Komputeralgebra Rendszerek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Komputeralgebra Rendszerek"

Átírás

1 Komputeralgebra Rendszerek Számkezelés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 53

2 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az egzakt aritmetika Bignum aritmetika Néhány szó a típusokról Egészek Racionális számok A köztes tárrobbanás 3 Valós számok A MAPLE valósai A SAGE valósai 4 Algebrai számok Algebrai számok a MAPLE -ben Algebrai számok a SAGE -ben 5 Komplex számok Komplex számok a MAPLE -ben Komplex számok a SAGE -ben TARTALOMJEGYZÉK 2 of 53

3 BIGNUM ARITMETIKA A komputeralgebra rendszerek az aktuálisan használt matematikai struktúrában pontosan számolnak; ez a tetszőleges pontosságú aritmetika, vagy többszörös pontosságú aritmetika. A begépelt számról. esetleg kifejezésről a forma alapján azonnal eldöntik, mely struktúrába 1 tartoznak. 1 Ez a MAPLE esetén többnyire egész-, racionális-, vagy komplex szám lehet,vagy efölötti polinom SAGE esetén egész- vagy racionális szám, vagy a szimbolikus gyűrű egy eleme Az egzakt aritmetika 3 of 53

4 BIGNUM ARITMETIKA A komputeralgebra rendszerek az aktuálisan használt matematikai struktúrában pontosan számolnak; ez a tetszőleges pontosságú aritmetika, vagy többszörös pontosságú aritmetika. A begépelt számról. esetleg kifejezésről a forma alapján azonnal eldöntik, mely struktúrába 1 tartoznak. A műveleteket az adott struktúrában hajtják végre (figyelembe véve a tartalmazási relációkat). 1 Ez a MAPLE esetén többnyire egész-, racionális-, vagy komplex szám lehet,vagy efölötti polinom SAGE esetén egész- vagy racionális szám, vagy a szimbolikus gyűrű egy eleme Az egzakt aritmetika 4 of 53

5 BIGNUM ARITMETIKA A komputeralgebra rendszerek az aktuálisan használt matematikai struktúrában pontosan számolnak; ez a tetszőleges pontosságú aritmetika, vagy többszörös pontosságú aritmetika. A begépelt számról. esetleg kifejezésről a forma alapján azonnal eldöntik, mely struktúrába 1 tartoznak. A műveleteket az adott struktúrában hajtják végre (figyelembe véve a tartalmazási relációkat). Az eredmény a legbővebb alkalmazott struktúrában a pontos eredmény 1 Ez a MAPLE esetén többnyire egész-, racionális-, vagy komplex szám lehet,vagy efölötti polinom SAGE esetén egész- vagy racionális szám, vagy a szimbolikus gyűrű egy eleme Az egzakt aritmetika 5 of 53

6 NÉHÁNY SZÓ A TÍPUSOKRÓL A nem-szimbolikus nyelvek típusai a számítógépes megvalósíthatóság alapján modellezik a típusokat, nem tükrözik egyértelműen a matematikai hovatartozását egy objektumnak. Az egzakt aritmetika 6 of 53

7 NÉHÁNY SZÓ A TÍPUSOKRÓL A nem-szimbolikus nyelvek típusai a számítógépes megvalósíthatóság alapján modellezik a típusokat, nem tükrözik egyértelműen a matematikai hovatartozását egy objektumnak. A komputeralgebra rendszerek a matematikai tipizálást használják, ezért a típusok mindig algebra struktúrák, és halamzok, illetve az ezekkel végzett műveletek eredménystruktúrái, halmazai. Az egzakt aritmetika 7 of 53

8 NÉHÁNY SZÓ A TÍPUSOKRÓL A nem-szimbolikus nyelvek típusai a számítógépes megvalósíthatóság alapján modellezik a típusokat, nem tükrözik egyértelműen a matematikai hovatartozását egy objektumnak. A komputeralgebra rendszerek a matematikai tipizálást használják, ezért a típusok mindig algebra struktúrák, és halamzok, illetve az ezekkel végzett műveletek eredménystruktúrái, halmazai. a típuskezelés dinamikus Az egzakt aritmetika 8 of 53

9 EGÉSZEK I A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMP ill. MPIR (az előző forkja). Az egzakt aritmetika 9 of 53

10 EGÉSZEK I A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMP ill. MPIR (az előző forkja). A reprezentáció helyiértékes, nem bináris. Az egzakt aritmetika 10 of 53

11 EGÉSZEK I A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMP ill. MPIR (az előző forkja). A reprezentáció helyiértékes, nem bináris. Automatikusan felismert típus. Az egzakt aritmetika 11 of 53

12 EGÉSZEK I A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMP ill. MPIR (az előző forkja). A reprezentáció helyiértékes, nem bináris. Automatikusan felismert típus. Műveletek: az alapműveletek közül az osztás eredménye lehet racionális. Az egzakt aritmetika 12 of 53

13 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Az egzakt aritmetika 13 of 53

14 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Dinamikus adatvektor int± n i 0 i 1... i n Az egzakt aritmetika 14 of 53

15 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Dinamikus adatvektor int± n i 0 i 1... i n Kis egészek: egy szóban (C adatkezelés) Az egzakt aritmetika 15 of 53

16 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Dinamikus adatvektor int± n i 0 i 1... i n Kis egészek: egy szóban (C adatkezelés) A számrendszer alapszáma: Az egzakt aritmetika 16 of 53

17 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Dinamikus adatvektor int± n i 0 i 1... i n Kis egészek: egy szóban (C adatkezelés) A számrendszer alapszáma: A SAGE egészei A ZZ tartomány elemei, objektumként is kezelhetők. Az egzakt aritmetika 17 of 53

18 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) Az egzakt aritmetika 18 of 53

19 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //) Az egzakt aritmetika 19 of 53

20 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //) prímfaktorizáció (ifactor, ifactors,illetve factor) Az egzakt aritmetika 20 of 53

21 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //) prímfaktorizáció (ifactor, ifactors,illetve factor) Az egzakt aritmetika 21 of 53

22 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //) prímfaktorizáció (ifactor, ifactors,illetve factor) A SAGE függvényei a számok objektum-tulajdonságaként is alkalmazható. Az egzakt aritmetika 22 of 53

23 RACIONÁLIS SZÁMOK I Ha az egészek ábrázolása adott, a CAS-ok a racionális számokat ugyanúgy ábrázolják: rac. rac. rac. int int int int Az összenyilazás a MAPLE jellegzetessége Az egzakt aritmetika 23 of 53

24 RACIONÁLIS SZÁMOK II Mind a MAPLE mind a SAGE automatikus egyszerűsítést végez: a számláló és a nevező lnko-jával osztja a számlálót és a nevezőt Az egzakt aritmetika 24 of 53

25 RACIONÁLIS SZÁMOK II Mind a MAPLE mind a SAGE automatikus egyszerűsítést végez: a számláló és a nevező lnko-jával osztja a számlálót és a nevezőt A számláló és a nevező hasonló nevű függvényekkel külön kezelhető: numer(), denom() Az egzakt aritmetika 25 of 53

26 A KÖZTES TÁRROBBANÁS Az egzakt aritmetika következménye a köztes tárrobbanás: 1 Nem-szimbolikus rendszerben tárolhatatlan: = (A számláló és a nevező relatív prím) Az egzakt aritmetika 26 of 53

27 A KÖZTES TÁRROBBANÁS Az egzakt aritmetika következménye a köztes tárrobbanás: 1 Nem-szimbolikus rendszerben tárolhatatlan: = (A számláló és a nevező relatív prím) 2 Amikor a közbülső számítás a lényeg: = = 1 3. Az egzakt aritmetika 27 of 53

28 A KÖZTES TÁRROBBANÁS Az egzakt aritmetika következménye a köztes tárrobbanás: 1 Nem-szimbolikus rendszerben tárolhatatlan: = (A számláló és a nevező relatív prím) 2 Amikor a közbülső számítás a lényeg: = = 1 3. Az egzakt aritmetika 28 of 53

29 A KÖZTES TÁRROBBANÁS Az egzakt aritmetika következménye a köztes tárrobbanás: 1 Nem-szimbolikus rendszerben tárolhatatlan: = (A számláló és a nevező relatív prím) 2 Amikor a közbülső számítás a lényeg: = = 1 3. A legnagyobb közös osztót mindenképpen kiszámítása és az automatikus egyszerűsítés mindig megtörténik. Az egzakt aritmetika 29 of 53

30 Valós számok 30 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika

31 Valós számok 31 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával

32 Valós számok 32 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával Lebegőbontos szám megadása: , , Float(10, 7)

33 Valós számok 33 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával Lebegőbontos szám megadása: , , Float(10, 7) evalf(...), convert(...)

34 Valós számok 34 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával Lebegőbontos szám megadása: , , Float(10, 7) evalf(...), convert(...) interface(displayprecision=n): kijelzési pontosság, n = 1 az alaphelyzet

35 Valós számok 35 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával Lebegőbontos szám megadása: , , Float(10, 7) evalf(...), convert(...) interface(displayprecision=n): kijelzési pontosság, n = 1 az alaphelyzet A evalhf procedúra - HW lebegőpontos aritmetika, a grafika használja. Az eredményeket duplapontosan adja, (Digits=15)

36 Valós számok 36 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok

37 Valós számok 37 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak

38 Valós számok 38 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható

39 Valós számok 39 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható Konverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterként az értékes jegyeket és a pontosságot

40 Valós számok 40 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható Konverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterként az értékes jegyeket és a pontosságot Dupla pontos számok

41 Valós számok 41 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható Konverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterként az értékes jegyeket és a pontosságot Dupla pontos számok A hardware lebegőpontosnak felel meg, az RDF-gyűrű a szülő-objektum.

42 Valós számok 42 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható Konverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterként az értékes jegyeket és a pontosságot Dupla pontos számok A hardware lebegőpontosnak felel meg, az RDF-gyűrű a szülő-objektum. A pontosság 15 bit.

43 ALGEBRAI SZÁMOK A MAPLE -BEN I nem alapvető adattípus Ábrázolás: a RootOf procedúra segítségével Példa alpha:= RootOf(x^7-2): simplify(alpha^7); 2 Az α értékkel ugyanúgy dolgozhatunk ezután, mint más értékkel. Algebrai számok 43 of 53

44 Algebrai számok 44 of 53

45 ALGEBRAI SZÁMOK A SAGE-BEN I A megvalósításban itt már komoly különbség van a két rendszer között. A SAGE -ben a racionális számkör az alapértelmezett, de a többi szám-struktúrában explicite definiálni kell a Q testbővítését. Példa: K.<a> = NumberField(x^7-2) a^7 2 Innentől kezdve a K testet is használhatjuk, az összes a + 1, 2 a alakú kifejezés e test eleme. Algebrai számok 45 of 53

46 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Komplex számok 46 of 53

47 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Komplex számok 47 of 53

48 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Az alapvető adatok Re(), Im(), conjugate(), abs(),argument(). Komplex számok 48 of 53

49 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Az alapvető adatok Re(), Im(), conjugate(), abs(),argument(). Komplex előjel: csgn(). Komplex számok 49 of 53

50 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Az alapvető adatok Re(), Im(), conjugate(), abs(),argument(). Komplex előjel: csgn(). A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóval állítható. Komplex számok 50 of 53

51 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Az alapvető adatok Re(), Im(), conjugate(), abs(),argument(). Komplex előjel: csgn(). A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóval állítható. Különböző kiértékelő függvények: evalc szimbolikusan kezeli a komplex számot, evalf, evalhf a valós és komplex részt lebegőpontosan. Komplex számok 51 of 53

52 KOMPLEX SZÁMOK A SAGE -BEN I A szigorú algebrai felépítés miatt az RR bővítése a ComplexField avagy CC test, így konkrét értékekkel kell számolni: Példa: a = CC(12 + i); a *I A komplex számról információk: a.abs(), a.arg(), a.imag(), a.real(), a.conjugate(). Ugyanúgy, mint a valós számokban, definiálhatók a komplex dupla-pontosnak is. Komplex számok 52 of 53

53 KOMPLEX SZÁMOK A SAGE -BEN II A Sage szimbolikus gyűrűje fölött szimbolikusan is számolhatunk komplexekkel a = 1 + i; a Symbolic Ring a.imag() 1 a*a.conjugate() 2 A függvények ugyanazok, minden művelet ugyanúgy történik. Komplex számok 53 of 53

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak

Részletesebben

Komputeralgebrai Algoritmusok

Komputeralgebrai Algoritmusok Komputeralgebrai Algoritmusok Adatábrázolás Czirbusz Sándor, Komputeralgebra Tanszék 2015-2016 Ősz Többszörös pontosságú egészek Helyiértékes tárolás: l 1 s d i B i i=0 ahol B a számrendszer alapszáma,

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Normálformák, algebrai reprezentáció Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. április 8. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az absztrakció

Részletesebben

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Konstansok, változók, típusok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 110 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Nevek kezelése

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek A MAPLE és a SAGE felépítése Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 17. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 1 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 2 of 1 A MAPLE 3 of 1 ÖSSZETEVŐK

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Bevezető és történeti áttekintés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 17. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 73 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Mi a komputeralgebra

Részletesebben

LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS

LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS A fixpontos operandusoknak azt a hátrányát, hogy az ábrázolás adott hossza miatt csak korlátozott nagyságú és csak egész számok ábrázolhatók, a lebegőpontos számábrázolás küszöböli

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek A szimbolikus megoldó a MAPLE -ben Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. március 4. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 41 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Funkció és

Részletesebben

5. Fejezet : Lebegőpontos számok

5. Fejezet : Lebegőpontos számok 5. Fejezet : Lebegőpontos The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College Linda

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Bevezető és történeti áttekintés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2017. február 12. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 82 TARTALOMJEGYZÉK 1 Mi a komputeralgebra 2 Történet

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Számítógépes Hálózatok. 7. gyakorlat

Számítógépes Hálózatok. 7. gyakorlat Számítógépes Hálózatok 7. gyakorlat Gyakorlat tematika Hibajelző kód: CRC számítás Órai / házi feladat Számítógépes Hálózatok Gyakorlat 7. 2 CRC hibajelző kód emlékeztető Forrás: Dr. Lukovszki Tamás fóliái

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

2. Fejezet : Számrendszerek

2. Fejezet : Számrendszerek 2. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College

Részletesebben

4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN

4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN MATEMATIK A 9. évfolyam 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN KÉSZÍTETTE: DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003

The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 . Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne,

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok

Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok Hallgatói munkák 2017 2018 Készítő: Maurer Márton (GI, nappali, 2017) Elméleti háttér A szita a neves ókori görög matematikus, Eratoszthenész módszere, amelynek

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Assembly programozás: 2. gyakorlat

Assembly programozás: 2. gyakorlat Assembly programozás: 2. gyakorlat Számrendszerek: Kettes (bináris) számrendszer: {0, 1} Nyolcas (oktális) számrendszer: {0,..., 7} Tízes (decimális) számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális

Részletesebben

5. Fejezet : Lebegőpontos számok. Lebegőpontos számok

5. Fejezet : Lebegőpontos számok. Lebegőpontos számok 5. Fejezet : Lebegőpontos The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College Linda

Részletesebben

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Máté: Számítógép architektúrák

Máté: Számítógép architektúrák Fixpontos számok Pl.: előjeles kétjegyű decimális számok : Ábrázolási tartomány: [-99, +99]. Pontosság (két szomszédos szám különbsége): 1. Maximális hiba: (az ábrázolási tartományba eső) tetszőleges valós

Részletesebben

Informatikai Rendszerek Alapjai

Informatikai Rendszerek Alapjai Informatikai Rendszerek Alapjai Egész és törtszámok bináris ábrázolása http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 5/1 A mintavételezett (egész) számok bináris ábrázolása 2 n-1 2 0 1 1 0 1 0 n Most Significant

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Komputeralgebra rendszerek

Komputeralgebra rendszerek Komputeralgebra rendszerek I. Bevezetés Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar D2.711A 2009-2010 tavasz Tartalomjegyzék 1 Előzetes 2 Komputeralgebra 3 Történeti

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1. Egész együtthatós polinomok

1. Egész együtthatós polinomok 1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

S0-02 Típusmodellek (Programozás elmélet)

S0-02 Típusmodellek (Programozás elmélet) S0-02 Típusmodellek (Programozás elmélet) Tartalom 1. Absztrakt adattípus 2. Adattípus specifikációja 3. Adattípus osztály 4. Paraméterátadás 5. Reprezentációs függvény 6. Öröklődés és polimorfizmus 7.

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Programozás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. február 23. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 28 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Értékadás MAPLE -ben SAGE -ben 3

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Java II. I A Java programozási nyelv alapelemei

Java II. I A Java programozási nyelv alapelemei Java II. I A Java programozási nyelv alapelemei Miskolci Egyetem Általános Informatikai Tanszék Utolsó módosítás: 2008. 02. 19. Java II.: Alapelemek JAVA2 / 1 A Java formalizmusa A C, illetve az annak

Részletesebben

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges

Részletesebben

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: és Byte: 8 bit 28 64 32 6 8 4 2 bináris decimális

Részletesebben

Összetett feladatok megoldása

Összetett feladatok megoldása Összetett feladatok megoldása F1. A laboratóriumi feladat a legnagyobb közös osztó kiszámító algoritmusának realizálása digitális hardver eszközökkel. Az Euklideszi algoritmus alapja a maradékos osztás,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):

Részletesebben

Komputeralgebra rendszerek

Komputeralgebra rendszerek Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése

Részletesebben

A programozás alapjai előadás. A C nyelv típusai. Egész típusok. C típusok. Előjeles egészek kettes komplemens kódú ábrázolása

A programozás alapjai előadás. A C nyelv típusai. Egész típusok. C típusok. Előjeles egészek kettes komplemens kódú ábrázolása A programozás alapjai 1 A C nyelv típusai 4. előadás Híradástechnikai Tanszék C típusok -void - skalár: - aritmetikai: - egész: - eger - karakter - felsorolás - lebegőpontos - mutató - függvény - union

Részletesebben

Komputeralgebra rendszerek

Komputeralgebra rendszerek Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik 1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Data Security: Public key

Data Security: Public key Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb

Részletesebben

5-6. ea Created by mrjrm & Pogácsa, frissítette: Félix

5-6. ea Created by mrjrm & Pogácsa, frissítette: Félix 2. Adattípusonként különböző regisztertér Célja: az adatfeldolgozás gyorsítása - különös tekintettel a lebegőpontos adatábrázolásra. Szorzás esetén karakterisztika összeadódik, mantissza összeszorzódik.

Részletesebben

Számítógépes Számelmélet

Számítógépes Számelmélet czirbusz@gmail.com http://compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/ Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA hét

Digitális technika VIMIAA hét BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK VIMIAA02 14. hét Fehér Béla BME MIT Rövid visszatekintés, összefoglaló

Részletesebben

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,

Részletesebben

Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete, eszköz jellegű

Részletesebben

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA hét

Digitális technika VIMIAA hét BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA02 14. hét Fehér Béla BME MIT Digitális technika

Részletesebben

Kifejezések. Kozsik Tamás. December 11, 2016

Kifejezések. Kozsik Tamás. December 11, 2016 Kifejezések Kozsik Tamás December 11, 2016 Kifejezés versus utasítás C/C++: kifejezés plusz pontosvessző: utasítás kiértékeli a kifejezést jellemzően: mellékhatása is van például: értékadás Ada: n = 5;

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

NAGYPONTOSSÁGÚ RACIONÁLIS-ARITMETIKA EXCEL VISUAL BASIC KÖRNYEZETBEN TARTALOM

NAGYPONTOSSÁGÚ RACIONÁLIS-ARITMETIKA EXCEL VISUAL BASIC KÖRNYEZETBEN TARTALOM NAGYPONTOSSÁGÚ RACIONÁLIS-ARITMETIKA EXCEL VISUAL BASIC KÖRNYEZETBEN TARTALOM 0. A feladat... 2 1. A racionális számok ábrázolásai... 2 2. A műveletek... 3 A műveletek szignatúrája... 3 A műveletek algoritmusa...

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F}

3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} 3. gyakorlat Számrendszerek: Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} Alaki érték: 0, 1, 2,..., 9,... Helyi

Részletesebben

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: 0 és 1 Byte: 8 bit 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 1 1

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek Vizsgatematika A szigorlat követelményei:

nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek Vizsgatematika A szigorlat követelményei: Matematika Tanszék Matematika műveltségi terület, nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek A szigorlat követelményei: Vizsgatematika A hallgató legyen képes 15-20 perces

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

INFO1 Számok és karakterek

INFO1 Számok és karakterek INFO1 Számok és karakterek Wettl Ferenc 2015. szeptember 29. Wettl Ferenc INFO1 Számok és karakterek 2015. szeptember 29. 1 / 22 Tartalom 1 Bináris számok, kettes komplemens számábrázolás Kettes számrendszer

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9 Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek

Részletesebben

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA02 1. EA

Digitális technika VIMIAA02 1. EA BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA02 1. EA Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA01

Digitális technika VIMIAA01 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek

Részletesebben