Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal"

Átírás

1 Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal Komjáthy Júlia Simon Károly Sztochasztika Tanszék Matematika Intézet Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem November 15. Jövő Internet technológiák és alkalmazások kutatása Magyarországon Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 1 / 22

2 1 Motiváció 2 A kiinduló modell 3 Graph directed leírás 4 Determinisztikus eset, tulajdonságok 5 Véletlen modell Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 2 / 22

3 Motiváció Skálafüggetlen gráfok lépten nyomon Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 3 / 22

4 Motiváció Skálafüggetlen gráfok lépten nyomon Hierarchikus gráfok sok helyen Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 3 / 22

5 Motiváció Skálafüggetlen gráfok lépten nyomon Hierarchikus gráfok sok helyen modellünk segítséget nyújt ilyen hálózatok tesztelésére Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 3 / 22

6 A kiinduló modell (a) G 1 és G 2 hurokélekkel (b) G 3 ábra: G 1, G 2, G 3 a "Cseresznye" példára (Barabási-Ravasz-Vicsek, [2]). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 4 / 22

7 Adjacencia mátrix Λ 1 Λ 2 Λ 3 ábra: Λ 1, Λ 2, Λ 3 a "Cseresznye" esetében Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 5 / 22

8 Általános eset: "Legyező" példán keresztül Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

9 Általános eset: "Legyező" példán keresztül (c) G és G (d) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

10 Általános eset: "Legyező" példán keresztül (e) G és G (f) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

11 Általános eset: "Legyező" példán keresztül A csúcsok (g) G és G (h) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

12 Általános eset: "Legyező" példán keresztül A csúcsok az első jegyek: országok (i) G és G (j) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

13 Általános eset: "Legyező" példán keresztül A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok (k) G és G (l) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

14 Általános eset: "Legyező" példán keresztül A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok (m) G és G 1 Az élek (n) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

15 Általános eset: "Legyező" példán keresztül A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok (o) G és G Az élek az első jegyek: csak testvérországba megy él (p) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

16 Általános eset: "Legyező" példán keresztül A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok (q) G és G Az élek az első jegyek: csak testvérországba megy él a második jegyek: csak testvérvárosba (testvérországon belül!) (r) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

17 Általános eset: "Legyező" példán keresztül A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok (s) G és G Az élek az első jegyek: csak testvérországba megy él a második jegyek: csak testvérvárosba (testvérországon belül!) (t) G 2 (hurokélek nélkül) Következő szint (testvér)utcák is vannak Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22

18 A modell, általánosan Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22

19 A modell, általánosan Alapgráf: páros gráf G a V = V 1 V2, V = {0,..., N 1} csúcshalmazon. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22

20 A modell, általánosan Alapgráf: páros gráf G a V = V 1 V2, V = {0,..., N 1} csúcshalmazon. G határozza meg az éleket Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22

21 A modell, általánosan Alapgráf: páros gráf G a V = V 1 V2, V = {0,..., N 1} csúcshalmazon. G határozza meg az éleket G n -ben N n csúcs, n hosszú kóddal: v V n := {0,..., N 1} n. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22

22 A modell, általánosan Alapgráf: páros gráf G a V = V 1 V2, V = {0,..., N 1} csúcshalmazon. G határozza meg az éleket G n -ben N n csúcs, n hosszú kóddal: v V n := {0,..., N 1} n. Testvér-viszonyok formálisan Két csúcs x, y V n, kódjaik x = (x y) x és y = (x y)ỹ (x, y) E(G n ) a.cs.a ha x V i, ỹ Vī és ( x i, ỹ i ) E(G) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22

23 Hierarchiák Megjegyzés (G n hierarchikus struktúrája) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 8 / 22

24 Hierarchiák Megjegyzés (G n hierarchikus struktúrája) W x jelölje azokat a (x 1... x n ) csúcsokat G n -ben, akikre x 1 = x (minden kezdeti x {0,..., N 1} jegyre). A W x -en feszített részgráf azonos G n 1 -gyel. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 8 / 22

25 Hierarchiák Megjegyzés (G n hierarchikus struktúrája) W x jelölje azokat a (x 1... x n ) csúcsokat G n -ben, akikre x 1 = x (minden kezdeti x {0,..., N 1} jegyre). A W x -en feszített részgráf azonos G n 1 -gyel. Ha az első n k jegyet rögzítjük V n -ben, akkor látjuk, hogy G n N n k db G k másolatból áll. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 8 / 22

26 Adjacencia mátrix: egy fraktál First approximation of Λ 12 A fenti alapgráf G E = 9 és V = 8. Azonos színû élek azonos színû négyzeteknek felelnek meg. ezek a négyzetek generálják a Λ 12 fraktált. Λ 12 -t a Λ fraktál atomjának nevezzük 1 0 dim H (Λ 12 ) = log9 log8 > 1. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22

27 Adjacencia mátrix: egy fraktál First approximation of Λ 12 Second approximation of Λ Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22

28 Adjacencia mátrix: egy fraktál First approximation of Λ 12 Λ 21 Second approximation of Λ Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22

29 Adjacencia mátrix: egy fraktál First approximation of Λ 12 Λ 21 Second approximation of Λ 12 Λ Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22

30 Adjacencia mátrix: egy fraktál First approximation of Λ 12 Λ 21 Second approximation of Λ 12 Λ Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22

31 Adjacencia mátrix: egy fraktál First approximation of Λ 12 Λ 21 Second approximation of Λ Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22

32 ( ) Λn graph-directed struktúrája n=1 A "Cseresznyére" definiáljuk az ábrán látható G gráfot. G n minden éle megfelel egy n hosszú útnak G-ben. ( 1 ) ( 1 0 2) K E (V 12 ) ( 1 1 ) ( 0 ( 2 0) 2) K N (V dd ) ( 0 ) ( 2 1 1) K E (V 21 ) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 10 / 22

33 Az adjacencia mátrix: fraktálhoz tart Minden G-beli (v 1, v 2 ) él egy homotéciának (hasonlóságnak) felel meg: f e : Q v2 Q v1, f e (a, b) := 1 N (a, b) + 1 N (x 1, y 1 ) v i = (x i, y i ) ahol Q v := Q (x,y) első szintű négyzet v = (x, y) V (G). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 11 / 22

34 Az adjacencia mátrix: fraktálhoz tart Minden G-beli (v 1, v 2 ) él egy homotéciának (hasonlóságnak) felel meg: f e : Q v2 Q v1, f e (a, b) := 1 N (a, b) + 1 N (x 1, y 1 ) v i = (x i, y i ) ahol Q v := Q (x,y) első szintű négyzet v = (x, y) V (G). Λ n azokat az n. szintű négyzeteket tartalmazza, akiket az n hosszú utak kódolnak G-ben (függvénykompozícióval). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 11 / 22

35 Az adjacencia mátrix limesze Λ Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim n Λ n := Λ nemüres. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22

36 Az adjacencia mátrix limesze Λ Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim Λ n := Λ nemüres. n Két Iterált Függvényrendszer (IFS) V 12 ill. V 21 -en határozza meg a Λ 12 ill. Λ 21 attraktorokat [0, 1] n -en. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22

37 Az adjacencia mátrix limesze Λ Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim Λ n := Λ nemüres. n Két Iterált Függvényrendszer (IFS) V 12 ill. V 21 -en határozza meg a Λ 12 ill. Λ 21 attraktorokat [0, 1] n -en. Λ ezen attraktorok hasonló képeiből áll, mégpedig Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22

38 Az adjacencia mátrix limesze Λ Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim Λ n := Λ nemüres. n Két Iterált Függvényrendszer (IFS) V 12 ill. V 21 -en határozza meg a Λ 12 ill. Λ 21 attraktorokat [0, 1] n -en. Λ ezen attraktorok hasonló képeiből áll, mégpedig Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22

39 Az adjacencia mátrix limesze Λ Tétel Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim Λ n := Λ nemüres. n Két Iterált Függvényrendszer (IFS) V 12 ill. V 21 -en határozza meg a Λ 12 ill. Λ 21 attraktorokat [0, 1] n -en. Λ ezen attraktorok hasonló képeiből áll, mégpedig Λ = Diag }{{} Λ dd ahol Diag = {(x, x) : x [0, 1]}. v V dd ( fv (Λ 12 ) f v (Λ 21 ) ), Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22

40 Tulajdonságok Fokszámeloszlás hatványlecsengésű, a kitevő γ = 1 + log(n/n 1) log d (N a csúcsok száma, n 1 a felső csúcsok száma, d a kapcsolataik száma) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 13 / 22

41 Tulajdonságok Fokszámeloszlás hatványlecsengésű, a kitevő γ = 1 + log(n/n 1) log d (N a csúcsok száma, n 1 a felső csúcsok száma, d a kapcsolataik száma) Átmérője G n -nek arányos G n logaritmusával Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 13 / 22

42 Tulajdonságok Fokszámeloszlás hatványlecsengésű, a kitevő γ = 1 + log(n/n 1) log d (N a csúcsok száma, n 1 a felső csúcsok száma, d a kapcsolataik száma) Átmérője G n -nek arányos G n logaritmusával Átlagos legrövidebb út két pont közt G n -ben szintén log( G n ) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 13 / 22

43 Tulajdonságok Fokszámeloszlás hatványlecsengésű, a kitevő γ = 1 + log(n/n 1) log d (N a csúcsok száma, n 1 a felső csúcsok száma, d a kapcsolataik száma) Átmérője G n -nek arányos G n logaritmusával Átlagos legrövidebb út két pont közt G n -ben szintén log( G n ) Lokális klaszterezettségi együttható a csúcs fokszámával fordítottan (deg) 1 arányos. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 13 / 22

44 Fokszámeloszlás Feltevés Minden fenti csúcs foka azonos, és nagyobb, mint a lentieké: deg(x) := d, x V 1 max deg(y) d 1, y V (A1) 2 j V 2 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 14 / 22

45 Fokszámeloszlás Feltevés Minden fenti csúcs foka azonos, és nagyobb, mint a lentieké: deg(x) := d, x V 1 max deg(y) d 1, y V (A1) 2 j V 2 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 14 / 22

46 Fokszámeloszlás Feltevés Minden fenti csúcs foka azonos, és nagyobb, mint a lentieké: Ekkor az alábbi hatványlecsengést kapjuk A hatványkitevő deg(x) := d, x V 1 max deg(y) d 1, y V (A1) 2 j V 2 P(deg(X ) > t) = c(d) t log(n/n 1 ) log d γ = 1 + γ = 1 + log(n/n 1) log d Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 14 / 22

47 Fokszámeloszlás Feltevés Minden fenti csúcs foka azonos, és nagyobb, mint a lentieké: Ekkor az alábbi hatványlecsengést kapjuk deg(x) := d, x V 1 max deg(y) d 1, y V (A1) 2 j V 2 A hatványkitevő P(deg(X ) > t) = c(d) t log(n/n 1 ) log d γ = 1 + γ = 1 + log(n/n 1) log d Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 14 / 22

48 Fraktáldimenziós kapcsolat I. Az egységnégyzetben az attraktor Λ megszámlálható db hasonló másolata Λ 12 -nek. Így a fraktáldimenziója HD = dim H (Λ) = log E log N. A kapcsolat a hatványkitevő γ és a HD közt: (ha HD > 1), majdnem bizotsan 1 γ = dim H(l rand Λ 12 ) dim H (l vert Λ 12 ). számláló: Λ 12 -nek véletlen szögű egyenessel vett metszete Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 15 / 22

49 Fraktáldimenziós kapcsolat I. Az egységnégyzetben az attraktor Λ megszámlálható db hasonló másolata Λ 12 -nek. Így a fraktáldimenziója HD = dim H (Λ) = log E log N. A kapcsolat a hatványkitevő γ és a HD közt: (ha HD > 1), majdnem bizotsan 1 γ = dim H(l rand Λ 12 ) dim H (l vert Λ 12 ). számláló: Λ 12 -nek véletlen szögű egyenessel vett metszete nevező: Λ 12 -nek függőleges egyenessel vett metszete Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 15 / 22

50 Fraktáldimenziós kapcsolat II. Λ l rand lvert ábra: 1 γ = dim H(l rand Λ 12) dim H (l vert Λ 12), Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 16 / 22

51 Átmérő, tipikus távolság Átmérő A csúcsok kódolását felhasználva x {0,... N 1} n konstruálhatunk legrövidebb utakat, amiből: Diam(G n ) = 2 log N log( G n ) + O(1). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 17 / 22

52 Átmérő, tipikus távolság Átmérő A csúcsok kódolását felhasználva x {0,... N 1} n konstruálhatunk legrövidebb utakat, amiből: Diam(G n ) = 2 log N log( G n ) + O(1). Átlagos legrövidebb út Két egyenletesen választott csúcs X, Y G n közti távolság várható értéke pedig 4n 1 n 2 log G N 2 n < E( P(X, Y ) ) < N + 4n 1n 2 log G N 2 n. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 17 / 22

53 Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22

54 Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) G 1 3 Ĝ (c) G és Ĝ (d) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22

55 Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) G 1 3 Ĝ (e) G és Ĝ (f) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22

56 Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) 0 G Ĝ Tétel K 1, K 2 > 0 konstansok, hogy egy tetszőleges x Ĝ n csúcs C x LCC-jére: (g) G és Ĝ K 1 deg(x) C x K 2 deg(x) (h) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22

57 Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) 0 G Ĝ Tétel K 1, K 2 > 0 konstansok, hogy egy tetszőleges x Ĝ n csúcs C x LCC-jére: (i) G és Ĝ K 1 deg(x) C x K 2 deg(x) (j) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22

58 Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) 0 G Ĝ Tétel K 1, K 2 > 0 konstansok, hogy egy tetszőleges x Ĝ n csúcs C x LCC-jére: (k) G és Ĝ K 1 deg(x) C x K 2 deg(x) C(Ĝ n ), az átlagos LCC-je Ĝ n -nek pedig alulról-felülről korlátos, vagyis n 1 n 2 N 2 Ĉ min C(Ĝ n ) C(Ĝ), (l) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. ahol Ĉ min := min C x > 0. x Ĝ Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22

59 Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22

60 Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22

61 Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Dobjunk le M n + 1 db golyót függetlenül és egyenletesen az urnákba. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22

62 Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Dobjunk le M n + 1 db golyót függetlenül és egyenletesen az urnákba. A random gráfban két csúcs közt (i, j) E(G r n) a.cs.a. ha a csúcsoknak megfelelő i és j golyók éllel összekötött urnában landoltak (G n -ben). Fraktállal ekvivalens: (X (i) ) Mn i=1 U[0, 1] iid. E(G r n) = { (i, j) Λ n (X (i), X (j) ) = 1 }. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22

63 Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Dobjunk le M n + 1 db golyót függetlenül és egyenletesen az urnákba. A random gráfban két csúcs közt (i, j) E(G r n) a.cs.a. ha a csúcsoknak megfelelő i és j golyók éllel összekötött urnában landoltak (G n -ben). Fraktállal ekvivalens: (X (i) ) Mn i=1 U[0, 1] iid. E(G r n) = { (i, j) Λ n (X (i), X (j) ) = 1 }. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22

64 Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Dobjunk le M n + 1 db golyót függetlenül és egyenletesen az urnákba. A random gráfban két csúcs közt (i, j) E(G r n) a.cs.a. ha a csúcsoknak megfelelő i és j golyók éllel összekötött urnában landoltak (G n -ben). Fraktállal ekvivalens: (X (i) ) Mn i=1 U[0, 1] iid. E(G r n) = { (i, j) Λ n (X (i), X (j) ) = 1 }. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22

65 Fokszámeloszlás A fokszámeloszlás lecsengése most is hatványlecsengésű. Tétel Legyen γ := 1 + log( N ) n 1 log d γ ( 1, 1 + log 3 ]. log 2 Akkor a véletlen gráf fokszámeloszlásának lecsengése: P(deg(V ) > t) = t γ+1 L(t), ahol L(t) korlátos: n 1 N L(t) N n 1. Bizonyítás Centrális Határeloszlás tétellel és Nagyeltérés Tétellel. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 20 / 22

66 R. Albert, A.-L. Barabási, Hierarchical organization in complex networks. Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 21 / 22

67 R. Albert, A.-L. Barabási, Hierarchical organization in complex networks. Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002). A.-L. Barabási, E. Ravasz, T. Vicsek, Deterministic Scale-Free Networks. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 299, Issues 3-4, (2001). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 21 / 22

68 R. Albert, A.-L. Barabási, Hierarchical organization in complex networks. Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002). A.-L. Barabási, E. Ravasz, T. Vicsek, Deterministic Scale-Free Networks. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 299, Issues 3-4, (2001). G. Palla, L. Lovász and T. Vicsek, Multifractal network generator. PNAS 107, Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 21 / 22

69 Vége Köszönöm a figyelmet! Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 22 / 22

A Barabási-Albert-féle gráfmodell

A Barabási-Albert-féle gráfmodell A Barabási-Albert-féle gráfmodell és egyéb véletlen gráfok Papp Pál András Gráfok, hálózatok modelljei Rengeteg gráfokkal modellezhető terület: Pl: Internet, kapcsolati hálók, elektromos hálózatok, stb.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék

Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Betekintés a komplex hálózatok világába

Betekintés a komplex hálózatok világába Betekintés a komplex hálózatok világába Dr. Varga Imre Debreceni Egyetem Informatikai Kar EFOP-3.6.1-16-2016-00022 Egyszerű hálózatok Grafit kristály Árpád házi uralkodók családfája LAN hálózat Komplex

Részletesebben

A hazai elszámolásforgalom hálózati elemzése

A hazai elszámolásforgalom hálózati elemzése A hazai elszámolásforgalom hálózati elemzése Révkomárom, 2013. január 23. Pál Zsolt egyetemi tanársegéd Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar A kutatás előzményei, háttere Hálózatelmélet - szabályos gráfok

Részletesebben

Véletlen gráfok. Backhausz Ágnes Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet december 2.

Véletlen gráfok. Backhausz Ágnes Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet december 2. Véletlen gráfok Backhausz Ágnes Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet agnes@cs.elte.hu 2015. december 2. Nagy hálózatok Példák valós hálózatokra társadalmi hálózatok

Részletesebben

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit

Részletesebben

Csima Judit BME, SZIT február 18.

Csima Judit BME, SZIT február 18. 1 Véletlen gráfok és valós hálózatok Csima Judit BME, SZIT 2011. február 18. Tartalom 2 1. Motiváció: miért pont véletlen gráfok? Tartalom 2 1. Motiváció: miért pont véletlen gráfok? 2. A klasszikus modell:

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok

Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok vizsgálatára Gyenge Ádám1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudományi és Információelméleti

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Hálózatok fejlődése A hatványtörvény A preferential attachment A uniform attachment Vertex copy. SZTE Informatikai Intézet

Hálózatok fejlődése A hatványtörvény A preferential attachment A uniform attachment Vertex copy. SZTE Informatikai Intézet Hálózattudomány SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Előadó: London András 4. Előadás Hogyan nőnek a hálózatok? Statikus hálózatos modellek: a pontok száma (n) fix, az éleket valamilyen

Részletesebben

Szalai Péter. April 17, Szalai Péter April 17, / 36

Szalai Péter. April 17, Szalai Péter April 17, / 36 Szociális hálók Szalai Péter April 17, 2015 Szalai Péter April 17, 2015 1 / 36 Miről lesz szó? 1 Megfigyelések Kis világ Power-law Klaszterezhetőség 2 Modellek Célok Erdős-Rényi Watts-Strogatz Barabási

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik

Részletesebben

Doktori disszertáció. szerkezete

Doktori disszertáció. szerkezete Doktori disszertáció tézisfüzet Komplex hálózatok szerkezete Szabó Gábor Témavezető Dr. Kertész János Elméleti Fizika Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2005 Bevezetés A tudományos

Részletesebben

Összefoglalás és gyakorlás

Összefoglalás és gyakorlás Összefoglalás és gyakorlás High Speed Networks Laboratory 1 / 28 Hálózatok jellemző paraméterei High Speed Networks Laboratory 2 / 28 Evolúció alkotta adatbázis Önszerveződő adatbázis = (struktúra, lekérdezés)

Részletesebben

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Sztochastika Tanszék. Markov láncok és hálózatok aszimptotikus viselkedése:

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Sztochastika Tanszék. Markov láncok és hálózatok aszimptotikus viselkedése: Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Sztochastika Tanszék Markov láncok és hálózatok aszimptotikus viselkedése: fluktuációk, keverési tulajdonságok és véletlen hálózatok modellezése

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból (A szakirány, 2015-2016 tavaszi félév) A számonkérés során ezeknek a definícióknak, tételkimondásoknak az alapos megértését is számon kérjük. A példakérdések

Részletesebben

Gráf csúcsainak színezése. The Four-Color Theorem 4 szín tétel Appel és Haken bebizonyították, hogy minden térkép legfeljebb 4 színnel kiszínezhető.

Gráf csúcsainak színezése. The Four-Color Theorem 4 szín tétel Appel és Haken bebizonyították, hogy minden térkép legfeljebb 4 színnel kiszínezhető. Gráf csúcsainak színezése Kromatikus szám 2018. Április 18. χ(g) az ún. kromatikus szám az a szám, ahány szín kell a G gráf csúcsainak olyan kiszínezéséhez, hogy a szomszédok más színűek legyenek. 2 The

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

Komplex hálózatok moduláris szerkezete

Komplex hálózatok moduláris szerkezete Az OTKA K68669 azonosítójú, Komplex hálózatok moduláris szerkezete című pályázat szakmai beszámolója 1. Bevezetés Az utóbbi évtizedben a hálózati megközelítés több fontos sikert hozott biológiai, technológiai,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív

Részletesebben

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29.

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29. Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2010. november 29. 1. Gráfok metszési száma z előadás a metszési szám nevű gráfparaméterről szól. Ez

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Bonyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II.

Bonyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II. onyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II. 1. Feladat Mutassuk meg, hogy a n/-hosszú kör probléma NP-nehéz! n/-hosszú kör Input: (V, ) irányítatlan gráf Output: van-e G-ben a csúcsok felén

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok. HálózatokII, 2007

1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok. HálózatokII, 2007 Hálózatok II 2007 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Szerda 17:00 18:30 Gyakorlat: nincs Vizsga írásbeli Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/g/07nwii

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Szociális hálózatok Gráf alapú módszerek. Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok. Szegedi Tudományegyetem. Adatbányászat

Szociális hálózatok Gráf alapú módszerek. Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok. Szegedi Tudományegyetem. Adatbányászat Klaszterezés Szegedi Tudományegyetem Élei lehetnek címkézettek (pl. ellenség, barát), továbbá súlyozottak (pl. telefonbeszélgetés) Megjelenési formái Ismeretségi, társszerzőségi gráf (Erdős-Bacon szám)

Részletesebben

Gráfok csúcsszínezései

Gráfok csúcsszínezései Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Gráfok csúcsszínezései 2012. október 1. Előadó: Hajnal Péter 1. (Csúcs)színezések alapfogalmai Emlékeztetőként idézzünk fel néhány korábban tanult

Részletesebben

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16 Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának

Részletesebben

Csima Judit BME, SZIT február 17.

Csima Judit BME, SZIT február 17. 1 Véletlen gráfok és valós hálózatok Csima Judit BME, SZIT 2010. február 17. Tartalom 2 1. Motiváció: miért pont véletlen gráfok? 2. A klasszikus modell: Erdős-Rényi véletlen-gráf modell definíció jellemzői

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 6. el adás Hálózatok növekedési modelljei: `uniform és preferential attachment' El adó: London András 2015. október 12. Hogyan n nek a hálózatok? Statikus

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk

Részletesebben

Közösség detektálás gráfokban

Közösség detektálás gráfokban Közösség detektálás gráfokban Önszervező rendszerek Hegedűs István Célkitűzés: valamilyen objektumok halmaza felett minták, csoportok detektálása csakis az egyedek közötti kapcsolatok struktúrájának a

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként. Számításelmélet Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. (A matematika nyelvén precízen megfogalmazott

Részletesebben

Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009

Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009 Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Hétfő 10:00 12:00 óra Gyakorlat: Hétfő 14:00-16:00 óra Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/0910nwmsc

Részletesebben

Fraktál alapú képtömörítés p. 1/26

Fraktál alapú képtömörítés p. 1/26 Fraktál alapú képtömörítés Bodó Zalán zbodo@cs.ubbcluj.ro BBTE Fraktál alapú képtömörítés p. 1/26 Bevezetés tömörítések veszteségmentes (lossless) - RLE, Huffman, LZW veszteséges (lossy) - kvantálás, fraktál

Részletesebben

Komplex hálózatok: alapfogalmak, modellek, módszerek

Komplex hálózatok: alapfogalmak, modellek, módszerek Komplex hálózatok: alapfogalmak, modellek, módszerek London András, Németh Tamás 2015. április 13. Motiváció Alapfogalmak Centralitás mértékek Néhány gráfmodell Hálózatok mindenhol! ábra 1: Facebook kapcsolati

Részletesebben

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 1. Diszkrét matematika 2. 5. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. október 12. Diszkrét matematika

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Mélységi keresés és alkalmazásai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2. előadás

Részletesebben

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN CSIKVÁRI PÉTER Kivonat. Ebben a jegyzetben bebizonyítjuk Bondy és Simonovits következő tételét. Ha egy n csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz C k kört akkor az éleinek száma

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden

Részletesebben

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim. Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5

Részletesebben

(Independence, dependence, random variables)

(Independence, dependence, random variables) Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

Deníciók és tételek a beugró vizsgára

Deníciók és tételek a beugró vizsgára Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,

Részletesebben

dimenziója Szirmay-Kalos László N= 1/r D D= (logn) / (log 1/r) D= (log4) / (log 3) = 1.26 N = 4, r = 1/3 Vonalzó ( l ) db r =1/3 N = 4 r 2 N 2 N m r m

dimenziója Szirmay-Kalos László N= 1/r D D= (logn) / (log 1/r) D= (log4) / (log 3) = 1.26 N = 4, r = 1/3 Vonalzó ( l ) db r =1/3 N = 4 r 2 N 2 N m r m Fraktálok Hausdorff dimenzió Fraktálok N = N = 4 N = 8 Szirmay-Kalos László r = r = r = N= /r D D= (logn) / (log /r) Koch görbe D= (log4) / (log 3) =.6 N = 4, r = /3 Nem önhasonló objektumok dimenziója

Részletesebben

A különböz lerajzolásokhoz különböz metszési szám tartozik: x(k 5, λ) = 5,

A különböz lerajzolásokhoz különböz metszési szám tartozik: x(k 5, λ) = 5, Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Gráfok metszési paramétere és alkalmazásai 2013. El adó: Hajnal Péter 1. Gráfok metszési száma Az el adás a metszési szám nev gráfparaméterr l szól.

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

Gráfelmélet jegyzet 2. előadás

Gráfelmélet jegyzet 2. előadás Gráfelmélet jegyzet 2. előadás Készítette: Kovács Ede . Fák Tétel. : A következők ekvivalensek a T gráfra: (i) T összefüggő, e E. T e már nem összefüggő (ii) T összefüggő és körmentes. (iii) x, y V T!

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

A társadalom hálózati jelenségeinek adatvezérelt vizsgálata I: Társadalmi terjedés. Magyar Tudomány Ünnepe 2017 Számítógépes Társadalomtudomány

A társadalom hálózati jelenségeinek adatvezérelt vizsgálata I: Társadalmi terjedés. Magyar Tudomány Ünnepe 2017 Számítógépes Társadalomtudomány A társadalom hálózati jelenségeinek adatvezérelt vizsgálata I: Társadalmi terjedés Kertész János CEU, BME Magyar Tudomány Ünnepe 2017 Számítógépes Társadalomtudomány Zhongyuan Ruan (CEU) Márton Karsai

Részletesebben

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni 1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Közösségek keresése nagy gráfokban

Közösségek keresése nagy gráfokban Közösségek keresése nagy gráfokban Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2011. április 14. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek

Részletesebben

Matematikai logika és halmazelmélet

Matematikai logika és halmazelmélet Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete

Részletesebben

Információs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet

Információs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet Információs rendszerek elméleti alapjai Információelmélet Az információ nem növekedés törvénye Adatbázis x (x adatbázis tartalma) Kérdés : y Válasz: a = f(y, x) Mennyi az a információtartalma: 2017. 04.

Részletesebben

KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K

KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára Klikkek gráfokban Előadó: Hajnal Péter 2017 1. Az alapkérdés Emlékeztetünk egy a gráfok színezésénél tárgyalt fontos fogalomra: Definíció. Egy G gráfban

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. A szakirány 11. előadás Ligeti Péter turul@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ turul Nagy hálózatok Nagy hálózatok jellemzése Internet, kapcsolati hálók, biológiai hálózatok,... globális

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

VI. Vályi Gyula Emlékverseny november

VI. Vályi Gyula Emlékverseny november VI. Vályi Gyula Emlékverseny 1999. november 19-1. VI. osztály 1. Ki a legidősebb, ha Attila 10 000 órás, Balázs 8 000 napos, Csanád 16 éves, Dániel 8000000 perces, Ede 00 hónapos. (A) Attila (B) Balázs

Részletesebben

Geometriai valo szí nű se g

Geometriai valo szí nű se g Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Julia halmazok, Mandelbrot halmaz

Julia halmazok, Mandelbrot halmaz 2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,

Részletesebben

Bozóki Sándor. MTA SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem. Vitaliy Tsyganok

Bozóki Sándor. MTA SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem. Vitaliy Tsyganok A feszítőfákból számolt súlyvektorok mértani közepének optimalitása a logaritmikus legkisebb négyzetes célfüggvényre nézve Bozóki Sándor MTA SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem Vitaliy Tsyganok Laboratory

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA

A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA NAPJAINKBAN Simon L. Péter ELTE, Matematikai Intézet Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tsz. 1 / 20 MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek,

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben