1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb."

Átírás

1 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k 1. (n k! Megjegyzés. 0! = 1 definíció szerint. 3! Példa. Az {a, b, c} halmaz elemeiből alkotott elemű sorozatok száma (3! = 3! 1! = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Ismétléses variáció. Egy n elemű halmazból képzett k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok tartalmazhatnak ismétlődést egyenlő ( n k. Példa. Az {a, b, c} halmaz elemeiből alkotott, ismétlődést is tartalmazható elemű sorozatok száma 3 = 9. Ezen sorozatok a következők: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc. Ismétlés nélküli kombináció. Egy n elemű halmaz k elemszámú részhalmazainak száma ( n n! n (n 1... (n k 1 (3 = =. k (n k! k! 1... k ( 3 Példa. Az {a, b, c} halmaz elemű részhalmazainak száma = 3. A két elemű részhalmazok a következők: {a, b}, {a, c}, {b, c}. A nulla elemű részhalmazok száma ( 3 0 = 1 és ez a halmaz az üres halmaz. Ismétléses kombináció. n fajta tárgyból (mindegyikből tetszőlegesen sok áll rendelkezésre k darabból álló csoportokat képezünk. Ezek száma: ( n k 1 (4. k Példa. Ha 3 fajta tárgyunk van, a, b, c, akkor a darabból álló csoportok száma ( 3 1 = = 6. Ezen csoportok a következők: (a, a, (a, b, (a, c, (b, b, (b, c, (c, c. ( 4 Ismétléses permutáció. k különböző fajta tárgyunk van. Az első fajtából van n 1, a másodikból n, és így tovább, a k-dik fajtából pedig n k darabunk van. Ezeket (5 (n 1... n k! n 1! n k! -féleképpen lehet sorba rakni (az azonos fajta tárgyakat nem különböztetjük meg. 1

2 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Példa. Van 3 fajta tárgyunk: a, b, c. Az a-ból van, a b-ből 1 és a c-ből szintén 1. Ezeket (11!! 1! 1! = 4!! = 1 módon lehet sorba rakni. Ezen sorozatok a következők: aabc, aacb, abac, abca, acab, acba, baac, baca, bcaa, caab, caba, cbaa. Permutációk. Feladatok megoldása 1. Egy összejövetelen 5 fiú és 5 lány vesz részt. A táncoló pároknak hányféle összetétele lehetséges, ha mindenki táncol, és a lányok egymással, illetve a fiúk egymással nem táncolnak? Megoldás. Egy táncoló felállást vagy párba állítás úgy kaphatunk, hogy minden tánc előtt a fiúkat sorbaállítjuk egy rögzített sorrend szerint, majd a lányokat valamilyen sorrendben a fiúk előtt felsorakoztatjuk. Mivel a fiúk sorrendje rögzített, ezért a lányok sorbarendezése meghatározza egyértelműen a párba állítást. Ezt pedig 5! = 10-féleképpen tudjuk megtenni.. Néhány golyót 70-féleképpen rakhatunk sorba. Hány golyónk lehet, ha mindegyik különböző színű? Megoldás. Tegyük fel, hogy n darab golyónk van, ami mind különböző színű. Ezt n! módon tudjuk sorbarakni. Ha kezdjük felírni az n! értékeit különböző n-ekre (1! = 1,! =, 3! = 6, 4! = 4, 5! = 10, 6! = 70, akkor azt kapjuk, hogy n = Adott két halmaz, A = {1,, 3, 4, 5, 6}, B = {a, b, c, d, e, f}. Hány olyan függvény van, amely az A halmaz elemeihez a B halmaz elemeit kölcsönösen egyértelműen rendeli hozzá? Megoldás. Egy f : {1,, 3, 4, 5, 6} {a, b, c, d, e, f} függvényt leírhatunk mint egy táblázatot: ( f(1 f( f(3 f(4 f(5 f(6 Az f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha az f(1,..., f(6 között a B = {a, b, c, d, e, f} halmaz minden eleme pontosan egyszer szerepel. Így minden kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést megkapunk, ha a fenti táblázat alsó sorába beírjuk a B elemeit valamilyen sorrendben. Ezt pedig 6! = 70-féleképpen tehetjük meg. 4. Hány szám készíthető az alábbi számjegyekből? (Minden megadott számjegyet fel kell használni. a 1, 1,,, 3, 4, b 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Megoldás. a Az (5-ös képlet alapján (11!!! 1! 1 = 6!!! = 180 hatszámjegyú szám alkotható az 1, 1,,, 3, 4 számjegyek felhasználásával. b Az (5-ös képlet alapján (43! 4! 3! = 7! 4! 3! = 35 hétszámjegyú szám alkotható négy 4-es és három 5-ös felhasználásával. 5. Egy dobozban 16 golyó van, közülük fehér, 4 piros és kék színű. Hányféle sorrendben húzhatjuk ki egymás után a 16 golyót, ha az egyszínűeket nem különböztetjük meg?

3 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI 3 Megoldás. Az (5-ös képlet alapján (4!! 4!! = féle sorrendben húzhatjuk ki egymás után a fehér, 4 piros és kék golyót. 6. Adott két halmaz, A = {1,, 3, 4, 5, 6}, B = {a, b, c}. Hány olyan A-t B-re képező függvény van, amely minden B-beli elemet pontosan kétszer vesz fel értékül? Megoldás. Az f : {1,, 3, 4, 5, 6} {a, b, c} függvény megadható az alábbi táblázattal: ( f(1 f( f(3 f(4 f(5 f(6 Azoknak az f-nek a számát akarjuk megkapni, melyek az a, b és c érték mindegyikét pontosan kétszer veszi fel, más szóval azokat a fenti táblázatokat, melyek alsó sorában pontosan két a, két b és két c van. Az alsó sort alkotó sorozatok száma a (5 alapján (!!!! = 90. Variációk. 7. Egy rejtvénypályázaton 5 különböző díjat sorsolnak ki a helyes megfejtést beküldők között. 78 jó megfejtés érkezik be. Hányféle eredményt hozhat a sorsolás? Megoldás. Rögzítsük, hogy az 5 díj közül, melyiket adjuk az első-, második-, harmadik-, negyedik-, illetve ötödikként kihúzott helyes beküldőnek. Így a 78 beküldőből képezett 5 hosszúságú sorozatok megadják a sorsolás eredményét. Ezen sorozatok száma az (1-es képlet 78! alapján (78 5! = 78! 73! = = Adott két halmaz, A = {1,, 3}, B = {a, b, c, d, e, f}. Hány olyan függvény van, amely az A halmaz elemeihez a B halmaz elemeiből kölcsönösen egyértelműen rendel hozzá hármat? Megoldás. Egy f : {1,, 3} {a, b, c, d, e, f} függvény leírható mint az ( 1 3. f(1 f( f(3 táblázat, ahol f(1, f(, f(3 B = {a, b, c, d, e, f}. Kölcsönösen egyértelmű f függvények esetén a táblázat alsó sorában a B halmaz 3 különböző eleme szerepel. Így a kölcsönösen egyértelmű függvények száma megegyezik a B halmaz elemeiből alkotott 3 hosszúságú sorozatok számával. Az (1-es képlet alapján ez egyenlő 6! (6 3! = 6! 3! = = 10-szal. 9. Hányféle kitöltött totószelvény van? (13 1 mérkőzés végeredményére tippelhetünk, mindegyik tipp lehet 1, vagy X. Megoldás. Egy totószelvény kitöltésénél az 1,, X felhasználásával 14 hosszúságú sorozatokat képezünk, melyben az 1,, X többször is előfordulhatnak. A (-es képlet alapján ezen sorozatok száma 3 14 = Adott két halmaz, A = {1,, 3, 4, 5, 6}, B = {a, b, c, d, e, f}. Hány olyan függvény van, amely az A halmaz elemeihez a B halmaz elemeit rendeli?

4 4 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Megoldás. Egy f : {1,, 3, 4, 5, 6} {a, b, c, d, e, f} függvényt megadhatunk egy ( f(1 f( f(3 f(4 f(5 f(6 táblázattal, ahol f(1, f(, f(3, f(4, f(5, f(6 B. Mivel nincs semmilyen kikötés az f függvényre, ezért a táblázat alsó sorában a B elemei többször is megismétlődhetnek. Így az f függvényt megadja a táblázat alsó sorába beírt 6 hosszúságú sorozat, melyet a B elemeiből képezünk és mely tartalmazhat ismétlődést. Ezen sorozatok száma B A = 6 6 = , ahol A és B a halmazok elemeinek számát jelöli. Kombinációk. 11. Egy 6 tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás ez összesen? Megoldás. Egy kézfogáshoz a 6 tagú társaságból egy két emberből álló csoportot választunk ki. Az ilyen csoportok száma a (-es képlet alapján ( 6 = 65 1 = személy egyszerre érkezik egy 6 személyes lifthez. Hányféleképpen választhatjuk ki közülük az első menet 6 utasát? Megoldás. Az első menethez a 1 személyből kiválasztunk egy 6 személyből álló csoportot, ezt pedig ( 1 6 = 94-féleképpen tehetjük meg termék között 4% selejtes. Hányféleképpen lehet terméket kiválasztani úgy, hogy a egy selejtes se legyen; b mind a selejtes legyen; c pontosan 5 selejtes legyen; d legfeljebb 3 selejtes legyen; e legyen köztük selejtes? (Visszatevés nélkül választunk, és a sorrendet nem vesszük figyelembe. Megoldás. Az 500 termék 4%-a 0, tehát 480 jó és 0 selejtes termék van. a Tulajdonképpen jó terméket kell kiválasztani a 480 jó közül, ezt pedig ( 480 féleképpen tehetjük meg. b Ebben az esetben terméket kell kiválasztani a 0 selejtes közül, és ezt ( 0 -féleképpen lehet megtenni. c Ebben az esetben pontosan 5 selejtes és 5 jó termék van a kiválasztott között. Ezt ( 480 ( 5 0 ( 5 -féleképpen lehet kiválasztani, mivel a 480 jó közül 5-öt 480 5, illetve 0 selejtes közül 5-öt ( 0 5 -féleképpen lehet kiválasztani. d terméket, amely között pontosan k {0, 1,,..., 9, } selejtes van ( 0 k ( 480 k - féleképpen lehet kiválasztani. Ha legfeljebb 3 selejtes termék lehet a kiválasztott között, akkor lehet olyan választás, amikor 0, 1,, illetve 3 selejtes termék van a között. Így terméket ( 0 0 ( 480 ( 0 1 ( ( 0 ( ( 0 3 ( 480 féleképpen lehet kiválasztani úgy, hogy legfeljebb csak 3 selejtes lehet közte. 7

5 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI 5 e Kétféleképpen is megközelíthetjük a problémát. Ha a kiválasztott között van selejtes, akkor van olyan választás, amikor pontosan 1,,..., 9, selejtes termék van a kiválasztottak között. Az előző ponthoz hasonlóan ezt ( ( ( ( ( ( ( 0 ( 480 féleképpen választhatjuk ki. Ugyanezt jóval egyszerűbben is kiszámolhatjuk, ha úgy nézzük, hogy kiválasztott termék közül nem lehet mind a jó. Tehát az összes kiválasztási lehetőség közül (500 termékből választunk -et kizárjuk azokat, amikor jót választunk (480 jóból kiválasztunk -et; ezt ( ( féleképpen tehetjük meg. 14. Hányféleképpen helyezhetünk el 5 levelet 16 levélszekrénybe, ha a levelek között nem teszünk különbséget, és egy rekeszbe a legfeljebb egy levelet, b több levelet is tehetünk? Megoldás. a Ha egy levélszekrénybe legfeljebb egy levelet teszünk, akkor a 16 levélszekrény közül tulajdonképpen kiválasztunk 5-öt, amelyekbe egy-egy levelet teszünk. Ezt ( féleképpen tehetjük meg. b Minden levél bedobásánál felírjuk a levélszekrény számát, ahova a levél került. Így 5 levél bedobása után 5 számot írtunk fel: a számok 1 és 16 között vannak, egy szám többször is szerepelhet (mivel egy levélszekrénybe több levelet is dobhatunk a számok sorrendje nem számít (mivel a levelek közt nem teszünk különbséget. A (4-es képlet alapján ( ( = 0 5 = féleképpen dobhatjuk be a leveleket. 0 Házi feladatok 15. Oldjuk meg az 13. feladatot úgy, hogy a kiválasztott terméket minden húzás után visszatesszük. Megoldás. Visszatevéses húzás esetén úgy lehet tekinteni, hogy van 480 fajta jó termék és 0 fajta selejtes, és mindegyikből korlátlan mennyiség áll rendelkezésre. a 480 fajta jó termékből választunk -et, egy fajtából akár többet is a visszatevés miatt. Ezt ( ( = 489 -féleképpen tehetjük meg a (4-es képlet alapján. b 0 fajta selejtes termékből választunk -et, egy fajtából többet is a visszatevés miatt; ezt ( 0 1 ( = 9 = féleképpen tehetjük meg. c 480 fajta jó termékből választunk 5-öt, illetve 0 selejtes fajtából szintén 5-öt (minden fajtából többet is választhatunk a visszatevés miatt. Így ( ( ( 5 5 = 484 ( féleképpen választhatjuk ki őket.

6 6 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI d Ha legfeljebb 3 selejtest választhatunk ki, akkor lehet olyan választás, amikor 0, 1, vagy 3 selejtes terméket választunk ki. Visszatevéssel ezt ( ( ( 0 1 = ( 19 0 ( ( ( 489 ( 0 1 ( ( ( ( ( 1 7 ( ( 3 ( 486 féle módon választhatjuk ki. e Ebben az esetben nem választhatunk a 480 fajta jó termék közül, ezért az összes választási lehetőségből levonjuk azokat a választásokat, amikor csak jó fajta terméket választunk: ( ( ( ( =. 16. Hányféleképpen tölthetünk ki egy totószelvényt ha 13 1 mérkőzésre tippelünk úgy, hogy 8 darab 1-es, darab X és 4 darab -es tipp legyen rajta? Megoldás. Az (5-ös képlet alapján 14! 8!! 4! = féleképpen tölthetjük ki a totószelvényt, ha nyolcszor 1-sel, kétszer X-szel, illetve négy alkalommal -essel tippelünk. 17. Hányféleképpen járhat 5 házaspár körtáncot, ha mindenki a házastársa kezét fogja? Megoldás. Először azt nézzük meg, hogy 5 párt hányféleképpen lehet körbe állítani, ha minden párt egy egységként tekintünk. Kiválasztunk egy párt, amihez képest viszonyítjuk a többi pár helyzetét az óramutató járásának megfelelő irányba haladva. Így tulajdonképpen 4 párt kell sorba rendezni; ezt 4! = 4-féleképpen lehet megtenni. Minden párban kétféle sorrend lehet: a férfi balján van a nő vagy a jobbján; ez további 5 választási lehetőséget jelent. Azt kapjuk, hogy összesen 4! 5 = 768-féle körtánc felállás lehetséges, ha mindenki fogja a házastársa kezét. 18. Tizenkét diák három csónakot bérel. Az egyik csónak 3 üléses, a másik 4, a harmadik pedig 5 üléses. a Hányféleképpen foglalhatnak helyet a csónakokban? b Hányféleképpen foglalhatnak helyet, ha két diák feltétlenül egy csónakba akar kerülni? Megoldás. a A 1 diákot felosztjuk három csoportra a csónakok kapacitása szerint. Az első csónakba ülőket ( ( 1 3 -féleképpen választhatjuk ki, a második csónakba kerülőket = ( 9 4 -féleképpen, míg a harmadik csónakba a megmaradt 5 diák ül (ez 1-féleképpen választható ki. Így a diákok ( ( = 1! 3! 9! 9! 4!5! = 1! 3! 4! 5! = 7 70-féleképpen foglalhatnak helyet a három csónakban. b Először azt a két diákot ültetjük be, akik egy csónakba akarnak kerülni. Három esetet különböztetünk meg. 7

7 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI 7 Ők ketten az első csónakba kerülnek. A fennmaradt diákot 3 = 1-es, 4-es és 5-ös csoportokra osztjuk a csónakokban maradt helyek száma szerint; ezt ( ( =! 1! 4! 5! = 1 60-féle módon tehetjük meg. Ők ketten a második csónakba ülnek. A többieket 3-as, -es és 5-es csoportokba osztjuk a megmaradt helyek szerint: ( ( 7 3 =! 3!!5! = 50-féleképpen oszthatjuk fel. Ők ketten a harmadik csónakba ülnek be. A többieket 3-as, 4-es és 3-as csoportokba osztjuk a fennmaradt helyek alapján: ( ( =! 3! 4! 3! = 4 00 ilyen felosztás van. Összegezve, az adott feltétel mellett a 1 diákot a 3 csónakba féle módon ültethetjük be.! 1! 4! 5!! 3!! 5!! 3! 4! 3! = Egy kockával háromszor dobunk egymás után. Hány olyan dobássorozat fordulhat elő, amelyben a 6-os dobás is szerepel? Megoldás. Kivonjuk az összes dobássorozat számából (6 3, azon dobássorozatok számát, amikor nem szerepel 6-os dobás (5 3. Így azt kapjuk, hogy = 91 olyan dobássorozat van, amikor szerepel 6-os dobás. 0. Hány olyan 6 jegyű szám van, a amelynek minden jegye különböző; b amelynek bármely két szomszédos jegye különböző; c amelyben pontosan darab 0 van; d amelyben van jegyismétlődés; e amelyben a jegyek szorzata -zel osztva 5 maradékot ad; f amelyben a jegyek összege -zel osztva 5 maradékot ad; g amelyben a jegyek összege páros? Megoldás. Feltesszük, hogy a hatjegyű szám kezdődhet 0-val. a Ebben az esetben a {0, 1,..., 8, 9} halmazból képezünk 6 elemű sorozatokat, melyek nem tartalmaznak ismétlődést;! 4! = ilyen sorozat van az (1-es képlet alapján. b Az A = a 1 a a 3 a 4 a 5 a 6 hatjegyű számsorozatnak megfeleltetjük az X = x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 szintén hatjegyű számsorozatot (a 1,..., a 6, x 1,..., x 6 {0, 1,..., 8, 9} a következőképpen x 1 = a 1, x 3 a 3 a (mod, x 5 a 5 a 4 (mod, x a a 1 (mod, x 4 a 4 a 3 (mod, x 6 a 6 a 5 (mod. Az X számsorozatból visszakapható az A a következőképpen: a 1 = x 1, a 4 x 1 x x 3 x 4 (mod, a x 1 x (mod, a 5 x 1 x x 3 x 4 x 5 (mod, a 3 x 1 x x 3 (mod, a 6 x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 (mod.

8 8 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Például, ha A = 74334, akkor X = Az A sorozatban pontosan akkor különbözők a szomszédos számjegyek, amikor az X sorozatban az x,..., x 6 közül egyik sem 0. Az ilyen X számsorozatok száma 9 5 = c Ha kiválaszottuk a két darab 0 helyét a hatjegyű számsorban ( ( 6 -féleképpen tehetjük meg, akkor a többi 4 helyre tetszőlegesen 1,,..., 9 írható (9 4 lehetőség. Tehát ( = olyan hatjegyű számsorozat van, amelyben pontosan két darab 0 szerepel. d Az összes lehetséges hatjegyű számsorozat számából ( 6 kivonjuk azoknak a számát, amelyek nem tartalmaznak jegyismétlődést, azaz amelyek minden számjegye különböző (! 4! = az a pont alapján, tehát = hatjegyű számsorozat van, amelyik tartalmaz jegyismétlődést. e Ebben az esetben a számjegyek között van 5-ös, de nincs 0-ás. Ezen hatjegyű számsorozatok száma egyenlő az összes hatjegyű számsorozat száma, mely nem tartalmaz 0-ást (9 6 mínusz azon hatjegyű számsorozatok száma, mely nem tartalmaz 0-ást és 5-öst (8 6, ami végül egyenlő = f Legyen A = a 1 a a 3 a 4 a 5 a 6 egy számsorozat úgy, hogy a 1... a 6 5 (mod, amiből adódik, hogy a 6 5 (a 1... a 5 (mod. Tehát az első öt számjegy meghatározza a hatodikat ebben az esetben. Így az ilyen A számsorozatok száma ugyanannyi, mint az ötjegyű számsorozatok száma, 5. g Jelölje S = {0, 1,..., 9} és legyen A = a 1 a a 3 a 4 a 5 a 6 egy hatjegyű számsorozat, melyre a 1... a 6 0 (mod. Így, ha a 1... a 5 páros, akkor a 6 is páros, azaz a 6 {0,, 4, 6, 8}. Ha a 1... a 5 páratlan, akkor a 6 is páratlan, azaz a 6 {1, 3, 5, 7, 9}. Mindkét esetben rögzített a 1,..., a 5 számjegyek esetén az a 6 -ot 5-féleképpen választható meg. Tehát a keresett A-k száma egyenlő {a 1,..., a 5 S a 1... a 5 páros} 5 {a 1,..., a 5 S a 1... a 5 páratlan} 5 = {a 1,..., a 5 S} 5 = Az 1,,..., 9 számokat sorba rendezzük. Hány esetben fordulhat elő, hogy az 1,, 3 számok a valamilyen sorrendben egymás mellé kerülnek; b növekvő sorrendben kerülnek egymás mellé; c egymáshoz képest (nem szükségképpen egymás mellett növekvő sorrendben helyezkednek el? Megoldás. a Először sorba rendezzük a 4, 5,..., 9 számokat (6! = 70-féleképpen lehet, sorba rendezzük az 1,, 3 számokat (3! = 6-féleképpen lehet, majd az utóbbi sorozatot egyben beszúrjuk az első sorozatba valahova (7 helyre szúrhatjuk be. Tehát összesen 6! 3! 7 = olyan sor van, ahol az 1,, 3 egymás mellett van valamilyen sorrendben. b Sorba rendezzük a 4, 5,..., 9 számokat (6! = 70-féleképpen lehet, majd beszúrjuk ebbe a sorba az 13 sorozatot egyben (és ugyanebben a sorrenben. Ez utóbbi sorozatot 7 helyre szúrhatjuk be. Így 6! 7 = olyan sorba rendezése van az 1,,..., 9 számoknak, ahol az 1,, 3 egymás után következik.

9 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI 9 c Kiválasztjuk azt a három helyet a kilencből, ahova az 1,, 3 kerül. Mivel az 1,, 3 egymáshoz viszonyított helyzete rögzített, ezért ( 9 3 = 84-féleképpen választható ki a három hely. A maradék hat helyre 6! = 70-féleképpen helyezhetjük el a 4, 5,..., 9 számokat. Azt kaptuk, hogy ( 9 3 6! = féleképpen rendezhetjük sorba a megadott feltétellel a számokat.. Egy 8 tagú sakkszakosztályban 4 jutalmat osztanak ki. Hányféleképpen történhet ez, ha a a jutalmak egyenlők. és egy tag legfeljebb egy jutalmat kaphat; b a jutalmak egyenlők, és egy tag több jutalmat is kaphat; c a jutalmak különbözők, és egy tag legfeljebb egy jutalmat kaphat; d a jutalmak különbözők, és egy tag több jutalmat is kaphat? Megoldás. a Ki kell választani azt a 4 tagot a 8 közül (a sorrend nem számít, mivel a jutalmak egyformák, aki egy-egy jutalmat kap. Őket ( 8 4 = féleképpen választhatjuk ki. b Ebben az esetben visszatevéssel húzunk ki 4-et a 8-ból. A sorrend most sem számít, mivel a jutalmak egyformák. Ekkor ( ( = 31 4 = féle sorsolási eredmény van a (4-es képlet alapján. c 4 tagot sorban húzunk ki a 8-ból (a sorrend számít, mert a jutalmak különbözők. Az (1-es képlet alapján 8! 4! = féleképpen húzhatjuk ki (nem visszatevéses sorsolás, mivel egy tag legfeljebb egy jutalmat kaphat. d Visszatevéssel sorsolunk, mert egy tag több jutalmat is kaphat, és a kihúzás sorrendje is számít, mivel a jutalmak különbözők. A (-es képlet alapján 8 4 = féle sorsolás lehetséges.

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

Kombinatorika gyakorló feladatok

Kombinatorika gyakorló feladatok Kombinatorika gyakorló feladatok Egyszerűbb gyakorló feladatok 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot

Részletesebben

Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.

Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. 9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2

Részletesebben

Permutáció (ismétlés nélküli)

Permutáció (ismétlés nélküli) Permutáció (ismétlés nélküli) Mi az az ismétlés nélküli permutáció?... 1. Három tanuló, András, Gábor és Róbert együtt mennek az iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Diszkrét matematika II. gyakorlat Diszkrét matematika II. gyakorlat Absztrakt algebra Bogya Norbert Bolyai Intézet 2014. április 23. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2014. április 23. 1 / 23 Tartalom 1 1.

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

46. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY NEGYEDIK OSZTÁLY

46. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY NEGYEDIK OSZTÁLY 6. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló Javítási útmutató NEGYEDIK OSZTÁLY 1. Írd be az 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 és 12 számokat a kis körökbe úgy, hogy a szomszédos számok különbsége

Részletesebben

7. témakör: kombinatorika. Kidolgozott feladatok:

7. témakör: kombinatorika. Kidolgozott feladatok: 7. témakör: kombinatorika Kidolgozott feladatok:.) A színházba egy fős baráti társaság jegyei egymás mellé szólnak. Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé? Hányféleképpen ülhetnek le akkor, ha András

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Kombinatorika A A B C A C A C B

Kombinatorika A A B C A C A C B . Egy ló, egy tehén, egy cica, egy nyúl és egy kakas megkéri a révészt, hogy vigye át őket a túlsó partra. Hányféle sorrendben szállíthatja át őket a révész, ha egyszerre vagy egy nagy testű állatot, vagy

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Feladatlap. a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006)

Feladatlap. a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006) Feladatlap a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006) 1) Karcsi januárban betegség miatt háromszor hiányzott az iskolából:12-én,14-én és 24-én. Milyen napra esett

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

SZIGETEK Néhány feladatcsoport a Lauder Javne Iskola negyedik osztályos tehetséggondozó szakköréből

SZIGETEK Néhány feladatcsoport a Lauder Javne Iskola negyedik osztályos tehetséggondozó szakköréből SZIGETEK Néhány feladatcsoport a Lauder Javne Iskola negyedik osztályos tehetséggondozó szakköréből Kósa Tamás Varga Tamás Napok 2013 1 Papír sziget Egy A4 es lapot félbetépünk kétszer, majd egy fecnit

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát!

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát! 1. témakör: HALMAZELMÉLET A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Halmazok: 8-9. oldal 1. Sorold fel az a b x y halmaz összes részhalmazát!. AdottU alaphalmaz, és annak két

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

71) A 32 lapos magyar kártyából kiosztunk 8 lapot. Hányféleképp lehet, hogy pontosan 3 hetes és 4 ász van közöttük? 72) A 32 lapos magyar kártyából

71) A 32 lapos magyar kártyából kiosztunk 8 lapot. Hányféleképp lehet, hogy pontosan 3 hetes és 4 ász van közöttük? 72) A 32 lapos magyar kártyából Permutációk: 1) Egy sakkverseny döntőjébe 6 játékos került be. Hányféleképp alakulhat a játékosok sorrendje, ha a döntőben mindenki azonos esélyekkel indul? 2) A Mekk Elek név betűiből hányféle (nem feltétlen

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

1. Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 14 B ) 20 C ) 21 D ) 24

1. Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 14 B ) 20 C ) 21 D ) 24 . Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 4 B ) 20 C ) 2 D ) 24 2. Mennyi az alábbi művelet eredménye? 2 + 2 =? 5 6 A ) B ) C ) D ) 0. Egy könyvszekrénynek három polca

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Kombinatorika. 1. Ismétlés nélküli permutáció

Kombinatorika. 1. Ismétlés nélküli permutáció Kombinatorika A kombinatorika keretén belül tanuljuk: ismétlés nélküli permutációk, ismétléses permutációk, ismétlés nélküli variációk, ismétléses variációk, ismétlés nélküli kombinációk, ismétléses kombinációk.

Részletesebben

Számlálási feladatok

Számlálási feladatok Számlálási feladatok Ezek olyan feladatok, amelyekben a kérdés az, hogy hány, vagy mennyi, de a választ nem tudjuk spontán módon megadni, csak számolással? ) Ha ma szombat van, milyen nap lesz 200 nap

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók

Részletesebben

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk?

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk? Valószínűségszámítás, gráfok, statisztika 1. Egy 660 fős iskola tanulóinak 60%-a lány. A lány tanulók 25%-a a 12. évfolyamra jár. Egy tetszőleges tanulót választva az iskola tanulói közül, mennyi a valószínűsége,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY 5. OSZTÁLY 1.) A páratlan számjegyek száma 5, közülük 1 db, illetve 3 db lehet a háromjegyű számunkban. Ha mindhárom számjegy páratlan, akkor az 5 lehetőségből választhatunk mindhárom helyiértékre. Így

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

2. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből hány háromjegyű szám készíthető, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek. És akkor, ha ismétlődhetnek?

2. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből hány háromjegyű szám készíthető, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek. És akkor, ha ismétlődhetnek? 1. A színházba egy 5 fős baráti társaság jegyei egymás mellé szólnak. Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé? Hányféleképpen ülhetnek le akkor, ha András és Bori mindenképp egymás mellett szeretne ülni?

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Felvételi tematika INFORMATIKA

Felvételi tematika INFORMATIKA Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 9-10. osztály 015. november 6. A feladatsort készítette: RÓKA SÁNDOR Lektorálta: DR. KISS GÉZA www.kockakobak.hu A válaszlapról másold ide az azonosítódat az eredmény

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY

MATEMATIKA VERSENY Vonyarcvashegyi Eötvös Károly Általános Iskola 2015. 8314 Vonyarcvashegy, Fő u. 84/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen, majd oldd meg a feladatokat! A részeredményeket

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly

A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly 5. osztály 1. A MATEK szó minden betűjének megfeleltetünk egy-egy számjegyet a következők szerint: M + A

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

2009. májusi matematika érettségi közép szint

2009. májusi matematika érettségi közép szint I 1.feladat Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 2 x 2 +13x +24=0 2.feladat Számítsa ki a 12 és 75 számok mértani közepét! 3.feladat Egy négytagú csoportban minden tagnak pontosan két

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HETEDIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Ki lehet-e tölteni a következő táblázat mezőit pozitív egész számokkal úgy, hogy

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

A biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével Abonyi-Tóth Zsolt, 2005-2006 készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Közgazdaságtani, módszertani és üzleti alapozó modul Gazdasági matematika 2. Valószínűségszámítás

Közgazdaságtani, módszertani és üzleti alapozó modul Gazdasági matematika 2. Valószínűségszámítás Gazdasági matematika 2: Valószínűségszámítás Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;.

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;. BEM JÓZSEF Jelszó:... VÁROSI MATEMATIKAVERSENY Teremszám:... 2010. december 7-8. Hely:... 8. OSZTÁLY Tiszta versenyidő: 90 perc. A feladatokat többször is olvasd el figyelmesen! A megoldás menetét, gondolataidat

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2?

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2? Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat A tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve)

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Kombinatorika 5. előadás SZTE Bolyai Intézet Szeged, 2016. március 1. 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát

Részletesebben

Varga Tamás Matematikaverseny Javítási útmutató Iskolai forduló 2016/ osztály

Varga Tamás Matematikaverseny Javítási útmutató Iskolai forduló 2016/ osztály 1. Az erdészet dolgozói pályázaton nyert facsemetékkel ültetnek be egy adott területet. Ha 450-et ültetnének hektáronként, akkor 380 facsemete kimaradna. Ha 640 facsemetével többet nyertek volna, akkor

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt:

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: A 13. Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: korcsoport (év) férfiak száma (ezer f ) n k száma

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben