Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis Gyakorlattámogató jegyzet"

Átírás

1 Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március.

2

3 Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Számsorozatok alaptulajdonságai 9.. Gyakorlat Mértani (geometriai) sorozatok Házi Feladatok Megoldások Nevezetes sorozatok 49.. Gyakorlat Nevezetes sorozatok Házi Feladatok Megoldások Határérték számítás I Gyakorlat Divergens sorozatok Határérték számítás a műveleti tulajdonságok alapján Házi Feladatok Megoldások Határérték számítás II Gyakorlat Határérték számítás a műveleti tulajdonságok alapján Sorozatok alsó- és felső határértéke Házi Feladatok Megoldások Végtelen sorok összege Gyakorlat Házi Feladatok

4 4 TARTALOMJEGYZÉK 6.. Megoldások Konvergencia kritériumok, hatványsorok 7.. Gyakorlat Hatványsorok Házi Feladatok Megoldások Nevezetes függvények 8.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Függvények határértéke 9.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Folytonosság, invertálás 47.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások II. Analízis II. 67.Differenciálszámítás 69.. Gyakorlat Műveleti szabályok Házi Feladatok Megoldások Deriválás 8.. Gyakorlat Logaritmikus deriválás Házi Feladatok Megoldások Differenciálszámítás alkalmazásai I Gyakorlat Érintő egyenlete L Hospital szabály Házi Feladatok Megoldások Differenciálszámítás alkalmazásai II Gyakorlat Taylor-formula és alkalmazásai Szöveges szélsőérték feladatok Házi Feladatok

5 TARTALOMJEGYZÉK Megoldások Teljes függvényvizsgálat Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Integrálási módszerek Gyakorlat Műveleti tulajdonságok Elemi módszerekkel integrálható függvények Helyettesítéses integrálás Parciális integrálás Házi Feladatok Megoldások Speciális függvényosztályok integrálása I Gyakorlat Racionális függvények integrálása Trigonometrikus függvények integrálása I Házi Feladatok Megoldások Speciális függvényosztályok integrálása II Gyakorlat Trigonometrikus függvények integrálása II Irracionális függvények integrálása Házi Feladatok Megoldások Határozott integrál, improprius integrál Gyakorlat Határozott integrál Improprius integrál Házi Feladatok Megoldások Differenciálegyenletek.. Gyakorlat Elsőrendű differenciálegyenletek Másodrendű differenciálegyenletek Házi Feladatok Megoldások Kétváltozós függvények.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások

6 6 TARTALOMJEGYZÉK III. Analízis III. 49.Integrálszámítás alkalmazásai I. 5.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Integrálszámítás alkalmazásai II. 7.. Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Integrálszámítás alkalmazásai III Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások Kétváltozós szélsőérték feladatok Gyakorlat Szabad szélsőérték Feltételes szélsőérték Szöveges szélsőérték feladatok Házi Feladatok Megoldások Vonalintegrál és alkalmazásai Gyakorlat Vonalintegrál Primitív függvény (potenciál) keresés Egzakt és egzakttá tehető differenciálegyenletek Házi Feladatok Megoldások Kettősintegrál Gyakorlat Házi Feladatok Megoldások

7 Előszó Én már láttam a Végtelent. mondta az idegen. Nincs benne semmi különleges. Terry Pratchett Jelen jegyzet a TÁMOP-4..-8//A Tananyagfejlesztés című pályázat keretében készült első sorban a Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Karának Programtervező Informatikus hallgatói számára, de könnyen adaptálható A Gazdasági Informatikus, Fizika BSc képzések Kalkulus gyakorlataihoz. A jegyzet minden fejezete megfelel egy-egy 9 perces gyakorlat anyagának és tartalmazza a témakörhöz tartozó, egyéni feldolgozásra szánt feladatokat. Az Analízis I. és Analízis II. rész esetében ez illeszkedik a heti óraszámhoz, Analízis III. rész esetén egy fejezet feladatait két hét alatt dolgozzuk fel. A feladatok megoldásainak végét szimbólummal, a bizonyítások végét pedig szimbólummal jelöltük. Az egyéni feldolgozásra szánt feladatok (Házi Feladatok) megoldásait külön alfejezetben közöltük, hogy lehetőséget nyújtsunk az önálló megoldásra. A jegyzet két formátumban készült. Az elektronikus publikálásra alkalmas böngészhető pdf formátum mellett elérhető egy a hiperlinkektől megfosztott formátumban is, melyet nyomtatásra alkalmasabb, átláthatóbb, a hagyomásnyos könyvformátumokhoz jobban illeszkedő tagolással készítettünk. A jegyzethez a közeljövőben készül továbbá egy java nyelven írt program, melynek segítségével ellenőrző dolgozatok feladatsorait generálhatjuk. A próba feladatsorok a Programtervező Informatikus képzés analízis zárthelyi dolgozataihoz illeszkednek. Ezek időpontjai a képzés keretén belül: Analízis I.. dolgozat 7. gyakorlati héten -6. fejezet anyagából 9 perc. dolgozat. gyakorlati héten 7-. fejezet anyagából 9 perc Analízis II.. dolgozat 7. gyakorlati héten -6 fejezet anyagából 9 perc. dolgozat. gyakorlati héten 7-. fejezet anyagából 9 perc Analízis III. dolgozat. gyakorlati héten -7 fejezet anyagából 9 perc Ez úton szeretném megköszönni Dr. Eisner Tímeának a tananyag összeállítása és rendszerezése során nyújtott segítségét. Az idézet Terry Pratchett Soul Music című regényéből való. Az eredeti: I VE SEEN THE INFINITE, said the stranger. IT S NOTHING SPECIAL. 7

8 8 TARTALOMJEGYZÉK

9 Első rész Analízis I. 9

10

11 . fejezet Számhalmazok tulajdonságai, bizonyítási módszerek.. Gyakorlat Teljes indukció elve:.. Tétel. Ha a természetes számokra vonatkozó valamely állítás a) igaz a számra, b) abból, hogy az n természetes számra igaz az állítás, következik, hogy az n+ számra is igaz, akkor az állítás igaz minden természetes számra... Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az első n+ természetes szám összege n (n+), azaz n k ++ +n n (n+). k i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (+). ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: n k iii) Igazoljuk az állítást n+-re! k n (n+). (indukciós feltétel) (.) n+ k (n+)+ k n k (n+)+n(n+) k (.) (n+)+ n(n+) (n+)(n+) (n+)((n+)+). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.

12 . FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI.. Feladat. Bizonyítsuk be a Bernoulli-féle egyenlőtlenséget, azaz, hogy minden n N és h R esetén a) +nh (+h) n, ha h >, b) (+h) n +nh, ha < h < n. a) i) n esetén +h (+h) +h. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás igaz: iii) Igazoljuk n+-re (+h) n+ (+h) n +nh (+h) n. (.) > (+h) > (.) (+nh)(+h) +nh+h+nh +(n+)h+ }{{} nh +(n+)h. Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra. b) Segédegyenlőtlenségek: > h, (h > ; h ) (.) +h nh > +nh. ( < h < n ) (.4) Mivel + h >, ezért (.) ekvivalens a következő, nyilvánvalóan igaz egyenlőtlenséggel > ( h)(+h) }{{} h. Mivel + nh >, ezért (.4) ekvivalens a következő összefüggéssel Felbontva a zárójelet kapjuk, hogy ( nh)(+nh) >. +nh nh n h + nh( nh > ) >. Az igazolandó állítás bal oldalának reciprokát a következőképpen becsülhetjük: (.) ( h) n (a) nh > (+h) n +nh >. Kihasználva, hogy pozitív számok között éppen fordított reláció áll fent, mint reciprokaik között kapható az állítás: (+h) n +nh. >

13 .. GYAKORLAT.. Feladat. Mutassuk meg, hogy x, x,... x n R, n N számokra (Általánosított háromszög-egyenlőtlenség.). Megoldás: x +x + +x n x + x + + x n. i) n és n esetben az állítás semmitmondó. n esetén x +x x + x. Az abszolútérték előadáson igazolt tulajdonságai alapján a fenti állítás egyszerűen igazolható: } x x x ( x x x x + x ) x +x x + x. Innen szintén az abszolútérték tulajdonságai alapján következik az állítás x +x x + x. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N értékre az állítás igaz, azaz iii) Igazoljuk n+-re x +x + +x n x + x + + x n. (x +x + +x n ) X +x n+ Y x +x + +x n + x n+ (i) X + Y (ii) x + x + + x n + x n+. Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N indexre.. Megoldás: A teljes indukciót az indukciós elv másik megfogalmazása alapján végezzük:.. Tétel. Ha a természetes számokra vonatkozó valamely állítás a) igaz a számra, b) abból, hogy minden az n természetes számnál kisebb természetes szám esetén igaz az állítás, következik, hogy az n számra is igaz, akkor az állítás igaz minden természetes számra. i) n esetén az állítás érdektelen, n esetben pedig nyílvánvaló. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N értékre és minden n <n esetére bizonyítottuk az állítást.

14 4. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI iii) Igazoljuk n+-re: Legyen k n (x +x + +x k ) X +(x k+ +x k+ + +x n +x n+ ) Y x +x + +x k + x k+ +x k+ + +x n +x n+ (ii) X + Y (ii) x + x + + x n + x n+. Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N indexre... Megjegyzés. A számok abszolútértékének előadáson megismert tulajdonságai közül még nem bizonyítottuk az alábbi összefüggést: Bizonyítás. x y x y (x, y R). x y +(x y) (.i) y + x y x y x y x és y szerepét felcserélve a fenti gondolatmenet alapján adódik: ( x y ) y x y x x y x y x y A két becslést összevetve kapható az állítás..4. Definíció. A K R szám a H halmaz felső korlátja, ha minden h H esetén h K teljesül. Egy halmaz felső korlátjai közül a legkisebbet felső határnak, vagy szuprémumnak nevezzük. (Alsó korlát és alsó határ vagy infimum hasonlóan értelmezhető.).4. Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó- és felső határát! { } A n : n N, n > B {x Q : < x < } A) Sejtés: sup A. Bizonyítás. i) Az egy jó felső korlát, hiszen ii) Az a legkisebb felső korlát, vagyis a A minden K-ra ilyen. a A a, mivel n n K < esetén a A : a > K. Azaz K valóban a legkisebb felső korlát. (Az állítás indokolható lett volna azzal is, hogy A így a halmaz maximuma és szuprémuma is egyben.)

15 .. GYAKORLAT 5 Sejtés: inf A. Bizonyítás. i) A egy jó alsó korlát, mivel a A a. nyilvánvaló, hiszen, n a n. ii) A a legnagyobb alsó korlát, vagyis k > esetén a A : a < k. Legyen b k R+. Az archimédeszi axióma alapján, b R + számokhoz n N b < n. Ekkor a : n < b k. Azaz k valóban a legnagyobb alsó korlát. B) Sejtés: sup B. Bizonyítás. i) Az egy jó felső korlát, ami B definíciójából nyilvánvaló. ii) Az a legkisebb felső korlát, azaz K < esetén b B : b > K. Ha K <, akkor nyilvánvalóan létezik ilyen b. Vizsgáljuk a < K < esetet. Ekkor legyen c. Az archimédeszi axióma értelmében, (vagy mert N felülről K nem korlátos) n N, amelyre c < n K c > n K < n n n Továbbá b B is igaz, hiszen b Q és < b < is teljesül. : b Q. A bizonyítás során használhattuk volna azt a tételt, mely szerint minden intervallum tartalmaz racionális számot, így a (K,) intervallum is. Az inf B sejtés hasonlóan igazolható..5. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy inf { x : x X} sup X. Legyen α : sup X és legyen Y : { x : x X}. Ekkor i) Az α az Y egy jó alsó korlátja, mivel α sup X x X α x α x x X α y y Y.

16 6. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI ii) Az α az Y infimuma, azaz k > α esetén y Y : y < k. Mivel α az X szuprémuma ezért bármely K < α esetén létezik x X elem, hogy x > K. Legyen K k < α és legyen x a fentiek alapján K -hoz talált X-beli elem, azaz x > K k K > α y x Y y x < K k. Azaz α valóban az Y halmaz infimuma..6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy sup {x+y : x X, y Y } sup X + sup Y. } {{ } } {{ } } {{ } :A α β i) α+β egy jó felső korlát, hiszen x α ( x X) és y β ( y Y ). A két egyenlőtlenséget összeadva: x+y α+β x X, y Y. ii) α+β a legkisebb felső korlát, azaz K < α+β esetén a A, amelyre a > K. Mivel K < α+β ezért létezik k < α és létezik k < β, hogy K k +k. (Megjegyeznénk, hogy K felbontásai közül nem mind teljesíti egyszerre mindkét feltételt, de garantálható, hogy létezik olyan felbontás, amely igen.) Ekkor k < α sup X x X, x > k, k < β sup Y y Y, y > k. Így a : x +y A esetén a > K k +k teljesül..7. Feladat. Írjuk fel és igazoljuk a számtani- és mértani közép közötti összefüggést n esetben. Legyen x, x, ekkor x x x +x, vagyis nem-negatív számok mértani közepe kisebb egyenlő, mint a számtani közepük. Bizonyítás. x x x +x x x x +x x +x 4 4x x x +x x +x x x x +x (x x ), ami nyilvánvalóan minden x, x számra igaz. / ( )

17 .. GYAKORLAT 7.5. Megjegyzés.. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x x, ez a fenti bizonyítás alapján is nyilvánvaló.. A geometriai bizonyítás elegáns, de az algebrai megoldás könnyebben általánosítható. x +x R x x m m R mindig igaz.. Az általánosított összefüggés bizonyításától eltekintünk, de elolvasása tanulságos. Lásd: [5].o. 4. Az összefüggés ismerete szükséges, csak bizonyítani nem kell. A számtani- és mértani közép közötti összefüggés: Legyen n >, n N és x, x,..., x n R +. Ekkor n x x... x n x +x + +x n. n

18 8. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k n (n+) (n+). 6.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k n (n+). 4 k k.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy megoldás megoldás + + +n (n+) n (n+) (n+). megoldás.4. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy vagyis + + +(n ) n (n ), n (k ) n (n ). k.5. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy vagyis!+!+ +n n! (n+)!, n k k! (n+)!. k.6. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy vagyis n (n+) n n+, n k megoldás megoldás k (k +) n n+. megoldás.7. Házi Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó- és felső határát. { } { } ( ) n A : n N, n > B n n +( )n n : n N, n > { } x C y : < x < ; < y < x.8. Házi Feladat. Legyenek X R és Y R valós számhalmazok. Igazoljuk, hogy a) sup{ x : x X} inf X b) inf{x+y : x X y Y } inf X +inf Y c) sup{x y : x X y Y } sup X inf Y megoldás d) inf{x y : x X y Y } inf X sup Y megoldás

19 .. MEGOLDÁSOK 9.. Megoldások.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k k n (n+) (n+). 6 Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (+) (+) 6 ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n+ k (n+) + k n k n k (n+) (n +n+6n+6) 6 (n+) (n+) (n+) 6. k n (n+) (n+). (.5) 6 k (.5) (n+) + n (n+) (n+) 6 (n+) (n +7n+6) 6 (n+) ((n+)+) ((n+)+). 6 Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra... Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k k n (n+). 4 Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (+) ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: n k k n (n+). (.6) 4

20 . FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n+ k (n+) + k n k (n+) (n +4 (n+)) 4 (n+) (n+) 4 k (.6) (n+) + n (n+) 4 (n+) (n +4n+4) 4 (n+) ((n+)+). 4 Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra... Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy + + +n (n+) n (n+) (n+). Bizonyítás. A fenti összefüggés az alábbi zárt alakban írható: n k k (k +) n (n+) (n+). A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (k +) (+) (+) ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n k 6. k (k +) n (n+) (n+). (.7) n+ k (k +) (n+) (n+)+ k (n+) (n+)+ n (n+) (n+) (n+) ((n+)+) ((n+)+). n k k (k +) (.7) (n+) (n+) (n+) Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.

21 .. MEGOLDÁSOK. Megoldás: Az állítás igazolható teljes indukció nélkül is. Jelen esetben ráadásul ez a módszer az egyszerűbb. A későbbiekben a sorozatok tulajdonságainál is visszatérünk a problémára n (n+) n (n+) (n+) 6 + n (n+) n k (k +) k.4. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n (n+) 6 n k +k k + + +(n ) n (n ), n k + k n k k (n++) n (n+) (n+). vagyis n (k ) n (n ). k Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen ( ) ( ). ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: n (k ) n (n ). (.8) iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n+ n (k ) ((n+) ) + (k ) (.8) k k k (n+) +n (n ) n 4 n +8n +n +6n+ n 4 +8n +n +6n+ n 4 +6n +5n +n+n +6n +5n+ (n +6n +5n+)(n+) (n +4n +n+n +4n+)(n+) ( (n +4n+) (n+) ) (n+) (n+) ((n +n+) ) (n+) ((n+) ). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.. Megoldás: Ez az állítás is igazolható teljes indukció nélkül (n ) (n) ( (n) ) (n) ( + + +n ) n k 8 n k k k (n) (n+) 8 n (n+) n (n+) n (n+) 4 4 n (4n +4n+ (n +n+) ) n (n ).

22 . FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI.5. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy!+!+ +n n! (n+)!, vagyis n k k! (n+)!. k Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen!!. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n k k! (n+)!. (.9) k n+ k k! (n+) (n+)!+ k n k k k! (.9) (n+) (n+)!+(n+)! (n+)! ((n+)+). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra. Így. Megoldás: Az állítás közvetlen igazolása is tanulságos és elegáns.!+!+ +n n! n k k! k k k! (k + ) k! (k +)! k! n (k+)! k!(/!!)+(/! /!)+ +((n+)! /n!)(n+)!. k.6. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n (n+) n n+, vagyis n k k (k +) n n+. Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük.

23 .. MEGOLDÁSOK i) n esetén az állítás igaz, hiszen +. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n k k (k +) n n+. (*) n+ k k (k +) n (n+)(n+) + ( ) k (k +) k (n+)(n+) + n n+ n(n+)+ (n+)(n+) n +n+ (n+)(n+) (n+) (n+)(n+) (n+) (n+). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.. Megoldás: Ez az állítás is igazolható közvetlenül. A módszert a végtelen sorok témakörnél fogjuk sokszor alkalmazni. Visszaírva a zárt alakba: (k +) k k (k +) k (k +) k k n n (n+) k ( /) ( / /) ( / n k (k +) n n+ ) k k k + n+ n n+..7. Házi Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó- és felső határát. { } { } ( ) n A : n N, n > B n n +( )n n : n N, n > C { } x y : < x < ; < y < x A) Sejtés inf A és sup A Észrevétel: Ha n páros, akkor ( )n >, ha n páratlan, akkor ( )n <. Így a halmaz elemei n n két osztályra bonthatók aszerint, hogy n páros vagy páratlan. (Osztály: olyan részhalmazok

24 4. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI összessége, melyek páronként diszjunktak és egyesítésük visszaadja az eredeti halmazt.) Legyen tehát { } { } ( ) k+ ( ) k A : k + : k N és A : : k N. k Ekkor igaz, hogy a < < a a A, a A. Így sup A sup A és inf A inf A. sup A sup A. Bizonyítás. { ( ) k A : k : k N } { } k : k N. i) Az egy jó felső korlát, hiszen k k ii) Az a legkisebb felső korlát, hiszen A, így bármely K < esetén létezik az A halmaznak olyan a eleme, amelyre a > K. (Ha más nem, akkor az a ilyen elem.) Az infimum bizonyítását hasonlóan lehet elvégezni. B) Sejtés: B nem korlátos sem alulról, sem felülről. A páros n-ekhez tartozó elemek halmaza legyen B, a páratlanoké B : { } { } B : k +( )k : k N B : k + +( )k+ : k N Ekkor b < < b minden b B és minden b B esetén. Így Sejtés: inf B inf B. Bizonyítás. sup B sup B, és inf B inf B. K R esetén b B, amelyre b < K. Legyen c : K. Ekkor az archimédeszi axióma értelmében k N c < k. Erre a k-ra igaz a következő K c > k ( ) k+ k k + +( )k+ (k +) : b. A fenti levezetés lépései közül (**)-gal jelölt becslés magyarázata: k + < ( )k+ k > k + +( )k+ k k + +( )k+ (k +). Azaz megadtuk a képletet, amellyel tetszőleges K R szám esetén találhatunk egy b B elemet amely a kérdéses K-nál kisebb. Tehát K nem lehet alsó korlát.

25 .. MEGOLDÁSOK 5 A sup B sejtés hasonlóan igazolható. C) Sejtés: sup C és inf C. a) A C felülről nem korlátos halmaz, azaz K R esetén c C hogy c > K. Ekkor az archimédeszi axióma alapján K, R számokhoz létezik egy n N természetes szám, hogy K < n, így K < n n n n C n n Valóban, hiszen b) Sejtés: inf C. < x <, < y n <. i) Az valóban egy jó alsó korlát, hiszen < y < x minden c x C esetén, így c olyan y törtként írható fel, melynek számlálója nagyobb, mint a nevezője, vagyis c > minden c C esetén. ii) Az a legnagyobb alsó korlát, azaz k R, k > esetén c C hogy c < k. Legyen b :, ekkor mivel N felülről nem korlátos n N, hogy b < n, így k >. k n Legyen ekkor c : + < +k k. c C, hiszen n c + n n+ n+ n n+ n, ahol < x n+ n+ < és < y n n+ < x n+ n+. n+.8. Házi Feladat. Legyenek X R és Y R valós számhalmazok. Igazoljuk, hogy a) sup{ x : x X} inf X b) inf{x+y : x X y Y } inf X +inf Y c) sup{x y : x X y Y } sup X inf Y d) inf{x y : x X y Y } inf X sup Y Megoldás: a) Legyen A : { x : x X} és α : inf X. i) α egy jó felső korlát, hiszen mivel α inf X, ezért α x x X α x x X.

26 6. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI ii) α a legkisebb felső korlát, hiszen mivel α inf X, ezért k > α x X x < k. K k < α y x A y > k K, ami az állítással ekvivalens. b) Legyen B : {x+y : x X y Y } és α : inf X, továbbá β : inf Y. i) α+β egy jó alsó korlát, hiszen α x, β y, x X, mert α az X egy alsó korlátja, y Y, mert β az Y egy alsó korlátja. A két egyenlőtlenséget összeadva: ii) α+β a legnagyobb alsó korlát, vagyis α+β x+y x X, y Y. k > α+β esetén b B, amelyre b < k. k > α+β k > α, k > β, hogy k +k k. Ekkor mivel k > α inf X x X, x < k és mivel k > β inf Y y Y, y < k. Így b : x +y B esetén b < k k +k. Megjegyzés: A c és d feladat igazolható lenne a korábbiakra való hivatkozással is, de a teljesség kedvéért nézzük a részletes bizonyítást! c) Legyen C : {x y : x X y Y }, α : sup X és β : inf Y i) α β egy jó felső korlát, hiszen α x x X és β y y Y β y y Y α β x y : c C x X és y Y ii) α β a legkisebb felső korlát, azaz K < α β esetén c C c > K. K < α β k < α, k > β, hogy k k K. Mivel k < α sup X x X, x > k. Mivel k > β inf Y y Y, y < k y > k. A fenti két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk: ami az állítással ekvivalens. x y > k k K, d) Legyen C az előző feladatban definiált halmaz és γ : inf X, továbbá δ : sup Y

27 .. MEGOLDÁSOK 7 i) γ δ egy jó alsó korlát, hiszen γ x x X és β y y Y β y y Y γ δ x y x X, y Y. ii) γ δ a legnagyobb alsó korlát, azaz k > γ δ esetén c C C < k. k > γ δ k > γ és k < δ, hogy k k k. Mivel k > γ inf X x X x < k. Mivel k < δ sup Y y Y y > k y < k. C c : x y < k k k, ami az állítással ekvivalens.

28 8. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI

29 . fejezet Számsorozatok alaptulajdonságai.. Gyakorlat.. Feladat. Írjuk fel a sorozat.,.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Fogalmazzunk meg sejtést a sorozat monotonitásáról, majd igazoljuk azt. a ( ) n +n, n N a a + 4 a a a a + 9 Sejtés: szigorúan monoton csökken. Monotonitás vizsgálat: a n+ a n? a n n +n a n+ (n+) +(n+) n +n+ n n+4 9

30 . FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Ezeket felhasználva: a n+ a n n n+4 n +n ( n )(+n) ( n)(n+4) (n+4)(n+) 4n 4n n ( 4n +n 8n+4) 6 (n+4)(n+) < a n+ a n < n N a n+ < a n n N (n+4)(n+) n N Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő... Feladat. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából a következő sorozatokat! ( ) n a) a +n, n N n+ a n+ a n? Ezeket felhasználva: a n n +n n+ a n+ (n+) +(n+) (n+)+ a n+ a n n +4n+ n+ n +n++n+ n+ n +4n+ n+ n +n n+ (n +4n+)(n+) (n +n)(n+) (n+)(n+) n +4n +n+n +4n+ (n +n +n +4n) (n+)(n+) n +n+ (n+)(n+) > n N a n+ a n > n N a n+ > a n n N Tehát a sorozat szigorúan monoton növő. b) b ( n n 7, n N) i) b > b 5 > b > b < b 4 4. A fenti néhány elem felírásából is látszik, hogy a sorozat nem monoton, mert b > b < b 4.

31 .. GYAKORLAT.. Megjegyzés.. Nem monoton sorozat esetén elegendő három egymás utáni elemet mutatni, amelyek úgy viselkednek, hogy a sorozat sem monoton növő, sem monoton csökkenő nem lehet.. A sorozat általános tagjának értelmezhetőségét vizsgálva a következő megállapítás tehető: n ; n 7 n,5. n 7 Ezt a kritikus értéket a sorozat elemeinek indexe a kikötéstől függetlenül sem venné fel (,5 / N), de a vizsgálat azért hasznos, mert a sorozat a kritikus pont környezetében vált monotonitást, vagyis most a b, b, b 4, vagy a b, b 4, b 5 elemhármas felírásával megmutatható, hogy a sorozat nem monoton.. Az előző megjegyzésekben vázolt módszer előnye, hogy kevés számolással választ tudunk adni a sorozat monotonitására. A hátránya abban rejlik, hogy csupán annyit lehet megállapítani, hogy a sorozat nem monoton. A következő módszerrel ennél többet is megállapíthatunk. ii) b n+ b n? Ezeket felhasználva: b n b n+ n n 7 (n+) (n+) 7 n+ n 5 b n+ b n n+ n 5 n n 7 (n 7)(n+) (n 5)n (n 5)(n 7) n 7n+n 7 (n 7n) (n 5)(n 7) 7 (n 5)(n 7) < ha n > ha n < ha n 4 Legyen A : n 5 és B : n 7. Ekkor a b n+ b n különbség egy olyan tört alakban írható, amelynek számlálója 7, nevezője pedig az A B szorzat, így az előjele leolvasható az alábbi táblázatból: n n n 4 n A + + B + b n+ b n + Tehát a b sorozat egy bizonyos indextől kezdve szigorúan monoton csökken. Megjegyzés. A dolgozatban a feladat megoldását a részletesebb módszerrel kérjük.

32 . FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI c) c (( 5 ) n, n N ) i) A sorozat nem monoton, hiszen például: ii) c n+ c n c > c 5 < c 5. ( 5) n+ ( ) n ( 5 5 n ( 5) ) n 5 ( 5) n ( 5 ) 6 5 Tehát a sorozat nem monoton. ( 5 ) n < ha n páros > ha n páratlan... Megjegyzés. A második, részletesebb megoldás során válik láthatóvá, hogy nincs olyan index, amelytől kezdve a sorozat monoton lenne. Érdemes megjegyezni, hogy a monoton és a bizonyos indextől kezdve monoton sorozatok viselkedése hasonlít egymásra és nem a nem monoton sorozatoké. Ezért érdemes a részletesebb vizsgálatot végigszámolni... Feladat. Vizsgáljuk meg az a ( n +n, n N) sorozatot korlátosság szempontjából! i) sejtés a n.. Megjegyzés. A sejtés felső becslése rossz. A sorozat első néhány elemét felírtuk az.. feladatban. Azok alapján látható, hogy a sorozatnak van -nél nagyobb eleme. Azért választottuk a nyilvánvalóan hibás felső korlátot, hogy lássuk, mi történik, ha rossz a sejtés. Bizonyítás. Megvizsgáljuk, hogy a n n+ reláció mely n-ekre teljesül. n n+ n n+n+ + n+ n+ 98n+ n+ A tört akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Legyen A:98n+ és B : n+. Ekkor felhasználva, hogy n+ n n 98n+ 98n n 98

33 .. GYAKORLAT a tört előjele leolvasható az alábbi táblázatból. n n < n < n < n < n A B + A + NA + B I. II. III. IV. V. Az I.-es és a II.-es tartomány a feltételnek megfelelne, de nincs ilyen n N. A III.- as és a IV.-es tartomány nem felel meg a feltételnek, úgysincs ilyen n N. n N tehát az V. tartományba esik. Ebben a tartományban pedig a fenti táblázat alapján minden pont kielégíti a feltételt. Ezzel az állítást igazoltuk, vagyis k egy jó alsó korlát..4. Megjegyzés. Fordítva is indokolhattunk volna: Ha n N, akkor 98n+ > és n+ >. Vizsgáljuk most a felső korlátra vonatkozó sejtést! Bizonyítás. a n n n+ n n+ + (n+) n+n+ n n+ A baloldalon szereplő tört nevezője minden n N esetén pozitív, így a tört előjelét a számláló határozza meg. Tehát a tört pontosan akkor nem-pozitív, ha n. A feltétel nem teljesül minden természetes index esetén, ebből látszik, hogy a becslés nem volt helyes. Szerencsére csak véges sok n N esetén nem igaz az állítás (n, n ). Ilyenkor új korlátot választunk. Ha lehetséges, akkor érdemes felírni a problémás elemeket és meghatározni a maximumukat. (Hiszen véges sok elem esetén mindig van ilyen tulajdonságú.) a, a. A következő sejtés K lesz, ami 4 már nyilvánvalóan jó lesz. a n n n+ n n+ (n+) n n n n+ Ami nyilvánvalóan minden szóbajöhető n-re teljesül.

34 4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI ii) Mivel monotonitás szempontjából már megvizsgáltuk a sorozatot, használhatók a monoton sorozatok korlátaira vonatkozó tételek. Ezek előnye, hogy rögtön a határokat adják meg, míg az első módszernél a határokat tovább kell keresni. a szigorúan monoton csökkenő, vagyis a > a > a > > a n > a n+ >... n N Így a a n n N. K a max{a n : n N} sup{a n : n N} sup a. Szigorúan monoton csökkenő sorozat alsó határa (infimuma) a határérték: k inf a lim a lim n a n. Ha az első módszerrel vizsgáljuk, a szuprémum illetve infimum tulajdonság bizonyítása a halmazoknál használt módon történik..4. Feladat. Vizsgáljuk meg az a ( n n 7, n N) sorozatot korlátosság szempontjából! i) A sorozatot a b feladatban megvizsgáltuk monotonitás szempontjából. A sorozat egy bizonyos indextől kezdve szigorúan monoton csökken. a n n n 7 ( ) n n,5+,5 n,5 n,5 +,5 n,5 7 4 n,5 +. Mivel a sorozatok N-en értelmezett függvények, így az n a n leképezés az x f(x) 7 + függvény leszűkítése N-re. 4 x,5

35 .. GYAKORLAT 5 A függvény menetéből nyilvánvaló, hogy a sorozat határait a szinguláris hely körül kell keresni. Jelen esetben min a inf a a max a sup a a 4 4. A dolgozatban ilyen esetben vagy a fenti részletes magyarázatot kell leírni az ábrával együtt, vagy a következő bizonyítást az sejtésekre. ii) Sejtés: inf a Bizonyítás. inf a és sup a 4. ) A egy jó alsó korlát, hiszen a n n N, mert Ha n 4, akkor a n n n 7 n n 7 + n+6n n 7 7n n 7 n n 7 Ha n < 4, akkor n és n 7 n n 7 n és n 7 < n n 7 ) A a legnagyobb alsó korlát, hiszen a sorozat elemei közt szerepel, így inf a min a a..5. Megjegyzés. A sup a4 bizonyítása hasonlóan történik. Ez házi feladatként elvégzendő!.5. Feladat. a) Definíció alapján igazoljuk az a ( n n+, n N) sorozat konvergenciáját! b) Adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε, sugarú környezetébe!

36 6. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI a) Sejtés: lim n a n A. Az (a n, n N) sorozat konvergens és a határértéke a A szám, ha ε > N N(ε) N n > N a n A < ε. (.) n n+ ( ) < ε n+(n+) n+ < ε n+ < ε Az abszolútértékben szereplő kifejezés n N esetén pozitív, így az abszolútértéke önmaga: Ekkor legyen N(ε) : max {[ ε n+ < ε < ε(n+) < n+ ε < n ε ], ε }. < n Nyilvánvaló, hogy ez jó küszöbindex és bármely ε > esetén a fenti formula alapján kiszámítható, így a sorozat valóban konvergens és a határértéke. [ ] [ ] [ ] 98 b) N(,) 49. Vagyis a sorozat 49. eleme még kívül van a (,;,99) környezeten, de az 5. elemtől kezdve az összes elem a fenti intervallumba esik.... Mértani (geometriai) sorozatok.6. Definíció. Legyen x (q n, q R rögzített, n N). Az ilyen alakban írható sorozatokat mértani sorozatoknak nevezzük..7. Tétel. Legyen x egy mértani sorozat, ekkor a) ha q >, akkor x divergens és lim x, b) ha q, akkor x divergens, c) ha < q <, akkor x konvergens és lim x, d) ha q, akkor x konvergens és lim x.

37 .. GYAKORLAT 7 Bizonyítás. a) q > lim x R R, N N(R) N n > N, x n > R. (.) Vizsgáljuk meg, hogy mely n-ekre teljesül, hogy q n > R. Mivel q > q n (+(q ) ) n B +n(q ) > R } {{ } > n > R q {[ ] } R N(R) : max ; q A fenti küszöbindex választása mellett (.) valóban teljesül..8. Megjegyzés.. A B -val jelölt becslés során az első gyakorlaton bizonyított Bernoulli-egyenlőtlenséget használtuk. A továbbiakban is ezt a jelölést alkalmazzuk.. A bizonyítás során az x n elemet alulról becsültük, majd beláttuk, hogy még a becslés is nagyobb R-nél. A bizonyításaink során gyakran használjuk a becslést, ezért fontos megértenünk az elvét. Egy A < B egyenlőtlenség igazolása során A-t felülről (B-t alulról) becsülhetjük, de csak úgy, hogy az egyenlőtlenség iránya ne változzon. b) Ha q, akkor x (( ) n, n N). A sorozat páros illetve páratlan indexű elemeiből álló részsorozatait vizsgálva megállapítható, hogy ezek határértéke nem egyenlő ( lim x n, lim x n+,). Ez ellentmond a határérték n n definíciójának harmadik következményének. ( Konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens és határértéke az eredeti sorozat határértékével egyenlő. ) Ha q <, akkor legyen ν (n, n N) x ν (q n, n N) ((q ) n, n N) q > lim(x ν) + µ (n+, n N) x µ (q n+, n N) (( ) q n+, n N) q > lim(x µ) Ez ellentmond a határérték definíciójának harmadik következményének, így x divergens. c) < q < lim x n ε > N N(ε) N n > N x n < ε. (.) n Ha q N N jó küszöbindex. q n < ε

38 8. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Ha q, akkor q n < ε > A fenti egyenlőtlenséget rendezve kapjuk: q n > ε { }} { (+( q )) n B +n( q ) >? ε }{{} > n > ε. q d) Legyen { [ ε N(ε) : max, ]}. N(ε) esetén (.) teljesül. x valóban null-sorozat. q q x (, n N), konstans sorozat lim x.

39 .. HÁZI FELADATOK 9.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából, adjuk meg alsóés felső határaikat! ( ) 4n+ a 5n+4, n N b (7 n, n N) ( c sin(n π ) ), n N d ( n, n N) megoldás.. Házi Feladat. Definíció alapján igazoljuk a következő sorozatok konvergenciáját és adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε, sugarú környezetébe! ( ) n+ a n+ ; n N ( ) 7n b n ; n N ( ) 6n c n ; n N megoldás További gyakorló feladatok ) [5] 7.o.:.,.,.a) feladatok ) Írjuk fel a következő sorozatok.,.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk őket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és a felső határaikat! a (5n, n N) b ( n n n+, n N) c (( 4) n, n N) d (cos n π 4, n N) e ( 4n+ n, n N)

40 4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.. Megoldások.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából, adjuk meg alsóés felső határaikat! ( ) 4n+ a 5n+4, n N b (7 n, n N) ( c sin(n π ) ), n N d ( n, n N) a) a 4, a 7 9, a 4, a 5 9, a Sejtés a szigorúan monoton növő. a n+ 4(n+)+ 5(n+)+4 4n+7 5n+9 a n+ a n 4n+7 5n+9 4n+ 5n+4 (4n+7)(5n+4) (4n+)(5n+9) (5n+9)(5n+4) n +5n+6n+8 (n +6n+5n+7) (5n+9)(5n+4) > n N. (5n+9)(5n+4) A sorozat szigorúan monoton növő. a n+ a n > n N a n+ > a n n N

41 .. MEGOLDÁSOK 4 Mivel a sorozat szigorúan monoton növő inf a min a a 4, sup a lim a n 4 n 5. Ezeket a fenti tétel ismerete nélkül is igazolhatjuk. (Így nem kell a monotonitás ismerete.) Sejtés: inf a a 4 Bizonyítás. i) A 4 egy jó alsó korlát, hiszen a n 4 n N : 4n+ 5n+4 4 4n+ 5n+4 4 6n+ (5n+) n+6 Ami valóban minden n N esetén teljesül. n n+6 ii) A 4 a legnagyobb alsó korlát, hiszen a sorozat felveszi ezt az értéket. (a 4 ) Sejtés: sup a 4 5 Bizonyítás. i) A 4 5 egy jó felső korlát, hiszen a n < 4 5 n N : 4n+ 5n+4 < 4 5 4n+ 5n < n+5 (n+6) < 5n+ Ami valóban minden n N esetén teljesül. ii) A 4 5 a legkisebb felső korlát, azaz 5n+ < K < 4 5 n N a n > K 4n+ 5n+4 > K 4n+ > K(5n+4) 4n+ > 5Kn+4K 4K > (5K 4)n

42 4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Mivel K < 4, 5K 4 <, így a reláció iránya megfordul. 5 4K 5K 4 < n, vagyis bármely K < 4 5 nál. 4K esetén a -nél nagyobb indexű elemek nagyobbak K- 5K 4 b) b 7 b 5 b b 5 b Sejtés a b sorozat szigorúan monoton csökkenő. b n+ 7 (n+) 7 n 5 n b n+ b n 5 n (7 n) < n N b n+ b n < n N b n+ < b n n N Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő. Mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő sup b max b b 7, inf b lim n b n. Ezeket a következőképpen is igazolhatjuk: Sejtés: sup b 7 Bizonyítás. i) A 7 egy jó felső korlát, mert b n 7 n N: 7 n 7 n, ami valóban minden szóbajövő n-re igaz. ii) A 7 a legkisebb felső korlát, hiszen a sorozat elemei között szerepel. Sejtés: inf b, vagyis a sorozat alulról nem korlátos.

43 .. MEGOLDÁSOK 4 Bizonyítás. R R n N b n < R. 7 n < R 7 R < n, Vagyis bármely R R esetén a sorozat 7 R -nél nagyobb indexű elemei kisebbek, mint R. c) c c c c c 5 c A sorozat nem monoton, hiszen például c < c < c, sőt egy adott indextől kezdve sem monoton, hiszen ( c n+ c n sin (n+) π ) ( sin n π ) Korlátosság: Sejtés: sup c max c Bizonyítás. i) Az egy jó felső korlát, hiszen x R esetén sin x. ha n 4k +, k Z ha n 4k +, k Z ( ) ha n 4k +, k Z ha n 4k, k Z. ii) Az a legkisebb felső korlát, mivel szerepel a sorozat elemei közt. Az inf c min c állítás hasonlóan igazolható. d) Mivel a sorozat elemeinek abszolútértéke nagyon gyorsan nő, ábrázolásuk még megfelelő egységválasztás mellett is nehézkes. Hogy használható ábrát kapjunk, a megadott elemek helyett a.,.,.,., 4. elemeket ábrázoltuk. Természetesen kiszámoltuk a kívánt elemeket is.

44 44. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI d d 6 d d 4 d 4 48 d 5 96 d 7 Sejtés: Szigorúan monoton csökkenő. d n+ n+ 6 n d n+ d n 6 n ( n ) n ( ) < n N d n+ d n < n N d n+ < d n n N Vagyis a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő. Mivel d szigorúan monoton csökkenő: sup d max d d, inf d lim n d n. Ezek, az előzőekhez hasonlóan a monotonitás ismerete nélkül is igazolhatók. Sejtés: sup d. Bizonyítás. i) A egy jó felső korlát, hiszen d n n N. n n n Mivel a x függvény szigorúan monoton növő, ezért a függvényértékek között fennálló reláció fennáll az argumentumok között is. Így a fenti egyenlőtlenség ekvivalens az alábbival: n, amely minden természetes n esetén automatikusan teljesül. ii) Ez a legkisebb felső korlát, hiszen a sorozat egyik eleme felveszi ezt az értéket.

45 .. MEGOLDÁSOK 45.. Házi Feladat. Definíció alapján igazoljuk a következő sorozatok konvergenciáját és adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε, sugarú környezetébe! ( ) n+ a n+ ; n N ( ) 7n b n ; n N ( ) 6n c n ; n N a) Sejtés lim n a n ε > N N(ε) N n > N a n < ε. n+ n+ < ε n+ (n+) n+ < ε n+ < ε n+ <, n+ n+. n+ < ε ε < n+ ε < n N(ε) : max {[ ] } ε ; Tehát bármely ε > számhoz előállítható a definíciónak megfelelő küszöbszám, így az a sorozat konvergens és határértéke. {[ ] } N(,) : max ; max {[5 ] ; } 49. Tehát a sorozat 49. eleme még kívül van, de az 5-től kezdve a sorozat minden eleme a szám, sugarú környezetébe esik. b) Sejtés lim n b n 7 ε > N N(ε) N n > N b n + 7 < ε.

46 46. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI 7n n + 7 < ε 4+4 6n (n ) < ε 5 (n ) < ε 5 (n ) <, 5 (n ) 5 (n ). 5 < ε (n ) 5 < n ε 5 + < n ε 5 + ε < n {[ 5 ε N(ε) : max + ] } ; Tehát bármely ε > számhoz előállítható a definíciónak megfelelő küszöbszám, így a b sorozat konvergens és határértéke 7. {[ 5 ε N(,) : max + ] } {[ 5 ; max 4 + ] } ; max {[ 6 ] } ; 6. Tehát a sorozat 6. eleme még kívül van, de a 64.-től kezdve a sorozat minden eleme a hatérérték ε sugarú környezetébe esik. c) Sejtés lim n c n. ε > N N(ε) N n > N c n + < ε. 6n n + < ε 6n +4 6n n < ε n < ε

47 .. MEGOLDÁSOK 47 n > n< n Ez végessok eset, ezért a konvergenciát nem befolyásolja. Ha n, akkor n < n n n < ε < n ε + < n ε + ε < n {[ ε N(ε) : max + ] } ; Tehát bármely ε > számhoz előállítható a definíciónak megfelelő küszöbszám, így a c sorozat konvergens és határértéke. {[ ] } + N(,) : max ; {[ max + ] } ; 5. Vagyis a sorozat elemei az 5.-től kezdve mind bent vannak a [,,,98] intervallumban.

48 48. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI

49 . fejezet Nevezetes sorozatok.. Gyakorlat.. Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján! ( ) n+ a n+, n N. I) Monotonitás: a n+ a n (n+)+ (n+)+ n+ n+ n+5 n+4 n+ n+ (n+5) (n+) (n+) (n+4) (n+) (n+4) 7 (n+) (n+4) < n N a n+ a n < n N a n+ < a n n N Így a sorozat szigorúan monoton csökkenő. II) Konvergencia Sejtés: A sorozat konvergens és lim a n A, azaz n ε > N(ε) N n > N a n A < ε (6n +7n+5) (6n +7n+) (n+) (n+4) a n A < ε n+ n+ < ε 6n+9 (6n+) (n+) < ε 7 (n+) < ε, 7 >, ezért (n+) 49

50 5. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK Így 7 < ε, (n+) >, ezért (n+) 7 < n+ ε 7 9 ε < n {[ 7 N(ε) : max ] }, 9 ε választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határérétéke lim a. III) Korlátosság Mivel a sorozat konvergens és a konvergencia szükséges feltétele a korlátosság, ezért a sorozat korlátos is. Ha a sorozat alsó- illetve felső határát is kérdezné a feladat, akkor arra a tételre hivatkozhatnánk, melyszerint monoton csökkenő sorozat szuprémuma a kezdőelem és infimuma a határérték, azaz sup a a inf a lim a... Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és felső határát. Adjuk meg a határértékét, ha létezik. (Nem kell definíció alapján vizsgálni.) a (+( ) n n ), n N I. monotonitás: A ( ) n -es tényező miatt a sorozat felváltva tartalmaz -nál kisebb illetve -nál nagyobb elemeket. Így a sorozat nem monoton. (Indokolható lenne egymásutáni elem felsorolásával, például a < a 4 > a 7, ebből viszont még nem látszana, hogy a sorozat egy bizonyos indextől kezdve sem monoton. Vizsgálható lenne a szokásos módon az a n+ a n különbség előjele alapján is, de a ( ) n sorozat tulajdonságaira hivatkozni lényegesen egyszerűbb.) II. korlátosság, határok: Legyen Ekkor és ν (n, n N ) a ν (+( ) n n, n N ) µ (n+, n N) a µ (+( ) n+ n+, n N). Így sup a sup(a ν) és inf a inf(a µ). Sejtés: sup a sup(a ν) 4 (a ν) k > > (a µ) l, k N, l N, (a ν) fésűs (a µ) a.

51 .. GYAKORLAT 5 Bizonyítás. i) A 4 valóban jó felső korlát, hiszen (a ν) n 4 n N + n 4 n N ( <) n n N n n N, ami valóban mindig teljesül. ii) A 4 valóban a legkisebb felső korlát, hiszen (a ν) 4, ezért max(a ν) (a ν) 4. Az inf a inf(a µ) sejtés hasonlóan igazolható. Otthon egyénileg befejezendő. III. konvergencia lim (a ν) n lim + n n n lim (a µ) n lim n n n+ A fenti két állítás a definíció szerint igazolható és házi feladatként igazolni is kell. Mivel ezért (a ν) fésűs (a µ) a és lim(a ν) lim(a µ), lim a n. n... Nevezetes sorozatok A következő nevezetes sorozatok határértékeit definíció alapján fogjuk igazolni. A mértani sorozatok konvergenciáját és határértékét az előző fejezetben már vizsgáltuk. A gyakorlaton részletes magyarázattal csak az a(a n n α, n N, α R + ), a(a n n n, n N ) és az a(a n n n!, n N ) sorozatok szerepelnek. a (a n C, n N, C R + ) konvergenciája Sejtés: lim a C. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n C < ε. Mivel a n C minden n N index esetén, ezért az a n C < ε reláció bármely n N esetén fennáll, így N minden ε > esetén jó küszöbindex.

52 5. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK a (a n n, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. Mivel > minden n n N esetén, ezért a n n, így a definícióban szereplő relációval n ekvivalens az alábbi összefüggés: n ε < ε (n >, ε > ) < n. Legyen tehát N(ε): [ ε]. A kapott küszöbindex választása mellett a definíció teljesül, azaz (an, n N) sorozat valóban konvergens és határértéke. a (a n n p, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R N(R) N n > N n p > R. Ha R, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > esetet. Mivel R >, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalából p-edik gyököt vonunk: [ ] Így N(R) p R jó küszöbszám. n > p R. a (a n p n, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R N(R) N n > N p n > R. Ha R, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > esetet. Mivel R >, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát p-edik hatványra emeljük: Így N(R) [R p ] jó küszöbszám. n > R p.

53 .. GYAKORLAT 5 a (a n αn, n N, α R) konvergenciája n! Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. Legyen β : α, ekkor a fenti reláció a következő alakban írható βn < ε, melyre igaz az alábbi n! becslés: β n β β β... β β... β β n!... [β] ([β]+)... (n ) n β[β] [β]! β n < ε Ahonnan n > β[β]+ [β]! ε, így N(ε) : [ β [β]+ [β]! ε ] jó küszöbindex. a (a n n α, n N, α R + ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. < α : n α n n α n α A definícióban szereplő reláció helyett vizsgáljuk tehát a következő összefüggést: n α < ε ε < n α Ha ε, akkor minden N N jó küszöbszám, ha ε >, akkor az egyenlőtlenség mindkét oldalát n-edik hatványra emelhetjük: ( ε) n < α ( ) n > ε a Az egyenlőtlenség bal oldalát becsüljük a Bernoulli-egyenlőtlenség (.) alapján: ( ) n ( ( )) n ) B + +n ( ε ε ε > α A kapott összefüggésből n-et kifejezve: α n > [ > N(ε) : ] α ε ε A fenti N(ε) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határértéke. α > : n a > n n a n a

54 54. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK n a < ε < n a < +ε a < (+ε) n (+ε) n B +n ε > a n > a [ ] a > N(ε) :. ε ε A fenti N(ε) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határértéke. a (a n n n, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. Mivel n n n n n n n, ezért a definícióban szereplő reláció helyett vizsgáljuk a következő összefüggést: n n < ε n < (+ε) n Hatványozás azonosságait és ismét a Bernoulli-egyenlőtlenséget (.) használhatjuk a becslésre: (+ε) n ( +ε) n (+( +ε ) ) n B (+n ( +ε )) > ( +ε ) n > n, } {{ } > ahonnan [ ] n > ( > N(ε) : +ε ) (. +ε ) A fenti N(ε) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határértéke. a (a n n n!, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R N(R) N n > N n n! > R. Ha R, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > esetet. Mivel R >, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát n-edik hatványra emeljük: R n n! n! > R n Rn n! <. R R R... R R... R R... [R] ([R]+)... (n ) n R[R] [R]! R n < n > R[R]+ [R]! [ ] [ R [R]+ N(R) : [R]! R [R] ([R] )! A fenti N(R) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban divergens és a határértéke. ],

55 .. HÁZI FELADATOK 55.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és felső határát. Adjuk meg a határértékét, ha létezik. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján. ) a) a (+ ( )n n+ ; n N b) a ( ) n 5 n+7 ; n N megoldás megoldás

56 56. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK.. Megoldások.. Házi Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és felső határát. Adjuk meg a határértékét, ha létezik. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján. a) a ) (+ ( )n n+ ; n N I. Monotonitás: a nem monoton, hiszen elemei felváltva nagyobbak, illetve kisebbek mint. II. Korlátosság, határok: Legyen ) ( (ν n, n N) a ν (+ ( )n n+, n N + ) n+, n N ) (µ n+, n N) a µ (+ ( )n+ n+, n N ( + n+, n N ). Ekkor (a ν) k > > (a µ) l, k N, l N, és Így sup a sup(a ν) és inf a inf(a µ). Sejtés: sup a sup(a ν) Bizonyítás. i) A (a ν) fésűs (a µ) a. valóban egy jó felső korlát, hiszen (a ν) n + n+ ( <) n+ n+ n n, ami valóban minden n N esetén teljesül. ii) A a legkisebb felső korlát, hiszen (a ν). Az inf a inf(a µ) sejtés hasonlóan igazolható. Egyénileg befejezendő.

57 .. MEGOLDÁSOK 57 III. Konvergencia: sejtés: lim a ε > N N(ε) N n > N a n A < ε. ( )n + n+ < ε ( ) n n+ < ε n+ < ε < n+ ε ε < n {[ ] } N(ε) : max ε ; b) a ( ) n 5 n+7 ; n N I) Monotonitás: a n+ (n+) 5 (n+)+7 n n+9 a n+ a n n n+9 n 5 n+7 (n )(n+7) (n 5)(n+9) (n+9)(n+7) 6n +n 4n 4 (6n +7n n 45) (n+9)(n+7) >, n N. (n+9)(n+7) tehát a sorozat szigorúan monoton növő. II) Konvergencia Sejtés: lim a a n+ > a n, n N, ε > N N(ε) N n > N a n A < ε.

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gazdasági Matematika I.

Gazdasági Matematika I. Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat ANALÍZIS FELADATGYŰJTEMÉNY I Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyben és a közgazdaságtanban Analízis

Részletesebben

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása 5 Tartalomjegyzék Bevezetés.......................................................... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán........... 11 B) Egyváltozós függvényegyenletek megoldása....................

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden Analízis-lexikon abszolút maximumhelye Legyen hogy tetszőleges függvény, és része értelmezési tartományának Azt mondjuk, az -nek -ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden esetén

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ

MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ KÉZI CSABA GÁBOR Date: today. 1 KÉZI CSABA GÁBOR 1. Logikai állítások, műveletek 1.1. Definíció. Matematikai értelemben állításnak nevezünk egy olyan kijelentést, melynek

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben