Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter
|
|
- Zita Németh
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 1 / 125
2 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Kúpszeletek Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Hasonlósági transzformációk Síkgeometriai alakzatok. Háromszögek Négyszögek Térbeli alakzatok. Kerület, terület, térfogat, felszín. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 2 / 125
3 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Kúpszeletek Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Hasonlósági transzformációk Síkgeometriai alakzatok. Háromszögek Négyszögek Térbeli alakzatok. Kerület, terület, térfogat, felszín. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 3 / 125
4 Axiómák Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 4 / 125
5 Axiómák Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Euklidész, görög matematikus, I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Legismertebb műve a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása. Az Elemek összefoglaló írásmű, de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Az Elemeket a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása tette halhatatlanná. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 4 / 125
6 Axiómák Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Euklidész, görög matematikus, I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Legismertebb műve a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása. Az Elemek összefoglaló írásmű, de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Az Elemeket a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása tette halhatatlanná. alapfogalmak, definíciók, axiómák, tételek Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 4 / 125
7 Axiómák Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Euklidész, görög matematikus, I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Legismertebb műve a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása. Az Elemek összefoglaló írásmű, de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Az Elemeket a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása tette halhatatlanná. alapfogalmak, definíciók, axiómák, tételek axiómák: a valóságot tükröző egyszerű megállapítások... Tapasztalaton alapulnak, a valóságból absztrakcióval származnak. A teljes geometria felépíthető a kimondott axiómákból logikai úton. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 4 / 125
8 Alapvető térelemek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 5 / 125
9 Alapvető térelemek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. térelemek: pont, egyenes, sík Jelölés: pont A, B, C,..., egyenes a, b, c,..., sík α, β, γ,.... Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 5 / 125
10 Alapvető térelemek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. térelemek: pont, egyenes, sík Jelölés: pont A, B, C,..., egyenes a, b, c,..., sík α, β, γ,.... lineáris, síkbeli, térbeli alakzatok Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 5 / 125
11 Alapvető térelemek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. térelemek: pont, egyenes, sík Jelölés: pont A, B, C,..., egyenes a, b, c,..., sík α, β, γ,.... lineáris, síkbeli, térbeli alakzatok Két alakzat közös része: a két alakzat közös pontjaiból áll. Két alakzat egyesítése: azon pontok alkotják, melyeket a két alakzat közül legalább az egyik tartalmaz. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 5 / 125
12 Illeszkedés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. Az egy egyenesre illeszkedő pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedők koplanárisak. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 6 / 125
13 Illeszkedés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. Az egy egyenesre illeszkedő pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedők koplanárisak. Illeszkedési axiómák: I Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. II Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy és csak egy sík illeszkedik hozzájuk. III Ha egy sík tartalmazza egy egyenes két pontját, akkor tartalmazza a teljes egyenest is. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 6 / 125
14 Illeszkedés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. Az egy egyenesre illeszkedő pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedők koplanárisak. Illeszkedési axiómák: I Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. II Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy és csak egy sík illeszkedik hozzájuk. III Ha egy sík tartalmazza egy egyenes két pontját, akkor tartalmazza a teljes egyenest is. Két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van, különben azonosak. Ha egy egyenes nem illeszkedik egy síkhoz, akkor legfeljebb egy közös pontjuk van. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 6 / 125
15 Illeszkedés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. Az egy egyenesre illeszkedő pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedők koplanárisak. Illeszkedési axiómák: I Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. II Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy és csak egy sík illeszkedik hozzájuk. III Ha egy sík tartalmazza egy egyenes két pontját, akkor tartalmazza a teljes egyenest is. Két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van, különben azonosak. Ha egy egyenes nem illeszkedik egy síkhoz, akkor legfeljebb egy közös pontjuk van. legfeljebb, legalább, egy és csak egy fogalmak... Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 6 / 125
16 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Az egyenest egy pont két félegyenesre bontja. A pont a két félegyenes kezdőpontja. Egy egynest két pontja egy szakaszra és két félegyenesre bontja. A két pont a szakasz két végpontja. A síkot egy egyenes két félsíkra bontja. A teret egy sík két féltérre vágja. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 7 / 125
17 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Az egyenest egy pont két félegyenesre bontja. A pont a két félegyenes kezdőpontja. Egy egynest két pontja egy szakaszra és két félegyenesre bontja. A két pont a szakasz két végpontja. A síkot egy egyenes két félsíkra bontja. A teret egy sík két féltérre vágja. IV Egy pont a rajta áthaladó egyenest két félegyenesre bontja. Az egyenes e ponton áthaladó szakaszának végpontjai más-más félegyeneshez tartoznak. Az egyenes minden más szakaszát az egyik félegyenes tartalmazza. V Egy egyenes a rajta átfektetett síkot két félsíkra bontja. Az egyenest metsző síkbeli szakasznak a végpontjai más-más félsíkhoz tartoznak. A sík minden más szakaszát legalább az egyik félsík tartalmazza. VI Egy sík a teret két féltérre bontja. A síkot metsző szakasz végpontjai más-más fáltérhez tartoznak. Minden más szakaszt legalább az egyik féltér tartalmaz. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 7 / 125
18 Mozgás Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 8 / 125
19 Mozgás Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. A transzformációk jellemzésére az szolgál, hogy milyen geometriai tulajdonságot őríznek meg, azaz mit hagynak invariánsan. Alapvető invariáns tulajdonság az egyenestartás és illeszkedéstartás. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 8 / 125
20 Mozgás Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. A transzformációk jellemzésére az szolgál, hogy milyen geometriai tulajdonságot őríznek meg, azaz mit hagynak invariánsan. Alapvető invariáns tulajdonság az egyenestartás és illeszkedéstartás. Ha egy alakzat mozog, akkor pontjai új helyzetbe kerülnek, de lehetnek helyben maradó pontjai is. Mozgás közben az alakzat alakja nem változik. Minden mozgáshoz tartozik egy ellentétes mozgás. Ha az elmozgatott alakzatot tovább mozgatjuk, akkor az eredeti alakzatból mozgással származó alakzatokat kapunk. Két mozgás egymásutánja egy mozgást ad. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 8 / 125
21 Mozgás Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. A transzformációk jellemzésére az szolgál, hogy milyen geometriai tulajdonságot őríznek meg, azaz mit hagynak invariánsan. Alapvető invariáns tulajdonság az egyenestartás és illeszkedéstartás. Ha egy alakzat mozog, akkor pontjai új helyzetbe kerülnek, de lehetnek helyben maradó pontjai is. Mozgás közben az alakzat alakja nem változik. Minden mozgáshoz tartozik egy ellentétes mozgás. Ha az elmozgatott alakzatot tovább mozgatjuk, akkor az eredeti alakzatból mozgással származó alakzatokat kapunk. Két mozgás egymásutánja egy mozgást ad. VII A mozgás két pont összektő szakaszát a két elmozgatott pont összekötő szakaszába, az egyenest egyenesbe, a síkot síkba visz. VIII Egy és csak egy olyan térmozgás van, amely egy adott félsíkot és ennek határán adott félegyenest megadott helyzetbe, egy adott félsíkba és ennek határán adott félegyenesbe visz át. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 8 / 125
22 Szakaszmérés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két szakasz egyenlő, ha van olyan mozgás, mely egyiket a másikba viszi. Ha két szakasz nem egyenlő, akkor az a nagyobb, amely tartalmaz a másikkal egyenlő szakaszt. Ha egy szakaszt hosszegységnek választunk, akkor a szakaszokat pozitív valós számokkal mérhetjük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 9 / 125
23 Szakaszmérés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két szakasz egyenlő, ha van olyan mozgás, mely egyiket a másikba viszi. Ha két szakasz nem egyenlő, akkor az a nagyobb, amely tartalmaz a másikkal egyenlő szakaszt. Ha egy szakaszt hosszegységnek választunk, akkor a szakaszokat pozitív valós számokkal mérhetjük. IX Egy szakaszt bármely belső pontja két olyan szakaszra bont fel, melyek hosszának összege az eredeti szakasz hossza. X Ha a hosszegység adott, akkor bármely A kezdőpontú félegyenesen egy és csak egy olyan B pont található, amelyre nézve az AB távolság egy adott pozitív valós szám. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 9 / 125
24 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Párhuzamos egyenesek: Definíció Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele:, a nem párhuzamosság jele:. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
25 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Párhuzamos egyenesek: Definíció Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele:, a nem párhuzamosság jele:. Theorem Van olyan egyenes, amely egy megadott ponton áthalad, s egy a ponton át nem haladó, megadott egyenessel párhuzamos. Bizonyítás!!! A tétel a párhuzamos létezését mondja ki, s bizonyítása szerkesztési utasítást is ad. Ha egy egyenest egy rajta kívül fekő pontra vonatkozóan tükrözünk, akkor párhuzamos egyenesekhez jutunk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
26 Axióma Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
27 Axióma Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
28 Axióma Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) A párhuzamossági axióma Euklidesz ötödik posztulátuma. Már Euklidesz is megkisérelte a párhuzamossági axiómát a többiből levezetni... Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
29 Szög Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen részt szögnek, vagy szögtartománynak nevezünk. A félegyenesek a szög szárai, a közös pont a szög csúcsa. A szög jele: Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
30 Szög Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen részt szögnek, vagy szögtartománynak nevezünk. A félegyenesek a szög szárai, a közös pont a szög csúcsa. A szög jele: Két szög egyenlő, ha mozgással fedésbe hozhatók. Két nem egyenlő szög közül az a nagyobb, amelyik tartalmaz azonos csúcsú, s a másikkal egyenlő szöget. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
31 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés egyenesszög szárai egy egyenest alkotnak derékszög egyenesszög fele hegyesszög derékszögnél kisebb szög tompaszög derékszögnél nagyobb, egyenesszögnél kisebb szög konvex szög egyenesszögnél kisebb szög konkáv szög egyenesszögnél nagyobb szög nullszög két szára egybeesik, s a szögtartomány szerepét ez a szár játsza teljes szög két szára egybeesik, s a szögtartomány a teljes sík Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
32 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés egyenesszög szárai egy egyenest alkotnak derékszög egyenesszög fele hegyesszög derékszögnél kisebb szög tompaszög derékszögnél nagyobb, egyenesszögnél kisebb szög konvex szög egyenesszögnél kisebb szög konkáv szög egyenesszögnél nagyobb szög nullszög két szára egybeesik, s a szögtartomány szerepét ez a szár játsza teljes szög két szára egybeesik, s a szögtartomány a teljes sík pótszögek két szög, melyek összege 90 kiegészítő szögek két szög, melyek összege 180 mellékszögek két szögtartomány, melyek együttesen egy félsíkot alkotnak csúcsszögek két konvex szögtartomány, melyek szárai páronként egymás meghosszabbításai Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
33 Alapfogalmak, ponthalmazok. Euklideszi szerkesztés Axiomatikus felépítés Körzőt és egyélű vonalzót használva, az alábbi elemi szerkesztések megengedettek: két pont összekötő egyenesének megrajzolása, két egyenes metszéspontjának meghatározása, adott távolság körzőnyílásba vétele, adott pont körül adott körzőnyílással kör rajzolása, két metsző kör metszéspontjainak meghatározása, kör és azt metsző egyenes metszéspontjainak meghatározása. Ha egy síkbeli alakzat megszerkesztése véges sok lépésben a fenti lépéseket használva elvégezhető, akkor azt euklideszi értelemben megszerkeszthetőnek nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
34 Alapfogalmak, ponthalmazok. Euklideszi szerkesztés Axiomatikus felépítés Körzőt és egyélű vonalzót használva, az alábbi elemi szerkesztések megengedettek: két pont összekötő egyenesének megrajzolása, két egyenes metszéspontjának meghatározása, adott távolság körzőnyílásba vétele, adott pont körül adott körzőnyílással kör rajzolása, két metsző kör metszéspontjainak meghatározása, kör és azt metsző egyenes metszéspontjainak meghatározása. Ha egy síkbeli alakzat megszerkesztése véges sok lépésben a fenti lépéseket használva elvégezhető, akkor azt euklideszi értelemben megszerkeszthetőnek nevezzük. Vannak euklideszi szerkesztéssel meg nem oldható feladatok. kör négyszögesítése (kvadratula) kocka megkettőzése (déloszi probléma) szögharmadolás (triszekció) szabályos hétszög szerkesztése Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
35 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Alapszerkesztések: adott szakasz felezése, adott szög felezése, adott egyenesre merőleges egyenes szerkesztése rajta kívül, illetve rajta levő pontból, adott egyenessel rá nem illeszkedő ponton át párhuzamos szerkesztése. Szerkesztési feladat megoldása: 1. vázlat készítése 2. elemzés 3. szerkesztés menete 4. szerkesztés kivitelezése (pontosság, adatok, segédvonalak, eredmény) 5. diszkusszió (megoldások száma) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
36 Mértani helyek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés A sík (tér) közös tulajdonságú pontjainak halmazát mértani helynek nevezzük. Azok és csak azok a pontok tartoznak a mértani helyhez, melyek a közös tulajdonsággal rendelkeznek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
37 Mértani helyek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés A sík (tér) közös tulajdonságú pontjainak halmazát mértani helynek nevezzük. Azok és csak azok a pontok tartoznak a mértani helyhez, melyek a közös tulajdonsággal rendelkeznek. Szerkesztési alapelem: pont, egyenes, kör. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
38 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
39 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
40 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levő pontok mértani helyét! r nyílású körzővel k vonalat rajzolunk. 1. A k vonal minden pontja r távolságra van O-tól. 2. Más ilyen tulajdonságú pont nincs Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
41 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levő pontok mértani helyét! r nyílású körzővel k vonalat rajzolunk. 1. A k vonal minden pontja r távolságra van O-tól. 2. Más ilyen tulajdonságú pont nincs A sík azon pontjainak mértani helyét, melyek egy adott O ponttól adott r távolságra vannak, körnek nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
42 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levő pontok mértani helyét! r nyílású körzővel k vonalat rajzolunk. 1. A k vonal minden pontja r távolságra van O-tól. 2. Más ilyen tulajdonságú pont nincs A sík azon pontjainak mértani helyét, melyek egy adott O ponttól adott r távolságra vannak, körnek nevezzük. külső pont, belső pont, körlemez Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
43 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyek egy adott e egyenestől adott d távolságra vannak! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
44 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyek egy adott e egyenestől adott d távolságra vannak! Az e egyenesre, annak pontjaiban merőlegeseket állítunk, s az egyenessel való metszéspontokból mindkét irányba felmérjük a d távolságot. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
45 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyek egy adott e egyenestől adott d távolságra vannak! Az e egyenesre, annak pontjaiban merőlegeseket állítunk, s az egyenessel való metszéspontokból mindkét irányba felmérjük a d távolságot. Adott egyenestől adott távolságra levő pontok mértani helye az adott egyenestől adott távolságra levő párhuzamos egyenespár. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
46 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összekötő egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
47 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összekötő egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. Határozzuk meg adott k körtől adott d távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
48 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összekötő egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. Határozzuk meg adott k körtől adott d távolságra levő pontok mértani helyét! O-tól r + d és r d távolságra levő pontok mértani helye, vagyis az r + d, illetve r d sugarú körök. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
49 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összekötő egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. Határozzuk meg adott k körtől adott d távolságra levő pontok mértani helyét! O-tól r + d és r d távolságra levő pontok mértani helye, vagyis az r + d, illetve r d sugarú körök. r > d r = d r < d r + d és r d sugarú, O középpontú körök. O pont, valamit az O középpontú 2r sugarú kör. r + d sugarú O középpontú kör. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
50 1. Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyeknek egy adott P ponttól való távolsága egy adott d távolságnál 1.1 kisebb 1.2 nem nagyobb 1.3 nem kisebb 1.4 nagyobb! 2. Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyeknek egy adott e egyenestől való távolsága egy adott d távolságnál 2.1 kisebb 2.2 nem nagyobb 2.3 nem kisebb 2.4 nagyobb! 3. Határozzuk meg az adott P ponton átmenő adott r sugarú körök középpontjainak mértani helyét! 4. Határozzuk meg az adott e egyenest érintő adott r sugarú körök középpontjainak mértani helyét! 5. Határozzuk meg adott r sugarú k kört érintő adott d sugarú körök középpontjainak mértani helyét! 6. Határozzuk meg az adott e egyenest adott P pontjában érintő körök középpontjainak mértani helyét! 7. Határozzuk Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) meg az adott k körtpraktikum adott P pontjában érintő körök2006/ / 125 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek - Feladatok
51 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek - Feladatok 1. Határozzuk meg az adott e egyenest adott P pontjában érintő körök középpontjainak mértani helyét! 2. Határozzuk meg az adott k kört adott P pontjában érintő körök középpontjainak mértani helyét! 3. Szerkesszünk adott ponton átmenő, adott egyenest érintő adott sugarú kört! 4. Szerkesszünk adott egyenest és adott kört érintő adott sugarú kört! 5. Szerkesszünk két adott kört érintő adott sugarú kört! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
52 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Két szerkesztési alapelemtől egyenlő távolságra levő pontokat keresünk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
53 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Két szerkesztési alapelemtől egyenlő távolságra levő pontokat keresünk. pont - pont pont - egyenes pont - kör egyenes - egyenes egyenes - kör kör - kör Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
54 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
55 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! szakaszfelező merőleges: az az egyenes, mely áthalad egy szakasz felezőpontján, s arra merőleges. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
56 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! szakaszfelező merőleges: az az egyenes, mely áthalad egy szakasz felezőpontján, s arra merőleges. Azon pontok mértani helye, elyek két adott ponttól egyenlő távolságra vannak, a két pont által meghatározott szakasz felező merőlegese. A szakaszfelező merőleges azon körök középpontjainak mértani helye, melyek átmennek a szakasz két végpontján. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
57 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
58 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. az egyenesek metszők 2. az egyenesek párhuzamosak Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
59 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. az egyenesek metszők 2. az egyenesek párhuzamosak szögfelező: egy szögtartomány csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget két egyenlő szögre vágja. Két metsző egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye a metsző egyenesek szögfelezői. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
60 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. az egyenesek metszők 2. az egyenesek párhuzamosak szögfelező: egy szögtartomány csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget két egyenlő szögre vágja. Két metsző egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye a metsző egyenesek szögfelezői. Két párhuzamos egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye a két párhuzamos egyenes középpárhuzamosa. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
61 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
62 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. a pont nem illeszkedik az egyenesre 2. a pont illeszkedik az egyenesre Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
63 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. a pont nem illeszkedik az egyenesre 2. a pont illeszkedik az egyenesre Adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye (ha a pont nem illeszkedik az egyenesre) parabola. Az adott pont a parabola fókusza, az adott egyenes a direktrixe. (Azon körök középpontjainak mértani helyeként is értelmezhetők, melyek egy adott ponton átmennek és egy adott egyenest érintenek.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
64 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. a pont nem illeszkedik az egyenesre 2. a pont illeszkedik az egyenesre Adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye (ha a pont nem illeszkedik az egyenesre) parabola. Az adott pont a parabola fókusza, az adott egyenes a direktrixe. (Azon körök középpontjainak mértani helyeként is értelmezhetők, melyek egy adott ponton átmennek és egy adott egyenest érintenek.) Adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye (ha a pont illeszkedik az egyenesre) a pontban az egyenesre állított merőleges egyenes. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
65 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
66 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. Az adott pont a kör belső pontja. 2. Az adott pont a körre illeszkedik. 3. Az adott pont a kör külső pontja. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
67 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. Az adott pont a kör belső pontja. 2. Az adott pont a körre illeszkedik. 3. Az adott pont a kör külső pontja. 1. A mértani hely egy ellipszis. Az O és P pontok az ellipszis fókuszai. Az ellipszis azon körök középpontjainak mértani helye melyek átmennek egy adott ponton, s az adott kört belülről érintik. 2. A mértani hely az OP félegyenes. 3. A mértani hely egy hiperbolaág. Az egyik hiperbolaág azon körök középpontjainak mértani helye melyek átmennek egy adott ponton, s az adott kört kivülről, a másik hiperbolaág azon körök középpontjainak mértani helye melyek átmennek egy adott ponton, s az adott kört tartalmazva érintik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
68 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott egyenestől és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
69 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott egyenestől és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. Az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja. 2. Az egyenes érinti a kört. 3. Az egyenes és a kör metszi egymást. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
70 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott egyenestől és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. Az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja. 2. Az egyenes érinti a kört. 3. Az egyenes és a kör metszi egymást. 1. A feladat visszavezethető adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyére. Az adott mértani hely egy parabola. A parabola azon körök középpontjainak mértani helye, melyek érintenek egy adott kört és egy adott egyenest. 2. A mértani hely egy parabola és az OE (E az érintési pont) félegyenes pontjai. 3. A mértani hely két parabola. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
71 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
72 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! A két kör NEM egyenlő sugarú. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
73 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! A két kör NEM egyenlő sugarú. 1. A két kör nem metszik és nem érintik egymást. 2. A két kör kívülről érintik egymást. 3. A két kör metszi egymást. 4. Az egyik kör belülről érinti a másikat. 5. Az egyik kör tartalmazza a másikat, de nem koncentrikusak. 6. A két kör koncentrikus. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
74 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek 1. A mértani hely egy hiperbolaág. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye két hiperbola. 2. A mértani hely egy hiperbolaág és az O 1 O 2 szakasz. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye egy hiperbola és az O 1 O 2 egyenes, kivéve az O 1, O 2, E pontokat. 3. A mértani hely egy hiperbolaág és egy ellipszis. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye egy hiperbola és az ellipszis. 4. A mértani hely az O 2 E félegyenes és egy ellipszis. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye egy ellipszis és az O 1 O 2 egyenes, kivéve az O 1, O 2, E pontokat. 5. A mértani hely egy ellipszis. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye két ellipszis. 6. A mértani hely egy r 1+r 2 2 sugarú, az adott körökkel koncentrikus kör. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye két kör: r 1+r 2 2, r 1 r 2 2. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
75 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek A két kör egyenlő sugarú. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
76 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek A két kör egyenlő sugarú. 1. A két körnek nincs közös pontja. 2. A két kör érinti egymást. 3. A két kör metszi egymást. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
77 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek A két kör egyenlő sugarú. 1. A két körnek nincs közös pontja. 2. A két kör érinti egymást. 3. A két kör metszi egymást. 1. A mértani hely az O 1 O 2 szakasz felezőmerőlegese. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye a felezőmerőleges és egy hiperbola. 2. A mértani hely az O 1 O 2 szakasz felezőmerőlegese és az O 1 O 2 szakasz. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye a felezőmerőleges és az O 1 O 2 egyenes. 3. A mértani hely az O 1 O 2 szakasz felezőmerőlegese és egy ellipszis. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye a felezőmerőleges és az ellipszis, kivéve a körök metszéspontjait. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
78 Feladatok Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
79 Alapfogalmak, ponthalmazok. Térbeli mértani helyek. Axiomatikus felépítés Egy térelemhez tartotó mértani helyek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
80 Alapfogalmak, ponthalmazok. Térbeli mértani helyek. Axiomatikus felépítés Egy térelemhez tartotó mértani helyek. Adott ponttól adott távolságra levő pontok mértnai helye a térnem egy gömb. Adott egyenestől adott távolságra levő pontok halmaza a térben egy hengerfelület. Adott síktól adott távolságra levő pontok halmaza a térben a síkkal párhuzamos, s attól adott távolságra levő párhuzamos síkpár. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
81 Alapfogalmak, ponthalmazok. Térbeli mértani helyek. Axiomatikus felépítés Két térelemhez tartozó mértani helyek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
82 Alapfogalmak, ponthalmazok. Térbeli mértani helyek. Axiomatikus felépítés Két térelemhez tartozó mértani helyek. 0.2cm Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a térben a két pontot összekötő szakasz felezőmerőleges síkja. Két metsző egyenestől egyenlő távol levő pontok halmaza a térben az egyenesek által meghatározott síkra merőleges, az egyenesek szögfelezőire illeszkedő síkok. Két metsző síktól egyenlő távol levő pontok halmaza a térben a síkok metszésvonalára illeszkedő szögfelező síkok. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
83 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Kúpszeletek Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Hasonlósági transzformációk Síkgeometriai alakzatok. Háromszögek Négyszögek Térbeli alakzatok. Kerület, terület, térfogat, felszín. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
84 Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Kúpszelet: azon P pontok mértani helye, amelyeknek egy rögzített O ponttól mért OP távolsága egy rögzített HX egyenestől való PK távolságának ɛ-szorosa, ahol az ɛ pozitív állandó. O HX ɛ ɛ < 1 ellipszis ɛ = 1 parabola ɛ > 1 hiperbola fókusz vezéregyenes, direktrix excentricitás Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
85 Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Egy kúpfelületet egy síkkal elmetszve különböző alakzatokat kaphatunk. A kúp és a sík helyzetétől függően többféle lehetőség állhat elő. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
86 Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Egy kúpfelületet egy síkkal elmetszve különböző alakzatokat kaphatunk. A kúp és a sík helyzetétől függően többféle lehetőség állhat elő. parabola: a sík párhuzamos egy olyan síkkal, amely a kúpot (egy alkotójában) érinti hiperbola: a sík két alkotóval párhuzamos ellipszis: minden alkotót metsz, de nem merőleges a tengelyre kör: a sík merőleges a tengelyre pont metsző egyenespár (másodfokú egyenlettel való kapcsolat) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
87 Kör Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Definition Adott ponttól adott távolságra lévő pontok mértani helye a síkban. Az adott pont a kör középpontja. A kör középpontjának és a kör pontjainak távolsága a kör sugara (r). A sugár kétszerese a kör átmérőjével egyenlő. Adott kör középpontját a következőképpen szerkeszthetjük meg: Definition (körcikk) Egy kör két sugara és az őket összekötő ív által határolt síkidom. Definition (körszelet) Egy körív és a hozzátartozó húr által határolt síkidom. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
88 Kör Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Theorem A síkban egy egyenesnek és egy körnek 0, 1 vagy 2 közös pontja van aszerint, hogy a középpontnak az egyenestől való távolsága a kör sugaránál nagyobb, azzal egyenlő, vagy annál kisebb. szelő, húr, átmérő, középponti szög, körcikk, körszelet, körszelet magassága Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
89 Érintő Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest érintőnek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.) Theorem A kör bármely pontjában egyetlen érintő húzható a körhöz, s ez merőleges a ponthoz vezető sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
90 Érintő Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest érintőnek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.) Theorem A kör bármely pontjában egyetlen érintő húzható a körhöz, s ez merőleges a ponthoz vezető sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög Theorem Egy a körön kivül levő pontból a körhöz vont két érintőn e pont az érintési pontokkal együtt két egyenlő szakaszt határoz meg. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
91 Húr Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Theorem Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor vagy egyenlők a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
92 Húr Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Theorem Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor vagy egyenlők a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához. Theorem Egy kör átmérője minden rá merőleges húr felezőpontját tartalmazza, meghosszabbításai tartalmazzák az ilyen húr végpontjaiban vont érintők metszéspontját, végpontjai pedig a húrokkal párhuzamos érintők érintési pontjai. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
93 Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Középponti és kerületi szögek A kör két közös végpontú húrja által alkotott konvex szöget kerületi szögnek nevezzük. Kerületi szögnek mondjuk azt a konvex szöget is, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érintő félegyenes alkot. Theorem A kerületi szög kétszerese egyenlő az ugyanazon az íven nyugvó középponti szöggel. Minden átmérőn nyugvó kerületi szög derékszög. Theorem Egy kör egybevágó körívein egyenlő kerületi szögek nyugszanak. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
94 Látószög Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögről mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk. Theorem A sík azon pontjainak mértani helye, amelyből egy szakasz megadott szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összekötő, a szakaszra vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedő két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
95 Látószög Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögről mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk. Theorem A sík azon pontjainak mértani helye, amelyből egy szakasz megadott szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összekötő, a szakaszra vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedő két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez. Theorem (Thales) A sík azon pontjainak mértani helye, amelyekből egy megadott szakasz derékszögben látható, a szakaszhoz mint átmérőhöz tartozó kör, elhagyva belőle a szakasz végpontjait. (előző tétel speciális esete) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
96 Outline Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Kúpszeletek Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Hasonlósági transzformációk Síkgeometriai alakzatok. Háromszögek Négyszögek Térbeli alakzatok. Kerület, terület, térfogat, felszín. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
97 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
98 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. (Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az első és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban első tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
99 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. (Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az első és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban első tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) Invariáns pont (fixpont, kettőspont): P és P egybeesik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
100 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. (Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az első és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban első tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) Invariáns pont (fixpont, kettőspont): P és P egybeesik. Mozgás (egybevágósági transzformáció, izometria): Távolságtartó leképezés. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
101 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. (Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az első és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban első tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) Invariáns pont (fixpont, kettőspont): P és P egybeesik. Mozgás (egybevágósági transzformáció, izometria): Távolságtartó leképezés. Azonosság (identitás): Olyan transzformáció, mely minden pontot önmagába visz át. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
102 Geometriai transzformációk. Egybevágósági transzformáció Mozgások, egybevágósági transzformációk A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
103 Geometriai transzformációk. Egybevágósági transzformáció Mozgások, egybevágósági transzformációk A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, ami egyiket a másikba viszi át. (Egyik alakzat tetszőleges két pontjának távolsága megegyezik a másik alakzat megfelelő két pontjának távolságával.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
104 Geometriai transzformációk. Egybevágósági transzformáció Mozgások, egybevágósági transzformációk A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, ami egyiket a másikba viszi át. (Egyik alakzat tetszőleges két pontjának távolsága megegyezik a másik alakzat megfelelő két pontjának távolságával.) A mozgásokat és türözéseket, illetve ezek egymás utáni elvégzését euklideszi vagy egybevágósági transzformációknak nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
105 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Több transzformáció egymás utáni alkalmazásának eredményét a transzformációk szorzatának nevezzük. Ha két transzformáció szorzata az azonosság, akkor azokat egymás inverzeinek mondjuk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
106 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Több transzformáció egymás utáni alkalmazásának eredményét a transzformációk szorzatának nevezzük. Ha két transzformáció szorzata az azonosság, akkor azokat egymás inverzeinek mondjuk. Azt mondjuk, hogy a transzformációk egy halmaza csoportot alkot, ha a halmaz tartalmazza mindegyik transzformáció inverzét bármely két transzformáció szorzatát. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
107 Tükrözés Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Tükrözés: Olyan mozgás, melynek fixpontjai egy egyenesen (síkon) helyezkednek el. A helybenmaradó egyenes (sík) a tükrözés tengelye (síkja). Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
108 Eltolás Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Eltolás (transzláció): Olyan mozgás, mely egy pontot sem hagy fixen. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
109 Eltolás Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Eltolás (transzláció): Olyan mozgás, mely egy pontot sem hagy fixen. Theorem Az eltolásra igazak az alábbi állítások: Két eltolás szorzata eltolás. Két egymással párhuzamos tengelyre történő tükrözés szorzata eltolás, melynek iránya merőleges a tengelyekre, távolsága pedig a tengelyek távolságának kétszerese. Az eltolások kommutatívak. Egy félfordulat és egy eltolás szorzata félfordulat. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
110 Csúsztatva tükrözés Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
111 Forgatás Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
112 Szimmetria Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha az alakzatsíkjában létezik olyan tengely, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga. Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125
Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenBevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
RészletesebbenGeometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21.
Geometria I. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006. április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 1 / 77 Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális
RészletesebbenGEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
RészletesebbenGeometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenSíkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
RészletesebbenMatematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
Részletesebben16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
RészletesebbenA GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria
GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak
RészletesebbenMTB1005 Geometria I előadásvázlat
MTB1005 Geometria I előadásvázlat Az abszolút geometria axiómarendszere 0. A geometria axiomatikus felépítéséről Egy axiómarendszer nem definiált alapfogalmakból és bizonyítás nélkül elfogadott állításokból
Részletesebben1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik),
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Halmazok A halmaz a matematikában nem definiált fogalom. A halmazt alapfogalomnak tekintjük, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
RészletesebbenGeometriai alapfogalmak
Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk
Egybevágósági transzformációk Párhuzamos eltolás Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (9. osztály) Helybenhagyás Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Párhuzamos
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenTranszformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
Részletesebben18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenGeometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Részletesebben2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
RészletesebbenMatematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
RészletesebbenA hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenSzög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:
Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
RészletesebbenGeometriai példatár 2.
Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
RészletesebbenKOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)
KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **
RészletesebbenDobos Sándor és Hraskó András: Inverzió. Inverzió. 2. Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkeszd meg az adott pont adott
Inverzió 1. Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkeszd meg az adott pont adott körre vonatkozó inverz képét! 2. Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkeszd
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
RészletesebbenKISLEXIKON : HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK. Tárgymutató: I.
Matematika érettségi kislexikon I. 1 Huszk@ Jenő I. \ \ KISLEXIKON : HLMZOK, SZÁMHLMZOK, PONTHLMZOK Tárgymutató: I. oldal sorszám téma oldal sorszám téma 3 12 Halmazok ábrázolása 4 14 Halmazok metszete
RészletesebbenGEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenA tér lineáris leképezései síkra
A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
Részletesebben10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok
10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest
Részletesebben1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria...........................
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenInteraktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-
Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges
Részletesebben2. A tantárgy tartalma Előadás Az axiomatikus módszer a matematikában. A geometria axiomatikus megalapozásáról.
Tantárgy neve Geometria I Tantárgy kódja MTB1015 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kovács
RészletesebbenA geometriai transzformációk tárgyalásának egy módja a tanárképzésben. doktori (PhD) értekezés. Krisztin Német István
A geometriai transzformációk tárgyalásának egy módja a tanárképzésben doktori (PhD) értekezés Krisztin Német István Debreceni Egyetem Természettudományi Kar Debrecen, 2007 Ezen értekezést a Debreceni Egyetem
RészletesebbenSzerkesztés a gömbi geometriában
Szerkesztés a gömbi geometriában Szakdolgozat Készítette: Vad Szilvia Témavezető: Dr. Moussong Gábor adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak, Tanári Szakirány
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenOsztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
RészletesebbenFejezetek az euklideszi geometriából
Fejezetek az euklideszi geometriából Ebben a fejezetben euklideszi térben dolgozunk: vagyis mindvégig feltételezzük, hogy érvényes az abszolút geometria axiómarendszere és az euklideszi párhuzamossági
RészletesebbenKövetelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenVerhóczki László. Euklideszi Geometria. ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék
Verhóczki László Euklideszi Geometria ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2012 Előszó A jegyzet megírásának céljai A középiskolai matematika tanárok számára az 1960 as évek óta Geometriából
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
Részletesebben1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z
146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró
RészletesebbenMinden matematikai elmélet fogalmak és állítások gyűjteményeként fogható fel. Az
Az euklideszi geometria axiomatikus felépítése 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének alapelvei Minden matematikai elmélet fogalmak és állítások gyűjteményeként
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
Részletesebben1.Háromszög szerkesztése három oldalból
1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenFeladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)
Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012
2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,
Részletesebben2. Síkgeometriai szerkesztések
2. Síkgeometriai szerkesztések Hajós György: Bevezetés a geometriába, 156-168. oldal Pelle Béla: Geometria, 180-181. oldal Faragó Forgó: Geometriai szerkesztések, 7-20. oldal Czédli Szendrei: Geometriai
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenKOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
RészletesebbenEUKLIDESZI GEOMETRIA Meghirdető. SZTE TTK Matematikai Tanszékcsoport tanszék(csoport) Felelős oktató:
A tárgy neve EUKLIDESZI GEOMETRIA Meghirdető SZTE TTK Matematikai Tanszékcsoport tanszék(csoport) Felelős oktató: Dr. Kurusa Árpád Kredit 5+2 Heti óraszám 2+2 típus E+Gy Számonkérés K+Gyj Teljesíthetőség
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.
. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat
Részletesebben