Komputeralgebra Rendszerek
|
|
- Domokos Szőke
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Komputeralgebra Rendszerek Normálformák, algebrai reprezentáció Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék április 8. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113
2 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az absztrakció szintjei 3 Normál- és kanonikus forma Az egyszerűsítés problémája Egyszerűsítők 4 Polinomok normálformája Többváltozós polinomok Normál formák Racionális kifejezések 5 MAPLE megvalósítások Kifejtés Szorzattá alakítás Egyszerűsítés Normalizáció Együtthatók összevonása Rendezés 6 SAGE megvalósítások Kifejtés TARTALOMJEGYZÉK 2 of 113
3 TARTALOMJEGYZÉK II Szorzattá alakítás Egyszerűsítés Normalizáció TARTALOMJEGYZÉK 3 of 113
4 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Az absztrakció szintjei 4 of 113
5 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. Az absztrakció szintjei 5 of 113
6 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. Az absztrakció szintjei 6 of 113
7 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 Az absztrakció szintjei 7 of 113
8 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 a(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) Az absztrakció szintjei 8 of 113
9 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 a(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) a(x, y) = (12y)x 2 + ( 4y + 9)x Az absztrakció szintjei 9 of 113
10 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 a(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) a(x, y) = (12y)x 2 + ( 4y + 9)x Az adatstruktúra szintje Az adott forma számítógépes reprezentációja. Az absztrakció szintjei 10 of 113
11 Normál- és kanonikus forma 11 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA
12 Normál- és kanonikus forma 12 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja
13 Normál- és kanonikus forma 13 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés
14 Normál- és kanonikus forma 14 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés Emberi értelmezhetőség
15 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés Emberi értelmezhetőség (x + y) 1000 y 1000 vs. x 1000 y 1000 Normál- és kanonikus forma 15 of 113
16 Normál- és kanonikus forma 16 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés Emberi értelmezhetőség (x + y) 1000 y 1000 vs. x 1000 y 1000 Zéró-ekvivalencia Egyszerűbb kérdés, teljes általánosságban algoritmikusan megoldhatatlan: ( 1 x 1) ( ( x ( x log tan + sec 2)) 2) ( ) sin x sinh cos x
17 Normál- és kanonikus forma 17 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció.
18 Normál- és kanonikus forma 18 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség.
19 Normál- és kanonikus forma 19 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők:
20 Normál- és kanonikus forma 20 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re
21 Normál- és kanonikus forma 21 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0)
22 Normál- és kanonikus forma 22 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0) Kanonikus függvény: normál függvény és ha a b, akkor f (a) f (b)
23 Normál- és kanonikus forma 23 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0) Kanonikus függvény: normál függvény és ha a b, akkor f (a) f (b) Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomra a lehetséges beszorzásokat, majd gyűjtsük össze az azonos fokú tagokat.
24 Normál- és kanonikus forma 24 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0) Kanonikus függvény: normál függvény és ha a b, akkor f (a) f (b) Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomra a lehetséges beszorzásokat, majd gyűjtsük össze az azonos fokú tagokat. Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. + rendezzük a tagokat csökkenő sorrendben.
25 TULAJDONSÁGOK I Tétel Ha f egy kanonikus függvény az (E, )-en, akkor 1 f idempotens, azaz f f = f ; 2 f (a) f (b) pontosan akkor, ha a b; 3 Minden E / ekvivalencia osztályban pontosan egy kanonikus alak van. Bizonyítás 1 Mivel f normál függvény, minden a E esetén f (a) a, viszont a kanonikus volta miatt f (f (a)) f (a); 2 A ha irány a definíció; az akkor irányhoz: ha f (a) f (b), úgy a f (a) f (b) b, ezért a b; Normál- és kanonikus forma 25 of 113
26 Normál- és kanonikus forma 26 of 113 TULAJDONSÁGOK II 3 Létezés: Legyen a E, és ā f (a). Ekkor az idempotencia miatt f (ā) f (f (a)) f (a) ā Egyértelműség: Ha ā 1 és ā 2 két kanonikus forma ugyanabban az ekvivalencia osztályban, akkor ā 1 ā 2, a függvény kanonikus volta miatt ezért f (ā 1 ) f (ā 2 ), így ā 1 ā 2.
27 TÖBBVÁLTOZÓS POLINOMOK Legyenek R egy gyűrű, n pozitív egész szám, x 1, x 2,..., x n szimbólumok. Rekurzív: a R[x 1, x 2,..., x n ] magadása deg1 (a) i=0 a i (x 2 ),... x n ) x i 1 Polinomok normálformája 27 of 113
28 TÖBBVÁLTOZÓS POLINOMOK Legyenek R egy gyűrű, n pozitív egész szám, x 1, x 2,..., x n szimbólumok. Rekurzív: a R[x 1, x 2,..., x n ] magadása deg1 (a) i=0 a i (x 2 ),... x n ) x i 1 Disztributív: a(x) = e N n axe Polinomok normálformája 28 of 113
29 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: Polinomok normálformája 29 of 113
30 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; Polinomok normálformája 30 of 113
31 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; Polinomok normálformája 31 of 113
32 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; Polinomok normálformája 32 of 113
33 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: normál függvény. i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; Polinomok normálformája 33 of 113
34 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: Polinomok normálformája 34 of 113
35 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: iii) rendezzük a tagokat fokszám szerint csökkenő sorrendbe. Polinomok normálformája 35 of 113
36 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: iii) rendezzük a tagokat fokszám szerint csökkenő sorrendbe. Polinomok normálformája 36 of 113
37 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: kanonikus függvény. iii) rendezzük a tagokat fokszám szerint csökkenő sorrendbe. Polinomok normálformája 37 of 113
38 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Polinomok normálformája 38 of 113
39 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Polinomok normálformája 39 of 113
40 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Faktorizált kanonikus forma: f4: Alkalmazzuk f 3 -at, majd az összes f 2 (p i )-t faktorizáljuk és gyűjtsük össze az azonos faktorokat. Polinomok normálformája 40 of 113
41 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Faktorizált kanonikus forma: f4: Alkalmazzuk f 3 -at, majd az összes f 2 (p i )-t faktorizáljuk és gyűjtsük össze az azonos faktorokat. Polinomok normálformája 41 of 113
42 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Faktorizált kanonikus forma: f4: Alkalmazzuk f 3 -at, majd az összes f 2 (p i )-t faktorizáljuk és gyűjtsük össze az azonos faktorokat. Polinomok normálformája 42 of 113
43 PÉLDA I Legyen Z[x, y]-ben a(x, y) =((x 2 xy + x) + (x 2 + 3)(x y + 1)) ((y 3 3y 2 9y 5) + x 4 (y 2 + 2y + 1))q,. Disztributív reprezentációban a kiszorzott normál forma: f l (a(x, y)) = 5x 2 y 3 + 3x 2 y 2 13x 2 y 10x 2 + 3x 6 y + 2x 6 xy 4 + 7xy 3 3xy 2 31xy x 5 y 3 + 2x 5 y 2 + 7x 5 y 20x + 4x 5 + x 3 y 3 3x 3 y 2 9x 3 y 5x 3 + x 7 y 2 + 2x 7 y + x 7 x 2 y 4 x 6 y 3 + 7xy 3 3xy 2 31xy 20x 3y y y 2 12y 15. A kiszorzott kanonikus forma: Polinomok normálformája 43 of 113
44 PÉLDA II f 2 (a(x, y)) = x 7 y32 + 2x 7 y + x 7 x 6 y 3 + 3x 6 y + 2x 6 x 5 y 3 + 2x 5 y 2 + 7x 5 y + 4x 5 3 x4y3 3x4 y 2 + 3x 4 y + 3x 4 + x 3 y 3 3x 3 y 2 9x 3 y 5x 3 x 2 y 4 + 5x 2 y 3 + 3x 2 y32 13x 2 y 10x32 xy 4 + 7xy 3 3xy 2 31xy 20x 3y y y 2 12y 15. Faktorizált normál forma: f 3 (a(x, y)) =(x 3 x 2 y + 2x 2 xy + 4x 3y + 3) (x 4 y32 + 2x 4 y + x 4 + y 3 3y 2 9y 5). Faktorizált kanonikus forma: f 4 (a(x, y)) = (x y + 1)(x 2 + x + 3)(x 4 + y 5)(y + 1) 2. Polinomok normálformája 44 of 113
45 ÉSZREVÉTELEK A polinomfaktorizáció költséges, ezért az f 4 -et ritkán valósítják meg; Polinomok normálformája 45 of 113
46 ÉSZREVÉTELEK A polinomfaktorizáció költséges, ezért az f 4 -et ritkán valósítják meg; Az f 1 és f 2 közötti költségtöbblet jelentéktelen, gyakran összevonják Polinomok normálformája 46 of 113
47 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: Polinomok normálformája 47 of 113
48 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; Polinomok normálformája 48 of 113
49 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; ii) egyszerűsítés az lnko-val; Polinomok normálformája 49 of 113
50 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; ii) egyszerűsítés az lnko-val; iii) egység-normalizálás; Polinomok normálformája 50 of 113
51 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; ii) egyszerűsítés az lnko-val; iii) egység-normalizálás; iv) a számláló és a nevező kanonikus alakra hozása. Polinomok normálformája 51 of 113
52 VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; Polinomok normálformája 52 of 113
53 VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; faktorizált/kiszorzott; Polinomok normálformája 53 of 113
54 VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; faktorizált/kiszorzott; kiszorzott/faktorizált; Polinomok normálformája 54 of 113
55 VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; faktorizált/kiszorzott; kiszorzott/faktorizált; kiszorzott/kiszorzott azaz a kanonikus alak. Polinomok normálformája 55 of 113
56 KIFEJTÉS expand MAPLE megvalósítások 56 of 113
57 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; MAPLE megvalósítások 57 of 113
58 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; MAPLE megvalósítások 58 of 113
59 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); MAPLE megvalósítások 59 of 113
60 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); A nem-egész kitevőkkel nem foglalkozik; MAPLE megvalósítások 60 of 113
61 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); A nem-egész kitevőkkel nem foglalkozik; Véges gyűrűk, testek fölött: Expand(expr) mod n plusz evala; MAPLE megvalósítások 61 of 113
62 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); A nem-egész kitevőkkel nem foglalkozik; Véges gyűrűk, testek fölött: Expand(expr) mod n plusz evala; Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP). MAPLE megvalósítások 62 of 113
63 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor MAPLE megvalósítások 63 of 113
64 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); MAPLE megvalósítások 64 of 113
65 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; MAPLE megvalósítások 65 of 113
66 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; MAPLE megvalósítások 66 of 113
67 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; Felbontási test generálása: PolynomialTools:-Split(polynom); MAPLE megvalósítások 67 of 113
68 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; Felbontási test generálása: PolynomialTools:-Split(polynom); AFactor - a C fölötti faktorizáció MAPLE megvalósítások 68 of 113
69 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; Felbontási test generálása: PolynomialTools:-Split(polynom); AFactor - a C fölötti faktorizáció Négyzetmentes faktorizáció convert(poly,squarefree). MAPLE megvalósítások 69 of 113
70 EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify MAPLE megvalósítások 70 of 113
71 EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes:?simplify; MAPLE megvalósítások 71 of 113
72 EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes:?simplify; Értelmezés: A kifejezést egyszerűsíti igény szerint; MAPLE megvalósítások 72 of 113
73 EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes:?simplify; Értelmezés: A kifejezést egyszerűsíti igény szerint; Opciók : pl. radical, ln. A különböző jellegű kifejezések speciális egyszerűsítőinek meghívására.. MAPLE megvalósítások 73 of 113
74 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) MAPLE megvalósítások 74 of 113
75 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); MAPLE megvalósítások 75 of 113
76 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; MAPLE megvalósítások 76 of 113
77 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; Az expanded paraméter a számlálót és a nevezőt felbontja; MAPLE megvalósítások 77 of 113
78 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; Az expanded paraméter a számlálót és a nevezőt felbontja; Általánosított racionális kifejezéseken is működik; MAPLE megvalósítások 78 of 113
79 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; Az expanded paraméter a számlálót és a nevezőt felbontja; Általánosított racionális kifejezéseken is működik; Normal + mod a véges struktúrákban. MAPLE megvalósítások 79 of 113
80 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect MAPLE megvalósítások 80 of 113
81 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; MAPLE megvalósítások 81 of 113
82 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; MAPLE megvalósítások 82 of 113
83 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; A func opció többnyire egyszerűsítés, vagy faktorizáció; MAPLE megvalósítások 83 of 113
84 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; A func opció többnyire egyszerűsítés, vagy faktorizáció; Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre; MAPLE megvalósítások 84 of 113
85 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; A func opció többnyire egyszerűsítés, vagy faktorizáció; Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre; LargeExpressions csomag: Veil Unveil összetett kifejezés elrejtésére MAPLE megvalósítások 85 of 113
86 RENDEZÉS sort MAPLE megvalósítások 86 of 113
87 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); MAPLE megvalósítások 87 of 113
88 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók MAPLE megvalósítások 88 of 113
89 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja MAPLE megvalósítások 89 of 113
90 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja Lehet a polinom fokszám-kezelési módja MAPLE megvalósítások 90 of 113
91 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja Lehet a polinom fokszám-kezelési módja Lehet ascending, descending MAPLE megvalósítások 91 of 113
92 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja Lehet a polinom fokszám-kezelési módja Lehet ascending, descending Listákra is alkalmazható MAPLE megvalósítások 92 of 113
93 KIFEJTÉS.expand A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 93 of 113
94 KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 94 of 113
95 KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a side paraméternek; A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 95 of 113
96 KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a side paraméternek; Használható függvény formában; A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 96 of 113
97 KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a side paraméternek; Használható függvény formában; Léteznek.expand_log(),.expand_trig(),.expand_rational() formák is a megfelelő kifejezésekre. A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 97 of 113
98 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai SAGE megvalósítások 98 of 113
99 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai Szimbolikus gyűrű fölött csak egyszerű illetve.factor() illetve egy rögtön listát adó.factor_list() függvény létezik; SAGE megvalósítások 99 of 113
100 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai Szimbolikus gyűrű fölött csak egyszerű illetve.factor() illetve egy rögtön listát adó.factor_list() függvény létezik; Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetőség van a gyűrűből való kilépés nélkül modulárisan prím szerint faktorizálni:.factor_mod(3). Ha a faktorizálással eredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk; SAGE megvalósítások 100 of 113
101 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai Szimbolikus gyűrű fölött csak egyszerű illetve.factor() illetve egy rögtön listát adó.factor_list() függvény létezik; Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetőség van a gyűrűből való kilépés nélkül modulárisan prím szerint faktorizálni:.factor_mod(3). Ha a faktorizálással eredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk; Szintén itt működik a p-adikus felbontás:.factor_padic(p, prec=10). SAGE megvalósítások 101 of 113
102 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: SAGE megvalósítások 102 of 113
103 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); SAGE megvalósítások 103 of 113
104 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; SAGE megvalósítások 104 of 113
105 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(),.simplify_radical(); SAGE megvalósítások 105 of 113
106 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(),.simplify_radical(); Kombinatorikus kifejezések:.simplify_factorial(); SAGE megvalósítások 106 of 113
107 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(),.simplify_radical(); Kombinatorikus kifejezések:.simplify_factorial(); A.simplify_full() függvény sorrendben a factorial, trig, rational és radical futtatása. SAGE megvalósítások 107 of 113
108 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata SAGE megvalósítások 108 of 113
109 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; SAGE megvalósítások 109 of 113
110 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; SAGE megvalósítások 110 of 113
111 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; noexpand csak közös nevezőre hoz. SAGE megvalósítások 111 of 113
112 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; noexpand csak közös nevezőre hoz. A map (default=false) paraméter a true értéknél részkifejezéseken végzi az egyszerűsítést SAGE megvalósítások 112 of 113
113 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; noexpand csak közös nevezőre hoz. A map (default=false) paraméter a true értéknél részkifejezéseken végzi az egyszerűsítést A.collect_common_factors()-al kikényszeríthető a lehetséges egyszerűsítés SAGE megvalósítások 113 of 113
114 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA A SAGE -ban a beszorzás utáni együttható összevonás számstruktúra fölött automatikus. (A gyűrűbeli fokszám-rendezettségnek megfelelően). Szimbolikus gyűrűben:.collect(sym) a megfelelő rekurzív formába alakít SAGE megvalósítások 114 of 113
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Számkezelés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 53 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az egzakt aritmetika Bignum aritmetika
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenKomputeralgebrai Algoritmusok
Komputeralgebrai Algoritmusok Adatábrázolás Czirbusz Sándor, Komputeralgebra Tanszék 2015-2016 Ősz Többszörös pontosságú egészek Helyiértékes tárolás: l 1 s d i B i i=0 ahol B a számrendszer alapszáma,
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek A szimbolikus megoldó a MAPLE -ben Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. március 4. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 41 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Funkció és
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Részletesebben2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Programozás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. február 23. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 28 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Értékadás MAPLE -ben SAGE -ben 3
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Konstansok, változók, típusok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 110 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Nevek kezelése
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKomputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenKomputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra
Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenAlgebrai egész kifejezések (polinomok)
Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenBanach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.
Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
Részletesebben1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
RészletesebbenKomputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek I. Bevezetés Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar D2.711A 2009-2010 tavasz Tartalomjegyzék 1 Előzetes 2 Komputeralgebra 3 Történeti
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenAlgebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)
Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!
Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4
Részletesebbennappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek Vizsgatematika A szigorlat követelményei:
Matematika Tanszék Matematika műveltségi terület, nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek A szigorlat követelményei: Vizsgatematika A hallgató legyen képes 15-20 perces
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenMaple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007
Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMatematika példatár 4.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenKiegészítő előadás. Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem
Kiegészítő előadás Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Symbolic Math Toolbox áttekintés Szimbolikus változók és konstansok, szimbolikus kifejezések,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA parciális törtekre bontás?
Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus
Részletesebben1. Görbe illesztés a legkissebb négyzetek módszerével
GÖRBE ILLESZTÉS A LEGKISSEBB ÉGYZETEK MÓDSZERÉVEL. Görbe illesztés a legkissebb négyzetek módszerével Az előző gyakorlaton megismerkedtünk a korrelációs együttható fogalmával és számítási módjával. A korrelációs
RészletesebbenI. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
Részletesebben16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,
Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.
Részletesebben1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a
1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
RészletesebbenTartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8
Részletesebben