Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése"

Áron Szekeres
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 2. el adás A hálózatkutatás néhány fontos fogalma El adó: London András szeptember 15.

2 Átmér l ij a legrövidebb út a hálózatban i és j pont között = max i,j l ij átmér : az összes legrövidebb út közül a legnagyobb ábra 1: mennyi egy N pontú kör és egy N pontú bináris fa átmér je?

3 Átlagos úthossz A legrövidebb úthosszak átlaga l = ( 1 n ) 2 i,j l ij Valós hálózatokban miért érdekes, milyen információt ad?

4 Fokszámeloszlás A = [a ij ] R n n G szomszédsági mátrixa: i pont foka: k i = n j=1 a ij Fokszámeloszlás: P(egy véletlenül választott pont foka k) Miért érdekes egy hálózat fokszámeloszlása? Milyen fokszámeloszlást követnek a valós hálózatok? kulcsfontosságú fogalom, a kés bbiekben részeltesen tárgyaljuk

5 Melyek a hálózat fontos pontjai? Struktúrális tulajdonság szempontjából, például magas fokszámú a központban van valamilyen dinamikus folyamat szempontjából fontos (pl. fert zés terjedés, véletlen bolyongás) = Centralitás Minél centrálisabb annál fontosabb, minél kevésbé centrális annál kevésbé fontos De hogyan mérjük a centralitást?

6 Fokszám centralitás Nagyobb fokszám fontosabb pont k i = n a j=1 ij; irányított: ki be = n a j=1 ji, ki ki = n a j=1 ij ábra 2: Be- és kifok centralitás.

7 ábra 3: Mennyi X és Y betweennes értéte? Betweenness (köztiség) centralitás Két pont milyen messze van egymástól, ha át kell menni egy kijelölt harmadik ponton BC(k) = i k j σ ij (k) σ ij, ahol σ ij a i és j közötti legrövidebb utak száma, σ ij (k) pedig azon legrövidebb i j utak száma, melyek átmennek k-n = Szorgalmi: gondolkozzunk egy O(nm) futási idej BC számító algoritmuson (m a gráf éleinek száma)

8 Closeness (közelség) centralitás Mennyire van a központban a pont átlagosan milyen hosszúak a pontból induló legröviebb utak a hálózat többi pontjába C(i) = n 1 i j l, ij ahol l ij az i és j közti legrövidebb út hossza. = Számolás: Floyd-Warshall algoritmus ábra 4: Mennyi X és Y closeness értéte?

9 Harmonikus centralitás Két probléma a closeness-szel: a valós hálózatok átmér je átalában kicsi a C(i) értékek sz k tartományban változnak nem összefügg hálózat esetén nem számolható Harmonikus centralitás C h (i) = 1 1, n 1 l ij j i ahol l ij =, ha nincs i j út.

10 Sajátérték centralitás Alapötlet: nem minden szomszéd egyforma súllyal számít a centralitás kiszámításánal Rekurzív formula: x (t+1) i = n j=1 w ij x (t) j Minél fontosabb a szomszéd, annál jobban járul hozzá az adott pont fontosságához Mátrix formában: Ax = λ 1 x, ahol λ 1 az A mátrixhoz tartozó legnagyobb sajátérték (ld. Perron-Frobenius tétel)

11 PageRank Mi a helyzet ha a gráf nem összefügg? = Véletlen szörföz, ld. Google keres motor 1 Rekurzió: PR(i) = 1 λ n + λ j N + (i) PR(j) k ki (j), ahol λ [0, 1] paraméter (ugró faktor), N + (i) az i pont be-szomszédsága 1 Brin & Page, Computer networks and ISDN systems,1998

12 HITS (Hyperlink Induced Topic Search) Kleinberg fejlesztette ki 2, az eredeti PageRank "nomított" változata A gráf pontjainak rangsorolásánál megkülönböztet ún. Hub, illetve Authority pontokat Jó Authority pont, amibe sok link mutat Jó Hub az, amib l sok link megy jó Authority pont felé 2 Kleiberg, Journal of the ACM,1999

13 HITS algoritmus Input G irányított gráf Output a pontok hub és authority értékei 1: Kezdetben minden pont értéke 1 2: repeat 3: for all hub i H do 4: h i = j F (i) a j {F (i): azon pontok, melyekb l megy él i-be} 5: end for 6: for all authority i A do 7: a i = j B(i) h j {B(i): azon pontok, melyekbe megy él i-b l} 8: end for 9: until konvergál 10: Normálás

14 Néhány ingyenes program Hálózat vizualizácó és elemzés Cytoscape (GUI) Gephi (GUI) igraph (R, C++, Python) Feladat: egy hálózat (pl. a Zachary-féle karate klub) pontjainak centralitásvizsgálata és vizualizáció. gondoljuk át mátrix egyenlet formában a PageRanket és HITS-et. További olvasnivaló Jackson könyv 2. fejezet

Hasonló dokumentumok

Komplex hálózatok: alapfogalmak, modellek, módszerek

Komplex hálózatok: alapfogalmak, modellek, módszerek London András, Németh Tamás 2015. április 13. Motiváció Alapfogalmak Centralitás mértékek Néhány gráfmodell Hálózatok mindenhol! ábra 1: Facebook kapcsolati