1. Bevezetés a trigonometriába

Átírás

1 1. Bevezetés a trigonometriába Ha egy háromszöget nagyítunk vagy kicsinyítünk, a szögei nem változnak. Az aránytartás következtében a megfelelőoldalak aránya szintén állandó. Ebből arra következtethetünk, hogy a háromszögben a szögek és az oldalak aránya között kapcsolat van. Trigonometria (az ógörög τρίγωνος / trigonosz "háromszög", és μέτρον / metron "mérés" szavakból) a matematika egy ága, mely a síkgeometriában a derékszögű háromszögek oldalai és szögei közötti összefüggésekkel foglalkozik. Trigonometria a derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseket a írják le, a trigonometria feladatai közé tartozik ezek tulajdonságainak vizsgálata és az ezeken alapuló számítások. A gömbi háromszögeket a gömbi trigonometria tanulmányozza. Hegyesszög szögfüggvényei Két derékszögű háromszög hasonlóságát teljesen meghatározza egyik szögük nagysága, így oldalaik aránya mindig megegyezik, függetlenül hosszuktól. Ezeket az arányokat az ismert (például α szög) szögfüggvényeivel írják le: A szinusz függvény (sin α) a szöggel szemben lévő befogó és az átfogó hányadosa, A koszinusz függvény (cos α) a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa, A tangens függvény (tg α) a szöggel szemben lévő befogó és a szög melletti befogó hányadosa. befogó a befogó b átfogó c Átfogó a derékszöggel szembeni oldal, befogó pedig a másik két oldal egy derékszögű háromszögben. α sin α =... cos α =... tg α =... ctg α =... ~ 1 ~

2 1. Bevezetés a trigonometriába A szögek és távolságok kapcsolatát már az ókorban is tanulmányozták és használták Kína, India területén csakúgy, mint Egyiptomban az építkezéseknél. Kr. e körül már használtak húrtáblázatokat, sőt szinusztáblázatokat is. Az első évszázadban hegyesszögekhez tartozó húrok hosszát foglalták táblázatba, félfokonként, és ismerték a két szög összegének és különbségének szögfüggvényeire vonatkozó képleteket (ma az emelt szintű érettségi tananyaga). Thaleszről, a Kr. e. 6. században élt görög matematikusról jegyezték fel, hogy egyiptomi útja során azzal ejtette ámulatba a fáraót és a tudós főpapokat, hogy egy homokba szúrt bot segítségével meghatározta a piramis magasságát. A nagyon egyszerű eljárás lényege az volt, hogy amikor a bot és az árnyéka egyenlő hosszú, akkor a piramis árnyéka is egyenlő hosszúságú a magasságával, így csak a piramis árnyékának a hosszát kellett megmérni Kheopsz-piramis a legnagyobb, magassága 146,7 méter, alapéle 232,4 méter. Hogyan lehetne a nap más időszakában a bot segítségével meghatározni a piramis magasságát? Milyen szögben érkezik a napsugár, amikor a bot árnyékának a hossza egyenlő bot hosszával? Az oldalak arányát a háromszög szögei határozzák meg. α α ~ 2 ~

3 1. Bevezetés a trigonometriába A számológép használata A számológép üzemmódjai: DEG, GRAD, RAD DEG: 1 = teljes szög / 360 GRAD: 1 újfok = teljes szög / 400 RAD: 1 radián az a középponti szög, amelyhez tartozó körív hossza egyenlő a kör sugarával. A számológépek egy részével nem lehet számolni, ha szög megadásban perc is szerepel. Ekkor a perceket át kell váltani fokká és tizedes tört alakban megadni. Mivel 1 = 60 ezért 6 = 0,1, 12 = 0,2, 18 = 0,3, stb. Mindig használható pl. 48 =? fok kiszámítására: 0,8 Szög szögfüggvényének a meghatározása a számológéppel Az alábbi szögfüggvényeket két tizedes jegy pontossággal határozza meg_ sin 30 =.. cos 30 =... tg 30 =... ctg 30 =.. sin 32,4 =.. cos 32,4 =... tg 32,4 =.. ctg 32,4 =... sin =.. cos =... tg =.. ctg =... Visszakeresés Ha sin α = 0,6 α =.. Ha tg α = 0,6 α =.. Ha cos α = 0,6 α =.. Ha ctg α = 0,6 α =.. ~ 3 ~

4 1. Bevezetés a trigonometriába alapfeladatok Alapeladatok Az 57 méter magas pisai ferde torony árnyéka 5 méter délben. Mekkora szöget zár be a talajjal a torony? I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok II. lépés: derékszögű háromszög keresése, a megtalált derékszögű háromszög felrajzolása, ~ 4 ~

5 1. Bevezetés a trigonometriába alapfeladatok Egy permetező repülőgép olyan helyen áll, ahol gyorsítás után a fákig 81 méter szabad út áll rendelkezésre a felszálláshoz. A 81 méter alatt 10 méter magasra kell emelkednie. A pilótának felszálláskor az emelkedés szögét be kell állítania. Mekkora a kérdéses szög? ~ 5 ~

6 1. Bevezetés a trigonometriába alapfeladatok Az emelkedő előtti közlekedési táblára 12%-ot írtak. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes irányú haladáshoz képest a lejtő emelkedése 12%. Hány fokos a lejtő emelkedési szöge? I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok ~ 6 ~

7 A négyzet alapú Nagy Piramis magassága 146 méter, alapjának hossza 230 méter. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok a talajjal? 1. Bevezetés a trigonometriába alapfeladatok I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok ~ 7 ~

8 1. Bevezetés a trigonometriába alapfeladatok Egy aluljáróból 17 méter hosszú, egyenes rámpa vezet fel a járda szintjére, és a rámpa egyenletesen, 26,5 -ban emelkedik a vízszinteshez képest. Milyen mélyen van az aluljáró? ~ 8 ~

9 1. Bevezetés a trigonometriába alapfeladatok Mekkora a faltól a tető gerincéig tartó tetőgerendák hossza, ha az egyenlőszárú háromszög keresztmetszetű tető szélessége 7 méter, és a gerendák hajlásszöge a vízszinteshez képest 35? ~ 9 ~

10 1. Bevezetés a trigonometriába alapfeladatok Egyenlőszárú háromszögben a szárak hajlásszöge 70, az alap 10,8 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe? ~ 10 ~

11 1. Bevezetés a trigonometriába alapfeladatok Egy létra lábainak távolsága a talajon 86 cm, és 15 -ig hajtottuk szét a lábait. Hány fokú a létra, ha a fokok 45 cm-enként követik egymást? Milyen magasan van a teteje a talajtól számítva, ha szétnyitják? : 7 fokú. A létra teteje kb. 327 cm magasan van. Egy téglalap oldalai 10 cm és 15 cm. Mekkora szöget zárnak be az oldalak az átlóval? : 56,3 Egy ablak méretei: 80 cm x 150 cm. Mekkora szöget zárnak be az ablakra ragasztott, átlósan haladó egyenes ragasztószalag-csíkok egymással? : 56,1 Akadálymentesítéshez egy lépcsőre rámpát terveznek. A lépcsők magassága 20 cm, hoszszuk 30 cm, és 5 lépcső visz fel a járdáról a bejárathoz (a 6. a bejárat szintje). Milyen hosszú legyen a rámpa? Mekkora szöget zár be a járdával? : 216,3 cm; 33,7. Az Eiffel-torony magassága 326 m, kilengése a legnagyobb szélben sem haladja meg a 12cm-t. Mekkora a torony tetejének a függőlegessel bezárt szöge, ha a kilengés 12cm? : 0,02 Az Eiffel-toronytól a talajon, a toronytól 150 méterre áll egy autó. Mekkora szögben látszik a torony emeleteiről, ha az emeletek 54m, 115m és 274 m magasan találhatók? : 70,2, 52,5 és 28,7. Egy forgáskúp alapkörének sugara 10 cm, testmagassága 25 cm. Mekkora a kúp nyílásszöge? : 43,6 Egy piramisról tudjuk, hogy alapja egy 130 m illetve 150 m oldalhosszúságú téglalap, magassága 18 m. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal? : 13,5 és 15,5. Mekkora szögben látszik egy 7 cm-es húr az 5 cm sugarú kör O középpontjából, és milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza? : 88,8 ; 3,6 cm 19,4 cm2; 7,8 cm Mekkora szögben látszik egy 10 cm-es húr a 8 cm sugarú kör O középpontjából, és milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza? : 77,4, 6,2 cm, 43,2 cm2, 10,8 cm. Egy 6,9 cm sugarú körben mekkora szögben látszik az átmérő egyik végpontjából az a 8 cm hosszú húr, amely az átmérő másik végpontjából indul ki? : 35,4. Egy rombusz egyik átlója 10,2 cm, oldala 6,8 cm. Mekkorák a szögei? : 82,8 és 97,2. Egy rombusz átlói 16 cm és 12,6 cm. Mekkora az oldala, területe és a szögei? : 10,18 cm, 100,8 cm2, 76,4 és 103,6. ~ 11 ~

12 1. Bevezetés a trigonometriába összetett feladatok Egy kikötő világítótornyából a tenger szintje felett 52 m magasságból egy hajó 7 12'- nyi depressziószögben látszik. Milyen távol van a hajó? ~ 12 ~

13 1. Bevezetés a trigonometriába összetett feladatok Egy gyárkémény tetejét az aljával egy szintben levő valamely pontból 19 -os emelkedési szögben látjuk. 220 méterrel közeledve a toronyhoz, annak tetejét 27 -os emelkedési szögben látjuk. Milyen magas a torony? ~ 13 ~

14 1. Bevezetés a trigonometriába összetett feladatok Egy templomtorony lábától 40 m távolságból a torony 56,31 -os emelkedési szögben, a torony tetején lévő kereszt pedig 2,47 -os szögben látszik. Milyen magas a torony, illetve a kereszt? ~ 14 ~

15 1. Bevezetés a trigonometriába összetett feladatok Egy 12 m magas épület tetején levő szobor az épülettől 20 m távolságból 2 10'-nyi szögben látszik. Milyen magas a szobor? ~ 15 ~

16 1. Bevezetés a trigonometriába összetett feladatok Egy csavar átmérője 5 mm. A csavarmenet emelkedési szöge 4,5. Mennyit halad befelé a csavar, ha egy teljes fordulatot hajtunk rajta? ~ 16 ~

17 1. Bevezetés a trigonometriába összetett feladatok Egy repülőgép 250 km/h sebességgel, a vízszintessel 9 -os szöget bezáróan emelkedik. a) Mennyi idő alatt éri el a 9 km-es repülési magasságot? b) Mennyi utat tesz meg ezalatt? ~ 17 ~

18 1. Bevezetés a trigonometriába összetett feladatok A négyzet alapú Kheopsz-piramis alapéle 230 méter. Az oldallapjai 51,9 -os szöget zárnak be az alaplappal (ez egyébként közel esik a Szaharában a természetes homokdűnék szögéhez, ami a stabilitást mutatja). a) Milyen magas a Kheopsz-piramis? b) Mekkora szöget zárnak be az oldalélei az alaplappal? c) Milyen hosszú egy oldaléle? ~ 18 ~