JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

Átírás

1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. A feladatok mellett található téglalapok közül az elsőben a feladatra adható pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. Kifogástalan megoldás esetén elég a megfelelő maximális pontszám beírása a téglalapokba. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. Tartalmi kérések: Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit és ennek alapján pontozzon. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. Elvi hiba esetén, egy gondolati egységen belül a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban az elhibázott részt egy újabb részkérdés követi, és a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot. Egy feladatra adott megoldások közül csak egy (a magasabb pontszámú) értékelhető. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. A vizsgadolgozat I. részében kitűzött feladatok esetében elég a helyes választ megadni, amennyiben a feladat szövege nem rendelkezik másképp. A javítás során azt az eredményt, illetve megoldást kell figyelembe venni, amit a vizsgázó az erre a célra szolgáló keretbe írt. Ha ott esetleges hibás megoldás áthúzása miatt nem maradt hely a vizsgázó által helyesnek ítélt válasz számára, akkor figyelembe vehető a kereten kívül szereplő helyes válasz is. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. Ha a pontozási útmutató a feladat ellenőrzéséért pontot ad, akkor az csak abban az esetben adható meg, ha a vizsgázó valamilyen formában írásban rögzíti az ellenőrzés tényét. (Itt minden elvileg helyes módszer elfogadható.) A középszintű vizsgafeladatsor II/B részében kitűzött feladat közül csak feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, melynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani, csak a többi feladatot. Ha ezen előírások alapján a javító számára nem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a nem értékelendő feladat automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz

2 I. 1. A = {1;;5;;9} B = {;;5;} Az elemek felsorolásáért nem jár pont. A B = {;5;} A\B = {1;9} Jó halmazábra is elfogadható. Összesen: pont Ha nem használja a halmazjelölést, csak felsorol, akkor is jár a pont.. a) hamis b) hamis Összesen: pont. X = X = 6. Összesen: pont Ha a helyes számok mellett rossz számjegyek is szerepelnek: 0 pont x = pont Levezetés nélkül is jár a pont. Összesen: pont 5. x 1 = x 1 ( x + 1) ( x 1) x 1 = A nevezetes azonosság felírásáért. = x + 1 A jó végeredményért. Összesen: pont 6. Az elnököt 10 tagból 10-féleképpen, a titkárt pedig 9 tagból 9-féleképpen lehet kiválasztani: Ha csak a végeredményt közli, akkor adható. Összesen: pont

3 . DE = a Ha a helyett BA szerepel, az is elfogadható. BK = a + b pont Összesen: pont 8. A lehetőségek: fff ; ffi; fif; iff; fii; ifi; iif ; iii. A nyolc közül csak három jó, ezért az esély. pont 8 Összesen: pont Ha csak a jó végeredményt írja fel, akkor is jár a pont. 9. x 1 = 15 x = 16 pont Ha az x = 16 egyenletig eljut. x = x = Összesen: pont Ha x = a végeredmény, azért pont adható. 10. a) x 5 pont Ha az egyenlőség nem szerepel, akkor adható. Összesen: pont b) x < 5 pont Ha az egyenlőséget is megengedi, akkor adható. Összesen: pont 11. É.T: [1; 5] pont É. K: [ ; ] pont Összesen: pont Ha valamelyik intervallum pontatlan, akkor arra a részre csak 1 pont jár.

4 II/A 1. pont Megfelelő rajz (kör; átmérő két végpontja és egy kerületi pont). Derékszögű háromszög. pont Thalész-tétel említése szövegben, vagy a derékszög jelölése a rajzon. ( r ) = pont Pitagorasz-tétel felírása. Ha a zárójel hiányzik, de úgy folytatja, mintha lenne, akkor csak pont jár. Ha a zárójel hiányzik, és e szerint is folytatja, akkor az egész feladatra maximum 8 pontot kaphat. r = r = 81 pont Egyenletrendezés. r = 10,5 r = 1,5 A sugár jó kiszámolása. Tehát a keresett sugár 1,5 méter. Szöveges válasz. Ha nem ír szöveges választ, de helyes eredményt ad meg mértékegységgel együtt, akkor is jár az. Összesen: 1 pont 5

5 1. a) Naponta 15 liter, ennek 0%-a: 15 liter 0, = 5,6 liter. A megtakarítás naponta: 5,6 liter 0,5 = 11, liter. Ha a mértékegységet nem írja ki 10 lakosra: 11, 10 liter. minden sorban, az is elfogadható. 1 év alatt: 11, liter = =, liter A megtakarítás:, m. Összesen: 6 pont b) 1. megoldás A megtakarítás %-ban kifejezve: 0, 0,5 = 0,05, azaz,5%. pont A mértékegységnek a végeredményben szerepelnie kell. Összesen: pont. megoldás Az éves összes vízfogyasztás: m = 5, m. A megtakarítás %-ban kifejezve:, m 5,58 10 m azaz,5%. = 0,05, Összesen: pont c) A lakossági megtakarítás naponta: 11, 10 liter = 11, 10 m. A lakossági megtakarítás értéke: 11, 10 m 10 Ft/m = Ft naponta. Normálalakban: 1, Ft. Összesen: pont 1. a) Az átlag: x + y = 6, 5. 5 x + y = 18,5. A módusz, ezért a legalább kétszer előfordul: az egyik szám ; a másik pedig 1,5 Összesen: 5 pont Ha az a) részben rossz eredményt kap, és ezzel jól számol a b) és a c) részben, akkor ezekre jár a, ill. pont. Bármilyen helyes gondolatmenettel kapott helyes eredményért 5 pont jár. 6

6 b) A medián:, mivel a ; ; ; ; 1,5 adatsorban a középső éppen. pont Összesen. pont c) ( 6,5 ) + ( 6,5 ) + ( 6,5 ) + ( 6,5 1,5) σ = pont 5 Az adathalmaz szórása:,. pont Összesen: pont Ha nem írja fel a képletet, hanem a számológép segítségével számol, akkor is jár a pont. II/B A feladatokból csak kettőt kellett megoldani, és csak kettő értékelhető. 15. a) A négyzetes gúla térfogata: V gúla T M a = = M 5 15 Vgúla = = 1,6 1 db gúla térfogata 1,6 cm. 100 db-ra elég a nyersanyag, azaz a nyersanyag térfogata: 1500 V 100 = 166,6 Tehát a nyersanyag térfogata 166,6 cm. pont Összesen: pont A gúla térfogatának kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges. 100 db térfogata. Ha nem ír szöveges választ, de helyes eredményt ad meg mértékegységgel együtt, akkor is jár az 1 pont.

7 a m b) A = a + Pitagorasz-tétel alkalmazása: m = 5 +,5 m = 5,59. A gúla oldalapjának magassága 5,59 cm. 5 5,59 A1 = 5 + = 80,9 pont Egy gúla felszíne: 80,9 cm. 100 gúla felszíne: A = 8090 cm = 100 = 0,809 m Költség = 100 A 100 = 90,8. Tehát a festés költsége 90,8 Ft. Összesen: pont c) A 100 gúla közül 95 hibátlan és 5 hibás. A kiválasztott 8 között nincs selejtes, tehát ezt a nyolcat a hibátlanok közül kell kiválasztani. 95 hibátlanból 8-at kell kiválasztani úgy, hogy a 95 gúlák sorrendje közömbös, ezért:. 8 pont Összesen: pont d) Ebben az esetben selejtest kell kiválasztani az 5 5 hibásból:,: 95 és 5 jót pedig a 95 hibátlanból: A kedvező lehetőség: Az összes lehetőség: A végeredmény: = Összesen: 5 pont Az oldallap magasságának kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges. Egy gúla felszínének kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges. 100 gúla felszíne m -ben megadva. A mértékegység megadása szükséges. Indoklás nélkül is elfogadható a jó eredmény. 8

8 16. x 6x+ 5 a) = Az exponenciális függvény monotonitása miatt: x 6x + 5 = x1 = 9 x = b) Tehát a számtani sorozatban a 1 = 9 és d = a1 + an a1 + S n = n = 18 + S5 = 5 S = 85 c) 5 n = 1 a1 + a Sn = = n 1 a n = ( n 1) + n 69 = 0 ( n 1) ( n 1) n =,5 Ez nem megoldása a feladatnak. Tehát az első 1 tag összege 69. n 1 + n Összesen: 5 pont d n pont Összesen: pont d n pont pont Összesen: 8 pont Ha azt mutatja meg, hogy ezek jó gyökök, de nem mutatja meg, hogy más megoldás nincs, akkor pont adható. Ha ezt nem írja fel külön, de jól alkalmazza, akkor is jár ez a pont. Nem szöveges válasz esetén is jár a pont. 9

9 1. 1. megoldás x + y x + y 0 = 0 ( 1) + ( y + ) = 5 x pont A kör egyenletének rendezéséért. K( 1; ) A középpont meghatározásáért összesen pont adható. a : x y = 0 n a ( ; ) Az a egyenes normálvektorának felírásáért. n f ( ;) Az f egyenes normálvektorának felírásáért. K( 1; ) f : x + y = Az f egyenes egyenletéért összesen pont adható. Az egyenes és a kör metszéspontja adja az érintési pontokat: x + y = x + y x + y 0 = 0 Az egyenletrendszer felírásáért. x x 8 = 0 vagy y + y 1 = 0 pont Valamelyik egyismeretlenes egyenletért. x 1 = x = A gyökök. y = 1 y = A másik két gyök. E 1 (- ; ) E ( ; -6) pont Az érintési pontok. Az érintők egyenlete: x y = 6 x y = 1 Összesen: 1 pont 0

10 . megoldás Az érintők párhuzamosak a megadott egyenessel, ezért paraméteres egyenletük: x y = c x c y = pont Az érintő paraméteres egyenletének felírásáért. x c x c x + x + 0 = 0 A kör egyenletébe való behelyettesítéséért. ( 6c + 16) x + c 16 0 = 0 5x + c pont A paraméteres másodfokú egyenlet rendezett alakjáért. Az egyenesnek és a körnek akkor van egy közös pontja, ha az egyenlet diszkriminánsa nulla. pont A feltétel megfogalmazása szövegben vagy jelöléssel. ( 6c + 16) 100( c 16 0) = 0 D = c pont A diszkrimináns felírásáért. c c 50 = 0 pont Másodfokú egyenlet rendezett alakjáért. c = 6 c 1 = 1 Az érintők egyenlete: x y = 6 x y = 1 Összesen: 1 pont 1