3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4?"

Átírás

1 1. Kombinatorikus valószínűség 1. Egy dobókockát kétszer feldobunk. a) Írjuk le az eseményteret! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? 2. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hatoslottón négy találatunk lesz? 3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4? 4. Egy szabályos pénzérmét 10-szer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy több írást kapunk, mint fejet? 2. Feltételes valószínűség, Bayes-tétel, teljes valószínűség tétele 5. Két szabályos dobókockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy az összeg páratlan? 6. Két szabályos dobókockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 8, feltéve, hogy az összeg páros? 7. Az 52-lapos francia kártya lapjait szétosztjuk négy játékos között. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha az egyik kiválasztott játékos nem kap királyt, akkor az utána következő sem kap királyt? 8. Egy gyárban három gép dolgozik, az első a termékek 30%-át, a második a 45%-át, míg a harmadik a 25%-át állítja elő. Az első gépen készült áruk 3%-a, a másodikon készültek 5%-a, míg a harmadikon gyártottak 7%-a selejt. a) A teljes árumennyiségből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot megvizsgálva mennyi annak a valószínűsége, hogy selejt? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első gép gyártotta az árut, feltéve, hogy a kiválasztott darab selejt? 9. Egy kft.-nek három gépkocsija van, melyek rendre 0.1, 0.05, 0.2 valószínűséggel romlanak el. Egyik reggel a kft. vezetője külföldi útja során véletlenszerűen választ a három autó közül. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott gépkocsi elromlik? b) Mennyi a valószínűsége, hogy az első gépkocsit választotta, feltéve, hogy a kiválasztott autó elromlott? 1

2 2 3. Geometriai valószínűség 10. Legyenek x és y 1-nél kisebb nemnegatív valós számok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy x + y < 0.75? 11. Legyenek x és y 2-nél kisebb pozitív számok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a két szám számtani közepe 1-nél kisebb? 12. Egy 5 cm sugarú céltáblára szabályos háromszöget rajzolunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a céltáblára leadott lövés a háromszögbe esik? (Feltételezzük, hogy a céltáblát eltaláljuk.) 13. Két egyetemista megbeszéli, hogy délután 2 és 4 óra között találkoznak. Érkezésük a megbeszélt időintervallumban véletlenszerű. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a korábban érkezőnek nem kell fél óránál többet várnia a később érkezőre? 4. Diszkrét valószínűségi változók 14. Egy dobókockával egyszer dobunk. Jelölje a ξ valószínűségi változó a dobott számot. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlást és az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlásfüggvényt kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! e) Határozzuk meg ξ harmadik momentumát! 15. Egy szabályos pénzérmét kétszer feldobunk. Jelentse a ξ valószínűségi változó az írás dobások számát. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlást kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! e) Határozzuk meg ξ várható értékét! 16. Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk. Jelentse a ξ valószínűségi változó a fej dobások számát. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlást kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását!

3 17. Egy részvény kiinduló ára 1 e. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy pedig a felére csökken. Mindkét lehetőség ugyanakkora valószínűségű. A következő két évben ugyanez történik, és a változások egymástól függetlenek. a) Mi lesz három év múlva a részvényár eloszlása? b) Írjuk fel és ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy a kapott függvény valóban eloszlásfüggvény! d) Számoljuk ki a részvényár eloszlásának várható értékét, szórásnégyzetét és szórását! 18. Az ötöslottón a 2, 3, 4, 5 találatos szelvények esetén a nyeremény rendre 1.000, , , forint. A 0 és 1 találatos szelvények esetén a nyeremény 200 forint. Határozzuk meg a nyereménynek, mint valószínűségi változónak a várható értékét! Binomiális eloszlás 19. Egy szabályos dobókockával tizenkétszer dobunk. Jelölje ξ a 3-as dobások számát. a) Írjuk fel a ξ eloszlását! b) Határozzuk meg ξ várható értékét, szórásnégyzetét! c) Számoljuk ki a P (ξ < 2) valószínűséget! 20. Egy kosárban 3 narancs és 2 alma van. Visszatevéssel véletlenszerűen kiválasztunk 4 gyümölcsöt. Jelöle ξ a kiválasztott narancsok számát. a) Adjuk meg a ξ eloszlását! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz narancs a kiválasztott gyümölcsök között? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan egy narancs lesz a kiválasztottak között? Poisson eloszlás 21. Egy ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ = 4 paraméterrel. a) Írjuk föl a ξ eloszlását! b) Határozzuk meg a ξ várható értékét és szórását! c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a ξ a várható értéknél nagyobb értéket vesz föl? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a ξ a ]2, 5[ intervallumba esik? 22. Egy elektromos műszer 1000 alkatrészből áll. Valamennyi alkatrész a többitől függetlenül 0,001 valószínűséggel hibásodik meg 1 év alatt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább 2 alkatrész elromlik 1 év alatt? 3

4 4 23. Egy rádiókészülék meghibásodásának átlagos száma 1000 működési óra alatt 10. A meghibásodások eloszlása csak a vizsgált időtartam hosszától függ. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a készülék 200 működési óra alatt elromlik? 24. Egy telefonközponthoz 1000 előfizető tartozik. Megfigyelték, hogy annak a relatív gyakorisága, hogy egy adott órában egy előfizető telefonál 0,005. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában a) éppen 4-en telefonálnak? b) legalább 4-en telefonálnak? 25. Egy autónyereménybetétkönyv sorsoláson minden 2000 betétkünyvre sorsolnak ki egy gépkocsit. Egy városban 1000 darab betétkönyvet tartanak nyilván. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a városban legalább 1 autót nyernek. (Egy alkalommal összesen 500 gépkocsit sorsolnak ki.) 26. Egy augusztusi éjszakán átlag 10 percenként észlelhető csillaghullás. A csillaghullások száma Poisson-eloszlású. Mennyi annak a valószínűsége, hogy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? 5. Folytonos valószínűségi változók 27. Legyen { 0, ha x 2 f ξ (x) = a, ha x > 2. x3 Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! 28. Egy egységnyi sugarú, kör alakú céltáblára lövések érkeznek. Tegyük fel, hogy minden lövés a céltáblába talál és hogy a találat helye egyenletes eloszlású a céltáblán. Jelölje a találat helyének távolságát a céltábla középpontjától. Adjuk meg a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! Egyenletes eloszlás 29. Legyen ξ egyenletes eloszlású az [1, 3] intervallumon! a) Írjuk fel és ábrázoljuk ξ eloszlásfüggvényét! b) Írjuk fel és ábrázoljuk ξ sűrűségfüggvényét! c) Határozzuk meg ξ várható értékét és szórását! 30. Egy villamosmegállóba 15 percenként érkeznek villamosok. A villamosmegállóba érkezve látjuk, hogy 1 percen belül nem jön villamos. Legyen ξ a várakozási idő hossza. a) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét!

5 5 b) Számoljuk ki a várható értékét és szóránégyzetét. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5 percnél kevesebbet kell várkoznunk? d) Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy legalább 7 percet kell várnunk? Exponenciális eloszlás 31. Egy ξ valószínűségi változó jelentse annak az útnak a hosszát, amelyet egy gépkocsi az első műszaki hibáig megtesz. Tegyük föl, hogy ξ exponenciális eloszlású és várható értéke 500 km. a) Írjuk fel a ξ eloszlás- és sűrűségfüggvényét! b) Számoljuk ki, mennyi annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéknél kisebb értéket vesz fel? 32. Egy radioaktív anyag bomlását vizsgáljuk. Legyen a valószínűségi változó értéke egy tetszőleges atom bomlásáig eltelt idő, és annak a valószínűsége, hogy az atom x éven belül elbomlik P (ξ < x) = 1 e x 2. a) Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét és szórását! b) Határozzuk meg a bomlás felezési idejét! 33. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltlet égési időtartam hosszát tekintsük egy ξ valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ξ exponenciális eloszlású és szórása 1000 óra. a) Írjuk fel a ξ eloszlás- és sűrűségfüggvényét! b) Határozzuk meg a ξ várható értékét! c) Számoljuk ki, mennyi annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéknél kisebb értéket vesz fel? 34. Annak a valószínűsége, hogy egy benzinkútnál 6 percnél többet kell várni, 0,1. A várakozási idő hossza exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége, hogy a benzinkúthoz érkezve 3 percen belül sorra kerülünk? Normális eloszlás 35. Egy embercsoport magasságainak átlaga 175 cm, 4 cm-es szórással. A testmagasság nagysága normális eloszlásúnak tekinthető. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott ember testmagassága az átlagtól kevesebb, mint 3 cm-el tér el? b) Mennyi a valószínűsége, hogy egy kiválasztott ember testmagassága legalább 173 cm? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott ember testmagassága 173 cm és 177 cm közé esik?

6 6 36. Egy csomagológép 1 kg tömegű sajtot csomagol. A sajtok tömege normális eloszlásúnak tekinthető, melynek szórása 5 dkg. Mennyi a valószínűsége, hogy egy sajtdarab súlya a) 96 dkg-nál több; b) 1,05 kg-nál kevesebb; c) 98 dkg és 1,02 kg közé esik? 6. Valószínűségi vektorváltozók 37. A (ξ, η) valószínűségi változó lehetséges értékeit a (0,0), (0,4), (4,0), (4,4) pontok által meghatározott négyzet belsejében levő egész koordinátájú pontok adják. A vektorváltozó e pontokat egyenlő valószínűséggel veszi fel a négyzet középpontja kivételével, mely négyszer akkora valószínűséggel következik be, mint a többi. a) Írjuk fel a (ξ, η) eloszlását! b) Határozzuk meg a peremeloszlásokat! c) Számoljuk ki ξ és η várható értékét! d) Számoljuk ki ξ és η szórásnégyzetét! e) Írjuk fel ξ η eloszlását! f) Független-e ξ és η? g) Számoljuk ki a cov(ξ, η) és a corr(ξ, η) értékeket! h) Adjuk meg ξ + η eloszlását! 38. Egy dobozban 1-től 10-ig számozott golyókat helyeztünk el. Véletlenszerűen kihúzunk egy golyót. A ξ valószínűségi változó értéke legyen -1, ha páratlan számot húzunk, és 1, ha párosat húzunk. Az η értéke legyen 0, ha nem osztható öttel, és 1, ha osztható öttel a kihúzott szám. a) Írjuk fel a (ξ, η) eloszlását! b) Határozzuk meg a peremeloszlásokat! c) Független-e ξ és η? d) Számoljuk ki a cov(ξ, η) és a corr(ξ, η) értékeket! e) Adjuk meg ξ + η eloszlását!

7 7 7. Becsléselmélet 39. Egy bizonyos gyártmányú elem élettartamára vonatkozóan az alábbi mérési eredmények adódtak: 42, 45, 52, 48, 42, 50 óra. a) Adjuk meg az empirikus eloszlásfüggvényt! b) Adjunk becslést az élettartam várható értékére és szórására! c) Tudjuk, hogy az elemek élettartama normális eloszlást mutat. Adjunk meg olyan intervallumot, amely a várható értéket 0,95 valószínűséggel tartalamazza! 40. Egy tóban a halakat betegség támadta meg, mely az egyes egyedeket 0,05 valószínűséggel támadja meg. Egy véletlen halászat során 10 haltetemet fogtak ki. Adjunk maximum likelihood becslést a betegség előtt a tóban élő halak számára! 41. Augusztusban öt éjszakán át figyeltük meg a hullócsillagok számát. A kapott minta: 4, 3, 7, 2, 4. A hullócsillagok száma Poisson-eloszlást követ. Készítsünk maximum likelihood becslést az elosztlás paraméterére az adott minta alapján! 42. Egy céllövő p valószínűséggel talál el egy célponot egy lövésből. Adjunk maximum likelihood becslést p-re, ha az első találat k-adikra következik be! 43. Egy alkatrészekből álló sokaság hat mintapéldányának a teljes élettartama: 39, 45, 67, 50, 50, 60 hónap. Tegyük fel, hogy az élettartam exponenciális eloszlású, ismeretlen λ paraméterrel. Adjunk maximum likelihood becslést λ-ra! 8. Hipotézisvizsgálat 44. Egy automata gép 2 literes üdítőitalokat készít 5 ml szórással. Feltételezzük, hogy az üvegekbe töltött üdítőital mennyisége normális eloszlást követ. Véletlenszerűen kiválasztva 10 terméket, és lemérve azok űrtartalmát, milliliterben kifejezve az alábbi értékeket kaptuk 2040, 1990, 1950, 2100, 1995, 1970, 2000, 1950, 2045, Döntsünk 95%-os biztonsági szinttel arról, hogy átlagosan 2 liter üdítőital van egy üvegben! 45. Egy cukorkacsomagoló gép 10 dekagramm várható súlyú csomagokat készít 5 gramm szórással. Véletlenszerűen kiválasztunk 10 darab cukorkát, melyek súlyát lemérve az alábbi adatok adódnak (grammban kifejezve) 105, 95, 100, 102, 103, 94, 99, 101, 110, 97. Döntsünk 95%-os valószínűséggel arról, hogy a cukorkák átlagos súlya 10 dkg, vagy annál kevesebb!

8 8 46. Két független, normális eloszlásból származó mintát vizsgálunk. Az első minta 16 elemből áll, és 0,25 szórású, a második minta 25 mintából áll, és 0,16 szórású. Az első minta átlaga 4, a másodiké 5. Elfogadható-e 95%-os döntési szinten, hogy a két sokaság várható értéke megegyezik? 47. Egy kórház két osztályán szájhigiéniás vizsgálatot végeznek, hogy a betegek szájápolása között van-e különbség a szájban lévő baktériumok számát illetően. A két minta adatai A osztály : 1500, 2000, 1300, 1000, 2500; B osztály : 800, 1500, 750, 2200, 1100, Az A osztály varianciája 1000, a B osztályé A vizsgálatot 95%-os biztonsági szinten végezzük el! 48. Egy 10-elemű minta korrigált empirikus szórásnégyzete 3, míg egy 8-elemű minta korrigált empirikus szórásnégyzete 6. Döntsünk 95%-os biztonsággal arról, hogy azonosnak tekinthető e a két minta szórása! 49. Egy automata gép 1 literes üdítőitalokat készít. Feltételezzük, hogy az üvegekbe töltött üdítőital mennyisége normális eloszlást követ. Véletlenszerűen kiválasztva 10 terméket, és lemérve azok űrtartalmát, milliliterben kifejezve az alábbi értékeket kaptuk 1010, 1020, 950, 1100, 995, 970, 1000, 950, 1045, Döntsünk 95%-os biztonsági szinttel arról, hogy átlagosan 2 liter üdítőital van egy üvegben! 50. Egy cementgyárban 50 kg-os zsákokat készítenek. Kilenc zsákot véletlenszerűen kiválasztva, majd azokat lemérve az alábbi eredmények adódtak 54, 57, 45, 55, 44, 49, 50, 41, 43. Döntsünk 95 % biztonsággal arról, hogy átlagosan 50 kg-osnak tekinthetők-e zsákokba töltött cement súlya, vagy annál kevesebb. 51. Két féjdalomcsillapító hatását vizsgálták 6-6 betegen, mérve a fájdalom megszűnéséig eltelt időt. Adataink A fájdalomcsillapító : 10, 25, 15, 20, 30, 35; B fájdalomcsillapító : 22, 32, 12, 40, 15, 30. Normális eloszlást feltételezve, van-e különbség a két gyógyszer hatása között?

9 52. Két különböző vérnyomáscsökkentő gyógyszer hatását tesztelték betegeken. Véletlenszerűen kiválasztott betegek szisztolés vérnyomásértékénének napi átlagos csökkenését mutatják az alábbi adatok A vérnyomáscsökkentő : 10, 12, 13, 25, 5, 30; B vérnyomáscsökkentő : 15, 8, 10, 20, 6, 8, 35. Normális eloszlást feltételezve, van-e különbség a két gyógyszer hatása között? 53. Egy automata gép 1 literes üdítőitalokat készít. Feltételezzük, hogy az üvegekbe töltött üdítőital mennyisége normális eloszlást követ. Véletlenszerűen kiválasztva 10 terméket, és lemérve azok űrtartalmát, milliliterben kifejezve az alábbi értékeket kaptuk 1010, 1020, 950, 1100, 995, 970, 1000, 950, 1045, Elfogadhatóan működik az automata, ha az egy üvegbe töltött üdítőital mennyiségének szórása 10 ml. Döntsünk 95%-os biztonsági szinttel arról, hogy jól működik-e a gép! 54. Állapítsuk meg, hogy szabályos-e az a dobókocka, melyet 60-szor feldobva az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös, és 6-os dobás relatív gyakorisága rendre 8, 12, 10, 13, 10, Egy pénzérmét 100-szor feldobva 40-szer kaptunk írást. Döntsük el, hogy az érme szabályosnak tekinthető-e? 56. Vizsgájuk meg, hogy az X valószínűségi változó eloszlása λ = 2 paraméterű Poissoneloszlásúnak tekinthető-e. Száz elemű mintát véve az esemény nem következett be 12-szer, egyszer következett be 32-szer, kétszer következett be 25-ször, háromszor következett be 21-szer, és négyszer, vagy annál többször következett be 10-szer. 57. Száz elemű mintát veszünk egy sokaságból. Döntsük el, hogy a minta normális eloszlású-e, ha az alábbi relatív gyakoriságok adódtak. ], 0[ 12 [0, 0.5[ 16 [0.5, 1[ 28 [1, 1.5[ 26 [1.5, [ A [0, 1] intervallumból 6 elemű mintát véve az alábbi adatokat kaptuk 0, 1; 0, 3; 0, 4; 0, 9; 0, 2; 0, 7. Tekinthető-e a minta (0, 1)-on egyenletes eloszlásúnak? Az intervallumot osszuk négy egyenlő részre!

10 Egy gyár munkavédelmi osztályán azt a kérdést vizsgálják, hogy 1 év alatt az 1 munkásra jutó balesetek száma Poisson-eloszlást követ-e. A vizsgálathoz 400 munkást választottak ki véletlenszerűen. Közülük 141 munkásnak nem volt balesete, 150 munkásnak 1 balesete volt, 83 munkásnak 2, 26 munkásnak 3 balesete volt. A Poissoneloszlás ismeretlen paraméterét a mintából becsüljük! 60. Száz ember szem- és hajszínét megfigyelve az alábbi eredmény adódott szőke haj barna haj fekete haj kék szem barna szem Vizsgáljuk meg, hogy van-e kapcsolat a szemszín és a hajszín között?

11 11 Megoldások 1. a) Az eseménytér az összes elemi események halmaza, azaz Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2),..., (6, 6)}. b) A kedvező esetek száma 15, az összes esetek száma 6 2 = 36, így a keresett valószínűség A hatoslottón 45 számból kell kiválasztanunk 6-öt, így az összes esetek száma ( ) Négy találatosunk úgy lehet, hogy négy számot eltalálunk, kettőt pedig nem, így a kihúzott 6 nyerőszámból 4-nek kell megegyeznie olyannal, amit bejelöltünk, a 39 nem nyerőszámból pedig kettőnek kell megegyeznie általunk bejelölttel. Így a keresett valószínűség ( )( ) ( ) A dobott számok különbségének abszolútértéke 0, 1, 2, 3, 4 vagy 5 lehet, így a kedvező esetek (1, 6), (6, 1). Az összes esetek száma: 6 2 = 36. Tehát a keresett valőszínűség 2 36 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a dobott számok összege 7, B-vel azt az eseményt, hogy az összeg páratlan. Ekkor A B = A. Először az A esemény valószínűségét határozzuk meg. Két dobókockával dobva az összes esetek száma 36. A dobott számok összege hatféleképpen lehet 7, így P (A) = 1/6. A feltétel valószínsűsége 1/2. A feltételes valószínűség definícióját használva a keresett valószínűség. P (A B) = P (A B) P (B) = 1 3

12 12 6. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a dobott számok összege 8, B-vel azt az eseményt, hogy az összeg páros. Ekkor A B = A. Először az A esemény valószínűségét határozzuk meg. Két dobókockával dobva az összes esetek száma 36. A dobott számok összege ötféleképpen lehet 8, így P (A) = 5/36. A feltétel valószínűsége 1/2. A feltételes valószínűség definícióját használva a keresett valószínűség. P (A B) = P (A B) P (B) = Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy egy kiválasztott játékosnak nem jut király, B-vel azt az eseményt, hogy a rákövetkező játékosnak nem jut király. Az A B esemény valószínűsége ( )( )( )( ) ( )( ) P (A B) = A B esemény valószínűsége P (B) = ( )( )( )( ) = ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) = ( )( ) ( ) ( ) A feltételes valószínűség definíciója szerint P (A B) = ( ) ( ) a keresett valószínűség. 8. a) Az eredmény a teljes valószínűség tételét felhasználva adódik: ; b) az eredmény a Bayes-tétel felhasználásával adódik: a) A teljes valószínűség tétele szerint a keresett valószínűség

13 13 b) A Bayes-tétel felhasználásával a keresett valószínűség 0, Az összterület egy egységnyi oldalú négyzet területe, a kedvező terület egy 0.75 egységnyi hosszúságú befogókkal rendelkező egyenlő szárú derékszögű háromszög területe. Így a keresett valószínűség P (x + y < 0.75) = = = Az összeterület egy 2 oldalhosszúságú négyzet területe, a kedvező terület egy egységnyi oldalhosszúságú befogókkal rendelkező egyenlő szárú derékszögű háromszög területe. Így a keresett valószínűség ( x + y P 2 ) < 1 = P (x + y < 2) = 1 2.

14 A keresett valószínűség: sin π = 3 3 4π 13. Az összterület egy 2 oldalhosszúságú négyzet területe, a kedvező terület az x y < 0.5 tartománynak az előbbi négyzetbe eső része. A keresett valószínűség tehát P ( x y < 0.5) = = a) Az eloszlás P (ξ = k) = 1, k = 1,..., 6. 6

15 0, ha x 1 1/6, ha 1 < x 2 2/6, ha 2 < x 3 b) Az eloszlásfüggvény: F ξ (x) = 3/6, ha 3 < x 4 4/6, ha 4 < x 5 5/6, ha 5 < x 6 1, ha x > c) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá d) A várható érték lim F ξ(x) = 0, x lim F ξ (x) = 1. x Eξ = = 7 2. e) A szórásnégyzethez először a második momentumot számoljuk ki: Ebből Eξ 2 = = D 2 ξ = Eξ 2 (Eξ) 2 = 91 6 f) A harmadik momentum ξ 3 várható értéke: ( ) 2 7 = = Eξ 3 =

16 a) A ξ valószínűségi változó értéke lehet 0,1,2. A megfelelő valószínűségek: P (ξ = 0) = 1 4, P (ξ = 1) = 1 2, P (ξ = 2) = , ha x 0 1/4, ha 0 < x 1 b) Az eloszlásfüggvény: F ξ (x) = 3/4, ha 1 < x 2 1, ha x > 2. c) Az a) pontban a valószínűségek összege 1, így eloszlást kaptunk. d) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá e) A várható érték lim F ξ(x) = 0, x lim F ξ (x) = 1. x Eξ = = 1. A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: Eξ 2 = = 3 2, így D 2 ξ = Eξ 2 (Eξ) 2 = = 1 2. f) Ebből a szórás 1 2. ( ) E ξ =

17 a) A ξ valószínűségi változó értéke lehet 0,1,2 vagy 3. Ezek valószínűségei: P (ξ = 0) = 1 8, P (ξ = 1) = 3 8, P (ξ = 2) = 3 8, P (ξ = 3) = 1 8,. 0, ha x 0 1/8, ha 0 < x 1 b) Az eloszlásfüggvény: F ξ (x) = 4/8, ha 1 < x 2 7/8, ha 2 < x 3 1, ha x > 3. c) Az a) pontban a valószínűségek összege 1, így eloszlást kaptunk. d) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá e) A várható érték lim F ξ(x) = 0, x lim F ξ (x) = 1. x Eξ = = 3 2. A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: Eξ 2 = = 24 8 = 3, így Ebből a szórás 3 2. D 2 ξ = Eξ 2 (Eξ) 2 = 3 ( ) 2 3 =

18 18 f) ( ) E ξ = a) Az eloszlás ( P ξ = 1 ) = 18 ( 8, P ξ = 1 ) = 3 2 8, P (ξ = 2) = 3 8, P (ξ = 8) = , ha x 1/8 1/8, ha 1/8 < x 1/2 b) Az eloszlásfüggvény: F ξ (x) = 4/8, ha 1/2 < x 2 7/8, ha 2 < x 8 1, ha x > 8. c) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá d) A várható érték lim F ξ(x) = 0, x lim F ξ (x) = 1. x Eξ = = A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: ( ) 2 1 Eξ 2 = 1 ( ) = , így D 2 ξ = Eξ 2 (Eξ) 2 = A szórás a szórásnégyzetből vont négyzetgyök. ( ) A várható érték ( )( ) 5 85 ( )( ) 5 85 ( )( ) ( ) + ( 200) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a) Az eloszlás P (ξ = k) = 3 2 ( ) ( 12 k ) ( ( ) ) k ( 1 1 6) 12 k, (k = 0, 1,..., 12). 5 0 ( ). 90 5

19 b) A várható érték Eξ = = 2, ami azt jelenti, hogy 12 dobásból várhatóan kétszer kapunk hatost. A szórásnégyzet D 2 ξ = = 5 3, a szórás Dξ = = 5 3. c) Annak valószínűsége, hogy 2-nél kevesebb hatost dobunk ( ) 12 5 P (ξ < 2) = P (ξ = 0) + P (ξ = 1) = ( ) 11 5 = 0, a) Az eloszlás P (ξ = k) = b) A keresett valószínűség ( 5 k P (ξ = 2) + P (ξ = 3) = ) ( 3 5 ( 5 2 ) k ( 1 3 5) 5 k, (k = 0, 1, 2, 3) ) ( 3 5 ) 2 ( 1 3 5) 3 + c) Lehetetlen esemény, így 0 a keresett valószínűség. 21. a) Az eloszlás P (ξ = k) = 4k k! e 4. b) A várható érték, illetve a szórásnégyzet c) A keresett valószínűség P (ξ > 4) = 1 P (ξ 4) = d) A keresett valószínűség Eξ = 4, Dξ = 2. ( 5 3 ) ( 3 5 ) 3 ( 1 3 ) 2 5 = 1 ( P (ξ = 0) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) + P (ξ = 3) + P (ξ = 4) ). P (2 < ξ < 5) = P (ξ = 3) + P (ξ = 4). 22. Legyen n = 1000, p = 0, 001. Mivel az elemszám nagy, és a valószínűség kicsi, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n p = 1. A keresett valószínűség P (ξ 2) = 1 P (ξ < 2) = 1 ( P (ξ = 0) + P (ξ = 1) ). 19

20 A meghibásodások átlagos száma 200 óra alatt 2, így n = 200, p = 0, 01, λ = np = 2, amiből a keresett valószínűség P (ξ = 0) = e 2 = 1 e Legyen n = 1000, p = 0, 005. Mivel az elemszán nagy, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n p = 5. a) P (ξ = 4) = ( 5)4 e 5 4! b) P (ξ 4) = 1 P (ξ < 4) = 1 ( P (ξ = 0) + P (ξ = 1) + P (ξ = 3) ) 25. Legyen n = 1000, p = 0, Mivel az elemszán nagy, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n p = 0, 5. P (ξ 1) = 1 P (ξ = 0) = 1 0, 50 e 0,5 = 0! 1 e 26. Jelölje ξ a negyedóránkénti csillaghullások számát! Ekkor Eξ = 3 2 = λ, amiből P (ξ = 2) = 1, 52 e 1,5 2! 27. Az f ξ függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény, ha a teljes számegyenesen az integrálja 1. Ezt felhasználva 1 = 2 a dx = a lim x3 c c 2 [ x x 3 2 dx = a lim c 2 ] c 2 [ 1 = a lim c 2x 2 ] c 2 = a 8, amiből a = 8.

21 Az eloszlásfüggvény 29. a) ξ eloszlásfüggvénye b) A sűrűségfüggvény 0, ha x 0 F ξ (x) = x 2, ha 0 < x 1 1, ha x > 1. 0, ha x 1 x 1 F ξ (x) =, ha 1 < x 3 2 1, ha x > 3. 1 f ξ (x) = 2, ha 1 < x < 3 0, egyébként. c) Eξ = = 2, D 2 ξ = (3 1)2, Dξ = , ha 0 < x 1 x a) Az eloszlásfüggvény F ξ (x) =, ha 1 < x , ha x > 15. 1, ha 1 < x < 15 A sűrűségfüggvény f ξ (x) = 14 0, egyébként.

22 22 b) A várható érték 8, a szórásnégyzet c) P (ξ < 5) = F ξ (5) = 2 7. d) P (ξ > 7) = 1 P (ξ < 7) = 1 F ξ (7) = = a) Mivel Eξ = 500, ezért λ = 1, melyből az eloszlásfüggvény 500 { 0, ha x 0 F ξ (x) = 1 e x, egyébként, a sűrűségfüggvény { 0, ha x 0 f ξ (x) = 500 x, egyébként e 1 b) P (ξ < 500) = F ξ (500) = 1 e = 1 1 e. 32. a) Mivel λ = 1 2, így Eξ = 2, D 2 ξ = 2, Dξ = 2. b) Az F ξ (x) = 1 2 egyenlet megoldásából kapjuk, hogy x = 1, 38 év. 33. Felhasználva, hogy λ = 1 a feladat az előzőekhez hasonlóan oldható meg a) Az eloszlásfüggvény { 0, ha x 0 F ξ (x) = 1 e x, egyébként, a sűrűségfüggvény { 0, ha x 0 f ξ (x) = 1000 x, egyébként, e 1 b) A várható érték Eξ = c) P (ξ < Eξ) = P (ξ < 1000) = F ξ (1000) = 1 1 e.

23 Mivel 0, 1 = P (ξ > 6) = 1 P (ξ 6) = 1 F ξ (6) = 1 ( 1 e 6λ) = e 6λ, ezért Ezt felhasználva λ = ln(0, 1) 6. P (ξ 3) = F ξ (3) = 1 e 3λ ln(0,1) 3 = 1 e 6 = 1 0, 1 = 0, a) A keresett valószínűség P ( ξ 175 < 3 ) = P ( 3 < ξ 175 < 3) = P (172 < ξ < 178) = ( ) ( ) = F ξ (178) F ξ (172) = Φ Φ = 3 3 = Φ (1) Φ ( 1) = 2Φ (1) 1. b) A keresett valószínűség ( ) P (ξ > 173) = 1 F ξ (173) = 1 Φ 3 ( = 1 Φ 2 ) = Φ 3 ( ) 2 3 c) A keresett valószínűség ( ) ( ) P (173 < ξ < 177) = F ξ (177) F ξ (173) = Φ Φ = 3 3 ( ) ( 2 = Φ Φ 2 ) ( ) 2 = 2Φ a) ( ) ( ) 0, P (ξ > 0, 96) = 1 P (ξ < 0, 96) = 1 F ξ (0, 96) = 1 Φ = 1 Φ. 0, 05 5 b) ( ) 1, 05 1 P (ξ < 1, 05) = F ξ (1, 05) = Φ = Φ (1). 0, 05 c) ( ) ( ) 1, , 98 1 P (0, 98 < ξ < 1, 02) = F ξ (1, 02) F ξ (0, 98) = Φ Φ = 0, 05 0, 05 ( ) ( 2 = Φ Φ 2 ) ( ) 2 = 2Φ a) A kontingencia-táblázat: ξ\η p p p 2 p 4p p 3 p p p

24 24 Ebből p = b) ξ és η peremeloszlása: c) P (ξ = 1) = 3p, P (ξ = 2) = 6p, P (ξ = 1) = 3p, P (η = 1) = 3p, P (η = 2) = 6p, P (η = 3) = 3p. Eξ = 1 3p + 2 6p + 3 3p = 24p = 2, Eη = 1 3p + 2 6p + 3 3p = 24p = 2, d) Eξ 2 = 1 2 3p p p = 54p = 4, 5, Eη 2 = 1 2 3p p p = 54p = 4, 5, amiből D 2 ξ = 4, 5 4 = 0, 5, Dξ = 0, 5 D 2 η = 4, 5 4 = 0, 5, Dη = 0, 5 e) f) Nem függetlenek. g) Mivel P (ξ η = 1) = 1 12, P (ξ η = 2) = 1 6, P (ξ η = 3) = 1 6, P (ξ η = 4) = 1 3, P (ξ η = 6) = 1 6, P (ξ η = 9) = cov(ξ, η) = E(ξη) Eξ Eη = (p + 4p + 6p + 16p + 12p + 9p) 24p 24p = 0, Mivel a kovariancia nulla, ezért a korrelációs együttható is nulla. h) ξ + η eloszlása P (ξ + η = 2) = 1 12, P (ξ + η = 3) = 1 6, P (ξ + η = 4) = 1 2, P (ξ + η = 5) = 1 6, P (ξ + η = 6) = a) A kontingencia-táblázat: Ebből p = ξ\η p p 1 4p 4

25 25 b) ξ és η peremeloszlása: c) Nem függetlenek. d) Mivel P (ξ = 1) = 8p, P (ξ = 1) = 2p, P (η = 0) = 8p, P (η = 1) = 2p. cov(ξ, η) = E(ξη) Eξ Eη, ezért ki kell számolnunk ξ, η és ξη várható értékét! A kapott eredményeket felhasználva Eξ = 1 5p + 1 5p = 0, Eη = 0 8p + 1 2p = 2p, Eξ η = 1 p + 1 p = 0. cov(ξ, η) = 0 0 2p = 0. A korrelációs együtthatóhoz meg kell határoznunk ξ és η szórását. Dξ = 10p 0 = 1, Dη = 4 2p 4p 2 = 25 = 2 5 Ebből e) ξ + η eloszlása corr(ξ, η) = cov(ξ, η) DξDη = 0. P (ξ + η = 1) = 2 5, P (ξ + η = 0) = 1 10, P (ξ + η = 1) = 2 5, P (ξ + η = 2) = a) Az empirikus eloszlásfüggvény 0, ha x 42 1, ha 42 < x , ha 45 < x 48 F ξ (x) = 2 2, ha 48 < x , ha 50 < x , ha x > 52. b) Az átlag A szórásnégyzet x = = 46, 5. σ 2 = 2(46, 6 42)2 + (46, 5 45) 2 + (46, 5 48) 2 + (46, 5 50) 2 + (46, 5 52) 2, 6

26 26 a korrigált szórásnégyzet σ 2 = 2(46, 6 42)2 + (46, 5 45) 2 + (46, 5 48) 2 + (46, 5 50) 2 + (46, 5 52) 2. 5 c) A keresett konfidencia-intervallum s n s n x u α < m < x + u α. n n 40. A likelihood függvény Mivel ezért Mivel L(n + 1) L(n) L(n) = ( ) n p k (1 p) n k. k ( ) n + 1 L(n + 1) = p k (1 p) n+1 k, k = ( ) n + 1 (1 p) k ( ) = n + 1 (1 p). n n k + 1 k n + 1 (1 p) > 1 n k + 1 pontosan akkor teljesül, ha n < k 1. Így n maximum likelihood becslése p [ ] [ ] k 10 n = p 1 = 0, 05 1, így 199 vagy 200 a jó megoldás. 41. A likelihood függvény L(λ) = 5 k=1 P (ξ = x k ) = λ4 4! e λ λ3 3! e λ λ7 7! e λ λ2 2! e λ λ4 4! e λ = A loglikelihood függvény ln L(λ) = 20 ln λ ln(4!3!7!2!4!) 5λ. λ 20 4!3!7!2!4! e 5λ. Az előbbi függvény λ-szerinti deriváltja ln L(λ) λ = 20 λ 5, aminek a zérushelye λ = 4.

27 A likelihood függvény L(p) = p(1 p) k 1. A loglikelihood függvény ln L(p) = ln p + (k 1) ln(1 p), melynek a p-szerinti deriváltja ln L(p) p = 1 p 1 (k 1), 1 p melynek zérushelye p = 1 k. 43. A likelihood függvény L(λ) = 6 λe λx i = λ 6 e 311λ. i=1 A loglikelihood függvény ln L(λ) = 6 ln λ 311λ, melynek parciális deriváltja melynek zérushelye λ = ln L(λ) λ = 6 λ 311, 44. A nullhipotézis, az ellenhipotézis, illetve a szórás H 0 : m = 2000; H 1 : m 2000; α = A mintaelemszám, az átlag, illetve a szórás n = 10, x = 2005, σ = 5. A próbastatisztika u = x m n = 10 = 3, 16. σ 5 Mivel u = 3, 16 > 1, 96, ezért H 0 -t elvetjük. Második megoldás: p-érték: P ( u 3, 16) = 1 2Φ(3, 16) = 0, 0016 < 0, 05, ezért a nullhipotézist elvetjük.

28 A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H 0 : m = 100; H 1 : m < 100; α = A mintaelemszám, az átlag, illetve a szórás n = 10, x = 100, 6, σ = 5. A próbastatisztika u = x m 0 100, n = 10 = 0, σ 5 Mivel u = 0, 3795 < 1, 65, ezért H 0 -t elfogadjuk. Második megoldás: p-érték: P ( u 0, 3795) = 1 Φ(0, 3795) = 0, 352 > 0, 05, ezért a nullhipotézist elfogajduk. 46. A nullhipotézis és az ellenhipotézis A próbastatisztika u = x y σ1 2 n + σ2 2 m H 0 : m 1 = m 2 ; H 1 : m 1 m 2. Mivel u = 4, 5 > 1, 96, ezért H 0 -t elvetjük. 47. A nullhipotézis és az ellenhipotézis A próbastatisztika u = x y σ1 2 n + σ2 2 m = 4 5 0, , H 0 : m 1 = m 2 ; H 1 : m 1 m 2. = Mivel u = 0, 5737 < 1, 96, ezért H 0 -t elfogadjuk. = 4, 5. = 0, A szórások összehasonlítására F-próbát alkalmazunk. A nullhipotézis, illetve ellenhipotézis Az F-statisztika H 0 : s 2 1 = s 2 2; H 1 : s 2 1 s 2 2. F = s2 2 s 2 1 = 36 9 = 4. A megfelelő táblázatbeli érték F 7,9 = 3, 29, aminél nagyobb a számított érték, így a nullhipotézist elvetjük, azaz nem tekinthetők azonosnak a szórások.

29 49. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H 0 : m = 1000; H 1 : m A mintaelemszám és az átlag, n = 10 és x = A szórásnégyzetet a mintából számoljuk s n = 45, 09. Mivel a szórás nem ismert, ezért t-próbát alkalmazunk. A próbastatisztika t = x m 0 s n n = 10 = 0, , 09 Mivel t = 0, 3507 < t 9 = 2, 26, ezért H 0 -t elfogadjuk. 50. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H 0 : m = 50; H 1 : m < 50. A mintaelemszám és az átlag, n = 9 és x = 48, 67. A szórásnégyzetet a mintából számoljuk s n = 5, 49. Mivel a szórás nem ismert, ezért t-próbát alkalmazunk. A próbastatisztika t = x m 0 s n 48, n = 9 = 0, , 49 Mivel t = 0, 7268 < t 8 = 1, 86, ezért H 0 -t elfogadjuk. 51. Először F-próbát kell alkalmaznunk a szórások azonosságának eldöntésére. Az A-minta korrigált szórásnégyzete: s 2 1 = 9, 35, a B-minta korrigált szórásnégyzete s 2 2 = 10, 74. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis Az F-statisztika F = s2 2 s 2 1 H 0 : s 2 1 = s 2 2; H 1 : s 2 1 s 2 2. = 10, 74 9, 35 = 1, A megfelelő táblázatbeli érték F 5,5 = 5, 05, aminél kisebb a számított érték (1,1487), így a nullhipotézist elfogadjuk, azaz a szórások azonosaknak tekinthetők. Ilyenkor a két minta különbségét képezve egy újabb mintát készítünk, amire alkalmazzuk az egymintás t-tesztet. Az új minta Z : 12, 7, 3, 20, 15, 5. Erre a mintára a nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H 0 : EZ = 0 ; H 1 : EZ 0. 29

30 30 Ekkor a mintaátlag, illetve a korrigált szórásnégyzet z = 2, 67, illetve s 2 próbastatisztika t = z m 0 2, 67 0 n = 6 = 1, 83. s 3, 57 = 12, 72. A Mivel t = 1, 83 < t 5 = 2, 57, ezért H 0 -t elfogadjuk, így nincs lényeges különbség a két gyógyszer hatása között. 52. Először F-próbát kell alkalmaznunk a szórások azonosságának eldöntésére. Az A-minta korrigált szórásnégyzete: s 2 1 = 8, 74, a B-minta korrigált szórásnégyzete s 2 2 = 10, 23. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis Az F-statisztika F = s2 2 s 2 1 H 0 : s 2 1 = s 2 2; H 1 : s 2 1 s 2 2. = 10, 23 8, 74 = 1, 17. A megfelelő táblázatbeli érték F 6,5 = 4, 95, aminél kisebb a számított érték (1,17), így a nullhipotézist elfogadjuk, azaz a szórások azonosaknak tekinthetők. Ilyenkor a mivel a mintaelemszám különböző, ezért a próbastatisztika t = x y (n1 1)s (n 2 1)s 2 2 = n 1 n 2 (n 1 + n 2 2) n 1 + n 2 = 15, 83 14, 57 (6 1)8, 74 + (7 1)10, ( ) = 0, Mivel t = 0, 7327 < t 11 = 2, 2, ezért H 0 -t elfogadjuk, így nincs lényeges különbség a két gyógyszer hatása között. 53. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H 0 : s = 5 ; H 1 : s > 5. Mivel normális eloszlású valószínűségi változó ismeretlen szórásáról kell dönteni, ezért khi-négyzet próbát kell alkalmaznunk. A próbastatisztika számított értéke χ 2 = 10 i=1 (x i x) 2 s 2 0 = 183. A táblázatbeli érték 16,92, aminél nagyobb a számított érték, így 95%-os szinten elvetjük a nullhipotézist, azaz nagyobb a szórás az előírtnál.

31 54. Jelöljük A i -val azt az eseményt, hogy a kockával i-t dobunk (i=1,2,3,4,5,6). Ekkor a 31 H 0 : P (A) = 1 6 hipotézist kell tesztelnünk. Tiszta illeszkedésvizsgálatot kell végeznünk khi-négyzet próbával. A próbastatisztika χ 2 (8 10)2 (12 10)2 (10 10)2 = (13 10)2 (10 10)2 (7 10) = 2, A táblázatbeli érték χ 2 5 = 11, 07, aminél kisebb a számított érték, így 95 %-os szinten elfogadjuk a nullhipotézist, azaz a kocka szabályosnak tekinthető. 55. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy az érmével fejet dobunk. Ekkor a H 0 : P (A) = 1 2 hipotézist kell tesztelnünk. Tiszta illeszkedésvizsgálatot kell végeznünk khi-négyzet próbával. A próbastatisztika χ 2 = (60 50) (40 50)2 50 A táblázatbeli érték χ 2 1 = 3, 84, aminél nagyobb a számított érték, így 95 %-os szinten elvetjük a nullhipotézist, azaz az érme nem tekinthető szabályosnak. = Ha ξ 2-paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó, akkor A próbastatisztika χ 2 = (12 13, 5)2 13, 5 P (ξ = 0) = 0, 135, P (ξ = 1) = 0, 27, P (ξ = 2) = 0, 27, P (ξ = 3) = 0, 18, P (ξ 4) = 0, (32 27) (25 27) (21 18) (10 14, 5)2 14, 5 = 3, 136. A táblázatbeli érték χ 2 4 = 9, 49, aminél kisebb a számolt érték, tehát a nullhipotézist elfogadjuk, azaz a minta 95 %-os biztosnággal Poisson-eloszlásúnak tekinthető. 57. A normális eloszlás esetén a megfelelő intervallumokba esés valószínűsége p 0 = Φ(0) = 0, 5, p 1 = Φ(0, 5) Φ(0) = 0, 1915, p 2 = Φ(1) Φ(0, 5) = 0, 1498, p 3 = Φ(1, 5) Φ(1) = 0, 0919, p 4 = 1 Φ(1, 5) = 0, A próbastatisztika χ 2 = (12 50) (16 19, 15)2 19, 15 (28 14, 98) , 98 + (26 9, 19)2 9, 19 + (18 6, 68)2 6, 68 = 90, 61.

32 32 A táblázatbeli érték χ 2 4 = 9, 49, aminél nagyobb a számolt érték, tehát a nullhipotézist elvetjük, azaz a minta 95 %-os biztosnággal nem tekinthető normális eloszlásúnak. 58. Egyenletes eloszlás esetén a megfelelő intervallumokba esés valószínűsége p 0 = F (0) = 0, p 1 = F (0, 25) F (0) = 0, 25, p 2 = F (0, 5) F (0, 25) = 0, 25, p 3 = F (0, 75) F (0, 5) = 0, 25, p 4 = F (1) F (0, 75) = 0, 25. A próbastatisztika χ 2 = (2 1, 5)2 1, 5 + (2 1, 5)2 1, 5 + (1 1, 5)2 1, 5 + (1 1, 5)2 1, 5 = 2 3. A táblázatbeli érték χ 2 3 = 7, 81, aminél kisebb a számolt érték, tehát a nullhipotézist elfogadjuk, azaz a minta 95 %-os biztosnággal egyenletes eloszlásúnak tekinthető. 59. Az ismeretlen paraméter a mintaátlaggal becsülhető: λ = 0, 985. Ha ξ 0,985-paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó, akkor A próbastatisztika χ 2 = P (ξ = 0) = 0, 348, P (ξ = 1) = 0, 348, P (ξ = 2) = 0, 164, P (ξ = 3) = 0, 113, P (ξ 4) = 0, 027. ( , 2)2 139, 2 + ( , 2)2 139, 2 + (83 65, 6)2 65, 6 + (26 45, 2)2 45, 2 = 13, 641. A táblázatbeli érték χ 2 3 = 7, 81, aminél nagyobb a számolt érték, tehát a nullhipotézist elvetjük, azaz a minta 95 %-os biztosnággal nem tekinthető Poisson-eloszlásúnak. 60. A próbastatisztika χ 2 = (15 7, 02)2 7, 02 (10 16, 2)2 (2 5, 94) , 2 5, 94 (11 18, 98) , 98 (50 43, 8)2 43, 8 + (12 16, 06)2 16, 06 = 19, 39. A szabadsági fok (2-1)(3-1)=2. A χ 2 2 táblázatbeli értéke 5,99, aminél a számolt érték nagyobb, így a nullhipotézist elvetjük, tehát nem független a hajszín és a szemszín.

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok) Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

Matematika III. Nagy Károly 2011

Matematika III. Nagy Károly 2011 Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük?

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük? 1 Kombinatorika Valószínűségszámítás feladatok 2016/17 tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény, ha a 8 bástyát

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Valószínűségszámítási gyakorlatok

Valószínűségszámítási gyakorlatok Matematikai és Informatikai Intézet Valószínűségszámítási gyakorlatok Összeállította Dr. Tómács Tibor egyetemi docens Utolsó módosítás 7. március 9. Eger, 7 Tartalomjegyzék Gyakorlatok.....................................

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet?

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? Az els gyakorlat feladatai 1. Az 1, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 5-jegy szám képezhet, amelyeknek a harmadik számjegye 8? 2. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 6-jegy szám képezhet, amely 123-mal

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. 1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)

Részletesebben

Nevezetes diszkre t eloszlá sok

Nevezetes diszkre t eloszlá sok Nevezetes diszkre t eloszlá sok Szűk elméleti összefoglaló Binomiális eloszlás: Jelölés: X~B(n, p) vagy X B(n, p) Tipikus használata: Egy kétféle kimenetelű (valami beteljesül vagy sem) kísérletet elvégzünk

Részletesebben

Matematikai statisztika Tómács Tibor

Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ

Részletesebben

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17 Valószínűségszámítás Földtudomány szak, 2015/2016. tanév őszi félév Backhausz Ágnes (ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék)1 Tartalomjegyzék 1. Valószínűségi mező 3 1.1. Példák valószínűségi

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzsenyi Dániel Főiskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Műszaki menedzser alapszak Példatár Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 2006 1 Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség, események függetlensége

Részletesebben

Debreceni Egyetem, KTK

Debreceni Egyetem, KTK Debreceni Egyetem, KTK Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb feladatokat jelöli

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

Geometriai valo szí nű se g

Geometriai valo szí nű se g Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

A II. fejezet feladatai

A II. fejezet feladatai A II. fejezet feladatai Kulcsszavak : valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, diszkrét eloszlás, sűrűségfüggvény, nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások, valószínűségi változók transzformációja, várható

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10

P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10 Valszám-megoldások. Feladat. Legyen P (A =, 3 és P (B =, 6... Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B függetlenek?... Megoldás. Ha A és B függetlenek, akkor A és B, valamint B és A, valamint

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat Statisztikai módszerek 7. gyakorlat A tanult nem paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Illeszkedés-vizsgálat Χ2próbával MIRE SZOLGÁL? Illeszkedés-vizsgálat Ryan-Joiner próbával A val.-i vált. eloszlása egy adott

Részletesebben

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 100 + x pontot lehet szerezni a félév

Részletesebben

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Várható érték 1. Egy dobozban 6 cédula van, rajtuk pedig a következő számok: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; (b) 1, 2, 6, 6, 6, 6;

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

ALÁÍRÁS NÉLKÜL A TESZT ÉRVÉNYTELEN!

ALÁÍRÁS NÉLKÜL A TESZT ÉRVÉNYTELEN! A1 A2 A3 (8) A4 (12) A (40) B1 B2 B3 (15) B4 (11) B5 (14) Bónusz (100+10) Jegy NÉV (nyomtatott nagybetűvel) CSOPORT: ALÁÍRÁS: ALÁÍRÁS NÉLKÜL A TESZT ÉRVÉNYTELEN! 2011. december 29. Általános tudnivalók:

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK KOMBINATORIKA Példa: a) Hányféle módon rakható sorba egy csomag Magyar kártya 3 lapja? Nyilván 3! féle módon. Ez nagyon nagy szám, 3!,63 0 35. b) Hányféle módon

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben