Verhóczki László. Euklideszi Geometria. ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék
|
|
- Regina Liliána Fodorné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Verhóczki László Euklideszi Geometria ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2012
2 Előszó A jegyzet megírásának céljai A középiskolai matematika tanárok számára az 1960 as évek óta Geometriából a Hajós György által írt Bevezetés a geometriába c. tankönyv jelenti az alapvető irodalmat a téma megértéséhez és mélyebb vizsgálataihoz. A nappali és a levelező tagozatos matematikatanári képzésen szerzett tapasztalataim azonban arra utaltak, hogy célszerű lenne egy tömörebb Geometria jegyzet elkészítése, amely főleg a tanárképzéshez kapcsolódó ismeretek tárgyalására fókuszálna. A jegyzet fő célja tehát az, hogy segítséget adjon a matematikatanári szakos hallgatók számára az egyetemi Geometria tananyag elsajátításához. Ugyanakkor remélem, hogy a jegyzet hasznos olvasmány lesz azok számára is, akik nem matematika szakos tanárnak készülnek, de érdeklődnek az euklideszi geometria alapvető összefüggései és azok alkalmazásai iránt. A Geometria oktatásának nehézségei Azt szokás mondani, hogy a geometria a térbeli alakzatok tulajdonságaival foglalkozó matematikai tudomány. A legtöbb ember számára a geometria a bennünket körülvevő fizikai tér olyan összefüggéseit írja le, amelyeket a tapasztalat révén is ellenőrizni lehet. A geometriai fogalmak kialakításában és a geometriai összefüggések felismerésében ezért valóban nagy szerepe van a szemléletnek. A diákok a középiskolában találkoznak a bizonyítás fogalmával. Ez annyit jelent számukra, hogy vannak olyan összefüggések (más szóval állítások vagy tételek), amelyeket nemcsak felismernek a szemlélet alapján, hanem be is bizonyítanak. Például, bebizonyítják, hogy ha a térben adva van egy tetraéder, akkor egyetlen olyan gömb van, amely áthalad a négy csúcsponton. Azonban a diák számára olykor gondot okoz, hogy miért fogadunk el egyes összefüggéseket csupán a szemlélet miatt, és miért kell egyes összefüggéseket bizonyítani is. Ezt támasztják alá azok a tapasztalatok, amelyek azt mutatják, hogy a középiskolás diákok sokkal inkább kedvelik a koordinátageometriát, mint a szintetikus geometriát. Ismeretes, hogy főleg a szintetikus geometriában szokás kitűzni az ún. bizonyítási feladatokat. Ezeknél előfordulnak olyan esetek, amikor a diák számára nem egyértelmű, hogy melyek azok az összefüggések, amelyeket azonnal alkalmazhat a megoldás érdekében, és melyek azok, amelyeket csak előzetes igazolást követően használhat. Véleményem szerint egy matematika tanárnak meg kell tudni értetni a diákokkal, hogy a geometriában ugyan vannak olyan alapigazságok, amelyeket elfogadunk a szemlélet alapján, de ezen összefüggéseknek a köre behatárolt, és a többi helytálló összefüggést már le lehet vezetni ezekből az alapigazságokból. Fel lehet hívni a hallgatók figyelmét arra is, hogy a szemléletre való kizárólagos hagyatkozás, téves következtetéseket eredményezhet. Mindezek alapján arra az elhatározásra jutottam, hogy bár nem célom az euklideszi geometria axiomatikus tárgyalása, a jegyzet első fejezetében felsorolom azokat az alapigazságokat, amelyekre az euklideszi geometria (illetőleg az abszolút geometria) elmélete épül. i
3 Mellesleg úgy vélem, ezek ismeretében érthetőbbé válik a leendő matematika tanárok számára, hogy miben is tér el az euklideszi geometria a hiperbolikus geometriától, melyet Bolyai János és az orosz N. I. Lobacsevszkij fedeztek fel a XIX. század első felében. Az axiómák szerepe a geometriában Célszerűnek tűnik, hogy megpróbáljam itt tömören leírni, mit is értünk axiómákon. Mint az összes matematikai elmélet, így az euklideszi geometria is fogalmak és állítások gyűjteménye. Az elmélet felépítése során a felhasznált fogalmakat korábbi fogalmak segítségével kell körülírni (más szóval definiálni), a kimondott állításokat pedig be kell bizonyítani. Állításon tehát egy olyan kijelentést értünk, amely az adott elmélet fogalmaival kapcsolatos összefüggést (vagy összefüggéseket) fogalmaz meg, és amelyet korábban igazolt állításokból logikai úton le lehet vezetni. Egy önálló elmélet egzakt felépítéséhez szükség van olyan kijelentésekre (úgynevezett alapigazságokra) is, amelyek az elmélet alapját képezik, és amelyeket emiatt nem bizonyítunk. Ezeket nevezzük az elmélet axiómáinak. Az axiómákon tehát azokat az elmélet alapjául szolgáló állításokat értjük, melyeket bizonyítás nélkül elfogadunk. Amennyiben az egyik axióma a többiből levezethető, akkor azt célszerű elhagyni. A matematikai elméletek axiomatikus megalapozásánál mindig fellelhető az az igény, hogy az axiómák egymástól függetlenek legyenek, vagyis egyik alapigazság sem legyen következménye a többinek. Ezen jegyzetben tehát megadjuk majd az euklideszi geometria egy olyan axióma rendszerét, amelyben a távolságfüggvénnyel kapcsolatos axióma játszik meghatározó szerepet. Fontos azonban hangsúlyozni, hogy nem célunk az axiomatikus felépítés kidolgozása. ii
4 1) Az abszolút geometria axiómái, alapvető fogalmai és tételei Ebben a bevezető fejezetben megadjuk az euklideszi geometria (illetve az abszolút geometria) egyik axiómarendszerét, továbbá áttekintjük az axiómákhoz kapcsolódó alapvető fogalmakat és tételeket. Az itt közölt állítások nagy része evidensnek tűnhet az olvasó számára, mivel ezek teljes összhangban állnak a szemlélettel. Jelen esetben az a célunk, hogy megmutassuk, miként lehet ezeket a tételeket néhány alapigazságból kiindulva levezetni (vagy más szóval bizonyítani). Vizsgálatainkhoz a halmazelmélet alapvető fogalmait és összefüggéseit fogjuk felhasználni. A térelemekkel kapcsolatos jelölések és elnevezések Legyen adott egy X halmaz, amelyet térnek mondunk, és amelynek az elemeit pontoknak nevezzük. Az X részhalmazait ponthalmazoknak vagy alakzatoknak mondjuk. A ponthalmazok között vannak kitüntetett alakzatok, amelyeket egyenesnek vagy síknak nevezünk. A pontokat, az egyeneseket és a síkokat együttesen térelemeknek is hívjuk, bár az egyenesek és a síkok valójában az X tér részhalmazai. A későbbiek során a pontokat latin nagybetűkkel (például A, B, C, P), az egyeneseket latin kisbetűkkel (például a, b, e, g), a síkokat pedig görög betűkkel (például α, β, σ) fogjuk jelölni. A térelemek illeszkedését a tartalmazás alapján értelmezzük. Azt mondjuk, hogy egy A pont illeszkedik egy e egyeneshez, ha A eleme e nek. Egy B pontról azt mondjuk, hogy az illeszkedik egy σ síkhoz, ha B az egyik eleme σ nak. Egy g egyenesről azt mondjuk, hogy az illeszkedik egy α síkhoz, ha g egy részhalmaza α nak. A térelemek illeszkedésével kapcsolatosan az alábbi kifejezéseket is használni fogjuk. Ha egy A pont illeszkedik egy e egyeneshez, akkor azt is mondjuk, hogy az e egyenes illeszkedik az A ponthoz, illetve az e egyenes áthalad (átmegy) az A ponton. Analóg módon, ha egy B pont eleme egy σ síknak, akkor azt is mondjuk, hogy a σ sík illeszkedik a B ponthoz. A g α feltétel teljesülése esetén azt is mondjuk, hogy az α sík illeszkedik a g egyeneshez, illetve az α sík tartalmazza a g egyenest. Ha valamely B, D (B, D X) ponthalmazokat véve B egy részhalmaza D nek (azaz B D teljesül), akkor azt mondjuk, hogy a B alakzat benne van D ben, illetve a D alakzat tartalmazza B t. Tekintsünk az X térben véges sok pontot. Ezen pontokat kollineárisaknak (illetve komplanárisaknak) mondjuk, ha van olyan egyenes (illetve ha van olyan sík), amely az adott pontok mindegyikét tartalmazza. Az előbbi értelmezés szerint véges sok pontról akkor mondjuk, hogy azok komplanárisak (illetve kollineárisak), ha van olyan sík (illetve ha van olyan egyenes), amelyhez a pontok mindegyike illeszkedik. A továbbiakban ha n számú pontról (egyenesről vagy síkról) szólunk, akkor ezen n számú különböző pontot (egyenest vagy síkot) értünk. A térelemek illeszkedésével kapcsolatos axiómák A továbbiakban feltesszük, hogy a térelemek illeszkedésre vonatkozóan teljesülnek az alábbi alapigazságok (vagy más szóval axiómák). 1
5 (IA 1) Van a térben négy olyan pont, amelyek nem kollineárisak és nem komplanárisak. (IA 2) Bármely két ponthoz egy és csakis egy egyenes illeszkedik. (IA 3) Minden síkhoz illeszkedik három nem kollineáris pont. (IA 4) Bármely három nem kollineáris ponthoz egy és csakis egy sík illeszkedik. (IA 5) Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkhoz, akkor az egyenes is illeszkedik a síkhoz. (IA 6) Ha két síknak van egy közös pontja, akkor a két síknak van még egy közös pontja. Ha A és B különböző pontok, jelölje A,B azt az egyenest, amely az A n és a B n egyaránt áthalad. Amennyiben A, B, C nem kollineáris pontok, jelölje A,B,C azt a síkot, amelyhez mindhárom pont illeszkedik. Ha az A pont nem illeszkedik az e egyeneshez, jelölje e,a azt a síkot, amely tartalmazza az A pontot és az e egyenest. Ha a g, h (g h) egyeneseknek van egy közös eleme, akkor a két egyenest metszőnek, a közös elemet pedig g és h metszéspontjának mondjuk. Azt a síkot, amely tartalmazza a g, h metsző egyeneseket g, h fogja jelölni. Ha egy síknak és egy egyenesnek egyetlen közös pontja van, akkor azt mondjuk, hogy az egyenes metszi a síkot, illetve a sík metszi az egyenest. A közös pontot ez esetben a két térelem metszéspontjának nevezzük. Ha valamely α, β (α β) síkoknak van közös pontjuk, akkor a két síkot metszőnek mondjuk. Amennyiben van egy közös pont, akkor az illeszkedési axiómákból azonnal következik, hogy α β metszet egy egyenes, melyet a két sík metszésvonalának mondunk. A távolságfüggvénnyel kapcsolatos axióma Állapodjunk meg abban, hogy amennyiben kimondunk egy axiómát, akkor a továbbiakban már feltesszük annak teljesülését. A szokásoknak megfelelően a valós számok halmazát R fogja jelölni. Tekintsük a tér összes pontjainak X halmazát és ezen halmaz önmagával vett Descartes szorzatát, vagyis az X X = { (A,B) A, B X } halmazt. A szakasz és a félegyenes fogalma a következő axiómán alapul. (BVA) Adva van egy olyan d : X X R valós függvény, amelyre teljesül az alábbi feltétel: Tetszőleges g egyenes esetén meg lehet adni egy olyan ξ : g R bijekciót, ahol bármely a g hez illeszkedő A, B pontokra fennáll a ξ(a) ξ(b) = d(a,b) összefüggés. Megjegyzés. A (BVA) kijelentést, amelynek alkalmazását G. D. Birkhoff amerikai matematikus javasolta, a Birkhoff féle vonalzó axiómának szokás mondani. A (BVA) axiómában szereplő feltételt a továbbiakban, mint vonalzó feltételt, fogjuk említeni. A ξ bijektív leképezést a g egyenes egyik koordinátázásának mondjuk. 2
6 Mint ismeretes, egy leképezést akkor mondunk bijekciónak, ha az kölcsönösen egyértelmű és szürjektív. A fentiek szerint egy tetszőleges g egyenes pontjai és az R valós számtest elemei között egy olyan bijektív megfeleltetés létesíthető, amely eleget tesz az úgynevezett vonalzó feltételnek. Megjegyzés. A (BVA) axiómából következik, hogy a tér bármely egyeneséhez és bármely síkjához végtelen sok pont illeszkedik. Megjegyzés. Vegyük a (BVA) axiómával megadott d függvényt és egy c pozitív valós számot. Tekintsük most azt a ˆd : X X R leképezést, ahol tetszőleges A, B pontokra fennáll ˆd(A,B) = c d(a,b). Könnyű belátni, hogy ekkor a ˆd függvényre is teljesül az előző axiómában szereplő vonalzó feltétel. Ez a tény arra utal, hogy amennyiben a d függvény helyett annak egy pozitív számszorosát alkalmaznánk, azzal is fel lehetne építeni egy geometriai elméletet. A továbbiakban a (BVA) axiómával megadott d : X X R függvényt a téren vett távolságfüggvénynek mondjuk. A (BVA) axiómában szereplő vonalzó feltételből adódik, hogy bármely A, B X pontokra fennállnak a d(a,b) 0 és d(a,b) = d(b,a) összefüggések. Az axiómából következik az is, hogy a d(a,b) = 0 egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha A = B Definíció. A tér valamely A, B pontjainak távolságán a d(a, B) nemnegatív számot értjük. Két pont elválasztása egy harmadik ponttal 1.2. Definíció. Legyenek adva az A, B és C pontok. Azt mondjuk, hogy a C pont az A és a B pontok között van, ha A, B és C egyazon egyenes különböző pontjai, továbbá fennáll a d(a, C) + d(c, B) = d(a, B) összefüggés. Ez esetben azt is mondjuk, hogy a C pont elválasztja egymástól az A, B pontokat. Megjegyzés. Amennyiben a C pont nincs az A és B pontok között, akkor azt mondjuk, hogy a C pont nem elválasztja el az A, B pontokat. Nyilvánvaló a (BVA) axióma következtében, hogy egy egyenes három pontja közül pontosan egy van a másik kettő között. A szakasz és a félegyenes értelmezése Emlékezzünk rá, hogy az A, B pontokon áthaladó egyenest az A, B szimbólummal jelöljük Definíció. Legyenek A és B különböző pontok. Az A és B végpontokkal meghatározott AB szakaszon azt az alakzatot értjük, amelyet az A, B pontok és az A, B egyenes azon pontjai alkotnak, amelyek A és B között vannak. Megjegyzés. A fenti definíció szerint az AB szakaszt a két végponton kívül az A, B egyenes azon pontjai alkotják, amelyek elválasztják az A, B pontokat. A definíciót kimondhattuk volna úgy is, hogy az A és B végpontokkal meghatározott szakaszon az AB = { P A,B P elválasztja az A, B pontokat } {A, B } formulával leírt alakzatot értjük. 3
7 Megjegyzés. Evidens, hogy bármely A, B X pontok esetén fennáll AB = BA. Az A, B pontokat az AB szakasz határpontjainak is mondjuk. Az AB szakasznak a határpontoktól különböző pontjait a szakasz belső pontjainak nevezzük. Megjegyzés. Amennyiben a két végpont megegyezik (azaz fennáll A = B), akkor a fenti definícióval nyert AA = {A} alakzatot pontszakasznak mondjuk. A pontszakasznak nincs belső pontja Definíció. Az AB szakasz hosszán a d(a, B) pozitív számot (azaz a végpontok távolságát) értjük. Megjegyzés. A továbbiakban az AB szakasz hosszát d(a, B) mellett AB vel is jelölni fogjuk Definíció. Legyenek adva az egymástól különböző A, B pontok. Az A kezdőpontú és a B pontot tartalmazó [A,B félegyenesen azt az alakzatot értjük, amelyet az A,B egyenes azon pontjai alkotnak, amelyeket az A pont nem választ el a B ponttól. Megjegyzés. A fenti definíció szerint az A kezdőpontú és a B t tartalmazó félegyenesen az [A,B = { P A,B A nem választja el a B, P pontokat } alakzatot értjük. Megjegyzés. A (BVA) axióma felhasználásával könnyen belátható, hogy igaz az alábbi két kijelentés. Amennyiben az A egy tetszőleges pontja a g egyenesnek, akkor pontosan két olyan A kezdőpontú félegyenes van, melyeket g tartalmaz. A két félegyenes uniója (vagy más szóval egyesítése) a g egyenes, metszetük pedig az A pont. Legyenek adva az A és B különböző pontok, továbbá legyen adott egy λ nemnegatív valós szám. Ez esetben az [A,B félegyenesnek egy és csakis egy olyan P pontja van, amelyre fennáll d(a, P) = λ. A Pasch féle rendezési axióma A továbbiakban a félsík és a félegyenes fogalmát szeretnénk matematikai szabatossággal leírni. Ehhez azonban szükségünk lesz egy rendezési axiómára, amely a háromszögvonalakkal kapcsolatos Definíció. Legyen adva három nem kollineáris pont A, B és C. Az AB, BC és CA szakaszok uniójaként nyert alakzatot az A, B, C csúcspontokkal meghatározott háromszögvonalnak (vagy rövidebben csak háromszögnek) nevezzük. Megjegyzés. Egyelőre csak a háromszögvonal fogalmát vezettük be, mint a három csúcspont által meghatározott három szakasz unióját. Az A, B, C csúcsokkal meghatározott háromszögvonalat a továbbiakban ABC jelöli. Az AB, BC, CA szakaszokat a háromszög oldalainak mondjuk. Az A, B, C pontokat egyaránt tartalmazó síkot a háromszög síkjának, az a = B, C, b = C, A és c = A, B egyeneseket pedig a háromszög oldalegyeneseinek nevezzük. Amennyiben egy egyenesnek és egy szakasznak egyetlen közös pontja van, akkor azt mondjuk, hogy az egyenes metszi a szakaszt. Az alábbi axiómát a Pasch féle rendezési axiómának szokás nevezni. 4
8 (PRA) Ha adott egy háromszögvonal és annak síkjában egy egyenes, amely nem megy át a háromszög egyik csúcspontján sem és metszi a háromszögvonal egyik oldalát, akkor az egyenes metszi a háromszögvonal még egy oldalát. Két pont elválasztása egyenessel és síkkal 1.7. Definíció. Legyenek adva az A, B pontok és egy e egyenes. Azt mondjuk, hogy az e egyenes elválasztja az A, B pontokat, ha az e egy belső pontjában metszi az AB szakaszt Definíció. Legyen adott egy e egyenes és egy arra nem illeszkedő A pont. Az e t és az A t tartalmazó síkot jelölje σ. Az e egyenessel határolt és az A pontot tartalmazó félsíkon az [e,a = {P σ e nem választja el az A, P pontokat } alakzatot értjük. Megjegyzés. A fenti definíció szerint az [e,a félsíkot a σ = e,a sík azon pontjai alkotják, amelyeket az e egyenes nem választ el az A ponttól. Nyilvánvaló, hogy az [e,a félsík az A pont mellett az e határegyenest is tartalmazza. Ha a félsíkból kivonjuk (más szóval elhagyjuk) annak határegyenesét, akkor az így nyert ponthalmazt nyílt félsíknak mondjuk. Megjegyzés. Tekintsünk egy σ síkot és abban egy e egyenest. A (PRA) axiómából következik, hogy pontosan két olyan félsík van, amelyeket a σ tartalmaz és amelyeknek e a határegyenese. Ezen két félsíknak az uniója a σ sík, metszetük pedig az e egyenes. Amennyiben egy síknak és egy szakasznak egyetlen közös pontja van, akkor azt mondjuk, hogy a sík metszi a szakaszt Definíció. Azt mondjuk, hogy a σ sík elválasztja az A, B (A, B X) pontokat, ha a σ sík egy belső pontjában metszi az AB szakaszt Definíció. Legyen adott egy σ sík és egy arra nem illeszkedő A pont. A σ síkkal határolt és az A pontot tartalmazó féltéren a alakzatot értjük. [σ,a = {P X σ nem választja el az A, P pontokat } Megjegyzés. Tekintsünk a térben egy σ síkot. A (PRA) axiómát felhasználva igazolni lehet, hogy pontosan két olyan féltér van, amelyeknek σ a határsíkja. Ezen félterek uniója az X tér, a metszetük pedig azonos a σ síkkal. A szögtartomány értelmezése A konvex szögtartomány értelmezése előtt célszerű megadnunk a konvex alakzat fogalmát Definíció. Egy A ponthalmazt konvexnek mondunk, ha teszőleges P, Q A pontok esetén a PQ szakasz benne van az A alakzatban (vagyis PQ A teljesül). Megjegyzés. A fenti definíció szerint egy alakzat akkor konvex, ha tartalmazza bármely két pontjának az összekötő szakaszát. 5
9 Az üres halmaz egy konvex alakzat, mivel teljesül rá a definícióban szereplő feltétel. A szakaszok, a félegyenesek, a félsíkok és a félterek egyaránt konvex alakzatok. Könnyen igazolni lehet az alábbi kijelentést, amely konvex ponthalmazok metszetére (más szóval közös részére) vonatkozik Állítás. Konvex alakzatoknak a metszete is egy konvex alakzat Definíció. Két közös kezdőpontú félegyenes unióját szögvonalnak mondjuk. Legyenek adva az O, A, B (O A, O B) pontok, és tekintsük az AOB = [O,A [O,B szögvonalat. Az [O,A és [O,B félegyeneseket ezen szögvonal szárainak, az O pontot pedig a szögvonal csúcspontjának nevezzük. Megjegyzés. Amennyiben az O, A, B pontok nem kollineárisak, akkor azt mondjuk, hogy az AOB szögvonal nem elfajuló. Ekkor az O, A, B pontokhoz egyaránt illeszkedő síkot a szögvonal síkjának nevezzük. Az AOB szögvonalat elfajulónak mondjuk, ha az O, A, B pontok kollineárisak. Az elfajuló szögvonalat egyenesszögnek nevezzük, ha az O pont az A, B pontok között van. Amennyiben fennáll [O,A = [O,B, akkor a szögvonalat szárszögnek (vagy nullszögnek) mondjuk. Vegyük észre, hogy az 1.1. Állítás szerint két félsík metszete minden esetben egy konvex alakzat Definíció. Legyen adva az O, A, B nem kollineáris pontokkal meghatározott AOB szögvonal. Tekintsük a szárakat tartalmazó a = O,A és b = O,B egyeneseket. Az [a,b és [b,a félsíkok metszetét a szögvonalhoz tartozó konvex szögtartománynak (vagy rövidebben szögnek) nevezzük. Az AOB szögvonalhoz tartozó konvex szögtartományt az AOB szimbólummal jelöljük Definíció. Legyen adva egy nem elfajuló AOB szögvonal. Legyenek A x és B x a száregyenesek olyan pontjai, melyeket az O csúcs elválaszt az A, B pontoktól. Az [a,b x és [b,a x félsíkok unióját az AOB szögvonalhoz tartozó konkáv szögtartománynak mondjuk. Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy a nem elfajuló szögvonalhoz tartozó két szögtartomány uniója megegyezik a szögvonal síkjával, metszetük pedig azonos a szögvonallal. A szögtartománynak a szárak által nem tartalmazott pontjait a szögtartomány belső pontjainak mondjuk. Megjegyzés. Amennyiben az AOB szögvonal egy egyenesszög, akkor bármely az A, B egyenessel határolt félsíkot tekinthetjük az AOB szögvonalhoz tartozó szögtartománynak. A háromszöglemez Korábban már értelmezük, hogy mit értünk háromszögvonalon. Az alábbiak során megadjuk a háromszöglemez fogalmát Definíció. Legyen adott három nem kollineáris pont A, B és C. Tekintsük az A, B, C csúcspontokkal meghatározott háromszögvonal a = B,C, b = C,A 6
10 és c = A,B oldalegyeneseit. Az [a,a, [b,b és [c,c félsíkok metszetét az A, B, C csúcsokkal meghatározott háromszöglemeznek (vagy rövidebben háromszögnek) mondjuk. Ezen háromszöglemezt ABC fogja jelölni. Az ABC háromszöglemez A, B, C csúcsokhoz tartozó szögein a CAB, ABC és BCA szögeket értjük. Megjegyzés. Az egyszerűség és a könnyebb megértés kedvéért az ABC háromszög CAB, ABC és BCA szögeit a továbbiakban az α, β és γ szimbólumokkal is fogjuk jelölni. Ezt követően az a, b és c latin kisbetűk nem az oldalegyeneseket, hanem a háromszög oldalainak hosszát fogják jelölni. Ezek szerint fennáll a = BC, b = CA és c = AB. 1. ábra. A háromszög geometriai adatai. Az egybevágósági transzformációk Definíció. Térbeli egybevágósági transzformáción (vagy rövidebben egybevágóságon) egy olyan ϕ : X X bijektív leképezést értünk, amelynél tetszőleges A, B X pontokra fennáll a d(a, B) = d(ϕ(a), ϕ(b)) összefüggés és amely egyenest egyenesbe képez. Megjegyzés. Az egybevágósági transzformáció tehát egy olyan bijekció, amely megőrzi a pontok távolságát (más szóval távolságtartó) és egyenest egyenesbe képez. Egybevágóságra legegyszerűbb példa az ún. identikus leképezés, amely a tér összes pontját fixen hagyja. Ezt a továbbiakban id fogja jelölni. Megjegyzés. Legyen adva egy ϕ : X X egybevágóság. Mivel ϕ egy bijektív leképezés, vehetjük ϕ nek az inverz leképezését, amelyet ϕ 1 jelöl. Vegyük észre, hogy ϕ 1 is egy egybevágósági transzformáció. A térbeli zászló fogalma Definíció. Tekintsünk egy félteret, annak határsíkjában egy félsíkot és a félsík határegyenesén egy félegyenest. Ekkor a félegyenes, a félsík és a féltér által képzett alakzat hármast egy térbeli zászlónak mondjuk. Megjegyzés. A fenti definíció szerint a térbeli zászló egy félegyenesből, egy félsíkból és egy féltérből álló hármas, ahol a félegyenest tartalmazó egyenes azonos a félsík határegyenesével, és a félsíkot tartalmazó sík megegyezik a féltér határsíkjával. 7
11 A félegyenest a zászló rúdjának, a félsíkot pedig a zászló lapjának szokás nevezni. Megjegyzés. Legyenek adva az A, B, C, D pontok, amelyek nem komplanárisak. Ez a pontnégyes az alábbiak szerint meghatároz egy térbeli zászlót, melyet Z(A, B, C, D) fog jelölni. Vegyük az e = A,B egyenest, továbbá a σ = A,B,C síkot. Tekintsük az [A,B félegyenes, az [e,c félsík és a [σ,d féltér által alkotott zászlót. Az A, B, C, D pontnégyeshez rendeljük hozzá ezt a Z(A,B,C,D) térbeli zászlót. Célszerű talán megjegyezni, hogy fennáll Z(A, B, C, D) = ([A, B, [e, C, [σ, D ). Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy egy egybevágósági transzformáció félegyenest félegyenesbe, szakaszt szakaszba és síkot síkba képez. Ugyancsak evidens, hogy egy egybevágóság félsíkot félsíkba és félteret féltérbe visz. Ily módon azt nyerjük, hogy az egybevágósági transzformáció zászlót zászlóba képez. Az egybevágósági axióma A továbbiakban feltesszük, hogy teljesül az alábbi alapigazság is, melyet egybevágósági axiómának nevezünk. (EA) Ha adva van két térbeli zászló, akkor egyértelműen létezik egy olyan egybevágósági transzformáció, amely az első térbeli zászlót a második zászlóba viszi. Megjegyzés. A fenti (EA) axióma azt mondja ki, hogy ha adva vannak a Z 1, Z 2 térbeli zászlók, akkor pontosan egy olyan ϕ : X X egybevágóság létezik, amelyre igaz ϕ(z 1 ) = Z 2. Megjegyzés. Az axiómából már következik, hogy amennyiben egy egybevágóságnál van olyan zászló, amelynek a képe önmaga, akkor a tekintett egybevágóság megegyezik az id identikus leképezéssel. Megjegyzés. Legyenek adva a ϕ 1, ϕ 2 egybevágósági transzformációk. A szokásoknak megfelelően ϕ 2 ϕ 1 fogja jelölni azt a leképezést, amelyet a két egybevágóság egymás után történő végrehajtásával (vagyis azok szorzataként) nyerünk. Nyilvánvaló, hogy a ϕ 2 ϕ 1 szorzat leképezés is egy egybevágóság. A centrális tükrözés Definíció. Legyen adva a térben egy O pont. A térnek az O pontra történő tükrözésén azt a τ : X X leképezést értjük, ahol fennáll τ(o) = O és egy O tól különböző P pont τ(p) képét az alábbi feltételek határozzák meg. (1) A P, O, τ(p) pontok kollineárisak és fennáll d(o, P) = d(o, τ(p)). (2) Az O pont a P és τ(p) pontok között van. Megjegyzés. Az eőző definícióban leírt τ leképezést szokás nevezni centrális tükrözésnek is. Ekkor az O pontot mondjuk a tükrözés centrumának. Megjegyzés. Egy adott AB szakasz azon F pontját, amelyre AF = FB teljesül, a szakasz felezőpontjának mondjuk. Az Definícióban szereplő két feltétel egyenértékű azzal, hogy a pontra tükrözés O centruma felezőpontja a Pτ(P) szakasznak tetszőleges P X pont esetén. 8
12 Az alábbiak során azt fogjuk bizonyítani, hogy a centrális tükrözés egy egybevágóság Állítás. Legyenek adva a térben az O, B, C, D nem komplanáris pontok. Vegyük azon B x, C x és D x pontokat, amelyekre teljesül, hogy az O felezőpontja a BB x, CC x és DD x szakaszoknak. Ez esetben azon egybevágósági transzformáció, amely a Z(O,B,C,D) zászlót a Z(O,B x,c x,d x ) zászlóba viszi, megyegyezik az O pontra történő tükrözéssel. Tekintsük az e = O,B egyenest és az O, B, C pontokhoz illeszkedő σ síkot. Jelölje ϕ azt az egybevágóságot, amely a Z(O,B,C,D) zászlót a Z(O,B x,c x,d x ) zászlóba viszi. Ily módon ϕ re fennáll ϕ([o,b ) = [O,B x, ϕ([e,c ) = [e,c x és ϕ([σ,d ) = [σ,d x. Nem nehéz belátni, hogy mivel a ϕ egy bijektív leképezés, ϕ nek az O pont az egyedüli fixpontja. Az egybevágóság egyenestartó tulajdonságát felhasználva könnyű igazolni, hogy ϕ(e) = e és ϕ(σ) = σ teljesül. Ez alapján pedig azt kapjuk, hogy fennáll ϕ([o,b x ) = [O,B, ϕ([e,c x ) = [e,c és ϕ([σ,d x ) = [σ,d. Ebből az következik, hogy a ϕ kétszeri végrehajtásával kapott ϕ ϕ egybevágóság a Z(O, B, C, D) zászlót önmagába viszi. Ily módon ϕ ϕ megegyezik az id identikus leképezéssel. Vegyünk a térben egy az O tól különböző P pontot és annak a ϕ egybevágóság szerinti P = ϕ(p) képét. Mivel igaz ϕ ϕ = id, így fennáll ϕ(p ) = P. Ezek szerint ϕ felcseréli a PP szakasz végpontjait. Ebből viszont az következik, hogy a ϕ fixen hagyja a PP szakasz felezőpontját. Mivel ϕ nek az O pont az egyedüli fixpontja, az O pont felezi a PP szakaszt. Ily módon beláttuk, hogy a P = ϕ(p) pont azonos P nek az O ra vonatkozó tükörképével. Ez viszont azt eredményezi, hogy a ϕ egybevágóság megyegyezik az O pontra történő tükrözéssel. A fenti állítás szerint igaz az alábbi kijelentés Következmény. A pontra tükrözés egy egybevágósági transzformáció. Az ekvivalenciareláció Tekintsünk egy nemüres H halmazt és annak az önmagával vett H H = { (a,b) a, b H } Descartes szorzatát. A H halmazon vett reláción ezen H H szorzatnak egy R részhalmazát értjük. Tegyük fel, hogy adva van a H halmazon egy R reláció. Ez esetben azt mondjuk, hogy R szerint az a elem relációban van a b elemmel, amennyiben fennáll (a,b) R. Ezt a kapcsolatot a két elem között az a R b kifejezéssel jelöljük Definíció. Legyen adva egy R reláció egy H halmazon. Az R et ekvivalenciarelációnak mondjuk, ha teljesül az alábbi három feltétel: (1) Tetszőleges a H elem esetén igaz (a, a) R. (2) Ha valamely a, b H elemekkel fennáll (a, b) R, akkor (b, a) R. (3) Amennyiben valamely a, b, c H elemekre igaz (a,b) R és (b,c) R, akkor (a,c) R is teljesül. Megjegyzés. A fenti definícióban szereplő három feltétel szerint az R ekvivalenciareláció egy olyan kapcsolatot hoz létre a H elemei között, amely reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Megjegyzés. Egy adott halmaz diszjunkt részhalmazokra való felbontását osztályozásnak szokták nevezni. 9
13 Legyen adva egy H halmazon egy R ekvivalenciareláció. Ekkor az a elem által reprezentált R szerinti ekvivalenciaosztályon a H halmaz R(a) = {b H (a,b) R } részhalmazát értjük. Könnyű belátni, hogy a H halmaz bármely eleme pontosan egy ekvivalencia osztályhoz tartozik. Ily módon az R meghatározza a H halmaznak egy felbontását diszjunkt részhalmazokra. Az alakzatok egybevágósága Definíció. Legyenek adva a térbeli A, B alakzatok. Ezeket egymással egybevágóknak mondjuk, ha van olyan ϕ egybevágósági transzformáció, amelyre fennáll ϕ(a) = B. Megjegyzés. Amennyiben az A, B alakzatok egybevágóak, azaz van olyan egybevágóság, amely az A t a B be képezi, akkor ezt a kapcsolatot (más szóval relációt) az A B kifejezéssel fogjuk jelölni. Nem nehéz belátni, hogy az egybevágóság egy ekvivalenciarelációt ad a térbeli alakzatok halmazán. Megjegyzés. Nyilvánvaló az (EA) axióma alapján, hogy bármely két egyenes és bármely két sík egymással egybevágó alakzatok. Két szakasz pedig pontosan akkor egybevágó, ha a hosszaik egyenlőek. A szögtartományok összehasonlítása Számunkra igen fontosak a konvex szögek egybevágóságával kapcsolatos összefüggések. Jelölje most H az összes szögtartomány halmazát. Mivel az egybevágóság egy ekvivalenciarelációt ad a szögek halmazán, így egy osztályozást kapunk ezen a H halmazon. Amennyiben két szögtartomány egybevágó egymással, akkor az egyszerűség kedvéért azokat egymással egyenlőeknek is mondjuk. Valamely A 1 O 1 B 1 és A 2 O 2 B 2 konvex szögek egybevágóságát az A 1 O 1 B 1 A 2 O 2 B 2 kifejezés helyett inkább az A 1 O 1 B 1 = A 2 O 2 B 2 alakban jelöljük. Az (EA) egybevágósági axióma alapján igazolni lehet a következő kijelentést. Ha adva van két (egymástól különböző) konvex szög, amelyek csúcsa azonos és az egyik szög tartalmazza a másikat, akkor a két szög nem lehet egybevágó. Az alábbi állítás azt mondja ki, hogy egy konvex szöget egyértelműen lehet felmérni egy félsíkra, ha a félsík határegyenesén már adva van az egyik szögszár Állítás. Legyen adva egy AOB konvex szög, továbbá egy félsík és annak határán egy [Q, P félegyenes. Ekkor a félsíkban pontosan egy olyan szög van, amely egybevágó az AOB szöggel és amelynek egyik szára megegyezik a [Q,P félegyenessel. A fenti állítás alapján már lehetőség van két egymással nem egybevágó (vagy más szóval nem egyenlő) konvex szög összehasonlítására is Definíció. Legyen adva két szög A 1 O 1 B 1 és A 2 O 2 B 2, amelyek nem egybevágóak. Tekintsük az a 1 = O 1,A 1 egyenest, továbbá az [a 1,B 1 félsíkban azt az [O 1,C 1 félegyenest, amelyre igaz az, hogy az A 1 O 1 C 1 szög egybevágó az A 2 O 2 B 2 szöggel. Azt mondjuk, hogy az A 1 O 1 B 1 szög nagyobb az A 2 O 2 B 2 szögnél, ha az A 1 O 1 B 1 szögtartomány tartalmazza az A 1 O 1 C 1 szöget. 10
14 2. ábra. Szög felmérése adott szárhoz egy félsíkban. Ellenkező esetben, amikor az A 1 O 1 C 1 szögtartomány tartalmazza az A 1 O 1 B 1 szöget, azt mondjuk, hogy az A 1 O 1 B 1 szög kisebb az A 2 O 2 B 2 szögnél. A derékszög értelmezése Definíció. Legyen adott egy AOB konvex szög. A szárakat tartalmazó egyeneseken vegyünk olyan A x és B x pontokat, amelyeknél az O csúcspont elválasztja az A pontot az A x ponttól és a B pontot a B x ponttól. Ez esetben az AOB x és BOA x szögeket az AOB mellékszögeinek mondjuk. Megjegyzés. Mivel a centrális tükrözés egy egybevágósági transzformáció, bármely konvex szög mellékszögei egybevágóak egymással. Felvetődik a kérdés, hogy van e olyan szög, amely egyenlő a mellékszögeivel. Erre ad választ az alábbi állítás Állítás. Legyen adott egy félsík és annak határán egy [O, A félegyenes. A félsíkban pontosan egy olyan konvex szög van, amelynek egyik szára megegyezik az [O,A félegyenessel és amely egybevágó a mellékszögeivel. Vegyük az e = O,A egyenest és azon egy olyan B pontot, amelyet az O pont elválaszt az A tól. Legyen C egy olyan pontja az adott félsíknak, amely nincs rajta az e n, és válasszunk a térben egy D pontot, amely nem illeszkedik a σ = e,c síkra. Tekintsük a Z(O,A,C,D) és Z(O,B,C,D) térbeli zászlókat. Az (EA) axióma szerint egyértelműen létezik egy olyan τ : X X egybevágóság, amely az első zászlót a másodikba viszi. Vegyük észre, hogy a τ τ egybevágóság, amelyet a τ kétszeri végrehajtásával nyerünk, a Z(O,A,C,D) zászlót önmagába képezi. Ily módon fennáll τ τ = id. Ennek következtében az E = τ(c) pontra igaz τ(e) = C. Mivel τ önmagába képezi a CE szakaszt, ezen szakasz F felezőpontja fixpontja τ nak, vagyis τ(f) = F. Az O,F egyenesnek tehát van két olyan pontja, amelyet τ fixen hagy. Ebből pedig adódik, hogy τ az O,F egyenes összes pontját fixen hagyja. Tekintsük az AOF, BOF konvex szögeket. A τ egybevágósági transzformáció az [O,A, [O,B félegyeneseket felcseréli és fixen hagyja az [O,F félegyenest. A τ egybevágóság eszerint az AOF szöget a BOF szögbe képezi. Ily módon azt kaptuk, hogy az AOF szög egybevágó a BOF mellékszöggel. 11
15 1.23. Definíció. Egy konvex szöget derékszögnek nevezünk, ha az egybevágó (vagy más szóval egyenlő) a mellékszögeivel. Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy bármely két derékszög egybevágó egymással. A továbbiakban a derékszögnél kisebb konvex szöget hegyesszögnek, a derékszögnél nagyobb konvex szöget pedig tompaszögnek nevezzük. A háromszögek egybevágóságával kapcsolatos alapvető összefüggések Mint abban megállapodtunk, egy ABC háromszög esetében az a = BC, b = CA, c = AB jelölik az oldalak hosszait és α, β, γ a háromszög szögeit. Legyenek adva az A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2 háromszögek. Ha van olyan ϕ egybevágóság, amelyre fennáll ϕ(a 1 ) = A 2, ϕ(b 1 ) = B 2 és ϕ(c 1 ) = C 2, akkor evidens, hogy ϕ az első háromszöget a másodikba viszi, tehát a két háromszög egybevágó. Ez esetben a háromszögek megfelelő oldalai és szögei páronként egyenlőek, tehát teljesül a 1 = a 2, b 1 = b 2, c 1 = c 2 és α 1 = α 1, β 1 = β 2, γ 1 = γ 2. A következő tétel arra mutat rá, hogy bizonyos esetekben a két háromszög egybevágóságához már három geometriai adat megegyezése is elegendő Tétel. Legyen adott két háromszög A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2. Létezik olyan egybevágóság, amely az A 1 pontot A 2 be, a B 1 pontot B 2 be és a C 1 pontot C 2 be viszi, amennyiben az alábbi két feltételrendszer közül legalább az egyik teljesül: (1) A 1 B 1 = A 2 B 2, A 1 C 1 = A 2 C 2 és α 1 = α 2. (2) A 1 B 1 = A 2 B 2, α 1 = α 2 és β 1 = β 2. Az A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 háromszögeket tartalmazó síkokat jelölje σ 1 és σ 2. Vegyünk olyan D 1, D 2 pontokat, amelyek nincsenek rajta a σ 1, σ 2 síkokon. Tekintsük azt a ϕ : X X egybevágóságot, amely a Z(A 1,B 1,C 1,D 1 ) térbeli zászlót a Z(A 2,B 2,C 2,D 2 ) zászlóba viszi. (1) Tegyük fel, hogy fennáll A 1 B 1 = A 2 B 2, A 1 C 1 = A 2 C 2 és α 1 = α 2. Mivel igaz ϕ([a 1,B 1 ) = [A 2,B 2, azonnal adódik, hogy ϕ(a 1 ) = A 2 és ϕ(b 1 ) = B 2 teljesül. A ϕ([ A 1,B 1,C 1 ) = [ A 2,B 2,C 2 és α 1 = α 2 egyenlőségekből pedig az 1.3. Állítás alapján következik, hogy igaz ϕ([a 1,C 1 ) = [A 2,C 2. Figyelembe véve, hogy ϕ megőrzi a pontok távolságát, ebből már adódik a ϕ(c 1 ) = C 2 összefüggés. (2) Tegyük fel most azt, hogy teljesül A 1 B 1 = A 2 B 2, α 1 = α 2 és β 1 = β 2. Ekkor a fenti ϕ egybevágóságnál igaz ϕ(a 1 ) = A 2 és ϕ(b 1 ) = B 2. Az 1.3. Állításból következik, hogy ϕ az [A 1,C 1, [B 1,C 1 félegyeneseket az [A 2,C 2, [B 2,C 2 félegyenesekbe képezi. Ily módon az [A 1,C 1, [B 1,C 1 félegyenesek C 1 metszéspontjának ϕ szerinti képe megegyezik a másik két félegyenes metszéspontjával, vagyis fennáll ϕ(c 1 ) = C 2. Állapodjunk meg a következőben. A későbbiek során az A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 kifejezés nemcsak azt jelenti, hogy a két háromszög egybevágó, hanem egyúttal azt is, hogy van olyan ϕ egybevágósági transzformáció, amellyel fennáll ϕ(a 1 ) = A 2, ϕ(b 1 ) = B 2 és ϕ(c 1 ) = C 2. Egy háromszöget egyenlő szárúnak mondunk, ha van két olyan oldala, amelyek egyenlő hosszúságúak. 12
16 1.5. Állítás. Egy ABC háromszögben fennáll a = b akkor és csak akkor, ha igaz α = β. Tekintsünk egy ABC háromszöget. Az 1.1. Tételt felhasználva nem nehéz belátni, hogy amennyiben a háromszögben fennáll CB = CA vagy α = β, akkor mindkét esetben van olyan ϕ egybevágóság, amely fixen hagyja a C pontot felcseréli az A, B csúcspontokat, vagyis a ϕ vel fennáll ϕ(a) = B és ϕ(b) = A. Ebből pedig már adódik, hogy amennyiben az a = b, α = β egyenlőségek közül az egyik teljesül, akkor teljesül a másik is. A szögtartomány mértéke Definíció. Legyen adva egy AOB szögtartomány és annak egy C belső pontja. Az [O, C félegyenest az AOB szögfelezőjének mondjuk, ha az AOC és COB szögek egybevágóak (vagy más szóval egyenlőek). Ha az [O,C félegyenes felezi az AOB szöget, akkor a konvex AOC, COB szögeket egyaránt az AOB szög felének mondjuk Állítás. Tetszőleges konvex szögnek pontosan egy szögfelezője van. Tekintsünk egy konvex szöget, amelynek csúcsát jelölje O. A szög szárain vegyünk fel egy A és egy B pontot oly módon, hogy azok O tól egyazon távolságra legyenek. Az OA = OB egyenlőség miatt az 1.5. Állítás szerint fennáll OBA = OAB. Legyen F az AB szakasz felezőpontja, tehát a szakasz azon pontja, amelyre igaz AF = BF. Vegyük észre, hogy az AOF és BOF háromszögekre teljesül az 1.1. Tételben szereplő (1) feltétel rendszer. Ily módon azt kapjuk, hogy az AOF és AOF háromszögek egybevágóak, tehát az AOF és BOF szögek egyenlőek. Ebből következik, hogy az [O,F félegyenes felezi az AOB szöget. 3. ábra. A szögfelező konstrukciója. Hátramaradt még annak igazolása, hogy csak egy szögfelező van. Tegyük fel, hogy az [O, C félegyenes szögfelezője az AOB szögnek. Az [O, C félegyenes messe el az AB szakaszt az F pontban. Az egyértelműséghez csak azt kell belátnunk, hogy ez az F metszéspont felezi az AB szakaszt. 13
17 Mivel fennáll OA = OB, AOF = BOF és OAF = OBF, így az OAF és OBF háromszögekre teljesül az 1.1. Tétel (2) feltétel rendszere. Ebből következik, hogy van olyan ϕ egybevágóság, amely fixen hagyja az O, F pontokat és az A pontot a B be viszi. ϕ megőrzi a pontok távolságát, ezért fennáll FA = FB, vagyis F felezőpontja az AB szakasznak. A szögfelező egyértelmű létezése is felhasználásra kerül az alábbi alapvető tétel igazolásában. A hosszadalmas bizonyítást itt nem közöljük Tétel. Legyen H az összes szögtartomány halmaza. A H halmazon egyértelműen létezik egy olyan µ : H R függvény, amelyre teljesülnek az alábbi feltételek: (1) Tetszőleges S H ra igaz µ(s) 0. (2) Ha S 1 és S 2 egymással egybevágó szögek, akkor fennáll µ(s 1 ) = µ(s 2 ). (3) Amennyiben az S szöget egy a csúcspontjából kiinduló, az S által tartalmazott félegyenessel felbontjuk az S 1 és S 2 szögtartományokra, akkor fennáll µ(s) = µ(s 1 ) + µ(s 2 ). (4) Ha az S szögtartomány egy derékszög, akkor µ(s) = Definíció. Tetszőleges S szög esetén a µ(s) számot az S szög mértékének mondjuk. Megjegyzés. Tekintsünk két olyan szöget, amelyek nem egybevágóak. Az 1.2. Tételben szereplő feltételekből adódik, hogy ekkor a nagyobb szög mértéke nagyobb a másik szög mértékénél. A szögek mérésére szolgáló µ függvény normálására a (4) feltétel szolgál. Mivel a derékszögek mértékéül a 90 számot választottuk, azt mondjuk, hogy a szögeket most fokban mérjük. Megjegyzés. Mivel két szög pontosan akkor egybevágó, ha a mértékük egyenlő, a későbbiek során a szögön nemcsak egy konkrét szögtartományt értünk, hanem annak mértékét is. Állapodjunk meg még abban, hogy a továbbiakban az AOB szimbólum nemcsak a konvex szöget, hanem annak a mértékét is jelölni fogja. A háromszögben az oldalak és a szögek összehasonlítása Definíció. Egy háromszögnél a csúcsokhoz tartozó szögek mellékszögeit a háromszög külső szögeinek mondjuk Állítás. A háromszög bármely külső szöge nagyobb a háromszög nem mellette fekvő szögeinél. Vegyünk egy ABC háromszöget. Megmutatjuk, hogy az A csúcsnál lévő α szög kisebb a C csúcsnál lévő külső szögeknél. Legyen D egy olyan pont a B,C egyenesen, amelyre igaz az, hogy a C pont a B, D pontok között van. Ekkor az ACD egy külső szög a C csúcsban. Legyen F az AC szakasz felezőpontja. Tekintsük azt a τ centrális tükrözést, amelynek centruma az F pont. Ez a tükrözés felcseréli az A, C pontokat és a B pontot a B = τ(b) pontba viszi. Könnyű belátni, hogy a B pont benne van a ACD szög belsejében. Mivel a τ egy egybevágóság, a CAB szög egyenlő az ACB szöggel. Az ACD külső szög azonban tartalmazza az ACB szöget. Ily módon azt kapjuk, hogy az ACD szög nagyobb a ACB szögnél, tehát nagyobb az α szögnél is. 14
18 4. ábra. Illusztráció az 1.7. Állítás bizonyításához. Az előbbi állításból azonnal adódik az alábbi eredmény Következmény. Bármely háromszögben legalább két hegyesszög van. A következő állítás azt mondja ki, hogy amennyiben a tekintett háromszög nem egyenlő szárú, akkor a háromszögben a hosszabb oldallal szemközti szög a nagyobb Állítás. Egy ABC háromszögben fennáll a < b akkor és csak akkor, ha igaz α < β. Tegyük fel, hogy az ABC háromszögben teljesül a < b, vagyis BC < AC. A CA oldalon vegyük azt a D vel jelölt pontot, amelyre fennáll CD = CB. Mivel a DBC háromszög egyenlő szárú, az 1.5. Állítás szerint igaz DBC = CDB. A CDB egy külső szöge az ABD háromszögnek, így az A csúcsnál lévő CAB szög kisebb a CDB szögnél, tehát kisebb a DBC szögnél is. Mivel a DBC szöget tartalmazza az ABC szög, azt kaptuk, hogy az α = CAB szög kisebb a β = ABC szögnél. 5. ábra. Illusztráció az 1.8. Állítás bizonyításához. Induljunk most ki abból, hogy az ABC háromszögben az α szög kisebb a β szögnél. Ekkor az 1.5. Állításból adódik, hogy az a, b oldalak nem lehetnek egyenlőek. Ha feltesszük, hogy az a oldalhossz nagyobb a b oldalhossznál, akkor a fentiek szerint fennáll az α > β egyenlőtlenség, ami ellentmond az eredeti feltevésünknek. Ily módon azt kapjuk, hogy ez esetben a < b teljesül. A háromszög egyenlőtlenség igazolása Az alábbi tételben szereplő összefüggést szokás háromszög egyenlőtlenségnek nevezni Tétel. Bármely ABC háromszögben az oldalakra fennáll az a+b > c összefüggés. 15
19 6. ábra. Illusztráció az 1.3. Tétel bizonyításához. Az ABC háromszög A,C oldalegyenesén vegyük azt a D pontot, amely C től a távolságra van és amelyet a C pont elválaszt A tól. Eszerint igaz AD = a + b. A BDC háromszögben fennáll BC = DC. Ebből következik, hogy a CBD, CDB szögek egyenlőek. Tekintsük most az ABD háromszöget. Evidens, hogy ezen háromszögben a B csúcsnál lévő ABD szög nagyobb a D csúcsnál lévő ADB szögnél. Az előző állítás szerint emiatt az AD oldalhossz nagyobb AB nél. Ily módon azt kaptuk, hogy fennáll az a+b > c egyenlőtlenség. Megjegyzés. A fenti 1.3. Tétel azt mondja ki, hogy egy háromszögben két oldal hosszának az összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál. Ennek következtében, ha A, B és C nem kollineáris pontok, akkor igaz az AB+BC > AC összefüggés. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a fentiek szerint a d : X X R távolságfüggvényre vonatkozóan tetszőleges A, B, C pontok esetén fennáll a d(a, B) + d(b, C) d(a, C) egyenlőtlenség. Megjegyzés. Az 1.3. Tételt felhasználva már könnyű belátni, hogy ha egy háromszögben vesszük két oldal hosszának a különbségét, akkor az így nyert szám abszolút értéke kisebb a harmadik oldal hosszánál, tehát teljesül a b < c. A háromszög egyenlőtlenség ismeretében bizonyítani lehet az alábbi kijelentést is Tétel. A tér pontjainak X halmazán legyen adott egy olyan ϕ : X X leképezés, amely távolságtartó, azaz tetszőleges A, B X pontokra fennáll d(a, B) = d(ϕ(a), ϕ(b)). Ekkor ϕ egy egybevágósági transzformáció. Bizonyítás vázlata. A távolságtartásból adódik, hogy a ϕ leképezés kölcsönösen egyértelmű (vagy más szóval injektív). Az 1.3. Tételt alkalmazva igazolható, hogy a ϕ leképezés egyenest egyenesbe képez. Ezek alapján be lehet látni azt is, hogy ϕ egy bijektív leképezés. Ily módon ϕ eleget tesz az Definícióban szereplő feltételeknek. Egymásra merőleges egyenesek Definíció. Legyenek adva a g és h metsző egyenesek. Az általuk meghatározott síkot a g, h egyenesek felosztják négy olyan konvex szögtartományra, melyek szárai a 16
20 g, h egyenesekre esnek és közös csúcspontjuk a metszéspont. A két egyenes hajlásszögének mondjuk az így nyert szögek közül azokat (illetve azok mértékét), amelyek derékszögnél nem nagyobbak Definíció. Két metsző egyenesről azt mondjuk, hogy merőlegesek egymásra, ha a hajlásszögük derékszög. Az alábbiak során megmutatjuk, hogy ha egy síkban adva van egy egyenes és egy pont, akkor a síkban pontosan egy olyan egyenes van, amely átmegy az adott ponton és merőleges az adott egyenesre Tétel. Legyen adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedő P pont. Egyetlen olyan egyenes van, amely áthalad a P ponton és derékszögben metszi g t. A merőleges egyenes létezésének igazolása. Legyen σ az a sík, amely tartalmazza g t és a P pontot. Vegyünk a g egyenesen egy A pontot. Tegyük fel, hogy az A,P egyenes nem merőleges g re. Ekkor legyen B egy olyan pontja g nek, amelynél BAP egy hegyesszög. A g által határolt és a P t nem tartalmazó félsíkban, amely benne van σ ban, vegyük azt a szöget, amely egyenlő a BAP szöggel és amelynek egyik szára az [A, B félegyenes. Ezen BAC szögnek az [A, C szárán jelöljük ki azt az R pontot, amelyre fennáll AP = AR. Tekintsük az m = P,R egyenest és annak F metszéspontját g vel. Az AFP és AF R háromszögekben páronként egyenlőek az A csúcsot tartalmazó oldalak és az A csúcsnál lévő szögek. Az 1.1. Tétel következtében az AFP, AFR háromszögek egybevágóak, ezért az AFP, AFR szögek is egyenlőek. Mivel ezek egymás mellékszögei, AFP egy derékszög, vagyis az m = P,R egyenes merőleges g re. 7. ábra. Illusztráció az 1.5. Tétel bizonyításához. A merőleges egyenes egyértelműségének igazolása. Legyen adva egy a P n átmenő m egyenes, amely derékszögben metszi el g t. Jelölje F a g, m egyenesek metszéspontját. Vegyünk egy az m től különböző e egyenest, amely áthalad P n és elmetszi g t egy M pontban. Ekkor az FMP háromszögben az F csúcsnál lévő szög egy derékszög. Egy korábbi eredményünk, az 1.2. Következmény pedig kimondja, hogy bármely háromszögben legalább két hegyesszög van. Ily módon azt kapjuk, 17
21 hogy az FMP szög kisebb a derékszögnél, tehát az e egyenes nem lehet merőleges g re Definíció. Egy AB szakasz (A B) felezőmerőlegeseinek mondjuk azon egyeneseket, amelyek átmennek az AB szakasz felezőpontján és merőlegesek az A, B egyenesre Tétel. Egy σ síkban legyen adva két pont A és B. Legyen f az AB szakasz σ beli felezőmerőleges egyenese. Ekkor igazak az alábbi kijelentések. (1) Az f felezőmerőleges megegyezik a σ sík azon pontjainak halmazával, amelyek A tól és B től egyenlő távolságra vannak. (2) Ha egy σ beli P pont nincs rajta az f egyenesen és benne van az [f,a félsíkban, akkor fennáll AP < BP. Jelölje F az AB szakasz felezőpontját. Vegyünk az f felezőmerőlegesen egy az F től különböző C pontot. Tekintsük az F CA és F CB derékszögű háromszögeket. Ezeknél az FC oldal közös, továbbá fennáll FA = FB és AFC = BFC. Az 1.1. Tétel szerint van olyan egybevágóság, amely az F, C pontokat fixen hagyja és az A pontot B be viszi. Ily módon fennáll AC = BC. 8. ábra. A szakaszfelező merőleges. A σ síkban vegyünk most egy olyan P pontot, amely nincs rajta az f egyenesen és benne van az [f,a félsíkban. Mivel B és P az f által határolt más más σ beli félsíkban van, az f felezőmerőleges metszi a BP szakaszt egy M pontban. A fentiek alapján igaz AM = BM, tehát fennáll ABM = BAM. Mivel a BAM szög benne van a BAP szögben, azt kapjuk, hogy a BAP szög nagyobb az ABP szögnél. Tekintsük az ABP háromszöget. Mivel ebben az A csúcsnál lévő szög nagyobb a B csúcsnál lévő szögnél, az 1.8. Állítás szerint BP > AP teljesül. Az előbbi eredmény azt is igazolja, hogy ha egy σ beli pont nincs rajta az f felezőmerőlegesen, akkor az nem lehet egyenlő távolságra az A, B pontoktól. Háromszögekkel kapcsolatos további eredmények Az alábbi eredményt olló tételnek is szokás nevezni. Olyan háromszögekre vonatkozik, amelyek nem egybevágóak, de két két oldaluk páronként egyenlő. 18
22 1.7. Tétel. Legyen adva két háromszög A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2, amelyek oldalaira igaz b 1 = b 2 és c 1 = c 2. Amennyiben a háromszögek A 1 és A 2 csúcsokban vett szögeire fennáll α 1 < α 2, akkor teljesül az a 1 < a 2 összefüggés. Tegyük fel, hogy a szögekre fennáll az α 1 < α 2 egyenlőtlenség. 9. ábra. Illusztráció az 1.7. Tétel bizonyításához. Legyenek σ 1 és σ 2 az A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 háromszögeket tartalmazó síkok. Vegyünk olyan D 1, D 2 pontokat, amelyek nincsenek rajta a σ 1, σ 2 síkokon. Legyen ϕ : X X az az egybevágóság, amely a Z(A 1,B 1,C 1,D 1 ) térbeli zászlót a Z(A 2,B 2,C 2,D 2 ) zászlóba viszi. Tekintsük az A 1 = ϕ(a 1 ), B 1 = ϕ(b 1 ) és C 1 = ϕ(c 1 ) képpontokat. Evidens, hogy ekkor A 1 = A 2 és B 1 = B 2 teljesül, továbbá a C 1 pont benne van az e = A 2,B 2 egyenes által határolt [e,c 2 félsíkban. Mivel az α 1 = B 2 A 2 C 1 szög kisebb az α 2 szögnél, a C 1 pont benne van a B 2 A 2 C 2 szög belsejében. Eszerint a B 2 A 2 C 2 szög tartalmazza a C 1A 2 C 2 konvex szöget is. Vegyük a C 1C 2 szakasz F felezőpontját és f felezőmerőleges egyenesét. Az A 2 C 1 = A 2 C 2 egyenlőség következtében f áthalad az A 2 ponton és tartalmazza a C 1A 2 C 2 szög [A 2,F szögfelezőjét. Ily módon az f nek és a B 2 A 2 C 1 konvex szögnek A 2 az egyetlen közös pontja, tehát f nem metszi a B 2 C 1 szakaszt. Ez pedig azt jelenti, hogy B 2 benne van az [f,c 1 félsíkban. Az 1.6. Tételt alkalmazva azt kapjuk, hogy emiatt fennáll B 2 C 1 < B 2 C 2, vagyis teljesül a 1 < a 2. A következő tétel azt mondja ki, hogy amennyiben két háromszögben az oldalak páronként egyenlő hosszúak, akkor a két háromszög egybevágó Tétel. Legyen adva két háromszög A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2. Ha a háromszögek oldalaira fennáll a 1 = a 2, b 1 = b 2 és c 1 = c 2, akkor van olyan egybevágóság, amely az A 1 pontot A 2 be, a B 1 pontot B 2 be és a C 1 pontot C 2 be képezi. Tegyük fel, hogy a háromszögek oldalaira fennáll a 1 = a 2, b 1 = b 2 és c 1 = c 2. Tekintsük az α 1 = C 1 A 1 B 1, α 2 = C 2 A 2 B 2 szögeket. Vegyük észre, hogy az előző 1.7. Tétel következtében az α 1, α 2 szögek nem lehetnek különbözőek, tehát fennáll α 1 = α 2. Az 1.1. Tételt alkalmazva már adódik, hogy van olyan ϕ egybevágóság, amelyre teljesül ϕ(a 1 ) = A 2, ϕ(b 1 ) = B 2 és ϕ(c 1 ) = C 2. 19
23 A párhuzamossági probléma Azt fogjuk tárgyalni, hogy miként lehet két olyan egyenest találni, amelyek egyazon síkban vannak és nincs közös pontjuk Állítás. Legyen adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedő F pont. Tekintsük az F pontra történő tükrözést, amelyet jelöljünk τ val. Ekkor a τ(g) képegyenes benne van a g,f síkban és nincs közös pontja g vel. A τ centrális tükrözés a g,f síkot önmagába képezi, tehát a τ(g) = h képegyenes benne van ebben a síkban. Vegyünk egy A pontot, amely illeszkedik g re. Ezt a τ tükrözés vigye A t a P = τ(a) pontba. Vegyük észre, hogy a P képpont nem lehet rajta a g egyenesen, mivel az AP szakasz F felezőpontja nincs rajta g n. Ebből következik, hogy a g, h egyenesek különbözőek. Mint ismeretes a τ tükrözésre igaz τ τ = id, amiből következik, hogy teljesül τ(h) = g. 10. ábra. Az egyenes centrális tükörképe. Tételezzük fel, hogy a g, h egyeneseknek van egy M mel jelölt közös pontja. Evidens, hogy fennáll M F. Mivel τ egymásba képezi a g, h egyeneseket, az N = τ(m) képpont is közös pontja g nek és h nak. A τ centrális tükrözésnek F az egyedüli fixpontja, tehát M N. Eszerint a g, h egyeneseknek van két közös pontja, amiből az következik az (IA2) illeszkedési axióma alapján, hogy g = h. Ez viszont ellentmond azon korábbi megállapításunknak, hogy a g, h egyenesek különbözőek. Ily módon azt kapjuk, hogy a g, h = τ(g) egyeneseknek nem lehet közös pontja Tétel. Legyen adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedő P pont. Az általuk meghatározott síkban van egy olyan egyenes, amely áthalad a P ponton és nem metszi g t. Vegyünk a g egyenesen egy A pontot és az AP szakasz F felezőpontját. Tükrözzük a teret az F pontra. Nyilvánvaló, hogy ez a τ val jelölt centrális tükrözés az A pontot a P be viszi. Az előbbi 1.9. Állítás szerint a P ponton átmenő τ(g) képegyenes benne van a g,p síkban és nem metszi g t. A geometria klasszikus problémája. Jegyzetünkben a geometriai elmélethez eddig kilenc axiómát használtunk fel, nevezetesen az (IA1) (IA6) illeszkedési axiómákat és a (BVA), (PRA), (EA) axiómákat. A fejezetben szereplő összes állítást és tételt ezekből az axiómákból lehet levezetni. Felvetődik a kérdés, hogy ezen kilenc axiómából kiindulva vajon be lehet e bizonyítani az alábbi kijelentést, amely összhangban áll a szemléletünkkel. 20
Minden matematikai elmélet fogalmak és állítások gyűjteményeként fogható fel. Az
Az euklideszi geometria axiomatikus felépítése 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének alapelvei Minden matematikai elmélet fogalmak és állítások gyűjteményeként
RészletesebbenGEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
RészletesebbenGeometriai axiómarendszerek és modellek
Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének
RészletesebbenMTB1005 Geometria I előadásvázlat
MTB1005 Geometria I előadásvázlat Az abszolút geometria axiómarendszere 0. A geometria axiomatikus felépítéséről Egy axiómarendszer nem definiált alapfogalmakból és bizonyítás nélkül elfogadott állításokból
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
Részletesebben1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
RészletesebbenBevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenGeometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
Részletesebben10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
RészletesebbenPraktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter
Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 1 / 125 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenTrigonometrikus összefüggések a Cayley-Klein-modellben
Trigonometrikus összefüggések a Cayley-Klein-modellben Matematika BSc Szakdolgozat Készítette: Csákberényi-Nagy Erzsébet Matematika BSc, tanári szakirány Témavezető: Dr. Verhóczki László, egyetemi docens
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
Részletesebben1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik),
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Halmazok A halmaz a matematikában nem definiált fogalom. A halmazt alapfogalomnak tekintjük, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenSzög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:
Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
Részletesebben16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenA hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
Részletesebben4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
RészletesebbenGeometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
RészletesebbenAnalitikus geometria c. gyakorlat
matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges
Részletesebben18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
RészletesebbenA geometriai transzformációk tárgyalásának egy módja a tanárképzésben. doktori (PhD) értekezés. Krisztin Német István
A geometriai transzformációk tárgyalásának egy módja a tanárképzésben doktori (PhD) értekezés Krisztin Német István Debreceni Egyetem Természettudományi Kar Debrecen, 2007 Ezen értekezést a Debreceni Egyetem
RészletesebbenFejezetek az euklideszi geometriából
Fejezetek az euklideszi geometriából Ebben a fejezetben euklideszi térben dolgozunk: vagyis mindvégig feltételezzük, hogy érvényes az abszolút geometria axiómarendszere és az euklideszi párhuzamossági
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenGeometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21.
Geometria I. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006. április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 1 / 77 Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenA lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
RészletesebbenGeometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
RészletesebbenMatematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenA hiperbolikus sík Poincaré-féle körmodellje
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A hiperbolikus sík Poincaré-féle körmodellje Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Czapáry-Martincsevics Verhóczki László Máté András Matematika BSc
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenSíkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
RészletesebbenAz 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
RészletesebbenFeuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével
Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével Buzogány Ágota IV. Matematika-Angol Fejezetek a matematika tanításából Kovács Zoltán 2004-12-10 2 A Feuerbach körnek többféle elnevezése is van,
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenDobos Sándor és Hraskó András: Inverzió. Inverzió. 2. Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkeszd meg az adott pont adott
Inverzió 1. Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkeszd meg az adott pont adott körre vonatkozó inverz képét! 2. Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkeszd
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
Részletesebben