Komputeralgebra Rendszerek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Komputeralgebra Rendszerek"

Átírás

1 Komputeralgebra Rendszerek Normálformák, algebrai reprezentáció Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék április 8. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113

2 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az absztrakció szintjei 3 Normál- és kanonikus forma Az egyszerűsítés problémája Egyszerűsítők 4 Polinomok normálformája Többváltozós polinomok Normál formák Racionális kifejezések 5 MAPLE megvalósítások Kifejtés Szorzattá alakítás Egyszerűsítés Normalizáció Együtthatók összevonása Rendezés 6 SAGE megvalósítások Kifejtés TARTALOMJEGYZÉK 2 of 113

3 TARTALOMJEGYZÉK II Szorzattá alakítás Egyszerűsítés Normalizáció TARTALOMJEGYZÉK 3 of 113

4 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Az absztrakció szintjei 4 of 113

5 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. Az absztrakció szintjei 5 of 113

6 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. Az absztrakció szintjei 6 of 113

7 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 Az absztrakció szintjei 7 of 113

8 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 a(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) Az absztrakció szintjei 8 of 113

9 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 a(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) a(x, y) = (12y)x 2 + ( 4y + 9)x Az absztrakció szintjei 9 of 113

10 AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 a(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) a(x, y) = (12y)x 2 + ( 4y + 9)x Az adatstruktúra szintje Az adott forma számítógépes reprezentációja. Az absztrakció szintjei 10 of 113

11 Normál- és kanonikus forma 11 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA

12 Normál- és kanonikus forma 12 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja

13 Normál- és kanonikus forma 13 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés

14 Normál- és kanonikus forma 14 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés Emberi értelmezhetőség

15 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés Emberi értelmezhetőség (x + y) 1000 y 1000 vs. x 1000 y 1000 Normál- és kanonikus forma 15 of 113

16 Normál- és kanonikus forma 16 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés Emberi értelmezhetőség (x + y) 1000 y 1000 vs. x 1000 y 1000 Zéró-ekvivalencia Egyszerűbb kérdés, teljes általánosságban algoritmikusan megoldhatatlan: ( 1 x 1) ( ( x ( x log tan + sec 2)) 2) ( ) sin x sinh cos x

17 Normál- és kanonikus forma 17 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció.

18 Normál- és kanonikus forma 18 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség.

19 Normál- és kanonikus forma 19 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők:

20 Normál- és kanonikus forma 20 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re

21 Normál- és kanonikus forma 21 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0)

22 Normál- és kanonikus forma 22 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0) Kanonikus függvény: normál függvény és ha a b, akkor f (a) f (b)

23 Normál- és kanonikus forma 23 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0) Kanonikus függvény: normál függvény és ha a b, akkor f (a) f (b) Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomra a lehetséges beszorzásokat, majd gyűjtsük össze az azonos fokú tagokat.

24 Normál- és kanonikus forma 24 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0) Kanonikus függvény: normál függvény és ha a b, akkor f (a) f (b) Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomra a lehetséges beszorzásokat, majd gyűjtsük össze az azonos fokú tagokat. Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. + rendezzük a tagokat csökkenő sorrendben.

25 TULAJDONSÁGOK I Tétel Ha f egy kanonikus függvény az (E, )-en, akkor 1 f idempotens, azaz f f = f ; 2 f (a) f (b) pontosan akkor, ha a b; 3 Minden E / ekvivalencia osztályban pontosan egy kanonikus alak van. Bizonyítás 1 Mivel f normál függvény, minden a E esetén f (a) a, viszont a kanonikus volta miatt f (f (a)) f (a); 2 A ha irány a definíció; az akkor irányhoz: ha f (a) f (b), úgy a f (a) f (b) b, ezért a b; Normál- és kanonikus forma 25 of 113

26 Normál- és kanonikus forma 26 of 113 TULAJDONSÁGOK II 3 Létezés: Legyen a E, és ā f (a). Ekkor az idempotencia miatt f (ā) f (f (a)) f (a) ā Egyértelműség: Ha ā 1 és ā 2 két kanonikus forma ugyanabban az ekvivalencia osztályban, akkor ā 1 ā 2, a függvény kanonikus volta miatt ezért f (ā 1 ) f (ā 2 ), így ā 1 ā 2.

27 TÖBBVÁLTOZÓS POLINOMOK Legyenek R egy gyűrű, n pozitív egész szám, x 1, x 2,..., x n szimbólumok. Rekurzív: a R[x 1, x 2,..., x n ] magadása deg1 (a) i=0 a i (x 2 ),... x n ) x i 1 Polinomok normálformája 27 of 113

28 TÖBBVÁLTOZÓS POLINOMOK Legyenek R egy gyűrű, n pozitív egész szám, x 1, x 2,..., x n szimbólumok. Rekurzív: a R[x 1, x 2,..., x n ] magadása deg1 (a) i=0 a i (x 2 ),... x n ) x i 1 Disztributív: a(x) = e N n axe Polinomok normálformája 28 of 113

29 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: Polinomok normálformája 29 of 113

30 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; Polinomok normálformája 30 of 113

31 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; Polinomok normálformája 31 of 113

32 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; Polinomok normálformája 32 of 113

33 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: normál függvény. i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; Polinomok normálformája 33 of 113

34 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: Polinomok normálformája 34 of 113

35 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: iii) rendezzük a tagokat fokszám szerint csökkenő sorrendbe. Polinomok normálformája 35 of 113

36 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: iii) rendezzük a tagokat fokszám szerint csökkenő sorrendbe. Polinomok normálformája 36 of 113

37 NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: kanonikus függvény. iii) rendezzük a tagokat fokszám szerint csökkenő sorrendbe. Polinomok normálformája 37 of 113

38 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Polinomok normálformája 38 of 113

39 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Polinomok normálformája 39 of 113

40 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Faktorizált kanonikus forma: f4: Alkalmazzuk f 3 -at, majd az összes f 2 (p i )-t faktorizáljuk és gyűjtsük össze az azonos faktorokat. Polinomok normálformája 40 of 113

41 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Faktorizált kanonikus forma: f4: Alkalmazzuk f 3 -at, majd az összes f 2 (p i )-t faktorizáljuk és gyűjtsük össze az azonos faktorokat. Polinomok normálformája 41 of 113

42 NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Faktorizált kanonikus forma: f4: Alkalmazzuk f 3 -at, majd az összes f 2 (p i )-t faktorizáljuk és gyűjtsük össze az azonos faktorokat. Polinomok normálformája 42 of 113

43 PÉLDA I Legyen Z[x, y]-ben a(x, y) =((x 2 xy + x) + (x 2 + 3)(x y + 1)) ((y 3 3y 2 9y 5) + x 4 (y 2 + 2y + 1))q,. Disztributív reprezentációban a kiszorzott normál forma: f l (a(x, y)) = 5x 2 y 3 + 3x 2 y 2 13x 2 y 10x 2 + 3x 6 y + 2x 6 xy 4 + 7xy 3 3xy 2 31xy x 5 y 3 + 2x 5 y 2 + 7x 5 y 20x + 4x 5 + x 3 y 3 3x 3 y 2 9x 3 y 5x 3 + x 7 y 2 + 2x 7 y + x 7 x 2 y 4 x 6 y 3 + 7xy 3 3xy 2 31xy 20x 3y y y 2 12y 15. A kiszorzott kanonikus forma: Polinomok normálformája 43 of 113

44 PÉLDA II f 2 (a(x, y)) = x 7 y32 + 2x 7 y + x 7 x 6 y 3 + 3x 6 y + 2x 6 x 5 y 3 + 2x 5 y 2 + 7x 5 y + 4x 5 3 x4y3 3x4 y 2 + 3x 4 y + 3x 4 + x 3 y 3 3x 3 y 2 9x 3 y 5x 3 x 2 y 4 + 5x 2 y 3 + 3x 2 y32 13x 2 y 10x32 xy 4 + 7xy 3 3xy 2 31xy 20x 3y y y 2 12y 15. Faktorizált normál forma: f 3 (a(x, y)) =(x 3 x 2 y + 2x 2 xy + 4x 3y + 3) (x 4 y32 + 2x 4 y + x 4 + y 3 3y 2 9y 5). Faktorizált kanonikus forma: f 4 (a(x, y)) = (x y + 1)(x 2 + x + 3)(x 4 + y 5)(y + 1) 2. Polinomok normálformája 44 of 113

45 ÉSZREVÉTELEK A polinomfaktorizáció költséges, ezért az f 4 -et ritkán valósítják meg; Polinomok normálformája 45 of 113

46 ÉSZREVÉTELEK A polinomfaktorizáció költséges, ezért az f 4 -et ritkán valósítják meg; Az f 1 és f 2 közötti költségtöbblet jelentéktelen, gyakran összevonják Polinomok normálformája 46 of 113

47 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: Polinomok normálformája 47 of 113

48 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; Polinomok normálformája 48 of 113

49 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; ii) egyszerűsítés az lnko-val; Polinomok normálformája 49 of 113

50 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; ii) egyszerűsítés az lnko-val; iii) egység-normalizálás; Polinomok normálformája 50 of 113

51 RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; ii) egyszerűsítés az lnko-val; iii) egység-normalizálás; iv) a számláló és a nevező kanonikus alakra hozása. Polinomok normálformája 51 of 113

52 VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; Polinomok normálformája 52 of 113

53 VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; faktorizált/kiszorzott; Polinomok normálformája 53 of 113

54 VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; faktorizált/kiszorzott; kiszorzott/faktorizált; Polinomok normálformája 54 of 113

55 VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; faktorizált/kiszorzott; kiszorzott/faktorizált; kiszorzott/kiszorzott azaz a kanonikus alak. Polinomok normálformája 55 of 113

56 KIFEJTÉS expand MAPLE megvalósítások 56 of 113

57 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; MAPLE megvalósítások 57 of 113

58 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; MAPLE megvalósítások 58 of 113

59 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); MAPLE megvalósítások 59 of 113

60 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); A nem-egész kitevőkkel nem foglalkozik; MAPLE megvalósítások 60 of 113

61 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); A nem-egész kitevőkkel nem foglalkozik; Véges gyűrűk, testek fölött: Expand(expr) mod n plusz evala; MAPLE megvalósítások 61 of 113

62 KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); A nem-egész kitevőkkel nem foglalkozik; Véges gyűrűk, testek fölött: Expand(expr) mod n plusz evala; Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP). MAPLE megvalósítások 62 of 113

63 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor MAPLE megvalósítások 63 of 113

64 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); MAPLE megvalósítások 64 of 113

65 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; MAPLE megvalósítások 65 of 113

66 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; MAPLE megvalósítások 66 of 113

67 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; Felbontási test generálása: PolynomialTools:-Split(polynom); MAPLE megvalósítások 67 of 113

68 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; Felbontási test generálása: PolynomialTools:-Split(polynom); AFactor - a C fölötti faktorizáció MAPLE megvalósítások 68 of 113

69 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; Felbontási test generálása: PolynomialTools:-Split(polynom); AFactor - a C fölötti faktorizáció Négyzetmentes faktorizáció convert(poly,squarefree). MAPLE megvalósítások 69 of 113

70 EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify MAPLE megvalósítások 70 of 113

71 EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes:?simplify; MAPLE megvalósítások 71 of 113

72 EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes:?simplify; Értelmezés: A kifejezést egyszerűsíti igény szerint; MAPLE megvalósítások 72 of 113

73 EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes:?simplify; Értelmezés: A kifejezést egyszerűsíti igény szerint; Opciók : pl. radical, ln. A különböző jellegű kifejezések speciális egyszerűsítőinek meghívására.. MAPLE megvalósítások 73 of 113

74 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) MAPLE megvalósítások 74 of 113

75 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); MAPLE megvalósítások 75 of 113

76 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; MAPLE megvalósítások 76 of 113

77 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; Az expanded paraméter a számlálót és a nevezőt felbontja; MAPLE megvalósítások 77 of 113

78 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; Az expanded paraméter a számlálót és a nevezőt felbontja; Általánosított racionális kifejezéseken is működik; MAPLE megvalósítások 78 of 113

79 NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; Az expanded paraméter a számlálót és a nevezőt felbontja; Általánosított racionális kifejezéseken is működik; Normal + mod a véges struktúrákban. MAPLE megvalósítások 79 of 113

80 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect MAPLE megvalósítások 80 of 113

81 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; MAPLE megvalósítások 81 of 113

82 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; MAPLE megvalósítások 82 of 113

83 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; A func opció többnyire egyszerűsítés, vagy faktorizáció; MAPLE megvalósítások 83 of 113

84 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; A func opció többnyire egyszerűsítés, vagy faktorizáció; Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre; MAPLE megvalósítások 84 of 113

85 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; A func opció többnyire egyszerűsítés, vagy faktorizáció; Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre; LargeExpressions csomag: Veil Unveil összetett kifejezés elrejtésére MAPLE megvalósítások 85 of 113

86 RENDEZÉS sort MAPLE megvalósítások 86 of 113

87 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); MAPLE megvalósítások 87 of 113

88 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók MAPLE megvalósítások 88 of 113

89 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja MAPLE megvalósítások 89 of 113

90 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja Lehet a polinom fokszám-kezelési módja MAPLE megvalósítások 90 of 113

91 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja Lehet a polinom fokszám-kezelési módja Lehet ascending, descending MAPLE megvalósítások 91 of 113

92 RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja Lehet a polinom fokszám-kezelési módja Lehet ascending, descending Listákra is alkalmazható MAPLE megvalósítások 92 of 113

93 KIFEJTÉS.expand A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 93 of 113

94 KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 94 of 113

95 KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a side paraméternek; A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 95 of 113

96 KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a side paraméternek; Használható függvény formában; A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 96 of 113

97 KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a side paraméternek; Használható függvény formában; Léteznek.expand_log(),.expand_trig(),.expand_rational() formák is a megfelelő kifejezésekre. A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 97 of 113

98 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai SAGE megvalósítások 98 of 113

99 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai Szimbolikus gyűrű fölött csak egyszerű illetve.factor() illetve egy rögtön listát adó.factor_list() függvény létezik; SAGE megvalósítások 99 of 113

100 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai Szimbolikus gyűrű fölött csak egyszerű illetve.factor() illetve egy rögtön listát adó.factor_list() függvény létezik; Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetőség van a gyűrűből való kilépés nélkül modulárisan prím szerint faktorizálni:.factor_mod(3). Ha a faktorizálással eredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk; SAGE megvalósítások 100 of 113

101 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai Szimbolikus gyűrű fölött csak egyszerű illetve.factor() illetve egy rögtön listát adó.factor_list() függvény létezik; Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetőség van a gyűrűből való kilépés nélkül modulárisan prím szerint faktorizálni:.factor_mod(3). Ha a faktorizálással eredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk; Szintén itt működik a p-adikus felbontás:.factor_padic(p, prec=10). SAGE megvalósítások 101 of 113

102 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: SAGE megvalósítások 102 of 113

103 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); SAGE megvalósítások 103 of 113

104 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; SAGE megvalósítások 104 of 113

105 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(),.simplify_radical(); SAGE megvalósítások 105 of 113

106 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(),.simplify_radical(); Kombinatorikus kifejezések:.simplify_factorial(); SAGE megvalósítások 106 of 113

107 EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(),.simplify_radical(); Kombinatorikus kifejezések:.simplify_factorial(); A.simplify_full() függvény sorrendben a factorial, trig, rational és radical futtatása. SAGE megvalósítások 107 of 113

108 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata SAGE megvalósítások 108 of 113

109 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; SAGE megvalósítások 109 of 113

110 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; SAGE megvalósítások 110 of 113

111 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; noexpand csak közös nevezőre hoz. SAGE megvalósítások 111 of 113

112 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; noexpand csak közös nevezőre hoz. A map (default=false) paraméter a true értéknél részkifejezéseken végzi az egyszerűsítést SAGE megvalósítások 112 of 113

113 NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; noexpand csak közös nevezőre hoz. A map (default=false) paraméter a true értéknél részkifejezéseken végzi az egyszerűsítést A.collect_common_factors()-al kikényszeríthető a lehetséges egyszerűsítés SAGE megvalósítások 113 of 113

114 EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA A SAGE -ban a beszorzás utáni együttható összevonás számstruktúra fölött automatikus. (A gyűrűbeli fokszám-rendezettségnek megfelelően). Szimbolikus gyűrűben:.collect(sym) a megfelelő rekurzív formába alakít SAGE megvalósítások 114 of 113

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Számkezelés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 53 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az egzakt aritmetika Bignum aritmetika

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Komputeralgebrai Algoritmusok

Komputeralgebrai Algoritmusok Komputeralgebrai Algoritmusok Adatábrázolás Czirbusz Sándor, Komputeralgebra Tanszék 2015-2016 Ősz Többszörös pontosságú egészek Helyiértékes tárolás: l 1 s d i B i i=0 ahol B a számrendszer alapszáma,

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek A szimbolikus megoldó a MAPLE -ben Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. március 4. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 41 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Funkció és

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

2. Algebrai átalakítások

2. Algebrai átalakítások I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim. Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Programozás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. február 23. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 28 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Értékadás MAPLE -ben SAGE -ben 3

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Konstansok, változók, típusok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 110 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Nevek kezelése

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Komputeralgebra rendszerek

Komputeralgebra rendszerek Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

1. Polinomok számelmélete

1. Polinomok számelmélete 1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,

Részletesebben

Komputeralgebra rendszerek

Komputeralgebra rendszerek Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Polinomok maradékos osztása

Polinomok maradékos osztása 14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik

Részletesebben

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

1. Egész együtthatós polinomok

1. Egész együtthatós polinomok 1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak

Részletesebben

Komputeralgebra rendszerek

Komputeralgebra rendszerek Komputeralgebra rendszerek I. Bevezetés Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar D2.711A 2009-2010 tavasz Tartalomjegyzék 1 Előzetes 2 Komputeralgebra 3 Történeti

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +

Részletesebben

Gy ur uk aprilis 11.

Gy ur uk aprilis 11. Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek Vizsgatematika A szigorlat követelményei:

nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek Vizsgatematika A szigorlat követelményei: Matematika Tanszék Matematika műveltségi terület, nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek A szigorlat követelményei: Vizsgatematika A hallgató legyen képes 15-20 perces

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők. 1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Kiegészítő előadás. Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem

Kiegészítő előadás. Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem Kiegészítő előadás Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Symbolic Math Toolbox áttekintés Szimbolikus változók és konstansok, szimbolikus kifejezések,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

1. Görbe illesztés a legkissebb négyzetek módszerével

1. Görbe illesztés a legkissebb négyzetek módszerével GÖRBE ILLESZTÉS A LEGKISSEBB ÉGYZETEK MÓDSZERÉVEL. Görbe illesztés a legkissebb négyzetek módszerével Az előző gyakorlaton megismerkedtünk a korrelációs együttható fogalmával és számítási módjával. A korrelációs

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom, Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.

Részletesebben

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a 1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben