VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői

Átírás

1 VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai: szögfelező, oldalfelező merőleges, magasság, beírt kör és középpontja, körülírt kör és középpontja. Előzmények Kör, egyenes, szög, szögtartomány fogalma; távolság, távolságok mérése; csúcsszögek, váltószögek, egyállású szögek; paralelogramma tulajdonságai; körző és vonalzó használata. Cél A geometriai szemlélet fejlesztése gyakorlati feladatokon keresztül, papírhajtogatás segítségével. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásához szükséges A4-es méretű géppapír, olló, körző és vonalzó. Az 1., 2., 6., 8., feladatok a tanár döntése szerint elhagyhatók, a feladatsor ezek nélkül is teljes. Gyenge alapokkal rendelkező csoportban azonban nem árt a manuális tapasztalatszerzés megerősítő hatása miatt elvégeztetni. A 7. feladatnál érdemes az osztályt csoportokra bontani, hegyesszögű, tompaszögű, illetve derékszögű háromszöget rajzolókra. Ezekben a feladatokban nem törekszünk a bizonyításokra, a tanulóknak arra kell ráérezniük, hogy mi miért van. A feladatok után mondjuk ki a tételeket, akár többször visszautalva a hajtogatós feladat eredményeire. Hívjuk fel a figyelmet többször is arra, hogy pontosan dolgozzanak! Figyeljük, hogy pont és egyenes távolságának mérésekor hogyan tartják a tanulók a vonalzót! (Megfelelő kézügyesség esetén nem szükséges merőlegest állítani.) Érdemes megbeszélni feladatonként az eredményeket, már csak azért is, mert sokszor nem precíz bizonyítást várunk. A feladatsor elvégzése után azt várjuk, hogy a tanulók tudják, mi a különbség a szögfelezők, oldalfelező merőlegesek, magasságvonalak között, lássák, hogy szerkesztésükkel hogyan néz ki az ábra, legyenek képesek közelítőleg pontos szabadkézi vázlatot rajzolni. VI. Síkgeometria VI.1. Nevezetességek Háromszögországban 1.oldal/6

2 Érdemes a feladatsort kiegészíteni néhány közel gyakorlati feladattal, az itt észrevettek alkalmazására. Például három falu közös iskolája helyének megszerkesztése a térképen úgy, hogy mindenhonnan ugyanolyan messze legyen. Az is kérdés, hogy négy pont vagy négy egyenes esetén mit mondhatunk a pontok egy körön való elhelyezkedésének lehetőségéről/szükségességéről, illetve a négy egyenes mindegyikét érintő kör létezéséről, s ez vezethet a húrnégyszög és az érintőnégyszög fogalmához. Érdekes, hogy négy pont/egyenes esetén általában már nincsenek ilyen körök. VI. Síkgeometria VI.1. Nevezetességek Háromszögországban 2.oldal/6

3 NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN Feladat sor Végy legalább négy A4-es papírt és egy ollót. (Ezeket használd az 1., a 2., a 6. és a 8. feladatoknál.) Legyen még körződ, vonalzód, ceruzád, és végezd el a következő feladatokat! Dolgozz minél pontosabban! HAJT ÁSVADÁSZ 1. Rajzolj két 180 -nál kisebb szöget! (Lehet mindkettőt egy lapra.) Először az egyik szöggel dolgozunk. a) Szúrd a szög csúcsába a körzőt, és a szögszárakon jelölj ki egy-egy pontot ugyanazzal a körzőnyílással! Jelöljük ezeket a pontokat P-vel és Q-val! b) Vágd ki a szögtartományt, és hajtsd ketté úgy, hogy P és Q egymásra essenek! c) Jelölj ki néhány (például négy darab) tetszőleges pontot a hajtásvonalon, és kösd össze mindegyiket P-vel és Q-val! (Ezt rajzolhatod vastag vonallal, hogy átüssön a papíron!) d) Mutasd meg a hajtás segítségével, hogy mindegyik pont ugyanolyan távol van P-től, mint Q-tól! e) Most a másik szöget is hajtsd ketté az előző módon, és rajzolj a hajtásvonalra ismét négy pontot! f) Mérd meg, hogy ezek a pontok milyen távol vannak a szögszáraktól! Mit tapasztalsz? 2. Rajzolj egy háromszöget! (Lehet akármilyen nagy, ami ráfér a papírra.) a) Az egyik csúcsba szúrd a körzőt, és a két szomszédos oldalon jelölj ki egy-egy pontot ugyanazzal a körzőnyílással! Ezt az eljárást végezd el a másik két csúcsból is! b) Hajtsd ketté a háromszöget az egyik csúcsa mentén úgy, hogy az ugyanazzal a körrel kimetszett pontok egymásra essenek! c) Végezd el a hajtást a másik két csúcsa mentén is! d) Mit tapasztalsz a hajtásvonalak egymáshoz viszonyított helyzetéről? e) Mérd le, hogy a hajtásvonalak metszéspontja milyen távol van az oldalaktól! Mit tapasztalsz? Vajon véletlen? VI. Síkgeometria VI.1. Nevezetességek Háromszögországban 3.oldal/6

4 3. Rajzolj egy háromszöget! (Lehet akármilyen nagy, ami ráfér a papírra.) a) Szerkeszd meg a szögfelezőit! b) Jelölj ki mindhárom szögfelezőn egy-egy pontot (kb. a szögfelezők metszéspontja és a csúcsok között félúton), és járj el mindhárom ponttal a következő feladatokban leírt módon! c) Mérd meg, hogy a pont milyen távol van a felezett szög két szárának megfelelő oldalaktól! d) Rajzolj olyan kört ebből a pontból, mely érinti mindkét szomszédos oldalt! e) Mekkora a kör sugara? f) Végezd el a másik két ponttal is a c) e) feladatokat! g) Képzeld el, hogy a körök középpontjait eltoljuk a szögfelezőkön, egyre távolabb a csúcsoktól! Rajzold meg a legnagyobb olyan kört, amely a feltételeknek megfelel, vagyis érinti a szomszédos oldalakat, de még minden pontja a háromszög belsejében van! 4. Rajzolj egy háromszöget! Jelöljük az oldalait a, b, c-vel, és a szögfelezők metszéspontját Q-val! a) Kösd össze a háromszög csúcsait a Q ponttal! Az így kapott összekötő szakaszok három kis háromszögre bontják az eredeti háromszöget. Rajzolj egy olyan kört, melynek középpontja a Q pont, és az eredeti háromszög minden oldalát érinti! b) Jelöljük a kör sugarát r-rel! Írd fel a kis háromszögek területeit r és a, b, c segítségével! c) Írd fel az eredeti háromszög területét a kis háromszögek területeinek segítségével! AZ IGAZSÁGOS KÚT 5. Rajzolj vonalzóval egy 6 cm hosszú AB szakaszt az oldal közepére! a) Szerkessz olyan pontokat, amelyek A-tól és B-től is 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 cm-re vannak! Mindegyik távolságra tudtál megfelelő pontot szerkeszteni? b) Hány pontot tudtál az egyes távolságokhoz szerkeszteni? c) Mit tapasztalsz a pontok helyzetéről? 6. Rajzolj egy hegyesszögű háromszöget, és vágd ki! a) Hajtsd össze a háromszöget úgy, hogy valamelyik két csúcsát egymásra illeszted! b) Jelölj ki néhány (pl. 4 db) pontot a hajtásvonalon, ezeket kösd össze a két adott csúccsal, és mutasd meg a hajtás segítségével, hogy mindegyik kijelölt pont ugyanolyan távol van az adott két csúcstól! c) Végezd el az a) b) feladatot a másik két-két csúccsal is! d) Mit tapasztalsz a hajtásvonalak egymáshoz viszonyított helyzetéről? e) Mérd meg, hogy a hajtásvonalak metszéspontja milyen távol van a csúcsoktól! VI. Síkgeometria VI.1. Nevezetességek Háromszögországban 4.oldal/6

5 7. Rajzolj egy hegyesszögű, egy tompaszögű, illetve egy derékszögű háromszöget! (A csoportbeosztásnak megfelelően.) a) Szerkeszd meg az oldalfelező merőlegeseit! Jelöljük ezek metszéspontját O-val! b) Mérd meg, hogy milyen távol van O a csúcsoktól! c) Rajzolj egy olyan kört, amely átmegy mindhárom csúcson! Hol lesz ennek a körnek a középpontja, és mekkora lesz a sugara? M AGASSÁGOS VONAL AI M! 8. Rajzolj egy hegyesszögű háromszöget! a) Az egyik csúcsból körzővel húzz egy körívet úgy, hogy a körívnek két közös pontja legyen a szemközti oldallal! b) Végezd el az a) feladatot a másik két csúcsból kiindulva is! c) Vágd ki a háromszöget! d) Hajtsd ketté úgy a háromszöget, hogy egy ívnek egy oldallal alkotott két metszéspontja egymásra essen! A hajtásvonal ekkor átmegy a szemközti csúcson. e) Mekkora szöget zár be a hajtásvonal az oldallal? f) Végezd el a d) és az e) feladatot a másik két oldallal is! g) Mit tapasztalsz a hajtásvonalak egymáshoz viszonyított helyzetéről? 9. Rajzolj egy hegyesszögű háromszöget! a) Szerkessz minden csúcsból a szemközti oldalra merőleges egyenest! Mit tapasztalsz? b) Végezd el a fenti szerkesztést derékszögű és tompaszögű háromszög esetén is! Fogalmazd meg tapasztalataidat! VI. Síkgeometria VI.1. Nevezetességek Háromszögországban 5.oldal/6

6 MEGOLDÁSOK c r b r 4. b) Az ABQ háromszög területe: ; az ACQ háromszög területe: ; 2 2 a r a BCQ háromszög területe:. 2 a r b r c r a b c r K r c) T a) b) 1-1 cm-re és 2-2 cm-re nincsen pont, 3-3 cm-re 1 db pont van, a többi megadott távolságra 2-2 megfelelő pont van. c) A pontok egy egyenesre illeszkednek. 6. d) A hajtásvonalak egy ponton mennek át. e) Ez a pont ugyanolyan messze van a csúcsoktól. A feladat megoldása kapcsán érdemes felvetni a probléma gyakorlati vonatkozásait. Például adott három tanya, és úgy szeretnénk kutat fúrni, hogy mindhárom tanyától egyforma távolságra legyen, így a vezetékek építésének költsége egyenlően oszlik meg a tulajdonosok között. (Erre utal a feladat címe is.) Az is felvethető, hogy amint három tanyához találtunk igazságos helyet a kútnak, vajon négyhez is találunk-e? Fel lehet ismertetni a diákokkal, hogy két tanya esetén végtelen sok ilyen hely van, s van egy a két tanyához legközelebbi pont; háromhoz pontosan egy ilyen helyet találunk, négyhez pedig általában már nincs ilyen pont. 7. c) A kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, a sugara pedig ezen metszéspont és a csúcsok távolsága [vö. 6.e)]. 8. g) A hajtásvonalak egy ponton mennek át. 9. a) b) A magasságvonalak egy ponton mennek át. Ez a pont, a magasságpont hegyesszögű háromszög esetében a háromszögön belül, derékszögű háromszögnél a derékszögű csúcsban, tompaszögű háromszögnél a háromszögön kívül van. VI. Síkgeometria VI.1. Nevezetességek Háromszögországban 6.oldal/6