Komputeralgebra Rendszerek
|
|
- Zsigmond Lakatos
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Komputeralgebra Rendszerek Számkezelés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 53
2 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az egzakt aritmetika Bignum aritmetika Néhány szó a típusokról Egészek Racionális számok A köztes tárrobbanás 3 Valós számok A MAPLE valósai A SAGE valósai 4 Algebrai számok Algebrai számok a MAPLE -ben Algebrai számok a SAGE -ben 5 Komplex számok Komplex számok a MAPLE -ben Komplex számok a SAGE -ben TARTALOMJEGYZÉK 2 of 53
3 BIGNUM ARITMETIKA A komputeralgebra rendszerek az aktuálisan használt matematikai struktúrában pontosan számolnak; ez a tetszőleges pontosságú aritmetika, vagy többszörös pontosságú aritmetika. A begépelt számról. esetleg kifejezésről a forma alapján azonnal eldöntik, mely struktúrába 1 tartoznak. 1 Ez a MAPLE esetén többnyire egész-, racionális-, vagy komplex szám lehet,vagy efölötti polinom SAGE esetén egész- vagy racionális szám, vagy a szimbolikus gyűrű egy eleme Az egzakt aritmetika 3 of 53
4 BIGNUM ARITMETIKA A komputeralgebra rendszerek az aktuálisan használt matematikai struktúrában pontosan számolnak; ez a tetszőleges pontosságú aritmetika, vagy többszörös pontosságú aritmetika. A begépelt számról. esetleg kifejezésről a forma alapján azonnal eldöntik, mely struktúrába 1 tartoznak. A műveleteket az adott struktúrában hajtják végre (figyelembe véve a tartalmazási relációkat). 1 Ez a MAPLE esetén többnyire egész-, racionális-, vagy komplex szám lehet,vagy efölötti polinom SAGE esetén egész- vagy racionális szám, vagy a szimbolikus gyűrű egy eleme Az egzakt aritmetika 4 of 53
5 BIGNUM ARITMETIKA A komputeralgebra rendszerek az aktuálisan használt matematikai struktúrában pontosan számolnak; ez a tetszőleges pontosságú aritmetika, vagy többszörös pontosságú aritmetika. A begépelt számról. esetleg kifejezésről a forma alapján azonnal eldöntik, mely struktúrába 1 tartoznak. A műveleteket az adott struktúrában hajtják végre (figyelembe véve a tartalmazási relációkat). Az eredmény a legbővebb alkalmazott struktúrában a pontos eredmény 1 Ez a MAPLE esetén többnyire egész-, racionális-, vagy komplex szám lehet,vagy efölötti polinom SAGE esetén egész- vagy racionális szám, vagy a szimbolikus gyűrű egy eleme Az egzakt aritmetika 5 of 53
6 NÉHÁNY SZÓ A TÍPUSOKRÓL A nem-szimbolikus nyelvek típusai a számítógépes megvalósíthatóság alapján modellezik a típusokat, nem tükrözik egyértelműen a matematikai hovatartozását egy objektumnak. Az egzakt aritmetika 6 of 53
7 NÉHÁNY SZÓ A TÍPUSOKRÓL A nem-szimbolikus nyelvek típusai a számítógépes megvalósíthatóság alapján modellezik a típusokat, nem tükrözik egyértelműen a matematikai hovatartozását egy objektumnak. A komputeralgebra rendszerek a matematikai tipizálást használják, ezért a típusok mindig algebra struktúrák, és halamzok, illetve az ezekkel végzett műveletek eredménystruktúrái, halmazai. Az egzakt aritmetika 7 of 53
8 NÉHÁNY SZÓ A TÍPUSOKRÓL A nem-szimbolikus nyelvek típusai a számítógépes megvalósíthatóság alapján modellezik a típusokat, nem tükrözik egyértelműen a matematikai hovatartozását egy objektumnak. A komputeralgebra rendszerek a matematikai tipizálást használják, ezért a típusok mindig algebra struktúrák, és halamzok, illetve az ezekkel végzett műveletek eredménystruktúrái, halmazai. a típuskezelés dinamikus Az egzakt aritmetika 8 of 53
9 EGÉSZEK I A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMP ill. MPIR (az előző forkja). Az egzakt aritmetika 9 of 53
10 EGÉSZEK I A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMP ill. MPIR (az előző forkja). A reprezentáció helyiértékes, nem bináris. Az egzakt aritmetika 10 of 53
11 EGÉSZEK I A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMP ill. MPIR (az előző forkja). A reprezentáció helyiértékes, nem bináris. Automatikusan felismert típus. Az egzakt aritmetika 11 of 53
12 EGÉSZEK I A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMP ill. MPIR (az előző forkja). A reprezentáció helyiértékes, nem bináris. Automatikusan felismert típus. Műveletek: az alapműveletek közül az osztás eredménye lehet racionális. Az egzakt aritmetika 12 of 53
13 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Az egzakt aritmetika 13 of 53
14 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Dinamikus adatvektor int± n i 0 i 1... i n Az egzakt aritmetika 14 of 53
15 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Dinamikus adatvektor int± n i 0 i 1... i n Kis egészek: egy szóban (C adatkezelés) Az egzakt aritmetika 15 of 53
16 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Dinamikus adatvektor int± n i 0 i 1... i n Kis egészek: egy szóban (C adatkezelés) A számrendszer alapszáma: Az egzakt aritmetika 16 of 53
17 EGÉSZEK II A MAPLE egészei Dinamikus adatvektor int± n i 0 i 1... i n Kis egészek: egy szóban (C adatkezelés) A számrendszer alapszáma: A SAGE egészei A ZZ tartomány elemei, objektumként is kezelhetők. Az egzakt aritmetika 17 of 53
18 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) Az egzakt aritmetika 18 of 53
19 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //) Az egzakt aritmetika 19 of 53
20 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //) prímfaktorizáció (ifactor, ifactors,illetve factor) Az egzakt aritmetika 20 of 53
21 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //) prímfaktorizáció (ifactor, ifactors,illetve factor) Az egzakt aritmetika 21 of 53
22 EGÉSZEK III Alapvető számelméleti függvények: lnko, bővített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex, isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime ) maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //) prímfaktorizáció (ifactor, ifactors,illetve factor) A SAGE függvényei a számok objektum-tulajdonságaként is alkalmazható. Az egzakt aritmetika 22 of 53
23 RACIONÁLIS SZÁMOK I Ha az egészek ábrázolása adott, a CAS-ok a racionális számokat ugyanúgy ábrázolják: rac. rac. rac. int int int int Az összenyilazás a MAPLE jellegzetessége Az egzakt aritmetika 23 of 53
24 RACIONÁLIS SZÁMOK II Mind a MAPLE mind a SAGE automatikus egyszerűsítést végez: a számláló és a nevező lnko-jával osztja a számlálót és a nevezőt Az egzakt aritmetika 24 of 53
25 RACIONÁLIS SZÁMOK II Mind a MAPLE mind a SAGE automatikus egyszerűsítést végez: a számláló és a nevező lnko-jával osztja a számlálót és a nevezőt A számláló és a nevező hasonló nevű függvényekkel külön kezelhető: numer(), denom() Az egzakt aritmetika 25 of 53
26 A KÖZTES TÁRROBBANÁS Az egzakt aritmetika következménye a köztes tárrobbanás: 1 Nem-szimbolikus rendszerben tárolhatatlan: = (A számláló és a nevező relatív prím) Az egzakt aritmetika 26 of 53
27 A KÖZTES TÁRROBBANÁS Az egzakt aritmetika következménye a köztes tárrobbanás: 1 Nem-szimbolikus rendszerben tárolhatatlan: = (A számláló és a nevező relatív prím) 2 Amikor a közbülső számítás a lényeg: = = 1 3. Az egzakt aritmetika 27 of 53
28 A KÖZTES TÁRROBBANÁS Az egzakt aritmetika következménye a köztes tárrobbanás: 1 Nem-szimbolikus rendszerben tárolhatatlan: = (A számláló és a nevező relatív prím) 2 Amikor a közbülső számítás a lényeg: = = 1 3. Az egzakt aritmetika 28 of 53
29 A KÖZTES TÁRROBBANÁS Az egzakt aritmetika következménye a köztes tárrobbanás: 1 Nem-szimbolikus rendszerben tárolhatatlan: = (A számláló és a nevező relatív prím) 2 Amikor a közbülső számítás a lényeg: = = 1 3. A legnagyobb közös osztót mindenképpen kiszámítása és az automatikus egyszerűsítés mindig megtörténik. Az egzakt aritmetika 29 of 53
30 Valós számok 30 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika
31 Valós számok 31 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával
32 Valós számok 32 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával Lebegőbontos szám megadása: , , Float(10, 7)
33 Valós számok 33 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával Lebegőbontos szám megadása: , , Float(10, 7) evalf(...), convert(...)
34 Valós számok 34 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával Lebegőbontos szám megadása: , , Float(10, 7) evalf(...), convert(...) interface(displayprecision=n): kijelzési pontosság, n = 1 az alaphelyzet
35 Valós számok 35 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok LEBEGŐPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Belső ábrázolás adatvektora: FLOAT mantissza karakterisztika A kitevő kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával Lebegőbontos szám megadása: , , Float(10, 7) evalf(...), convert(...) interface(displayprecision=n): kijelzési pontosság, n = 1 az alaphelyzet A evalhf procedúra - HW lebegőpontos aritmetika, a grafika használja. Az eredményeket duplapontosan adja, (Digits=15)
36 Valós számok 36 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok
37 Valós számok 37 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak
38 Valós számok 38 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható
39 Valós számok 39 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható Konverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterként az értékes jegyeket és a pontosságot
40 Valós számok 40 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható Konverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterként az értékes jegyeket és a pontosságot Dupla pontos számok
41 Valós számok 41 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható Konverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterként az értékes jegyeket és a pontosságot Dupla pontos számok A hardware lebegőpontosnak felel meg, az RDF-gyűrű a szülő-objektum.
42 Valós számok 42 of 53 TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok TETSZŐLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ LEBEGŐPONTOS SZÁMOK Tetszőleges pontosságú számok Ez felel meg a MAPLE lebegőpontosnak A RR gyűrű elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú, gyűrűdefinícióval ez módosítható Konverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterként az értékes jegyeket és a pontosságot Dupla pontos számok A hardware lebegőpontosnak felel meg, az RDF-gyűrű a szülő-objektum. A pontosság 15 bit.
43 ALGEBRAI SZÁMOK A MAPLE -BEN I nem alapvető adattípus Ábrázolás: a RootOf procedúra segítségével Példa alpha:= RootOf(x^7-2): simplify(alpha^7); 2 Az α értékkel ugyanúgy dolgozhatunk ezután, mint más értékkel. Algebrai számok 43 of 53
44 Algebrai számok 44 of 53
45 ALGEBRAI SZÁMOK A SAGE-BEN I A megvalósításban itt már komoly különbség van a két rendszer között. A SAGE -ben a racionális számkör az alapértelmezett, de a többi szám-struktúrában explicite definiálni kell a Q testbővítését. Példa: K.<a> = NumberField(x^7-2) a^7 2 Innentől kezdve a K testet is használhatjuk, az összes a + 1, 2 a alakú kifejezés e test eleme. Algebrai számok 45 of 53
46 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Komplex számok 46 of 53
47 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Komplex számok 47 of 53
48 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Az alapvető adatok Re(), Im(), conjugate(), abs(),argument(). Komplex számok 48 of 53
49 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Az alapvető adatok Re(), Im(), conjugate(), abs(),argument(). Komplex előjel: csgn(). Komplex számok 49 of 53
50 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Az alapvető adatok Re(), Im(), conjugate(), abs(),argument(). Komplex előjel: csgn(). A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóval állítható. Komplex számok 50 of 53
51 KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN Az i helyett I-t használ Ez felülírható: például j-re interface(imaginaryunit=j) Megadás literálként a+b I, vagy konstruktorral Complex(a,b). Az alapvető adatok Re(), Im(), conjugate(), abs(),argument(). Komplex előjel: csgn(). A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóval állítható. Különböző kiértékelő függvények: evalc szimbolikusan kezeli a komplex számot, evalf, evalhf a valós és komplex részt lebegőpontosan. Komplex számok 51 of 53
52 KOMPLEX SZÁMOK A SAGE -BEN I A szigorú algebrai felépítés miatt az RR bővítése a ComplexField avagy CC test, így konkrét értékekkel kell számolni: Példa: a = CC(12 + i); a *I A komplex számról információk: a.abs(), a.arg(), a.imag(), a.real(), a.conjugate(). Ugyanúgy, mint a valós számokban, definiálhatók a komplex dupla-pontosnak is. Komplex számok 52 of 53
53 KOMPLEX SZÁMOK A SAGE -BEN II A Sage szimbolikus gyűrűje fölött szimbolikusan is számolhatunk komplexekkel a = 1 + i; a Symbolic Ring a.imag() 1 a*a.conjugate() 2 A függvények ugyanazok, minden művelet ugyanúgy történik. Komplex számok 53 of 53
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak
RészletesebbenKomputeralgebrai Algoritmusok
Komputeralgebrai Algoritmusok Adatábrázolás Czirbusz Sándor, Komputeralgebra Tanszék 2015-2016 Ősz Többszörös pontosságú egészek Helyiértékes tárolás: l 1 s d i B i i=0 ahol B a számrendszer alapszáma,
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Normálformák, algebrai reprezentáció Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. április 8. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az absztrakció
RészletesebbenMaple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007
Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Konstansok, változók, típusok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 110 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Nevek kezelése
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek A MAPLE és a SAGE felépítése Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 17. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 1 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 2 of 1 A MAPLE 3 of 1 ÖSSZETEVŐK
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Bevezető és történeti áttekintés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 17. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 73 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Mi a komputeralgebra
RészletesebbenLEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS
LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS A fixpontos operandusoknak azt a hátrányát, hogy az ábrázolás adott hossza miatt csak korlátozott nagyságú és csak egész számok ábrázolhatók, a lebegőpontos számábrázolás küszöböli
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek A szimbolikus megoldó a MAPLE -ben Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. március 4. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 41 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Funkció és
Részletesebben5. Fejezet : Lebegőpontos számok
5. Fejezet : Lebegőpontos The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College Linda
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Bevezető és történeti áttekintés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2017. február 12. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 82 TARTALOMJEGYZÉK 1 Mi a komputeralgebra 2 Történet
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenSzámítógépes Hálózatok. 7. gyakorlat
Számítógépes Hálózatok 7. gyakorlat Gyakorlat tematika Hibajelző kód: CRC számítás Órai / házi feladat Számítógépes Hálózatok Gyakorlat 7. 2 CRC hibajelző kód emlékeztető Forrás: Dr. Lukovszki Tamás fóliái
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
Részletesebben2. Fejezet : Számrendszerek
2. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College
Részletesebben4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN
MATEMATIK A 9. évfolyam 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN KÉSZÍTETTE: DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
RészletesebbenThe Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003
. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne,
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenDicsőségtabló Beadós programozási feladatok
Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok Hallgatói munkák 2017 2018 Készítő: Maurer Márton (GI, nappali, 2017) Elméleti háttér A szita a neves ókori görög matematikus, Eratoszthenész módszere, amelynek
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenAssembly programozás: 2. gyakorlat
Assembly programozás: 2. gyakorlat Számrendszerek: Kettes (bináris) számrendszer: {0, 1} Nyolcas (oktális) számrendszer: {0,..., 7} Tízes (decimális) számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális
Részletesebben5. Fejezet : Lebegőpontos számok. Lebegőpontos számok
5. Fejezet : Lebegőpontos The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College Linda
RészletesebbenKövetelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMáté: Számítógép architektúrák
Fixpontos számok Pl.: előjeles kétjegyű decimális számok : Ábrázolási tartomány: [-99, +99]. Pontosság (két szomszédos szám különbsége): 1. Maximális hiba: (az ábrázolási tartományba eső) tetszőleges valós
RészletesebbenInformatikai Rendszerek Alapjai
Informatikai Rendszerek Alapjai Egész és törtszámok bináris ábrázolása http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 5/1 A mintavételezett (egész) számok bináris ábrázolása 2 n-1 2 0 1 1 0 1 0 n Most Significant
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenKomputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek I. Bevezetés Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar D2.711A 2009-2010 tavasz Tartalomjegyzék 1 Előzetes 2 Komputeralgebra 3 Történeti
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenS0-02 Típusmodellek (Programozás elmélet)
S0-02 Típusmodellek (Programozás elmélet) Tartalom 1. Absztrakt adattípus 2. Adattípus specifikációja 3. Adattípus osztály 4. Paraméterátadás 5. Reprezentációs függvény 6. Öröklődés és polimorfizmus 7.
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Programozás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. február 23. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 28 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Értékadás MAPLE -ben SAGE -ben 3
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenJava II. I A Java programozási nyelv alapelemei
Java II. I A Java programozási nyelv alapelemei Miskolci Egyetem Általános Informatikai Tanszék Utolsó módosítás: 2008. 02. 19. Java II.: Alapelemek JAVA2 / 1 A Java formalizmusa A C, illetve az annak
RészletesebbenOsztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
RészletesebbenMatematikai alapok. Dr. Iványi Péter
Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: és Byte: 8 bit 28 64 32 6 8 4 2 bináris decimális
RészletesebbenÖsszetett feladatok megoldása
Összetett feladatok megoldása F1. A laboratóriumi feladat a legnagyobb közös osztó kiszámító algoritmusának realizálása digitális hardver eszközökkel. Az Euklideszi algoritmus alapja a maradékos osztás,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra
Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):
RészletesebbenKomputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése
RészletesebbenA programozás alapjai előadás. A C nyelv típusai. Egész típusok. C típusok. Előjeles egészek kettes komplemens kódú ábrázolása
A programozás alapjai 1 A C nyelv típusai 4. előadás Híradástechnikai Tanszék C típusok -void - skalár: - aritmetikai: - egész: - eger - karakter - felsorolás - lebegőpontos - mutató - függvény - union
RészletesebbenKomputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése
Részletesebben1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenData Security: Public key
Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
Részletesebben5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
Részletesebben5-6. ea Created by mrjrm & Pogácsa, frissítette: Félix
2. Adattípusonként különböző regisztertér Célja: az adatfeldolgozás gyorsítása - különös tekintettel a lebegőpontos adatábrázolásra. Szorzás esetén karakterisztika összeadódik, mantissza összeszorzódik.
RészletesebbenSzámítógépes Számelmélet
czirbusz@gmail.com http://compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/ Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenDigitális technika VIMIAA hét
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK VIMIAA02 14. hét Fehér Béla BME MIT Rövid visszatekintés, összefoglaló
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenKövetelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete, eszköz jellegű
RészletesebbenKövetelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenSzámelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenDigitális technika VIMIAA hét
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA02 14. hét Fehér Béla BME MIT Digitális technika
RészletesebbenKifejezések. Kozsik Tamás. December 11, 2016
Kifejezések Kozsik Tamás December 11, 2016 Kifejezés versus utasítás C/C++: kifejezés plusz pontosvessző: utasítás kiértékeli a kifejezést jellemzően: mellékhatása is van például: értékadás Ada: n = 5;
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNAGYPONTOSSÁGÚ RACIONÁLIS-ARITMETIKA EXCEL VISUAL BASIC KÖRNYEZETBEN TARTALOM
NAGYPONTOSSÁGÚ RACIONÁLIS-ARITMETIKA EXCEL VISUAL BASIC KÖRNYEZETBEN TARTALOM 0. A feladat... 2 1. A racionális számok ábrázolásai... 2 2. A műveletek... 3 A műveletek szignatúrája... 3 A műveletek algoritmusa...
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
Részletesebben3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F}
3. gyakorlat Számrendszerek: Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} Alaki érték: 0, 1, 2,..., 9,... Helyi
RészletesebbenMatematikai alapok. Dr. Iványi Péter
Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: 0 és 1 Byte: 8 bit 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 1 1
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
Részletesebbennappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek Vizsgatematika A szigorlat követelményei:
Matematika Tanszék Matematika műveltségi terület, nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek A szigorlat követelményei: Vizsgatematika A hallgató legyen képes 15-20 perces
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenINFO1 Számok és karakterek
INFO1 Számok és karakterek Wettl Ferenc 2015. szeptember 29. Wettl Ferenc INFO1 Számok és karakterek 2015. szeptember 29. 1 / 22 Tartalom 1 Bináris számok, kettes komplemens számábrázolás Kettes számrendszer
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9
Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek
Részletesebben16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott
RészletesebbenDigitális technika VIMIAA02 1. EA
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA02 1. EA Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek
RészletesebbenDigitális technika VIMIAA01
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek
Részletesebben