = csuklópont, de a pivoting és pivot element szavaknak nincsen bevett fordítása

2 A Gauss Jordan-elimináció tulajdonságai Memóriaigény: tárolni kell a mátrixot, és a megoldásvektort: N 2 + N a mátrix inverzét elvileg lehet tárolni a bemeneti mátrix helyén Számítási igény: szükséges műveletek száma O(N 3 ) de ha olyan algoritmusokat nézünk, amik hasonlóan megoldják az egyenletrendszer, és ugyanakkor elő is álĺıtják a mátrix inverzét, akkor ez háromszor lassabb, mint a legjobb módszer

3 A megoldási módszer elemi lépései A következő műveletek nem változtatják meg egy lineáris egyenletrendszer megoldását: két sor felcserélése ez nyilvánvaló, hiszen az egyenletek sorrendje teljesen tetszőleges, feltéve persze, hogy a jobboldal megfelelő sorait is megcseréljük más sorok lineárkombinációjának hozzáadása bármely sorhoz ebbe belefér az is, hogy egy sort számmal szorzunk, ha az a szám nem nulla; természetesen mindkét oldalon el kell végezni a változók felcserélése ez lényegileg nem változtat az egyenleteken, ha emlékszünk, hogy a végén a változókat megfelelő permutáció szerint vissza kell cserélgetni; ez az A mátrix oszlopainak felcserélését jelenti.

4 Kiindulás: kibővített mátrix A megoldandó egyenletrendszer: x = Feĺırjuk a mátrixot és a jobb oldalt a következő alakban: Ha az inverz mátrixot keressük, akkor pedig: (A jobb oldalon tulajdonképpen akárhány oszlop állhat, amennyiben egyszerre több egyenletet akarunk megoldani.)

5 Az elimináció menete Cél: a korábban ismertetett elemi műveletek segítségével a baloldalt egységmátrix alakra hozzuk úgy, hogy közben a műveleteket a jobb oldalon is elvégezzük. Ekkor jobboldal előáll az egyenletrendszer megoldása (illetve a mátrix inverze). Elindulunk a főátló első elemétől. 1. Ha az elem nem 1, akkor az egész sort elosztjuk a főátlóbeli elemmel, hogy a főátlóban 1 legyen

6 2. Minden alatta levő sorból kivonjuk az aktuális sor valahányszorosát úgy, hogy a főátló alatt végig 0 legyen Ha főátlóbeli elem alatt mindent kinulláztunk, akkor folytatjuk a főátló következő elemével: Majd kivonjuk a sor valahányszorosát az összes többiből úgy, hogy a főátlót kivéve mindenütt 0 legyen:

7 5. Az eljárást tovább folytatjuk a főátló elemeire Az eljárás akkor ér végét, ha a baloldali részmátrix az egységmátrix alakját veszi fel. Ekkor jobboldalon vagy a megoldást kapjuk, vagy pedig a mátrix inverzét, attól függően miből indultunk ki

8 1. probléma: Zérus elem a főátlóban Képzeljük el a következő szituációt: Ilyenkor az adott sorral nem tudjuk az alatta és fölötte levő elemeket eliminálni. Megoldás: sorcsere! Keressünk a főátló aktuális eleme alatti oszlopban olyan elemet, ami nem nulla (ez lesz az ún. pivot-elem), cseréljük meg a két sort (a jobboldalt is!), majd folytassuk az eliminációt, mintha mi se történt volna. Az eljárás neve: részleges pivotolás.

9 2. probléma: Nagyon pici elem a főátlóban Ha ezzel próbálnánk eliminálni, akkor nagy szorzótényezők miatt nagyon nagy számok jelennének meg a mátrixban, ami numerikus instabilitási problémákhoz vezet. Megoldás: válasszuk az adott oszlop főátló alatti abszolút értékben legnagyobb elemét, a megfelelő sorokat cseréljük meg, és folytassuk így az eliminációt.

10 3. probléma: a mátrix sorai tetszőlegesen normálhatók A sorokat tetszőleges számmal szorozva végül is bármelyik aktuális oszlopbeli, főátló alatti elem lehet maximális. Megoldás: Úgy keressük a legnagyobb elemet, hogy a sorokat az eredeti mátrix sorainak legnagyobb elemével normáljuk. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a soronkénti legnagyobb elemet tárolni kell. Vagy a mátrix sorait a legelején leosztjuk minden sor abszolút értékben maximális elemével.

11 4. probléma: Az oszlop főátló alatti része csupa Ez könnyű: a mátrix szinguláris, megállunk.

12 További javítási lehetőség: oszlopcsere Ilyenkor a főátlóbeli aktuális elem alatti, és tőle jobbra levő almátrixban keressük az abszolút értékben legnagyobb elemet, ez lesz a pivot-elem. A megfelelő sorokat és oszlopokat megcseréljük (feljegyezve, hogy melyik két változót kell az eljárás végén visszacserélni!), majd a pivot-elemmel eliminálunk. Ezt nevezzük teljes pivotolásnak. Nem bizonyított álĺıtás, csak sejtés, hogy az algoritmus stabil, ha pivotnak mindig az almátrix abszolút értékben legnagyobb elemét választjuk.

13 Gauss-elimináció visszahelyettesítéssel Ez nagyjából azonos az előbbiekkel, de Elimináláskor csak a főátló alatti elemeket nullázuk le A főátlóban minden elemet 1-esre hozunk A felső háromszöget csak ezután, a jobb alsó sarokból kiindulva nullázzuk ki Ez némileg kevesebb műveletet igényel, ráadásul numerikusan stabilabb

14 Az algoritmus építőkövei Az implementálást sosem a fő algoritmussal kezdjük, hanem azonosítjuk a fő részalgortimusokat, amiket külön-külön könnyű megírni. Eldöntjük, hogy milyen formában tároljuk a mátrixokat (sorok vagy oszlopok szerint) Azonosítjuk az alapvető műveleteket: Legnagyobb abszolút értékű elem megtalálása sorban Sor szorzása számmal Legnagyobb abszolút értékű elem megtalálása oszlopban, főátló alatt Legnagyobb abszolút értékű elem megtalálása almátrixban Két sor cseréje Két oszlop cseréje (oszlopcsere könyvelése) Két oszlop különbségének képzése

15 Az algoritmus implementálása Az építőelemeket külön-külön megvalósítjuk és Külön-külön teszteljük! Soha ne írjunk úgy programot, hogy előbb nagyjából kész legyen, aztán majd javítgatjuk. Soha sem fog működni. Mindig alulról felfelé, az egyes függvényeket alaposan kipróbálva kell haladni! Ezek után jöhet a fő algoritmus leprogramozása Többfajta mátrixon teszteljük Direkt kell olyan mátrixokat gyártani, ami próbára teszi az algoritmust. Például: van a főátlóban 0 elem, szinguláris mátrix stb. A numerikus stabilitás tesztelése ugyanakkor nehéz feladat.

16 Alsó-felső háromszög dekompozíció Invertáláshoz a mátrixot gyakran érdemes faktorizálni, azaz kettő vagy több speciális tulajdonságú mátrix szorzataként előálĺıtani. A legegyszerűbb faktorizáció: LU-dekompozíció. Az A mátrixot A = L U alakban keressük, ahol L csak főátlóbeli, és főátló alatti elemeket tartalmaz U csak főátlóbeli, és főátló fölötti elemeket tartalmaz a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = l l 21 l 22 0 l 31 l 32 l 33 u 11 u 12 u 13 0 u 22 u u 33

17 Az LU-dekompozíció alapötlete Vegyük észre, hogy ha A = L U, akkor az A x = b egyenlet átírható A x = (L U) x = L (U x) = b alakra, azaz a probléma két lépésre bontható: L y = b U x = y A módszer előnye, hogy mivel L és U háromszög-mátrixok, a korábbi visszahelyettesítéses módszerrel közvetlenül meghatározhatók (ha már y ismert): U esetében ugyanúgy a jobb alsó sarokból kell indulni L esetében a bal felsőből

18 L és U meghatározása L és U összesen N 2 + N ismeretlen elemet tartalmaz az (L U) x = b egyenletrendszer viszont csak N 2 egyenletet ad: i < j : i = j : i > j : l i1 u 1j + l i2 u 2j l ii u ij = a ij l i1 u 1j + l i2 u 2j l ii u jj = a ij l i1 u 1j + l i2 u 2j l ij u jj = a ij Kössük, ki hogy az L mátrix főátlójában csupa 1-es szerepel, azaz l ii = 1. Ez az általánosság megszorítása nélkül megtehető. Ez további N egyenletet ad.

19 Az N 2 + N egyenlet megoldása Az egyenletrendszer a Crout-algoritmussal megoldható: for j = 1, 2,..., N do for i = 1, 2,..., j do az első két egyenlet felhasználásával: u ij = a ij i 1 k=1 l iku kj end for i = j + 1, j + 2,..., N do a harmadik egyenlet felhasználásával: l ij = (1/u jj )(a ij j 1 k=1 l iku kj end end Az algoritmus második belső ciklusában az u jj elem a nevezőben szerepel. Elkerülendő, hogy ez ne legyen 0, a Gauss-eliminációhoz hasonlóan itt is szükség lehet átrendezésre.

20 Az LU-dekompozíció előnyei Az A mátrix determinánsa előáll a következő alakban: det A = N j=1 u jj A dekompozíció elegendő egyszer elvégezni, és utána már a visszahelyettesítéses módszerrel gyorsan megkapható az egyenletrendszer megoldása bármilyen jobb oldal esetére. Ugyanígy a mátrix inverze is könnyen számolható.

21 Iteratív módszerek egyenletrendszerek megoldására A megoldást iteratívan érdemes előálĺıtani, ha az egyenletrendszer nagyon nagy közel szinguláris, és numerikusan nehezen kezelhető Tegyük fel, hogy ismerünk egy x + δx közeĺıtő megoldást. (Csak az összeg ismert, de mi x értékét keressük.) Behelyettesítve az egyenletbe a jobb oldal el fog térni az eredetitől: A (x + δx) = b + δb Ebből kivonva az eredeti A x = b egyenletet: A δx = δb

22 Iterációs lépés Viszont az eredetit átrendezve: δb = A (x + δx) b, aminek a jobb oldalát ismerjük, tehát megoldhatjuk δx-re a egyenletet. A δx = A (x + δx) b Ha A LU-faktorizációját ismerjük, akkor csak behelyettesítgetni kell. Várhatóan pontosabb megoldást kapunk, és az eljárást ismételve egyre konvergálunk az egyenlet megoldásához.

23 Iterációs módszerek általánosabban Írjuk át az A x = b egyenletet: ahol I az egységmátrix. x = (I A) x + b, Itt x kivételével minden ismert, és ha ismerünk egy kellően jó x k megoldást, akkor képezhetjük a következő iterációt: x k+1 = (I A) x k + b Belátható, hogy ha I A mátrix-normája kisebb egynél, akkor az iteráció konvergens.

Hasonló dokumentumok

3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása február 19.

3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása 2018. február 19. Lineáris egyenletrendszer M darab egyenlet N változóval, az a ij és b j értékek ismertek: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1N x N = b 1 a 21 x 1 +