V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS. A feladatsor jellemzői

Átírás

1 V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Eponenciális egyenletek felírása és megoldása szöveges feladatok alapján. Szöveges feladatok alapján modellt alkotunk, amely alkalmas eponenciálisan növekvő, illetve csökkenő jelenségek leírására. A modell által adott képletek és egyenletek segítségével számításokat végzünk, melyekhez felhasználjuk eszközként a logaritmus definícióját és az új alapra történő áttérési szabályt. Előzmények Százalékszámítás, hatványok, egyenletrendezés, logaritmus fogalma, áttérés más alapú logaritmusra, kerekítés szabályai. Módszeres próbálgatással történő megoldási mód ismerete. Cél A matematikai szövegértés és a modellalkotás fejlesztése, eponenciális egyenletek megoldása logaritmus segítségével. A hatványkitevő a negatív és a törtkitevőt is beleértve és a valós életbeli folyamatok időbeli lefolyása kapcsolatának megismerése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben + Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata + Felhasználási útmutató A feladatsort elsősorban órai munkára ajánljuk. Használjunk logaritmus számítására alkalmas számológépet; lehetőség szerint számítógépet, valamint MS Ecelt vagy egyéb táblázatkezelő programot. A tanulók minden feladatra próbáljanak először önállóan modellt alkotni, egyenletet felírni, majd ezt közösen megbeszélve kezdjék meg a megoldást. Az első feladat kivételével minden további feladatnál érdemes megbeszélni, hogy az mennyiben tér el az előzőtől, ezáltal a modell (egyenlet) minden feladatban csak kisebb módosításra szorul. Kevésbé jó képességű tanulók esetén jobb, ha a tanár rávezető kérdésekkel segíti ezt a folyamatot, jobb képességűek esetében ők maguk állítsák fel, illetve alakítgassák a modellt. Az első feladatban, ha megoldható, a tanulók használjanak számítógépet (MSEcel) a valóságos, illetve a modell által adott adatok kiszámítására, táblázatba foglalására, az eltérés elemzésére. Ehhez szükséges a számítógépen történő (egészekre) kerekítés és a hatványozás V. Függvények, sorozatok V.7. Népszámlálás 1.oldal/6

2 mikéntjének ismerete. A számítógép használata a többi feladat esetén is megengedhető, ekkor a diákok megláthatják a számítógép gyakorlati alkalmazásának egy lehetőségét. A feladatsor megoldása során fontos hangsúlyozni, hogy bár a valóságban a lélekszám mindig egész szám, és ezért elvileg minden évben kerekíteni kellene, ez a matematikai modellt kezelhetetlenné tenné. Látható azonban, hogy az eltérés modell és valóság közt elenyésző. A feladatok helyes értelmezéséhez tudatosítani kell a tanulókban, hogy az évi 6%-os növekedés azt jelenti, hogy minden évben az előző évi (tehát nem a kezdeti) lélekszám 6%-át kell hozzáadnia. Egyes tanulóknak gondot okozhat, hogy a megoldást alkalmanként módszeres próbálgatással kell megtalálniuk. Magyarázzuk el, hogy ennek mi a technikája (először meghatározzuk azt a két egész számot, amelyek közé esik a megoldás, aztán pedig intervallumfelezéssel vagy tizedesjegyenként próbálgatva jutunk egyre közelebb a konkrét eredményhez). A feladatsor bővíthető például olyan feladattal, ahol a növekedési tényezőt az előző évek adataiból kell kiszámolni, vagy lehet a fi növekedési tényező helyett intervallumot (évi 5 6%) megadni és vizsgálni, hogy mekkora szórást eredményez ez a megoldásokban. V. Függvények, sorozatok V.7. Népszámlálás 2.oldal/6

3 NÉPSZÁMLÁLÁS Feladat sor HÁNYAN VAGYUNK? Egy gazdaságilag hosszú távon dinamikusan fejlődő kisváros lélekszámát az önkormányzat minden évben ugyanazon a napon állapítja meg a bejegyzett adatok alapján. Ebben az évben lakost számláltak, és a lakosok száma megbízhatóan évi 6%-kal nő. (Ez azt jelenti, hogy bármely évben a lélekszám az előző évi lélekszám 6%-ával nő.) 1. a) Készíts táblázatot, amely évről évre megadja a lélekszámot a következő tíz évben. Mivel a lélekszám természeténél fogva egész szám, az eredményeket minden évben kerekítsd lefelé, és ezzel a kerekített értékkel számítsd a következő évet! b) Az előző pontban alkalmazott módon számold ki az egyes években a lélekszámot úgy is, hogy menet közben nem, csak a végén egyszerre kerekíted lefelé azt! Tehát minden évre a kiindulási lélekszámból számold ki közvetlenül az értékeket! Egészítsd ki az adatokkal az a) pont táblázatát! c) Mekkora eltérést tapasztalsz? Számottevő változást okoz-e az évenkénti kerekítés elhagyása? K ÉPLETESEN SZÓLVA 2. a) Az előző feladat gondolatmenete alapján határozz meg egy olyan összefüggést, amely leírja a lélekszám alakulását az eltelt évek számának függvényében! b) Számítsd ki az összefüggés segítségével is, hány lakosa lesz a városnak tíz év múlva! c) Számítsd ki, hány lakosa lesz a városnak húsz év múlva! Habár a népességnövekedést minden évben ugyanazon a napon regisztrálják, nyilvánvaló, hogy az nem ugrásszerűen, hanem az egész év alatt folyamatosan következik be. Ha feltesszük, hogy ez a fentieknek megfelelő eponenciális növekedést jelent, akkor a meghatározott összefüggés segítségével számítsd ki, hány lakosa lesz a városnak d) fél év múlva; e) húsz hónap múlva! f) Számítsd ki, hány lakosa volt a városnak három évvel ezelőtt, ha feltételezzük, hogy az évi 6%-os növekedés korábban is jellemző volt! V. Függvények, sorozatok V.7. Népszámlálás 3.oldal/6

4 ÉS HA MÉGIS FOGYUNK? 3. a) Hogyan módosul az összefüggés és a számítás, ha a népesség évi 6%-kal fogy? Számítsd ki, hány lakosa lesz a városnak tíz év múlva ebben az esetben! b) Az előző pontok gondolatmenete alapján számítsd ki, hány lakosa lesz a városnak tíz év múlva, ha a népesség az első öt évben évi 6%-kal növekszik, a második öt évben viszont évi 6%-kal fogy! c) Számítsd ki a lélekszámot úgy is, hogy az előbb öt éven át évi 6%-kal csökken, majd öt éven át évi 6%-kal nő! Mit tapasztalsz? ELÉRJÜK? 4. Jelenleg lakost és állandó, évi 6%-os növekedést feltételezve, állapítsd meg, mikor haladja meg a lélekszám az főt! a) Az eredményt olvasd ki az első feladat táblázatából! b) Írj fel egyenletet, melynek segítségével pontosan kiszámíthatod, hány év múlva éri el a lélekszám az et! c) A logaritmusfüggvény segítségével fejezd ki az időtartamot az egyenletből, és számítsd ki számológéppel két tizedesjegy pontossággal! A SZOMSZÉD KERTJE MOST NEM ZÖLDEBB A szomszéd város lakossága ebben az évben fő volt, de a munkalehetőség hiánya és a megélhetési nehézségek miatt ez folyamatosan, évi kb. 9%-kal csökken. 5. a) Keress összefüggést, amely leírja e város népességének alakulását! b) A 2. feladatban és az előző pontban megtalált összefüggéseket felhasználva írj fel egyenletet, amellyel kiszámítható, hogy kb. mennyi idő múlva lesz a két város lélekszáma egyenlő! c) Rendezd az egyenletet úgy, hogy abból az előző feladat mintájára kifejezhesd az ismeretlent! d) Írd át az egyenletet logaritmusalakba, és tízes alapra áttérve számítsd ki (években, két tizedesjegy pontossággal), mikor lesz a két város lakosainak száma egyenlő! V. Függvények, sorozatok V.7. Népszámlálás 4.oldal/6

5 MEGOLDÁSOK 1. a b) Eltelt Lakosok száma évek száma Évente kerekítve Utólag kerekítve c) Látható, hogy ilyen rövid időtartamot tekintve az eltérés nem számottevő, mindössze öt fő, ami a tényleges népesség mindössze 0,0065%-a. Kijelenthetjük tehát, hogy a kerekítés nélküli (helyesebben a kapott eredményt csak utólag kerekítő) modell nagyon jól egyezik a valósággal, ezért alkalmas arra, hogy segítségével a valóságra vonatkozó számításokat végezzünk. 2. a) Bármely adott évben a lélekszámot 1,06-dal megszorozva kapjuk a következő évi lélekszámot: L 1,06 1, ,06 1,06, ahol az eltelt évek száma. 10 év alatt szer b) L (10) , , azaz fő. 20 c) L (20) 1, , azaz fő. 1 1 d) L ( ) 2 1, , azaz fő. 2 e) 20 hónap = év. 20 L ( ) 1, , azaz fő f) L 3 1, fő. 3. a) A módosított képletben 1,06-os szorzó helyett 0,94-ot kell alkalmazni, hiszen a megmaradt lélekszám az előző évinek csupán 94%-a. L (10) , , azaz fő. 5 b) L 1,06 0, , azaz fő. növekedés 5 fogyás fogyás növekedés c) L 634 0,94 1, , azaz fő. V. Függvények, sorozatok V.7. Népszámlálás 5.oldal/6

6 A modellben a folyamatok tényleges sorrendjétől függetlenül ugyanazt kaptuk. Megjegyzendő, hogy a valóságban az évenkénti kerekítések miatt az eredmény a két esetben kissé (3 fő) eltér. 4. a) A táblázat szerint három év múlva haladja meg a lélekszám az et. b) L 1,06 alapján az egyenlet: 1, , az eltelt idő években. c) , , log1, lg log1,06 2, 74. lg1, a) A második város lélekszámát leíró képlet: L ,91, ahol az eltelt évek száma. b) Az első város lakossága: 1 1,06 1, ,91 egyenlet. L. Megoldandó tehát az L1 L2, azaz 1, c) 1, ,91 0,91 1, , lg d) log 1,06 0,91 2,18 év. 1,06 lg 0,91 V. Függvények, sorozatok V.7. Népszámlálás 6.oldal/6